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勾股定理的常用证明方法

【证法1】（课本的证明）

做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，再做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.

从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b ，所以面积相等. 即

ab c ab b a 21

4214222?+=?++，整理得 2

22c b a =+.

【证法2】（邹元治证明）

以a 、b 为直角边，以c 为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角

形的面积等于ab 21. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A 、E 、B 三点

在一条直线上，B 、F 、C 三点在一条直线上，C 、G 、D 三点在一条直线上.

∵ Rt ΔHAE ≌ Rt ΔEBF ,

∴ ∠AHE = ∠BEF .

∵ ∠AEH + ∠AHE = 90o, ∴ ∠AEH + ∠BEF = 90o. ∴ ∠HEF = 180o―90o= 90o.

∴ 四边形EFGH 是一个边长为c 的

正方形. 它的面积等于c 2. ∵ Rt ΔGDH ≌ Rt ΔHAE , ∴ ∠HGD = ∠EHA . ∵ ∠HGD + ∠GHD = 90o, ∴ ∠EHA + ∠GHD = 90o. 又∵ ∠GHE = 90o,

∴ ∠DHA = 90o+ 90o= 180o.

∴ ABCD 是一个边长为a + b 的正方形，它的面积等于()2

b a +.

∴

()2

14c ab b a +?=+. ∴ 2

22c b a =+.

【证法3】（赵爽证明）

以a 、b 为直角边（b>a ），以c 为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于ab

21. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状. ∵ Rt ΔDAH ≌ Rt ΔABE, ∴ ∠HDA = ∠EAB .

∵ ∠HAD + ∠HAD = 90o，

∴ ∠EAB + ∠HAD = 90o，

∴ ABCD 是一个边长为c 的正方形，它的面积等于c 2. ∵ EF = FG =GH =HE = b ―a , ∠HEF = 90o.

∴ EFGH 是一个边长为b ―a 的正方形，它的面积等于()2

a b -.

∴ ()2

214c a b ab =-+?.

∴ 2

22c b a =+. 【证法4】（1876年美国总统Garfield 证明）

以a 、b 为直角边，以c 为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角

形的面积等于ab

21. 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A 、E 、B 三点

在一条直线上.

∵ Rt ΔEAD ≌ Rt ΔCBE ,

∴ ∠ADE = ∠BEC .

∵ ∠AED + ∠ADE = 90o, ∴ ∠AED + ∠BEC = 90o. ∴ ∠D EC = 180o―90o= 90o. ∴ ΔDEC 是一个等腰直角三角形，

它的面积等于221c .

又∵ ∠DAE = 90o, ∠EBC = 90o, ∴ AD ∥BC .

∴ ABCD 是一个直角梯形，它的面积等于()2

b a +.

∴ ()2

2212122

c ab b a +?=+. ∴ 2

22c b a =+.

【证法5】（梅文鼎证明）

做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c . 把它们拼成如图那样的一个多边形，使D 、E 、F 在一条直线上. 过C 作AC 的延长线交DF 于点P .

∵ D 、E 、F 在一条直线上, 且Rt ΔGEF ≌ Rt ΔEBD , ∴ ∠EGF = ∠BED ，

∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°，

∴ ∠BED + ∠GEF = 90°，

∴ ∠BEG =180o―90o= 90o. 又∵ AB = BE = EG = GA = c ，

∴ ABEG 是一个边长为c 的正方形. ∴ ∠ABC + ∠CBE = 90o.

∵ Rt ΔABC ≌ Rt ΔEBD , ∴ ∠ABC = ∠EBD . ∴ ∠EBD + ∠CBE = 90o. 即 ∠CBD= 90o. 又∵ ∠BDE = 90o，∠BCP = 90o，

BC = BD = a .

∴ BDPC 是一个边长为a 的正方形. 同理，HPFG 是一个边长为b 的正方形. 设多边形GHCBE 的面积为S ，则

222ab S b a ?+=+

ab S c 2122?+=, ∴ 2

22c b a =+.

【证法6】（项明达证明）

做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b （b>a ），斜边长为c . 再做一个边长为c 的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形，使E 、A 、C 三点在一条直线上. 过点Q 作QP ∥BC ，交AC 于点P .

过点B 作BM ⊥PQ ，垂足为M ；再过点

F 作FN ⊥PQ ，垂足为N . ∵ ∠BCA = 90o，QP ∥BC ， ∴ ∠MPC = 90o， ∵ BM ⊥PQ ， ∴ ∠BMP = 90o， ∴ BCPM 是一个矩形，即∠MBC = 90o.

∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = 90o，

∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90o， ∴ ∠QBM = ∠ABC ，

又∵ ∠BMP = 90o，∠BCA = 90o，BQ = BA = c ， ∴ Rt ΔBMQ ≌ Rt ΔBCA .

同理可证Rt ΔQNF ≌ Rt ΔAEF . 从而将问题转化为【证法4】（梅文鼎证明）.

【证法7】（欧几里得证明）

做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H 、C 、B 三点在一条直线上，连结 BF 、CD . 过C 作CL ⊥DE ，

交AB 于点M ，交DE 于点

L .

∵ AF = AC ，AB = AD ， ∠FAB = ∠GAD ，

∴ ΔFAB ≌ ΔGAD ，

∵ ΔFAB 的面积等于221a ， ΔGAD 的面积等于矩形ADLM 的面积的一半，

∴ 矩形ADLM 的面积 =2

a . 同理可证，矩形MLEB 的面积 =2

b .

∵ 正方形ADEB 的面积 = 矩形ADLM 的面积 + 矩形MLEB 的面积 ∴ 222b a c += ，即 2

22c b a =+.

【证法8】（利用相似三角形性质证明）

如图，在Rt ΔABC 中，设直角边AC 、BC 的长度分别为a 、b ，斜边AB 的长为c ，过点C 作CD ⊥AB ，垂足是D .

在ΔADC 和ΔACB 中， ∵ ∠ADC = ∠ACB = 90o， ∠CAD = ∠BAC ， ∴ ΔADC ∽ ΔACB .

AD ∶AC = AC ∶AB ，

即 AB AD AC ?=2. 同理可证，ΔCDB ∽ ΔACB ，从而有 AB BD BC ?=2

∴ ()222AB AB DB AD BC AC =?+=+，即 2

22c b a =+.

【证法9】（杨作玫证明）

做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b （b>a ），斜边长为c . 再做一个边长为c 的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形. 过A 作AF ⊥AC ，AF 交GT 于F ，AF 交DT 于R . 过B 作BP ⊥AF ，垂足为P . 过D 作DE 与CB 的延长线垂直，垂足为E ，DE 交AF 于H . ∵ ∠BAD = 90o，∠P AC = 90o， ∴ ∠DAH = ∠BAC . 又∵ ∠DHA = 90o，∠BCA = 90o，

AD = AB = c ，

∴ Rt ΔDHA ≌ Rt ΔBCA .

∴ DH = BC = a ，AH = AC = b . 由作法可知， PBCA 是一个矩形，

所以 Rt ΔAPB ≌ Rt ΔBCA . 即PB = CA = b ，AP= a ，从而PH = b ―a .

∵ Rt ΔDGT ≌ Rt ΔBCA ,

Rt ΔDHA ≌ Rt ΔBCA . ∴ Rt ΔDGT ≌ Rt ΔDHA .

∴ DH = DG = a ，∠GDT = ∠HDA . 又∵ ∠DGT = 90o，∠DHF = 90o，

∠GDH = ∠GDT + ∠TDH = ∠HDA+ ∠TDH = 90o， ∴ DGFH 是一个边长为a 的正方形.

∴ GF = FH = a . T F ⊥AF ，TF = GT ―GF = b ―a .

∴ TFPB 是一个直角梯形，上底TF=b ―a ，下底BP= b ，高FP=a +（b ―a ）. 用数字表示面积的编号（如图），则以c 为边长的正方形的面积为 543212S S S S S c ++++= ①

∵

()[]()[]a b a a b b S S S -+?-+=

++21

438 =

ab b 212-， 985S S S +=，

∴ 824321

S ab b S S --=+=

812S

S b -- . ② 把②代入①，得

98812212S S S S b S S c ++--++=

= 922S S b ++ = 2

2a b +. ∴ 2

22c b a =+.

【证法10】（李锐证明）

设直角三角形两直角边的长分别为a 、b （b>a ），斜边的长为c . 做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们拼成如图所示形状，使A 、E 、G 三点在一条直线上. 用数字表示面积的编号（如图）.

∵ ∠TBE = ∠ABH = 90o， ∴ ∠TBH = ∠ABE .

又∵ ∠BTH = ∠BEA = 90o，

BT = BE = b ，

∴ Rt ΔHBT ≌ Rt ΔABE . ∴ HT = AE = a . ∴ GH = GT ―HT = b ―a .

又∵ ∠GHF + ∠BHT = 90o，

∠DBC + ∠BHT = ∠TBH + ∠

∴ ∠GHF = ∠DBC .

∵ DB = EB ―ED = b ―a ，

∠HGF = ∠BDC = 90o，

∴ Rt ΔHGF ≌ Rt ΔBDC . 即 27S S =. 过Q 作QM ⊥AG ，垂足是M . 由∠BAQ = ∠BEA = 90o，可知 ∠ABE = ∠QAM ，而AB = AQ = c ，所以Rt ΔABE ≌ Rt ΔQAM . 又Rt ΔHBT ≌

Rt ΔABE . 所以Rt ΔHBT ≌ Rt ΔQAM . 即 58S S =.

由Rt ΔABE ≌ Rt ΔQAM ，又得QM = AE = a ，∠AQM = ∠BAE .

∵ ∠AQM + ∠FQM = 90o，∠BAE + ∠CAR = 90o，∠AQM = ∠BAE ， ∴ ∠FQM = ∠CAR .

又∵ ∠QMF = ∠ARC = 90o，QM = AR = a ， ∴ Rt ΔQMF ≌ Rt ΔARC . 即64S S =.

∵ 543212S S S S S c ++++=，612S S a +=，8732S S S b ++=，又∵ 27S S =，58S S =，64S S =， ∴

8736122S S S S S b a ++++=+ =52341S S S S S ++++

c ，

即 2

22c b a =+.

【证法11】（利用切割线定理证明）

在Rt ΔABC 中，设直角边BC = a ，AC = b ，斜边AB = c . 如图，以B 为圆心a 为半径作圆，交AB 及AB 的延长线分别于D 、E ，则BD = BE = BC = a . 因为∠BCA = 90o，点C 在⊙B 上，所以AC 是⊙B 的切线. 由切割线定理，得

AD AE AC ?=2

=()()BD AB BE AB -+ =()()a c a c -+

= 22a c -，

即2

22a c b -=， ∴ 2

22c b a =+.

【证法12】（利用多列米定理证明）

在Rt ΔABC 中，设直角边BC = a ，AC = b ，斜边AB = c （如图）. 过点A 作AD ∥CB ，过点B 作BD ∥CA ，则ACBD 为矩形，矩形ACBD 内接于一个圆. 根据多列米定理，圆内接四边形对角线的乘积等于两对边乘积之和，有

BD AC BC AD DC AB ?+?=?， ∵ AB = DC = c ，AD = BC = a ，

AC = BD = b ，

∴ 222AC BC AB +=，即 2

22b a c +=，

∴ 222c b a =+.

【证法13】（作直角三角形的内切圆证明）

在Rt ΔABC 中，设直角边BC = a ，AC = b ，斜边AB = c . 作Rt ΔABC 的内切圆⊙O ，切点分别为D 、E 、F （如图），设⊙O 的半径为r .

∵ AE = AF ，BF = BD ，CD = CE ，

∴ ()()()BF AF CD BD CE AE AB BC AC +-+++=-+ = CD CE += r + r = 2r,

即 r c b a 2=-+， ∴ c r b a +=+2.

∴ ()()2

2c r b a +=+，

即 ()2

22242c rc r ab b a ++=++，

∵

S ABC 21

=?， ∴ ABC S ab ?=42，

又∵ AOC BOC

AOB ABC S S S S ????++= = br ar cr 212121++ = ()r c b a ++21

= ()r c c r ++221

= rc r +2

，

∴

(

)

ABC S rc r ?=+442， ∴ ()ab rc r

242

=+，

∴ 22222c ab ab b a +=++， ∴ 2

22c b a =+. 【证法14】（利用反证法证明）

如图，在Rt ΔABC 中，设直角边AC 、BC 的长度分别为a 、b ，斜边AB 的长为c ，过点C 作CD ⊥AB ，垂足是D .

假设222c b a ≠+，即假设 2

22AB BC AC ≠+，则由

AB AB AB ?=2=()BD AD AB +=BD AB AD AB ?+?

可知 AD AB AC ?≠2，或者 BD AB BC ?≠2

. 即 AD ：AC ≠AC ：AB ，或者 BD ：BC ≠BC ：AB .

在ΔADC 和ΔACB 中， ∵ ∠A = ∠A ， ∴ 若 AD ：AC ≠AC ：AB ，则 ∠ADC ≠∠ACB . 在ΔCDB 和ΔACB 中， ∵ ∠B = ∠B ，

∴ 若BD ：BC ≠BC ：AB ，则 ∠CDB ≠∠ACB . 又∵ ∠ACB = 90o，

∴ ∠ADC ≠90o，∠CDB ≠90o.

这与作法CD ⊥AB 矛盾. 所以，2

22AB BC AC ≠+的假设不能成立.

∴ 2

22c b a =+.

【证法15】（辛卜松证明）

设直角三角形两直角边的长分别为a 、b ，斜边的长为c . 作边长是a+b 的正方形ABCD . 把正方形ABCD 划分成上方左图所示的几个部分，则正方形ABCD

的面积为

()ab b a b a 22

22++=+；把正方形ABCD 划分成上方右图所示的几个部分，则正方形ABCD 的面积为 ()2

14c ab b a +?=+ =2

2c ab +.

∴ 2

2222c ab ab b a +=++,

∴ 2

22c b a =+.

【证法16】（陈杰证明）

设直角三角形两直角边的长分别为a 、b （b>a ），斜边的长为c . 做两个边长

分别为a 、b 的正方形（b>a ），把它们拼成如图所示形状，使E 、H 、M 三点在一条直线上. 用数字表示面积的编号（如图）.

在EH = b 上截取ED = a ，连结DA 、DC ，

则 AD = c .

∵ EM = EH + HM = b + a , ED = a ，

∴ DM = EM ―ED = ()a b +―a = b . 又∵ ∠CMD = 90o，CM = a ， ∠AED = 90o， AE = b ，

∴ Rt ΔAED ≌ Rt ΔDMC . ∴ ∠EAD = ∠MDC ，DC = AD = c . ∵ ∠ADE + ∠ADC+ ∠MDC =180o， ∠ADE + ∠MDC = ∠ADE + ∠EAD = 90o，

∴ ∠ADC = 90o.

∴ 作AB ∥DC ，CB ∥DA ，则ABCD 是一个边长为c 的正方形. ∵ ∠BAF + ∠FAD = ∠DAE + ∠FAD = 90o， ∴ ∠BAF=∠DAE .

连结FB ，在ΔABF 和ΔADE 中，

∵ AB =AD = c ，AE = AF = b ，∠BAF=∠DAE ， ∴ ΔABF ≌ ΔADE .

∴ ∠AFB = ∠AED = 90o，BF = DE = a . ∴ 点B 、F 、G 、H 在一条直线上.

在Rt ΔABF 和Rt ΔBCG 中， ∵ AB = BC = c ，BF = CG = a ， ∴ Rt ΔABF ≌ Rt ΔBCG .

∵ 54322S S S S c +++=， 6212S S S b ++=， 732S S a +=， 76451S S S S S +===， ∴ 621732

2S S S S S b a ++++=+

=()76132S S S S S ++++ =5432S S S S +++

∴

222c b a =+.

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