一、多选题
1.下列说法中错误的为( )
A .已知(1,2)a =,(1,1)b =,且a 与a b λ+的夹角为锐角,则实数λ的取值范围是
5,3??-+∞ ???
B .向量1(2,3)e =-,213,24e ??
=-
???
不能作为平面内所有向量的一组基底 C .若//a b ,则a 在b 方向上的投影为||a
D .非零向量a 和b 满足||||||a b a b ==-,则a 与a b +的夹角为60° 2.若a →,b →,c →
是任意的非零向量,则下列叙述正确的是( ) A .若a b →→
=,则a b →→
= B .若a c b c →→→→?=?,则a b →→
= C .若//a b →→,//b c →→,则//a c →→
D .若a b a b →
→
→
→
+=-,则a b →→
⊥
3.已知,,a b c 是同一平面内的三个向量,下列命题中正确的是( ) A .||||||a b a b ?≤
B .若a b c b ?=?且0b ≠,则a c =
C .两个非零向量a ,b ,若||||||a b a b -=+,则a 与b 共线且反向
D .已知(1,2)a =,(1,1)b =,且a 与a b λ+的夹角为锐角,则实数λ的取值范围是
5,3??-+∞ ???
4.在ABC 中,a ,b ,c 分别是内角A ,B ,C 2sin c A =,且
02
C <<
π
,4b =,则以下说法正确的是( )
A .3
C π
=
B .若72
c =
,则1
cos 7B =
C .若sin 2cos sin A B C =,则ABC 是等边三角形
D .若ABC 的面积是4
5.在ABC 中,a ,b ,c 分别为角A ,B ,C 的对边,已知
cos cos 2B b
C a c
=-,
4
ABC S =
△,且b = )
A .1cos 2
B =
B .cos B =
C .a c +=
D .a c +=6.已知在平面直角坐标系中,点()10,1P ,()24,4P .当P 是线段12PP 的一个三等分点时,点P 的坐标为( ) A .4,23??
???
B .4,33??
???
C .()2,3
D .8,33?? ???
7.设a ,b ,c 是任意的非零向量,且它们相互不共线,给出下列选项,其中正确的有( )
A .()
a c
b
c a b c ?-?=-? B .()
()
b c a c a b ??-??与c 不垂直 C .a b a b -<-
D .(
)()
22
323294a b a b a b +?-=- 8.下列结论正确的是( )
A .已知a 是非零向量,b c ≠,若a b a c ?=?,则a ⊥(-b c )
B .向量a ,b 满足|a |=1,|b |=2,a 与b 的夹角为60°,则a 在b 上的投影向量为
12
b C .点P 在△ABC 所在的平面内,满足0PA PB PC ++=,则点P 是△ABC 的外心 D .以(1,1),(2,3),(5,﹣1),(6,1)为顶点的四边形是一个矩形
9.在ABC 中,若30B =?,AB =2AC =,则C 的值可以是( ) A .30°
B .60°
C .120°
D .150°
10.下列各式中,结果为零向量的是( ) A .AB MB BO OM +++ B .AB BC CA ++ C .OA OC BO CO +++ D .AB AC BD CD -+-
11.如图,在平行四边形ABCD 中,,E F 分别为线段,AD CD 的中点,AF CE G =,
则( )
A .12
AF AD AB =+ B .1
()2
EF AD AB =
+ C .2133
AG AD AB =
- D .3BG GD =
12.已知平行四边形的三个顶点的坐标分别是(3,7),(4,6),(1,2)A B C -.则第四个顶点的坐标为( ) A .(0,1)-
B .(6,15)
C .(2,3)-
D .(2,3)
13.设a 、b 、c 是任意的非零向量,则下列结论不正确的是( ) A .00a ?= B .()
()
a b c a b c ??=?? C .0a b a b ?=?⊥
D .(
)(
)
22
b b a b a a +-=?-
14.(多选)若1e ,2e 是平面α内两个不共线的向量,则下列说法不正确的是( ) A .()12,e e λμλμ+∈R 可以表示平面α内的所有向量
B .对于平面α中的任一向量a ,使12a e e λμ=+的实数λ,μ有无数多对
C .1λ,1μ,2λ,2μ均为实数,且向量1112e e λμ+与2212e e λμ+共线,则有且只有一个实数λ,使()
11122122e e e e λμλλμ+=+
D .若存在实数λ,μ,使120e e λμ+=,则0λμ== 15.已知,a b 为非零向量,则下列命题中正确的是( ) A .若a b a b +=+,则a 与b 方向相同 B .若a b a b +=-,则a 与b 方向相反 C .若a b a b +=-,则a 与b 有相等的模 D .若a b a b -=-,则a 与b 方向相同
二、平面向量及其应用选择题
16.如图所示,矩形ABCD 的对角线相交于点O ,E 为AO 的中点,若
(),DE AB AD R λμλμ=+∈,则λμ?等于( )
A .316
- B .
316 C .
12
D .12
-
17.若点G 是ABC 的重心,,,a b c 分别是BAC ∠,ABC ∠,ACB ∠的对边,且
3
0aGA bGB cGC ++
=.则BAC ∠等于( ) A .90°
B .60°
C .45°
D .30°
18.已知向量OA 与OB 的夹角为θ,2OA =,1OB =,=OP tOA ,
()1OQ t OB =-,PQ 在t t =0时取得最小值,则当01
05
t <<
时,夹角θ的取值范围为( ) A .0,3π?? ???
B .,32ππ?? ???
C .2,23
ππ??
???
D .20,
3π?? ???
19.已知在四边形ABCD 中, 2, 4,53AB a b BC a b CD a b =--=+=+,则四边形
ABCD 的形状是( )
A .矩形
B .梯形
C .平行四边形
D .以上都不对
20.ABC ?内有一点O ,满足3450OA OB OC ++=,则OBC ?与ABC ?的面积之比为
( ) A .1:4
B .4:5
C .2:3
D .3:5
21.中华人民共和国国歌有84个字,37小节,奏唱需要46秒,某校周一举行升旗仪式,旗杆正好处在坡度15?的看台的某一列的正前方,从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60?和30,第一排和最后一排的距离为2米(如图所示),旗杆底部与第一排在同一个水平面上.要使国歌结束时国旗刚好升到旗杆顶部,升旗手升旗的速度应为(米/秒)
A 33
B 53
C 73
D 83
22.已知M (3,-2),N (-5,-1),且1
2
MP MN =,则P 点的坐标为( ) A .(-8,1) B .31,2?
?-- ??
?
C .31,2?? ???
D .(8,-1)
23.在ABC 中,若 cos a b C =,则ABC 的形状是( ) A .直角三角形 B .等腰三角形 C .等腰直角三角形
D .等腰或直角三角形
24.在ABC ?中,已知2AB =,4AC =,若点G 、W 分别为ABC ?的重心和外心,则
()AG AW BC +?=( )
A .4
B .6
C .10
D .14
25.若两个非零向量a ,b 满足2a b a b b +=-=,则向量a b +与a 的夹角为( ) A .
3
π
B .
23
π C .
56
π D .
6
π
26.题目文件丢失!
27.在梯形ABCD 中,//AD BC ,90ABC ∠=?,2AB BC ==,1AD =,则
BD AC ?=( )
A .2-
B .3-
C .2
D .5
28.在ABC ?中,60A ∠=?,1b =,3ABC S ?,则2sin 2sin sin a b c
A B C
++=++( )
A .
39
3
B .
263
3
C 83
D .2329.在ABC ?中,下列命题正确的个数是( )
①AB AC BC -=;②0AB BC CA ++=;③点O 为ABC ?的内心,且
()()20OB OC OB OC OA -?+-=,则ABC ?为等腰三角形;④0AC AB ?>,则
ABC ?为锐角三角形.
A .1
B .2
C .3
D .4
30.如图,在ABC 中,14AD AB →
→=,12
AE AC →→
=,BE 和CD 相交于点F ,则向量
AF →
等于( )
A .1277A
B A
C →→
+
B .1377AB A
C →→
+
C .121414
AB AC →→
+ D .131414
AB AC →→
+ 31.在ABC 中,若sin 2sin cos B A C =,那么ABC 一定是( )
A .等腰直角三角形
B .等腰三角形
C .直角三角形
D .等边三角形
32.如图所示,在坡度一定的山坡A 处测得山顶上一建筑物CD 的顶端C 对于山坡的斜度为15°,向山顶前进50 m 到达B 处,又测得C 对于山坡的斜度为45°,若CD =50 m ,山坡对于地平面的坡度为θ,则cos θ等于( )
A 3
B .
22
C 31
- D 2
1 33.设ABC ?中BC 边上的中线为AD ,点O 满足2AO OD =,则OC =( )
A .1233A
B A
C -
+ B .
21
33
AB AC - C .1233
AB AC -
D .21
33
AB AC -
+34.题目文件丢失!
35.在矩形ABCD 中,3,3,2AB BC BE EC ===,点F 在边CD 上,若
AB AF 3→→=,则AE BF
→→的值为( )
A .0
B .
83
3
C .-4
D .4
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一、多选题 1.ACD 【分析】
由向量的数量积?向量的投影?基本定理与向量的夹角等基本知识,逐个判断即可求解. 【详解】
对于A ,∵,,与的夹角为锐角, ∴ ,
且(时与的夹角为0), 所以且,故A 错误; 对于B 解析:ACD 【分析】
由向量的数量积?向量的投影?基本定理与向量的夹角等基本知识,逐个判断即可求解. 【详解】
对于A ,∵(1,2)a =,(1,1)b =,a 与a b λ+的夹角为锐角, ∴()(1,2)(1,2)a a b λλλ?+=?++
142350λλλ=+++=+>,
且0λ≠(0λ=时a 与a b λ+的夹角为0), 所以5
3
λ>-
且0λ≠,故A 错误; 对于B ,向量12(2,3)4e e =-=,即共线,故不能作为平面内所有向量的一组基底,B 正确;
对于C ,若//a b ,则a 在b 方向上的正射影的数量为||a ±,故C 错误; 对于D ,因为|||a a b =-∣,两边平方得||2b a b =?, 则2
2
3()||||2
a a
b a a b a ?+=+?=
, 222||()||2||3||a b a b a a b b a +=+=+?+=,
故2
3||()32cos ,||||3||a a a b a a b a a b a a ?+<+>===
+?∣, 而向量的夹角范围为[]0,180??, 得a 与a b λ+的夹角为30°,故D 项错误. 故错误的选项为ACD
【点睛】
本题考查平面向量基本定理及向量的数量积,向量的夹角等知识,对知识广度及准确度要求比较高,中档题.
2.ACD 【分析】
根据平面向量的定义、数量积定义、共线向量定义进行判断. 【详解】
对应,若,则向量长度相等,方向相同,故,故正确; 对于,当且时,,但,可以不相等,故错误; 对应,若,,则方向相同
解析:ACD 【分析】
根据平面向量的定义、数量积定义、共线向量定义进行判断. 【详解】
对应A ,若a b =,则向量,a b 长度相等,方向相同,故||||a b =,故A 正确; 对于B ,当a c ⊥且b c ⊥时,··0a c b c ==,但a ,b 可以不相等,故B 错误; 对应C ,若//a b ,//b c ,则,a b 方向相同或相反,,b c 方向相同或相反, 故,a c 的方向相同或相反,故//a c ,故C 正确;
对应D ,若||||a b a b +=-,则22222?2?a a b b a a b b ++=-+,
∴0a b =,∴a b ⊥,故D 正确.
故选:ACD 【点睛】
本题考查平面向量的有关定义,性质,数量积与向量间的关系,属于中档题.
3.AC 【分析】
根据平面向量数量积定义可判断A ;由向量垂直时乘积为0,可判断B ;利用向量数量积的运算律,化简可判断C ;根据向量数量积的坐标关系,可判断D. 【详解】
对于A ,由平面向量数量积定义可知
解析:AC 【分析】
根据平面向量数量积定义可判断A ;由向量垂直时乘积为0,可判断B ;利用向量数量积的运算律,化简可判断C ;根据向量数量积的坐标关系,可判断D. 【详解】
对于A ,由平面向量数量积定义可知cos ,a b a b a b ?=,则||||||a b a b ?≤,所以A
对于B ,当a 与c 都和b 垂直时,a 与c 的方向不一定相同,大小不一定相等,所以B 错误,
对于C ,两个非零向量a ,b ,若||||||a b a b -=+,可得22()(||||)a b a b -=+,即
22||||a b a b -?=,cos 1θ=-,
则两个向量的夹角为π,则a 与b 共线且反向,故C 正确; 对于D ,已知(1,2)a =,(1,1)b =且a 与a b λ+的夹角为锐角, 可得()0a a b λ?+>即2||0a a b λ+?>可得530λ+>,解得53
λ>-
, 当a 与a b λ+的夹角为0时,(1,2)a b λλλ+=++,所以2220λλλ+=+?= 所以a 与a b λ+的夹角为锐角时5
3
λ>-且0λ≠,故D 错误; 故选:AC. 【点睛】
本题考查了平面向量数量积定义的应用,向量共线及向量数量积的坐标表示,属于中档题.
4.AC 【分析】
对于,利用正弦定理可将条件转化得到,即可求出; 对于,利用正弦定理可求得,进而可得;
对于,利用正弦定理条件可转化为,结合原题干条件可得,进而求得; 对于,根据三角形面积公式求得,利
解析:AC 【分析】
对于A
2sin sin A C A =,即可求出C ; 对于B ,利用正弦定理可求得sin B ,进而可得cos B ;
对于C ,利用正弦定理条件可转化为2cos a c B =,结合原题干条件可得B ,进而求得
A B C ==;
对于D ,根据三角形面积公式求得a ,利用余弦定理求得c ,进而由正弦定理求得R . 【详解】
2sin c A =
2sin sin A C A =, 因为sin 0A ≠
,故sin 2
C =, 因为(0,
)2
C π
∈,则3
C π
=
,故A 正确;
若72
c =,则由正弦定理可知sin sin c b C B =
,则4sin sin 72
b B C
c ==
因为(0,)B π∈
,则1
cos 7
B =±,故B 错误; 若sin 2cos sin A B
C =,根据正弦定理可得2cos a c B =,
2sin c A =
,即sin a A =
sin 2cos A c B =
,所以sin A B =,
因为23A B C ππ+=-=,则23
A B π=
-
,故2sin()3B B π
-=,
1
sin 2B B B +=
,即1sin cos 22
B B =,
解得tan B =3
B π
=,则3
A π
=
,
即3
A B C π
===
,所以ABC 是等边三角形,故C 正确; 若ABC
的面积是
1
sin 2
ab C =2a =,
由余弦定理可得2
2
2
1
2cos 416224122
c a b ab C =+-=+-???=
,即c = 设三角形的外接圆半径是R ,
由正弦定理可得24
sin c R C =
==,则该三角形外接圆半径为2,故D 错误, 故选:AC . 【点睛】
本题考查正余弦定理的应用及同角三角函数的基本关系和两角和与差的三角公式,转化思想,计算能力,属于中档题.
5.AD 【分析】
利用正弦定理,两角和的正弦函数公式化简,结合,可求,结合范围,可求,进而根据三角形的面积公式和余弦定理可得. 【详解】 ∵,
整理可得:, 可得,
∵A 为三角形内角,, ∴,故A 正确
解析:AD 【分析】
利用正弦定理,两角和的正弦函数公式化简
cos cos 2B b
C a c
=-,结合sin 0A ≠,可求1cos 2
B =
,结合范围()0,B π∈,可求3B π
=,进而根据三角形的面积公式和余弦定理
可得a c += 【详解】 ∵
cos sin cos 22sin sin B b B
C a c A C
==--, 整理可得:sin cos 2sin cos sin cos B C A B C B =-,
可得()sin cos sin cos sin sin 2sin cos B C C B B C A A B +=+==, ∵A 为三角形内角,sin 0A ≠, ∴1
cos 2
B =
,故A 正确,B 错误, ∵()0,B π∈, ∴3
B π
=
,
∵4
ABC S =△,且3b =,
11sin 22ac B a c ==??=, 解得3ac =,
由余弦定理得()()2
2
22939a c ac a c ac a c =+-=+-=+-,
解得a c +=C 错误,D 正确. 故选:AD. 【点睛】
本题主要考查正弦定理,余弦定理以及两角和与差的三角函数的应用,还考查了运算求解的能力,属于中档题.
6.AD 【分析】
设,则,然后分点P 靠近点,靠近点两种情况,利用平面向量的线性运算求解. 【详解】 设,则,
当点P 靠近点时,, 则, 解得, 所以,
当点P 靠近点时,, 则, 解得, 所以, 故选:
解析:AD 【分析】
设(),P x y ,则()()1
2,1,4,4=-=--PP x y PP x y ,然后分点P 靠近点1P ,靠近点2P 两种情况,利用平面向量的线性运算求解. 【详解】
设(),P x y ,则()()1
2,1,4,4=-=--PP x y PP x y , 当点P 靠近点1P 时,121
2
PP
PP =, 则()()1421142x x y y ?=-????-=-??
,
解得432
x y ?=???=?,
所以4,23P ??
???
, 当点P 靠近点2P 时,12
2PP PP =, 则()()24124x x y y ?=-??-=-??
,
解得833
x y ?=???=?,
所以8,33P ?? ???
, 故选:AD 【点睛】
本题主要考查平面向量的线性运算,还考查了运算求解的能力,属于基础题.
7.ACD 【分析】
A ,由平面向量数量积的运算律可判断;
B ,由平面向量垂直的条件、数量积的
运算律可判断;C ,由与不共线,可分两类考虑:①若,则显然成立;②若,由、、构成三角形的三边可进行判断;D ,由平
解析:ACD 【分析】
A ,由平面向量数量积的运算律可判断;
B ,由平面向量垂直的条件、数量积的运算律可判断;
C ,由a 与b 不共线,可分两类考虑:①若a b ≤,则a b a b -<-显然成立;②若a b >,由a 、b 、a b -构成三角形的三边可进行判断;
D ,由平面向量的混合运算将式子进行展开即可得解. 【详解】
选项A ,由平面向量数量积的运算律,可知A 正确; 选项B ,
()()()()()()()()
0b c a c a b c b c a c c a b c b c a c b c c a ????-???=???-???=???-???=??
, ∴()()b c a c a b ??-??与c 垂直,即B 错误;
选项C ,∵a 与b 不共线,
∴若a b ≤,则a b a b -<-显然成立;
若a b >,由平面向量的减法法则可作出如下图形:
由三角形两边之差小于第三边,可得a b a b -<-.故C 正确;
选项D ,()()
22
223232966494a b a b a a b a b b a b +?-=-?+?-=-,即D 正确. 故选:ACD 【点睛】
本小题主要考查向量运算,属于中档题.
8.ABD 【分析】
利用平面向量的数量积运算,结合向量的线性运算,对每个选项进行逐一分析,即可容易判断选择.
【详解】
对:因为,又,故可得, 故,故选项正确;
对:因为||=1,||=2,与的夹角为
解析:ABD 【分析】
利用平面向量的数量积运算,结合向量的线性运算,对每个选项进行逐一分析,即可容易判断选择. 【详解】
对A :因为()a b c a b a c ?-=?-?,又a b a c ?=?,故可得()
0a b c ?-=, 故()
a b c ⊥-,故A 选项正确;
对B :因为|a |=1,|b |=2,a 与b 的夹角为60°,故可得1
212
a b ?=?
=. 故a 在b 上的投影向量为12a b b b b ??
?
?= ???
,故B 选项正确; 对C :点P 在△ABC 所在的平面内,满足0PA PB PC ++=,则点P 为三角形ABC 的重心,
故C 选项错误;
对D :不妨设()()()()1,1,2,3,6,1,5,1A B C D -,
则()()()1,24,25,0AB AD AC +=+-==,故四边形ABCD 是平行四边形; 又()14220AB AD ?=?+?-=,则AB AD ⊥,故四边形ABCD 是矩形. 故D 选项正确;
综上所述,正确的有:ABD . 故选:ABD . 【点睛】
本题考查向量数量积的运算,向量的坐标运算,向量垂直的转化,属综合中档题.
9.BC 【分析】
由题意结合正弦定理可得,再由即可得解. 【详解】
由正弦定理可得,所以, 又,所以, 所以或. 故选:BC. 【点睛】
本题考查了正弦定理的应用,考查了运算求解能力,属于基础题.
解析:BC 【分析】
由题意结合正弦定理可得sin C =()0,150C ∈??即可得解. 【详解】
由正弦定理可得sin sin AB AC C B =
,所以1
sin 2sin 2AB B C AC ?===, 又30B =?,所以()0,150C ∈??, 所以60C =?或120C =?. 故选:BC. 【点睛】
本题考查了正弦定理的应用,考查了运算求解能力,属于基础题.
10.BD 【分析】
根据向量的加法和减法运算,对四个选项逐一计算,即可得正确答案. 【详解】
对于选项:,选项不正确; 对于选项: ,选项正确; 对于选项:,选项不正确; 对于选项: 选项正确. 故选:
解析:BD 【分析】
根据向量的加法和减法运算,对四个选项逐一计算,即可得正确答案. 【详解】
对于选项A :AB MB BO OM AB +++=,选项A 不正确; 对于选项B : 0AB BC CA AC CA ++=+=,选项B 正确; 对于选项C :OA OC BO CO BA +++=,选项C 不正确;
对于选项D :()()
0AB AC BD CD AB BD AC CD AD AD -+-=+-+=-
= 选项D 正确. 故选:BD 【点睛】
本题主要考查了向量的线性运算,属于基础题.
11.AB
由向量的线性运算,结合其几何应用求得、、、,即可判断选项的正误 【详解】 ,即A 正确 ,即B 正确
连接AC ,知G 是△ADC 的中线交点, 如下图示
由其性质有 ∴,即C 错误 同理 ,
解析:AB 【分析】
由向量的线性运算,结合其几何应用求得12AF AD AB =+
、1
()2
EF AD AB =+、21
33AG AD AB =
+、2BG GD =,即可判断选项的正误 【详解】 11
22
AF AD DF AD DC AD AB =+=+
=+,即A 正确 11
()()22
EF ED DF AD DC AD AB =+=+=+,即B 正确
连接AC ,知G 是△ADC 的中线交点, 如下图示
由其性质有||||1
||||2
GF GE AG CG == ∴211121
()333333AG AE AC AD AB BC AD AB =
+=++=+,即C 错误 同理21212
()()33333BG BF BA BC CF BA AD AB =+=++=-
211()333DG DF DA AB DA =
+=+,即1
()3
GD AD AB =- ∴2BG GD =,即D 错误 故选:AB
本题考查了向量线性运算及其几何应用,其中结合了中线的性质:三角形中线的交点分中线为1:2,以及利用三点共线时,线外一点与三点的连线所得向量的线性关系
12.ABC 【分析】
设平行四边形的四个顶点分别是,分类讨论点在平行四边形的位置有:,,,将向量用坐标表示,即可求解. 【详解】 第四个顶点为, 当时,,
解得,此时第四个顶点的坐标为; 当时,, 解得
解析:ABC 【分析】
设平行四边形的四个顶点分别是(3,7),(4,6),(1,2),(,)A B C D x y -,分类讨论D 点在平行四边形的位置有:AD BC =,AD CB =,AB CD =,将向量用坐标表示,即可求解. 【详解】
第四个顶点为(,)D x y ,
当AD BC =时,(3,7)(3,8)x y --=--,
解得0,1x y ==-,此时第四个顶点的坐标为(0,1)-; 当AD CB =时,(3,7)(3,8)x y --=,
解得6,15x y ==,此时第四个顶点的坐标为(6,15); 当AB CD =时,(1,1)(1,2)x y -=-+,
解得2,3x y ==-,此时第四个项点的坐标为(2,3)-. ∴第四个顶点的坐标为(0,1)-或(6,15)或(2,3)-. 故选:ABC . 【点睛】
本题考查利用向量关系求平行四边形顶点坐标,考查分类讨论思想,属于中档题.
13.AB 【分析】
利用平面向量数量积的定义和运算律可判断各选项的正误. 【详解】
对于A 选项,,A 选项错误;
对于B 选项,表示与共线的向量,表示与共线的向量,但与不一定共线,B 选项错误;
对于C 选项,
解析:AB 【分析】
利用平面向量数量积的定义和运算律可判断各选项的正误. 【详解】
对于A 选项,00a ?=,A 选项错误;
对于B 选项,()
a b c ??表示与c 共线的向量,()
a b c ??表示与a 共线的向量,但a 与c 不一定共线,B 选项错误;
对于C 选项,0a b a b ?=?⊥,C 选项正确;
对于D 选项,(
)()
2
2
22a b a b a b a b +?-=-=-,D 选项正确. 故选:AB. 【点睛】
本题考查平面向量数量积的应用,考查平面向量数量积的定义与运算律,考查计算能力与推理能力,属于基础题.
14.BC 【分析】
由平面向量基本定理可判断出A 、B 、D 正确与否,由向量共线定理可判断出C 正确与否. 【详解】
由平面向量基本定理,可知A ,D 说法正确,B 说法不正确, 对于C ,当时,这样的有无数个,故C
解析:BC 【分析】
由平面向量基本定理可判断出A 、B 、D 正确与否,由向量共线定理可判断出C 正确与否. 【详解】
由平面向量基本定理,可知A ,D 说法正确,B 说法不正确,
对于C ,当12120λλμμ====时,这样的λ有无数个,故C 说法不正确. 故选:BC 【点睛】
若1e ,2e 是平面α内两个不共线的向量,则对于平面α中的任一向量a ,使
12a e e λμ=+的实数λ,μ存在且唯一. 15.ABD 【分析】
根据平面向量的平行四边形法则与三角不等式分析即可. 【详解】
如图,根据平面向量的平行四边形或三角形法则,当不共线时,根据三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边有. 当同向时
解析:ABD 【分析】
根据平面向量的平行四边形法则与三角不等式分析即可. 【详解】
如图,根据平面向量的平行四边形或三角形法则,当,a b 不共线时,根据三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边有||||||||||||a b a b a b -<±<+. 当,a b 同向时有||||||a b a b +=+,||||||a b a b -=-. 当,a b 反向时有||||||||a b a b +=-,||+||||a b a b =-
故选:ABD 【点睛】
本题主要考查了平面向量的线性运算与三角不等式,属于基础题型.
二、平面向量及其应用选择题
16.A 【分析】
利用平面向量的线性运算,将DE 用AB 和AD 表示,可得出λ和μ的值,由此可计算出
λμ?的值.
【详解】
E 为AO 的中点,且O 为AC 的中点,所以,()
111
244
AE AO AC AB AD ===+, ()
113444DE AE AD AB AD AD AB AD ∴=-=
+-=-,1
4λ∴=,34
μ=-.
因此,133
4416
λμ???=?-=- ???,故选:A. 【点睛】
本题考查利用基底表示向量,要充分利用平面向量的加减法法则,考查运算求解能力,属
于中等题.
17.D
【分析】
由点G是ABC的重心可得0
GA GB GC
++=,即GA GB GC
=--,代入
3
aGA bGB cGC
++=中可得
3
()0 b a GB c a GC
??
-+-
=
?
?
??
,由,
GB GC不共线可得
b a
a
-=
?
-=
,即可求得,,
a b c的关系,进而利用余弦定理求解即可
【详解】
因为点G是ABC的重心,所以0
GA GB GC
++=,
所以GA GB GC
=--,
代入
3
3
aGA bGB cGC
++=可得
3
()0
b a GB
c a GC
??
-+-
=
?
?
??
,
因为,
GB GC不共线,所以
3
b a
c a
-=
?
-=
?
,
即
b a
c
=
??
?
=
??
,所以
222
cos
2
b c a
BAC
bc
+-
∠==,故30
BAC?
∠=,
故选:D
【点睛】
本题考查向量的线性运算,考查利用余弦定理求角
18.C
【解析】
【分析】
根据向量的数量积运算和向量的线性表示可得,
()()
22
2
54cos24cos1
PQ PQ t t
θθ
==+-++,根据二次函数的最值可得出
12cos
54cos
t
θ
θ
+
=
+
,再由
1
5
t<<,可求得夹角θ的取值范围.
【详解】
因为2cos
OA OBθ
?=,()
1
PQ OQ OP t OB tOA
=-=--,
()()
22
2
54cos 24cos1
PQ PQ t t
θθ
==+-++,
∵PQ在t t
=
时取得最小值,所以
12cos
54cos
t
θ
θ
+
=
+
,又
1
5
t<<,则
第一部分:平面向量的概念及线性运算 欧阳光明(2021.03.07) 一.基础知识自主学习 1.向量的有关概念 名称定义备注 向量既有又有的量;向量的大小叫做向量 的(或称) 平面向量是自由向量 零向量长度为的向量;其方向是任意的记作0 单位向量长度等于的 向量 非零向量a的单位向量为± a |a| 平行向量方向或的非零向量 0与任一向量或共线共线向量的非零向量又叫做共线向量 相等向量长度且方向的向量两向量只有相等或不等,不能比 较大小 相反向量长度且方向的向量0的相反向量为0 2.向量的线性运算 向量运算定义法则(或几何 意义) 运算律 加法求两个向量和的运算(1)交换律: a+b=b+a. (2)结合律: (a+b)+c=a+(b+c). 减法求a与b的相反向量-b 的和的运算叫做a与b 的差 法则 a-b=a+(-b) 数乘求实数λ与向量a的积的 运算 (1)|λa|=|λ||a|. (2)当λ>0时,λa的方向与a的方向; 当λ<0时,λa的方向与a的方向;当λ =0时,λa=0. λ(μa)=λμa; (λ+μ)a=λa+μa; λ(a+b)=λa+λb. 向量a(a≠0)与b共线的条件是存在唯一一个实数λ,使得b=λa. 二.难点正本疑点清源 1.向量的两要素 向量具有大小和方向两个要素.用有向线段表示向量时,与有向线段起点的位置没有关系.同向且等长的有向线
段都表示同一向量.或者说长度相等、方向相同的向量是相等的.向量只有相等或不等,而没有谁大谁小之说,即向量不能比较大小. 2.向量平行与直线平行的区别 向量平行包括向量共线(或重合)的情况,而直线平行不包括共线的情况.因而要利用向量平行证明向量所在直线平行,必须说明这两条直线不重合. 三.基础自测 1.化简OP →-QP →+MS →-MQ → 的结果等于________. 2.下列命题:①平行向量一定相等;②不相等的向量一定不平行;③平行于同一个向量的两个向量是共线向量; ④相等向量一定共线.其中不正确命题的序号是_______. 3.在△ABC 中,AB →=c ,AC →=b.若点D 满足BD →=2DC →,则AD → =________(用b 、c 表示). 4.如图,向量a -b 等于() A .-4e1-2e2 B .-2e1-4e2 C .e1-3e2 D .3e1-e2 5.已知向量a ,b ,且AB →=a +2b ,BC →=-5a +6b ,CD → =7a -2b ,则一定共线的三点是 () A .A 、B 、DB .A 、B 、C C .B 、C 、DD .A 、C 、D 四.题型分类深度剖析 题型一 平面向量的有关概念 例1 给出下列命题: ①若|a|=|b|,则a =b ;②若A ,B ,C ,D 是不共线的四点,则AB →=DC → 是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件;③若a =b ,b =c ,则a =c ;④a =b 的充要条件是|a|=|b|且a ∥b ;⑤若a ∥b ,b ∥c ,则a ∥c.其中正确的序号是________. 变式训练1 判断下列命题是否正确,不正确的请说明理由. (1)若向量a 与b 同向,且|a|=|b|,则a>b ; (2)若|a|=|b|,则a 与b 的长度相等且方向相同或相反; (3)若|a|=|b|,且a 与b 方向相同,则a =b ; (4)由于零向量的方向不确定,故零向量不与任意向量平行; (5)若向量a 与向量b 平行,则向量a 与b 的方向相同或相反; (6)若向量AB →与向量CD → 是共线向量,则A ,B ,C ,D 四点在一条直线上; (7)起点不同,但方向相同且模相等的几个向量是相等向量; (8)任一向量与它的相反向量不相等 题型二 平面向量的线性运算 例2 如图,以向量OA →=a ,OB →=b 为边作?OADB ,BM →=13BC →,CN →=13 CD →,用a 、b 表示OM →、ON →、MN → . 变式训练2 △ABC 中,AD →=23 AB →,DE ∥BC 交AC 于E ,BC 边上的中线AM 交DE 于N.设AB →=a ,AC → =b ,用a 、b 表示向 量AE →、BC →、DE →、DN →、AM →、AN →. 题型三 平面向量的共线问题 例3 设e1,e2是两个不共线向量,已知AB →=2e1-8e2,CB →=e1+3e2,CD → =2e1-e2. (1)求证:A 、B 、D 三点共线; (2)若BF → =3e1-ke2,且B 、D 、F 三点共线,求k 的值.
平面向量测试题 一、选择题: 1。已知ABCD 为矩形,E 是DC 的中点,且?→?AB =→a ,?→?AD =→b ,则?→ ?BE =( ) (A ) →b +→a 2 1 (B ) →b -→a 2 1 (C ) →a +→b 2 1 (D ) →a -→ b 2 1 2.已知B 是线段AC 的中点,则下列各式正确的是( ) (A ) ?→?AB =-?→?BC (B ) ?→?AC =?→?BC 2 1 (C ) ?→?BA =?→?BC (D ) ?→?BC =?→ ?AC 2 1 3.已知ABCDEF 是正六边形,且?→?AB =→a ,?→?AE =→b ,则?→ ?BC =( ) (A ) )(2 1→→-b a (B ) )(2 1 →→-a b (C ) →a +→b 2 1 (D ) )(2 1→ →+b a 4.设→a ,→b 为不共线向量,?→?AB =→a +2→b ,?→?BC =-4→a -→b ,?→ ?CD = -5→ a -3→ b ,则下列关系式中正确的是 ( ) (A )?→?AD =?→?BC (B )?→?AD =2?→ ?BC (C )?→?AD =-?→ ?BC (D )?→?AD =-2?→ ?BC 5.将图形F 按→ a =(h,k )(其中h>0,k>0)平移,就是将图形F ( ) (A ) 向x 轴正方向平移h 个单位,同时向y 轴正方向平移k 个单位。 (B ) 向x 轴负方向平移h 个单位,同时向y 轴正方向平移k 个单位。 (C ) 向x 轴负方向平移h 个单位,同时向y 轴负方向平移k 个单位。 (D ) 向x 轴正方向平移h 个单位,同时向y 轴负方向平移k 个单位。 6.已知→a =()1,2 1,→ b =(), 2 22 3- ,下列各式正确的是( ) (A ) 2 2?? ? ??=??? ??→ →b a (B ) →a ·→b =1 (C ) →a =→b (D ) →a 与→b 平行 7.设→ 1e 与→ 2e 是不共线的非零向量,且k → 1e +→ 2e 与→ 1e +k → 2e 共线,则k 的值是( ) (A ) 1 (B ) -1 (C ) 1± (D ) 任意不为零的实数 8.在四边形ABCD 中,?→?AB =?→?DC ,且?→?AC ·?→ ?BD =0,则四边形ABCD 是( ) (A ) 矩形 (B ) 菱形 (C ) 直角梯形 (D ) 等腰梯形 9.已知M (-2,7)、N (10,-2),点P 是线段MN 上的点,且?→ ?PN =-2?→ ?PM ,则P 点的坐标为( ) (A ) (-14,16)(B ) (22,-11)(C ) (6,1) (D ) (2,4)
高中数学必修4之平面向量 知识点归纳 一.向量的基本概念与基本运算 1向量的概念: ①向量:既有大小又有方向的量向量一般用c b a ,,……来表示,或用有向线段的起点与终 点的大写字母表示,如:AB u u u r 几何表示法 AB u u u r ,a ;坐标表示法),(y x yj xi a 向 量的大小即向量的模(长度),记作|AB u u u r |即向量的大小,记作|a | 向量不能比较大小,但向量的模可以比较大小. ②零向量:长度为0的向量,记为0 ,其方向是任意的, 0 与任意向量平行零向量a =0 |a |=0 由于0r 的方向是任意的,且规定0r 平行于任何向量,故在有关向量平行(共线) 的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件.(注意与0的区别) ③单位向量:模为1个单位长度的向量 向量0a 为单位向量 |0a |=1 ④平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直 线上方向相同或相反的向量,称为平行向量记作a ∥b 由于向量可以进行任意的平移(即自 由向量),平行向量总可以平移到同一直线上,故平行向量也称为共线向量 数学中研究的向量是自由向量,只有大小、方向两个要素,起点可以任意选取,现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义,要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的. ⑤相等向量:长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合,记为b a 大 小相等,方向相同 ),(),(2211y x y x 2 12 1y y x x 2向量加法 求两个向量和的运算叫做向量的加法 设,AB a BC b u u u r u u u r r r ,则a +b r =AB BC u u u r u u u r =AC u u u r (1)a a a 00;(2)向量加法满足交换律与结合律; 向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”: (1)用平行四边形法则时,两个已知向量是要共始点的,和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线,而差向量是另一条对角线,方向是从减向量指向被减向量 (2) 三角形法则的特点是“首尾相接”,由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和;差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点 当两个向量的起点公共时,用平行四边形法则;当两向量是首尾连接时,用三角形法
平面向量 【基本概念与公式】 【任何时候写向量时都要带箭头】 1.向量:既有大小又有方向的量。记作:AB 或a 。 2.向量的模:向量的大小(或长度),记作:||AB 或||a 。 3.单位向量:长度为1的向量。若e 是单位向量,则||1e =。 4.零向量:长度为0的向量。记作:0。【0方向是任意的,且与任意向量平行】 5.平行向量(共线向量):方向相同或相反的向量。 6.相等向量:长度和方向都相同的向量。 7.相反向量:长度相等,方向相反的向量。AB BA =-。 8.三角形法则: AB BC AC +=;AB BC CD DE AE +++=;AB AC CB -=(指向被减数) 9.平行四边形法则: 以,a b 为临边的平行四边形的两条对角线分别为a b +,a b -。 10.共线定理://a b a b λ=?。当0λ>时,a b 与同向;当0λ<时,a b 与反向。 11.基底:任意不共线的两个向量称为一组基底。 12.向量的模:若(,)a x y =,则2||a x y =+,22||a a =,2||()a b a b +=+ 13.数量积与夹角公式:||||cos a b a b θ?=?; cos ||||a b a b θ?= ? 14.平行与垂直:1221//a b a b x y x y λ?=?=;121200a b a b x x y y ⊥??=?+= 题型1.基本概念判断正误: (1)共线向量就是在同一条直线上的向量。 (2)若两个向量不相等,则它们的终点不可能是同一点。 (3)与已知向量共线的单位向量是唯一的。 (4)四边形ABCD 是平行四边形的条件是AB CD =。 (5)若AB CD =,则A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形。 (6)若a 与b 共线, b 与c 共线,则a 与c 共线。 (7)若ma mb =,则a b =。