2018高考全国2卷理科数学带答案
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2018年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
本试卷共23题，共150分，共4页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考
证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．12i
12i
+=-
A ．43
i 55
-- B ．43
i 55
-+ C ．34
i 55
-- D ．34
i 55
-+
2．已知集合22{(,)|3,,A x y x y x y =+≤∈∈Z Z}，则A 中元素的个数为 A ．9
B ．8
C ．5
D ．4
3．函数2
e e ()x x
f x x --=的图象大致为
4．已知向量a ，b 满足||1=a ，1?=-a b ，则(2)?-=a a b A ．4
B ．3
C ．2
D ．0
5．双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>3
A ．2y x =±
B ．3y x =±
C ．2
y x = D ．3y = 6．在ABC △中，5
cos 2C =
1BC =，5AC =，则AB = A ．42B 30C 29D ．25
7．为计算11111
123499100S =-+-++-，设计了右侧的
程序框图，则在空白框中应填入
A ．1i i =+
B ．2i i =+
C ．3i i =+
D ．4i i =+
8．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723=+．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是
A ．
112 B ．114 C ．115 D ．1
18
9．在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==，13AA =1AD 与1DB 所成角
的余弦值为
A ．1
5
B 5
C 5
D 2 10．若()cos sin f x x x =-在[,]a a -是减函数，则a 的最大值是
A ．
π4 B ．π2 C ．3π4
D ．π 11．已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，满足(1)(1)f x f x -=+．若(1)2f =，
开始0,0
N T ==S N T
=-S 输出1
i =100i <1N N i =+11T T i =++结束是否
则(1)(2)(3)(50)f f f
f ++++= A ．50- B ．0 C ．2 D ．50
12．已知1F ，2F 是椭圆22
221(0)x y C a b a b
+=>>：的左，右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在
过A 且斜率为3
的直线上，12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=?，则C 的离心率为
A ．23
B ．12
C ．13
D ．
14
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．曲线2ln(1)y x =+在点(0,0)处的切线方程为__________．
14．若,x y 满足约束条件250,230,50,x y x y x +-??
-+??-?
≥≥≤则z x y =+的最大值为__________．
15．已知sin cos 1αβ+=，cos sin 0αβ+=，则sin()αβ+=__________． 16．已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 所成角的余弦值为
7
8
，SA 与圆锥底面所成角为45°，若SAB △的面积为515，则该圆锥的侧面积为__________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考
题，每个试题考生都必须作答。第22、23为选考题。考生根据要求作答。 （一）必考题：共60分。 17．（12分）
记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知17a =-，315S =-． （1）求{}n a 的通项公式； （2）求n S ，并求n S 的最小值． 18．（12分）
下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y （单位：亿元）的折线图．
为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y 与时间变量t 的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据（时间变量t 的值依次为1,2,
,17）建立模型①：
?30.413.5y
t =-+；根据2010年至2016年的数据（时间变量t 的值依次为1,2,,7）建立模
型②：?9917.5y
t =+． （1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值； （2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由． 19．（12分）
设抛物线24C y x =：的焦点为F ，过F 且斜率为(0)k k >的直线l 与C 交于A ，B 两点，||8AB =．
（1）求l 的方程；
（2）求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程． 20．（12分）
如图，在三棱锥P ABC -
中，AB BC == 4PA PB PC AC ====，O 为AC 的中点．
（1）证明：PO ⊥平面ABC ；
（2）若点M 在棱BC 上，且二面角M PA C --为30?，求PC 与平面PAM 所成角的正弦值． 21．（12分）
已知函数2
()e x
f x ax =-．
（1）若1a =，证明：当0x ≥时，()1f x ≥； （2）若()f x 在(0,)+∞只有一个零点，求a ．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的
第一题计分。
22．[选修4－4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos ,
4sin ,x θy θ=??=?（θ为参数），直线l 的参数方
程为1cos ,
2sin ,x t αy t α=+??=+?
（t 为参数）．
（1）求C 和l 的直角坐标方程；
（2）若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1,2)，求l 的斜率． 23．[选修4－5：不等式选讲]（10分）
设函数()5|||2|f x x a x =-+--．
（1）当1a =时，求不等式()0f x ≥的解集； （2）若()1f x ≤，求a 的取值范围． 绝密★启用前
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理科数学试题参考答案
一、选择题 1．D 2．A 3．B 4．B 5．A 6．A 7．B
8．C
9．C
10．A
11．C
12．D
二、填空题
13．2y x = 14．9
15．12
-
16．
三、解答题 17．解：
（1）设{}n a 的公差为d ，由题意得13315a d +=-． 由17a =-得d =2．
所以{}n a 的通项公式为29n a n =-．
（2）由（1）得22
8(4)16n S n n n =-=--．
所以当n =4时，n S 取得最小值，最小值为?16． 18．解：
（1）利用模型①，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为
?30.413.519226.1y
=-+?=(亿元)． 利用模型②，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为
?9917.59256.5y
=+?=(亿元)．
（2）利用模型②得到的预测值更可靠． 理由如下：
（ⅰ）从折线图可以看出，2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线
30.413.5y t =-+上下．这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好
地描述环境基础设施投资额的变化趋势．2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用2010年至2016年的数据建立的线性模
型?9917.5y
t =+可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型②得到的预测值更可靠．
（ⅱ）从计算结果看，相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元，由模型①得到的预测值226．1亿元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理．说明利用模型②得到的预测值更可靠．
以上给出了2种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分． 19．解：
（1）由题意得(1,0)F ，l 的方程为(1)(0)y k x k =->． 设1221(,),(,)A y x y x B ，
由2(1),4y k x y x
=-??=?得2222
(24)0k x k x k -++=． 2
16160k ?=+>，故1222
24
k x k x ++=．
所以1222
44
||||||(1)(1)x k AB AF BF k x +=+=+++=． 由题设知22
44
8k k +=，解得1k =-（舍去），1k =． 因此l 的方程为1y x =-．
（2）由（1）得AB 的中点坐标为(3,2)，所以AB 的垂直平分线方程为2(3)y x -=--，即5y x =-+．
设所求圆的圆心坐标为00(,)x y ，则
0022
0005,
(1)(1)16.2
y x y x x =-+???-++=
+??解得003,2x y =??=?或0011,6.x y =??=-? 因此所求圆的方程为2
2
(3)(2)16x y -+-=或2
2
(11)(6)144x y -++=． 20．解：
（1）因为4AP CP AC ===，O 为AC 的中点，所以OP AC ⊥，且23OP =．
连结OB ．因为2
2
AB BC AC ==，所以ABC △为等腰直角三角形， 且OB AC ⊥，1
22
OB AC =
=． 由222OP OB PB +=知PO OB ⊥． 由,OP OB OP AC ⊥⊥知PO ⊥平面ABC ．
（2）如图，以O 为坐标原点，OB 的方向为x 轴正方向，建立空间直角坐标系O xyz -． 由已知得(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(0,2,0),(0,0,23),(0,2,23),O B A C P AP -=取平面PAC 的法向量(2,0,0)OB =．
设(,2,0)(02)M a a a -<≤，则(,4,0)AM a a =-． 设平面PAM 的法向量为(,,)x y z =n ．
由0,0AP AM ?=?=n n 得2230(4)0y z ax a y ?+=??+-=??，可取
(3(4),3,)a a a =--n ，
所以2
2
2
23(4)cos ,23(4)3a OB a a a
-=
-++n ．由已知得
3
|cos ,|2
OB =
n ． 所以
222
23|4|3=
223(4)3a a a a --++．解得4a =-（舍去），43
a =．