新人教版九年级数学上册圆教案
中考复习之垂径定理
知识考点：
1、垂径定理及其推论是指：一条直线①过圆心；②垂直于一条弦；③平分这条弦；④平分弦所对的劣弧；⑤平分弦所对的优弧。这五个条件只须知道两个，即可得出另三个（平分弦时，直径除外），要求理解掌握。
2、掌握垂径定理在圆的有关计算和证明中的广泛应用。 精典例题：
【例1】如图，⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于E ，若AE ＝2cm ，BE ＝6cm ，∠CEA ＝300，求：
（1）CD 的长；
（2）C 点到AB 的距离与D 点到AB 的距离之比。
分析：有关弦、半径、弦心距的问题常常利用它们构造的直角三角形来研究，所以连半径、作弦心距是圆中的一种常见辅助线添法。
解：（1）过点O 作OF ⊥CD 于F ，连结DO ∵AE ＝2cm ，BE ＝6cm ，∴AB ＝8cm
∴⊙O 的半径为4 cm
∵∠CEA ＝300，∴OF ＝1 cm ∴1522=-=OF OD DF cm 由垂径定理得：CD ＝2DF ＝152cm
（2）过C 作CG ⊥AB 于G ，过D 作DH ⊥AB 于H ，易求EF ＝3cm ∴DE ＝)315(+cm ，CE ＝)315(-cm
∴
25
33
15315-=
+-==DE CE DH CG 【例2】如图，半径为2的圆内有两条互相垂直的弦AB 和CD ，它们的交点E 到圆心O 的距离等于1，则2
2
CD AB +＝（ ）
A 、28
B 、26
C 、18
D 、35
分析：如图，连结OA 、OC ，过O 分别作AB 、CD 的垂线，垂足分别为M 、N ，则AM ＝MB ，CN ＝ND 。
∵OM ⊥MN ，ME ⊥EN ，CN ＝ND
∴2
22OE ON OM =+
从而2
2
2
2
2
OE CN OC AM OA =-+-
即22
222
1)2
(2)2(2=-+-CD AB ?例1图
H
E F G
O D C
B A ?
例2图
M
N E O D
C
B
A
?
例2图
M
N E O D
C
B
A
∴282
2=+CD AB 故选A 。
【例3】如图，等腰△ABC 内接于半径为5cm 的⊙O ，AB ＝AC ，tanB ＝3
1
。求： （1）BC 的长；
（2）AB 边上高的长。
分析：（1）已知AB ＝AC ，可得?
?
=AC AB ，则A 为?
BC 的中点。已知弧的中点往往连结这点和圆心，从而可应用垂径定理；（2）求一边上的高（或垂线段）可考虑用面积法来求解。
解：（1）连结AO 交BC 于D ，连结BO
由AB ＝AC 得??
=AC AB ，又O 为圆心 由垂径定理可得AO 垂直平分BC ∵tanB ＝
3
1
，设AD ＝x cm ，则BD ＝x 3cm ∴OD ＝)5(x -cm
在Rt △BOD 中，2
2
2
)5()3(5x x -=+，解得11=x ，02=x （舍去） ∴BD ＝3 cm ，BC ＝6 cm 。
（2）设AB 边上的高为h ，由（1）得：AD ＝1 cm ，AB ＝10cm
∵h AB AD BC S ABC ?=?=?2
1
21 ∴5
10
3=?=
AB AD BC h 探索与创新：
【问题一】不过圆心的直线l 交⊙O 于C 、D 两点，AB 是⊙O 的直径，AE ⊥l 于E ，BF ⊥l 于F 。
（1）如图，在下面三个圆中分别补画出满足上述条件的具有不同位置关系的图形； （2）请你观察（1）中所画的图形，写出一个各图都具有的两条线段相等的结论（不再标注其它字母，找结论的过程中所连辅助线不能出现在结论中，不写推理过程）；
（3）请你选择（1）中的一个图形，证明（2）所得出的结论。
?①
?② ?
③
分析：这是一道开放性试题，首先要根据直线l 与AB 的不同位置关系画出不同的图形（如下图），①直线l 与AB 平行；②直线l 与AB 相交；③直线l 与AB 或BA 的延长线相交。其次根据图形写出一个两条线段相等的正确结论，结论也是开放的，这也是近几年中考命题
?
例3图
O
D C
B
A
的热点。
解（1）如下图所示。
l
?
问题一图1 O
H
F
E D C
B
A l
?
问题一图2
O H F E D
C B
A
l
?
问题一图3
O
H F
E D C B
A
（2）EC ＝FD 或ED ＝FC
（3）以①图为例来证明。过O 作OH ⊥l 于H ∵AE ⊥l ，BF ⊥l ，∴AE ∥OH ∥BF
又∵OA ＝OB ，∴EH ＝HF ，再由垂径定理可得CH ＝DH ∴EH －CH ＝FH －DH ，即EC ＝FD
【问题二】如图，⊙O 1与⊙O 2相交于A 、B 两点，过A 任作一直线与⊙O 1交于M ，与⊙O 2交于N ，问什么时候MN 最长？为什么？
解析：任作两条过A 的线段EF 、MN ，比较MN 与EF 的
大小，不好比较，根据垂径定理，分别过O 1、O 2作弦心距，易知CD ＝21EF ，PQ ＝2
1
MN ，比较PQ 与CD 的大小即可（PQ
＝O 1O 2）。发现O 1O 2是直角梯形的斜腰，大于直角腰，如果MN
的一半正好是O 1O 2，则MN 最长。
答案：当MN ∥O 1O 2时，MN 最长。
课 堂 练 习
1．（课本P 78练习第1题）如图14，在⊙O 的半径为50mm ，弦AB=50mm ，则点O 到AB 的距离为 ，∠AOB ＝ 度。 2．作图题：经过已知⊙O 内的已知点A 作弦， 使它以点A 为中点（如图15）。
（图14） （图15） 3、如图，⊙O 的半径为50mm ，弦AB=50mm ，则点O 到AB 的距离为 ， ∠AOB ＝ 度。
（第
1题） （第2题） （第3题） 4
、作图题：经过已知⊙O 内的已知点A 作弦，使它以点A
为中点（如图）。 要求：保留作图痕迹，但不必写作法。
问题二图
5．已知：如图，在⊙O中，AB、AC是两条互相垂直且相等的弦，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D、E。
求证：四边形ADOE是正方形。
6、下列说法中正确的有：（）个
（1）垂直平分弦的直线经过圆心；
（2）平分弦的直径一定垂直与弦；
（3）垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧；
（4）垂直于弦的直径必平分弦；
（5）弦垂直于直径，这条直径就被弦平分。
A、1
B、2
C、3
D、4
7、在半径为12 cm的圆中，垂直平分半径的弦的长为（）cm
A、33
B、27
C、123
D、63
8、已知AB是⊙O的弦，OC⊥AB，C为垂足，若OA=2， OC=1
则AB的长为（）
A、5
B、25
C、3、23