最新衡水中学自用精品资料——指数不等式与对数不等式
指数不等式与对数不等式的解法
主标题：指数不等式与对数不等式的解法
副标题：为学生详细的分析指数不等式与对数不等式的解法的高考考点、命题方向以及规律总结。
关键词：不等式，指数不等式与对数不等式的解法，知识总结 难度：3 重要程度：5
考点剖析：1.利用指数函数的定义域和单调性将指数不等式转化为一元二次不等式； 2.利用对数函数的定义域和单调性将对数不等式转化为一元二次不等式； 3.利用换元法将含指数或对数的不等式进行合理转化. 命题方向：
考查指数不等式或对数不等式，往往考查其定义域与单调性，将其合理转化为一元一次不等式或一元二次不等式进行求解.
规律总结： 1.?
?
?<<<>>?>10),()(1
),()()()(a x g x f a x g x f a a x g x f ,
2.?>)(log )(log x g x f a a ???<<<<>>>1
0),()(01
,0)()(a x g x f a x g x f
3.对于02>++C Ba Aa
x x
，令t a x =，可转化为02>++C Bt At 来解（但要注意
0>=x a t ），再利用t x a log =求解;
4.对于0log )(log 2>++C x B x A a a ,令x t a log =，可转化为02
>++C Bt At ，再利用
t a x =求解
知识点总结：
1.指数函数的图象与性质
a >1 0 图象 定义域 (1)R 值域 (2)()+∞,0 性质 (3)过定点()1,0 (4)当x >0时，1)(>x f ；当 x <0时，1)(0< 数 (7)在(－∞，＋∞) 上是减函 数 2.对数函数的图象与性质 a>10 图 象 性质 (1)定义域：() +∞ ,0 (2)值域：R (3)过点()0,1，即x=1时，y＝0 (4)当x>1时，0 ) (> x f 当0 ) (< x f (5)当x>1时，0 ) (< x f；当 0 ) (> x f (6)是(0，＋∞)上的增函数函数(7)是(0，＋∞)上的减函数 指数不等式、对数不等式的解法·例题 例5-3-7 解不等式： 解(1)原不等式可化为 x 2-2x-1＜2(指数函数的单调性) x 2-2x-3＜0 (x+1)(x-3)＜0 所以原不等式的解为-1＜x＜3。 (2)原不等式可化为 注函数的单调性是解指数不等式、对数不等式的重要依据。例5-3-8 解不等式log x+1(x2-x-2)＞1。 解[法一] 原不等式同解于 所以原不等式的解为x＞3。 [法二] 原不等式同解于 log x+1(x2-x-2)＞log x+1(x+1) 所以原不等式的解为x＞3。 注解这类对数不等式，要注意真数为正数，并须对底数的分类讨论。 解原不等式可化为 22x-6×2x-16＜0 令2x=t(t＞0)，则得 t2-6t-16＜0 (t+2)(t-8)＜0 -2＜t＜8 又t＞0，故0＜t＜8即0＜2x＜8，解得x＜3。 注解这类指数不等式，常常需要通过变量代换把它变为整式不等式来解。 解原不等式可化为 解得t＜-2或0＜t＜1，即 注解不同底的对数不等式，应先化为同底对数的不等式，再利用对数函数的单调性将它转化为整式不等式求解。这时也常常用到换元法。 例5-3-11设a＞0且a≠1，解不等式 解原不等式可化为 令log a x=t，则得 当0＜a＜1时，由指数函数的单调性，有 4-t 2＜1-2t t2-2t-3＞0 (t+1)(t-3)＞0 t＜-1，或t＞3 当a＞1时，则有 4-t 2＞1-2t t2-2t-3＜0 (t+1)(t-3)＜0 -1＜t＜3 注解既含指数又含对数的不等式的基本思想是“化同底，求单一”，即把不同底的指数或对数化为同底的，再通过函数的单调性将复合情形转化为只含指数或对数的单一情形求解。 例5-3-12设f(x)是定义在实数集R内的函数，对任意x，y∈R，有f(x+y)=f(x)·f(y)；并且当x＞0时，f(x)＞1，f(1)=a。解关于x的不等式f(x2+x-4)＞a2。 【课堂例题】 例1.试解下列不等式： (1)123 9x x ->; (2) 1()32x ≤; (3)2lg lg(6)x x >+； (4)0.5log 1x >-. 课堂自测 1.解下列不等式： (1)23712 ()2x x +-> (2)11332 log ()log x x x -> (3)11() 93x -< (4)2lg(6)1x -≤ 2.解下列不等式： (1)469x x x +>; (2)2log log 430x x +-≤; 3.解不等式：2 (2)log (34)0x x x ---< (选用)例2.解关于x 的不等式：2log (2)log 20,(0,1)a a a x a x a a -++>>≠. 【知识再现】 下列常见指数不等式与对数不等式的等价变形为： ()()(0,1)f x g x a a a a ?>≠>??? (0,1)log ()log ()a a a a f x g x ?>≠>??? 【基础训练】 (解不等式的结果一律集合(区间)表示) 1.解下列不等式： (1)352114()2x x +->; (2)451381x -≥. 2.解下列不等式： (1)222log log x x ≥; (2)0.5log 2x ≤-. 3.(1)不等式11()161282 x <≤的整数解的个数为( )； A.10 B.11 C.12 D.13 (2)不等式3log |2|2x -<的整数解的个数为( )； A.15 B.16 C.17 D.18 (3)若2log 13 a <，则a 的取值范围是( ). A.2(0,)3 B.2(,)3+∞ C.2(,1)3 D.2(0,)(1,)3+∞ 4.解不等式：2log (6)2x x x -->. 5.解不等式：2882lg33 10x x +->. 指数不等式、对数不等式考试试题及答案 例5-3-7 解不等式： 解(1)原不等式可化为 x2-2x-1＜2(指数函数的单调性) x2-2x-3＜0 (x+1)(x-3)＜0 所以原不等式的解为-1＜x＜3。 (2)原不等式可化为 注函数的单调性是解指数不等式、对数不等式的重要依据。例5-3-8 解不等式log x+1(x2-x-2)＞1。 解[法一] 原不等式同解于 所以原不等式的解为x＞3。 [法二] 原不等式同解于 log x+1(x2-x-2)＞log x+1(x+1) 所以原不等式的解为x＞3。 注解这类对数不等式，要注意真数为正数，并须对底数的分类讨论。 解原不等式可化为 22x-6×2x-16＜0 令2x=t(t＞0)，则得 t2-6t-16＜0 (t+2)(t-8)＜0 -2＜t＜8 又t＞0，故0＜t＜8即0＜2x＜8，解得x＜3。 注解这类指数不等式，常常需要通过变量代换把它变为整式不等式来解。 解原不等式可化为 解得t＜-2或0＜t＜1，即 注解不同底的对数不等式，应先化为同底对数的不等式，再利用对数函数的单调性将它转化为整式不等式求解。这时也常常用到换元法。 例5-3-11设a＞0且a≠1，解不等式 解原不等式可化为 令log a x=t，则得 当0＜a＜1时，由指数函数的单调性，有 4-t2＜1-2t t2-2t-3＞0 (t+1)(t-3)＞0 t＜-1，或t＞3 当a＞1时，则有 4-t2＞1-2t t2-2t-3＜0 (t+1)(t-3)＜0 -1＜t＜3 注解既含指数又含对数的不等式的基本思想是“化同底，求单一”，即把不同底的指数或对数化为同底的，再通过函数的单调性将复合情形转化为只含指数或对数的单一情形求解。 例5-3-12设f(x)是定义在实数集R内的函数，对任意x，y∈R，有f(x+y)=f(x)·f(y)；并且当x＞0时，f(x)＞1，f(1)=a。解关于x的不等式f(x2+x-4)＞a2。 指数、对数方程与不等式的解法 注：以下式子中，若无特别说明，均假设0a >且1,0a b ≠>. 一、知识要点： 1、指数方程的解法： （1）同底去底法：()()()()f x g x a a f x g x =?=； （2）化成对数式：log ()()()log a b f x f x a a b a a f x b =?=?=； （3）取同底对数：()()()()lg lg ()lg ()lg f x g x f x g x a b a b f x a g x b =?=?=. 2、对数方程的解法： （1）同底去底法：log ()log ()()()a a f x g x f x g x =?=； （2）化成指数式：log ()log ()log ()b b a a a f x b f x a f x a =?=?=； （3）取同底指数：log ()log ()()a f x b b a f x b a a f x a =?=?=. 3、指数不等式的解法： （1）同底去底法： 1a >时， ()()()()f x g x a a f x g x ； （2）化成对数式： 1a >时， log ()()()log a b f x f x a a b a a f x b ； （3）取同底对数：()()()()lg lg ()lg ()lg f x g x f x g x a b a b f x a g x b 时， log ()log ()0()()a a f x g x f x g x >； （2）化成指数式： 1a >时， log ()log ()log 0()b b a a a f x b f x a f x a >. 指数、对数方程与不等式的解法 注:以下式子中，若无特别说明，均假设0a >且1,0a b ≠>. 一、知识要点： １、指数方程的解法： （1）同底去底法:()()()()f x g x a a f x g x =?=; （２)化成对数式:log () ()()log a b f x f x a a b a a f x b =?=?=; （3）取同底对数：()()()()lg lg ()lg ()lg f x g x f x g x a b a b f x a g x b =?=?=. 2、对数方程的解法： (１）同底去底法：log ()log ()()()a a f x g x f x g x =?=; (2)化成指数式:log ()log ()log ()b b a a a f x b f x a f x a =?=?=; （３)取同底指数：log ()log ()()a f x b b a f x b a a f x a =?=?=. 3、指数不等式的解法： (1)同底去底法: 1a >时, ()()()()f x g x a a f x g x ； （2）化成对数式： 1a >时, log ()()()log a b f x f x a a b a a f x b ； （3）取同底对数：()()()()lg lg ()lg ()lg f x g x f x g x a b a b f x a g x b 时， log ()log ()0()()a a f x g x f x g x >； （2）化成指数式: 1a >时， log ()log ()log 0()b b a a a f x b f x a f x a >. 指数不等式：转化为代数不等式 ()()()()() 1.(1)()();(01)()() 2.(0,0)()lg lg f x g x f x g x f x a a a f x g x a a a f x g x a b a b f x a b >>?>><>>??> 对数不等式：转化为代数不等式 ()0log ()log ()(1)()0; ()()()0log ()log ()(01)()0 ()()a a a a f x f x g x a g x f x g x f x f x g x a g x f x g x >?? >>?>??>?>?? ><??x x x 例2.解不等式15 4log 的一个解，解此关于x 的不等式. 例4.解不等式：)10(log 31log ≠<-<-a x x a a 例5．1>a 时解关于x 的不等式0]1)2(2[log 1 2>++-+x x x x a a a 练习 1. 不 等 式 log log 22 1>x 的解集 为……………………………………（ ） （A ）{x|x<2} （B ）{x|0 指数方程与指数不等式、对数方程与对数 不等式的解法 指数、对数方程与不等式的解法 注：以下式子中，若无特别说明，均假设 a 0且a 1,b 0. 一、知识要点： 1、指数方程的解法： (1) 同底去底法：a f(x) a g(x) f (x) g(x)； (2)化成对数式：a f(x) b a f (x) log a b a f(x ：)log a b ； (3)取同底对数：a f(x) b g(x) f(x) lg a lg b g(x) f (x)l g a g(x)lg b 2、对数方程的解法： (1)同底去底法：log a f (x) log a g(x) f (x) g(x )； (2)化成指数式：log a f (x) b lo g a f (x) log b a a f(x) a b ； (3)取同底指数:log a f (x) b a log a f(x) b a f(x) b a . 3、 指数不等式的解法： (1) 同底去底法： a 1 时，a f(x) a g(x) f(x) g(x)； 0 a 1 时，a f(x) a g(x) f (x) g(x)； (2) 化成对数式： a 1 时，a f (x) b a f(x) a logab f (x) log a b ； 0 a 1 时，a f (x) b a f (x) a logab f (x) log a b ； (3) 取同底对数：a f (x) b g(x) Ig a f(x) Ig b g(x) f (x)lg a g(x)lg b . 4、 对数不等式的解法： (1)同底去底法： a 1 时，log a f(x) log a g(x) 0 f(x) g(x)； 指数不等式与对数不等式的解法 主标题：指数不等式与对数不等式的解法 副标题：为学生详细的分析指数不等式与对数不等式的解法的高考考点、命题方向以及规律总结。 关键词：不等式，指数不等式与对数不等式的解法，知识总结 难度：3 重要程度：5 考点剖析：1.利用指数函数的定义域和单调性将指数不等式转化为一元二次不等式； 2.利用对数函数的定义域和单调性将对数不等式转化为一元二次不等式； 3.利用换元法将含指数或对数的不等式进行合理转化. 命题方向： 考查指数不等式或对数不等式，往往考查其定义域与单调性，将其合理转化为一元一次不等式或一元二次不等式进行求解. 规律总结： 1.? ? ?<<<>>?>10),()(1 ),()()()(a x g x f a x g x f a a x g x f , 2.?>)(log )(log x g x f a a ???<<<<>>>1 0),()(01 ,0)()(a x g x f a x g x f 3.对于02>++C Ba Aa x x ，令t a x =，可转化为02>++C Bt At 来解（但要注意 0>=x a t ），再利用t x a log =求解; 4.对于0log )(log 2>++C x B x A a a ,令x t a log =，可转化为02 >++C Bt At ，再利用 t a x =求解 知识点总结： 1.指数函数的图象与性质 a >1 00时，1)(>x f ；当 x <0时，1)(0< 一. 选择题 1. 设0x >且) (0,b a, ,1b a x x ∞+∈<<, 则a 、b 的大小关系是 ( ) A. 1a b << B. 1b a << C. a b 1<< D. b a 1<< 2. 如果1a 0<<, 那么下列不等式中正确的是 ( ) A. 2 131)a 1()a 1(->- B. 23)a 1()a 1(+>- c. 1)a 1()a 1(>-+ 343的结果为() A 、5 B 、5 C 、－5 D 、－5 4、函数y=5x +1的反函数是 A 、y=log 5(x+1) B 、y=log x 5+1 C 、y=log 5(x －1) D 、y=log (x+1)5 5、函数f x x ()=-21，使f x ()≤0成立的x 的值的集合是 A 、{}x x <0 B 、{}x x <1 C 、{}x x =0 D 、{}x x =1 6、设 5.1344.029.01)21(,8,4-===y y y ，则 A 、y 3＞y 1＞y 2 B 、y 2＞y 1＞y 3 C 、y 1＞y 2＞y 3 D 、y 1＞y 3＞y 2 7、25532lg 2lg lg 16981-+等于 A 、lg2 B 、lg3 C 、lg4 D 、lg5 8. 当1a >时, 在同一坐标系中, 函数x a y -=与=y x log a 的图象是图中的 ( ) 二、填空题： 1、已知21366log log x =-，则x 的值是 。 2、计算：21 0319)41()2(4)21(----+-?- ＝ ． 3、函数y=lg(ax+1)的定义域为（－∞，1），则a= 。 4、当x ∈［－2，2)时，y =3－x －1的值域是 _ ． 5. 若函数=y 2x l o g 2+的反函数定义域为),3(∞+ , 则此函数的定义域为 . 三、解答题： 1、（8分）已知函数f (x )=a x ＋b 的图象过点(1，3)，且它的反函数f －1(x )的图象过(2，0) 点，试确定f (x )的解析式． 2、（8分）设A ＝｛x ∈R ｜2≤ x ≤π｝，定义在集合A 上的函数y =log a x (a ＞0，a ≠1)的最大值比最小值大1，求a 的值 3. 已知函数12x )x (f -=的反函数为)x (f 1-, )1x 3(log )x (g 4+=. (1) 若≤-)x (f 1)x (g ，求x 的取值范围D; (2) 设函数)x (f 2 1)x (g )x (H 1-- =，当∈x D 时, 求函数)x (H 的值域. 指数不等式、对数不等式的解法 指数不等式：转化为代数不等式 ()()()()()1.(1)()(); (01)()() 2.(0,0)()lg lg f x g x f x g x f x a a a f x g x a a a f x g x a b a b f x a b >>?>><>>??> 对数不等式：转化为代数不等式 ()0log ()log ()(1)()0; ()()()0log ()log ()(01)()0 ()()a a a a f x f x g x a g x f x g x f x f x g x a g x f x g x >??>>?>??>? >??><??x x x 例2.解不等式15 4log 例4.解不等式：)10(log 31log ≠<-<-a x x a a 例5．1>a 时解关于x 的不等式0]1)2(2[log 12>++-+x x x x a a a 练习 1.不等式0 log log 221>x 的解集 为……………………………………（ ） （A ）{x|x<2} （B ）{x|0 指数函数及对数函数重难点 根式的概念： ①定义：若一个数的n 次方等于),1(* ∈>N n n a 且，则这个数称a 的n 次方根.即，若 a x n =，则x 称a 的n 次方根)1*∈>N n n 且， 1）当n 为奇数时，n a 的次方根记作n a ； 2）当n 为偶数时，负数a 没有n 次方根，而正数a 有两个n 次方根且互为相反数，记作 )0(>±a a n . ②性质：1）a a n n =)(； 2）当n 为奇数时，a a n n =； 3）当n 为偶数时，? ??<-≥==)0() 0(||a a a a a a n 幂的有关概念： ①规定：1）∈???=n a a a a n (ΛN * ， 2）)0(10 ≠=a a ， n 个 3）∈=-p a a p p (1 Q ，4）m a a a n m n m ,0(>=、∈n N * 且)1>n ②性质：1）r a a a a s r s r ,0(>=?+、∈s Q ）， 2）r a a a s r s r ,0()(>=?、∈s Q ）， 3）∈>>?=?r b a b a b a r r r ,0,0()( Q ） （注）上述性质对r 、∈s R 均适用. 例 求值 （1）3 2 8 （2）2 125 - （3）()5 21- （4）() 43 8116- 例.用分数指数幂表示下列分式(其中各式字母均为正数) (1)43a a ? （２）a a a （３）32 )(b a - （４）43)(b a + （５）322b a ab + （6）4233)(b a + 例.化简求值 （1）0 121 32 322510002.08 27）（）（）（）（-+--+---- （2）2 11 5 3125.05 25 .231 1.0)32(256) 027.0(?? ????+-+-????? ?-- （3）=?÷ ?--3133 73 32 9a a a a （4）21 1511336622263a b a b a b ??????-÷- ??? ??????? = （5 ） 指数函数的定义： ①定义：函数)1,0(≠>=a a a y x 且称指数函数， 1）函数的定义域为R ， 2）函数的值域为),0(+∞， 3）当10<a 时函数为增函数. 提问：在下列的关系式中，哪些不是指数函数，为什么 （1）2 2 x y += （2）(2)x y =- （3）2x y =- （4）x y π= （5）2y x = （6）24y x = （7）x y x = （8）(1)x y a =- （a ＞1，且2a ≠） 例：比较下列各题中的个值的大小 （1） 与 ( 2 )0.1 0.8 -与0.2 0.8 - ( 3 ) 与 例：已知指数函数()x f x a =（a ＞0且a ≠1）的图象过点（3，π），求 二．指数、对数不等式的解法 （一）．常见题型及等价转化： (1) (a>0,a ≠1)。当0 例2.解不等式15 4log 1、解不等式()223 3(1) 12()2:3,2x x x answer ---<- 上课了!!! 2、解不等式 ()123318329 3131829329180 2:,log 2,3x x x t t t t t answer +-+?>=+?>-+>??-∞?+∞ ?? ? 换元 3、 解不等式 3log (1)2(4,5]x x --≥ 讨论 4、 解关于x 的不等式 )1,0(,2log )12(log )34(log 2≠>>---+a a x x x a a a 5、 解不等式24log a x x x x a > 一、 总结与提高： ).x (g )x (f 1a );x (g )x (f 1a 0a a )x (g )x (f >><<时当时当 b log )x (f 1a ;b log )x (f 1a 0)0b (b a a a )x (f >><<>时当时当 0 )x (g )x (f 1a );x (g )x (f 01a 0)x (g log )x (f log a a >>><<<时当时当 b log )x (f 1a ;b log )x (f ,1a 0b )x (f log a a a >><<时当时当 二、 作业： 解下列不等式 1．)10(,422≠>>+-a a a a x x x 且 (当a >1时),4()1,(+∞?--∞∈x 当0--x x x (-2 2019-2020学年高三数学总复习 指数不等式与对数不等式教案 教材：指数不等式与对数不等式 目的：通过复习，要求学生能比较熟练地掌握指数不等式与对数不等式的解法。 过程： 一、 提出课题：指数不等式与对数不等式 强调：利用指数不等式与对数不等式的单调性解题 因此必须注意它们的“底”及它们的定义域 二、 例一 解不等式)1(332)2 1(22--- .选择题 1. 设x . 0且() A. b ::: a ::: 1 1 ：：：a ::: b ::b x::1, a,b (0,：：)， B. a ■■■■ b ::: 1 C. b 的大小关系 1 ：：： b ：：： a D. 2. ( 女口果0 ::: a ::: 1 ) 那么下列正确的 3、 1 1 A. (1—a)3(1—a)2 B. (1 -a)3■ (1 a)2 c. (1 -a)(1 a)化简 - 3 :3( _ 5): &的结果为() C 、 4、函数y=5x+1的反函数是 A、y=log 5(x+1) B、y=log x5+1 C、y=log 5(x — 1) y=log(x+1)5 5、函数f(x)二-1, f (x)乞0成立的x的值的集合是 ；xx : 0? B、 'XX ： ： 1 c 、 0 9 6、设y〔二4 , y2二 8 0.44 7 、 ig 8. A、y3>%>y2 B、y2> y1> y3c 、 y1> y2> y3y1> y3> y2 A、lg2 B、lg3 c 、 lg4 lg5 a 1时，在同一坐标系中，函数y a」与y = log a x 的图象是图中 、填空题: 1、已知2log6 x =1 — log 6 3，贝y x 的值是_______________ 。 . . J 2、计算：(丄)二_4 (_2)：(丄)。_9 2 = _____________________________ . 2 4 3、函数y=lg(ax+1)的定义域为(一00, 1),则a= ______________ 。 4、当x€ [—2, 2)时，y=3一x- 1 的值域是____ ___________________ . 5?若函数y = logx?2的反函数定义域为(3, ?：：)，则此函数的定义域为_______________ . 三、解答题： x —1 1、 (8分)已知函数f(x)=a + b的图象过点(1, 3)，且它的反函数f (x)的图象过(2, 0) 点，试确定f(x)的解析式. 2、(8分)设A={ x€ R | 2 W x W兀},定义在集合A上的函数y=log a x (a>0, 1 的最大值比最小值大1,求a的值 3.已知函数f(x)=2x-1 的反函数为f'(x), g(x) = log4(3x ? 1). (1)若f」(x) —g(x)，求x的取值范围D; 1 』 ⑵设函数H(x) =g(x) f (x)，当x ? D时，求函数H(x)的值域.高二数学辅导精讲：指数不等式、对数不等式的解法·例题
4.8.2 指数不等式与对数不等式(含答案)
指数不等式、对数不等式考试试题及答案
指数方程与指数不等式、对数方程与对数不等式的解法
指数方程与指数不等式、对数方程与对数不等式的解法
指数与对数不等式的解法
指数方程与指数不等式、对数方程与对数不等式的解法学习资料
指数不等式与对数不等式 2019高考绝密资料
指数函数与对数函数及其不等式
指数与对数不等式的解法
指数对数概念和运算公式
指数对数不等式
指数和对数不等式练习
2019-2020学年高三数学总复习 指数不等式与对数不等式教案.doc
指数函数与对数函数及其不等式
相关文档
- 指数函数与对数函数及其不等式
- 指数和对数不等式练习
- 指数函数与对数函数及其不等式
- 4.8.2 指数不等式与对数不等式(含答案)
- 五、指数、对数不等式的解法
- 指数方程与指数不等式、对数方程与对数不等式的解法
- 指数和对数不等式的解法
- 指数与对数不等式的解法
- 指数对数不等式
- 高一数学课件 指数、对数不等式的解法
- 指数不等式与对数不等式 2019高考绝密资料
- 指数对数不等式
- 2019-2020学年高三数学总复习 指数不等式与对数不等式教案.doc
- 高二数学辅导精讲：指数不等式、对数不等式的解法·例题
- 指数对数不等式
- 指数不等式、对数不等式的解法
- 指数对数概念和运算公式
- 指数式和对数式不等式的解法
- 指数函数与对数函数及其不等式
- 指数、对数不等式的解法