高中数学高考复习导数及其应用

高中数学高考综合复习专题三十八导数及其应用

一、知识网络

二、高考考点

1、导数定义的认知与应用；

2、求导公式与运算法则的运用；

3、导数的几何意义；

4、导数在研究函数单调性上的应用；

5、导数在寻求函数的极值或最值的应用；

6、导数在解决实际问题中的应用。三、知识要点

（一）导数

1、导数的概念

（1）导数的定义

（Ⅰ）设函数在点及其附近有定义，当自变量x在

处有增量△x（△x可正可负），则函数y相应地有增量

，这两个增量的比，叫做函数在点到这间的平均变化率。如果时，

有极限，则说函数在点处可导，并把这个极限叫做在点处的导数（或变化率），记作，即

。（Ⅱ）如果函数在开区间（）内每一点都可导，则说在开区间（）内可导，此时，对于开区间（）内每一个确定的值，都对应着一个确定的导数，这样在开区间（）内构成一个新的函数，我们把这个新函数叫做在开区间（）内的导函数（简称导数），记作或，即。认知：（Ⅰ）函数的导数是以x为自变量的函数，而函数

在点处的导数是一个数值；在点处的导数是的导函数当时的函数值。（Ⅱ）求函数在点处的导数的三部曲：

①求函数的增量；②求平均变化率

；③求极限

上述三部曲可简记为一差、二比、三极限。（2）导数的几何意义：

函数在点处的导数，是曲线在点处的切线的斜率。（3）函数的可导与连续的关系

函数的可导与连续既有联系又有区别：

（Ⅰ）若函数在点处可导，则在点处连续；

若函数在开区间（）内可导，则在开区间（）内连续（可导一定连续）。事实上，若函数在点处可导，

则有此时，

记,则有即在点处连续。（Ⅱ）若函数在点处连续，但在点处不一定可导（连续不一定可导）。反例：在点处连续，但在点处无导数。

事实上，在点处的增量

当时，，；

当时，，

由此可知，不存在，故在点处不可导。

2、求导公式与求导运算法则

（1）基本函数的导数（求导公式）

公式1常数的导数：（c为常数），即常数的导数等于

0。公式2幂函数的导数：。公式3正弦函数的导数：。公式4余弦函数的导数：

公式5对数函数的导数：

（Ⅰ）；（Ⅱ）公式6指数函数的导数：

（Ⅰ）；（Ⅱ）。（2）可导函数四则运算的求导法则

设为可导函数，则有

法则1；法则2；法则3。3、复合函数的导数

（1）复合函数的求导法则

设，复合成以x为自变量的函数，则复合函数对自变量x的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量u对自变量x的导数，即。引申：设，复合成函数，则有（2）认知

（Ⅰ）认知复合函数的复合关系循着“由表及里”的顺序，即从外向内分析：首先由最外层的主体函数结构设出，由第一层中间变量的函数结构设出，由第二层中间变量

的函数结构设出，由此一层一层分析，一直到最里层的中间变量为自变量x的简单函数为止。于是所给函数便“分解”