圆常见题型归纳

1,如图，已知圆O的直径AB垂直于弦CD于点E，连接CO并延长交AD

于点F，且CF⊥AD.(1)求∠D的度数（2）请证明：E是OB的中点；(3)

若AB=8，求CD的长。

2,如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠B+∠C=90°,AB=6,CD=8,M,N分别为

AD,BC的中点,求MN长。

3,如图,在直角坐标系中,四边形OABC为正方形,顶点A,C在坐标轴上,

以边AB为弦的M与x轴相切,若点A的坐标为(0,8),求圆心M的坐标。

4,在O中，AB为直径，C为O上一点。(Ⅰ)如图1.过点C作O的切线,与AB的延长线相交于点P,若∠CAB=27°，求∠P的大小；(Ⅱ)如图2,D为AC?上一点,且OD经过AC的中点E,连接DC并延长,与AB的延长线相交于点P,若∠CAB=10°，求∠P的大小。

5,如图,AB是O的直径,AB=6,点M在O上,∠MAB=300，N是弧MB的中点，P是直线AB上

一动点，若MN=1,求△PMN周长的最小值

6,如图,在矩形ABCD中,BC=2AB，∠ADC的平分线交边BC于点E，AH⊥DE于点H，连接

CH并延长交边AB于点F，连接AE交CF于 F.证

明:①∠AEB=∠AEH;②HO=12AE;③BC?BF=2EH

7,如图,圆O的弦AD∥BC,过点D的切线交BC的延长线于点E,AC∥DE交BD于点H，DO 及延长线分别交AC，BC于点G，F.(1)求证：DF垂直且平分AC；(2)求证：FC=CE；(3)若弦AD=5cm，AC=8cm，求圆O的半径

8，如图,在直径为2的O中有两条弦AB、CD,AB=1,CD=2

(1)分别求出弦CD所对的圆心角的度数和弦AB所对应的圆周角的度数；

(2)以O为中心旋转其中一条弦，使两条弦的一个端点重合，画出旋转后的图形，

并求出此时两弦所夹的圆周角的度数。

9，如图，已知AB为圆O的直径，过圆O上的点C的切线交AB的延长线于点E，AD ⊥EC于点D且交圆O于点F，连接BC，CF，AC.（1）证明BC=CF(2)若AD=6，DE=8求BE的长(3)求证：AF+2DF=AB.

中考圆的常见题型最新

1、如图，EB 为半圆O 的直径，点A 在EB 的延长线上，AD 切半圆O 于点D ，BC ⊥AD 于点C ，AB ＝2，半圆O 的半径为2，则BC 的长为（ B ） A ．2 B ．1 C ．1.5 D ．0.5 2、如图（2），在Rt ABC △中，9068C AC BC O ∠===°，，，⊙为ABC △的内切圆，点D 是斜边AB 的中点，则tan ODA ∠=（ Ｄ ） A ． 2 B ．3 C D ．2 3、如图，两同心圆的圆心为O ，大圆的弦AB 切小圆于P ，两圆的半径分别为6，3，则图中阴影部分的面积是（C ） A ．π B ．π C ．3π D ．2π 4、如图，点A B C ，，在 O 上，50A ∠=° ， 则BOC ∠的度数为（ ） A ．130° B ．50° C ．65° D ．100° 5、一根水平放置的圆柱形输水管道横截面如图所示，其中有水部分水面宽0.8米，最深处水深0.2米，则此输水管道的直径是（ ） A ．0.4米 B ．0.5米 C ．0.8米 D ．1米 6、如图，AB 是⊙O 的直径，BD 是⊙O 的弦，延长BD 到点C ，使DC ＝BD ，连接AC ，过 点D 作DE ⊥AC ，垂足为E ． (1)求证：AB ＝AC ； (2)若⊙O 的半径为4，∠BAC ＝60o，求DE 的长． （1）证明：连接AD ∵AB 是⊙O 的直径 ∴∠ADB=90° 又∵BD=CD ∴AB=AC 。 （2）解：∵∠BAC=60°，由（1）知AB=AC ∴△ABC 是等边三角形 在Rt △BAD 中，∠BAD=30°，AB=8 ∴BD=4，即DC=4 又∵DE ⊥AC ， 图（2） （第4题图） A B O C

圆中的最值问题

圆中的最值问题 Prepared on 24 November 2020

圆中的最值问题 【考题展示】 题1 (2012年武汉中考)在坐标系中，点A的坐标为(3，0)，点B为y轴正半轴上的一点，点C 是第一象限内一点，且AC=2．设tan∠BOC=m，则m的取值范围是_________． 题2 (2013年武汉元调)如图，在边长为1的等边△OAB中，以边AB为直径作⊙D，以O为圆心OA长为半径作⊙O，C为半圆弧AB上的一个动点（不与A、B两点重合），射线AC交⊙O于点E，BC=a，AC=b，求a b +的最大值.（有修改） 题3 (2013年武汉四调)如图，∠BAC=60°，半径长为1的圆O与∠BAC的两边相切，P为圆O上一动点，以P为圆心，PA长为半径的圆P交射线AB、AC于D、E两点，连接DE，则线段DE长度的最大值为_________． 题4 (2013年武汉五模)在△ABC中，120 A BC=．若△ABC的内切圆半径为r，则r的最 ∠=?，6 大值为_________．（有修改） 题5 (2013年武汉中考)如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE=DF．连接CF 交BD于点G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是 _________． 题1图题2 图题3 图

题4图题5图 【典题讲练】 类型1（相关题：题5） 如图，边长为a的等边△ABC的顶点A，B分别在x轴正半轴和y轴正半轴上运动，则动点C到原点O的距离的最大值是_________． 在直角坐标系中，△ABC满足，∠C=90°，AC=8，BC=6，点A，B分别在x轴、y轴上，当A点从原点开始在正x轴上运动时，点B随着在正y轴上运动（下图），求原点O到点C的距离OC的最大值，并确定此时图形应满足什么条件． 如图，在平面直角坐标系中，已知等腰直角三角形ABC，∠C=90°，AC=BC=2，点A、C分别在x轴、y轴上，当点A从原点开始在x轴的正半轴上运动时，点C在y轴正半轴上运动． （1）当A在原点时，求点B的坐标； （2）当OA=OC时，求原点O到点B的距离OB； （3）在运动的过程中，求原点O到点B的距离OB的最大值，并说明理由．

圆知识梳理+题型归纳附答案_详细知识点归纳+中考真题

圆 【知识点梳理】 一、圆的概念 集合形式的概念： 1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹形式的概念： 1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆； （补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）； 3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线； 4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线； 5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。 二、点与圆的位置关系 1、点在圆内?d r ?点A在圆外； A

三、直线与圆的位置关系 1、直线与圆相离 ? d r > ? 无交点； 2、直线与圆相切 ? d r = ? 有一个交点； 3、直线与圆相交 ? d r < ? 有两个交点； 四、圆与圆的位置关系 外离（图1）? 无交点 ? d R r >+； 外切（图2）? 有一个交点 ? d R r =+； 相交（图3）? 有两个交点 ? R r d R r -<<+； 内切（图4）? 有一个交点 ? d R r =-； 内含（图5）? 无交点 ? d R r <-； 五、垂径定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。 推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即： ①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧 AD 中任意2个条件推出其他3个结论。 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 B D

(完整版)圆最值问题题型归纳

x 圆中最值问题 类型一 圆上一点到直线距离的最值问题 例1 已知P 为直线y=x +1上任一点，Q 为圆C ： 22(3)1x y -+=上任一点，则PQ 的最小值为 . 变题1：已知A (0,1),B (2,3),Q 为圆C 22 (3)1x y -+=上任一点，则QAB S V 的最小值为 . 变题2：由直线y=x +1上一点向圆C ：22 (3)1x y -+=引切线，则切线长的最小值为 变题3：已知P 为直线y=x +1上一动点，过P 作圆C ：22(3)1x y -+=的切线PA ，PB,A 、B 为切点，则当PC= 时，APB ∠最大． 变题4：已知P 为直线y=x +1上一动点，过P 作圆C ：22(3)1x y -+=的切线PA ，PB,A 、B 为切点，则四边形PACB 面积的最小值为 . 例2已知圆C ：222430x y x y ++-+=，从圆C 外一点11(,)P x y 向该圆引一条切线，切点为M ，O 为坐标原点，且有PM=PO ,求使得PM 取得最小 值的点P 坐标． 类型二 利用圆的参数方程求最值（或几何意义） 例3若实数x 、y 满足22240x y x y ++-=，求x-2y 的最大值． 如在上例中，改为求 12 y x --，22(2)(1)x y -+-，1x y --的取值范围，该怎么求解？ 类型三：转化成函数或不等式求最值 例4已知圆O ：22 1x y +=，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为两切点，则PA PB ?u u u r u u u r 的最小值为

例5已知圆C ： 22+24x y +=（）， 过点(1,0)A -做两条互相垂直的直线12l l 、，1l 交圆C 与E 、F 两点，2l 交圆C 与G 、H 两点， （1）EF +GH 的最大值．(2) 求四边形EGFH 面积的最大值． 6、已知e C 过点)1,1(P ,且与e M :222(2)(2)(0)x y r r +++=>关于直线20x y ++=对称. (Ⅰ)求e C 的方程； (Ⅱ)设Q 为e C 上的一个动点,求PQ MQ ?u u u r u u u u r 的最小值； (Ⅲ)过点P 作两条相异直线分别与e C 相交于B A ,,且直线PA 和直线PB 的倾斜角互补,O 为坐标原点,试判断直线OP 和AB 是否平行?请说明理由. 7、如图，在矩形ABCD 中，3,1AB BC ==，以A 为圆 心1为半径的圆与AB 交于E （圆弧DE 为圆在矩形内的部 分） （Ⅰ）在圆弧DE 上确定P 点的位置，使过P 的切线l 平分 矩形ABCD 的面积； （Ⅱ）若动圆M 与满足题（Ⅰ）的切线l 及边DC 都相切， 试确定M 的位置，使圆M 为矩形内部面积最大的圆． l P E C M

“隐圆”最值问题习题

B M C D A E F D C B A B E D C F A “隐圆”最值问题 重难点：分析题目条件发现题目中的隐藏圆，并利用一般的几何最值求解方法来解决问题 【例1】在平面直角坐标系中，直线y = - x + 6分别与x 轴、y 轴交于点A 、B 两点，点C 在y 轴的左边，且∠ACB = 90°，则点C 的横坐标x C 的取值范围是__________． 分析：在构造圆的前提下 考虑90°如何使用。直角对直径所以以AB 为直径画圆。使用垂径定理即可得到3-20c x ≤<3 【练】（2013-2014·六中周练·16）如图，已知Rt △ABC 中，∠ACB = 90°，AC = 3，BC = 4，点D 是AB 的中点，E 、F 分别是直线AC 、BC 上的动点，∠EDF = 90°，则EF 长度的最小值是__________． 分析：过D 点作DE 垂直AB 交AC 于点M 可证△FBD ∽△ECD 即可 求出最小值 【例2】如图，在Rt △ABC 中，∠ACB = 90°，D 是AC 的中点， M 是BD 的中点，将线段AD 绕A 点任意旋转（旋转过程中始 终保持点M 是BD 的中点），若AC = 4，BC = 3，那么在旋转 过程中，线段CM 长度的取值范围是_______________． 分析：将线段AD 绕A 点任意旋转隐藏着以A 为圆心AD 为半径的圆构造 出来。接下来考虑重点M 的用途即可。中点的用法可尝试下倍长和中位线。 此题使用中位线。答案是 3722 c x ≤≤ 【练】已知△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，∠ACB =∠ADE = 90°，AC = 22，AD = 1，F 是BE 的中点，若将△ADE 绕点A 旋转一周，则线段AF 长度的取值范围是 4242 22 AC -+≤≤． 分析：同例题 【例3】如图，已知边长为2的等边△ABC ，两顶点A 、B 分别在平面直角

2019中考数学压轴题突破解析圆的双动点最值问题

第 1 页 共 6 页 2019中考数学压轴题突破 圆的双动点最值问题 1．如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =6， BC =8，点F 在边AC 上，并且CF =2，点E 为边BC 上的动点，将△CEF 沿直线EF 翻折，点C 落在点P 处，则点P 到边AB 距离的最小值是_____． 分析：本题中，要求点P 到边AB 距离的最小值，先要确定点P 的运动轨迹．因为FP =FC =2，所以点P 的运动轨迹是以点F 为圆心，2为半径的圆弧（如图），过点F 作FQ ⊥AB ，以F 为圆心的弧与FQ 的交点为满足条件的点P ． 答案： 6/5 这是动点轨迹为圆弧的一种类型，动点满足到定点的距离等于定长，确定动点的运动轨迹为以定点为圆心，定长为半径的圆（或一段弧）． 2. 如图，点P 是正方形ABCD 的对角线BD 上的一个动点(不与B 、D 重合)，连结AP ，过点B 作直线AP 的垂线，垂足为H ，连结DH ，若正方形的 边长为4，则线段DH 长度的最小值是 _______．

分析：要求线段DH长度的最小值，先要确定动点H的运动轨迹。在点P的运动过程中，∠AHB=90°，点H的运动轨迹是以AB为直径的半圆，题目转化为圆外一点到圆上一点之间的最小距离的问题（如图），连结点D和AB中点O，与半圆O交于点H，此时DH长度最小． 答案： 这一类动点满足与定线段构成一个直角三角形，且为直角顶点，则这个动点的轨迹是以定线段为直径的圆（或圆弧）。由特殊到一般，如果动点与定线段构成的三角形中，以动点为顶点的角度确定，这个动点的运动轨迹是以定线段为弦的圆（或圆弧）. 3. 如图，正方形OABC的边长为4，以O为圆心，EF为直径的半圆经过点A，连接AE，CF 相交于点P，将正方形OABC从OA与OF重合的位置开始，绕着点O逆时针旋转90°，交点P运动的路径长是（） 第 2 页共6 页

圆中有关最值问题一.doc

圆中有关最值问题（1）教学设计 一、设计思路： 圆中有关最值问题是中考数学中的重要内容，是综合性较强的问题，它贯穿初中数学的 始终，是中考的热点问题。其运用性质有：圆中直径是最长的弦、垂线段最短、三边关系定 理、对称法等。本节课以例题入手来研究圆中的有关最值问题。 二、学情分析 学生知识技能基础：学生在前面几节课已经认识了圆，学习了圆的有关知识，以及数学 的基本结论：圆中直径是最长的弦、垂线段最短、三角形三边关系等基本知识，这些为本节 课的学习奠定了良好的知识技能基础。 学生活动经验基础：通过以往的数学学习，学生已经具有了一些数学活动经验的基础； 另一方面，在以往的数学活动中，学生已经经历了很多合作交流的学习过程，具有了一定的 合作学习的经验，具备了一定的合作交流的能力。 三、教学目标 知识与技能： 1、会利用直径是圆中最长的弦这一基本结论解决有关最值问题； 2、会利用圆外一点与圆上各点的连线中最短与最近距离这一基本事实，解决圆中有关最值问题。 方法与途径： 通过观察、操作、想象、推理、交流等活动，发展空间观念，培养学生动手动脑、发现 问题及解决问题的能力，以及推理能力和有条理的表达能力。 情感与评价： 通过实际操作、画图等活动，培养学生的动手能力，提高学生的识图技能，使学生的思 维变得更加灵活。 现代教学手段： 多媒体和几何画板的合理应用，增加了课时内容，激发了学生学习的积极性，突破了教 学重点、难点的同时，更重要的是使复杂问题更加简单化，通过清楚的动画演示，使学生进 一步感受何时取得最大值问题。 四、教学重点与难点 教学重点：将试题转化为最值中的有关模型 教学难点：将试题转化为最值中的有关模型的方法

中考复习圆专题所有知识点和题型汇总全

《圆》题型分类资料 一．圆的有关概念： 1.下列说法：①直径是弦②弦是直径③半圆是弧，但弧不一定是半圆④长度相等的两条弧是等弧，正确的命题有（） A. 1个 B.2个 C.3个 D.4个 2．下列命题是假命题的是（） A．直径是圆最长的弦B．长度相等的弧是等弧 C．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧也相等 D．如果三角形一边的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 3.下列命题正确的是（） A．三点确定一个圆B．长度相等的两条弧是等弧 C．一个三角形有且只有一个外接圆D.一个圆只有一个外接三角形 4.下列说法正确的是( ) A．相等的圆周角所对的弧相等B．圆周角等于圆心角的一半 C．长度相等的弧所对的圆周角相等D．直径所对的圆周角等于90° 5.下面四个图中的角，为圆心角的是( ) A．B．C．D． 二．和圆有关的角： 1. 如图1，点O是△ABC的内心，∠A=50 ，则∠BOC=_________ 图1 图2 2.如图2，若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=58°，则∠BCD的度数为( ) A.116° B.64° C. 58° D.32° 3. 如图3，点O为优弧AB所在圆的圆心，∠AOC=108°，点D在AB的延长线上，BD=BC，则∠D的度数为

A 图3 图4 4. 如图4，AB、AC是⊙O的两条切线，切点分别为B、C，D是优弧BC上的一点，已知∠BAC＝80°， 那么∠BDC＝_________度． 5. 如图5，在⊙O中，BC是直径，弦BA，CD的延长线相交于点P，若∠P＝50°，则∠AOD＝． A 图5 图6 6. 如图6，A，B，C，是⊙O上的三个点，若∠AOC＝110°，则∠ABC＝°． 7.圆的内接四边形ABCD中，∠A：∠B：∠C=2：3：7，则∠D的度数为。 8. 若⊙O的弦AB所对的劣弧是优弧的 1 3 ，则∠AOB＝ . 9.如图7，AB是⊙O的直径，C、D、E都是⊙O上的点，则∠1＋∠2=________ A 图7 图8 10.如图8，△ABC是O的内接三角形，点C是优弧AB上一点（点C不与A，B重合），设OABα ∠=，Cβ ∠=（1）当35 α=时，求β的度数； （2）猜想α与β之间的关系为 11.已知：如图1，四边形ABCD内接于⊙O，延长BC至E，求证：∠A+∠B C D=180°，∠DCE=∠A； 如图2，若点C在⊙O外，且A、C两点分别在直线BD的两侧，试确定∠A+∠BCD与180°的大小关系；

圆中的最值问题

圆中的最值问题公司内部档案编码：[OPPTR-OPPT28-OPPTL98-OPPNN08]

圆中的最值问题 【考题展示】 题1 (2012年武汉中考)在坐标系中，点A的坐标为(3，0)，点B为y轴正半轴上的一点，点C是第一象限内一点，且AC=2．设tan∠BOC=m，则m的取值范围是 _________． 题2 (2013年武汉元调)如图，在边长为1的等边△OAB中，以边AB为直径作⊙D，以O 为圆心OA长为半径作⊙O，C为半圆弧AB上的一个动点（不与A、B两点重 合），射线AC交⊙O于点E，BC=a，AC=b，求a b +的最大值.（有修改） 题3 (2013年武汉四调)如图，∠BAC=60°，半径长为1的圆O与∠BAC的两边相切，P 为圆O上一动点，以P为圆心，PA长为半径的圆P交射线AB、AC于D、E两 点，连接DE，则线段DE长度的最大值为_________． 题4 (2013年武汉五模)在△ABC中，120 BC=．若△ABC的内切圆半径为r，则 ∠=?，6 A r的最大值为_________．（有修改） 题5 (2013年武汉中考)如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE=DF．连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是_________．

题1图题2 图题3 图 题4图题5图 【典题讲练】 类型1（相关题：题5） 如图，边长为a的等边△ABC的顶点A，B分别在x轴正半轴和y轴正半轴上运动，则动点C到原点O的距离的最大值是_________． 在直角坐标系中，△ABC满足，∠C=90°，AC=8，BC=6，点A，B分别在x轴、y轴上，当A点从原点开始在正x轴上运动时，点B随着在正y轴上运动（下图），求原点O到点C的距离OC的最大值，并确定此时图形应满足什么条件．

圆专题总结题型

圆 ●中考点击 考点分析：（要求Ⅰ：理解掌握；要求Ⅱ：灵活运用） 内容 要求 1、圆、等圆、等弧等概念及圆的对称性，点和圆的位置关系以及其有关概念 Ⅰ 2、弧、弦、圆心角、弦心距四者之间的关系，能根据具体条件确定这四者之间的关系 Ⅱ 3、圆的性质及圆周角与圆心角的关系、直径所对圆周角的特征，灵活运用圆周角的知识 进行有关的推理论证及计算 Ⅱ 4、垂径定理的应用及逆定理的应用，会添加与之相关的辅助线 Ⅱ 5、圆与三角形和圆内接四边形的知识及综合运用 Ⅱ 命题预测：本专题主要考查圆的重要性质以及和圆有关的角、线段、环长和面积的计算，另外也会考查圆与勾股定理、相似三角形知识的综合应用．其中，点和圆、直线和圆的位置关系的判断以及和圆有关的简单计算一般以选择填空题形式考查；有关圆与图形的相似、三角函数、函数等知识的综合应用一般是以证明、阅读理解、探索存在等解答题的形式考查． ●难题透视 例1如图7-1，在⊙O 中，弦AD 平行于弦BC ，若80AOC ∠=o ，则 DAB ∠=____度． 例2如图7-2，AB 是的⊙O 的直径，BC 、CD 、DA 是⊙O 的弦，且BC=CD=DA ，则∠BCD=（ ） A ．1000 B ．1100 C ．1200 D ．1350 例3已知：AB 和CD 为⊙O 的两条平行弦，⊙O 的半径为5cm ，AB=8cm ，CD=6cm ，求AB 、CD 间的距离是 ． A D C B O 图7-1 图7-2

例4用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，如图7-5图是水平放置的破裂管道有水部分的截面． （1）请你补全这个输水管道的圆形截面； （2）若这个输水管道有水部分的水面宽AB＝16cm，水面最深地方的高度为4cm，求这个圆形截面的半径． 例5如图7-7，有一木制圆形脸谱工艺品，H、T两点为脸谱的耳朵，打算在工艺品反面两耳连线中点D处打一小孔．现在只有一块无刻度单位的直角三角板（斜边大于工艺品的直径），请你用两种不同的方法确定点D的位置（画出图形表示），并且分别说明理由． 图7-5 图7-7

2017年中考总复习—关于圆的经典题型汇总(含答案)

1、如图，在△ABC 中，E 是 AC 边上的一点，且 AE=A B ， ∠BAC=2∠CBE ，以 AB 为直径作⊙O 交 AC 于点 D ，交 BE 于点 F ． （1）求证：BC 是⊙O 的切线； （2）若 AB=8，BC=6，求 DE 的长． 2、如图，在△ABC 中，AB=AC ，点 D 在 BC 上,BD=DC,过点 D 作 DE ⊥Ac ，垂足为 E ，⊙O 经过 A 、B 、Di 三点， (1)求证:AB 是⊙O 的直径; (2)判断 DE 与⊙O 的位置关系，并加以证明; (3)若⊙O 的半径为 3，∠BAC=60。 ，求 DE 的长. 3、如图，AB 是⊙O 的直径，点 C 、D 在⊙O 上，∠A=2∠BCD ，点 E 在 AB 的延长线上，∠AED=∠ABC （1）求证：DE 与⊙O 相切； （2）若 BF=2， DF= ，求⊙O 的半径． 4、如图，已知 AD 是△ABC 的外角∠EAC 的平分线，交 BC 的延长线于点 D ，延长 DA 交△ABC 的外接圆于点 F ，连接 FB ，FC ．（1）求证：∠FBC=∠FCB ； （2）已知 FA?FD=12，若 AB 是△ABC 外 接圆的直径，FA=2，求 CD 的长． 5、如图，AB 是⊙O 的直径，点 C 在 AB 的延长线上，CD 与⊙O 相切于点 D ，CE ⊥AD ，交 AD 的延长线于点 E ． （1）求证：∠BDC =∠A ； （2）若 CE =4，DE =2，求 AD 的长． 6、如图，在△ABC 中，以 BC 为直径的圆交 AC 于点 D ，∠ABD ＝∠ACB 。 (1)求证：AB 是圆的切 线； (2)若点 E 是 BC 上一点，已知 BE ＝4 ,tan ∠AEB ＝， AB ∶BC ＝2∶3，求圆的直径． 7、如图，在△ABC 中，∠C=90° ，∠BAC 的平分线交 BC 于点 D ，点 O 在 AB 上，以点 O 为圆心，OA 为半径的圆恰好经过点 D ，分别交 AC ， AB 于点 E ，F. （1）试判断直线 BC 与⊙O 的位置关系，并说明理由； （2）若 BD=2，BF=2，求阴影部分的面积（结果保留 π）

圆中的最值问题

圆中的最值问题 【考题展示】 题1 （2012年武汉中考）在坐标系中，点A的坐标为（3,0),点B为y轴正半轴上的一点,点C是第一象限内一点，且AC=2．设tan∠BOC=m，则m的取值范围是_________． 题2 （2013年武汉元调)如图，在边长为1的等边△OAB中，以边AB为直径作⊙D，以O为圆心OA长为半径作⊙O，C为半圆弧AB上的一个动点(不与A、B两点重合），射线AC交⊙O于点E，BC=a，AC=b，求 +的最大值.（有修改） a b 题3 (2013年武汉四调)如图,∠BAC=60°，半径长为1的圆O与∠BAC的两边相切，P为圆O上一动点，以P 为圆心，PA长为半径的圆P交射线AB、AC于D、E两点,连接DE，则线段DE长度的最大值为_________．题4 （2013年武汉五模）在△ABC中,120 BC=．若△ABC的内切圆半径为r，则r的最大值为 A ∠=?，6 _________．（有修改） 题5 (2013年武汉中考)如图，E,F是正方形ABCD的边AD上两个动点,满足AE=DF．连接CF交BD于点G,连接BE交AG于点H．若正方形的边长为2,则线段DH长度的最小值是_________． 题1图题2 图题3 图

【典题讲练】 类型1（相关题：题5） 1.1 如图，边长为a的等边△ABC的顶点A，B分别在x轴正半轴和y轴正半轴上运动，则动点C到原点O 的距离的最大值是_________． 1。2在直角坐标系中，△ABC满足，∠C=90°,AC=8,BC=6，点A，B分别在x轴、y轴上，当A点从原点开始在正x轴上运动时，点B随着在正y轴上运动（下图)，求原点O到点C的距离OC的最大值，并确定此时图形应满足什么条件． 1。3如图，在平面直角坐标系中,已知等腰直角三角形ABC,∠C=90°，AC=BC=2，点A、C分别在x轴、y轴上，当点A从原点开始在x轴的正半轴上运动时，点C在y轴正半轴上运动． （1）当A在原点时，求点B的坐标； （2)当OA=OC时，求原点O到点B的距离OB； (3）在运动的过程中，求原点O到点B的距离OB的最大值,并说明理由．

(完整word版)专题：阿氏圆与线段和最值问题(含答案),推荐文档

专题：阿氏圆与线段和最值问题 以阿氏圆(阿波罗尼斯圆)为背景的几何问题近年来在中考数学中经常出现，对于此类问题的归纳和剖析显得非常重要. 具体内容如下： 阿氏圆定理(全称：阿波罗尼斯圆定理)，具体的描述：一动点P 到两定点A 、 B 的距离之比等于定比n m (≠1)，则P 点的轨迹，是以定比n m 内分和外分定线段 AB 的两个分点的连线为直径的圆．这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，该圆称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆． 定理读起来和理解起来比较枯燥，阿氏圆题型也就是大家经常见到的PA+kPB ，(k ≠1)P 点的运动轨迹是圆或者圆弧的题型. PA+kPB,(k ≠1)P 点的运动轨迹是圆或圆弧的题型 阿氏圆基本解法：构造母子三角形相似 例题1、问题提出：如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CB ＝4，CA ＝6，⊙C 半径为2，P 为圆上一动点，连结AP 、BP ，求AP +BP 的最小值． （1）尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图2，连接CP ，在CB 上取点D ，使CD ＝1，则有 ＝ ＝，又∵∠PCD ＝∠BCP ，∴△PCD ∽△BCP ．∴ ＝，∴PD ＝BP ，∴AP +BP ＝AP +PD ． 请你完成余下的思考，并直接写出答案：AP +BP 的最小值为 ． （2）自主探索：在“问题提出”的条件不变的情况下，AP +BP 的最小值为 ． （3）拓展延伸：已知扇形COD 中，∠COD ＝90°，OC ＝6，OA ＝3，OB ＝5，点P 是上一点，求2P A +PB 的最小值． 【分析】（1）利用勾股定理即可求出，最小值为AD ＝ ；

[实用参考]初中圆题型总结

圆的基本题型 纵观近几年全国各地中考题，圆的有关概念以及性质等一般以填空题，选择题的形式考查并占有一定的分值；一般在10分－15分左右，圆的有关性质，如垂径定理，圆周角，切线的判定与性质等综合性问题的运用一般以计算证明的形式考查；利用圆的知识与其他知识点如代数函数，方程等相结合作为中考压轴题将会占有非常重要的地位，另外与圆有关的实际应用题，阅读理解题，探索存在性问题仍是热门考题，应引起注意.下面究近年来圆的有关热点题型，举例解析如下。 一、圆的性质及重要定理的考查 基础知识链接：（1）垂径定理；（2）同圆或等圆中的圆心角、弦、弧之间的关系.(3)圆周角定理及推论（4）圆内接四边形性质 【例1】（江苏镇江）如图，为⊙O直径，为弦，且，垂足为． （1）的平分线交⊙O于，连结．求证：为弧ADB的中点； （2）如果⊙O的半径为，， ①求到弦的距离； ②填空：此时圆周上存在个点到直线的距离为． 【解析】（1）， 又，． ． 又，． 为弧ADB的中点． （2）①，为⊙O的直径，，

．又，． ，． 作于，则． ②3. 【点评】本题综合考查了利用垂径定理和勾股定理及锐角三角函数求解问题的能力.运用垂径定理时，需添加辅助线构造与定理相关的“基本图形”. 几何上把圆心到弦的距离叫做弦心距,本题的弦心距就是指线段OD的长.在圆中解有关弦心距半径有关问题时,常常添加的辅助线是连半径或作出弦心距,把垂径定理和勾股定理结合起来解题.如图,⊙O的半径为,弦心距为,弦长之间的关系为.根据此公式,在、、三个量中,知道任何两个量就可以求出第三个量.平时在解题过程中要善于发现并运用这个基本图形. 【例2】（安徽芜湖）如图，已知点E是圆O上的点， B、C分别是劣弧的三等分点，， 则的度数为． 【解析】由B、C分别是劣弧的三等分点知，圆心角∠AOB=∠BOC=∠COD, 又，所以∠AOD=138o. 根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半。从而有＝69o. 点评本题根据同圆或等圆中的圆心角、圆周角的关系。 【强化练习】 【1】.如图，⊙O是ABC的外接圆，，AD，CE分别是BC，AB上的高，且AD，CE交于点H，求证：AH=AO (1)如图，在⊙O中，弦AC⊥BD，OE⊥AB，垂足为E，求证：OE=1 2 CD

2016年中考压轴题专题：与圆有关的最值问题(附答案)

与圆有关的最值（取值范围）问题 引例1：在坐标系中，点A的坐标为(3，0)，点B为y轴正半轴上的一点，点C是第一象限内一点，且AC=2．设tan∠BOC=m，则m的取值范围是_________． 引例2：如图，在边长为1的等边△OAB中，以边AB为直径作⊙D，以O为圆心OA长为半径作⊙O，C为半圆弧上的一个动点（不与A、B两点重合），射线AC交⊙O于点E， ?AB BC=，AC=，求的最大值. a b a b 引例3：如图，∠BAC=60°，半径长为1的圆O与∠BAC的两边相切，P为圆O上一动点，以P为圆心，PA长为半径的圆P交射线AB、AC于D、E两点，连接DE，则线段DE 长度的最大值为( ). A．3 B．6 C D． 一、题目分析： 此题是一个圆中的动点问题，也是圆中的最值问题，主要考察了圆内的基础知识、基本技能和基本思维方法，注重了初、高中知识的衔接 1．引例1：通过隐藏圆（高中轨迹的定义），寻找动点C与两个定点O、A构成夹角的变化规律，转化为特殊位置（相切）进行线段、角度有关计算，同时对三角函数值的变化（增减性）进行了延伸考查，其实质是高中“直线斜率”的直接运用； 2．引例2：通过圆的基本性质，寻找动点C与两个定点A、B构成三角形的不变条件，结合不等式的性质进行转化，其实质是高中“柯西不等式”的直接运用； 3．引例3：本例动点的个数由引例1、引例2中的一个动点，增加为三个动点，从性质运用、构图形式、动点关联上增加了题目的难度，解答中还是注意动点D、E与一个定点A 构成三角形的不变条件（∠DAE=60°），构造弦DE、直径所在的直角三角形，从而转化为弦DE与半径AP之间的数量关系，其实质是高中“正弦定理”的直接运用； 综合比较、回顾这三个问题，知识本身的难度并不大，但其难点在于学生不知道转化的套路，只能凭直观感觉去寻找、猜想关键位置来求解，但对其真正的几何原理却无法通透. 二、解题策略 1．直观感觉，画出图形； 2．特殊位置，比较结果； 3．理性分析动点过程中所维系的不变条件，通过几何构建，寻找动量与定量（常量）之间的关系，建立等式，进行转化.

苏科版九年级数学上册《圆有关的最值问题》专题(解析版)

圆有关的最值问题 一、求解方法： 1．根据“三角形三边关系”求解： -≤≤+ a b c a b 2．动中有静，抓住不变量求解． 3．旋转必产生圆，很多情况在相切位置产生最值． 4．四点共圆（补充）． 五个基本判断方法： (1)若四个点到一个定点的距离相等，则这四个点共圆． (2)若一个四边形的一组对角互补（和为180。），则这个四边形的四个点共圆． (3)若一个四边形的外角等于它的内对角，则这个四边形的四个点共圆． (4)若两个点在一条线段的同旁，并且和这条线段的两端连线所夹的角相等，那么这两个点和这条线的两个端点共圆． (5)同斜边的直角三角形的顶点共圆， 二、解题策略 1．直观感觉，画出图形； 2．特殊位置，比较结果； 3．理性分析动点过程中所维系的不变条件，通过几何构建，寻找动量与定量（常量）之间的关系，建立等式，进行转化．

三、中考展望与题型训练 例一、圆外一点与圆的最近点、最远点 1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，点D是平面内的一个动点，且AD＝2，M为BD的中点，在D点运动过程中，线段CM长度的取值范围是． 例二、正弦定理 2．如图，△ABC中，∠BAC＝60°，∠ABC＝45°，AB＝4，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径作⊙O分别交AB、AC于E、F，连结EF，则线段EF长度的最小值为． 3．如图，定长弦CD在以AB为直径的⊙O上滑动（点C、D与点A、B不重合），M是CD 的中点，过点C作CP⊥AB于点P，若CD＝3，AB＝8，PM＝l，则l的最大值是．例三、不等式、配方法 4．如图，已知半径为2的⊙O与直线l相切于点A，点P是直径AB左侧半圆上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为C，PC与⊙O交于点D，连接P A、PB，设PC的长为x（2＜x＜4）．当x为何值时，PD?CD的值最大？最大值是多少？

圆最值问题题型归纳

x y O C 圆中最值问题 类型一 圆上一点到直线距离的最值问题 例1 已知P 为直线y=x +1上任一点，Q 为圆C ： 22(3)1x y -+=上任一点，则PQ 的最小值为 . 变题1：已知A (0,1),B (2,3),Q 为圆C 22(3)1x y -+=上任一点，则QAB S V 的最小值为 . 变题2：由直线y=x +1上一点向圆C ：22(3)1x y -+=引切线，则切线长的最小值为 变题3：已知P 为直线y=x +1上一动点，过P 作圆C ：22(3)1x y -+=的切线PA ，PB,A 、B 为切点，则当PC= 时，APB ∠最大． 变题4：已知P 为直线y=x +1上一动点，过P 作圆C ：22(3)1x y -+=的切线PA ，PB,A 、B 为切点，则四边形PACB 面积的最小值为 . 例2已知圆C ：222430x y x y ++-+=，从圆C 外一点11(,)P x y 向该圆 引一条切线，切点为M ，O 为坐标原点，且有PM=PO ,求使得PM 取得最小 值的点P 坐标． 类型二 利用圆的参数方程求最值（或几何意义） 例3若实数x 、y 满足22240x y x y ++-=，求x-2y 的最大值． 如在上例中，改为求 12 y x --，22(2)(1)x y -+-，1x y --的取值范围，该怎么求解？ 类型三：转化成函数或不等式求最值 例4已知圆O ：22 1x y +=，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为两切点，则PA PB ? 的最小值为

例5已知圆C ：22+24x y +=（）， 过点(1,0)A -做两条互相垂直的直线12l l 、，1l 交圆C 与E 、F 两点，2l 交圆C 与G 、H 两点， （1）EF +GH 的最大值．(2) 求四边形EGFH 面积的最大值． 6、已知 C 过点)1,1(P ,且与 M :222(2)(2)(0)x y r r +++=>关于直线20x y ++=对称. (Ⅰ)求 C 的方程； (Ⅱ)设Q 为 C 上的一个动点,求PQ MQ ? 的最小值； (Ⅲ)过点P 作两条相异直线分别与 C 相交于B A ,,且直线PA 和直线PB 的倾斜角互补,O 为坐标原点,试判断直线OP 和AB 是否平行?请说明理由. 7、如图，在矩形ABCD 中，3,1AB BC ==，以A 为圆 心1为半径的圆与AB 交于E （圆弧DE 为圆在矩形内的部 分） （Ⅰ）在圆弧DE 上确定P 点的位置，使过P 的切线l 平分 矩形ABCD 的面积； （Ⅱ）若动圆M 与满足题（Ⅰ）的切线l 及边DC 都相切， 试确定M 的位置，使圆M 为矩形内部面积最大的圆． l P E C A B M D

圆中的最值问题

拔高专题圆中的最值问题 一、基本模型构建 常见模型 图(1) 图 （2） 思考图（1）两点之间线段最短； 图（2）垂线段最短。 .在直线L上的同侧有两个 点A、B，在直线L上有到A、B 的距离之和最短的点存在，可 以通过轴对称来确定，即作出 其中一点关于直线L的对称 点，对称点与另一点的连线与 直线L的交点就是所要找的点． 二、拔高精讲精练 探究点一：点与圆上的点的距离的最值问题 例1：如图，A点是⊙O上直径MN所分的半圆的一个三等分点，B点是弧AN的中点，P点是MN上一动点，⊙O的半径为3，求AP+BP的最小值。 解：作点A关于MN的对称点A′，连接A′B，交MN于点P，连接OA′，AA′． ∵点A与A′关于MN对称，点A是半圆上的一个三等分点， ∴∠A′ON=∠AON=60°，PA=PA′，∵点B是弧AN的中点， ∴∠BON=30°，∴∠A′OB=∠A′ON+∠BON=90°，又∵OA=OA′=3， ∴A′B=32．∵两点之间线段最短，∴PA+PB=PA′+PB=A′B=32． 【教师总结】解决此题的关键是确定点P的位置．根据轴对称和两点之间线段最短的知识，把两条线段的和转化为一条线段，即可计算。

探究点二：直线与圆上点的距离的最值问题 例2：如图，在Rt△AOB中，OA=OB=32，⊙O的半径为1，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ（点Q为切点），求切线PQ的最小值 解：连接OP、OQ．∵PQ是⊙O的切线，∴OQ⊥PQ；根据勾股定理知PQ2=OP2-OQ2， ∴当PO⊥AB时，线段PQ最短，∵在Rt△AOB中，OA=OB=3 2， ∴AB=2OA=6，∴OP= ? OA OB AB =3，∴PQ=22 OP OQ =22． 【变式训练】如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点O为圆心，2为半径画⊙O，P是⊙O是一动点且P在第一象限内，过P作⊙O切线与x轴相交于点A，与y轴相交于点B．求线段AB的最小值． 解：（1）线段AB长度的最小值为4， 理由如下： 连接OP， ∵AB切⊙O于P， ∴OP⊥AB， 取AB的中点C， ∴AB=2OC； 当OC=OP时，OC最短， 即AB最短， 此时AB=4．

与圆有关的最值问题,附详细答案

与圆有关的最值（取值范围）问题，附详细答案 姓名 1.在坐标系中，点A的坐标为(3，0)，点B为y轴正半轴上的一点，点C是第一象限内一 点，且AC=2．设tan∠BOC=m，则m的取值范围是____ _____． 2.如图，在边长为1的等边△OAB中，以边AB为直径作⊙D，以O为圆心OA长为半径作圆 O，C为半圆AB上不与A、B重合的一动点，射线AC交⊙O于点E，BC=a，AC=b． （1）求证：AE=b+a； （2）求a+b的最大值； （3）若m是关于x的方程：x2+ax=b2+ab的一个根，求m的取值范围． 3.如图，∠BAC=60°，半径长为1的圆O与∠BAC的两边相切， P为圆O上一动点，以P为圆心，PA长为半径的圆P交射线AB、AC于D、E两点，连接DE， D． 则线段DE长度的最大值为( ). A．3 B．6 C． 2

4.如图，A点的坐标为（﹣2，1），以A为圆心的⊙A切x轴于点B，P（m，n）为⊙A上的一个动点，请探索n+m的最大值． 5.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，点D是平面内的一个动点，且AD=2，M 为BD的中点，在D点运动过程中，线段CM长度的取值范围是 . 6.如图是某种圆形装置的示意图，圆形装置中，⊙O的直径AB=5，AB的不同侧有定点C和动点P，tan∠CAB=．其运动过程是：点P在弧AB上滑动，过点C作CP的垂线，与PB的延长线交于点Q． （1）当PC= 时，CQ与⊙O相切；此时CQ= ． （2）当点P运动到与点C关于AB对称时，求CQ的长； （3）当点P运动到弧AB的中点时，求CQ的长． （4）在点P的运动过程中，线段CQ长度的取值范围为。 7.如图，△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=D是线段BC上的一个动点，以AD 为直径作⊙O分别交AB，AC于E，F两点，连接EF，则线段EF长度的最小值为．

初三数学圆的知识点总结及经典例题详解

初三数学圆的知识点总结及经典例题详解 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

圆的基本性质 1．半圆或直径所对的圆周角是直角. 2．任意一个三角形一定有一个外接圆. 3．在同一平面内，到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆. 4．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等. 5．同弧所对的圆周角等于圆心角的一半. 6．同圆或等圆的半径相等. 7．过三个点一定可以作一个圆. 8．长度相等的两条弧是等弧. 9．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等. 10．经过圆心平分弦的直径垂直于弦。 直线与圆的位置关系 1．直线与圆有唯一公共点时,叫做直线与圆相切. 2．三角形的外接圆的圆心叫做三角形的外心. 3．弦切角等于所夹的弧所对的圆心角. 4．三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心. 5．垂直于半径的直线必为圆的切线. 6．过半径的外端点并且垂直于半径的直线是圆的切线. 7．垂直于半径的直线是圆的切线. 8．圆的切线垂直于过切点的半径. 圆与圆的位置关系 1．两个圆有且只有一个公共点时,叫做这两个圆外切. 2．相交两圆的连心线垂直平分公共弦. 3．两个圆有两个公共点时,叫做这两个圆相交.

4．两个圆内切时,这两个圆的公切线只有一条. 5．相切两圆的连心线必过切点. 正多边形基本性质 1．正六边形的中心角为60°. 2．矩形是正多边形. 3．正多边形都是轴对称图形. 4．正多边形都是中心对称图形. 圆的基本性质 1．如图，四边形ABCD 内接于⊙O,已知∠C=80°,则∠A 的度数是 . A. 50° B. 80° C. 90° D. 100° 2．已知：如图，⊙O 中, 圆周角∠BAD=50°,则圆周角∠BCD 的度数是 . A.100° B.130° C.80° D.50° 3．已知：如图，⊙O 中, 圆心角∠BOD=100°,则圆周角∠BCD 的度数 是 . A.100° B.130° C.80° D.50° 4．已知：如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，则下列结论中正确的是 . ? B ? ? C B A O ? B O C A D D C A O