高一数学期末考试试卷及答案

第二学期期末考试

高一数学试卷（理科）

温馨提示：请将所作答案准确填写在答题卡的相应位置。在试卷上作答，答案无效！考试结束后，本试卷随答题卡一并上交。

满分：150分 时间：120分钟

第I 卷（选择题 共50分）

一.选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求） 1.下列说法正确的是

A.若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行

B.若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行

C.若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行

D.若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行

2.一个斜三棱柱的一个侧面的面积为S ， 另一条侧棱到这个侧面的距离为a , 则这个三棱柱的体积是

A. Sa 31

B. Sa 41

C. Sa 21

D. Sa 3

2

3.过点P (5,2)，且在x 轴上的截距是在y 轴上的截距的2倍的直线方程是 A. 2x+y －12=0 B. 2x +y －12=0或2x －5y =0 C. x +2y －9=0 D. x +2y －9=0或2x －5y =0

4.在ABC ?中，ο90=∠ACB ，2=BC ，3=AC ，点D 在斜边AB 上， 以CD 为棱把它折成直二面角B CD A --，折叠后AB 的最小值为 A.6 B.7 C.22 D.3

5.一条光线从点()2,3--射出，经y 轴反射后与圆()()2

2

321x y ++-=相切，

则反射光线所在直线的斜率为（ ）

（A ）53-

或35- （B ）32- 或23- （C ）54-或45- （D ）43-或3

4

- 6.函数x e x f x

1)(-=的零点所在的区间是（ ）

A.)21,0(

B.)1,21(

C.)23,1(

D.)2,2

3

(

7.函数|lg(1)|y x =-的图象是 ( ）

8.方程2

2

2

2230x y ax ay a a ++-++=表示的图形是半径为r （0>r ）

的圆，则该圆圆心在

A.第一象限

B.第二象限 ?

C.第三象限

D.第四象限

9.若23529x y z ++=，则函数213456u x y z =+++++的最大值为 A.5 B.215 C.230 D.30 10.已知函数)(x f y =是奇函数，当0>x 时，,lg )(x x f =则))100

1

(

(f f 的值等于（ ） A ．2lg 1 2

lg 1.-B C ．2lg D ．-2lg

第II 卷（非选择题 共100分）

二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

11.已知直线10kx y k -+-=恒过定点A ，若点A 在直线

10(,0)mx ny m n --=>上，则

11

m n

+的最小值为 12.在平面直角坐标系xOy 中，以点)0,1(为圆心且与直线

)(012R m m y mx ∈=---相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为

13.将长宽分别为4和3的长方形ABCD 沿对角线AC 折起，得到四面体A-BCD ，则四面体的外接球的体积为_________.

14．如图，圆C 与x 轴相切于点(1,0)T ，与y 轴正半轴交于两点,A B （B 在A 的上方）， 且2AB =．

（Ⅰ）圆C 的标准．．方程为 ； （Ⅱ）过点A 任作一条直线与圆22:1O x y +=相交于,M N 两点，下列三个结论： ①

NA MA NB

MB

=

； ②

2NB MA NA

MB

-

=； ③

22NB MA NA

MB

+

=．

其中正确结论的序号是 . （写出所有正确结论的序号）

三.解答题（本大题共7小题，共80分， 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.（本小题满分9分）

如图，在四棱台1111ABCD A B C D -中, 1D D ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是平行四边形111222AB A B AD DD ===，60BAD ∠=? （Ⅰ） 证明:1AA BD ⊥；

（Ⅱ） 求1A B 与面11A ADD 成角的余弦值； （Ⅲ） 证明:直线1CC ∥平面1A BD ．

16.（本小题满分9分）

二次函数)(x f 满足x x f x f 2)()1(=-+，且1)0(=f . (1）求)(x f 的解析式；

(2）若不等式()2f x x m >+在区间[]1,1-上恒成立，求实数m 的取值范围.

17.（本小题满分12分）

已知函数()f x 在定义域()0,+∞上为增函数，且满足)()()(y f x f xy f +=,

1)3(=f .

(Ⅰ) 求()()9,27f f 的值; (Ⅱ) 解不等式()()82f x f x +-<.

18.（本小题满分10分）

函数)1,0)(3(log )(≠>-=a a ax x f a （1）当2=a 时，求函数)(x f 的定义域；

（2）是否存在实数a ，使函数)(x f 在]2,1[递减，并且最大值为1，若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由.

19.（本小题满分12分）

设)(x f 是定义在R 上的奇函数，且对任意a 、b R ∈，当0≠+b a 时，都有

0)

()(>++b

a b f a f .

（1）若b a >，试比较)(a f 与)(b f 的大小关系；

（2）若0)92()329(>-?+?-k f f x

x

x

对任意),0[+∞∈x 恒成立，求实数k

的取值范围.

20.（本小题满分14分）

已知圆C 的方程:0422

2

=+--+m y x y x ,其中5m <．

（1）若圆C 与直线042:=-+y x l 相交于M ,N 两点，

且MN ,求m

的值；

（2）在（1）条件下，是否存在直线02:=+-c y x l ，使得圆上有四点到直线l

，若存在，求出c 的范围，若不存在，说明理由．

21.（本小题满分14分）

已知过原点的动直线l 与圆221:650C x y x +-+=相交于不同的两点A ，B ． （1）求圆1C 的圆心坐标；

（2）求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；

（3）是否存在实数k ，使得直线:(4)L y k x =-与曲线C 只有一个交点：若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由．

2014——2015学年度第二学期期末考试

高一数学（理科）试卷参考答案

第I 卷（选择题 共50分）

一.选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案

A

C

D

B

C

C

A

D

C

A

第II 卷（非选择题 共100分）

二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11. 4 12.

184

x y += 13.125

6

π 14. 10 三.解答题（本大题共7小题，共80分， 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.（本小题满分9分）

(Ⅰ)法一∵D 1D ⊥平面ABCD ，且BD ?平面ABCD ，∴D 1D ⊥BD . 在△ABD 中，由余弦定理，得BD 2＝AD 2＋AB 2－2AD ·AB cos ∠BAD . 又∵AB ＝2AD ，∠BAD ＝60°，∴BD 2＝3AD 2. ∴AD 2＋BD 2＝AB 2，因此AD ⊥BD 又∵AD ∩D 1D ＝D ，∴BD ⊥平面ADD 1A 1.

又∵AA 1?平面ADD 1A 1，∴AA 1⊥BD 法二∵DD 1⊥平面ABCD ，且BD ?平面

ABCD ，∴BD ⊥D 1D .如图1，取AB 的中点G ，连接DG .

图1

在△ABD 中，由AB ＝2AD ，得AG ＝AD . 又∵∠BAD ＝60°，∴△ADG 为等边三角形， ∴GD ＝GB ，故∠DBG ＝∠GDB . 又∵∠AGD ＝60°，∴∠GDB ＝30°，

∴∠ADB ＝∠ADG ＋∠GDB ＝60°＋30°＝90°， ∴BD ⊥AD .又∵AD ∩D 1D ＝D ，∴BD ⊥平面ADD 1A 1. 又∵AA 1?平面ADD 1A 1，∴AA 1⊥BD . （Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，BD ⊥面ADD 1A 1， ∴∠BA 1D 即A 1B 与面A 1ADD 1成的角， 设AB =2，A 1B 1=AD =DD 1=1， 由棱台的定义，A 1D 1=

1

2

，D 1D ⊥平面ABCD ， ∴D 1D ⊥面A 1B 1C 1D 1，Rt △DD 1A 1，A 1D =52

， 在Rt △ABD 中，BD =3，

在Rt △BA 1D 中，A 1B =

172，∴cos ∠BA 1D =11A D A B =8517

(Ⅲ)如图2，连接AC ，A 1C 1. 设AC ∩BD 于点E ，

图2

连接EA 1.∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴EC ＝

1

2

AC . 由棱台的定义及AB ＝2AD ＝2A 1B 1知，

A 1C 1∥EC 且A 1C 1＝EC ，

∴四边形A 1ECC 1为平行四边形，因此CC 1∥EA 1.

又∵EA 1?平面A 1BD ，CC 1?平面A 1BD ， ∴CC 1∥平面A 1BD .

16、解：（1）设f （x ）=ax 2+bx+c （a ≠0），由f （0）=1， ∴c=1，∴f （x ）=ax 2+bx+1

∵f （x+1）﹣f （x ）=2x ，∴2ax+a+b=2x ，

∴∴f （x ）=x 2﹣x+1

（2）由题意：x 2﹣x+1＞2x+m 在[﹣1，1]上恒立，

其对称轴为

，

∴g （x ）在区间[﹣1，1]上是减函数，

∴g （x ）min =g （1）=1﹣3+1﹣m ＞0，∴m ＜﹣1 17、（1）

，

（2）

等价于

18、解：由题意，∴3-2x ＞0，即x ＜，

所以函数f （x ）的定义域为（-∞，）；

（2）令u=3-ax ，则u=3-ax 在[1，2]上恒正，∵a>0，a ≠1，∴u=3-ax 在[1，

2]上单调递减，∴3-a ·2＞0，即a ∈（0，1）∪（1，）

又函数f （x ）在[1，2]递减，∵u=3-ax 在[1，2]上单调递减，∴a>1，即a ∈（1，

）又∵函数f （x ）在[1，2]的最大值为1，∴f （1）=1

即f （x ）=

∴a=

∵a=与a ∈（1，）矛盾，∴a 不存在。

19、（1）因为b a >，所以0>-b a ，由题意得：

0)

()(>--+b

a b f a f ，所以0)()(>-+b f a f ，又)(x f 是定义在R 上的奇

函数，

)()(b f b f -=-∴ 0)()(>-∴b f a f ，即)()(b f a f >. （2）由（1）知)(x f 为R 上的单调递增函数， 0)92()329(>-?+?-k f f x x x Θ对任意),0[+∞∈x 恒成立，

)92()329(k f f x x x -?->?-∴，即)92()329(x x x k f f ?->?-，

x

x

x

k 92329?->?-∴，x

x

k 3293?-?<∴对任意),0[+∞∈x 恒成立，

即k 小于函数),0[,3293+∞∈?-?=x u x

x

的最小值.

令x t 3=，则),1[+∞∈t 13

1)31(323329322

≥--=-=?-?=∴t t t u x x ，

1<∴k .

20、解：（1）圆的方程化为 m y x -=-+-5)2()1(2

2

，圆心 C （1，2），半径 m r -=

5，

则圆心C （1，2）到直线:240l x y +-=的距离为 5

12

142212

2

=

+-?+=

d

由于5MN =，则125

MN =，有222

1()2r d MN =+，

,)5

2(

)5

1(

522+=-∴m 得4=m ．

（2）假设存在直线02:=+-c y x l ，使得圆上有四点到直线l 的距离为

5

， 由于圆心 C （1，2），半径1=r ， 则圆心C （1，2）到直线02:=+-c y x l 的距离为5

115

32

12212

2

-

<-=

++?-=

c c

d ， 解得5254+<<-c ．

21、【答案】（1）()3,0；（2）2

23953243x y x ?

???

-+=

<≤ ? ??

?

??

；（3）332525,,4477k ????∈--????????

U ．

【解析】（1）由22650x y x +-+=得()2

234x y -+=， ∴ 圆1C 的圆心坐标为()3,0；

（

2）设(),M x y ，则 ∵ 点M 为弦AB 中点即1C M AB ⊥，

∴ 11C M AB k k ?=-即

13y y

x x

?=--， ∴ 线段AB 的中点M 的轨迹的方程为2

23953243x y x ????

-+=<≤ ? ?????

；

（3）由（2）知点M 的轨迹是以3

,02C ?? ???为圆心3

2

r =

为半径的部分圆弧EF （如下图所示，不包括两端点），且525,3E ?? ? ???，525,3F ??

- ? ???

，又直线L ：

()4y k x =-过定点()4,0D ，

当直线L 与圆C 相切时，由

22

34023

2

1k k ??-- ???=

+得34k =±，又

250255743

DE DF

k k ??

-- ?

??=-=-

=-，结合上图可知当

332525,,4477k ??

??∈--????????

U 时，直线L ：()4y k x =-与曲线C 只有一个交

点．

高一数学（理）期末考试命题说明

1.命题的主要依据是课程标准和考试大纲，试题的编制都完全依照高考模式，内容、范围、难度符合课程标准的要求。

2 .力求试卷内容的科学性和准确性，试卷容量与知识覆盖面相当，知识和能力的考核兼顾。

3.考试范围涵盖高中数学（理）必须掌握的内容。

4.题型符合目前高考类型，不出怪题、偏题，题量适中，避免大部分

学生不能完卷或提前很多时间完卷的情况出现。

5.试题内容以考核基础知识与基本技能为主，也有一定的灵活运用所学知识和技能的试题和具有一定难度的综合试题，容易题、中档题、提高题三者的分数比例为 7:2:1。

6.试题覆盖面全，试题难度系数控制在～之间。

高一数学（理）期末考试阅卷说明

1.选择题与填空题必须完全按照所给正确答案赋予分数，阅卷老师需

将选择题、填空题实际所得分数明显标注于学生答题卡醒目位置。 2.解答题部分，由于考生水平有限，并不要求与标准答案完全一样，

考生所写答案步骤、结果等正确、清晰明了即可，考生答案正确但不完整，阅卷老师务必按点给分，若考生概念错误，则不得分，概念思路正确但结果错误的可给予一半分数。若出现雷同卷的，所有雷同卷均不得分，以0分计算！

L D

x

y

O

C E

F