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解三角形正弦定理

解三角形正弦定理-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1

解三角形

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：

___________

一.正弦定理：

1.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，并且都等

于外接圆的直径，即 R C

B b A a 2sin sin sin ===（其中R 是三角形外接圆的

半径）

2.变形：1）sin sin sin sin sin sin a b c a b c

C C ++===

A +

B +A B ． 2）化边为角：

C B A c b a sin :sin :sin ::=；

;sin sin B A b a = ;sin sin C B c b = ;sin sin C

A c a = 3）化边为角：C R c

B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2===

4）化角为边：

;sin sin b a B A = ;sin sin c b C B =;sin sin c

C A = 5）化角为边： R

C R b B R a A 2sin ,2sin ,2sin =

== 二.三角形面积

B ac A bc

C ab S ABC sin 2

sin 21sin 21===?

三.余弦定理

1.余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的2倍，即

A bc c b a cos 2222-+=

B ac c a b cos 2222-+=

C ab b a c cos 2222-+=

2.变形：bc a c b A 2cos 2

22-+=

b c a B 2cos 2

22-+=

c b a C 2cos 2

22-+=

注意整体代入，如：2

1cos 222=?=-+B ac b c a

一、选择题（题型注释）

1．设ABC ?的三内角A 、B 、C 成等差数列，sin A 、sin B 、sin C 成等比数列，则这个三角形的形状是（） A.直角三角形 B.钝角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形

2．已知ABC ?的三个内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且222a c b ab -+=，则角C 等于（） A.3π B.4π或34π C.23π D.6

π 3．在ABC ?中，60,43,42o A a b ===，则B = A.30o B.45o C. 120 D. 135

4．已知△ABC 中，a ＝4，b ＝43，∠A ＝30°，则∠B 等于( ) A ．30° B ．30°或150° C ．60° D ．60°或120° 5．在ABC ?中，已知22tan tan a B b A =，则ABC ?的形状是（） A.等腰三角形 B.直角三角形

C.等腰直角三角形

D.等腰三角形或直角三角形 6．设

的内角

，

的对边分别为，，．若

，

，且，则（）

A ．

B ．

C ．

D ．

7．若()()3a b c b c a bc +++-=，且sin 2sin cos A B C =，那么ABC △是 A ．直角三角形 B ．等边三角形

C ．等腰三角形

D ．等腰直角三角形

8．在ABC ? 中，2a = ,23b =,30A = , 则B =（） A ．60 B ．60或 120 C ．30 D ．30或150

9．在ABC ?中，60B ?=，2b ac =，则此三角形一定是（） A ．直角三角形 B ．钝角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等边三角形

10．在△ABC 中，内角C B A ,,所对的边分别是c b a ,,，已知a=7，5=c ，则

sin sin 的值是 A ．75 B ．75 C ．127± D ．12

11．在△ABC 中，2a =，30A =?， 135C =?，则边c =

A ．1

B ．2

C ．

D ．12．在△ABC 中，222a b c bc =++ ，则A 等于（） A ．60° B ．120° C ．30° D ． 150°

13．△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c.若则c 等于( )

(D)1

14．在△ABC 中,a=3,b=5,sinA=1

3,则sinB 等于( )

(A) 15 (B) 5

15．在ABC ?中，45a b B ===?，则A 等于

A ．30°

B ．60°

C ．60°或120°

D ．30°或150

16．在锐角△ABC 中，BC ＝1，B ＝2A ，则AC 的取值范围是( )．

A ．[－2,2]

B ．[0,2]

C ．(0,2]

D ．

17．若△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且

a c

b =-+，则∠C=( )

A ．π6

B ．

5π6

C ．π4

D ．

3π4

18．在△ABC 中，若

b B a A sin cos cos =

=，则△ABC 是（） A ．有一内角为30°的直角三角形 B ．等腰直角三角形 C ．有一内角为30°的等腰三角形 D ．等边三角形

19．在ABC ?中，若B a c cos 2=，则ABC ?的形状为（）

A ．直角三角形

B ．等腰三角形

C ．等边三角形

D ．锐角三角形 20．在△ABC 中，如果sin :sin :sin 2:3:4A B C =，那么cosC 等于（） A.

23 B.2-3 C.1-3 D.1-4

二、填空题（题型注释）

21．已知方程2(cos )cos 0x b A x a B -+=的两根之积等于两根之和，且,a b 为

ABC ?的两边，,A B 为两内角，则ABC ?的形状为______

22．已知ABC ?中，内角A 、B 、C 的对边分别是a b c 、、，1a =，

3c =，30A ∠=，则b 等于__________.

23．在△ABC 中，若3

2,3,1π

∠==C c b ，则=a . 24．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北

侧一山顶D 在西偏北的方向上，行驶600m 后到达处，测得此山顶在

西偏北

的方向上，仰角为

，则此山的高度

________m ．

25．已知△ABC 中，2a =，2=b ，1c =，则cos B = . 26．已知ABC ?的内角A 、B 、C 所对的边分别是a ，b ，c ．若

2220a ab b c ++-=，则角C 的大小是 .

27．若海上有A 、B 、C 三个小岛，测得A ，B 两岛相距10海里，∠BAC ＝60°，∠ABC ＝75°，则B 、C 间的距离是________海里．

28．在锐角△ABC 中，角A 、B 所对的边长分别为a 、b ，若2asinB ＝

3b ，则角A 等于________．

29．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，若

22,3cos a c b b c A -==且，则b= .

30．在ABC ?中，若1

5,,sin ,43

b B A π

= 则 a = 31．在ABC ?中， 60=，3=AC ，则BC 2+的大值为 . 32．在钝角ABC ?中角A ，B ，C 的对边分别是c b a ,,，若2=a ，

3=b ，则最大边c 的取值范围是_________.

33．ABC ?的内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，若C B A sin ,sin ,sin 成等比数列，且a c 2=，则_____________________cos =B

34．在△ABC 中，3b =，5c =，1

cos 2

A =，则= .

35．若ABC ?的面积为3

22c b a S -+=，则角C =__________.

三、解答题（题型注释）

36．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，A=，cosB=．

（Ⅰ）求cosC 的值；（Ⅱ）若c=

，求△ABC 的面积．

37．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，C ．已知3cos （B －C ）－1＝6cosBcosC ．（1）求cosA ；

（2）若a ＝3，△ABC 的面积为22b 和c ．

38．已知,,a b c 分别为ABC ?三个内角,,A B C 的对边，

cos 3sin 0a C a C b c --=

(Ⅰ)求A ；

(Ⅱ)若2a =，ABC ?的面积为3；求,b c 。

39．在△ABC 中，角A B C ，，的对边分别为,,a b c ，且cos cos 2B b

C a c

+. （Ⅰ）求角B 的大小；

（Ⅱ）若4b a c =+=，求△ABC 的面积.

参考答案

1．C 【解析】

试题分析：C A B +=2,060=B ,根据正弦定理，ac b C A B ===22sin sin sin ，所以再根据余弦定理

()0

0260cos 22

22220222=-?=-+?-+=?-+=c a ac c a ac c a ac ac c a b ，即c a =，又060=B ，所以这个三角形是等边三角形，故选C. 考点：正余弦定理 2．A 【解析】

试题分析：2

22cos 222==-+=

ab ab ab c b a C ，则角C 等于060，故选A. 考点：余弦定理

3．B 【解析】

试题分析：由

sin sin a b

A B =

4sin 4560sin 2B B B

=∴== 考点：正弦定理解三角形

4．D 【解析】

试题分析：根据正弦定理

sin sin a b

A B =有44sin 30

=，解得sin B =，所以60B =或120，因为b a >，所以B A >，因此都符合题意，故选D.

考点：正弦定理.

5．D 【解析】

试题分析：由22tan tan a B b A =变形为

22sin sin sin sin sin sin cos cos cos cos B A A B

B B A B A

=∴=

sin2sin2A B ∴= 22A B ∴=或22180A B A B ∴+=∴=或90A B +=，三角形为等腰三角形或直角三角

形

考点：正弦定理，三角函数公式 6．B 【解析】

试题分析：由222cos

2b c a A bc +-=22b ==

7．B

【解析】∵()()3a b c b c a bc +++-=，即[()][()]3b c a b c a bc +++-=，∴

22()3b c a bc +-=，222a c bc b =+-,根据余弦定理有A bc c b a cos 2222-+=，∴222222cos b bc c a b c bc A -+==+-，即A bc bc cos 2=，即

cos =

A ，∵

0180A <<，∴ 60=A ，又由C B A cos sin 2sin =，得sin 2cos sin A

B =，即

222

22a a b c b ab +-=?，化简可得2222a a b c =+-，即b c =，∴ABC △是等边三角

形，故选B ． 8．B 【解析】

试题分析：由正弦定理

sin sin a b

A B =

得22sin 30sin B

=sin 602B B ∴==或120

考点：正弦定理解三角形

9．D 【解析】

试题分析：由余弦定理得：b 2=a 2+c 2-2accosB=a 2+c 2-ac ，又b 2=ac ，

∴a 2+c 2-ac=ac ， ∴（a-c ）2=0， ∴a=c ，

∴A=B=C=60°，

∴△ABC 的形状是等边三角形考点：余弦定理 10．A 【解析】

试题分析：由正弦定理sin sin a c A C =可得sin 7

sin 5

A a C c ==

考点：正弦定理 11．C 【解析】

试题分析：由正弦定理，

22135

sin 30sin 2sin sin =?=?=c c

C c A a

12．B 【解析】

试题分析：根据A bc c b a cos 2222-+=,有2

cos -=A ,所以?=120A .

考点：余弦定理. 13．B

【解析】由正弦定理,得sin a A =sin b

∵

, ∴

1sin A

=sin 2A

=2sin cos A A

, ∵sinA ≠0, ∴

A=π6,B=π3,C=π2

. ∴

故选B. 14．B

【解析】由正弦定理得sin a A =sin b B ,sinB=1

533

=59.故选B. 15．C 【解析】

试题分析：由正弦定理得：sin sin A B =

，∴sin 2

A =，∴A =60°或120°. 考点：正弦定理. 16．D

【解析】由题意得032

022A A πππ?

??，

6π＜A ＜4

，由正弦定理sin sin AC BC

B A =

得AC ＝2cos A . ∵A ∈(,)64

ππ

，∴AC ∈

．

17．C 【解析】

试题分析：因为222a c b =-+，所以222a b c +-=，所以

222cos 2a b c C ab +-∠===0C π<∠<，所以4

C π

∠=。

考点：余弦定理。

18．B 【解析】

试题分析：cos cos sin sin sin sin ,A B C A B C

a b c a b c

====

sin cos sin cos ,sin cos ,sin cos 0,0.

A A

B B A A B B

A B A B a a b b π

ππ∴==∴==<<<<∴==

∴△ABC 为等腰直角三角形考点：正弦定理 19．B 【解析】

试题分析：222

222cos 202a c b c a B c a

a b a b ac

+-=∴=∴-=∴=，所以三角形为等腰三角形

考点：余弦定理解三角形 20．D 【解析】

试题分析：根据正弦定理sin :sin :sin ::A B C a b c =，所以不妨设

()2,3,40a k b k c k k ===>，则根据余弦定理：

考点：1、正弦定理；2、余弦定理.

21．等腰三角形【解析】

试题分析：由题意可得

()cos cos sin cos cos sin 0sin 0a B b A A B A B A B A B =∴-=∴-=∴=，三角形为等腰三角形

考点：三角函数基本公式 22．1或2 【解析】

试题分析：由余弦定理222cos

2b c a A bc +-=得2122b ==或

考点：余弦定理解三角形

23．1

【解析】

试题分析：由余弦定理

222

cos

a b c

得

-=∴=

考点：余弦定理解三角形

．

【解析】

试题分析：设此山高h（m），则

h，

在△ABC中，∠BAC=30°，∠CBA=105°，∠BCA=45°，AB=600．

根据正弦定理得

600 sin30sin45

，

解得h= m）

考点：解三角形的实际应用

25．

【解析】

试题分析：由题意，由余弦定理知

222222

213

cos

22124

a c b

+-+-

===

考点：1.余弦定理.

26．

【解析】

试题分析：因为2220

a a

b b c

++-=，所以222

a b c ab

+-=-，由余弦定理可得

2221

cos

222

a b c ab

ab ab

+--

===-，又因为(0,)

Cπ

∈，所以

考点：余弦定理

27．

【解析】由正弦定理，知

601806075

BC AB

sin sin

????

＝

（－－

）

，解得BC＝(海里)．

28．

【解析】

试题分析：因为2asinB

，所以22sin sin

asinB A B B

sin 60A A ?=

?=?或120?，又由于△ABC 为锐角三角形所以=60A . 考点：正弦定理的应用. 29．3 【解析】

试题分析：由余弦定理222cos 2b c a A bc +-=，所以，222

32b c a b c bc +-=?，又

22,a c b -=

所以，(3)0,3b b b -==，故答案为3. 考点：余弦定理的应用

30【解析】

试题分析：根据正弦定理

3252

5sin sin sin sin =?

==?=B

b a B b A a ,考点：正弦定理 31．72

【解析】

试题分析：因为B=60°，A+B+C=180°，所以A+C=120°，

由正弦定理，有

2sin sin sin sin 60

AB BC AC C A B ====，所以AB=2sinC ，BC=2sinA ．

所以AB+2BC=2sinC+4sinA=2sin （120°-A ）+4sinA =2（sin120°cosA-cos120°sinA ）+4sinA

= （A+φ），（其中sin

??=

）所以AB+2BC 的最大值为

考点：正弦定理解三角形及三角函数性质 32．)5,13(

【解析】

试题分析：因为角C 是最大边，并且是角C 是钝角，所以

???<+>+????<+>+2

2229432c

c b a c b a ，解得513<

513，考点：余弦定理

33．34

【解析】

试题分析：若C B A sin ,sin ,sin 成等比数列，所以22sin sin sin B A C b ac =∴=

22c a b a b =∴=∴= 222222423

cos 2224

a c

b a a a B a

c a a +-+-∴===

考点：余弦定理及等比数列

34．7 【解析】

试题分析：由题意，由余弦定理

222221

2cos 35235()492

a b c bc A =+-=+-???-=，得7a =.

考点：1.余弦定理的应用.

35．6π

【解析】

试题分析：∵2221sin

2S ab C ==，又222

cos 2a b c C ab +-=，∴

tan 3C =

，∴角C 等于6

. 考点：1.余弦定理；2.三角形的面积公式.

36．（Ⅰ）10-（Ⅱ）3

【解析】

试题分析：（Ⅰ）利用诱导公式()cos cos C A B =-+可将问题转化为A,B 两角的三角函数求解；（Ⅱ）正弦定理sin sin a c A C =

可求得a 边，由1

sin 2

S ac B =可求得面积

试题解析：（Ⅰ）△ABC 中，∵，∴sinB==，又

A=，

∴

． …………………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知．由正弦定理知：，∴，

∴

． …………………12分

考点：正余弦定理解三角形

37．（1）1

3（2）23b c =??=? 或32

b c =??=?

【解析】

试题分析：（1）利用两角和与差的余弦函数公式化简已知等式左边的第一项，移项合并后再利用两角和与差的余弦函数公式得出cos （B+C ）的值，将cosA 用三角形的内角和定理及诱导公式变形后，将cos （B+C ）的值代入即可求出cosA 的值；（2）由cosA 的值及A 为三角形的内角，利用同角三角函数间的基本关系求出sinA 的值，利用三角形的面积公式表示出三角形ABC 的面积，将已知的面积及sinA 的值代入，得出bc=6，记作①，再由a 及cosA 的值，利用余弦定理列出关于b 与c 的关系式，记作②，联立①②即可求出b 与c 的值试题解析：（1）由3cos （B －C ）－1＝6cosBcosC 知3（cosBcosC ＋sinBsinC ）－1＝6cosBcosC ，2分 3（cosBcosC －sinBsinC ）＝－1，

即cos （B ＋C ）＝－1

，又A ＋B ＋C ＝π，4分

∴ cosA ＝－cos （B ＋C ）＝1

． 6分

（2）由0

知sinA ＝223，7分

又S △ABC ＝21

bcsinA ＝2， ∴ bc ＝6． 8分

由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bccosA ，得b 2＋c 2＝13，

∴22613

bc b c =??+=?，10分

∴23b c =??=? 或32

b c =??=? 12分考点：余弦定理；诱导公式的作用；两角和与差的余弦函数；正弦定理 38．（1）60°；（2）2b c == 【解析】

试题分析：（1）由正弦定理得：

cos sin 0sin cos sin sin sin a C C b c A C A C B C --=?=+

sin cos sin sin()sin 1cos 1sin(30)2

303060A C A C a C C A A A A A ????

?+=++?-=?-=?-=?=

（2

）1

sin 42

S bc A bc ==?=

2222cos 4a b c bc A b c =+-?+=

解得：2b c ==

考点：正弦定理、余弦定理的应用，两角和与差的三角函数，三角形的面积。点评：中档题，涉及三角形中的问题，往往需要边角转化，并运用和差倍半的三角函数进行化简。在边角转化的过程中，灵活选用正弦定理或余弦定理，需要认真审题，预测变形结果，以达到事半功倍的目的。

39．（1）23B π

（2

）1sin 2ABC S ac B ?==

【解析】

试题分析：解：（Ⅰ）由正弦定理2sin sin sin a b c

R A B C ===

得2sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===.…2分

将上式代入已知

cos ,cos 2B b

C a c

=-+ 得. cos sin ,cos 2sin sin B B C A C

=+即2sin cos sin cos cos sin 0A B C B C B ++=

就是2sin cos sin()0A B B C ++= ４分 ∵A B C π++=，∴sin()sin ,2sin cos sin 0.B C A A B A +=∴+=

∵1sin 0,cos ,2A B ≠∴=-∵B 是三角形的内角，所以23

B π

=. 6

分

（Ⅱ）将24,3

b a

c B π

=+==

代入余弦定理得 221

()22cos ,13162(1), 3.2

b a

c ac ac B ac ac =+--∴=--∴=

8分

∴1

sin 2ABC S ac B ?==. 10分

考点：解三角形

点评：主要是考查了正弦定理和余弦定理的运用，求解三角形以及面积问题，属于基础题。

解三角形正弦定理

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