高考数学二轮复习中档题专练七
中档题专练(七)
1.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,已知E,F,G,H分别是A1D1,B1C1,D1D,C1C的中点.
(1)求证:EF∥平面ABHG;
(2)求证:平面ABHG⊥平面CFED.
2.已知函数f(x)=sin x
3cos x
3
+√3cos2x
3
.
(1)将f(x)写成y=Asin(ωx+φ)+B的形式,并求其图象对称中心的横坐标;
(2)如果△ABC的三个内角A,B,C所对应的三边长a,b,c满足b2=ac,且边AC所对的角为x,试求x的范围及此时函数f(x)的值域.
3.(镇江高三期末考试)如图,准备在墙上钉一个支架,支架由两直杆AC与BD焊接而成,焊接点D把杆AC 分成AD,CD两段.其中两固定点A,B间距离为1米,AB与杆AC的夹角为60°,杆AC长为1米.若制作AD 段的成本为a元/米,制作CD段的成本是2a元/米,制作杆BD的成本是4a元/米.设∠ADB=α,制作整个支架的总成本记为S元.
(1)求S关于α的函数表达式,并指出α的取值范围;
(2)问AD段多长时,S最小?
4.设等比数列{a n}的首项为a1=2,公比为q(q为正整数),且满足3a3是8a1与a5的等差中项;数列{b n}满足
b n=0(t∈R,n∈N*).
2n2-(t+b n)n+3
2
(1)求数列{a n}的通项公式;
(2)试确定t的值,使得数列{b n}为等差数列;
(3)当{b n}为等差数列时,对每个正整数k,在a k与a k+1之间插入b k个2,得到一个新数列{c n}.设T n是数列{c n}的前n项和,试求满足T m=2c m+1的所有正整数m.
答案精解精析
1.证明 (1)因为E,F 是A 1D 1,B 1C 1的中点,所以EF∥A 1B 1, 在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,A 1B 1∥AB, 所以EF∥AB.
又EF ?平面ABHG,AB ?平面ABHG, 所以EF∥平面ABHG.
(2)在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,CD^平面BB 1C 1C, 又BH ?平面BB 1C 1C,所以BH⊥CD.①
设BH∩CF=P,易证得△BCH≌△CC 1F,所以∠HBC=∠FCC 1, 因为∠HBC+∠PHC=90°,所以∠FCC 1+∠PHC=90°. 所以∠HPC=90°,即BH⊥CF.② 因为DC∩CF=C,DC,CF ?平面CFED, 所以BH⊥平面CFED. 又BH ?平面ABHG, 所以平面ABHG⊥平面CFED.
2.解析 (1)f(x)=1
2sin
2x 3+√32
(1+cos
2x 3
)
=1
2
sin
2x 3+√32cos 2x 3+√32=sin (2x 3+π3)+√3
2. 由sin (
2x 3
+π3)=0,得
2x 3
+π3=kπ(k∈Z),所以x=
3x -12
π,k∈Z,
所以对称中心的横坐标为
3x -12
π(k∈Z).
(2)由已知b 2
=ac 及余弦定理,得:
cosx=x 2+x 2-x 22xx =x 2+x 2-ac 2xx ≥2xx -xx 2xx =1
2.
∴12≤cosx<1,∴0 +π 3≤ 5π9 . ∴sin π 3 +π 3)≤1, ∴√3 2x 3 +π 3)+√3 2≤1+√3 2,即f(x)的值域为(√3,1+ √32 ]. 综上所述,x∈(0,π 3],f(x)的值域为(√3,1+ √3 2 ]. 3.解析 (1)△ABD 中,由正弦定理得1 sin x =xx sin π3 = xx sin ( 2π 3 -α), 所以BD= √32sin x ,AD=√3cos x 2sin x +1 2 , 则S=a (√3cos x 2sin x +1 2)+ 2a [1-(√3cos x 2sin x +1 2)]+4a·√3 2sin x =a ( 4√3-√3cos x 2sin x +3 2 ), 由题意得α∈(π3 ,2π3 ). (2)由(1)知S'=√3a·1-4cos x sin 2α ,令S'=0,设cosα0=1 4. 列表如下: α ( x 3 ,α0) α0 (α0, 2x 3 ) cosα (14,12) 14 [-12,14) S' - 0 + S ↘ 极小值 ↗ 所以当cosα=1 4时,S 最小, 此时sinα= √154,AD=√3cos x 2sin x +12=5+√5 10 . 4.解析 (1)由题意得,6a 3=8a 1+a 5,则6q 2 =8+q 4 , 解得q 2 =4或q 2 =2(舍),则q=2, 又a 1=2,所以a n =2n . (2)当n=1时,2-(t+b 1)+3 2b 1=0,得b 1=2t-4, 当n=2时,2×22 -(t+b 2)×2+3 2b 2=0,得b 2=16-4t, 当n=3时,2×32 -(t+b 3)×3+3 2b 3=0,得b 3=12-2t, 由b 1+b 3=2b 2,得t=3, 当t=3时,2n 2 -(3+b n )n+3 2b n =0,得b n =2n, 由b n+1-b n =2(常数)知,满足题意的t 的值为3. (3)由(1)(2)知a n=2n,b k=2k. 由题意知,c1=a1=2,c2=c3=2,c4=a2=4,c5=c6=c7=c8=2,c9=a3=8,……,则当m=1时,T1≠2c2,不合题意; 当m=2时,T2=2c3,符合题意; 当m≥3时,若c m+1=2,则T m≠2c m+1一定与题意不符, 从而c m+1必是数列{a n}中的某一项a k+1, 则T m=a1+2+…+2 ? x1个+a2+2+…+2 ? x2个 +a3+2+…+2 ? x3个 +a4+…+a k+2+…+2 ? x x个 , =(2+22+23+…+2k)+2(b1+b2+b3+…+b k) =2·(2k-1)+2·(2+2x)x 2 =2k+1+2k2+2k-2, 而2c m+1=2a k+1=2·2k+1, 所以2k+1+2k2+2k-2=2·2k+1, 即2k-k2-k+1=0,所以2k+1=k2+k. 因为2k+1(k∈N*)为奇数,而k2+k=k(k+1)为偶数,所以上式无解. 即当m≥3时,T m≠2c m+1. 综上,满足题意的m的值为2.