定积分与微积分基本定理随堂练习(含答案).doc

定积分与微积分基本定理

基础巩固强化

1.(2011 ?宁夏银川一中月考)求曲线与y=x所围成图形的面

积，其中正确的是()

［答案］B

［分析］根据定积分的几何意义，确定积分上、下限和被积函数.

［解析］两函数图象的交点坐标是(0,0), (1,1),故积分上限是1, 下限是0，由于在［0,1］上，,故函数y =疽与y = x所围成图形的面积S = C\x ~ x2)dx.

［答案］C

［解析］图中阴影部分面积为

S =「(3 - x2 - 2x)dx = (3x %2)l-3 = ~3~- J-3

3.J2A/4—x2dx=( )

A.

4TT B. 2TI

C.

71 D.T

［答案］c

［解析］令y = .4 _ x2,则x2 + y2 = 4(y^0),由定积分的几何意义知所求积分为图中阴影部分的面积，

.*.S=^X K X22= 7t.

Cz ，乙 R

t

4.

00

"1

已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线（假定为直线）行驶.甲车、乙车的速度曲线分别为”甲和”乙（如图所示）.那么对于图中给定的姑和S下列判断中一定正确的是（）

A.在h时刻，甲车在乙车前面

B.在4 口寸刻，甲车在乙车后面

C.在而时刻，两车的位置相同

D.t.时刻后，乙车在甲车前面

［答案］A

［解析］判断甲、乙两车谁在前，谁在后的问题，实际上是判断在如4时刻，甲、乙两车行驶路程的大小问题.根据定积分的几何意义知：车在某段时间内行驶的路程就是该时间段内速度函数的定积分，即速度函数NO的图象与，轴以及时间段围成区域的面积.从图象知：在「0时刻，"甲的图象与?轴和t = 0, t=t Q围成区域的面积大于华的图象与?轴和f = 0, 围成区域的面积，因此，在￡。时刻，甲车在乙车的前面，而且此时乙车的速度刚刚赶上甲车的速度，所以选项C, D错误；同样，在》时刻，"甲的图象与￡轴和t=t｛围成区域的面积，仍然大于"乙的图象与F轴和t=t x围成区域的面积，所以，可以断定：在4时刻，甲车还是在乙车的前面.所以选A.

__ _IT 7T

5.（2012-山东日照模拟）向平面区域Q=｛（x, y）|—云, OW）W1｝内随机投掷一点，该点落在曲线y = cos2x下方的概率是

B.?

A-

A 71

4

D.

271

［答案］D

［解析］平面区域。是矩形区域，其面积是3，在这个区 域中尚线Y = cos2工下方区域的面积是J 12L cos2ad27 =

― 4 ?八 1 7t

1

2.@ cos2 T (1T = 2( — sin2 x) |g=l.故所求的概率是一= Z 2L

—.故选D. 7C

「_7￡

2 7t

6. - (sinr —cosx)ck 的值是(

)

71

A. 0

B.$

C. 2

D. -2

［答案］D

r 7t

7t

［角卒析］ 2 (sinx - cosx)dx = ( 一 cosx - sinx) ? = _

2.

3 - x 1

=(x + + (3x - p )K = | + |= 3.

8. (2010-芜湖十二中)已知函数人X ) = 3J+2X +1,若Ji- \f(x)dx = 2f(ci)成立，则。=.

l+x OWxWl

［解析］..?>

-11 - x\)dx =

*(1 + x)dx + o

_ x)dx

号=

_ Q )'.

［答案］-1 ［解析］.?尸-顷=尸 一 1(3J + 2x + 1 )dx = (x 3

+ J + 尤)|!］=

4, Ji - \f{x)Ax = 2/(^1),.，南? +

+ 2 = 4,

a = - I 或:.

TT

1

9. 欧口 a= / ^o(sinx+cosx)(ir,则二项式(a\［x —j=)6

的展开式中

2 yjx

含尤2项的系数是.

［答案］—192

7T

71

［解析］ 由已知得 a = f 2()(sirLv + cosx)dx = ( - cosx + sinx)0o =

(si 号-cos ，) - (sinO - cosO) = 2,

(2山-十)6 的展开式中第，+1 项是 T r+1 = (-l)r xqx26-r x?- yjx

令 3-r=2 得，Ll,故其系数为(-1)】XC ；X25= - 192.

10. 有一条直线与抛物线y=x 2

相交于*、B 两点，线段AB 与抛 4

物线所围成图形的面积恒等于%求线段的中点P 的轨迹方程.

［解析］设直线与抛物线的两个交点分别为A(①Q 2), B(b,。2), 不妨设a

则直线"的方程为尸疽=芬淀" 即 y = (。+ b)x - ab.

则直线A8与抛物线围成图形的面积为S = C b ［(a + b)x~ ab -

x 2

］dx )a

X =

其中＜

。+ b

a 21-

b 2

2

将b- a = 2代

x = a + 1,

y =

疽 + 2。+ 2.

消去。得y = x 2

+ 1.

.??线段AB 的中点P 的轨迹方程为y = /+ i.

能力拓展提升

11.（2012-郑州二测）等比数列｛□〃｝中,久=6,前三项和

53=J 3

4xck

则公比g 的值为（）

A. 1

B.

C. 1 或一!

D.

［答案］C

「4对尤=2瑚=18,

2q 2- q - \ = 0.

解得 q=l 或 q= -?,故选 C.

［解析］因为& =

所以' + § + 6= 18,化简得 q q

12. (2012-太原模拟)已知(xliix)7

=lnx+l,则plnxck=( ) A. 1 B. e C. e —1 D. e+1

［答案］A

［解析］由 Qdn 对 =lax+l,联想到(x\nx - x)f

=(hu+l)-1 =

Inx,

于是plnxdx = (x\nx - x)\e

i = (e\ne - e) - (1 Xlnl -1)=1.

13.抛物线）F = 2尤与直线y=4-x 围成的平面图形的面积为

???加3）3号

解得b~ a = 2.设线段AB 的中点坐标为P （x, y ）,

1答案］18

y~ = 2x,

［解析］由方程组卜…，解得两交点心）、瑚，-4），

选y作为积分变量x = ；、x = 4-y,

2 2 3

???S= f2［（4-力号曲=（4、号_言）1?4=18.

J -4

14.

已知函数f（x）=e x—l,直线，i：x=L l2：y=e'—l（r为常数，且OW，W1）.直线与函数/（X）的图象围成的封闭图形如图中区域II 所示，其面积用，表示.直线如y轴与函数犬工)的图象围成的封闭图形

如图中区域I所示，其面枳用表示.当［变化时，阴影部分的面积的最小值为?

［答案］醇一1)2

［解析］由题意得+ S2 =『(/ - 1 - e'+ l)dr +『(，- 1 - e' + l)dx = (e - e，)dx + ^\e x - e')dx = (xe1 - e，)l" + (/ - xe,)l,1 = (2t - 3)e' + e + 1,令gQ) = (2r-3)d+e + 1(OWY1),则g f⑺= 2d+⑵-3)4 =。-1)4,令矿⑺=0,得r = §当注［0, 5时，g'(0<0, g⑺是减函数，当氏g, 1］时，g f (0>0, g。)是增函数，因此g。)的最小值为gg) = e+ 1 - 2e§=(衣- 1尸.故阴影部分的面积的最小值为(y［e~ I)2.

15.求下列定积分.

(1)^ — 1 kick; (2) ^cos2^dx；

⑶顷左dx | 解析］(1)J1 - 1 \x\dx = 2 C l xdx = 2 X ^x2lo = 1.

J o

m 0X ml + COSX 1 ” 1 71

(2)pcos^dA： = p——dx =尹I。+ 万sirulo =方.

J。一一一一

(3)f r 1 - ck = ln(x - l)lj' = 1. x _ 1

16.已知函数f(x)^-x3+ax2+bx(a9b^R)的图象如图所示，它与x轴在原点处相切，且工轴与函数图象所围区域(图中阴影部分)的面积为二，求。的值.

积分的性质和积分的几何意义，探求

2

?

C. 1

D. 0

［解析］

-2L

2 7t

乙 7t

2 fMd^c =

T r

二 sin\xdx +

「 K

fix

2 lek,由于函

数y = sin^x 是奇函数，所以

「—

2 sin\dx= 0,而

［解析］f f

（x ） = - 3x 2

+ 2ax + b,,尸（0） = 0,."=0, ?项尤）=一 户 +履,令f （x ） = 0,得尤=0或工=a （a<0）. 二 S 阴影=j^［0 一（一疽 + ax 2

）］dx

-|■履）E = 土/ =占,

???QV O,二。=-L

BXTK 备选题库

1. （201b 龙岩质检）已知函数 ? = sin 5

x+l,根据函数的性质、

）

A.T +?

B. 71 o 2

［答案］

yi

o

B4

J

C. 1

［解析］由图可知。=! +

［；cosxdx = ^s^0 = |.

3=兀，故选B.

J

—x— 1 (_］W?0),

2.若函数?=S - 7T 的图象与坐标轴

所围

cosx (0耳1〈沙

成的封闭图形的面积为们则。的值为()

2 +兀A?4

D.|

［答案］D

3.对任意非零实数。、们若。助的运算原理如图所示，则皿叩

sin^ch=

y

［答案］乎

［解^sinxdx = 一cosxlS = 2＞

皿, 0

.'?V2?psinxdx =也?2 =之皿］=乎.

4.设函数f（x）=ax2-\-c（a^0）,若

dx=/3））， 0 Wx（）而的值为 _____

［答案］平

3

=「（亦 + c）dr =（号 + c?x）l（）= ? + c, 故§ + c = axl J o J o

+ c,即ax^ =又Q UO,所以工* = § 又0Wx（）Wl,所以心=平.故［解

5.

2

，则（L行展开式中含

J项的系数是

2)ck

n

［答案］40

［解析］?.?(尤3-2工)‘ =3/ - 2,

=(23

-2X2)-(1 -2) = 5.

??.(尤-令5的通项公式为7；+i = C

护”(- yjx

5-互 ~ o

3,

=(-2)'Gx

，令 5 - 3 = 2,得,=

??.?？项的系数是(-2)2(3； = 40.

1-定积分与微积分基本定理(理)含答案版

定积分与微积分基本定理(理) 基础巩固强化 1.求曲线y ＝x 2与y ＝x 所围成图形的面积，其中正确的是( ) A ．S ＝?? ?0 1(x 2－x )d x B ．S ＝?? ?0 1 (x －x 2)d x C ．S ＝?? ?0 1 (y 2－y )d y D ．S ＝??? 1 (y － y )d y [答案] B [分析] 根据定积分的几何意义，确定积分上、下限和被积函数． [解析] 两函数图象的交点坐标是(0,0)，(1,1)，故积分上限是1，下限是0，由于在[0,1]上，x ≥x 2，故函数y ＝x 2与y ＝x 所围成图 形的面积S ＝?? ?0 1 (x －x 2)d x . 2．如图，阴影部分面积等于( ) A ．2 3 B ．2－3 [答案] C [解析] 图中阴影部分面积为

S ＝??? -3 1 (3－x 2 －2x )d x ＝(3x －1 3x 3－x 2)|1 －3＝32 3. 4－x 2d x ＝( ) A ．4π B ．2π C ．π [答案] C [解析] 令y ＝4－x 2，则x 2＋y 2＝4(y ≥0)，由定积分的几何意义知所求积分为图中阴影部分的面积， ∴S ＝1 4×π×22＝π. 4.已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线(假定为直线)行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为v 甲和v 乙(如图所示)．那么对于图中给定的t 0和t 1，下列判断中一定正确的是( ) A ．在t 1时刻，甲车在乙车前面 B ．在t 1时刻，甲车在乙车后面 C ．在t 0时刻，两车的位置相同 D ．t 0时刻后，乙车在甲车前面 [答案] A [解析] 判断甲、乙两车谁在前，谁在后的问题，实际上是判断在t 0，t 1时刻，甲、乙两车行驶路程的大小问题．根据定积分的几何意义知：车在某段时间内行驶的路程就是该时间段内速度函数的定积

定积分与微积分基本定理练习题及答案

定积分与微积分基本定理练习题及答案 1.(2011·宁夏银川一中月考)求曲线y ＝x2与y ＝x 所围成图形的面积，其中正确的是( ) A ．S ＝??01(x2－x)dx B ．S ＝??01(x －x2)dx C ．S ＝??01(y2－y)dy D ．S ＝??01(y －y)dy [答案] B [分析] 根据定积分的几何意义，确定积分上、下限和被积函数． [解读] 两函数图象的交点坐标是(0,0)，(1,1)，故积分上限是1，下限是0，由于在[0,1]上，x≥x2，故函数y ＝x2与y ＝x 所围成图形的面积S ＝??0 1(x －x2)dx. 2．(2010·山东日照模考)a ＝??02xdx ，b ＝??02exdx ，c ＝??02sinxdx ，则a 、b 、c 的大小关系 是( ) A ．a2，c ＝??0 2sinxdx ＝－cosx|02 ＝1－cos2∈(1,2)， ∴c

定积分及微积分基本定理练习题及答案

1.4定积分与微积分基本定理练习题及答案 1.(2011·一中月考)求曲线y ＝x2与y ＝x 所围成图形的面积，其中正确的是( ) A ．S ＝??01(x2－x)dx B ．S ＝??01(x －x2)dx C ．S ＝??01(y2－y)dy D ．S ＝??01(y －y)dy [答案] B [分析] 根据定积分的几何意义，确定积分上、下限和被积函数． [解读] 两函数图象的交点坐标是(0,0)，(1,1)，故积分上限是1，下限是0，由于在[0,1]上，x ≥x2，故函数y ＝x2与y ＝x 所围成图形的面积S ＝??0 1(x －x2)dx. 2．(2010·日照模考)a ＝??02xdx ，b ＝??02exdx ，c ＝??02sinxdx ，则a 、b 、c 的大小关系是 ( ) A ．a2，c ＝??02sinxdx ＝－ cosx|02＝1－cos2∈(1,2)， ∴c

高中数学~定积分和微积分基本原理

高中数学~~定积分和微积分基本原理 1、求曲线、直线、坐标轴围成的图形面积 ? [ 高三数学] ? 题型:单选题 由曲线y =x ，直线y =x -2及y 轴所围成的图形的面积为（ ） A. 310 B. 4 C. 3 16 D. 6 问题症结：大概知道解题方向了，但没有解出来，请老师分析 考查知识点： ? 定积分在几何中的应用 ? 用微积分基本定理求定积分值 难度:难 解析过程： 联立方程组,2 ???-==x y x y 得到两曲线的交点坐标为（4，2）， 因此曲线y =x ，直线y =x -2及y 轴所围成的图形的面积为： 3 16)]2([4 = --? dx x x . 答案：C 规律方法： 首先求出曲线y=和直线y=x-2的交点，确定出积分区间和被积函数，然后利用导数和积分的关 系求解． 利用定积分知识求解该区域面积是解题的关键. 高二数学问题 ? [ 高一数学] ? 题型:简答题 曲线y=sinx （0≤x ≤π）与直线y=?围成的封闭图形面积是？ 问题症结：找不到突破口，请老师帮我理一下思路 考查知识点： ? 用定义求定积分值 难度:中 解析过程：

规律方法： 利用定积分的知识求解。 知识点：定积分和微积分基本原理 概述 所属知识点： [导数及其应用] 包含次级知识点： 定积分的概念、定积分的性质、用定义求定积分值、用微积分基本定理求定积分值、用几何意义求定积分的值、定积分在几何中的应用、定积分在物理中的应用、微积分基本原理的含义、微积分基本原理的应用 知识点总结 本节主要包括定积分的概念、定积分的性质、用定义求定积分值、用微积分基本定理求定积分值、用几何意义求定积分的值、定积分在几何中的应用、定积分在物理中的应用、微积分基本原理的含义、微积分基本原理的应用等知识点。对于定积分和微积分基本原理的理解和掌握一定要通过数形结合理解，不能死记硬背。只有理解了定积分的概念，才能理解定积分的几何意义。

7.微积分基本定理练习题

7、微积分基本定理 一、选择题 1.??0 1(x 2 ＋2x )d x 等于( ) A.13 B.23 C ．1 D.43 2．∫2π π(sin x －cos x )d x 等于( ) A ．－3 B ．－2 C ．－1 D ．0 3．自由落体的速率v ＝gt ，则落体从t ＝0到t ＝t 0所走的路程为( ) A.13gt 20 B ．gt 2 0 C.12gt 20 D.16gt 20 4．曲线y ＝cos x ? ????0≤x ≤3π2与坐标轴所围图形的面积是( ) A ．4 B ．2 C.5 2 D ．3 5．如图，阴影部分的面积是( ) A ．2 3 B ．2－ 3 C.323 D.35 3 6.??0 3|x 2－4|d x ＝( ) A.213 B.223 C.233 D.25 3 7．??241 x d x 等于( ) A ．－2ln2 B ．2ln2 C ．－ln2 D ．ln2 8．若??1a ? ?? ??2x ＋1x d x ＝3＋ln2，则a 等于( ) A ．6 B ．4 C ．3 D ．2 9．(2010·山东理，7)由曲线y ＝x 2 ，y ＝x 3 围成的封闭图形面积为( ) A.112 B.14 C.13 D.7 12 10．设f (x )＝??? ?? x 2 0≤x <12－x 1

11．从如图所示的长方形区域内任取一个点M (x ，y )，则点M 取自阴影部分的概率为________． 12．一物体沿直线以v ＝1＋t m/s 的速度运动，该物体运动开始后10s 内所经过的路程是________． 13．求曲线y ＝sin x 与直线x ＝－π2，x ＝5 4π，y ＝0所围图形的面积为________． 14．若a ＝??02x 2 d x ，b ＝??02x 3 d x ，c ＝??0 2sin x d x ，则a 、b 、c 大小关系是________． 三、解答题 15．求下列定积分： ①??0 2(3x 2＋4x 3 )d x ； ② sin 2 x 2 d x . 17．求直线y ＝2x ＋3与抛物线y ＝x 2 所围成的图形的面积． 18．(1)已知f (a )＝??0 1(2ax 2 －a 2 x )d x ，求f (a )的最大值； (2)已知f (x )＝ax 2 ＋bx ＋c (a ≠0)，且f (－1)＝2，f ′(0)＝0，??0 1f (x )d x ＝－2，求a ，b ，c 的值． DBCDCCDDAC 11. 13 12. 23(1132－1) 13.4－2 2 [解析] 所求面积为 ＝1＋2＋? ?? ?? 1－22＝4－22. 14.[答案] c

2020年全国高考数学·第15讲 定积分和微积分基本定理

2020年全国高考数学 第15讲 定积分和微积分基本定理 考纲解读 1.了解定积分的实际背景、基本思想及概念. 2.了解微积分基本定理的含义. 命题趋势探究 定积分的考查以计算为主，其应用主要是求一个曲边梯形的面积，题型主要为选择题和填空题. 知识点精讲 基本概念 1.定积分的极念 一般地，设函效()f x 在区间[a ，b]上连续.用分点0121i i a x x x x x -=<<<<

定积分与微积分基本定理

教学过程

一、课堂导入 问题：什么是定积分？定积分与微积分基本定理是什么？ 二、复习预习 1．被积函数若含有绝对值号，应先去绝对值号，再分段积分．

2．若积分式子中有几个不同的参数，则必须先分清谁是被积变量． 3．定积分式子中隐含的条件是积分上限大于积分下限． 4．定积分的几何意义是曲边梯形的面积，但要注意：面积非负，而定积分的结果可以为负． 5．将要求面积的图形进行科学而准确的划分，可使面积的求解变得简捷． 三、知识讲解 考点1 定积分的概念 设函数y＝f(x)定义在区间[a，b]上用分点a＝x0

在每个小区间内任取一点ξi，作和式I n＝∑n－1 i＝0 f(ξi)Δx i.当λ→0时，如果和式的极限存在，把和式I n的极限叫做函数f(x) 在区间[a，b]上的定积分，记作?b a f(x)d x，即?b a f(x)d x＝lim λ→0∑n－1 i＝0 f(ξi)Δx i，其中f(x)叫做被积函数，f(x)d x叫做被积式，a 为积分下限，b为积分上限．

(1)?b a kf(x)d x＝k?b a f(x)d x (k为常数)． (2)?b a[f(x)±g(x)]d x＝?b a f(x)d x±?b a g(x)d x. (3)?b a f(x)d x＝?c a f(x)d x＋?b c f(x)d x (a

定积分与微分基本定理

定积分与微积分基本定理 一、目标与策略 明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！ 学习目标： ● 了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念、几何意义. ● 直观了解微积分基本定理的含义，并能用定理计算简单的定积分. ● 应用定积分解决平面图形的面积、变速直线运动的路程和变力作功等问题，在解决问题的过程中体验定积分的价值. 重点难点： ● 重点：正确计算定积分，利用定积分求面积. ● 难点：定积分的概念，将实际问题化归为定积分问题. 学习策略： ● 运用“以直代曲”、“以不变代变”的思想方法，理解定积分的概念. ● 求定积分主要是要找到被积函数的原函数，也就是说，要找到一个函数，它的导函数等于被积函数. ● 求导运算与求原函数运算互为逆运算. 二、学习与应用 常见基本函数的导数公式 （1）()f x C =（C 为常数），则'()f x = （2）()n f x x =（n 为有理数），则'()f x = （3）()sin f x x =，则'()f x = （4）()cos f x x =，则'()f x = （5）()x f x e =，则'()f x = （6）()x f x a =，则'()f x = “凡事预则立，不预则废”。科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对 知识回顾——复习 学习新知识之前，看看你的知识贮备过关了吗？

（7）()ln f x x =，则'()f x = （8）()log a f x x =，则'()f x = 函数四则运算求导法则 设 ()f x ，()g x 均可导 （1）和差的导数：[()()]'f x g x ±= （2）积的导数：[()()]'f x g x ?= （3）商的导数：()[]'() f x g x = （()0g x ≠） 知识点一：定积分的概念 如果函数)(x f 在区间[,]a b 上连续，用分点b x x x x x a n n =<

专题13 定积分与微积分基本定理知识点

考点13 定积分与微积分基本定理 一、定积分 1．曲边梯形的面积 （1）曲边梯形：由直线x =a 、x =b (a ≠b )、y =0和曲线()y f x =所围成的图形称为曲边梯形(如图①)． （2）求曲边梯形面积的方法与步骤： ①分割：把区间[a ，b ]分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形(如图②)； ②近似代替：对每个小曲边梯形“以值代曲”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值(如图②)； ③求和：把以近似代替得到的每个小曲边梯形面积的近似值求和； ④取极限：当小曲边梯形的个数趋向无穷时，各小曲边梯形的面积之和趋向一个定值，即为曲边梯形的面积． 2．求变速直线运动的路程 3．定积分的定义和相关概念 （1）如果函数f (x )在区间[a ,b ]上连续，用分点a =x 0

()d b a f x x ? =1 lim ()n i n i b a f n ξ→∞ =-∑ . （2）在 ()d b a f x x ? 中，a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ,b ]叫做积分区间，函数()f x 叫做被 积函数，x 叫做积分变量，f (x )d x 叫做被积式． 4．定积分的性质 （1）()()d d b b a a kf x x k f x x =??(k 为常数)； （2）[()()]d ()d ()d b b b a a a f x g x x f x x g x x ±=±? ??； （3） ()d =()d +()d b c b a a c f x x f x x f x x ? ??(其中a

定积分与微积分基本定理

定积分与微积分基本定理 [考纲传真] 1.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念.2.了解微积分基本定理的含义． 【知识通关】 1．定积分的有关概念与几何意义 (1)定积分的定义 如果函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点将区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在 每个小区间上任取一点ξi (i ＝1,2，…，n )，作和式∑n i ＝1f (ξi )Δx ＝∑n i ＝1 b －a n f (ξi )，当n →∞ 时，上述和式无限接近于某个常数，这个常数叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定 积分，记作??a b f (x )d x ，即??a b f (x )d x ＝lim n →∞∑n i ＝1 b －a n f (ξi )． 在??a b f (x )d x 中，a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，函数f (x )叫做被积函数，x 叫做积分变量，f (x )d x 叫做被积式． (2)定积分的几何意义 图形 阴影部分面积 S ＝??a b f (x )d x S ＝－??a b f (x )d x S ＝??a c f (x )d x －??c b f (x )d x S ＝??a b f (x )d x －??a b g(x )d x ＝??a b [f (x )－g(x )]d x 2.(1)??a b kf (x )d x ＝k ??a b f (x )d x (k 为常数)；

(2)??a b [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝??a b f 1(x )d x ±??a b f 2(x )d x ； (3)??a b f (x )d x ＝??a c f (x ) d x ＋??c b f (x )d x (其中a

(完整版)高中数学高考总复习定积分与微积分基本定理习题及详解()

高中数学高考总复习定积分与微积分基本定理习题及详解 一、选择题 1．(2010·山东日照模考)a ＝??0 2x d x ，b ＝??02e x d x ，c ＝??0 2sin x d x ，则a 、b 、c 的大小关系是 ( ) A ．a 2，c ＝? ?0 2sin x d x ＝－cos x |02＝1 －cos2∈(1,2)， ∴c

§1.6微积分基本定理

1.6微积分基本定理 一：教学目标 知识与技能目标 通过实例，直观了解微积分基本定理的含义，会用牛顿-莱布尼兹公式求简单的定积分 过程与方法 通过实例体会用微积分基本定理求定积分的方法 情感态度与价值观 通过微积分基本定理的学习，体会事物间的相互转化、对立统一的辩证关系，培养学生辩证唯物主义观点，提高理性思维能力。 二：教学重难点 重点通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系，使学生直观了解微积分基本定理的含义，并能正确运用基本定理计算简单的定积分。 难点 了解微积分基本定理的含义 三：教学过程： 1、复习： 定积分的概念及用定义计算 2、引入新课 我们讲过用定积分定义计算定积分,但其计算过程比较复杂，所以不是求定积分的一般方法。我们必须寻求计算定积分的新方法，也是比较一般的方法。 变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系 设一物体沿直线作变速运动，在时刻t 时物体所在位置为S(t),速度为v(t)（()v t o ≥）， 则物体在时间间隔12[,]T T 内经过的路程可用速度函数表示为 21()T T v t dt ?。 另一方面，这段路程还可以通过位置函数S （t ）在12[,]T T 上的增量12()()S T S T -来表达，即 21()T T v t dt ? =12()()S T S T - 而()()S t v t '=。 对于一般函数()f x ，设()()F x f x '=，是否也有

()()()b a f x dx F b F a =-? 若上式成立，我们就找到了用()f x 的原函数（即满足()()F x f x '=）的数值差()()F b F a -来计算()f x 在[,]a b 上的定积分的方法。 注：1：定理 如果函数()F x 是[,]a b 上的连续函数()f x 的任意一个原函数，则 ()()()b a f x dx F b F a =-? 证明：因为()x Φ=()x a f t dt ?与()F x 都是()f x 的原函数，故 ()F x -()x Φ=C （a x b ≤≤） 其中C 为某一常数。 令x a =得()F a -()a Φ=C ，且()a Φ= ()a a f t dt ?=0 即有C=()F a ，故()F x =()x Φ+()F a ∴ ()x Φ=()F x -()F a =()x a f t dt ? 令x b =，有()()()b a f x dx F b F a =-? 此处并不要求学生理解证明的过程 为了方便起见，还常用()|b a F x 表示()()F b F a -，即 ()()|()()b b a a f x dx F x F b F a ==-? 该式称之为微积分基本公式或牛顿—莱布尼兹公式。它指出了求连续函数定积分的一般方法，把求定积分的问题，转化成求原函数的问题，是微分学与积分学之间联系的桥梁。 它不仅揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时也提供计算定积分的一种有效方法，为后面的学习奠定了基础。因此它在教材中处于极其重要的地位，起到了承上启下的作用，不仅如此，它甚至给微积分学的发展带来了深远的影响，是微积分学中最重要最辉煌的成果。 例1．计算下列定积分： （1）2 11dx x ?； （2）3211(2)x dx x -?。 解：（1）因为'1(ln )x x =， 所以22111ln |ln 2ln1ln 2dx x x ==-=?。 （2））因为2''211()2,()x x x x ==-， 所以3332211111(2)2x dx xdx dx x x -=-??? 233111122||(91)(1)33x x =+=-+-=。 练习：计算 120x dx ? 解：由于313 x 是2x 的一个原函数，所以根据牛顿—莱布尼兹公式有

定积分与微积分基本定理1

第23练 定积分与微积分基本定理 一、选择题 1．(2016·安徽示范高中联考)??1 e ? ????2x ＋1x d x 等于( ) A ．e 2 －2 B ．e －1 C ．e 2 D ．e ＋1 2．从空中自由下落的一物体，在第一秒末恰经过电视塔塔顶，在第二秒末物体落地，已知自由落体的运动速度为v ＝gt (g 为常数)，则电视塔高为( ) A.1 2g B ．g C.32 g D ．2g 3．(2016·江西师大附中期末)若? ?1 2(x －a )d x ＝∫π 40cos 2x d x ，则a 等于( ) A ．－1 B ．1 C ．2 D ．4 4.(2016·淄博一模)如图所示，曲线y ＝x 2 －1，x ＝2，x ＝0，y ＝0围成的阴影部分的面积为( ) A .??02|x 2 －1|d x B.???? ??02(x 2 －1)d x C.??0 2(x 2 －1)d x D.??01(x 2 －1)d x ＋??1 2(1－x 2 )d x

5．(2016·天津蓟县期中)由直线y ＝x 和曲线y ＝x 3 围成的封闭图形面积为( ) A.14 B.12 C ．1 D ．2 6．(2016·辽宁师大附中期中)定积分??0 1x (2－x )d x 的值为( ) A.π4 B. π2 C ．π D ．2π 7．(2016·山西四校联考)定积分??-2 2|x 2 －2x |d x 等于( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 8．若函数f (x )，g (x )满足? ?1－1f (x )g (x )d x ＝0，则称f (x )，g (x )为区间[－1,1]上的一组 正交函数．给出三组函数： ①f (x )＝sin 12x ，g (x )＝cos 12x ；②f (x )＝x ＋1，g (x )＝x －1；③f (x )＝x ，g (x )＝x 2 . 其中为区间[－1,1]上的正交函数的组数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 二、填空题 9．(2016·江西高安二中段考)已知? ?a －a(sin x ＋3x 2 )d x ＝16，则正实数a 的值为________． 10．(2017·德州月考)如图，已知点A ? ?? ??0，14，点P (x 0，y 0)(x 0>0)在曲线y ＝x 2 上，若阴影 部分面积与△OAP 面积相等，则x 0＝________. 11．设变力F (x )作用在质点M 上，使M 沿x 轴正向从x ＝1运动到x ＝10，已知F (x )＝x 2 ＋1且方向和x 轴正向相同，则变力F (x )对质点M 所做的功为________ J(x 的单位：m ；力的单位：N)． 12．(2016·洛阳统考)用min{a ，b }表示a ，b 两个数中的较小的数，设f (x )＝min{x 2 ，x }，那么由函数y ＝f (x )的图象、x 轴、直线x ＝1 2和直线x ＝4所围成的封闭图形的面积为 ________.

定积分与微积分基本定理

定积分与微积分基本定 理 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】

课题：定积分与微积分定理使用时间：2011-10-11 【使用说明及学法指导】 1.先仔细阅读教材选修2-2：,再思考知识梳理所提问题，有针对性的二次阅读教材，构建知识体系，画出知识树； 2.限时30分钟独立、规范完成探究部分，并总结规律方法. 【学习目标】 1．了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念、几何意义。 2．直观了解微积分基本定理的含义,并能用定理计算简单的定积分。 3．应用定积分解决平面图形的面积、变速直线运动的路程和变力作功等问题，在解决问题的过程中体验定积分的价值.？ 学习重点：正确计算定积分，利用定积分求面积。 学习难点：定积分的概念，将实际问题化归为定积分问题。 学习策略： ①运用“以直代曲”、“以不变代变”的思想方法，理解定积分的概念。 ②求定积分主要是要找到被积函数的原函数，也就是说，要找到一个函数，它的导函数等于被积函数. ③求导运算与求原函数运算互为逆运算. 【课前预习】 一、基础知识梳理： 知识点一：定积分的概念

如果函数在区间上连续，用分点 将区间分为n个小区间，在每个小区间上任取一点 （i=1,2,3…,n），作和式，当时，上述和式无限趋近于某个常数，这个常数叫做在区间上的定积分.记作.即＝，这里，与分别叫做积分与积分，区间 叫做，函数叫做，叫做，叫做 . 说明：（1）定积分的值是一个常数，可正、可负、可为零；（2）用定义求定积分的四个基本步骤：①分割；②近似代替；③求和；④取极限. 知识点二：定积分的几何意义： 设函数在区间上连续. 在上，当时，定积分在几何上表示由曲线以及直线与轴围成的； 在上，当时，由曲线以及直线与轴围成的曲边梯形位于轴下方，定积分在几何上表示曲边梯形面积 的；

定积分与微积分含答案

定积分与微积分基本定理 基础热身 1．已知f (x )为偶函数，且 ??0 6f(x)d x ＝8，则? ?6－6f(x)d x ＝( ) A ．0 B ．4 C ．8 D ．16 2． 设f(x)＝??? x 2，x ∈[0，1]， 1 x ，x ∈ 1，e ] (其中e 为自然对数的底数)，则??0 e f(x)d x 的值为( ) B ．2 C ．1 3．若a ＝??0 2x 2d x ，b ＝??0 2x 3d x ，c ＝??0 2sin x d x ，则a 、b 、c 的大小关 系是( ) A ．a

8．若??0 k (2x －3x 2)d x ＝0，则k 等于( ) A ．0 B ．1 C ．0或1 D ．以上均不对 9．如果10 N 的力能使弹簧压缩10 cm ，为在弹性限度内将弹簧拉长6 cm ，则力所做的功为( ) A ． J B ． J C ． J D ． J 10．设函数y ＝f(x)的定义域为R ＋，若对于给定的正数K ，定义函 数f K (x )＝? ?? ?? K ，f x ≤K ， f x ，f x >K ， 则当函数f (x )＝1 x ，K ＝1时，定积分??2 1 4f K (x)d x 的值为________． | (x －x 2)d x ＝________. 12． ∫π 20(sin x ＋a cos x)d x ＝2，则实数a ＝________. 13．由抛物线y 2 ＝2x 与直线x ＝12及x 轴所围成的图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积为________． 14．(10分)已知函数f(x)＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 的图象如图K 15－2所示，直线y ＝0在原点处与函数图象相切，且此切线与函数图象所围 成的区域(阴影)面积为27 4，求f(x)的解析式． 图K 15－2 15．(13分)如图K 15－3所示，已知曲线C 1：y ＝x 2与曲线C 2：y ＝－x 2＋2ax(a>1)交于点O 、A ，直线x ＝t(0

高中数学16微积分基本定理(教案)

三、教学过程 1、复习： 定积分的概念及用定义计算 2、引入新课 我们讲过用定积分定义计算定积分,但其计算过程比较复杂，所以不是求定积分的一般方法。我们必须寻求计算定积分的新方法，也是比较一般的方法。 变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系 设一物体沿直线作变速运动，在时刻t 时物体所在位置为S(t),速度为v(t)（()v t o ≥）， 则物体在时间间隔12[,]T T 内经过的路程可用速度函数表示为 2 1 ()T T v t dt ? 。 另一方面，这段路程还可以通过位置函数S （t ）在12[,]T T 上的增量12()()S T S T -来表达，即 2 1 ()T T v t dt ? =12()()S T S T - 而()()S t v t '=。 对于一般函数()f x ，设()()F x f x '=，是否也有 ()()()b a f x dx F b F a =-? 若上式成立，我们就找到了用()f x 的原函数（即满足()()F x f x '=）的数值差()()F b F a -来计算 ()f x 在[,]a b 上的定积分的方法。 注：1：定理 如果函数()F x 是[,]a b 上的连续函数()f x 的任意一个原函数，则 ()()()b a f x dx F b F a =-? 证明：因为()x Φ= ()x a f t dt ? 与()F x 都是()f x 的原函数，故 ()F x -()x Φ=C （a x b ≤≤） 其中C 为某一常数。 令x a =得()F a -()a Φ=C ，且()a Φ= ()a a f t dt ? =0 即有C=()F a ，故()F x =()x Φ+()F a ∴ ()x Φ=()F x -()F a =()x a f t dt ? 令x b =，有 ()()()b a f x dx F b F a =-? 此处并不要求学生理解证明的过程 为了方便起见，还常用()|b a F x 表示()()F b F a -，即 ()()|()()b b a a f x dx F x F b F a ==-? 该式称之为微积分基本公式或牛顿—莱布尼兹公式。它指出了求连续函数定积分的一般方法，把求 定积分的问题，转化成求原函数的问题，是微分学与积分学之间联系的桥梁。 它不仅揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时也提供计算定积分的一种有效方法，为后面的学习奠定了基础。因此它在教材中处于极其重要的地位，起到了承上启下的作用，不仅如此，它甚至给微积分学的发展带来了深远的影响，是微积分学中最重要最辉煌的成果。

定积分与微积分基本定理复习讲义

定积分与微积分基本定理复习讲义 河南省卢氏县第一高级中学山永峰 考 什么怎么考 1.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念． 2.了解微积分基本定理的含义. 1.考查形式多为选择题或填空题． 2.考查简单定积分的求解． 3.考查曲边梯形面积的求解． 4.与几何概型相结合考查． [归纳·知识整合] 1．定积分 (1)定积分的相关概念：在∫b a f(x)d x中，a，b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)d x叫做被积式． (2)定积分的几何意义 ①当函数f(x)在区间[a，b]上恒为正时，定积分∫b a f(x)d x的几何意义是由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积(左图中阴影部分)． ②一般情况下，定积分∫b a f(x)d x的几何意义是介于x轴、曲线f(x)以及直线x＝a，x＝b 之间的曲边梯形面积的代数和(右上图中阴影所示)，其中在x轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数． (3)定积分的基本性质：①∫b a kf(x)d x＝k∫b a f(x)d x. ②∫b a[f1(x)±f2(x)]d x＝∫b a f1(x)d x±∫b a f2(x)d x. ③∫b a f(x)d x＝∫c a f(x)d x＋∫b c f(x)d x. [探究] 1.若积分变量为t，则∫b a f(x)d x与∫b a f(t)d t是否相等？ 提示：相等． 2．一个函数的导数是唯一的，反过来导函数的原函数唯一吗？ 提示：一个函数的导数是唯一的，而导函数的原函数则有无穷多个，这些原函数之间都相差一个常数，在利用微积分基本定理求定积分时，只要找到被积函数的一个原函数即可，并且一般使用不含常数的原函数，这样有利于计算． 3．定积分∫b a[f(x)－g(x)]d x(f(x)>g(x))的几何意义是什么？ 提示：由直线x＝a，x＝b和曲线y＝f(x)，y＝g(x)所围成的曲边梯形的面积． 2．微积分基本定理：如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么∫b a f(x)d x