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01教案-二次根式的概念及性质

教师姓名学生姓名年（尚孔教研院彭高钢级上课时间

学（尚孔教研院彭高钢（尚孔教研院彭高钢科数学课题名称二次根式的概念及性质

待提升的知

识点/题型

Ⅰ（尚孔教研院彭高钢）知识梳理（尚孔教研院彭高钢）

（尚孔教研院彭高钢知识点一

【知识点1：二次根式的概念】

代数式(0)

a a≥叫做二次根式.仍然读作“根号a”，其中a是被开方数.

例如：222

2,,1,4(40),(2)

a b ac b ac x

+--≥>

等都是二次根式.

注意：在实数范围内，负数没有平方根，所以如：3

-、(0)

b b<这样的式子没有意义.

a有意义的条件时0

a≥.

（尚孔教研院彭高钢知识点二

【知识点2：二次根式的性质】[来源:学。科。网Z。X。X。K]

在平方根的学习中，我们根据开平方与平方互为逆运算的关系，得到了下列等式.现在把这两个等式作为二次根式的性质。

性质1 2(0).

a a a

=≥性质2 2

()(0).

a a a

=≥

问题：当a 为实数时，2a 与a 有什么关系？试填写下列表格：

根据填表的结果，你认为2a 与a 有什么样的关系？

2(0);0(0);(0).a a a a a a a >??

===??-

我们把以前实数运算中已经得出的等式作为二次根式的性质: 性质3

ab a b =? (0,0)a b ≥≥

性质4

a a

b b

(0,0)a b ≥> 问题1：18与32相等吗？答案：相等

一般来说，如果二次根式里的被开方数是几个因式的乘积，其中有的因式是完全平方式，那么这样的因式可用它的非负平方根代替后移到根号外面. 即：一般地，设 0,0a b ≥≥，那么：

22.ab a b b a =?=

【想一想】：如果0,0a b ≥<，那么2.ab b a =是否成立？答案：不成立，2.ab b a =- 问题2：

与64相等吗？为什么？

答案：相等

-3 -1 23

- 0 23

1 3 2a a

Ⅱ（尚孔教研院彭高钢）

知识精析（尚孔教研院彭高钢）

一、二次根式的概念

（一）典例分析、学一学

例1-1下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：

2、3

3、

、(0)x x >、0、42、2-、1x y +、x y + (x ≥0，y ≥0)．

答案：二次根式：2、(0)x x >、0、2-、x y + (x ≥0，y ≥0)．

例1-2设x 实数，当x 满足什么条件时，下列各式有意义？（1）21x -；（2）2x -；（3）1

；（4）21x + 答案: 1

x ≥

；2x ≤；0x >；一切实数例1-3若x ，y 为实数，且y ＝x 41-＋14-x ＋

21．求x y y x ++2－x

y y x +-2的值．分析：要使y 有意义，必须满足什么条件？你能求出x ，y 的值吗？

解：要使y 有意义，必须140410x x -≥??-≥?，即???

???

≥≤.

4141x x ∴ x ＝41．当x ＝41时，y ＝21．

∴ 原式＝112222222

++--+= 例1-4若化简︱1－x ︱－x 2－8x ＋16的结果为2x －5，则x 的取值范围是（）

A . x 为任意实数

B . 1≤x ≤4

C . x ≥1

D . x ≤4

分析：︱1－x ︱－x 2－8x ＋16＝︱1－x ︱－︱x －4︱，若︱1－x ︱－︱x －4︱＝2x －5成立，则必是（x －1）＋（x －4）＝2x －5，所以1－x ≤0且x －4≤0，故1≤x ≤4。答案：B 。

例1-5已知△ABC 的三边a 、b 、c 满足a 2＋b ＋︱c －1－2︱＝10a ＋2b －4－22，则△ABC 为（）

A . 等腰三角形

B . 正三角形

C . 直角三角形

D . 等腰直角三角形

分析：由题意知a ＞0，b －4≥0，c －1≥0，

原式可化为（a 2－10a ＋25）＋[（b －4）－2b －4＋1]＋︱c －1－2︱＝0，即（a －5）2＋（b －4－1）2＋︱c －1－2︱＝0。 ∵（a －5）2≥0，（b －4－1）2≥0，︱c －1－2︱≥0，

∴a －5＝0，b －4－1＝0，c －1－2＝0，解得a ＝5，b ＝5，c ＝5，

答案：1x =，1

y <，原式=1-

Ⅲ（尚孔教研院彭高钢）

课堂测评

（尚孔教研院彭高钢）

1、下列式子一定是二次根式的是（）

A 、2x --

B 、x

C 、22x +

D 、22x - 2、若2(3)3b b -=-，则（）

A 、3b >

B 、3b <

C 、3b ≥

D 、3b ≤ 3、若31m -有意义，则m 能取的最小整数值是（）

A 、0m =

B 、1m =

C 、2m =

D 、3m =

4、当0a ≥时，2a 、2()a -、2

a -，比较它们的结果，下面四个选项中正确的是（）

A 、2

()a a a =-≥- B 、2

()a a a >->-

C 、222()a a a <-<-

D 、222()a a a ->=-

5、当_____x 时，25x +有意义；若

-有意义，则x 的取值范围是____________. 6、当_____x 时，二次根式1x +取最小值，其最小值是_________. 7、当_____x 时，2

(21)12.x x -=- 8、计算：2

2(4)(3)_____.ππ-+-= 9、若2x <，化简2

(2)3_____.x x -+-=

10、设x 是实数，当x 满足什么条件时，下列各式有意义？（1）1

x -；（2）2x -；（3）221x x -+.

11、计算：（1）-102

-+-3(2)2

π+-（）（）

（2）2

(12)(23)(34)...(20042005)-+-+-++-

答案：CDBA ；5,22

x x ≥-≤且0x ≠；1,0=-；12≤；1；52x -；16x ≤，0x <，一切实数；1，20051-

Ⅳ 回顾总结

（尚孔教研院彭高钢）

1、二次根式的概念、性质及其应用

2、二次根式知识点易错点有哪些

3、二次根式概念与性质问答

（1）形如的代数式，叫做二次根式。（(0)a a ≥）

二次根式的概念及性质

第十六章二次根式 16. 1 二次根式第1课时二次根式的概念和性质：?< 1. 二次根式的概念和应用. 2. 二次根式的非负性. 重点二次根式的概念. 难点二次根式的非负性. 一、情景导入师：(多媒体展示)请同学们看屏幕电视节目信号的传播半径 r/km 与电视塔高h/km 之间有近似关系r = yj 2Rh(R 为地球半径).如果两个电视塔的高分别为 h i km , h 2 km ,那么它们的传播半径之比为多少？同学们能化简这个式子吗？由学生计算、讨论后得出结果，并提问. 生：半径之比为亠2Rh ；,暂时我们还不会对它进行化简. 师：那么怎么去化简它呢？这要用到二次根式的运算和化简.如何进行二次根式的运算？如何进行二次根式的化简？这将是本章所学的主要内容. 二、新课教授活动1：知识迁移，归纳概念 (1) 17的算术平方根是 __________ ； (2) 如图，要做一个两条直角边长分别为 7 cm 和4 cm 的三角形，斜边长应为 ____________ c m ； 2 (3) —个长方形的围栏，长是宽的2倍，面积为130 m ,则它的宽为 _________________ m ; (4) 面积为3的正方形的边长为 ____________ ,面积为a 的正方形的边长为 ___________________ ; (5) 一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间 t(单位：s)与开始落下时的高度 h(单位: m)满足关系h = 5『.如果用含有h 的式子表示t ,则t= ______________ . 【答案】(1).17 (2) 65 (3).65 (4) 3 a ⑸- ；'5 活动2:二次根式的非负性 (多媒体展示) _ (1) 式子.a 表示的实际意义是什么？被开方数 a 满足什么条件时，式子."a 才有意义？ (2) 当a >0时，百 ___________ 0；当a = 0时，需 ___________ 0；二次根式是一个 ____________ . 【答案】(1)a 的算术平方根，被开方数a 必须是非负数 (2) > = 非负数老师结合学生的回答，强调二次根式的非负性. 当a >0时，，a 表示a 的算术平方根，因此a > 0; 当a = 0时，，a 表示0的算术平方根，因此,-/a = 0. 也就是说，当a > 0时，? a 》0. ,这是东方明珠电视塔. (多媒体演示)用含根号的式子填空.

二次根式的概念及性质教案新部编本

教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期] 任教学科：_____________ 任教年级：_____________ 任教老师：_____________ xx市实验学校

5.1.1二次根式的概念及性质（第1课时）教学内容：二次根式的概念及其运用教学目标：（a ≥0）的意义解答具体题目．提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题．教学重难点关键： 1．重点：形如a ≥0）的式子叫做二次根式的概念； 2a ≥0）”解决具体问题．教学过程一、复习引入（学生活动）请同学们独立完成下列三个问题：问题1：甲射击6次，各次击中的环数如下：8、7、9、9、7、8，甲这次射击的方差是S 2，那么S=_________．老师点评：由方差的概念得. 二、探索新知，都是一些正数的算术平方根．像这样一些正数的 a ≥0）?的式子叫做二次根式，（学生活动）议一议： 1．-1有算术平方根吗？ 2．0的算术平方根是多少？ 3．当a<0 老师点评:（略）例1．下列式子，哪些是二次根式，1x （x>0）、1x y +x ≥0，y?≥0）．

分析；第二，被开方数是正数或0．（x>0）、x ≥0，y ≥0）；、1x 、1x y +．例2．当x 在实数范围内有意义？分析：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以3x-1 ≥0，才能有意义．解：由3x-1≥0，得：x ≥13 当x ≥13 三、巩固练习 P157 练习1、四、应用拓展例3．当x 11x +在实数范围内有意义？分析+ 11x +中的≥0和11 x +中的x+1≠0．解：依题意，得23010 x x +≥??+≠? 由①得：x ≥-32 由②得：x ≠-1 当x ≥-32且x ≠-1+11 x +在实数范围内有意义．例4(1)已知，求 x y 的值．(答案:2) (2)=0，求a 2004+b 2004的值．(答案:25 ) 五、归纳小结（学生活动，老师点评）本节课要掌握： 1a ≥0）的式子叫做二次根式，

二次根式的概念与性质1

二次根式的概念与性质1 一．选择题（共30小题） 1．下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥，其中一定是二次根式的有（） A．5个B．4个C．3个D．2个 2．下列判断正确的是（） A．带根号的式子一定是二次根式 B．一定是二次根式 C．一定是二次根式 D．二次根式的值必定是无理数 3．下列各式中①；②；③；④；⑤一定是二次根式的有（） A．1个B．2个C．3个D．4个 4．下列各式中，二次根式有（） ①②③④ A．1个B．2个C．3个D．4个 5．下列各式中：①；②；③；④．其中，二次根式的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个 6．在式子，，，，（x≤0）中，一定是二次根式的有（） A．1个B．2个C．3个D．4个 7．x≥3是下列哪个二次根式有意义的条件（） A．B．C．D． 8．若有意义，则x满足条件是（） A．x≥﹣3且x≠1B．x＞﹣3且x≠1C．x≥1D．x≥﹣3 9．式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）

A．x＜2B．x≥2C．x=2D．x＜﹣2 10．如果代数式有意义，那么x的取值范围是（） A．x≠3B．x＜3C．x＞3D．x≥3 11．使二次根式在实数范围内有意义的x的取值范围在数轴上表示为（）A．B． C．D． 12．二次根式中，字母a的取值范围是（） A．a B．a C．a D．a 13．使式子+成立的x的取值范围是（） A．x≥﹣2B．x＞﹣2C．x＞﹣2，且x≠2D．x≥﹣2，且x≠2 14．若式子有意义，则实数m的取值范围是（） A．m＞﹣2B．m＞﹣2且m≠1C．m≥﹣2D．m≥﹣2且m≠1 15．代数式+中x的取值范围在数轴上表示为（） A．B． C．D． 16．下列说法正确的个数有（） ①代数式的意义是a除以b的商与1的和； ②要使y=有意义，则x应该满足0＜x≤3； ③当2x﹣1=0时，整式2xy﹣8x2y+8x3y的值是0； ④地球上的陆地面积约为14900万km2，用科学计数法表示为1.49×108km2． A．1个B．2个C．3个D．4个 17．使代数式有意义的整数x有（）

二次根式的概念与性质

二次根式的概念与性质编稿：庄永春审稿：邵剑英责编：张杨一、目标认知 1.学习目标：理解二次根式的概念，了解被开方数是非负数的理由；理解并掌握下列结论：，，，并利用它们进行计算和化简．2.重点：；，及其运用． 3.难点：利用，，解决具体问题. 二、知识要点梳理知识点一：二次根式的概念一般地，我们把形如(a≥0)?的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．要点诠释：二次根式的两个要素：①根指数为2；②被开方数为非负数. 知识点二：二次根式的性质 1.； 2.； 3.； 4. 积的算术平方根的性质：； 5. 商的算术平方根的性质：. 要点诠释：二次根式(a≥0)的值是非负数，其性质可以正用亦可逆用，正用时去掉根号起到化简的作用；逆用时可以把一个非负数写成完全平方的形式，有利于在实数范围内进行因式分解.

知识点三：代数式形如5，a，a+b，ab，，x3，这些式子，用基本的运算符号(基本运算包括加、减、乘、除、乘方、开方)把数和表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式(algebraic expression). 三、规律方法指导 1.如何判断一个式子是否是二次根式？ (1)必须含有二次根号，即根指数为2； (2)被开方数可以是数也可以是代数式但必须是非负的，否则在实数范围内无意义. 2.如何确定二次根式在实数范围内有意义？要使二次根式在实数范围内有意义必须满足被开方数为非负数.要确定被开方数中所含字母的取值范围，可根据题意列出不等式，通过解不等式确定字母的取值范围.当二次根式作为分母时要注意分母不能为零. 经典例题透析类型一：二次根式的概念 1、下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：、、、(x＞0)、、、、、(x≥0，y≥0)．思路点拨：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“”；第二，被开方数是正数或0．解：二次根式有：、(x＞0)、、、(x≥0，y≥0)；不是二次根式的有：、、、． 2、当x是多少时，在实数范围内有意义？思路点拨：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以3x-1≥0，?才能有意义．解：由3x-1≥0，得：x≥ 当x≥时，在实数范围内有意义．

二次根式定义与性质

二次根式定义及性质教学内容： 1.学习目标：理解二次根式的概念，了解被开方数是非负数的理由；理解并掌握下列结论：，，，并利用它们进行计算和化简． 2.重点：；，及其运用． 3.难点：利用，，解决具体问题. 知识点一：二次根式的概念一般地，我们把形如(a≥0)?的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．知识点二：二次根式的性质 1.； 2.； 3.； 4. 积的算术平方根的性质：； 5. 商的算术平方根的性质：. 知识点三：代数式形如5，a，a+b，ab，，x3，这些式子，用基本的运算符号(基本运算包括加、减、乘、除、乘方、开方)把数和表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式(algebraic expression).

经典例题透析类型一：二次根式的概念例1、下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：、、、(x＞0)、、、、、(x≥0，y≥0)．思路点拨：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“”；第二，被开方数是正数或0．解：二次根式有：、(x＞0)、、、(x≥0，y≥0)；不是二次根式的有：、、、．例2、当x是多少时，在实数范围内有意义？思路点拨：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以3x-1≥0，?才能有意义．解：由3x-1≥0，得：x≥ 当x≥时，在实数范围内有意义．总结升华：要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数．举一反三【变式1】x 是怎样的实数时，下列各式实数范围内有意义？ (1)； (2)；解：(1)由≥0，解得：x取任意实数 ∴当x取任意实数时，二次根式在实数范围内都有意义. (2)由x-1≥0，且x-1≠0，解得：x＞1 ∴当x＞1时，二次根式在实数范围内都有意义.

【K12学习】初中数学《二次根式》教案

初中数学《二次根式》教案一、教材分析 “二次根式”是《课程标准》“数与代数”的重要内容。本章是在第13章的基础上，进一步研究二次根式的概念，性质，和运算。本章内容与已学内容“实数”“整式”“勾股定理”联系紧密，同时也是以后将要学习的“锐角三角函数”“一元二次方程”和“二次函数”等内容的重要基础。节研究了二次根式的概念和性质。它是学习本章的关键，它也是学习二次根式的化简和运算的依据。二、教学目标课标要求：学生要学会学习、自主学习，要为学生终生学习打下坚实的基础，根据教学大纲和新课标的要求，根据教材内容和学生的特点我确定了本节课的教学目标了解二次根式的概念了解二次根式的基本性质，经历观察、比较、总结二次根式的基本性质的过程，发展学生的归纳概括能力。通过对二次根式的概念和性质的探究，提高数学探究能力和归纳表达能力。学生经历观察、比较、总结和应用等数学活动，感受数学活动充满了探索性与创造性，体验发现的乐趣，并提高应用的意识。

教学重点:二次根式的概念和基本性质教学难点:二次根式的基本性质的灵活运用三、教法和学法教学活动的本质是一种合作，一种交流。学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者与合作者，本节课主要采用自主学习，合作探究，引领提升的方式展开教学。依据学生的年龄特点和已有的知识基础，本节课注重加强知识间的纵向联系，，拓展学生探索的空间，体现由具体到抽象的认识过程。为了为后续学习打下坚实的基础，例如在“锐角三角函数”一章中，会遇到很多实际问题，在解决实际问题的过程中，要遇到将二次根式化成最简二次根式等，本课适当加强练习，让学生养成联系和发展的观点学习数学的习惯。四、教学过程活动一：根据学生已有知识探究二次根式的概念探究二次根式概念由四个实际问题入手，设置问题情境，让学生感受到研究二次根式于生活又服务于生活。思考：用带有根号的式子填空，看看写出的结果有什么特点？要做一个两条直角边的长分别为7c和4c的三角尺，斜边的长应为

二次根式的概念及性质练习题

二次根式的概念及性质练习题班级姓名一．判断题（对的打“∨”，错的打“×”）（1x 的取值范围是x<0 （）（2中字母x 的取值范围是x ≤3 4 （）（3）当x=-1 （）（4）当a=-4（）（5）2= —12 （）;（6—1 2 （）（7）2= —1 2 （）;（8）（2 =2×1 2=1 （）二、填空题： 1．b ≥3）s ≥0）a （0≥a ）的代数式，叫做_______． 2．当x______ 时， 3 x 的取值范围是_______ ．

4．（7） 2 =________；（8 +（ 2=________．（10 ． 5．当x=-2 _______． 6．当a取______ 时， 7．当x取______ 8．当m=-2 值为________． 9、若直角三角形的两直角边分别是2cm 和acm，则直角三角形的斜边长是_______ 10、若正方形的面积是（b-3）cm2,则正方形的边长是_________。三、选择题： 1．下列各式中，哪一个是二次根式（） A ． ( ( ()( () ( ()( 2 2 3 1_____,2______,3_____, 4_____,5____,6____. === ===

2 ．使代数式2 x +有意义的x 的取值范围是（） A ．x ≠-2; B ．x ≤12且x ≠-2; C ．x<12 且x ≠-2; D ．x ≥1 2且x ≠-2 3．下列各式中一定成立的是（） A =3+4=7 B C ．（ 2 D =1-13=2 3 四、求下列二次根式中字母的取值范围：五、计算：（1 -（12）2; （2）（ 3） 4时x 的值． ( )( )( )123( 4

16.1 二次根式教案(公开课)

第16章二次根式 16.1二次根式（1）【教学目标】 1．根据算术平方根的意义了解二次根式的概念；知道被开方数必须是非负数的理由； 2．能用二次根式表示实际问题中的数量和数量关系．【教学重点】从算术平方根的意义出发理解二次根式的概念．【教学过程】一.创设情境提出问题 1.电视塔越高，从塔顶发射的电磁波传得越远，从而能收看到电视节目的区域越广，电视塔高h（单位：km）与电视节目信号的传播半径r（单位：km）之间存在近似关系r=，其中地球半径R≈6 400 km．如果两个电视塔的高分别是h1 km、h2 km 你能化简这个式子吗？式子表示什么？公式中 r=中的表示什么意义？ 2.问题：（1）面积为3 的正方形的边长为_______，面积为S 的正方形的边长为_______．（1）中式子你是怎么得到？得到的两个式子有什么不同？（2）一个长方形围栏，长是宽的2 倍，面积为130m2，则它的宽为______m．（2）中得到的式子有什么意义？（3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t（单位：s）与开始落下的高度h（单位：m）满足关系h =5t2，如果用含有h 的式子表示t ，则．（3）中当h 的值分别为0，10，15，20，25时，得到的结果分别是什么？

表示的数怎样变化？二.合作探究形成知识（1）这些式子分别表示什么意义？（2）这些式子有什么共同特征？分别表示3，S ，65，5 h 的算术平方根这些式子的共同特征是：都表示一个非负数（包括字母或式子表示的非负数）的算术平方根．（3）根据你的理解，请写出二次根式的定义．用来表示一个非负数的算术平方根的式子，叫做二次根式． a≥0）?的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．三.初步应用巩固知识练习2 二次根式和算术平方根有什么关系？二次根式都是非负数的算术平方根；带有根号的算术平方根是二次根式．

实数和二次根式的基本概念解析

一．实数的基本概念 1．无理数的概念：（1）定义：无限不循环小数叫做无理数. （2）解读： 1）无理数的两个重要特征：①无限小数；②不循环. 2）无理数的常见类型： ①具有特定意义的数。如π等； ②具有特定结构的无限小数，如0.1212212221……（每相邻两个1之间依次多一个2）等； ③开方开不尽的数，如2，34等. 那么，是否所有带根号的数都是无理数呢？？？ 3）有理数与无理数的区别：有理数总可以表示为有限小数或无限循环小数，反之，有限小数和无限循环小数也必定是有理数；而无理数是无限不循环小数，无限不循环小数也必定是无理数. 2．实数的概念及分类：（1）定义：有理数和无理数统称为实数. （2）分类： ①按定义分： ?? ? ? ?? ? ? 整数有理数实数分数---有限小数或无限循环小数无理数-------无限不循环小数知识点睛实数、二次根式的基本概念

②按性质分：0??????????????? 正有理数正实数正无理数实数负有理数负实数负无理数 {} ?????????????????????????????????正整数整数零负整数有理数有尽小数或无尽循环小数正分数实数分数负分数正无理数无理数无尽不循环小数负无理数（3）实数的性质： ①相反数：a 与b 互为相反数0a b ?+=. ②绝对值：,00,0,0a a a a a a >??==??-?=?-≤? （4）实数和数轴上的点是一一对应的. π是一个超越数，用尺规作图的方法是不能在数轴上表示的；可以用物理方法来表示：用一个直径为1的圆形从数轴的零点开始转动，正好转一圈的那个点就是π，因为直径为1的圆的周长为π。（5）实数的运算顺序：先算乘方、开方、再算乘除、最后算加减，同级运算按照从左到右的顺序进行，有括号的先算括号里的。（6）实数中非负数的四种形式及其性质：形式：①0a ≥；②2 0a ≥ 0≥（0a ≥） 0a ≥. 性质：①非负数有最小值0；②有限个非负数之和仍然是非负数；③几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0. （7）实数中无理数的常见类型： ①所有开不尽的方根都是无理数，且不可认为带根号的数都是无理数； ②圆周率π及含有π的数是无理数，例如：21π+等； ③看似循环，但实质不循环的无限小数是无理数，例如：1.023*******…….

二次根式的概念及其化简教案

2．7二次根式第1课时二次根式的概念及其化简【学习目标】 1．理解二次根式概念及性质． 2．会用公式ab＝a·b(a≥0，b≥0)，a b＝ a b (a≥0，b>0)进行二次根式的化简运算．【学习重点】二次根式乘除法法则．【学习难点】二次根式乘除法法则的灵活运用．学习行为提示：让学生通过阅读教材后，独立完成“自学互研”的所有内容，并要求做完了的小组长督促组员迅速完成．学习行为提示：教会学生看书，独学时对于书中的问题一定要认真探究，书写答案．教会学生落实重点．说明：学生亲自计算，通过观察、猜想，借助计算器验证得出结论，这比教师讲无数遍的效果要好得多，同时也为后面归纳二次根式的基本性质作了很好的引导．情景导入生成问题

观察下列代数式： 5，11，7.2，49 121，（c＋b）（c－b）(其中b＝24，c＝25)．这些式子都是我们在前面已经学习过的，它们有什么共同特征呢？【说明】通过学生观察、总结归纳这些式子的特点，为给二次根式下定义做好准备．【归纳结论】它们都含有开方运算，并且被开方数都是非负数．一般地，形如a(a≥0)的式子叫做二次根式，a叫做被开方数．二次根式有些什么性质呢？让我们一起去研究吧！自学互研生成能力知识模块一二次根式积的算术平方根与商的算术平方根先阅读教材第41页“做一做”的内容，然后完成下面的问题．做一做： (1)计算下列各式，你能得到什么猜想？ 4×9＝________，4×9＝________； 4 9＝________，4 9 ＝________； 25 49＝________，25 49 ＝________； (2)根据上面的猜想，估计下面每组两个式子是否相等，借助计算器验证，并与同伴进行交流． 6×7与6×7，6 7与 6 7 . 【归纳结论】ab＝a·b(a≥0，b≥0)，a b＝ a b (a≥0，b>0)．即积的算术平方根，等于各个因式算术平方根的积，商的算术平方根，等于被除数的算术平方根除以除数的算术平方根．注意：a、b的取值范围不能忽略．知识模块二二次根式的化简先独立完成下面例1的化简，然后再对照教材第42页例1的规范解答自评自解．例1：化简： (1)81×64；(2)25×6；(3)5 9.

二次根式的概念教学设计

－5，－x (x ≥0)，－x 2－5的被开方数小于0，所以不是二次根式．方法总结：判断一个式子是不是二次根式，要看所给的式子是否具备以下条件：(1)带二次根号“ ”；(2)被开方数是非负数．探究点二：二次根式有意义的条件【类型一】根据二次根式有意义求字母的取值范围求使下列式子有意义的x 的取值范围． (1)14－3x ；(2)3－x x －2；(3)x ＋5x . 解析：根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0且分母不等于0，列不等式(组)求解．解：(1)由题意得4－3x ＞0，解得x ＜43.当x ＜43时，14－3x 有意义； (2)由题意得?????3－x ≥0，x －2≠0，解得x ≤3且x ≠2.当x ≤3且x ≠2时，3－x x －2有意义； (3)由题意得? ????x ＋5≥0，x ≠0，解得x ≥－5且x ≠0.当x ≥－5且x ≠0时，x ＋5x 有意义．方法总结：含二次根式的式子有意义的条件： (1)如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是各个二次根式中的被开方数都必须是非负数；(2)如果所给式子中含有分母，则除了保证二次根式中的被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．【类型二】 (1)x 的方程(a ＋2)x ＋b 2＝a －1； (2)已知x 、4，求y x 的平方根．解析：(1)根据二次根式的非负性和绝对值的非负性求解即可；(2)根据二次根式的非负性即可求得x 的值，进而求得y 的值，进而可求出y x 的平方根．解：(1)根据题意得???2a ＋8＝0，b －3＝0，解得???a ＝－4，b ＝ 3. 则(a ＋2)x ＋b 2＝a －1，即－2x ＋3＝－5，解得x ＝4； (2)根据题意得? ????x －3≥0，3－x ≥0，解得x ＝3.则y ＝4，故y x ＝43＝64，±64＝±8，∴y x 的平方根

二次根式的概念及性质练习卷

二次根式的概念及性质练习卷姓名一．判断题（对的打“∨”，错的打“×”）（1 x 的取值范围是x<0 （）（2 中字母x 的取值范围是x ≤34 （）（3）当x=-1 （）（4）当a=-4 （）（5） 2= —12 （）;（6 —12 （）（7））2= —12 （）;（8）（ 2=2×12=1 （）二、填空题： 1． b ≥3） s ≥0） a （0≥a ）的代数式，叫做_______． 2．当x______ 时， 3 x 的取值范围是_______ ． 4．（7） 2 ；（8 （ 2=________．（10 ． 5．当x=-2 _______． 6．当a 取______ 有意义．7．当x 取______ 8．当m=-2 ________． ( ( ()( ()( ( )(2231_____,2______,3_____,4_____,5____,6____. ======

9、若直角三角形的两直角边分别是2cm 和acm ，则直角三角形的斜边长是_______ 10、若正方形的面积是（b-3）cm 2,则正方形的边长是_________。三、选择题： 1．下列各式中，哪一个是二次根式（） A B C D 2 x 的取值范围是（） A ．x ≠-2; B ．x ≤12且x ≠-2; C ．x<12且x ≠-2; D ．x ≥12 且x ≠-2 3．下列各式中一定成立的是（） A B C ．（ 2 D 13=23 四、求下列二次根式中字母的取值范围：五、计算：（1 -（12）2; （2）（3） 4时x 的值． x-4│—│7-x │． ( )( )( )123( 4

二次根式教案

二次根式教学目标： i?了解二次根式的概念，理解、、a是一个非负数。 2?通过新旧知识的联结，培养学生观察、演练能力，并通过合作学习增进终生学习的信念。 3?通过观察一些特殊的情形，获得一般结论，使学生感受归纳的思想访求，进而体验成功的喜悦。教学重点： 1.二次根式的概念，以及二次根式基本性质； 2 ?经历知识产生过程，探索新知识，经历知识产生的过程，探索新知识。一、创设情境，提出问题请同学们独立完成下列两个问题。 3 问题1:已知反比例函数y ，那么它的图象在第一象限，且横、 X 纵坐标相等的点的坐标是_____________ 。问题2:如右图，在直角三角形ABC中，AC=3 , BC=1 , C =90 , 那么AB 边的长是______________ 。［分析］问题1 ：横、纵坐标相等，即x = y，所以x2 =3，因为点在第一象限，所以所以所示主点的坐标为（73,方）问题2：由勾股定理AB2二二AC2? BC2=10，即AB —.10。二、探索新知，解决问题 1 ?在充分讨论的基础上得到、,10都是一些正数的算术平方根，像这样一些正数的算术平方根的式子，我们就把它称为二次根式。因此，一般地，我们把形如 a a_0的式子叫做二次根式，"?.$ ”称为二次根号。 2?（学生活动）议一议

①_1有算术平方根吗？（无） ②0的算术平方根是多少？（0） ③当a ：：0时，,3有意义吗？（无）这就是说a _ 0 是一个非负数三巩固训练，熟练技能 1例题 1 （1 ）下列式子，哪些是二次，哪些不是二次根式：、.2,33,—八x x 0 ^.0,42^ .2, ［分析］二次根式应满足两个条件：第一有二次根号“、厂”；第二，被开方数是正数或0。解：二次根式有：x 0 , .0,. x y x 0,y 0 ;不是二次根式的有： 3 3,丄,42」（2）当x是什么时，,.3x -1在实数范围内有意义? ［分析］由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0,所以当3X-1 — 0时，?? 3x-1 有意义。 1 1 . --- 解：由3x-1_0得x ，所以，当x 时，.3x -1在实数范围内有意义。 3 3 2?练习：教材本节练习1, 2, 3 四、反思总结，情意发展 1、形如.a a_0的式子叫做二次根式，“、「”称为二次根号。 2?要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数。五、拓展探索，形成能力 1 ?选择题（1）下列式子中，是二次根式的是（） A、- B、3 7 C、. x D、x

二次根式第1课时二次根式的概念教案

16．1 二次根式第1课时二次根式的概念 1．能用二次根式表示实际问题中的数量及数量关系，体会研究二次根式的必要性；(难点) 2．能根据算术平方根的意义了解二次根式的概念及性质，会求二次根式中被开方数中字母的取值范围．(重点) 一、情境导入问题1：你能用带有根号的式子填空吗？ (1)面积为3的正方形的边长为 ________，面积为S的正方形的边长为 ________． (2)一个长方形围栏，长是宽的2倍，面积为130m2，则它的宽为________m. (3)一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t(单位：s)与落下的高度h(单位：m)满足关系h＝5t2，如果用含有h的式子表示t，则t＝______．问题2：上面得到的式子3，S，65， h 5 分别表示什么意义？它们有什么共同特征？二、合作探究探究点一：二次根式的定义下列各式中，哪些是二次根式，哪些不是二次根式？ (1)11；(2)－5；(3)（－7）2； (4)3 13；(5) 1 5 － 1 6 ；(6)3－x (x≤3)； (7)－x(x≥0)；(8)（a－1）2； (9)－x2－5； (10)（a－b）2(ab≥0)．解析：要判断一个根式是不是二次根式，一是看根指数是不是2，二是看被开方数是不是非负数．解：因为11，（－7）2， 1 5 － 1 6 ＝ 1 30 ，3－x(x≤3)，（a－1）2，（a－b）2(ab≥0)中的根指数都是2，且被开方数为非负数，所以都是二次根式. 3 13的根指数不是2，－5，－x (x≥0)，－x2－5的被开方数小于0，所以不是二次根式．方法总结：判断一个式子是不是二次根式，要看所给的式子是否具备以下条件：(1)带二次根号“”；(2)被开方数是非负数．探究点二：二次根式有意义的条件【类型一】根据二次根式有意义求字母的取值范围求使下列式子有意义的x的取值范围． (1) 1 4－3x ；(2) 3－x x－2 ；(3) x＋5 x . 解析：根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0且分母不等于0，列不等式(组)求解．解：(1)由题意得4－3x＞0，解得x＜ 4 3 .当x＜ 4 3 时， 1 4－3x 有意义； (2)由题意得 ?? ? ??3－x≥0， x－2≠0，解得x≤3且

第一讲二次根式的概念和性质

第一讲、二次根式的概念和性质第一部分、教学目标： 1、理解二次根式的概念，掌握二次根式有意义的判定方法。 2、利用0≥a 的性质解决问题。第二部分、教学重点和难点： 1、掌握二次根式的双重非负性性质，并利用0≥a 解决化简问题。 2、利用二次根式的性质进行式子的化简。第三部分、教学过程：例题讲解：例1、在式子)0(2 >x x ，2，y x x x x y y ++<--=+，，，1,3)0(2)2(123中，二次根式有（） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个【分析】根据二次根式的定义对各数分析判断即可得解．【解答】解：根据二次根式的定义，y ＝﹣2时，y +1＝﹣2+1＝﹣1，所以二次根式有 1),0(2,2),0(22+<->x x x x x 共4个．故选：C ．练1.1、下列的式子一定是二次根式的是（） A ．2--x B ．x C ．22+x D ．22-x 【分析】根据二次根式的定义：一般地，我们把形如（a ≥0）的式子叫做二次根式可得答案．【解答】解：根据二次根式的定义可得中得被开方数无论x 为何值都是非负数，故选：C ．练1.2、下列代数式中，属于二次根式的为（） A ．4- B ．3x - C ．1-a （a ≥1） D ．2--

【分析】根据二次根式的定义得出形如：（a ≥0）是二次根式，进而判断即可．【解答】解：A 、，﹣4＜0，故不是二次根式，故此选项错误； B 、，是三次根式，故不是二次根式，故此选项错误； C 、（a ≥1），则a ﹣1≥0，故是二次根式，故此选项正确； D 、﹣，﹣2＜0，故不是二次根式，故此选项错误；故选：C ．例2、使二次根式3-x 有意义的x 的取值范围是（） A ．x ≠3 B ．x ＞3 C ．x ≥3 D ．x ≤3 【分析】二次根式的被开方数是非负数，即x ﹣3≥0．【解答】解：依题意得：x ﹣3≥0．解得x ≥3．故选：C ．练2.1、若式子在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（） A ．x 且x ≠1 B ．x ≠1 C ．x 且x ≠1 D ．x 【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．【解答】解：根据题意得，2x ﹣1≥0且x ﹣1≠0，解得x ≥﹣且x ≠1．故选：A ．练2.2、要使1213-+ -x x 有意义，则x 应满足（） A ．21≤x ≤3 B ．x ≤3且x ≠21 C ．21＜x ＜3 D ．2 1＜x ≤3 【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．【解答】解：由题意得，，解不等式①得，x ≤3，解不等式②的，x ＞，所以，＜x ≤3．

二次根式的概念及运算

二次根式的概念及运算二次根式形如()0a a ≥的式子．二次根式有意义被开方数大于等于零（即若a 有意义，则0a ≥）【例1】 1当x 取何值时，下列式子有意义？ ⑴2x - ⑵2x - ⑶2 x - ⑷213x x ++- ⑸1x - ⑹x 模块一二次根式的概念知识导航知识互联网夯实基础

2 若x ，y 为实数，且14411y x x =-+-+．求xy 的值． 3 设3 1221 x x y x -+-=+，求使y 有意义的x 的取值范围. ①0(0)a a ≥≥ ②2 ()(0)a a a =≥ ③（必考）2a a a a ?==?-?() ( )00a a <≥ 【例2】化简下列各式 ⑴ ( ) 2 25 - ⑵ () 2 3a - 能力提升夯实基础知识导航题型二二次根式的性质

【例3】 ⑴已知数a b c 、、在数轴上的位置如图所示：化简：() 2 2a a c c b b -++---的结果为________ ⑵已知01a <<，化简2 2 1144a a a a ??? ?-+++- ? ????? ⑶化简( ) 2 2 412912x x x -+- -得( ) A. 2 B.44x -- C.2- D.44x - ⑷若()2 2340a b c -+-+-=，则a b c -+= ． ⑸已知实数x 、y 满足480x y -+-=，则以x 、y 的值为两边长的等腰三角形的周长是（） A ． 20或16 B ． 20 C ． 16 D ．以上答案均不对 ⑹若a 、b 为实数，且|1|20a ab -+-=，求1111(1)(1)(2)(2)(2012)(2012)ab a b a b a b +++++++++的值. 乘法与积的算术平方根可互相转化：(0,0)a b ab a b ?=≥≥ 除法与商的算术平方根可互相转化： (0,0)a a a b b b =>≥ 最简二次根式 ①被开方数不含分母 ②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．知识导航模块三二次根式的运算 c a

人教16.1二次根式的概念性质练习题

新人教版数学八年级下册二次根式课时练习一、单选题（共15小题） 1．已知3+x =0，则x 为（） >3 <－3 C. x=－3 D. x 的值不能确定 2．化简：2 1a -+的结果为（） A 、4—2a B 、0 C 、2a —4 D 、4 3．如果一个三角形的三边长分别为1、k 、3，化简|32|8136472-++--k k k 结果是（） A 、4k —5 B 、1 C 、13 D 、19—4k 4．下列命题中，错误．．的是（） A =5，则x=5; B ．若a （a ≥0 C π-3 D 5 5．若式子ab a 1+-有意义，则点P （a ， b ）在（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 6．当a ≥0时，2a 、2)(a -、2 a -，比较他们的结果，下面四个选项中正确的是（） A.2a =2)(a -≥2a - B.2a >2)(a ->2 a - C. 2a <2)(a -<2a - D.2a ->2a =2 )(a - 7．等式33-=-x x x x 成立的条件是（） A ．x ≠3 B ．x ≥0 C ．x ≥0且x ≠3 D ．x>3

8.若01=++-y x x ，则20052006y x +的值为：（） A ．0 B ．1 C ． -1 D ．2 9. 如果x --35 是二次根式，那么x 应适合的条件是（） A ．x ≥3 B ．x ≤3 C ．x ＞3 D ．x ＜3 10. 使代数式8a a -+有意义的a 的范围是（） A ．0>a B ．0

人教版八年级数学下册第十六章二次根式二次根式教案

16.1 二次根式(1) 教学内容二次根式的概念及其运用教学目标知识与技能目标：a≥0）的意义解答具体题目．过程与方法目标：提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题．情感与价值目标：通过本节的学习培养学生：利用规定准确计算和化简的严谨的科学精神，发展学生观察、分析、发现问题的能力．教学重难点关键 1a≥0）的式子叫做二次根式的概念. 2a≥0）”解决具体问题．教法：1、引导发现法: 通过教师精心设计的问题链，使学生产生认知冲突，感悟新知，建立分式的模型，引导学生观察、类比、参与问题讨论，使感性认识上升为理性认识，充分体现了教师主导和学生主体的作用，对实现教学目标起了重要的作用。 2、讲练结合法:在例题教学中，引导学生阅读，与平方根进行类比，获得解决问题的方法后配以精讲，并进行分层练习，培养学生的阅读习惯和规范的解题格式。学法：1、类比的方法通过观察、类比，使学生感悟二次根式的模型，形成有效的学习策略。 2、阅读的方法让学生阅读教材及材料，体验一定的阅读方法，提高阅读能力。 3、分组讨论法将自己的意见在小组内交换，达到取长补短，体验学习活动中的交流与合作。 4、练习法采用不同的练习法，巩固所学的知识；利用教材进行自检，小组内进行他检，提高学生的素质。媒体设计：PPT课件，展台。课时安排：1课时。教学过程一、复习引入

（学生活动）请同学们独立完成下列三个问题：问题1：已知反比例函数y=3 x ，那么它的图象在第一象限,横、纵坐标相等的点的坐标是___________．问题2：如图，在直角三角形ABC中，AC=3，BC=1，∠C=90°，那么AB边的长是__________． B A 老师点评：问题1：横、纵坐标相等，即x=y，所以x2=3．因为点在第一象限，所以x ）．问题2：由勾股定理得二、探索新知都是一些正数的算术平方根．像这样一些正数的算术平方根的式子，我们就把它称二次根式．因此，一般地， a≥0）的式子叫做二次根式， ” 称为二次根号．议一议： 1．-1有算术平方根吗？ 2．0的算术平方根是多少？ 3．当a<0 例1．下列式子，哪些是二次根式，、 1 x x>0）、、、 1 x y + （x≥0，y≥0）．分析 ”；第二，被开方数是正数或0．解：（x>0）、 x≥0，y≥0）；不是二次