第12周 《确定一次函数表达式》
例1 已知一次函数4)36(-++=n x m y ,求;
(1)m 为何值时,
y 随x 增大而减小;
(2)n 为何值时,函数图像与y 轴的交点在x 轴下方;
(3)m ,n 分别取何值时,函数图像经过原点;
(4)若3
1
=m ,5=n ,求这个一次函数的图像与两个坐标轴交点的坐标; (5)若图像经过一、二、三象限,求m ,n 的取值范围.
例2 设一次函数)0(≠+=k b kx y ,当2=x 时,3-=y ,当1-=x 时,4=y 。
(1)求这个一次函数的解析式;
(2)求这条直线与两坐标轴围成的三角形的面积。
例3(1)已知一次函数图像经过点(0,2)和(2,1).求此一次函数解析式. (2)已知一次函数图像平行于正比例函数x y 2
1
-=的图像,且经过点(4,3).求此一次函数的
解析式.
例4求下列一次函数的解析式:
(1)图像过点(1,-1)且与直线52=+y x 平行;
(2)图像和直线23+-=x y 在y 轴上相交于同一点,且过(2,-3)点.
例5 已知一次函数b kx y +=的图像与另一个一次函数23+=x y 的图像相交于y 轴上的点A ,且x 轴下方的一点),3(n B 在一次函数b kx y +=的图像上,n 满足关系式n
n 16
-
=,求这个一次函数的解析式。
例6 已知一次函数的图象交正比例函数图象于M 点,交x 轴于点N(-6,0),又知点M 位于第二象限,其横坐标为-4,若△MON 面积为15,求正比例函数和一次函数的解析式.
例7 求直线012=++y x 关于x 轴成轴对称的图形的解析式。
例8 如图,ABC ?是边长为4的等边三角形,求直线AB 和BC 的解析式.
例9 如图,直线y=x +3的图象与x 轴、y 轴交于A 、B 两点.直线l 经过原点,与线段AB 交于点C ,把△AOB 的面积分为2:1两部分.求直线l 的解析式.
即学即练:
1、下面图像中,不可能是关于x 的一次函数
)3(--=m mx y 的图像的是( )
2、已知:
)0(≠++=+=+=+c b a k c b
a b c a a c b ,那么k kx y +=的图像一定不经过( ) A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限 3、已知直线
)0(≠+=k b kx y 与x 轴的交点在x 轴的正半轴,下列结论:①0,0>>b k ;②
0,0<>b k ;③0,0>
A .1
B .2
C .3
D .4
4、正比例函数的图像如图所示,则这个函数的解析式是( )
A .x y =
B .x y -=
C .x y 2-=
D .x y
2
1
-=
5、已知直线m x y +-=2与两坐标轴围成的三角形面积为4,求这条直线的函数解
析式.
6、已知直线b kx y +=过点(
25,0),且与坐标轴所围成的三角形的面积为4
25,求该直线的函数解析式.
小专题:图像的平移规律
1. 直线y=5x-3向左平移2个单位得到直线 。
2. 直线y=22
3
+-
x 向左平移2个单位得到直线 3. 直线y=2x+1向上平移4个单位得到直线 4. 直线y=-3x+5向下平移6个单位得到直线
5. 直线
x y 31
=
向上平移1个单位,再向右平移1个单位得到直线 。 6. 直线14
3
+-=x y 向下平移2个单位,再向左平移1个单位得到直线 。
7. 过点(2,-3)且平行于直线y=2x 的直线是 。 8. 过点(2,-3)且平行于直线y=-3x+1的直线是 .
9.把函数y=3x+1的图像向右平移2个单位再向上平移3个单位,可得到的图像表示的函数是____________; 10.直线m:y=2x+2是直线n 向右平移2个单位再向下平移5个单位得到的,而(2a,7)在直线n 上,则a=____________;
过手练习
1、已知直线12)31(-+-=k x k y
1) 当k__________________时,直线过原点;
2) 当k__________________时,直线与y 轴的交点坐标是(0,-2); 3) 当k__________________时,直线与x 轴交于点(
)0,4
3
4) 当k__________________时,y 随x 的增大而增大; 5)
当k__________________时,该直线与直线
53--=x y 平行。
2、已知点A )1,2(a a -+在函数12+=x y 的图像上,则a=____________。
3、一次函数
k kx y -=,若y 随x 的增大而减小,则该函数的图像经过 象限。
4、已知一次函数y=kx+b,y 随着x 的增大而减小,且kb<0,则在直角坐标系内它的大致图象是( )
A B C D 5、一次函数y=ax+b 与y=ax+c (a>0)在同一坐标系中的图象可能是( )
A B C D
6、已知直线m
x
y+
-
=2与两坐标轴围成的三角形面积为4,求这条直线的函数解析式.
7、已知:函数y = (m+1) x+2 m﹣6
(1)若函数图象过(﹣1 ,2),求此函数的解析式。
(2)求满足(1)条件的直线与y = ﹣3 x + 1 的交点并求这两条直线与y 轴所围成的三角形面积
【能力提升训练】
1、已知m是整数,且一次函数(4)2
y m x m
=+++的图象不过第二象限,则m为.
2、若直线y x a
=-+和直线y x b
=+的交点坐标为(,8)
m,则a b
+=.
3、函数
3
1
2
y x
=-,如果0
y<,那么x的取值范围是
4、若直线11
y k x
=+与
2
4
y k x
=-的交点在x轴上,那么1
2
k
k
等于()
.4
A.4
B-
1
.
4
C
1
.
4
D-
5、已知关于x的一次函数27
y mx m
=+-在15
x
-≤≤上的函数值总是正数,则m的取值范围是()A.7
m>B.1
m>C.17
m
≤≤D.都不对
6、如图6,两直线1y kx b
=+和
2
y bx k
=+在同一坐标系内图象的位置可能是()
7、已知一次函数
2y x a =+与y x b =-+的图像都经过(2,0)A -,且与y 轴分别交于点B ,c ,则ABC ?的
面积为( )
A .4
B .5
C .6
D .7
参考答案
例1 分析 (1)已知一次函数图像上两个点的坐标,代入解析式中可以求k 、b 值。(2)求出直线与
x 轴、y 轴两个交点,利用这两个交点与坐标轴所围的三角形是直角三角形可求出面积。
解 (1)由题意,得???+-=+=-.4,23b k b k 解得???
????
=-=.35,3
7b k
∴ 所求一次函数的解析式为.3
537+-=x y
(2)直线3537+-=x y 与x 轴交于)0,75(,与y 轴交于)3
5
,0(.
∴ 这条直线与两坐标轴围成的三角形的面积为.42
25
357521=??
例2 分析 由于
23+=x y 与y 轴的交点很容易求出,因此,要求b kx y +=的解析式,只要再求出
b kx y +=上另一点的坐标就可以了,而),3(n B 在x 轴下方,因此0 n 16 - =求出n 的值就知道B 点的坐标了。 解 设点A 的坐标为),0(m ,∵ 点),0(m A 在一次函数23+=x y 的图像上, ∴ 2203=+?=m ,即点A 的坐标为)2,0(. ∵ 点),3(n B 在x 轴下方,∴ 0 2±==-=-n n n n ,,,而0 b kx y +=的图像上, ∴ ? ? ?-=+=+?.43, 20b k b k 解得22=-=b k , ∴ 这个一次函数的解析式为.22+-=x y 例3 解 设所求的直线解析式为 b kx y +=. ∵ 012=++y x , ∴ .12--=x y 当 0=y 时,21-=x ,即图像过对称轴上)0,2 1 (-点,显然这一点也在b kx y +=上。 在012=++y x 上任取一点P ,如2=x 时,5-=y ,则)5,2(-P 可以知道P 点关于x 轴对称点的坐标为)5,2(P '。 ∴ )5,2()0,21(,-都在所求的直线上,∴ ?????=+=+-. 52,02 1 b k b k ∴ ? ? ?==.1, 2b k ∴ 所求直线的解析式为12+=x y . 例4 分析:要确定一次函数的解析式,必须知道图象的两个已知点的坐标,而要确定正比例函数又 必须知道图象上一个点的坐标,但题设中都缺少条件,它们交点坐标中不知道纵坐标的值.已知条件中给出了△MON 的面积,而△MON 的面积,因底边NO 可以求到,因此实际上需要把△MON 的面积转化为M 点的纵坐标 解:根据题意画示意图,过点M 作MC ⊥ON 于C ∵点N 的坐标为(-6,0) ∴|ON|=6 ∴MC=5 ∵点M在第二象限 ∴点M的纵坐标y=5 ∴点M的坐标为(-4,5) ∵一次函数解析式为y=k1x+b 正比例函数解析式为y=k2x 直线y=k1x+b经过(-6,0) ∵正比例函数y=k2x图象经过(-4,5)点, 例5 解:(1)把52=+y x 变形为52+-=x y . ∵所求直线与52+-=x y 平行,且过点(1,-1). ∴设所求的直线为b x y +-=2,将1,1-==y x 代入,解得1=b . ∴所求一次函数的解析式为12+-=x y . (2)∵所求的一次函数的图像与直线23+-=x y 在y 轴上的交点相同. ∴可设所求的直线为2+=kx y . 把3,2-==y x 代入,求得25 -=k . ∴所求一次函数的解析式为22 5 +-=x y . 说明:如果两直线2211,b x k y b x k y +=+=平行,则21k k =;如果两直线 2211,b x k y b x k y +=+=在y 轴上的交点相同,则21b b =.掌握以上两点,在求一次函数解析式时, 有时很方便. 例6 解:(1)由A 可得?? ?>-->, 0)3(, 0m m 故30< 由B 可得? ??>=--,0, 0)3(m m 故3=m ,∴B 可能; 由C 可得?? ?<--<, 0)3(, 0m m 此不等式组无解.故C 不可能,答案应选C. (2)由已知得??? ??=+=+=+,,,kc b a kb c a ka c b 三式相加得: 0 ,)()(2≠++?++=++c b a k c b a c b a , ∴2=k ,故直线k kx y +=即为22+=x y . 此直线不经过第四象限,故应选D. (3)直线b kx y +=与x 轴的交点坐标为: 0,0,0,<>-?? ? ??-k b k b k b 即b k ,异号,∴②、③正确,故应选B. (4)∵正比例函数)0(≠+=k b kx y 经过点(1,-1), ∴x y k -=∴-= ,1,故应选B. 说明:一次函数)0(≠+=k b kx y 中的b k ,的符号决定着直线的大致位置,题(3)还可以通过 b k ,的符号画草图,来判断各个结论的正确性,这类题型历来都是各地中考中的热点题型,同学们一 定要熟练掌握. 例7 解:(1)因为y 随x 增大而减小, 所以036<+m ,解得:2- (2)因为图像与 y 轴交点在x 轴下方, 所以?? ?<-≠+,04,036n m 解得???<-≠. 4, 2n m 所以当2-≠m 且4 (3)因为图像经过原点, 所以?? ?=-≠+,04,036n m 解得???=-≠. 4, 2n m 所以2-≠m 且4=n ,图像经过原点. (4)把3 1 = m ,5=n 代入)4()36(-++=n x m y 中得, 17+=x y . 令0=x ,解得1=y , 所以图像与 y 轴交点为(0,1). 令0=y ,解得7 1 -=x , 所以图像与x 轴交点为?? ? ??- 0,71. (5)因为图像经过一、二、三象限, 所以?? ?>->+,04,036n m 解得? ??>->.4, 2n m 所以当2->m 且4>n 时,图像经过一、二、三象限. 说明:主要考查一次函数的知识。 例8 分析:求一次函数)0(≠+=k b kx y 的解析式,也就是确定k 、b 的值。根据题目已知条件列出关于k 、b 的二元一次方程组即可. 解:(1)设函数解析式为)0(≠+=k b kx y 因为图像经过(0,2)和(2,1), 所以???+=+?=,21,02b k b k 解得??? ?? =-=. 2,21b k 所以所求函数解析式为 22 1 +-=x y ; (2)设函数解析式为)0(≠+=k b kx y 因为函数图像是平行于 x y 2 1 -=的图像, 所以2 1-=k . 因为直线过(4,3), 所以.42 1 3b +?- =所以5=b , 所以所求函数解析式为52 1 +-=x y . 说明:本题考查一次函数的知识,确定一次函数的解析式,必须确定k 、b 的值,根据题目的已知条件列出关于它们的方程或方程组即可. 例9 解:由图像可知一次函数的图像经过点(-1,0)和(0,-2),可用待定系数法解. 设一次函数的解析式为b kx y +=,则有 ???-==+-,2,0b b k 解得?? ?-=-=. 2, 2b k 所以一次函数的解析式为22--=x y . 故选A. 说明:本题主要考查学生的识图能力。 实用标准 指数函数·例题解析 第一课时 【例1】(基础题)求下列函数的定义域与值域: (1)y 3 (2)y (3)y 1 2x ===-+---213321x x 解 (1)定义域为{x|x ∈R 且x ≠2}.值域{y|y >0且y ≠1}. (2)由2x+2-1≥0,得定义域{x|x ≥-2},值域为{|y|y ≥0}. (3)由3-3x-1≥0,得定义域是{x|x ≤2},∵0≤3-3x -1<3, ∴值域是≤<.0y 3 1.指数函数Y=ax (a>0且a ≠1)的定义域是R ,值域是(0,+∞) 2. 求定义域的几个原则:①含根式(被开方数不为负)②含分式,分母不为0③形如a0,(a ≠ 0) 3. 求函数的值域:①利用函数Y=ax 单调性②函数的有界性(x2≥0;ax>0)③换元法.如:y=4x+6×2x-8(1≤x ≤2) 先换元,再利用二次函数图象与性质(注意新元的范围) 【例2】(基础题)指数函数y=a x,y=b x,y=c x,y=d x的图像如图2.6-2所示,则a、b、c、d、1之间的大小关系是 [ ] A.a<b<1<c<d B.a<b<1<d<c C.b<a<1<d<c D.c<d<1<a<b 解选(c),在x轴上任取一点(x,0),则得b<a<1<d<c. 【例3】(基础题)比较大小: (1)2(2)0.6 、、、、的大小关系是:. 2481632 35894 5 12--() (3)4.54.1________3.73.6 解(1)y 221()x ∵,,,,,函数=,>,该函数在-∞,+∞上是增函数,又<<<<,∴<<<<.22224282162133825491 2 28416212313525838949 3859===== 一次函数经典题一.定义型是一次函数,求其解析式。已知函数1. 例解:由一次函数定义知,。y=-6x+3,故一次函数的解析式为。0≠m-3。如本例中应保证 0≠k解析式时,要保证y=kx+b注意:利用定义求一次函数 . 二点斜型,求这个函数的解析式。(2, -1)的图像过点y=kx-3已知一次函数2. 例,(2, -1)解:一次函数的图像过点。y=x-3。故这个一次函数的解析式为k=1,即,求这个函数的解析式。y=-1时,x=2,当y=kx-3 变式问法:已知一次函数两点型. 三3.例,则这个函数的(0, 4)、(-2, 0)轴的交点坐标分别是y轴、x已知某个一次函数的图像与。_____解析式为,由题意得y=kx+b 解:设一次函数解析式为 y=2x+4 故这个一次函数的解析式为,图像型. 四。__________已知某个一次函数的图像如图所示,则该函数的解析式为4. 例y=kx+b解:设一次函数解析式为(0, 2) 、(1, 0)由图可知一次函数的图像过点 y=-2x+2 故这个一次函数的解析式为有斜截型. 五 ,则直线的解析式为2轴上的截距为y平行,且在y=-2x与直线y=kx+b已知直线5. 例。___________时,b≠b,=kk。当;解析:两条直线2121平行,y=-2x与直线y=kx+b直线。 y=-2x+2 ,故直线的解析式为2轴上的截距为y在y=kx+b直线又平移型. 六。___________个单位得到的图像解析式为2向下平移y=2x+1把直线6. 例,y=kx+b 解析:设函数解析式为 y=2x+1直线平行y=2x+1与直线y=kx+b个单位得到的直线2向下平移,故图像解析式为b=1-2=-1 轴上的截距为y在 y=kx+b直线七实际应用型. (升)Q则油箱中剩油量分钟,/升0.2流速为油从管道中匀速流出,升,20某油箱中存油7. 例。___________(分钟)的函数关系式为t与流出时间 Q=- 0.2t+20 ,即Q=20-0.2t 解:由题意得)(Q=-0.2t+20 故所 指数函数及其基本性质 指数函数的定义 一般地,函数()10≠>=a a a y x 且叫做指数函数,其中x 是自变量,函数的定义域是R . 问题:指数函数定义中,为什么规定“10≠>a a 且”如果不这样规定会出现什么情况? (1)若a<0会有什么问题?(如2 1 ,2= -=x a 则在实数范围内相应的函数值不存在) (2)若a=0会有什么问题?(对于0≤x ,x a 无意义) (3)若 a=1又会怎么样?(1x 无论x 取何值,它总是1,对它没有研究的必要.) 师:为了避免上述各种情况的发生,所以规定0>a 且 1≠a . 指数函数的图像及性质 函数值的分布情况如下: 指数函数平移问题(引导学生作图理解) 用计算机作出的图像,并在同一坐标系下作出下列函数的图象,并指出它们与指数函数y =x 2的图象的关系(作图略), ⑴y =1 2+x 与y =2 2+x . ⑵y =12 -x 与y =2 2 -x . f (x )的图象 向左平移a 个单位得到f (x +a )的图象; 向右平移a 个单位得到f (x -a )的图象; 向上平移a 个单位得到f (x )+a 的图象; 向下平移a 个单位得到f (x )-a 的图象. 指数函数·经典例题解析 (重在解题方法) 【例1】求下列函数的定义域与值域: (1)y 3 (2)y (3)y 12x ===-+---213321x x 解 (1)定义域为x ∈R 且x ≠2.值域y >0且y ≠1. (2)由2x+2-1≥0,得定义域{x|x ≥-2},值域为y ≥0. (3)由3-3x-1≥0,得定义域是{x|x ≤2},∵0≤3-3x -1<3, ∴值域是≤<.0y 3 及时演练求下列函数的定义域与值域 (1)4 12-=x y ; (2)|| 2()3 x y =; (3)1241++=+x x y ; 【例2】指数函数y =a x ,y =b x ,y =c x ,y =d x 的图像如图2.6-2所示,则a 、b 、c 、d 、1之间的大小关系是 [ ] A .a <b <1<c <d B .a <b <1<d <c C . b <a <1<d <c D .c <d <1<a <b 解 选(c),在x 轴上任取一点(x ,0),则得b <a <1<d <c . 及时演练 一次函数的应用(第1课时)教学目标: (一)知识与能力 1.了解一个条件确定一个正比例函数,两个条件确定一个一次函数。 2.会用待定系数法求出一次函数和正比例函数表达式。 (二)过程与方法: 1.复习一次函数做图像的方法,引出由图像来确定关系式,进而确定一 次函数表达式的问题,体现了数形结合的思想。 2.通过例题讲解,根据函数的图像与函数关系式的关系,明确求一次函 数表达式的方法。 (三)情感态度与价值观 1.通过探究,引出一次函数表达式,培养学生的逆向思维。 2.学会求一次函数及其他函数表达式的一般方法。 教学重难点: 重点:会用待定系数法确定一次函数表达式; 难点:能够根据一次函数图像或者其他一些情境,熟练灵活地利用待定系数法确定函数的表达式。 教学方法:引导探究、合作交流。 学法指导: 让学生在回顾已学内容的基础上通过“数”与“形”的相互转化来确定一次函数的表达式。在练习的过程中相互交流来加以巩固。 教学过程:一复习引入 提问:(1)什么是一次函数? (2)一次函数的图象是什么? (3)一次函数具有什么性质? 目的:学生回顾一次函数相关知识,温故而知新. 二、新课讲授 (一)初步探究(学生思考问题,小组合作探究) 展示实际情境 某物体沿一个斜坡下滑,它的速度v(米/秒)与其下滑时间t(秒 )的关系如图 所示. (1)写出v与t之间的关系式; (2)下滑3秒时物体的速度是多少? 分析:要求v与t之间的关系式,首先观察图象,确定函数的类型,然后根据函数的类型设它对应的解析式,再把已知点的坐标代入解析式求出待定系数即可. 讨论: 确定正比例函数的表达式需要几个条件? 想一想? 确定一次函数的表达式需要几个条件? (二)深入探究(利用已知数量列关系式,全班交流) 例:在弹性限度内,弹簧的长度y(厘米)是所挂物体的质量x(千克)的一次函数度内,一根弹簧不挂物体时长14.5厘米;当所挂物体的质量为3千克时,弹簧长16厘米。请写出 y 与x之间的关系式,并求当所挂物体的质量为4千克时弹簧的长度。 解:设 y=kx+b,根据题意,得 14.5=b ① 16=3k+b ② 将b=14.5代入②,得k=0.5。 在弹性限度内,y于x的关系是为: y=0.5x+14.5 当x=4时,y=0.5×4+14.5 =16.5(厘米) 即物体的质量为4千克时,弹簧长度为16.5厘米。 引例中设置的是利用函数图象求函数表达式,这个例子选取的是弹簧的一个物理现象,目的在于让学生从不同的情景中获取信息求一次函数表达式,进一步体会函数表达式是刻画现实世界的一个很好的数学模型.这道例题关键在于求一次函数表达式,在求出一般情况后,第二个问题就是求函数值的问题可迎刃而解.教学注意事项: 学生除了从函数的观点来考虑这个问题之外,还有学生是用推理的方式:挂3千克伸长了1.5厘米,则每千克伸长了0.5厘米,同样可以得到y与x间的关系式.对此,教师应给予肯定,并指出两种方法考虑的角度和采用的方法有所不同.想一想:大家思考一下,在上面的两个题中,有哪些步骤是相同的,你能否总结求函数表达式的步骤有:1.设——设函数表达式y=kx+b 2.代——将点的坐标代入y=kx+b中, 列出关于k、b的方程 3、求——解方程,求k、b 4、写——把求出的k、b值 代回表达式指数函数典型例题详细解析汇报
一次函数经典题及答案
指数函数经典例题和课后习题
确定一次函数表达式(定)
指数函数经典例题(问题详细讲解)