2021高考数学复习专题 椭圆 (文 精练)

专题9.5 椭圆

1．（2020·陕西西安交大附中模拟）椭圆x 24＋y 2

＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1作垂直于x 轴

的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则|PF 2|等于( )

A.72

B.3

2

C.3 D ．4 2．（2020·四川南充高级中学模拟）椭圆x 210－m ＋y 2m －2＝1的焦距为4，则m 等于( )

A ．4

B ．8

C ．4或8

D ．12

3．（2020·山东枣庄八中模拟）已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右顶点分别为A 1，A 2，点P 是

椭圆上的动点．若∠A 1P A 2的最大值可以取到120°，则椭圆C 的离心率为( )

A.12

B.22

C.32

D.

6

3

4．（2020·福建上杭一中模拟）∠ABC 的周长是8，B (－1,0)，C (1,0)，则顶点A 的轨迹方程是( ) A.x 29＋y 2

8＝1(x ≠±3) B.x 29＋y 2

8＝1(x ≠0) C.x 24＋y 2

3

＝1(y ≠0) D.x 23＋y 2

4

＝1(y ≠0) 5．（2020·河北枣强中学模拟）设直线y ＝kx 与椭圆x 24＋y 2

3＝1相交于A ，B 两点，分别过A ，B 两点向

x 轴作垂线，若垂足恰为椭圆的两个焦点，则实数k 等于( )

A ．±32

B ．±23

C ．±1

2

D ．±2

6．（2020·山西省晋城市实验中学模拟）经过椭圆x 22＋y 2

＝1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l ，交椭

圆于A ，B 两点．设O 为坐标原点，则OA →·OB →

等于( )

A ．－3

B ．－13

C ．－1

3或－3

D ．±13

7．（2020·辽宁省锦州市第一中学模拟）已知两定点M (－1,0)，N (1,0)，直线l ：y ＝x －3，在l 上满足|PM |＋|PN |＝22的点P 的个数为( )

A ．0

B ．1

C ．2

D ．0或1或2

8．（2020·黑龙江省鸡西市第四中学模拟）设F 1，F 2分别是椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点，若椭圆上存

在一点P ，使(OP →＋OF 2→)·PF 2→

＝0(O 为坐标原点)，则∠F 1PF 2的面积是( )

A ．4

B ．3

C ．2

D ．1

9．（2020·重庆巴蜀中学模拟）已知椭圆的中心在原点，一个焦点为(0，－23)且a ＝2b ，则椭圆的标准方程为 ．

10．（2020·甘肃西北师大附中模拟）已知椭圆x 24＋y 22＝1的两个焦点是F 1，F 2，点P 在该椭圆上，若|PF 1|

－|PF 2|＝2，则∠PF 1F 2的面积是 ．

11．（2020·山东潍坊一中模拟）椭圆x 29＋y 2

25＝1上的一点P 到两焦点的距离的乘积为m ，当m 取最大

值时，点P 的坐标是 ．

12．（2020·浙江省西湖高级中学模拟）过点M (1,1)作斜率为－12的直线与椭圆C ：x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a ＞b ＞0)

相交于A ，B 两点，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于 ．

13．（2020·浙江省苍南中学模拟）如图，设P 是圆x 2＋y 2＝25上的动点，点D 是P 在x 轴上的投影，M 为PD 上一点，且|MD |＝4

5

|PD |.

(1)当P 在圆上运动时，求点M 的轨迹C 的方程；

(2)求过点(3,0)且斜率为4

5

的直线被C 所截线段的长度．

14．（2020·江苏省溧阳中学模拟）已知椭圆x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a ＞b ＞0)，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，A

为椭圆的上顶点，直线AF 2交椭圆于另一点B .

(1)若∠F 1AB ＝90°，求椭圆的离心率； (2)若AF 2→＝2F 2B →，AF 1→·AB →

＝3

2

，求椭圆的方程．

15．（2020·安徽省合肥工业大学附中模拟）已知椭圆的中心在原点，两焦点F 1，F 2在x 轴上，且过点A (－4,3)．若F 1A ∠F 2A ，求椭圆的标准方程．

16．（2020·福建省安溪第八中学模拟）已知椭圆x 2＋(m ＋3)y 2＝m (m ＞0)的离心率e ＝3

2

，求m 的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标．

17．（2020·江西省龙南中学模拟）设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，M 是C

上一点且MF 2与x 轴垂直，直线MF 1与C 的另一个交点为N .

(1)若直线MN 的斜率为3

4

，求C 的离心率；

(2)若直线MN 在y 轴上的截距为2，且|MN |＝5|F 1N |，求a ，b .

专题9.5 椭圆

1．（2020·陕西西安交大附中模拟）椭圆x 24＋y 2

＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1作垂直于x 轴

的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则|PF 2|等于( )

A.72

B.3

2 C.

3 D ．

4 【答案】A

【解析】由题意知F 1(－3，0)，把x ＝－3，代入方程x 24＋y 2＝1得34＋y 2＝1，解得y ＝±12，则|PF 1|＝12，

所以|PF 2|＝4－|PF 1|＝4－12＝7

2

，故选A.

2．（2020·四川南充高级中学模拟）椭圆x 210－m ＋y 2

m －2＝1的焦距为4，则m 等于( )

A ．4

B ．8

C ．4或8

D ．12

【答案】C

【解析】由题意知，?

????

10－m ＞0，

m －2＞0，即2＜m ＜10.

又2c ＝4，即c ＝2，则(10－m )－(m －2)＝4或(m －2)－(10－m )＝4， 解得m ＝4或m ＝8，故选C.

3．（2020·山东枣庄八中模拟）已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右顶点分别为A 1，A 2，点P 是

椭圆上的动点．若∠A 1P A 2的最大值可以取到120°，则椭圆C 的离心率为( )

A.12

B.22

C.32

D.

6

3

【答案】D

【解析】由题意知，当点P 在椭圆的短轴端点处时，∠A 1P A 2有最大值，则tan 60°＝a b ，即a

b ＝ 3.

所以

e 2＝1－

b 2a 2＝1－13＝2

3

， 即e ＝

6

3

，故选D. 4．（2020·福建上杭一中模拟）∠ABC 的周长是8，B (－1,0)，C (1,0)，则顶点A 的轨迹方程是( ) A.x 29＋y 2

8＝1(x ≠±3) B.x 29＋y 2

8＝1(x ≠0) C.x 24＋y 2

3＝1(y ≠0) D.x 23＋y 2

4

＝1(y ≠0) 【答案】A

【解析】由题意知|BC |＝2，|AB |＋|AC |＝6，

∠点A 的轨迹是以B ，C 为焦点的椭圆且2a ＝6，c ＝1，则b 2＝8.

所以顶点A 的轨迹方程为x 29＋y 2

8

＝1(x ≠±3)．

5．（2020·河北枣强中学模拟）设直线y ＝kx 与椭圆x 24＋y 2

3＝1相交于A ，B 两点，分别过A ，B 两点向

x 轴作垂线，若垂足恰为椭圆的两个焦点，则实数k 等于( )

A ．±32

B ．±23

C ．±1

2

D ．±2

【答案】A

【解析】由题意可知，点A 与点B 的横坐标即为焦点的横坐标，又c ＝1，当k ＞0时，不妨设A ，B 两

点的坐标分别为(－1，y 1

)，(1，y 2

)，代入椭圆方程得???

y 1＝－32

，

y 2

＝3

2，

解得k ＝32；同理可得当k ＜0时k ＝－3

2

.

故选A.

6．（2020·山西省晋城市实验中学模拟）经过椭圆x 22＋y 2

＝1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l ，交椭

圆于A ，B 两点．设O 为坐标原点，则OA →·OB →

等于( )

A ．－3

B ．－1

3

C ．－1

3或－3

D ．±13

【答案】B

【解析】依题意，当直线l 经过椭圆的右焦点(1,0)时，其方程为y －0＝tan 45°(x －1)，即y ＝x －1.代入椭圆方程x 22＋y 2＝1并整理得3x 2－4x ＝0，解得x ＝0或x ＝4

3.所以两个交点坐标为A (0，－1)，B ????43，13，所以OA →·OB →＝(0，－1)·????43，13＝－13.同理，直线l 经过椭圆的左焦点时，也可得OA →·OB →

＝－13

.

7．（2020·辽宁省锦州市第一中学模拟）已知两定点M (－1,0)，N (1,0)，直线l ：y ＝x －3，在l 上满足|PM |＋|PN |＝22的点P 的个数为( )

A ．0

B ．1

C ．2

D ．0或1或2

【解析】由椭圆的定义知，点P 的轨迹是以M ，N 为焦点的椭圆， 故c ＝1，a ＝2，b ＝1，其方程为x 22

＋y 2

＝1.

由?????

y ＝x －3，x 22＋y 2

＝1

得3x 2－43x ＋4＝0.

Δ＝(－43)2－4×3×4＝0，则在l 上满足|PM |＋|PN |＝22的点P 有1个，故选B.

8．（2020·黑龙江省鸡西市第四中学模拟）设F 1，F 2分别是椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点，若椭圆上存

在一点P ，使(OP →＋OF 2→)·PF 2→

＝0(O 为坐标原点)，则∠F 1PF 2的面积是( )

A ．4

B ．3

C ．2

D ．1

【答案】D

【解析】因为(OP →＋OF 2→)·PF 2→＝(OP →＋F 1O →)·PF 2→＝F 1P →·PF 2→

＝0，所以PF 1∠PF 2，∠F 1PF 2＝90°.设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，则m ＋n ＝4，m 2＋n 2＝12,2mn ＝4，所以mn ＝2，所以S ∠F 1PF 2＝1

2

mn ＝1.故选D.

9．（2020·重庆巴蜀中学模拟）已知椭圆的中心在原点，一个焦点为(0，－23)且a ＝2b ，则椭圆的标准方程为 ．

【答案】y 216＋x 2

4

＝1

【解析】由题意知????

?

c ＝23，a ＝2b ，

a 2＝

b 2＋

c 2，

解得?

????

a 2＝16，

b 2＝4，

因此所求椭圆方程为y 216＋x 2

4

＝1.

10．（2020·甘肃西北师大附中模拟）已知椭圆x 24＋y 2

2＝1的两个焦点是F 1，F 2，点P 在该椭圆上，若|PF 1|

－|PF 2|＝2，则∠PF 1F 2的面积是 ．

【解析】由题意知????? |PF 1|＋|PF 2|＝4，|PF 1|－|PF 2|＝2，解得?????

|PF 1|＝3，|PF 2|＝1.

又|F 1F 2|＝22，则|F 1F 2|2＋|PF 2|2＝|PF 1|2， 即PF 2∠F 1F 2.

∠S ∠PF 1F 2＝12×|F 1F 2|×|PF 2|＝1

2

×22×1＝ 2.

11．（2020·山东潍坊一中模拟）椭圆x 29＋y 2

25＝1上的一点P 到两焦点的距离的乘积为m ，当m 取最大

值时，点P 的坐标是 ．

【答案】(－3,0)或(3,0)

【解析】记椭圆的两个焦点分别为F 1，F 2，有|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10.则m ＝|PF 1|·|PF 2|≤??

??|PF 1|＋|PF 2|22

＝

25，当且仅当|PF 1|＝|PF 2|＝5，即点P 位于椭圆的短轴的顶点处时，m 取得最大值25.∠点P 的坐标为(－3,0)或(3,0)．

12．（2020·浙江省西湖高级中学模拟）过点M (1,1)作斜率为－12的直线与椭圆C ：x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a ＞b ＞0)

相交于A ，B 两点，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于 ．

【答案】

2

2

【解析】设A (x 1

，y 1

)，B (x 2

，y 2

)，则???

x 21a 2＋y 21

b

2＝1，x 22a 2

＋y

22b 2

＝1，

∠(x 2＋x 1)(x 2－x 1)a 2＋(y 2＋y 1)(y 2－y 1)b 2＝0，

即(y 2＋y 1)(y 2－y 1)(x 2＋x 1)(x 2－x 1)

＝－b 2

a 2.

又x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2，y 2－y 1x 2－x 1

＝－1

2.

∠－b 2a 2＝－12

.

∠e 2＝1－b 2

a 2＝12，即e ＝2

2

.

13．（2020·浙江省苍南中学模拟）如图，设P 是圆x 2＋y 2＝25上的动点，点D 是P 在x 轴上的投影，M 为PD 上一点，且|MD |＝4

5

|PD |.

(1)当P 在圆上运动时，求点M 的轨迹C 的方程； (2)求过点(3,0)且斜率为4

5

的直线被C 所截线段的长度．

【解析】(1)设点M 的坐标为(x ，y )，点P 的坐标为(x ′，y ′)，由已知得????

?

x ′＝x ，y ′＝5

4y .因为点P 在圆x 2＋y 2＝25上，所以x ′2＋y ′2＝25，

即x 2＋????54y 2

＝25， 整理，得x 225＋y 2

16＝1，

即C 的方程为x 225＋y 2

16

＝1.

(2)过点(3,0)且斜率为45的直线方程为y ＝4

5(x －3)，

设直线与C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 将直线方程y ＝4

5

(x －3)代入C 的方程，

得x 225＋(x －3)225

＝1，即x 2－3x －8＝0. 所以x 1＋x 2＝3，x 1·x 2＝－8，所以线段AB 的长度为|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝???

?1＋1625(x 1－x 2)2＝4125×41＝415

. 所以直线被C 所截线段的长度为415

.

14．（2020·江苏省溧阳中学模拟）已知椭圆x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a ＞b ＞0)，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，A

为椭圆的上顶点，直线AF 2交椭圆于另一点B .

(1)若∠F 1AB ＝90°，求椭圆的离心率； (2)若AF 2→＝2F 2B →，AF 1→·AB →

＝3

2

，求椭圆的方程．

【解析】(1)∠F 1AB ＝90°，则∠AOF 2为等腰直角三角形，所以有OA ＝OF 2，即b ＝c .所以a ＝2c ，所以e ＝c a ＝22

. (2)由题知A (0，b )，F 1(－c,0)，F 2(c,0)，其中c ＝a 2－b 2，设B (x ，y )．由AF 2→＝2F 2B →

，得(c ，－b )＝2(x －c ，y )，解得x ＝3c 2，y ＝－b

2

，即B ????3c 2，－b 2. 将B 点坐标代入x 2a 2＋y 2

b 2＝1，得94

c 2a 2＋b 24b 2＝1，

即9c 24a 2＋1

4

＝1，解得a 2＝3c 2，∠ 又由AF 1→·AB →

＝(－c ，－b )·????3c 2，－3b 2＝32， 得b 2－c 2＝1，即a 2－2c 2＝1.∠ 由∠∠解得c 2＝1，a 2＝3，从而有b 2＝2.

所以椭圆的方程为x 23＋y 2

2

＝1.

15．（2020·安徽省合肥工业大学附中模拟）已知椭圆的中心在原点，两焦点F 1，F 2在x 轴上，且过点A (－4,3)．若F 1A ∠F 2A ，求椭圆的标准方程．

【解析】设所求椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a ＞b ＞0)．

设焦点F 1(－c,0)，F 2(c,0)(c ＞0)． ∠F 1A ∠F 2A ，∠F 1A →·F 2A →

＝0，

而F 1A →＝(－4＋c,3)，F 2A →

＝(－4－c,3)， ∠(－4＋c )·(－4－c )＋32＝0， ∠c 2＝25，即c ＝5. ∠F 1(－5,0)，F 2(5,0)． ∠2a ＝|AF 1|＋|AF 2|

＝(－4＋5)2＋32＋(－4－5)2＋32 ＝10＋90＝410， ∠a ＝210，

∠b 2＝a 2－c 2＝(210)2－52＝15. ∠所求椭圆的标准方程为x 240＋y 2

15

＝1.

16．（2020·福建省安溪第八中学模拟）已知椭圆x 2＋(m ＋3)y 2＝m (m ＞0)的离心率e ＝3

2

，求m 的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标．

【解析】椭圆方程可化为x 2m ＋y 2m

m ＋3

＝1，m ＞0.

∠m －m

m ＋3＝m (m ＋2)m ＋3＞0，

∠m ＞m m ＋3，∠a 2＝m ，b 2＝m m ＋3

，

c ＝a 2－b 2＝

m (m ＋2)

m ＋3

. 由e ＝

32

，得m ＋2m ＋3＝3

2

，∠m ＝1. ∠椭圆的标准方程为

x 2＋

y 2

14

＝1， ∠a ＝1，b ＝12，c ＝3

2

.

∠椭圆的长轴长和短轴长分别为2a ＝2和2b ＝1，焦点坐标为F 1?

???－

32，0，F 2???

?32，0，四个顶点的坐

标分别为A 1(－1,0)，A 2(1,0)，B 1????0，－12，B 2???

?0，1

2. 17．（2020·江西省龙南中学模拟）设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，M 是C

上一点且MF 2与x 轴垂直，直线MF 1与C 的另一个交点为N .

(1)若直线MN 的斜率为3

4

，求C 的离心率；

(2)若直线MN 在y 轴上的截距为2，且|MN |＝5|F 1N |，求a ，b . 【解析】(1)根据c ＝a 2－b 2

及题设知M ????c ，b 2a ，b 2

a 2c ＝34，2

b 2＝3a

c .

将b 2＝a 2－c 2代入2b 2＝3ac ，解得c a ＝12，c

a ＝－2(舍去)．

故C 的离心率为1

2

.

(2)由题意，原点O 为F 1F 2的中点，MF 2∠y 轴，

所以直线MF 1与y 轴的交点D (0,2)是线段MF 1的中点，故b 2

a ＝4，即

b 2＝4a . ∠

由|MN |＝5|F 1N |得|DF 1|＝2|F 1N |. 设N (x 1，y 1)，由题意知y 1<0，则

?????

2(－c －x 1)＝c ，

－2y 1＝2，即??

???

x 1＝－3

2c ，y 1＝－1.

把点N (x 1，y 1)代入C 的方程，得9c 24a 2＋1

b

2＝1.∠

将∠及c ＝

a 2－

b 2代入∠得

9(a 2－4a )4a 2＋1

4a

＝1. 解得a ＝7，b 2＝4a ＝28，故a ＝7，b ＝27.