2013年江苏卷数学试题及答案
2013·江苏卷(数学)
1． 函数y ＝3sin ????2x ＋π
4的最小正周期为________． 1．π [解析] 周期为T ＝2π
2
＝π.
2． 设z ＝(2－i)2(i 为虚数单位)，则复数z 的模为________．
2．5 [解析] 因为z ＝(2－i)2＝4－4i ＋i 2＝3－4i ，所以复数z 的模为5. 3． 双曲线x 216－y 2
9＝1的两条渐近线的方程为________．
3．y ＝±34x [解析] 令x 216－y 29＝0，得渐近线方程为y ＝±3
4
x .
4． 集合{－1，0，1}共有________个子集．
4．8 [解析] 集合{－1，0，1}共有3个元素，故子集的个数为8. 5． 如图1－1是一个算法的流程图，则输出的n 的值是________．
图1－1
5．3 [解析] 逐一代入可得
当a ＝26>20时，n ＝3，故最后输出3.
6． 抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩(单位：环)，结果如下：
6．2 [解析] 由题知x 甲＝15(87＋91＋90＋89＋93)＝90，s 2甲＝1
5
(9＋1＋0＋1＋9)＝4；x 乙
＝15(89＋90＋91＋88＋92)＝90，s 2乙＝15
(1＋0＋1＋4＋4)＝2，所以s 2甲>s 2乙，故答案为2. 7． 现有某类病毒记作X m Y n ，其中正整数m ，n (m ≤7，n ≤9)可以任意选取，则m ，n 都取到奇数的概率为________．
7.
20
63
[解析] 基本事件共有7×9＝63种，m 可以取1，3，5，7，n 可以取1，3，5，7，9.所以m ，n 都取到奇数共有20种，故所求概率为20
63
.
8． 如图1－1，在三棱柱A 1B 1C 1－ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，AC ，AA 1的中点，设三棱锥F －ADE 的体积为V 1，三棱柱A 1B 1C 1－ABC 的体积为V 2，则V 1∶V 2＝________．
图1－1
8．1∶24 [解析] 设三棱柱的底面积为S ，高为h ，则V 2＝Sh ，又D ，E ，F 分别为AB ，AC ，AA 1的中点，所以S △AED ＝14S ，且三棱锥F －ADE 的高为12h ，故V 1＝13S △AED ·12h ＝13·14S ·
1
2h ＝1
24
Sh ，所以V 1∶V 2＝1∶24. 9． 抛物线y ＝x 2在x ＝1处的切线与两坐标轴围成的三角形区域为D (包含三角形内部与边界)．若点P (x ，y )是区域D 内的任意一点，则x ＋2y 的取值范围是________．
9.?
???－2，1
2 [解析] 由y ＝x 2得y ′＝2x ，则在点x ＝1处的切线斜率k ＝2×1＝2，切线方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0.在平面直角坐标系中作出可行域，如图阴影部分所示，则A (0，－1)，B ????12，0.
作直线l 0：x ＋2y ＝0.
当平移直线l 0至点A 时，z min ＝0＋2(－1)＝－2； 当平移直线l 0至点B 时，z max ＝12＋2×0＝1
2.
故x ＋2y 的取值范围是?
???－2，1
2. 10． 设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC .若DE →＝λ1AB →
＋
λ2AC →
(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．
10.12 [解析] 如图所示，DE →＝BE →－BD →＝23BC →－12BA →＝23(AC →－AB →)＋12AB →
＝????12－23AB →＋23AC →，
又DE →＝λ1AB →＋λ2AC →，且AB →与AC →
不共线， 所以λ1＝12－23，λ2＝2
3，
即λ1＋λ2＝1
2
.
11． 已知f (x )是定义在上的奇函数．当x >0时，f (x )＝x 2－4x ，则不等式f (x )>x 的解集用区间表示为________．
11．(－5，0)∪(5，＋∞) [解析] 设x <0，则－x >0.因为f (x )是奇函数，所以f (x )＝－f (－x )＝－(x 2＋4x )．
又f (0)＝0，于是不等式f (x )>x 等价于
?
????x ≥0，x 2－4x >x 或?????x <0，－（x 2＋4x ）>x . 解得x >5或－5 故不等式的解集为(－5，0)∪(5，＋∞)． 12． 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的标准方程为x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >0，b >0)，右焦点为 F ，右准线为l ，短轴的一个端点为B .设原点到直线BF 的距离为d 1，F 到l 的距离为d 2.若d 2＝6d 1，则椭圆C 的离心率为________． 12.33 [解析] 由题意知F (c ，0)，l ：x ＝a 2c ，不妨设B (0，b )，则直线BF ：x c ＋y b ＝1， 即bx ＋cy －bc ＝0. 于是d 1＝|－bc |b 2＋c 2＝bc a ， d 2＝a 2 c －c ＝a 2－c 2c ＝b 2c . 由d 2＝6d 1，得????b 2c 2 ＝6????bc a 2 ， 化简得6c 4＋a 2c 2－a 4＝0， 即6e 4＋e 2－1＝0， 解得e 2＝13或e 2＝－1 2(舍去)， 故e ＝ 33，故椭圆C 的离心率为33 . 13． 在平面直角坐标系xOy 中，设定点A (a ，a )，P 是函数y ＝1 x (x >0)图像上一动点．若 点P ，A 之间的最短距离为2 2，则满足条件的实数a 的所有值为________． 13．－1，10 [解析] 由题意知，若a <0，则a ＝－1满足题意；若a >0，则圆(x －a )2 ＋(y －a )2＝8与y ＝1 x (x >0)相切．联立方程，消去y 得 x 2－2ax ＋a 2＋1x 2－2a x ＋a 2＝8， 即????x ＋1x 2 －2a ????x ＋1 x ＋2a 2－10＝0. 令Δ＝0得(2a )2－4(2a 2－10)＝0.(*) 解得a ＝10. 此时方程(*)的解为x ＝ 10±6 2 ，满足题意． 综上，实数a 的所有值为－1，10. 14． 在正项等比数列{a n }中，a 5＝1 2，a 6＋a 7＝3. 则满足a 1＋a 2＋…＋a n >a 1a 2…a n 的最 大正整数n 的值为________． 14．12 [解析] 设{a n }的公比为q .由a 5＝12及a 5(q ＋q 2)＝3得q ＝2，所以a 1＝1 32 ，所以 a 6＝1，a 1a 2…a 11＝a 116＝1，此时a 1＋a 2＋…＋a 11>1.又a 1＋a 2＋…＋a 12＝27 － 1 32 ，a 1a 2…a 12＝26<27－ 132，所以a 1a 2…a 12>a 1a 2…a 12，但a 1＋a 2＋…＋a 13＝28－1 32 ，a 1a 2…a 13＝26·27＝25·28>28－1 32 ，所以a 1＋a 2＋…＋a 13 15． 已知＝(cos α，sin α)，＝(cos β，sin β)，0<β<α<π. (1)若|－|＝2，求证：； (2)设＝(0，1)，若＋＝，求α，β的值． 15．解：(1)由题意得|－＝，即(－)＝－＋2＝2. 又因为＝＝＝＝，所以－＝，即＝，故 (2)因为＋＝(cos α＋cos β，sin α＋sin β)＝(0，1)， 所以? ????cos α＋cos β＝0，sin α＋sin β＝1， 由此得，cos α＝cos(π－β)，由0<β<π，得0<π－β<π， 又0<α<π，故α＝π－β.代入sin α＋sin β＝1得，sin α＝sin β＝12，而α>β，所以α＝5π6， β＝π 6 . 16．， 如图1－2，在三棱锥S －ABC 中，平面SAB ⊥平面SBC ，AB ⊥BC ，AS ＝AB .过A 作AF ⊥SB ，垂足为F ，点E ，G 分别是棱SA ，SC 的中点． 求证：(1)平面EFG ∥平面ABC ； (2)BC ⊥SA . 图1－2 16．证明：(1)因为AS＝AB，AF⊥SB，垂足为F，所以F是SB的中点．又因为E是SA 的中点，所以EF∥AB. 因为EF?平面ABC，AB?平面ABC， 所以EF∥平面ABC. 同理EG∥平面ABC.又EF∩EG＝E， 所以平面EFG∥平面ABC. (2)因为平面SAB⊥平面SBC，且交线为SB， 又AF?平面SAB，AF⊥SB， 所以AF⊥平面SBC. 因为BC?平面SBC，所以AF⊥BC. 又因为AB⊥BC，AF∩AB＝A，AF，AB?平面SAB，所以BC⊥平面SAB. 因为SA?平面SAB，所以BC⊥SA. 17．如图1－3，在平面直角坐标系xOy中，点A(0，3)，直线l：y＝2x－4.设圆C的半径为1，圆心在l上． (1)若圆心C也在直线y＝x－1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程； (2)若圆C上存在点M，使MA＝2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围． 图1－3 17．解：(1)由题设，圆心C是直线y＝2x－4和y＝x－1的交点，解得点C(3，2)，于是切线的斜率必存在．设过A(0，3)的圆C的切线方程为y＝kx＋3. 由题意，|3k＋1| k2＋1 ＝1，解得k＝0或－ 3 4， 故所求切线方程为y＝3或3x＋4y－12＝0. (2)因为圆心在直线y＝2x－4上，所以圆C的方程为 (x－a)2＋[y－2(a－2)]2＝1. 设点M(x，y)，因为MA＝2MO， 所以x2＋（y－3）2＝2 x2＋y2， 化简得x2＋y2＋2y－3＝0，即x2＋(y＋1)2＝4， 所以点M在以D(0，－1)为圆心，2为半径的圆上． 由题意，点M(x，y)在圆C上，所以圆C与圆D有公共点，则|2－1|≤CD≤2＋1， 即1≤a2＋（2a－3）2≤3. 由5a 2－12a ＋8≥0，得a ∈； 由5a 2－12a ≤0，得0≤a ≤ 125 . 所以点C 的横坐标a 的取值范围为? ???0，125. 18． 如图1－4，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径．一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C . 现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发2 min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1 min 后，再从B 匀速步行到C .假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min ，山路AC 长为1 260 m ，经测量，cos A ＝1213，cos C ＝3 5 . (1)求索道AB 的长； (2)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？ (3)为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？ 图1－4 18．解：(1)在△ABC 中，因为cos A ＝1213，cos C ＝3 5， 所以sin A ＝513，sin C ＝4 5， 从而sin B ＝sin[π－(A ＋C )] ＝sin(A ＋C ) ＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝513×35＋1213×45＝6365. 由正弦定理AB sin C ＝AC sin B ，得 AB ＝AC sin B ×sin C ＝1 2606365 ×45 ＝1 040(m)． 所以索道AB 的长为1 040 m. (2)假设乙出发t 分钟后，甲、乙两游客距离为d ，此时，甲行走了(100＋50t )m ，乙距离A 处130t m ，所以由余弦定理得 d 2＝(100＋50t )2＋(130t )2－2×130t ×(100＋50t )×12 13＝200(37t 2－70t ＋50)． 因为0≤t ≤1 040 130 ，即0≤t ≤8， 故当t ＝35 37(min)时，甲、乙两游客距离最短． (3)由正弦定理BC sin A ＝AC sin B ，得 BC ＝AC sin B ×sin A ＝1 2606365 ×513 ＝500(m)． 乙从B 出发时，甲已走了50×(2＋8＋1)＝550(m)，还需走710 m 才能到达C . 设乙步行的速度为v m/min ，由题意得－3≤500v －71050≤3，解得1 25043≤v ≤625 14， 所以为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在 ????1 25043 ，62514(单位：m/min)范围内． 19． 设{a n }是首项为a ，公差为d 的等差数列(d ≠0)，S n 是其前n 项的和．记b n ＝nS n n 2＋c ， n ∈*，其中c 为实数． (1)若c ＝0，且b 1，b 2，b 4成等比数列，证明：S nk ＝n 2S k (k ，n ∈*)； (2)若{b n }是等差数列，证明：c ＝0. 19．解：由题设，S n ＝na ＋ n （n －1） 2 d . (1)由c ＝0，得b n ＝S n n ＝a ＋n －12d .又因为b 1，b 2，b 4成等比数列，所以b 22＝b 1b 4 ， 即????a ＋d 22 ＝a ??? ?a ＋3 2d ， 化简得d 2－2ad ＝0.因为d ≠0，所以d ＝2a . 因此，对于所有的m ∈，有S m ＝m 2a . 从而对于所有的k ，n ∈，有S nk ＝(nk )2a ＝n 2k 2a ＝n 2S k . (2)设数列{b n }的公差是d 1，则b n ＝b 1＋(n －1)d 1，即nS n n 2＋c ＝b 1＋(n －1)d 1，n ∈， 代入S n 的表达式，整理得，对于所有的n ∈，有 ????d 1－12d n 3＋? ???b 1－d 1－a ＋12d n 2＋cd 1n ＝c (d 1－b 1)． 令A ＝d 1－12d ，B ＝b 1－d 1－a ＋1 2d ，D ＝c (d 1－b 1)，则对于所有的n ∈，有 An 3＋Bn 2＋cd 1n ＝D (*)． 在(*)式中分别取n ＝1，2，3，4，得 A ＋ B ＋cd 1＝8A ＋4B ＋2cd 1＝27A ＋9B ＋3cd 1＝64A ＋16B ＋4cd 1， 从而有 ???? ?7A ＋3B ＋cd 1＝0，①19A ＋5B ＋cd 1＝0，②21A ＋5B ＋cd 1＝0，③ 由②，③得A ＝0，cd 1＝－5B ，代入方程①，得B ＝0，从而cd 1＝0. 即d 1－12d ＝0，b 1－d 1－a ＋1 2 d ＝0，cd 1＝0. 若d 1＝0，则由d 1－1 2 d ＝0得d ＝0，与题设矛盾，所以d 1≠0. 又因为cd 1＝0，所以c ＝0. 20． 设函数f (x )＝ln x －ax ，g (x )＝e x －ax ，其中a 为实数． (1)若f (x )在(1，＋∞)上是单调减函数，且g (x )在(1，＋∞)上有最小值，求a 的取值范围； (2)若g (x )在(－1，＋∞)上是单调增函数，试求f (x )的零点个数，并证明你的结论． 20．解：(1)令f ′(x )＝1 x －a ＝1－ax x <0，考虑到f (x )的定义域为(0，＋∞)，故a >0，进而 解得x >a － 1，即f (x )在(a － 1，＋∞)上是单调减函数．同理，f (x )在(0，a － 1) 上是单调增函数．由 于f (x )在(1，＋∞)上是单调减函数，故(1，＋∞)?(a －1，＋∞)，从而a － 1≤1，即a ≥1.令g ′(x )＝e x －a ＝0，得x ＝ln a ．当x 综上，有a ∈(e ，＋∞)． (2)当a ≤0时，g (x )必为单调增函数；当a >0时，令g ′(x )＝e x －a >0， 解得a 即0 1. 结合上述两种情况，有a ≤e － 1. (i)当a ＝0时，由f (1)＝0以及f ′(x )＝1 x >0，得f (x )存在唯一的零点； (ii)当a <0时，由于f (e a )＝a －a e a ＝a (1－e a )<0，f (1)＝－a >0，且函数f (x )在[e a ，1]上的图像不间断，所以f (x )在(e a ，1)上存在零点． 另外，当x >0时，f ′(x )＝1 x －a >0，故f (x )在(0，＋∞)上是单调增函数，所以f (x )只有一 个零点． (iii)当0 －1 时，令f ′(x )＝1x －a ＝0，解得x ＝a －1.当0 1时， f ′(x )<0，所以，x ＝a － 1是f (x )的最大值点，且最大值为f (a － 1)＝－ln a －1. ①当－ln a －1＝0，即a ＝e － 1时，f (x )有一个零点x ＝e. ②当－ln a －1>0，即0 1时，f (x )有两个零点． 实际上，对于00，且函数f (x )在[e －1，a － 1] 上的图像不间断，所以f (x )在(e －1，a － 1)上存在零点． 另外，当x ∈(0，a －1)时，f ′(x )＝1x －a >0，故f (x )在(0，a － 1)上是单调增函数，所以f (x )在 (0，a － 1)上只有一个零点． 下面考虑f (x )在(a －1，＋∞)上的情况，先证f (e a －1)＝a (a －2－e a － 1)<0，为此，我们要证明：当x >e 时，e x >x 2，设h (x )＝e x －x 2，则h ′(x )＝e x －2x ，再设l (x )＝h ′(x )＝e x －2x ，则l ′(x )＝e x －2. 当x>1时，l′(x)＝e x－2>e－2>0，所以l(x)＝h′(x)在(1，＋∞)上是单调增函数．故当x>2时，h′(x)＝e x－2x>h′(2)＝e2－4>0， 从而h(x)在(2，＋∞)上是单调增函数，进而当x>e时，h(x)＝e x－x2>h(e)＝e e－e2>0，即当x>e时，e x>x2. 当0 又f(a－1)>0，且函数f(x)在[a－1，e a－1]上的图像不间断，所以f(x)在(a－1，e a－1)上存在零点． 又当x>a－1时，f′(x)＝1 x－a<0， 故f(x)在(a－1，＋∞)上是单调减函数，所以f(x)在(a－1，＋∞)上只有一个零点． 综合(i)(ii)(iii)，当a≤0或a＝e－1时，f(x)的零点个数为1， 当0 21．A．[选修4－1：几何证明选讲] 如图1－1所示，AB和BC分别与圆O相切于点D，C，AC经过圆心O，且BC＝2OC. 求证：AC＝2AD. 图1－1 证明：联结OD，因为AB和BC分别与圆O相切于点D，C， 所以∠ADO＝∠ACB＝90°. 又因为∠A ＝∠A ，所以Rt △ADO ∽Rt △ACB ， 所以BC OD ＝AC AD . 又BC ＝2OC ＝2OD . 故AC ＝2AD . B ．[选修4－2：矩阵与变换] 已知矩阵＝，＝1,0) 2,6)，求矩阵－ 1 解：设矩阵的逆矩阵为a,c ) b,d )， 则－1,0) 0,2)a,c ) b,d )＝1,0) 0,1)． 即－a,2c ) －b,2d )＝1,0) 0,1)， 故a ＝－1，b ＝0，c ＝0，d ＝1 2 ， 从而的逆矩阵为－ 1＝????? ? ?? －1 0 0,12)))． 所以－ 1＝????? ? ?? －1 0 0,12)))1,0) 2,6)＝－1,0) －2,3)． C ．[选修4－4：坐标系与参数方程] 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为? ????x ＝t ＋1， y ＝2t (t 为参数)，曲线C 的参数方 程为? ????x ＝2tan 2θ， y ＝2tan θ(θ为参数)，试求直线l 和曲线C 的普通方程，并求出它们的公共点的坐标． 解：因为直线l 的参数方程为? ????x ＝t ＋1， y ＝2t (t 为参数)，由x ＝t ＋1得t ＝x －1，代入y ＝2t ， 得到直线l 的普通方程为2x －y －2＝0. 同理得到曲线C 的普通方程为y 2＝2x . 联立方程组?????y ＝2（x －1），y 2＝2x ， 解得公共点的坐标为(2，2)，1 2，－1. D ．[选修4－5：不等式选讲] 已知a ≥b >0，求证：2a 3－b 3≥2ab 2－a 2b . 证明：2a 3－b 3－(2ab 2－a 2b )＝2a (a 2－b 2)＋b (a 2－b 2)＝(a 2－b 2)(2a ＋b )＝(a －b )(a ＋b )(2a ＋b )． 因为a ≥b >0，所以a －b ≥0，a ＋b >0，2a ＋b >0. 从而(a －b )(a ＋b )(2a ＋b )≥0，即2a 3－b 3≥2ab 2－a 2b . 22． 如图1－2所示，在直三棱柱A 1B 1C 1－ABC 中，AB ⊥AC ，AB ＝AC ＝2，A 1A ＝4，点D 是BC 的中点． (1)求异面直线A 1B 与C 1D 所成角的余弦值； (2)求平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的正弦值． 图1－2 22．解：(1)以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz ，则A (0，0，0)，B (2，0，0)，C (0，2，0)，D (1，1，0)，A 1(0，0，4)， C 1(0，2，4)，所以A 1B →＝(2，0，－4)，C 1 D → ＝(1，－1，－4)． 因为cos 〈A 1B →，C 1D → 〉＝A 1B →·C 1D →|A 1B →||C 1D →|＝1820×18＝31010，所以异面直线A 1B 与C 1D 所成 角的余弦值为310 10 . (2)设平面ADC 1的法向量为1＝(x ，y ，z )，因为AD →＝(1，1，0)，AC 1→＝(0，2，4)，所以·AD → ＝0，·AC 1→＝0，即x ＋y ＝0且y ＋2z ＝0，取z ＝1，得x ＝2，y ＝－2，所以，＝(2，－2，1)是平面ADC 1的一个法向量．取平面AA 1B 的一个法向量为＝(0，1，0)，设平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的大小为θ. 由|cos θ|＝ n 1·n 2 |n 1||n 2|＝29×1＝23 ，得sin θ＝53. 因此，平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的正弦值为 5 3 . 23． 设数列{a n }：1，－2，－2，3，3，3，－4，－4，－4，－4，…，(－1)k － 1k ，…，(－1)k － 1k ，k 个…，即当（k －1）k 2 (k ∈*)时，a n ＝(－1)k － 1k .记S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n (n ∈*)．对于l ∈*，定义集合P l ＝{n |S n 是a n 的整数倍，n ∈*，且1≤n ≤l }． (1)求集合P 11中元素的个数； (2)求集合P 2 000中元素的个数． 23．解：(1)由数列{a n }的定义得a 1＝1，a 2＝－2，a 3＝－2，a 4＝3，a 5＝3，a 6＝3，a 7 ＝－4，a 8＝－4，a 9＝－4，a 10＝－4，a 11＝5，所以S 1＝1，S 2＝－1，S 3＝－3，S 4＝0，S 5＝3，S 6＝6，S 7＝2，S 8＝－2，S 9＝－6，S 10＝－10，S 11＝－5，从而S 1＝a 1，S 4＝0×a 4，S 5 ＝a5，S6＝2a6，S11＝－a11，所以集合P11中元素的个数为5. (2)先证：S i(2i＋1)＝－i(2i＋1)(i∈*)． 事实上，①当i＝1时，S i(2i＋1)＝S3＝－3，－i(2i＋1)＝－3，故原等式成立； ②假设i＝m时成立，即S m(2m＋1)＝－m(2m＋1)， 则i＝m＋1时，S(m＋1)(2m＋3)＝S m(2m＋1)＋(2m＋1)2－(2m＋2)2＝－m(2m＋1)－4m－3＝－(2m2＋5m＋3)＝－(m＋1)(2m＋3)． 综合①②可得S i(2i＋1)＝－i(2i＋1)．于是S(i＋1)(2i＋1)＝S i(2i＋1)＋(2i＋1)2＝－i(2i＋1)＋(2i＋1)2＝(2i＋1)(i＋1)． 由上可知S i(2i＋1)是2i＋1的倍数，而a i(2i＋1)＋j＝2i＋1(j＝1，2，…，2i＋1)，所以S i(2i＋1)＝S i(2i＋1)＋j(2i＋1)是a i(2i＋1)＋j(j＝1，2，…，2i＋1)的倍数，又S(i＋1)(2i＋1)＝(i＋1)(2i＋1)不是＋j 2i＋2的倍数．而a(i＋1)(2i＋1)＋j＝－(2i＋2)(j＝1，2，…，2i＋2)，所以S(i＋1)(2i＋1)＋j＝S(i＋1)(2i＋1)－j(2i＋2)＝(2i＋1)(i＋1)－j(2i＋2)不是a(i＋1)(2i＋1)＋j(j＝1，2，…，2i＋2)的倍数，故当l＝i(2i ＋1)时，集合P l中元素的个数为1＋3＋…＋(2i－1)＝i2， 于是，当l＝i(2i＋1)＋j(1≤j≤2i＋1)时，集合P l中元素的个数为i2＋j. 又2 000＝31×(2×31＋1)＋47. 故集合P2 000中元素的个数为312＋47＝1 008.