高考模拟考数学试卷(附答案)

高考模拟考数学试卷

（时间：120分钟 满分：１５０分）

一、填空题（本大题共１２分，每小题４分，共４８分）

15

212i i

+-＝ .

2、已知：2,tg α=则(2)2

tg π

α+

的值是 .

3、若常数ｂ满足1,b >则21

n 1lim

n n

b b b b -→∞+++

= .

4、若x

30.618=，且a [k k 1k Z ∈+∈，）（），则ｋ的值是 . 5、函数f (x)sin 2x sin 2x =+的最小正周期为 . 6、函数y sin x 3x =在区间0,

2π??

????

上的最小值为 . 7、［理］（

12

3

x x （）展开式中，含ｘ正整数次项幂的项有 项.

［文］不等式x 1

2

log 0-<的解集是 .

１０、 某班有２１名男生，１５名女生.现从该班学生中任选两名作生活委员，则这两名

生活委员性别相同的概率是 （结果用既约分数表示）.

9、从集合{},111k k z k ∈≤≤中任选两个不同元素作为椭圆方程22

221x y m n

+=中的ｍ和

ｎ，其中落在矩形Ｂ{

}(,)

11,9x y x y =<<内的椭圆有 个.

１２、 已知双曲线2

2

12

y x +=的焦点为12,F F ，点Ｍ在双曲线上，且120,MF MF =则点Ｍ到ｘ轴的距离为 .

11、已知四面体ABCD,沿棱AB 、AC 、AD 剪开，铺成平面图形， 得到123A A A △（如图），试写出四面体ABCD 应满足的一个性质： . １３、 已知集合A= ax b x

>0cx d +??

??+??

，这里a ，b,c,d 为实数，若{}012A ?，，，且{}

2.52A=φ，-，则函数

ax b

cx d

++可以是 （只有写出一个满足条件的函数）.

二、选择题（本大题共4题，每小题4分，共16分） 13、已知函数f(x)= 1

2

log (0)ax a -≠满足(2)(2)f x f x -+=--，

则实数a 的值为 （ ） A ． 1 B. 12-

C. 1

4

D. -1 14、“a=b ”直线2y x =+与圆2

2

"()()2x a y b -+-=相切” 的 （ ） A. 充分不必要条件， B .必要不充分条件

C. 充要条件

D. 既不充分又不必要条件

15、已知两线段2a =,b=22,若以a,b 为边作三角形，则a 边所对的角A 的取值范围为（ ） A.(

,)63ππ

B .(0,]6π C. (0,)2

π D. (0,]4π

16、设b>0,二次函数2

2

1y ax bx a =++-的图像为下列之一，

则a 的值为 （ ） A. 1 B. 1- C.

152- D. 15

2

- 三、 解答题 （本大题共6题，第17、18题每题12分，第19、20题每题14分，第21题

16分，第22题18分，共86分）

17、已知向量{,12},{4,5},{,10},OA k OB OC k ===-且A 、B 、C 三点共线，求k 的值.

18、已知数列{}n a 的通项公式为1

13

3

()[()1]()4

4

n n n a n N --+=-∈.求 （1）求数列{}n a 中的最大项及其值； （2）求数列{}n a 中的最小项及其值.

19、【理】在直棱柱111ABC A B C -中，已知0

1,,,90.AB a AC b AA c BAC ===∠=

（1）求使11AB BC ⊥的充要条件（用,,a b c 表示）； （2）求证11B AC ∠为锐角；

（3）若0

60,ABC ∠=则11B AC ∠是否可能为0

45？证明你的结论.

【文】设a 为正数，直角坐标平面内的点集{(,)|,,}A x y x y a x y =--是三角形的三 （1）画出A 所表示的平面区域；

（2）在平面直角坐标系中，规定,a Z y Z ∈∈且时，(,)x y 称为格点，当8a =时，A 内有几个格点（本小题只要直接写出结果即可）； （3）点集

A

连同它的边界构成的区域记为

A ，若圆

222{(,)|()()}(0)x y x p x q r A r -+-=?>，求r 的最大值.

20、某厂2006年拟举行促销活动，经调查测算，该厂产品的年销售量（即该厂的年产量）x 万件与去年促销费m （万元）（0m ≥）满足2

31

x m =-

+.已知2006年生产的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金）. （1）将2006年该产品的利润y 万元表示为年促销费m （万元）的函数； （2）求2006年该产品利润的最大值，此时促销费为多少万元？

21、已知抛物线2

:2a p y x ax a =++-（a 为实常数）.

（1）求所有抛物线a p 的公共点坐标；

（2）当实数a 取遍一切实数时，求抛物线a p 的焦点方程.

【理】（3）是否存在一条以y 轴为对称轴，且过点(1,1)--的开口向下的抛物线，使它与某个a p 只有一个公共点？若存在，求出所有这样的a ；若不存在，说明理由.

【文】（3）是否存在直线y kx b =+（,k b 为实常数），使它与所有的抛物线a p 都有公共点？若存在，求出所有这样的直线；若不存在，说明理由.

22、已知函数()y f x =的定义域为R +，对任意,x y R +

∈，有恒等式()()()f xy f x f y =+；且当1x >时，()0f x <. （1）求(1)f 的值；

（2）求证：当x R +

∈时，恒有1()()f f x x

=-； （3）求证：()(0,)f x +∞在上为减函数；

【以下（4）小题选理科的学生做；选文科的学生不做】

（4）由上一小题知：()(0,)f x +∞是上的减函数，因而()f x 的反函数1

()f x -存在，试根

据已知恒等式猜想1

()f x -具有的性质，并给出证明.

高考模拟考

数 学 试 卷

（时间：120分钟 满分：１５０分）

一、填空题（本大题共１２分，每小题４分，共４８分）

15

212i

-＝ i .

2、已知：2,tg α=则(2)2

tg π

α+

的值是

3

4

. 3、若常数ｂ满足1,b >则21

n 1lim

n n

b b b b -→∞+++

=

1

1

b - . 4、若x

30.618=，且a [k k 1k Z ∈+∈，）（），则ｋ的值是 1- . 5、函数f (x)sin 2x sin 2x =+的最小正周期为 π . 6、函数y sin x 3x =在区间0,

2π??

????

上的最小值为 1 . 7、［理］（

12

3

x x （）展开式中，含ｘ正整数次项幂的项有 3 项.

［文］不等式x 1

2log 0-<的解集是 ()()0,11,2? .

８、

某班有２１名男生，１５名女生.现从该班学生中任选两名作生活委员，则这两名

生活委员性别相同的概率是

1

2

（结果用既约分数表示）. 9、从集合{},111k k z k ∈≤≤中任选两个不同元素作为椭圆方程22

221x y m n

+=中的ｍ和

ｎ，其中落在矩形Ｂ{

}(,)

11,9x y x y =<<内的椭圆有 72 个.

１１、 已知双曲线2

2

12

y x +=的焦点为12,F F ，点Ｍ在双曲线上，且120,MF MF =则点Ｍ到ｘ轴的距离为

3

. 11、已知四面体ABCD,沿棱AB 、AC 、AD 剪开，铺成平面图形， 得到123A A A △（如图），试写出四面体ABCD 应满足的一个性质：

四面体ABCD 的每组对棱相等（答案不唯一，可填“四面体ABCD 的四个面是四个全等三角形”；或填“四面体每个顶点为公共顶点的三个面角之和为π”） .

１４、 已知集合A= ax b x

>0cx d +??

??+??

，这里a ，b,c,d 为实数，若{}012A ?，，，且

{}

2.52A=φ，-，则函数

ax

b cx d ++可以是 2.11

x

x -+ （只有写出一个满足条件的函数）.

二、选择题（本大题共4题，每小题4分，共16分） 13、已知函数f(x)= 1

2

log (0)ax a -≠满足(2)(2)f x f x -+=--，

则实数a 的值为 （ B ） A ． 1 B. 12-

C. 1

4

D. -1 14、“a=b ”直线2y x =+与圆2

2

"()()2x a y b -+-=相切” 的 （ A ） A. 充分不必要条件， B .必要不充分条件

C. 充要条件

D. 既不充分又不必要条件

15、已知两线段2a =,b=22,若以a,b 为边作三角形，则a 边所对的角A 的取值范围为

（D ）

A.(

,)63ππ

B .(0,]6π C. (0,)2

π D. (0,]4π

16、设b>0,二次函数2

2

1y ax bx a =++-的图像为下列之一，

则a 的值为 （ B ） A. 1 B. 1- C.

152- D. 15

2

- 三、 解答题 （本大题共6题，第17、18题每题12分，第19、20题每题14分，第21题

16分，第22题18分，共86分）

17、已知向量{,12},{4,5},{,10},OA k OB OC k ===-且A 、B 、C 三点共线，求k 的值.

{}4,7AB OB OA k =-=--，{}4,5BC OC OB k =-=------------------------------4分

,,A B C 三点共线，?存在实常数l ，使AB lBC =-----------------------------------------8分 ()4475k l k l -=--????-=???2357k l ?=-?????=-??

2

3

k ∴=------------------------------------------------------------------------------------------------12分

18、已知数列{}n a 的通项公式为1

133

()[()1]()4

4

n n n a n N --+=-∈.求 （1）求数列{}n a 中的最大项及其值； （2）求数列{}n a 中的最小项及其值.

()1当2n ≥时，1

3310,44n -??

≤-< ?

??

从而1

1331044n n n a --??

????=-

??????

故10a =为数列{}n a 的最大项----------------------------------------------------------------------4分

()21

1133311144424

n n n n a ---??????

????=-=--???? ?

? ???

????????????

1

34n -??

???

随n 的增大而减小，又3

2

313424????

<< ? ?????

--------------------------------------------8分

134n -??????∴?? ???????

中与12距离最近的数是2

34?? ???

故397631616256

a ??=

?-=- ???是数列{}n a 的最小项--------------------12分 19、【理】在直棱柱111ABC A B C -中，已知0

1,,,90.AB a AC b AA c BAC ===∠=

（1）求使11AB BC ⊥的充要条件（用,,a b c 表示）； （2）求证11B AC ∠为锐角；

（3）若0

60,ABC ∠=则11B AC ∠是否可能为0

45？证明你的结论.

【文】设a 为正数，直角坐标平面内的点集{(,)|,,}A x y x y a x y =--是三角形的三 （1）画出A 所表示的平面区域；

（2）在平面直角坐标系中，规定,a Z y Z ∈∈且时，(,)x y 称为格点，当8a =时，A 内有几个格点（本小题只要直接写出结果即可）； （3）点集

A

连同它的边界构成的区域记为

A ，若圆

222{(,)|()()}(0)x y x p x q r A r -+-=?>，求r 的最大值.

()()()1110,0,,,0,,0,,A c B a c C b c ------2分

()1{}{}11,0,,0,,AB a c BC b c ==

11AB BC ⊥110AB BC ??=

220a c a c ?-+=?=

即11AB BC ⊥的充分条件是a c =---------------------------------------------6分

()2{}10,,AC b c =，2111111

11

cos 0AB AC c B AC AB AC AB AC ?∠=

=

>??

11B AC ∴∠为锐角-------------------------------------------------------------------8分

()32

11112222

45

cos 2

B A

C B AC a c b c ∠=?∠=

=

+?+ 0060,tan 603,3b

ABC b a a

∠=∴===

2222232a c a c c ++= 解

得

27

3

a c -+=---------------------------------------------------------------11分 若0

60,ABC ∠=解当

27

3

a c -+=

时，01145B AC ∠=--------------14分

[文]

()

1,,x y a x y --是三角形三边长

0,0,0()()x y a x y x y a x y

x a x y y y a x y x >>-->??+>--???+-->??+-->?02022a x a y a x y ?

<

?<

?+>??

---------------------------------------8分

∴点集A 构成的平面区域为等腰直角三角形ABC ，如上图阴影部分表示（不包括边界）。

()2当8a =时，A 内有3个格点--------------------------------------------------------10分 ()

3A 为包括边界的三角形区域，形内的最大圆即是ABC 的内切圆，其半径

为

12222(24

a a a

a +-=-

∴max r

=1(24

a --------------------------------------------------------------------------14分

20、某厂2006年拟举行促销活动，经调查测算，该厂产品的年销售量（即该厂的年产量）x 万件与去年促销费m （万元）（0m ≥）满足2

31

x m =-

+.已知2006年生产的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金）. （1）将2006年该产品的利润y 万元表示为年促销费m （万元）的函数； （2）求2006年该产品利润的最大值，此时促销费为多少万元？

()1每件产品的成本为

816x

x

+元，故2006年的利润 ()8161.581648x

y x x m x m x

+=?

?-++=+--------------------------------------------4分 =216

4832811

m m m m ??+-

-=-- ?++?

?（万元），0m ≥----------------------------------7分 ()

2

16291292211y m m ??=-++≤-??+??

----------------------------11分

等号当且仅当

()16

101

m m m =+≥+，即3m =（万元）时成立。 故2006年该产品利润的最大枝为21万元，此时促销费为3万元。----------------------14分

21、已知抛物线2

:2a p y x ax a =++-（a 为实常数）.

（1）求所有抛物线a p 的公共点坐标；

（2）当实数a 取遍一切实数时，求抛物线a p 的焦点方程.

【理】（3）是否存在一条以y 轴为对称轴，且过点(1,1)--的开口向下的抛物线，使它与某个a p 只有一个公共点？若存在，求出所有这样的a ；若不存在，说明理由.

【文】（3）是否存在直线y kx b =+（,k b 为实常数），使它与所有的抛物线a p 都有公共点？若存在，求出所有这样的直线；若不存在，说明理由.

()1将抛物线a p 的方程该写成，2(1)2a x y x +=-+

2

101

120x x y y x +==-?????=--+=??

∴所有的抛物线a p 过完点()1,1--，即()1,1--是所有抛物线a p 的公共点。-------------4分

()22

2y x ax a =++-22224a a x a ?

?=++-- ???，即2

2224a a x y a ????+=--- ? ????

?

∴抛物线a p 的顶点为2,22

4a a a ??

--- ???，焦点坐标为21,2244a a x y a =-=--+

消去a 得焦点的轨迹方程：2

7

24

y x x =---

-----------------------------------------------------10分 [理] ()3以y 轴为对称轴，且过点()1,1--的开口向F 的抛物线可写成2

1y tx t =--

()0t <------------------------------------------------------------------------------------------------------12分

设他与抛物线a p 只有一个公共点，则方程

2212tx t x ax a --=++-即()2110t x ax t a ----+=

有两个相等的实根，

()()24110a t t a =+-+-=△()22102212

a

a t a t t ?+-=?=-+?=-????----14分 由0t <2a ∴>故当2a >时，存在一条以y 轴为对称轴且过点()1,1--的开口向下的抛物线，21222

a a

y x ?

?=-

+- ???与a p 只有一个公共点------------------------------------------------16分 [文] ()3设y kx b =+与一切a p 有公共点，则方程2

2kx b x ax a +=++-，

即()2

20x a k x a b +-+--=有实根

()()()2

2214224840a k a b a k a k b ∴=----=++++≥△

对一切a R ∈成立。--------------------------------------------------------------------------------------13分 从而()()

2

2

2244841616160k k b k b =+-++=--≤△

1b k ?≥-

∴当1b k ≥-时直线y kx b =+与一切a p 都有公共点。---------------------------------------16分

22、已知函数()y f x =的定义域为R +，对任意,x y R +

∈，有恒等式()()()f xy f x f y =+；且当1x >时，()0f x <. （1）求(1)f 的值；

（2）求证：当x R +

∈时，恒有1

()()f f x x

=-； （3）求证：()(0,)f x +∞在上为减函数；

【以下（4）小题选理科的学生做；选文科的学生不做】

（4）由上一小题知：()(0,)f x +∞是上的减函数，因而()f x 的反函数1

()f x -存在，试根

据已知恒等式猜想1

()f

x -具有的性质，并给出证明.

()1在已知等式中含1x y ==，得()()121f f =，()10f ∴=----------理3分，文5分 ()2取1

,y x

=

得()()11f f x f x ??=+ ???

但()10f =，()1f f x x ??

∴=-

???

-------------------------------------------------理6分，文10分 ()3设120x x <<<+∞，并令

2

1

x k x =，则211,k x kx >= 于是()()()()()2111f x f kx f k f x f x ==+<

()()0f k <

()f x ∴在()0,+∞上为减函数----------------------------------------------------理12分，文18分

()4在()1y f x -=的定义域内，恒有()()()1111212f x x f x f x ---+=-----------理14分

证明如下：设()()1

11122,f

x y f x y --==，则()12,0,y y ∈+∞

且()()1122,f y x f y x ==由题意设

()()()121212f y y f y f y x x =+=+

()()()111121212f x x y y f x f x ---∴+==-------------------------------------------------理18分