初中数学数学中考数学压轴题的专项培优练习题(及答案

一、中考数学压轴题

1．如图，在等边△ABC中，AB=BC=AC=6cm，点P从点B出发，沿B→C方向以1．5cm/s 的速度运动到点C停止，同时点Q从点A出发，沿A→B方向以1cm/s的速度运动，当点P停止运动时，点Q也随之停止运动，连接PQ，过点P作BC的垂线，过点Q作BC的平行线，两直线相交于点M．设点P的运动时间为x（s），△MPQ与△ABC重叠部分的面积为y（cm2）（规定：线段是面积为0的图形）．

（1）当x= （s）时，PQ⊥BC；

（2）当点M落在AC边上时，x= （s）；

（3）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．

2．在学习了轴对称知识之后，数学兴趣小组的同学们对课本习题进行了深入研究，请你跟随兴趣小组的同学，一起完成下列问题．

(1)（课本习题）如图①，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC至E，使CE=CD．求证：DB=DE

(2)（尝试变式）如图②，△ABC是等边三角形，D是AC边上任意一点，延长BC至E，使CE=AD．

求证：DB=DE．

(3)（拓展延伸）如图③，△ABC是等边三角形，D是AC延长线上任意一点，延长BC至E，使CE=AD请问DB与DE是否相等? 并证明你的结论．

3．如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AB=CD=AD=5，cos

4

5

B ，点O是边BC上的动点，

以OB为半径的O与射线BA和边BC分别交于点E和点M，联结AM，作∠CMN=∠BAM，射线MN与边AD、射线CD分别交于点F、N．

（1）当点E 为边AB 的中点时，求DF 的长；

（2）分别联结AN 、MD ，当AN//MD 时，求MN 的长； （3）将

O 绕着点M 旋转180°得到'O ，如果以点N 为圆心的N 与'O 都内切，求

O 的半径长．

4．如图，矩形ABCD 中，AB =8，BC =12，E 是BC 边的中点，点P 在线段AD 上，过P 作PF ⊥AE 于F ，设PA =x ． （1）求证：△PFA ∽△ABE ；

（2）当点P 在线段AD 上运动时，是否存在实数x ，使得以点P ，F ，E 为顶点的三角形也与△ABE 相似？若存在，请求出x 的值；若不存在，请说明理由；

（3）探究：当以D 为圆心，DP 为半径的⊙D 与线段AE 只有一个公共点时，请直接写出DP 满足的条件： ．

5．如果关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的一半，则称这样的方程为“半等分根方程”．

（1）①方程2280x x --= 半等分根方程（填“是”或“不是”）；

②若(1)()0x mx n -+=是半等分根方程，则代数式2

25

2

m mn n +

+= ； （2）若点(,)p q 在反比例函数8

x y =的图象上，则关于x 的方程2

60px x q -+=是半等分根方程吗？并说明理由；

（3）如果方程20ax bx c ++=是半等分根方程，且相异两点(1,)M t s +，(4,)N t s -都在抛物线2

y ax bx c =++上，试说明方程20ax bx c ++=的一个根为

53

． 6．如图，平面上存在点P 、点M 与线段AB ．若线段AB 上存在一点Q ，使得点M 在以PQ 为直径的圆上，则称点M 为点P 与线段AB 的共圆点． 已知点P （0，1），点A （﹣2，﹣1），点B （2，﹣1）．

（1）在点O （0，0），C （﹣2，1），D （3，0）中，可以成为点P 与线段AB 的共圆点的是 ；

（2）点K 为x 轴上一点，若点K 为点P 与线段AB 的共圆点，请求出点K 横坐标x K 的取值范围；

（3）已知点M （m ，﹣1），若直线y ＝1

2

x +3上存在点P 与线段AM 的共圆点，请直接写出m 的取值范围．

7．综合与探究:如图1,在平面直角坐标系xOy 中,四边形OABC 是边长为4的菱形，

60C ?∠=

（1）把菱形OABC 先向右平移4个单位后，再向下平移()03m m <<个单位，得到菱形

''''O A B C ,在向下平移的过程中，易知菱形''''O A B C 与菱形OABC 重叠部分的四边形'AEC F 为平行四边形，如图2.试探究:当m 为何值时，平行四边形'AEC F 为菱形:

（2）如图，在()1的条件下，连接''',AC B O G 、为CE 的中点J 为EB 的中点，H 为

AC 上一动点，I 为''B O 上一动点，连接,,,GH HI IJ 求GH HI IJ ++的最小值，并直

接写出此时,H I 点的坐标.

8．定义：两个相似等腰三角形，如果它们的底角有一个公共的顶点，那么把这两个三角形称为“关联等腰三角形”．如图，在ABC ?与AED ?中，,BA BC EA ED == ，且

,ABC

AED ??所以称ABC ?与AED ?为“关联等腰三角形”，设它们的顶角为α，连接

,EB DC ，则称

DC

EB

会为“关联比"． 下面是小颖探究“关联比”与α之间的关系的思维过程，请阅读后，解答下列问题： [特例感知]

()1当ABC ?与AED ?为“关联等腰三角形”，且90α?

=时，

①在图1中，若点E 落在AB 上，则“关联比”

DC

EB

=

②在图2中，探究ABE ?与ACD ?的关系，并求出“关联比”

DC

EB

的值．

[类比探究]

()2如图3，

①当ABC ?与AED ?为“关联等腰三角形”，且120a ?=时，“关联比”

DC

EB

= ②猜想：当ABC ?与AED ?为“关联等腰三角形”，且n α=?时，“关联比”DC

EB

= (直接写出结果，用含n 的式子表示) [迁移运用]

()3如图4， ABC ?与AED ?为“关联等腰三角形”．若90,4,ABC AED AC ?∠=∠==点

P 为AC 边上一点，且1PA =，点E 为PB 上一动点，求点E 自点B 运动至点P 时，点

D 所经过的路径长．

9．对于平面内的点M 和点N ，给出如下定义：点P 为平面内的一点，若点P 使得

PMN 是以M ∠为顶角且M ∠小于90°的等腰三角形，则称点P 是点M 关于点N 的锐

角等腰点P ．如图，点P 是点M 关于点N 的锐角等腰点．在平面直角坐标系xOy 中，点

O 是坐标原点．

（1）已知点(2,0)A ，在点123(0,2),(13),(13)P P P -，4(2,2)P -中，是点O 关于点A 的锐角等腰点的是___________．

（2）已知点(3,0)A ，点C 在直线2y x b =+上，若点C 是点O 关于点A 的锐角等腰点，求实数b 的取值范围．

（3）点D 是x 轴上的动点，(,0),(2,0)D t E t -，点(,)F m n 是以D 为圆心，2为半径的圆上一个动点，且满足0n ≥．直线24y x =-+与x 轴和y 轴分别交于点H K ，，若线段

HK 上存在点E 关于点F 的锐角等腰点，请直接写出t 的取值范围．

10．小明研究了这样一道几何题：如图1，在ABC 中，把AB 绕点A 顺时针旋转

()0180a a ?<

180a β+=?时，请问AB C ''△边B C ''上的中线AD 与BC 的数量关系是什么？以下是

他的研究过程：

特例验证：（1）①如图2，当ABC 为等边三角形时，猜想AD 与BC 的数量关系为

AD =_______BC ；②如图3，当90BAC ∠=?，8BC =时，则AD 长为________． 猜想论证：（2）在图1中，当ABC 为任意三角形时，猜想AD 与BC 的数量关系，并

给予证明．

拓展应用：（3）如图4，在四边形ABCD ，90C ∠=?，120A B ∠+∠=?，

123BC =，6CD =，63DA =，在四边形内部是否存在点P ，使PDC △与PAB △之

间满足小明探究的问题中的边角关系？若存在，请画出点P 的位置（保留作图痕迹，不需要说明）并直接写出PDC △的边DC 上的中线PQ 的长度；若不存在，说明理由． 11．已知：如图，四边形ABCD ，AB

DC ，CB AB ⊥，16AB cm =，6BC cm =，

8CD cm =，动点Q 从点D 开始沿DA 边匀速运动，运动速度为1/cm s ，动点P 从点A

开始沿AB 边匀速运动，运动速度为2/cm s ．点P 和点Q 同时出发，O 为四边形ABCD 的对角线的交点，连接 PO 并延长交CD 于M ，连接QM ．设运动的时间为()t s ，

08t <<．

（1）当t 为何值时，PQ

BD ？

（2）设五边形QPBCM 的面积为(

)2

S cm

，求S 与t 之间的函数关系式；

（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t ，使PQM 的面积等于五边形面积的11

15

？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由；

（4）在运动过程中，是否存在某一时刻t ，使点Q 在MP 的垂直平分线上？若存在，求出

t 的值；若不存在，请说明理由．

12．我们知道，平面内互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，如果两条数轴不垂直，而是相交成任意的角ω（0°＜ω＜180°且ω≠90°），那么这两条数轴构成的是平面斜坐标系，两条数轴称为斜坐标系的坐标轴，公共原点称为斜坐标系的原点，如图1，经过平面内一点P 作坐标轴的平行线PM 和PN ，分别交x 轴和y 轴于点M ，N ．点M 、N 在x 轴和y 轴上所对应的数分别叫做P 点的x 坐标和y 坐标，有序实数对

（x，y）称为点P的斜坐标，记为P（x，y）

（1）如图2，ω＝45°，矩形OABC中的一边OA在x轴上，BC与y轴交于点D，

OA＝2，OC＝1．

①点A、B、C在此斜坐标系内的坐标分别为A，B，C．

②设点P（x，y）在经过O、B两点的直线上，则y与x之间满足的关系为．

③设点Q（x，y）在经过A、D两点的直线上，则y与x之间满足的关系为．

（2）若ω＝120°，O为坐标原点．

①如图3，圆M与y轴相切原点O，被x轴截得的弦长OA＝3，求圆M的半径及圆心M的斜坐标．

②如图4，圆M的圆心斜坐标为M（33y轴的距离为1，则圆M的半径r的取值范围是．

13．已知：如图，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为（6，0），2，点 P 从点 O 出发沿线段 OA 向终点 A 运动，点 P 的运动速度是每秒 2 个单位长度，点 D 是线段 OA 的中点．

（1）求点B 的坐标；

（2）设点P 的运动时间为点t 秒，△BDP 的面积为S，求S 与t 的函数关系式；

（3）当点P 与点D 重合时，连接BP，点E 在线段AB 上，连接PE，当∠BPE=2∠OBP 时，求点E 的坐标．

14．在平面直角坐标系xOy 中，点A 为x 轴上的动点，点B 为x 轴上方的动点，连接

OA ，OB ，AB ．

（1）如图1，当点B 在y 轴上，且满足OAB ∠的角平分线与OBA ∠的角平分线交于点

P ，请直接写出P ∠的度数；

（2）如图2，当点B 在y 轴上，OAB ∠的角平分线与OBA ∠的角平分线交于点P ，点C 在BP 的延长线上，且满足45AOC ∠=?，求

OAB

OCB

∠∠；

（3）如图3，当点B 在第一象限内，点P 是AOB ?内一点，点M ，N 分别是线段OA ，

OB 上一点，满足：1902

APB AOB ∠=?+∠，PM PN =，180ONP OMP ∠+∠=?．

以下结论：①OM ON =；②AP 平分OAB ∠；③BP 平分OBA ∠；④AM BN AB +=．

正确的是：________．（请填写正确结论序号，并选择一个正确的结论证明，简写证明过程）．

15．如图1，已知点B （0，9），点C 为x 轴上一动点，连接BC ，△ODC 和△EBC 都是等边三角形．

（1）求证：DE ＝BO ；

（2）如图2，当点D 恰好落在BC 上时． ①求点E 的坐标；

②在x 轴上是否存在点P ，使△PEC 为等腰三角形？若存在，写出点P 的坐标；若不存在，说明理由；

③如图3，点M 是线段BC 上的动点（点B ，点C 除外），过点M 作MG ⊥BE 于点G ，MH ⊥CE 于点H ，当点M 运动时，MH ＋MG 的值是否发生变化？若不会变化，直接写出MH ＋MG 的值；若会变化，简要说明理由．

16．（1）如图1，A 是⊙O 上一动点，P 是⊙O 外一点，在图中作出PA 最小时的点A ． （2）如图2，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，以点C 为圆心的⊙C 的半径是3.6，Q 是⊙C 上一动点，在线段AB 上确定点P 的位置，使PQ 的长最小，并求出其最小值． （3）如图3，矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝9，以D 为圆心，3为半径作⊙D ，E 为⊙D 上一动点，连接AE ，以AE 为直角边作Rt △AEF ，∠EAF ＝90°，tan ∠AEF ＝

1

3

，试探究四边形ADCF 的面积是否有最大或最小值，如果有，请求出最大或最小值，否则，请说明理由．

17．我们知道，在等腰直角三角形中，底边与一边腰长比为2:1．如图1，90A ∠=?，

AB AC =，则

2BC

AB

=．

知识应用：

(1)如图2，ADE ?和ABC ?均为等腰直角三角形，90DAE BAC ∠=∠=?，D ，E ，C 三点共线，若2AD =2BD =，求CD 的长．

知识外延：

(2)如图3，正方形ABCD 中，BE 和BC 关于BG 对称，C 点的对应点为E 点，AE 交

BG 的延长线于F 点，连接CF ． ①求证：GF EC =；

②若2AE =，2CE =BF 的长．

18．如图，四边形AOBC是正方形，点C的坐标是(82,0)．

（1）正方形AOBC的边长为，点A的坐标是；

（2）将正方形AOBC绕点O顺时针旋转45?，点A，B，C旋转后的对应点为A'，

B'，C'，求点A'的坐标及旋转后的正方形与原正方形的重叠部分的面积；

（3）动点P从点O出发，沿折线OACB方向以1个单位/秒的速度匀速运动，同时，另一动点Q从点O出发，沿折线OBCA方向以2个单位/秒的速度匀速运动，运动时间为t 秒，当它们相遇时同时停止运动，当OPQ

△为等腰三角形时，求出t的值（直接写出结果即可）．

19．已知菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=4，点M在BC边上，过点M作PM∥AB交对角线BD于点P，连接PC．

（1）如图1，当BM=1时，求PC的长；

（2）如图2，设AM与BD交于点E，当∠PCM=45°时，求证：BE

DE

=

33

+

；

（3）如图3，取PC的中点Q，连接MQ，AQ．

①请探究AQ和MQ之间的数量关系，并写出探究过程；

②△AMQ的面积有最小值吗？如果有，请直接写出这个最小值；如果没有，请说明理由．

20．如图1，D是等边△ABC外一点，且AD＝AC，连接BD，∠CAD的角平分交BD于E．（1）求证：∠ABD＝∠D；

（2）求∠AEB的度数；

（3）△ABC 的中线AF交BD于G（如图2），若BG＝DE，求AF

DE

的值．

21．问题探究

（1）如图1．在ABC 中，8BC =，D 为BC 上一点，6AD =．则ABC 面积的最大值是_______．

（2）如图2，在ABC 中，60BAC ∠=?，AG 为BC 边上的高，O 为ABC 的外接

圆，若3AG =，试判断BC 是否存在最小值？若存在，请求出最小值：若不存在，请说明

理由．

问题解决：

如图3，王老先生有一块矩形地ABCD ，6212AB =+，626BC =+，现在他想利用这块地建一个四边形鱼塘AMFN ，且满足点E 在CD 上，AD DE =，点F 在BC 上，且6CF =，点M 在AE 上，点N 在AB 上，90MFN ∠=?，这个四边形AMFN 的面积是否存在最大值？若存在，求出面积的最大值；若不存在，请说明理由． 22．在综合与实践课上老师将直尺摆放在三角板上，使直尺与三角板的边分别交于点P 、M 、N 、Q ，

（1）如图①所示．当∠CNG ＝42°，求∠HMC 的度数．（写出证明过程）

（2）将直尺向下平移至图 2 位置，使直尺的边缘通过点 C ，交 AB 于点 P ，直尺另一侧与三角形交于 N 、Q 两点。请直接写出∠PQF 、∠A 、∠ACE 之间的关系．

23．问题一：如图①，已知AC ＝160km ，甲，乙两人分别从相距30km 的A ，B 两地同时出发到C 地．若甲的速度为80km /h ，乙的速度为60km /h ，设乙行驶时间为x （h ），两车之间距离为y （km ）．

（1）当甲追上乙时，x ＝ ． （2）请用x 的代数式表示y ．

问题二：如图②，若将上述线段AC 弯曲后视作钟表外围的一部分，线段AB 正好对应钟表上的弧AB （1小时的间隔），易知∠AOB ＝30°．

（3）分针OD 指向圆周上的点的速度为每分钟转动 km ，时针OE 指向圆周上的点的速度为每分钟转动 °；

（4）若从2：00起计时，求几分钟后分针与时针第一次重合？

24．综合与探究：

如图1，抛物线24832

999

y x x =-

++与x 轴交于,A B 两点（点A 在点B 的左侧），顶点为D ，P 为对称轴右侧抛物线的一个动点，直线AD 与y 轴于点C ，过点P 作

//PF AD ，交x 轴于点F ．

（1）求直线AD 的函数表达式及点C 的坐标；

（2）如图2，当//PC x 轴时，将AOC ?以每秒1个单位长度的速度沿x 轴的正方向平移，当点C 与点P 重合时停止平移．设平移t 秒时，在平移过程中AOC ?与四边形AFPC 重叠部分的面积为S ，求S 关于t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围； （3）如图3，过点P 作x 轴的平行线，交直线AD 于点E ，直线DF 与PE 交于点M ，设点P 的横坐标为m ．

①当3DM MF =时，求m 的值；

②试探究点P 在运动过程中，是否存在值m ，使四边形AFPE 是菱形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．

25．在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，抛物线(2)()y a x x m =++与x 轴交于点

A C 、（点A 在点C 的左侧），与y 轴正半轴交于点

B ，24O

C OB ==． （1）如图1，求a m 、的值；

（2）如图2，抛物线的顶点坐标是M ，点D 是第一象限抛物线上的一点，连接AD 交抛物线的对称轴于点N ，设点D 的横坐标是t ，线段MN 的长为d ，求d 与t 的函数关系式；

（3）如图3，在（2）的条件下，当15

4

d =时，过点D 作DE x 轴交抛物线于点E ，点

P 是x 轴下方抛物线上的一个动点，连接PE 交x 轴于点F ，直线2

11

y x b =+经过点D 交EF 于点G ，连接CG ，过点E 作EH CG 交DG 于点H ，若3CFG EGH S S =△△，求点

P 的坐标．

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、中考数学压轴题 1．B

解析：（1）1.5；（2）3；（3）()())2

22

9333423153

932422733.30 1.5153493x x y x x x x x x x ?-?

???=-+-???-???

≤≤≤≤＜＜ 【解析】 【分析】

（1）令PQ ⊥BC ，表示出BP 和BQ 的长，利用余弦的定义得出方程，求解即可； （2）根据△ABC 是等边三角形得出BQ=CM ，表示出PC 的长，结合余弦的定义得出方程，求解即可；

（3）根据（1）和（2）中结论，分0≤x ＜1.5时，1.5≤x≤3时，3＜x≤4时三种情况画出图

形，求出相应边长，可得函数解析式.【详解】

解：（1）当PQ⊥BC时，

BP=1.5x，BQ=6-x，

∴BQ=

1.5 cos cos60 BP x

ABC

=

∠?

，即6-x=

1.5

1

2

x

，

∴6-x=3x，

解得：x=1.5，

∴当x=1.5时，PQ⊥BC；

（2）∵△ABC是等边三角形，QM∥BC，

∴AQ=AM，BQ=CM，

PC=6-1.5x，CM=

6 1.5

123

1

cos60

2

PC x

x

-

==-

?，

∴BQ=12-3x，AQ=x，

∴12-3x+x=6，

解得x=3，

∴当点M落在AC上时，x=3（s）；

（3）当0≤x＜1.5时，过Q作QE⊥BC于E，

∵BQ=6-x，

∴QE=BQsin∠B=BQsin60°，而DP=BPtan∠B=BPtan60°，y=S△BPQ-S△BPD

=

11

22

BP QE BP DP

?-?

=()()

11

sin60tan60

22

BP BQ BP BP

?-?

=2

9333

x x；

当1.5≤x≤3时，过点Q 作QD ⊥BC 于D ， 可知：四边形QDPM 为矩形， ∴QM=DP=BP-BD=BP-BQ·cos60°， PM=MC·sin60°=BQ·sin60°， 则y=S △PQM

=1

2QM PM ? =()1

cos60sin 602

BP BQ BQ -????? =2315393

242

x x -

+-

；

当3＜x≤4时，

如图所示，过点Q 作QE ⊥BC 于点E ， 可知四边形QEPM 为矩形， ∴QM=EP=BP-BE=BP-BQ·tan ∠B=1.5x-1

2

（6-x ）=2x-3， ∵QM ∥BC ，

∴△AQO 为等边三角形，∠MON=∠C=60°， ∴AQ=OQ=AO=x ， ∴OM=QM-OQ=2x-3-x=x-3， ∵PC=6-1.5x ，∠C=60°， ∴NP=PC·

tan ∠C= PC·tan60°=3632x ??

- ???

∴MN=MP-NP=QE-NP=BQ·sin∠B-NP=（6-x）·sin60°-

3

63

2

x

??

-?

?

??

=333

x-，

y=S△PQM-S△NOM

=

11

22

MQ PM OM MN

?-?

=2

315393

x x

+-

1

2

（x-3333

x-）

=2

273

33

x x-

故y关于x的函数解析式为

()

)

)

2

2

2

9333

42

315393

242

273

3

.

3

0 1.5

15

34

93

x x

y x

x

x

x

x

x x

?

-

?

?

??

=-+-

?

?

?

-+-

?

??

≤

≤≤

≤

＜

＜

.

【点睛】

本题考查了等边三角形的判定和性质，解直角三角形，二次函数的应用—几何问题，难度较大，解题的关键是根据图形的运动情况分情况求解.

2．D

解析：（1）见详解；（2）见详解；（3）DB=DE成立，证明见详解

【解析】

【分析】

（1）由等边三角形的性质，得到∠CBD=30°，∠ACB=60°，由CD=CE，则

∠E=∠CDE=30°，得到∠E=∠CBD=30°，即可得到DB=DE；

（2）过点D作DG∥AB，交BC于点G，证明△BDC≌△EDG，根据全等三角形的性质证明结论；

（3）过点D作DF∥AB交BE于F，由“SAS”可证△BCD≌△EFD，可得DB=DE．

【详解】

证明：（1）∵△ABC是等边三角形

∴∠ABC=∠BCA=60°，

∵点D为线段AC的中点，

∴BD 平分∠ABC ，AD=CD ， ∴∠CBD=30°， ∵CD=CE ， ∴∠CDE=∠CED ， 又∵∠CDE+∠CED=∠BCD ， ∴2∠CED=60°， ∴∠CED=30°=∠CBD ， ∴DB=DE ；

（2）过点D 作DG ∥AB ，交BC 于点G ，如图，

∴∠DGC=∠ABC=60°，又∠DCG=60°， ∴△DGC 为等边三角形， ∴DG=GC=CD ，

∴BC-GC=AC-CD ，即AD=BG ， ∵AD=CE ， ∴BG=CE ， ∴BC=GE ，

在△BDC 和△EDG 中，

60DC DG BCD EGD BC EG =?

?

∠=∠=???=?

， ∴△BDC ≌△EDG （SAS ） ∴BD=DE ； （3）DB=DE 成立，

理由如下：过点D 作DF ∥AB 交BE 于F ，

∴∠CDF=∠A ，∠CFD=∠ABC ， ∵△ABC 是等边三角形

∴∠ABC=∠BCA=∠A=60°，BC=AC=AB ，

∴∠CDF=∠CFD=60°=∠ACB=∠DCF ， ∴△CDF 为等边三角形 ∴CD=DF=CF ， 又AD=CE ， ∴AD-CD=CE-CF ， ∴BC=AC=EF ，

∵∠BCD=∠CFD+∠CDF=120°， ∠DFE=∠FCD+∠FDC=120°， ∴∠BCD=∠DFE ，且BC=EF ，CD=DF ， ∴△BCD ≌△EFD （SAS ） ∴DB=DE ． 【点睛】

本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，以及平行线的性质，正确添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．

3．D

解析：（1）DF 的长为15

8；（2）MN 的长为5；（3）O 的半径长为258

． 【解析】 【分析】

（1）作EH BM ⊥于H ，根据中位线定理得出四边形BMFA 是平行四边形，从而利用

cos 4

5

B =

解直角三角形即可求算半径，再根据平行四边形的性质求FD 即可； （2）先证AMB CNM ∠=∠，再证MAD CNM ∠=∠，从而证明AFM NFD ?~?，得到

AF MF

AF DF NF MF NF DF =?=，再通过平行证明AFN DFM ?~?，从而得到AF NF

AF MF NF DF DF MF

=?=，通过两式相乘得出AF NF =再根据平行得出NF DF =， 从而得出答案．

（3）通过图形得出MN 垂直平分'OO ,从而得出90BAM CMN ∠=∠=?，再利用

cos 4

5

B =

解三角函数即可得出答案． 【详解】

（1）如图，作EH BM ⊥于H ：

∵E 为AB 中点，45,cos 5

AB AD DC B ====

∴52AE BE ==

∴cos 4

5

BH B BE =

= ∴2BH =

∴2

253222EH ??=-= ???

设半径为r ，在Rt OEH ?中：

()2

2

2322r r ??

=-+ ???

解得：2516

r =

∵,E O 分别为,BA BM 中点

∴BAM BEO OBE ∠=∠=∠ 又∵CMN BAM ∠=∠ ∴CMN OBE ∠=∠ ∴//MF AB

∴四边形BMFA 是平行四边形

∴2528

AF BM r === ∴2515588

FD AD AF =-=-= （2）如图：连接MD AN ，

∵,B C BAM CMN ∠=∠∠=∠ ∴AMB CNM ∠=∠ 又∵AMB MAD ∠=∠ ∴MAD CNM ∠=∠ 又∵AFM NFD ∠=∠ ∴AFM NFD ?~?