河北省唐山市滦南一中2020届高三数学上学期期末考试
河北省唐山市滦南一中2020届高三上学期期末考试
数学
本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共150分。考试用时120分钟。 第Ⅰ卷（选择题 共60分） 注意事项：
1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用2B 铅笔涂写在答题卡上。 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试卷上。
3．考试结束后，监考人员将本试卷和答题卡一并收回。 参考公式：
如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公 P （A+B ）=P （A ）+P （B ） S=42
R π
如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径 P （A ·B ）=P （A ）·P （B ） 球的体积公式
如果事件A 在依次实验中发生的概率是 V 球=3
34R π
P ，那么n 次独立重复实验中恰好发生k 其中R 表示球的半径
次的概率
k
n k k
n n P P C k P --=)1()(
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求。
1．函数
821
-=-x y 的定义域为 （ ）
A ．),3[+∞
B ．),4[+∞
C ．（3，+∞）
D ．（4，+∞）
2．曲线
1)2(2=-=x x y 在处的切线在y 轴上的截距为
（ ）
A ．－1
B ．－3
C ．1
D ．3
3．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知2
,3,3
===
c a B π
，则△ABC
的面积为
（ ）
A ．23
B ．1
C ．23
D ．3
4．函数x
e y +=1的反函数的图象大致是
（ ）
5．已知
?
??
?
?-
-=∈4sin ,5
4cos ),,0(πααπα则等于
（ ）
A ．102
B ．1027-
C ．102-
D ．102
7
6．已知定义在R 上的奇函数)8(),()2()(f x f x f x f 则满足-=-的值 （ ）
A ．－1
B ．0
C ．1
D ．2
7．已知正方形ABCD 的边长不1，=++===||,,,c b a c AC b BC a AB 则 （ ）
A ．0
B ．3
C ．2
D ．22
8．已知双曲线)0(1222
2>=-a y a x 的两条渐近线的夹角为=a 则,3π （ ）
A ．36
B ．6
C ．36
或6
D ．33
2或32
9．球O 的内接三棱锥P —ABC 底面的三个顶点A 、B 、C 在球O 的同一个大圆上，如果AB=AC=5，BC=8，点P 在平面ABC 上的射影恰是球心O ，则此三棱锥的体积为（ ）
A ．350
B ．25
C ．3100
D ．16
10．过抛物线
)0(42>=p px y 的准线与x 轴的交点M 作直线l ，则“l 的斜率等于1”是“直线l 与抛物线只有一个公共点”的 （ ）
A ．充要条件
B ．充分不必要条件
C ．必要不充分条件
D ．既不充分也不必要条件
11．定义在（0，+∞）的函数
)(),0)()(()(1
22x f ab bx ax bx ax x f 则>++=-- （ ） A ．有最大值2
)(b a +，没有最小值 B ．有最小值2)(b a +，没有最大值
C ．有最大值2)(b a +，有最小值2)(b a -
D．没有最值
12．数列{}
n
a
中，
=
∈
=
+
=*
+
+n
n
n
n
a
N
n
a
a
a则
,
,
2
3
,
2
1
1
1
1
（）
A．1
n
)
2
1
(-
B．
n
)
2
1
(
1-
+
C．
n
)
2
1
(
D．
1
)
2
1
(+
-n
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
注意事项：
1．用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷上，不要在答题卡上填涂。
2．答卷前将密封线内的项目填写清楚。
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填写在题中的横线上。
13．已知
n
x
x??
?
?
?
?
-
1
的展开式中二项式系数之和为64，则展开式中常数项是.
14．甲、乙、丙三名同学从A、B、C、D四门选修课程中各任选两门，则三人的选法不完全相同的选法种数共有种.（用数字作答）
15．过坐标原点截圆
3
2
1
2
4
2
2所得弦长为
=
+
+
-
+y
x
y
x
的直线方程为.
16．设l、m、n的三条不同的直线，
λ
β
α,
,是三个不同的平面，现给出四个命题：
①若
;
//
,
//
//m
l
n
m
n
l则
且②若;
//
,
//
//m
l
m
l则
且α
α
③若
;
//
,
//
//β
α
β
α则
且n
n④若;
//
,
//
//β
α
γ
β
γ
α则
且
其中正确命题的序号是. （把正确命题的序号都填上）
三、解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（本小题满分12分）甲、乙、丙3人积压自进行1次实验，一次实验各自成功的概率分别是0.4,0.5,0.6
（Ⅰ）求3个人各自进行1次实验都没有成功的概率；
（Ⅱ）求甲独立进行3次实验至少有两次成功的概率.
18．已知等比数列
32243,49}{52==
a a a n 中，
（Ⅰ）求通项an ； （Ⅱ）令
}
{,log 2
2n n n b a b 求数列=的前n 项和Sn.
19．（本小题满分12分）
已知函数
.32sin sin 32)(2
++-=x x x f （Ⅰ）求函数f(x)的最小正周期和最小值；
（Ⅱ）在给出的直角坐标系中，画出函数],0[)(π在区间x f y =上的图象.
20．（本小题满分12分）
如图，已知正四棱柱ABCD —A1B1C1D1中AB=1，AA1=2，N 是A1D 的中点，M ∈BB1，异面直线MN 、A1A 互相垂直.
（Ⅰ）试确定点M 的位置，并加以证明； （Ⅱ）求二面角A —MN —A1的大小.
21．（本小题满分12分）
已知函数
)1,()(2)(2
3--∞∈-+=在R x bx ax x x f 上单调递增，在（－1，2）上单调递减，求实数a 的取值范围.
22．（本小题满分12分）
已知椭圆中心在原点，焦点在y 轴上，焦距为4，离心率为.32
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）设椭圆在y 轴正半轴上的焦点为F ，又点A 、B 在椭圆上，且FB AF 2=，求直线AB 的斜率k 的值.
参考答案
一、选择题
A 卷：BACD
B DCABD BA B 卷：BDACD BDCAB BA 二、填空题
13．15 14．210 15．0340=+=y x y 或 16．①④ 三、解答题： 17．文 解：
（Ⅰ）3人各自进行1次实验都没有成功的概率
12.0)6.01()5.01()4.01(=-?-?-=P …………………………6分
（Ⅱ）甲独立进行3次实验至少有两次成功的概率
352
.06.04.04.02233=??+=C P …………………………12分
17．理 解：（注：考试中计算此题可以使用分数，以下的解答用的是小数） （Ⅰ）同文（Ⅰ）
（Ⅱ）3,2,1,0=ξ的概率分别为
,216.06.0)0(3===ξP
,
432.06.04.0)1(21
3=??==C P ξ ,
288.06.04.0)2(223=??==C P ξ
.064.04.0)3(3===ξP
随机变量ξ的概率分布为
………………8分
ξ的数学期望为E ξ=0×0.216+1×0.432+2×0.288+3×0.064=1.2.…………10分
（或利用E ξ=np=3×0.4=1.2）
ξ的方差为
D ξ=（0－1.2）2×0.216+（1－1.2）2×0.432+（2－1.2）2×0.288+（3－1.2）2×0.064
=0.72.…………………………12分 （或利用D ξ=npq=3×0.4×0.6=0.72） 18．文 解：
（Ⅰ）设数列
.827,}{253==
a a q q a n 则的公比为
所以
.
23
=q ……………………3分 所以
.
2323491
2
2n
n n n q a a ??? ??=??
?
???==--…………………………6分
（Ⅱ）
.)13(log 223
log 2log 222
2n n a b n n -===………………9分 ).1()13(log 2)
1()
13(log 2)13(log 221
22+-=+-=-=∑=n n n n k S n
k n
………………12分
18．理 解：
（Ⅰ）
.
32sin 22cos 32sin 2sin )sin 21(3)(2??? ??
+=+=+-=πx x x x x x f …………4分
所以，)(x f 的最小正周期ππ
==
22T ，最小值为－2.…………………………6分
（Ⅱ）列表：
x
12π
3π
127π
65π
π
)(x f
3
2
－2
3
…………………12分 （19·文）同18·理. （19·理）解：（Ⅰ）取A1A 的中点P ，连PM 、PN ，则PN//AD ，
,,,,
,11111PM A A PMN A A MN A A PN A A AD A A ⊥∴⊥∴⊥⊥∴⊥平面又Θ
.,.//1的中点为故点BB M AB PM ∴……………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知O A O A O MN AO AMN MN A 111,,,则连于点作⊥???，则
OA A MN O A 11,∠⊥所以就是所求二面角的平面角.………………………8分
显然
.2,25
11====AM M A MN
AN N A
利用等面积法求得A1O=AO=,530在△A1OA 中由余弦定理得
cos ∠A1OA=
32
2121221-
=?-+AO O A A A AO O A .
所以二面角的大小为arccos ).
32(-……………………………………………12分
（20·文）同19理. （20·理）（I ）证明：当q>0时，由a1>0，知an>0，所以Sn>0；………………2分
当－1
1)
1(1>--=q q a S n n .
综上，当q>－1且q ≠0时，Sn>0总成立.……………………5分
（II ）解：an+1=anq ，an+2=anq2，所以bn=an+1－kan+2=an(q －kq2).
Tn=b1+b2+…+bn=(a1+a2+…+an)(q －kq2)=Sn(q －kq2).……………………9分 依题意，由Tn>kSn ，得Sn(q －kq2)>kSn. ∵Sn>0，∴可得q －kq2>k ，
即k(1+q2) 1q q +. ∵ ].21 ,0()0,21(1),,0()0,1(2 Y -∈+∴ +∞?-∈q q q ∴k 的取值范围是 ] 21 ,(--∞. ……………………12分 （21·文）解：f ′(x)=3x2+4ax －b.………………………………2分 设f ′(x)=0的二根为x1，x2，由已知得 x1=－1，x2≥2，………………………………………………4分 ?????>-≥-?? ???????>+=?≥-=+-=--, 0)64(2341,01216,2,341,0432222a a b a x a x b a 即故…………………………7分 解得 . 43-≤a 故a 的取值范围是 ] 43 ,(--∞…………………………………………12分 （21·理）解：（I ）设椭圆方程).0(122 22>>=+b a b x a y 由2c=4得c=2，又32= a c . 故a=3，b2=a2－c2=5， ∴所求的椭圆方程1592 2=+x y .…………………………………………5分 （II ）点F 的坐标为（0，2），设直线AB 的方程为y=kx+2,A(x1,y1)、B(x2，y2). 由?????=+ +=1592 2 2x y kx y 得(9+5k2)x2+20kx －25=0，………………………………8分 显然△>0成立， 根据韦达定理得 2215920k k x x +- =+， ① 2215925 k x x +- =. ② y x y x 2),2,(),2,(2211=-=--=Θ, 212x x -=∴,代入①、②得 225920k k x += ③ 2225925 2k x += ④ 由③、④得 ,5925 )5920( 22 22k k k +=+ . 33 ,312±==∴k k …………………………………………14分 （22．文）同21理，其中3分、6分、8分、12分依次更改为5分、8分、10分、14分. （22．理）（1）证明：令 .11 ,1,0,11-=>>=+ t x t x t x 则 原不等式. 1ln 1 1-<<-?t t t …………………………2分 令t t t f ln 1)(--=， ), ,1(,1 1)(∞∈-='∴t t t f )(,0)(t f t f >'∴单调递增，0)1()(=>∴f t f ， .ln 1t t >-∴………………………………………………5分 令) ,1(,1 11)(,11ln )(22∞∈-=-='∴+-=t t t t t t g t t t g ， )(,0)(t g t g >'∴单调递增，0)1()(=>∴g t g ， . 1 1ln t t ->∴ …………………………………………8分 .11ln 11x x x x <+<+∴ ………………………………9分 （Ⅱ）令1,,2,1-=n x Λ，上式也成立 将各式相加 .11312111ln 23ln 12ln 13121-++++<-+++<+++n n n n ΛΛΛ……………11分 即. 11 31211ln 13 121-++++<<+++n n n ΛΛ .1ln 11 12∑∑-==< i j n i ……………………………………………………………………14分