2013初中数学总复习

2013年中考数学总复习

第一章 实数

★重点★ 实数的有关概念及性质，实数的运算 ☆内容提要☆

一、重要概念

1．数的分类及概念 数系表：

说明：“分类”的原则：1）相称（不重、不漏）

2）有标准

2．非负数：正实数与零的统称。（表为：x ≥0） 常见的非负数有：

性质：若干个非负数的和为0，则每个非负担数均为0。 3．倒数： ①定义及表示法

②性质：A.a ≠1/a （a ≠±1）;B.1/a 中，a ≠0;C.0＜a ＜1时1/a

＞1;a ＞1时，1/a ＜1;D.积为1。 4．相反数： ①定义及表示法

②性质：A.a ≠0时，a ≠-a;B.a 与-a 在数轴上的位置;C.和为0,商为-1。

实数 无理数(无限不循环小数)

有理数 正分数 负分数

正整数

负整数 (有限或无限循环性数) 整数

分数 正无理数 负无理数 0 实数 负数

整数 分数 无理数

有理数

正数

整数 分数 无理数

有理数

│a │

2a

a (a ≥0)

(a 为一切实数)

5．数轴：①定义（“三要素”）

②作用：A.直观地比较实数的大小;B.明确体现绝对值意义;C.建立点与实数的一一对应关系。

6．奇数、偶数、质数、合数（正整数—自然数）

定义及表示：

奇数：2n-1

偶数：2n （n 为自然数）

7．绝对值：①定义（两种）：

代数定义：

几何定义：数a 的绝对值顶的几何意义是实数a 在数轴上所对应的点到原点的距离。 二、实数的运算

1． 运算法则（加、减、乘、除、乘方、开方）

2． 运算定律（五个—加法[乘法]交换律、结合律;[乘法对加法的] 分配律）

3． 运算顺序：A.高级运算到低级运算;B.（同级运算）从“左” 到“右”（如5÷

5

1

×5）;C.(有括号时)由“小”到“中”到“大”。 三、应用举例（略）

附：典型例题

1． 已知：a 、b 、x 在数轴上的位置如下图，求证：│x-a │+│x-b │ =b-a.

2.已知：a-b=-2且ab<0，（a ≠0，b ≠0），判断a 、b 的符号。

第二章 代数式

★重点★代数式的有关概念及性质，代数式的运算 ☆内容提要☆

一、重要概念

分类：

1.代数式与有理式

用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代数式。单独 的一个数或字母也是代数式。

a(a≥0)

-a(a<0)

│a │= a x b 单项式

多项式 整式 分式有理式

无理式

代数式

整式和分式统称为有理式。

2.整式和分式

含有加、减、乘、除、乘方运算的代数式叫做有理式。

没有除法运算或虽有除法运算但除式中不含有字母的有理式叫做整式。 有除法运算并且除式中含有字母的有理式叫做分式。 3.单项式与多项式

没有加减运算的整式叫做单项式。（数字与字母的积—包括单独的一个数或字母） 几个单项式的和，叫做多项式。

说明：①根据除式中有否字母，将整式和分式区别开;根据整式中有否加减运算，把单项式、多项式区分开。②进行代数式分类时，是以所给的代数式为对象，而非以变形后的代数式为对象。划分代数式类别时，是从外形来看。如，

x

x 2=x,2x =│x │等。

4.系数与指数

区别与联系：①从位置上看;②从表示的意义上看 5.同类项及其合并

条件：①字母相同;②相同字母的指数相同 合并依据：乘法分配律 6.根式

表示方根的代数式叫做根式。

含有关于字母开方运算的代数式叫做无理式。

注意：①从外形上判断;②区别：3、7是根式，但不是无理式（是无理数）。 7.算术平方根

⑴正数a 的正的平方根（a [a ≥0—与“平方根”的区别]）; ⑵算术平方根与绝对值

① 联系：都是非负数，2

a =│a │

②区别：│a │中，a 为一切实数;a 中，a 为非负数。 8.最简二次根式、分母有理化

把分母中的根号划去叫做分母有理化。

9.指数

(n

a —幂，乘方运算)

⑴

a ·a …a=n a n 个

① a ＞0时，n

a ＞0;②a ＜0时，n

a ＞0（n 是偶数），n

a ＜0（n 是奇数） ⑵零指数：0a =1（a ≠0） 负整指数：p a

-=1/p

a （a ≠0,p 是正整数）

二、运算定律、性质、法则

1．分式的加、减、乘、除、乘方、开方法则 2．分式的性质

⑴基本性质：

a b =am bm （m ≠0） ⑵符号法则：a

b

a b a b -=

-=- ⑶繁分式：①定义;②化简方法（两种）

3．整式运算法则（去括号、添括号法则） 4．幂的运算性质：①m

a ·n

a =n

m a

+;②m a ÷n a =n

m a

-;③n

m a )(=mn

a ;④

n

ab )(=n a n

b ;⑤n n

n b

a b a =)(

技巧：p p

b

a a

b )()

(=- 5．乘法法则：⑴单×单;⑵单×多;⑶多×多。 6．乘法公式：（正、逆用）2

2

2

2)(b ab a b a +±=± （a+b ）（a-b ）=2

2b a -

(a ±b))(2

2

b ab a + =33b a ±

7．除法法则：⑴单÷单;⑵多÷单。

8．因式分解：⑴定义;⑵方法：A.提公因式法;B.公式法;C.十字相乘法;D.分组分解法;E.求根公式法。

9．算术根的性质：

2a ＝a ;)0()(2≥=a a a ;b a ab ?=(a ≥0,b ≥

0);

b

a b

a =(a ≥0,

b ＞0)(正用、逆用)

10．根式运算法则：⑴加法法则（合并同类二次根式）;⑵乘、除法法则;⑶分母有

理化：A.

a

1;B.

a ab

a b =

;C.b

n a m -1. 11．科学记数法：n

a 10?（1≤a ＜10,n 是整数＝

三、应用举例（略）

四、数式综合运算（略）

第三章 统计初步

★重点★

☆ 内容提要☆

一、重要概念

1.总体：考察对象的全体。

2.个体：总体中每一个考察对象。

3.样本：从总体中抽出的一部分个体。

4.样本容量：样本中个体的数目。

5.众数：一组数据中，出现次数最多的数据。

6.中位数：将一组数据按大小依次排列，处在最中间位置的一个数（或最中间位置的两个数据的平均数）

二、计算方法

1.样本平均数：⑴)(121n x x x n

x +++=

;⑵若a x x -=1'1，a x x -=2'

2

，…，a x x n n -=',则a x x +='(a —常数，1x ，2x ，…，n x 接近较整的常数a);⑶加权平均

数：)(212211n f f f n

f x f x f x x k k

k =++++++=

;⑷平均数是刻划数据的集中

趋势（集中位置）的特征数。通常用样本平均数去估计总体平均数，样本容量越大，估计越准确。

2．样本方差：⑴])()()[(1

222212

x x x x x x n

s n -++-+-=

;⑵若a x x -=1'1,a x x -=2'

2,…,a x x n n

-=',则])[(12'2'2'22'12x n x x x n

s n -+++= （a —接近1x 、2x 、…、n x 的平均数的较“整”的常数）;若1x 、2x 、…、n x 较“小”较“整”，则])[(122

22212

x n x x x n

s n -+++=

;⑶样本方差是刻划数据的离散程度（波动大小）的特征数，当样本容量较大时，样本方差非常接近总体方差，通常用样本方差去估计总体方差。

3．样本标准差：2s s

三、应用举例（略）

第四章 直线、三角形、四边形

第五章 ★重点★相交线与平行线、三角形、四边形的有关概念、判定、性质。 ☆ 内容提要☆

一、直线、相交线、平行线

1．线段、射线、直线三者的区别与联系 从“图形”、“表示法”、“界限”、“端点个数”、“基本性质”等方面加以分析。 2．线段的中点及表示

3．直线、线段的基本性质（用“线段的基本性质”论证“三角形两边之和大于第三边”）

4．两点间的距离（三个距离：点-点;点-线;线-线）

5．角（平角、周角、直角、锐角、钝角） 6．互为余角、互为补角及表示方法 7．角的平分线及其表示

8．垂线及基本性质（利用它证明“直角三角形中斜边大于直角边”） 9．对顶角及性质

10．平行线及判定与性质（互逆）（二者的区别与联系）

11．常用定理：①同平行于一条直线的两条直线平行（传递性）;②同垂直于一条直线的两条直线平行。

12．定义、命题、命题的组成 13．公理、定理 14．逆命题

二、三角形 分类：⑴按边分;

⑵按角分

1．定义（包括内、外角）

2．三角形的边角关系：⑴角与角：①内角和及推论;②外角和;③n 边形内角和;④n 边形外角和。⑵边与边：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。⑶角与边：在同一三角形中，

3．三角形的主要线段

讨论：①定义②××线的交点—三角形的×心③性质

等边 等角 大边 大角

小边 小角

① 高线②中线③角平分线④中垂线⑤中位线

⑴一般三角形⑵特殊三角形：直角三角形、等腰三角形、等边三角形

4．特殊三角形（直角三角形、等腰三角形、等边三角形、等腰直角三角形）的判定与性质

5．全等三角形

⑴一般三角形全等的判定（SAS 、ASA 、AAS 、SSS ） ⑵特殊三角形全等的判定：①一般方法②专用方法 6．三角形的面积

⑴一般计算公式⑵性质：等底等高的三角形面积相等。 7．重要辅助线

⑴中点配中点构成中位线;⑵加倍中线;⑶添加辅助平行线 8．证明方法

⑴直接证法：综合法、分析法

⑵间接证法—反证法：①反设②归谬③结论 ⑶证线段相等、角相等常通过证三角形全等 ⑷证线段倍分关系：加倍法、折半法 ⑸证线段和差关系：延结法、截余法 ⑹证面积关系：将面积表示出来

三、四边形 分类表：

1．一般性质（角） ⑴内角和：360°

⑵顺次连结各边中点得平行四边形。

推论1：顺次连结对角线相等的四边形各边中点得菱形。 推论2：顺次连结对角线互相垂直的四边形各边中点得矩形。 ⑶外角和：360°

2．特殊四边形

⑴研究它们的一般方法:

⑵平行四边形、矩形、菱形、正方形;梯形、等腰梯形的定义、性质和判定

⑶判定步骤：四边形→平行四边形→矩形→正方形

┗→菱形──↑

角线 积

称性

轴对称

中

心对

称

⑷对角线的纽带作用：

3．对称图形

⑴轴对称（定义及性质）;⑵中心对称（定义及性质） 4．有关定理：①平行线等分线段定理及其推论1、2

②三角形、梯形的中位线定理 ③平行线间的距离处处相等。（如，找下图中面积相等的三角形）

5．重要辅助线：①常连结四边形的对角线;②梯形中常“平移一腰”、“平移对角线”、“作高”、“连结顶点和对腰中点并延长与底边相交”转化为三角形。

6．作图：任意等分线段。

第五章 方程（组）

★重点★一元一次、一元二次方程，二元一次方程组的解法;方程的有关应用题（特别是行程、工程问题） ☆ 内容提要☆

一、基本概念

1．方程、方程的解（根）、方程组的解、解方程（组） 2． 分类：

二、解方程的依据—等式性质 1．a=b ←→a+c=b+c

2．a=b ←→ac=bc (c ≠0) 三、解法

1．一元一次方程的解法：去分母→去括号→移项→合并同类项→

二次方程 一次方程 高次方程 整式方程 分式方程 有理方程 无理方程 方程

系数化成1→解。

2． 元一次方程组的解法：⑴基本思想：“消元”⑵方法：①代入法 ②加减法

四、一元二次方程

1．定义及一般形式：)0(02

≠=++a c bx ax 2．解法：⑴直接开平方法（注意特征）

⑵配方法（注意步骤—推倒求根公式）

⑶公式法：)04(24222

,1≥--±-=ac b a

ac b b x

⑷因式分解法（特征：左边=0）

3．根的判别式：ac b 42

-=? 4．根与系数顶的关系：a

c x x a b x x =?-

=+2121, 逆定理：若n x x m x x =?=+2121,，则以21,x x 为根的一元二次方程是：

02=+-n mx x 。

5．常用等式：212

212

22

12)(x x x x x x -+=+ 212

212

214)()(x x x x x x -+=- 五、可化为一元二次方程的方程

1．分式方程 ⑴定义

⑵基本思想：

⑶基本解法：①去分母法②换元法（如，72

2

2163=-+++-x x x x ） ⑷验根及方法 2．无理方程 ⑴定义

⑵基本思想：

⑶基本解法：①乘方法（注意技巧！！）②换元法（例，2

21792x x =+-）⑷验根及方法

去分母

分式方程 整式方程 乘方

无理方程

有理方程

3．简单的二元二次方程组

由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组都可用代入法解。

六、列方程（组）解应用题 ㈠概述

列方程（组）解应用题是中学数学联系实际的一个重要方面。其具体步骤是： ⑴审题。理解题意。弄清问题中已知量是什么，未知量是什么，问题给出和涉及的相等关系是什么。

⑵设元（未知数）。①直接未知数②间接未知数（往往二者兼用）。一般来说，未知数越多，方程越易列，但越难解。

⑶用含未知数的代数式表示相关的量。

⑷寻找相等关系（有的由题目给出，有的由该问题所涉及的等量关系给出），列方程。一般地，未知数个数与方程个数是相同的。

⑸解方程及检验。 ⑹答案。

综上所述，列方程（组）解应用题实质是先把实际问题转化为数学问题（设元、列方程），在由数学问题的解决而导致实际问题的解决（列方程、写出答案）。在这个过程中，列方程起着承前启后的作用。因此，列方程是解应用题的关键。

㈡常用的相等关系

1． 行程问题（匀速运动） 基本关系：s=vt

⑴相遇问题(同时出发)：

甲s +乙s =AB s ;乙甲t t =

⑵追及问题（同时出发）：

)()(;CB AB AC t t s s s 乙甲乙甲=+=

若甲出发t 小时后，乙才出发，

而后在B

处追上甲，则

乙甲乙甲t t t s s +==;

⑶水中航行：水速船速顺+=v ;水速船速逆-=v 2． 配料问题：溶质=溶液×浓度 溶液=溶质+溶剂 3．增长率问题：2

21)1(x a a ±=

4．工程问题：基本关系：工作量=工作效率×工作时间（常把工作量看着单位“1”）。

A C 甲→ ←乙 相遇处 C

甲→ 乙→

（相遇处） 乙→

A (（相遇处）

5．几何问题：常用勾股定理，几何体的面积、体积公式，相似形及有关比例性质等。

㈢注意语言与解析式的互化 如，“多”、“少”、“增加了”、“增加为（到）”、“同时”、“扩大为（到）”、“扩大了”、…… 又如，一个三位数，百位数字为a ，十位数字为b ，个位数字为c ，则这个三位数为：100a+10b+c ，而不是abc 。

㈣注意从语言叙述中写出相等关系。

如，x 比y 大3，则x-y=3或x=y+3或x-3=y 。又如，x 与y 的差为3，则x-y=3。㈤注意单位换算 如，“小时”“分钟”的换算;s 、v 、t 单位的一致等。

第六章 一元一次不等式（组）

★重点★一元一次不等式的性质、解法 ☆ 内容提要☆

1． 定义：a ＞b 、a ＜b 、a ≥b 、a ≤b 、a ≠b 。

2． 一元一次不等式：ax ＞b 、ax ＜b 、ax ≥b 、ax ≤b 、ax ≠b(a ≠0)。 3． 一元一次不等式组：

4． 不等式的性质：⑴a>b ←→a+c>b+c

⑵a>b ←→ac>bc(c>0) ⑶a>b ←→ac

⑷（传递性）a>b,b>c →a>c ⑸a>b,c>d →a+c>b+d.

5．一元一次不等式的解、解一元一次不等式

6．一元一次不等式组的解、解一元一次不等式组（在数轴上表示解集）

第七章 相似形

★重点★相似三角形的判定和性质

一、本章的两套定理

第一套（比例的有关性质）：

涉及概念：①第四比例项②比例中项③比的前项、后项，比的内项、外项④黄金分割等。

反比性质：c

d

a b = 更比性质：d b

c a a c b

d ==或 合比性质：d

d

c b b a ±=± ?=?=bc a

d d c b a （比例基本定理） b

a

n d b m c a n d b n m d c b a =++++++?≠+++=== :)0(等比性质

二、相似三角形性质

1．对应线段…;2．对应周长…;3．对应面积…。 三、相关作图

①作第四比例项;②作比例中项。 四、证（解）题规律、辅助线 1．“等积”变“比例”，“比例”找“相似”。

2．找相似找不到，找中间比。方法：将等式左右两边的比表示出来。⑴

)(,为中间比n m

n m d c n m b a == ⑵'',,n n n

m d c n m b a === ⑶),(,'''

'''n

m n m n n m m n m d c n m b a =====或 3．添加辅助平行线是获得成比例线段和相似三角形的重要途径。

4．对比例问题，常用处理方法是将“一份”看着k;对于等比问题，常用处理办法是设“公比”为k 。

5．对于复杂的几何图形，采用将部分需要的图形（或基本图形）“抽”出来的办法处理。

第八章 函数及其图象

★重点★正、反比例函数，一次、二次函数的图象和性质。 ☆ 内容提要☆

一、平面直角坐标系 1．各象限内点的坐标的特点 2．坐标轴上点的坐标的特点

3．关于坐标轴、原点对称的点的坐标的特点 4．坐标平面内点与有序实数对的对应关系

二、函数

1．表示方法：⑴解析法;⑵列表法;⑶图象法。

2．确定自变量取值范围的原则：⑴使代数式有意义;⑵使实际问题有 意义。

3．画函数图象：⑴列表;⑵描点;⑶连线。

三、几种特殊函数 （定义→图象→性质） 1． 正比例函数

⑴定义：y=kx(k ≠0) 或y/x=k 。 ⑵图象：直线（过原点） ⑶性质：①k>0，…②k<0，… 2． 一次函数

⑴定义：y=kx+b(k ≠0)

⑵图象：直线过点（0,b ）—与y 轴的交点和（-b/k,0）—与x 轴的交点。

⑶性质：①k>0,…②k<0,… ⑷图象的四种情况： 3． 二次函数

⑴定义：))(0(2

一般式≠++=a c bx ax y ))(0()(2

顶点式≠+-=a k h x a y

特殊地，)0(),0(2

2

≠+=≠=a k ax y a ax y 都是二次函数。

⑵图象：抛物线（用描点法画出：先确定顶点、对称轴、开口方向，再对称地描点）。

)0(2≠++=a c bx ax y 用配方法变为)0()(2≠+-=a k h x a y ，则顶点为（h,k ）;

对称轴为直线x=h;a>0时，开口向上;a<0时，开口向下。

⑶性质：a>0时，在对称轴左侧…，右侧…;a<0时，在对称轴左侧…，右侧…。 4.反比例函数 ⑴定义：1-==

kx x

k

y 或xy=k(k ≠0)。 ⑵图象：双曲线（两支）—用描点法画出。

⑶性质：①k>0时，图象位于…，y 随x …;②k<0时，图象位于…，y 随x …;③两支曲线无限接近于坐标轴但永远不能到达坐标轴。

四、重要解题方法

1． 用待定系数法求解析式（列方程[组]求解）。对求二次函数的解析式，要合理选

用一般式或顶点式，并应充分运用抛物线关于对称轴对称的特点，寻找新的点的坐标。如下图：

2．利用图象一次（正比例）函数、反比例函数、二次函数中的k 、b;a 、b 、c 的符号。

第九章 解直角三角形

★重点★解直角三角形

☆ 内容提要☆ 一、三角函数

1．定义：在Rt △ABC 中，∠C=Rt ∠，则sinA= ;cosA= ;tgA= ;ctgA= . 2．

3． 4． 三角函数值随角度变化的关系 5．查三角函数表 二、解直角三角形

1． 定义：已知边和角（两个，其中必有一边）→所有未知的边和角。 2． 依据：①边的关系：2

2

2

c b a =+

②角的关系：A+B=90°

③边角关系：三角函数的定义。

注意：尽量避免使用中间数据和除法。

三、对实际问题的处理

1． 俯、仰角： 2．方位角、象限角： 3．坡度：

4．在两个直角三角形中，都缺解直角三角形的条件时，可用列方程的办法解决。 四、应用举例（略）

第十章 圆

★重点★①圆的重要性质;②直线与圆、圆与圆的位置关系;③与圆有关的角的定理;

④与圆有关的比例线段定理。

☆ 内容提要☆

一、圆的基本性质 1．圆的定义（两种）

2．有关概念：弦、直径;弧、等弧、优弧、劣弧、半圆;弦心距;等圆、同圆、同心圆。

3．“三点定圆”定理 4．垂径定理及其推论

α h l i i=h/l=tg α

5．“等对等”定理及其推论

5． 与圆有关的角：⑴圆心角定义（等对等定理）

⑵圆周角定义（圆周角定理，与圆心角的关系） ⑶弦切角定义（弦切角定理）

二、直线和圆的位置关系 1.三种位置及判定与性质：

2.切线的性质（重点）

3.切线的判定定理（重点）。圆的切线的判定有⑴…⑵… 4．切线长定理

三、圆换圆的位置关系

1.五种位置关系及判定与性质：(重点：相切)

2.相切（交）两圆连心线的性质定理

3.两圆的公切线：⑴定义⑵性质

四、与圆有关的比例线段 1.相交弦定理 2.切割线定理

五、与和正多边形

1.圆的内接、外切多边形（三角形、四边形）

2.三角形的外接圆、内切圆及性质

3.圆的外切四边形、内接四边形的性质

4.正多边形及计算

外角和：

360 内角和：

n

n ?

-180)2((右图)

四、 五、 六、 七、 八、

九、一组计算公式

d>R d=R dR+r d=R+r R-r

1.圆周长公式

2.圆面积公式

3.扇形面积公式

4.弧长公式

5.弓形面积的计算方法

6.圆柱、圆锥的侧面展开图及相关计算

十、点的轨迹

六条基本轨迹

十一、有关作图

1.作三角形的外接圆、内切圆

2.平分已知弧

3.作已知两线段的比例中项

4.等分圆周：4、8;6、3等分

十二、基本图形

十三、重要辅助线

1.作半径

2.见弦往往作弦心距

3.见直径往往作直径上的圆周角

4.切点圆心莫忘连

5.两圆相切公切线（连心线）

6.两圆相交公共弦

十一、应用举例（略）

P O

A

B

C D

2014年全国 初中数学联赛(含答案)

2014年全国初中数学联赛(初三组)初赛试卷班级：: 姓名：成绩： 题号一二三四五合计 得分 评卷人 复核人 考生注意： 1、本试卷共五道大题，全卷满分140分； 2、不能使用计算器。 一、选择题（本题满分42分，每小题7分） 1、某件商品的标价为13200元，若以8折降价出售，仍可获利10%（相对于进货价），则该商品的进货价是（） A、9504元 B、9600元 C、9900元 D、10000元 2、如图，在凸四边形ABCD中，BD ABC，则ADC BC ∠80 ∠等于（） = AB= =，? A、? 160 140D、?80B、? 100C、? 1

2 第2题图 D A C B 第4题图 D A C B 3、如果方程()()0422=+--m x x x 的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么，实数m 的取值范围是（ ） A 、04m <≤ B 、3≥m C 、4≥m D 、34m <≤ 4、如图，梯形ABCD 中，CD AB //，?=∠60BAD ，?=∠30ABC ，6=AB 且CD AD =，那么 BD 的长度是（ ） A 、7 B 、4 C 、72 D 、24 5、如果20140a -<<，那么|2014||2014|||+-+++-a x x a x 的最小值是（ ） A 、2014 B 、2014+a C 、4028 D 、4028+a 6、方程()y x y xy x +=++322的整数解有（ ） A 、3组 B 、4组 C 、5组 D 、6组 二、填空题（本大题满分28分，每小题7分） D F E O A C B

3 1、如图，扇形AOB 的圆心角?=∠90AOB ，半径为5，正方形CDEF 内接于该扇形，则正方形CDEF 的边长为 ． 2、已知四个自然数两两的和依次从小到大的次序是：23，28，33，39，x ，y ，则____=+y x ． 3、已知6=-y x ，922=-+-y xy xy x ，则22y xy xy x ---的值是 ． 4、有质地均匀的正方体形的红白骰子各一粒，每个骰子的六个面分别写有1、2、3、4、 5、6的自然数，随机掷红、白两粒骰子各一次，红色骰子掷出向上面的点数比白色骰子掷出向上面的点数小的概率是 ． 三、（本大题满分20分） 已知0422=-+a a ，2=-b a ，求 b a 2 11++的值。

2003年全国初中数学竞赛试题参考答案

2003年全国初中数学竞赛试题 一、选择题 1、若4x-3y-6z=0.x+2y-7z=0(xyz ≠0)，则代数式2222 22103225z y x z y x ---+的值等于( )． （A ）-21 （B ）-219 （C ）-15 （D ）-13 2．在本埠投寄平信，每封质量不超过20g 时付邮费0．80元，超过20g 而不超过40g 时付邮费l ．60元，依次类推，每增加20g 需增加邮费0．80元(信的质量在100g 以内)．如果某人所寄一封信的质量为72.5g ，那么他应付邮费( )． (A)2.4元 (B)2.8元 (C)3元 (D)3.2元 3.如图所示， ( )． (A)3600 (B)4500 (C)5400 (D)720 4.四条线段的长分别为9，5，x ，1(其中x 为正实数)，用它们拼成两个直角三角形，且AB 与CD 是其中的两条线段(如图)，则x 可取值的个数为( )． (A)2个 (B)3个 (C)4个 (D)6个 5.某校初三两个毕业班的学生和教师共100人一起在台阶上拍毕业照留念，摄影师要将其排列成前多后少的梯形队阵(排数≥3)，且要求各行的人数必须是连续的自然数，这样才能最后一排的人均站在前一排两人间的空档处，那么，满足上述要求的排法的方案有( )． (A)1种 (B)2种 (C)4种 (D)O 种 二、填空题 6．已知 那么 . 7．若实数x ，y ，z 满足 则xyz 的值为 . 8．观察下列图形： 根据图①、②、③的规律，图④中三角形的个数应为 。 9．如图所示，已知电线杆AB 直立于地面上，它的影子恰好照在土坡的坡面 CD 和地面BC 上，如果CD 与地面成450 ，则∠A ＝600 ，CD ＝4m,BC=(4 )m 电线杆AB 的长为 m. 10．已知二次函数y=ax 2 +bx+c(其中a 是正整数)的图像经过点A(一1，4)与点B(2，1)，并且与x 轴有两个不同的交点，则b+c 的最大值为 ． 三，解答题. 11．如图所示，已知AB 是⊙0的直径，BC 是⊙0的切线，0C 平行于弦AD ，过点D 作DE ⊥AB 于点E ， 连接AC ，与DE 交于点P ．问EP 与PD 是否相等?证明你的结论． 12．某人租用一辆汽车由A 城前往B 城，沿途可能经过的城市以及通过两城市之间所需的时间(单位：小时)如图所示．若汽车行驶的平均速度为80千米／小时，而汽车每行驶l 千米需要的平均费用为1．2元．试指出此人从A 城出发到8城的最短路线(要有推理过程)，并求出所需费用最少为多少元? =∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠G F E D C B A ,31+=x =---++2 1 4121,2 x x x ,3 71,11,41 =+=+=+x x z y y x 226-

全国初中数学联赛

全国初中数学联赛一、选择题（本大题满分42分，每小题7分） 1、化简1- 3+2 3-2 的值是（） A、0 B 、23C、- 23D、4 2.实数a,b,c满足a+b+c=0, abc=1,则a,b,c中正数的个数是（）. A、0 B、 1 C、 2 D、 3 3.在一个圆柱形水池内，有一个进水管和一个出水管，进水管流水速度是出水管流水速度的两倍，开始时有一满池水，出水管开始放水，到池水只有一半池时，打开进水管放水（此时出水管不关）直到放满池水关闭进水管，再由出水管放完池水，则在这一过程水池中的水量v随时间t的变化关系的图像是（ ） 4.如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=3，AE是∠BAD的平分线，EF垂直于AE,则AF的长为（）. A、32 B、4 C、25 D、10 5方程|x-2|-|x-3|的解的个数为（） A、1个 B、 2个 C、 3个 D、无数个 6.在△ABC中，∠B和∠C的角平分线交点是I，则∠BIC是（） A、锐角 B、直角 C、钝角 D、无法确定 二、填空题（本大题满分28分，每小题7分） 1.用火柴棍按照如下图所示的规律搭建三角形，“...”表示按照前面的规律一直搭建下去，当搭建到第n个编号三角形的时候，所用火柴棍的根数是 （用含有n的式子表示）. 2.若a为整数，则关于x的方程（a-1）x=a+1 的所有整数解的和是 3.a,b为常数，且对任何实数x,都有 2 x+3a b =+ 2222 (x+1)(x +2)x +1x+2 成立，则 a b =

4.在长方形纸片ABCD中，AB=1，BC=2，设E为边BC的中点，现将纸片折叠，使A、E重合，则折痕将长方形纸片分成两部分中，较大部分面积与较小部分面积之比的值为 三、（本大题满分20分） 解不等式 |x-2|< 3x-1. 四、（本大题满分25分） 如图，在等腰梯形ABCD中，AD//BC, DE⊥BC与E,若DE=3,BD=5,求梯形ABCD的面积。 五、（本大题满分25分） 已知正整数a、b满足（a+b）2=a3+b3，试求a、b的值。

全国初中数学联赛试题及答案(修正版)

M N A O A B C 1996年全国初中数学联赛试题 第一试 一、选择题 1. 实数a 、ｂ满足ａb =１,记M ＝＼ｆ(1，1+a )+错误!，Ｎ＝错误!+错误!，则的关系为 [ ] A ．M ＞N ? B ．M ＝N Ｃ.Ｍ

A B C D D ′ B ′ C O M P A B C D E F 3.设1９９5x 3 ＝１996y ３ =199７z 3, xy ｚ＞0,且 =，则１ x +错误!+错误!＝__＿___． 4.如图,将边长为1的正方形ABCD 绕A 点按逆时针方向旋转60°至A B ′C ′Ｄ′的位置，则这两个正方形重叠部分的面积是__＿__＿. 第二试 1． 某校在向“希望工程”捐款活动中,甲班的m 个男生和11个女生的捐款总数与乙班的9个男人和ｎ个女生的捐款总数相等，都是（m ·n +9m +11n +14５）元，已知每人的捐款数相同，且都是整数元，求每人的捐款数. ２.设凸四边形ABC Ｄ的对角线AC 、B Ｄ的交点为M ，过点Ｍ作A Ｄ的平行线分别交A Ｂ、ＣＤ于点Ｅ、F ,交B Ｃ的延长线于点Ｏ,P 是以O 为圆心ＯＭ为半径的圆上一点(位置如图所示）,求证：∠ＯP Ｆ＝∠OEP . 3. 已知a 、b 、c 都是正整数,且抛物线ｙ=ａｘ2＋ｂx ＋c 与x 轴有两个不同的交点A 、Ｂ,若A 、Ｂ到原点的距离都小于1，求a +b ＋c 的最小值．

2014年全国初中数学联赛试题及答案(修正版)

2014年全国初中数学联合竞赛试题参考答案 第一试 一、选择题： 1．已知x ，y 为整数，且满足(1x ＋1y ) (1x 2＋1y 2)＝－23(1x 4－1y 4)，则x ＋y 的可能的值有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2．已知非负实数x ，y ，z 满足x ＋y ＋z ＝1，则t ＝2xy ＋yz ＋2xz 的最大值为（ ） A ．47 B ．59 C ．916 D ．1225 3．在△ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 的中点，BE ⊥AC 于E ，交AD 于P ，已知BP ＝3，PE ＝1，则AE ＝（ ） A ．62 B ．2 C ．3 D ．6 4．6张不同的卡片上分别写有数字2，2，4，4，6，6，从中取出3张，则这3张卡片上所写的数字可以作为三角形的三边长的概率是（ ） A ．12 B ．25 C ．23 D ．34 5．设[t ]表示不超过实数t 的最大整数，令{t }＝t －[t ].已知实数x 满足x 3＋1x 3＝18，则 {x }＋{1x }＝（ ） A ．12 B ．3－5 C ．12 (3－5) D ．1 6．在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝60°，AC ＝1，D 在BC 上，E 在AB 上，使得△ADE 为等腰直角三角形, ∠ADE ＝90° ,则BE 的长为（ ） A ．4－23 B ．2－3 C ．12 (3－1) D ．3－1 二、填空题： 1．已知实数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝1， 1 a ＋b －c ＋ 1 a ＋c －b ＋ 1 b ＋c －a ＝1，则abc ＝__ 2．使得不等式917＜n n ＋k ＜815 对唯一的整数k 成立的最大正整数n 为________． 3．已知P 为等腰△ABC 内一点，AB ＝BC ，∠BPC ＝108°，D 为AC 的中点，BD 与PC 交于点E ，如果点P 为△ABE 的内心，则∠P AC ＝________．

历年全国初中数学联赛试题总汇47321

1991年全国初中数学联合竞赛决赛试题 第一试 一、选择题 本题共有8个小题，每小题都给出了（A ）、（B ）（C ）、（D ）四个答案结论，其中只有一个是正确的．请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内． １． 设等式y a a x a y a a x a ---=-+-)()(在实数范围内成立，其中a ，x ，y 是 两两不同的实数，则2 22 23y xy x y xy x +--+的值是 （A ）3 ； （B ）31； （C ）2； （D ）3 5 ． 答（ ） ２． 如图，AB ‖EF ‖CD ，已知AB =20，CD =80，BC =100，那么EF 的值是 （A ） 10； （B ）12； （C ） 16； （D ）18． 答（ ） ３． 方程012=--x x 的解是 （A ） 25 1±； （B ）251±-； （C ） 2 5 1±或251±-； （D ）251±-±． 答（ ） ４． 已知：)19911991(2 11 1 n n x --=（n 是自然数）．那么n x x )1(2+-，的值是 （Ａ）11991-； （Ｂ）11991--； （Ｃ）1991)1(n -； （Ｄ）11991)1(--n ． 答（ ） ５． 若M n 1210099321=?????Λ，其中Ｍ为自然数，n 为使得等式成立的最大的自 然数，则Ｍ （Ａ）能被２整除，但不能被３整除； （Ｂ）能被３整除，但不能被２整除； （Ｃ）能被４整除，但不能被３整除； （Ｄ）不能被３整除，也不能被２整除．

答（ ） ６． 若a ，c ，d 是整数，b 是正整数，且满足c b a =+，d c b =+，a d c =+，那么 d c b a +++的最大值是 （Ａ）1-；（Ｂ）5-；（Ｃ）0；（Ｄ）１． 答（ ） ７． 如图，正方形OPQR 内接于ΔABC ．已知ΔAOR 、ΔBOP 和ΔCRQ 的面积分别是11=S ， 32=S 和13=S ，那么，正方形OPQR 的边长是 （Ａ）2；（Ｂ）3；（Ｃ）2 ；（Ｄ）3． 答（ ） ８． 在锐角ΔABC 中，1=AC ，c AB =，ο60=∠A ，ΔABC 的外接圆半径R ≤1，则 （Ａ）21< c < 2 ； （Ｂ）0< c ≤2 1 ； 答（ ） （C ）c > 2； （D ）c = 2． 答（ ） 二、填空题 １．Ｅ是平行四边形ABCD 中BC 边的中点，AE 交对角线BD 于G ，如果ΔBEG 的面积是１，则平行四边形ABCD 的面积是 ． ２．已知关于x 的一元二次方程02=++c bx ax 没有实数解．甲由于看错了二次项系数，误求得两根为２和４；乙由于看错了某一项系数的符号，误求得两根为－１和４，那么，=+a c b 32 ． 3．设m ，n ，p ，q 为非负数，且对一切x >０，q p n m x x x x )1(1)1(+=-+恒成立，则 =++q p n m 22)2( ． ４．四边形ABCD 中，∠ ABC ο135=，∠BCD ο120=，AB 6=，BC 35-=， CD = 6，则AD = ． 11=S 3S =1 32=S ο 120ο 135

2014年全国初中数学联赛决赛(初二)试题及答案解析

2014年全国初中数学联合竞赛初二年级试题参考答案 说明：第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请按照本评分标准 规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同，在评卷时请参照本评分标准划分 的档次，给予相应的分数. 第一试 一、选择题：（本题满分42分，每小题7分） 1．若0x >，0y >=的值为（ B ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2．已知△ABC 中，2AB AC ==，点D 在BC 边的延长线上，4AD =，则错误! 未找到引用源。＝（ D ） A ．16 B ．15 C ．13 D ．12 3．已知,x y 为整数，且满足22441111211()()()3x y x y x y + +=--，错误!未找到引用源。则x y +的可能的值有 （ C ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 4．用1g 、3g 、6g 、30g 的砝码各一个，在一架没有刻度的天平上称量重物，如果天平 两端均可放置砝码，那么，可以称出的不同克数的重物的种数为 （ C ） A ．21 B ．20 C ．31 D ．30 5．已知实数,,x y z 满足1()2 x y z =++，则xyz 的值为 （ A ） A ．6 B ．4 C ．3 D ．不确定 6．已知△ABC 的三边长分别为2，3，4，M 为三角形内一点，过点M 作三边的平行 线，交各边于D 、E 、F 、G 、P 、Q （如图），如果DE FG PQ x ===，则x ＝ （ D ） A ．1813 B ．2013 C ．2213 D ．2413 二、填空题：（本题满分28分，每小题7分） 1．如果关于x 的方程|3||2||1|x x x a -+---=恰好只有一个解，则实数a ＝ 1-． 2．使得不等式981715 n n k <<+错误!未找到引用源。对唯一的整数k 成立的最大正整数n 为 144 ． 3．已知P 为等腰△ABC 内一点，AB BC =，108BPC ∠=?，D 为AC 的中点，BD

2008年全国初中数学联赛

2008年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准 说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数. 第一试 一、选择题（本题满分42分，每小题7分） 本题共有6小题，每题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个答案，其中有且仅有一个是正确的．将你所选择的答案的代号填在题后的括号内．每小题选对得7分；不选、选错或选出的代号字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分． 1．设213a a +=，213b b +=，且a b ≠，则代数式22 11 a b +的值为 （ ） A ．5 B ．7 C ．9 D ．11. 【答案】B 【解析】 由题设条件可知2310a a -+=，2310b b -+=，且a b ≠，所以a ，b 是一元二次方程 2310 x x -+=的两根，故3a b +=，1ab =，因此222222222211()23217()1a b a b ab a b a b ab ++--?+====． 故选B 2．如图，设AD ，BE ，CF 为三角形ABC 的三条高，若6AB =，5BC =，3EF =，则线段BE 的长为（ ） A ． 185 B ．4 C ．215 D ．245 【答案】D 【解析】 因为AD ，BE ，CF 为三角形ABC 的三条高，易知B ，C ，E ，F 四点共圆， 于是AEF ABC △∽△，故 35AF EF AC BC ==，即3cos 5BAC ∠=，所以4 sin 5 BAC ∠=． 在Rt ABE △中，424 sin 655 BE AB BAC =∠=?=．故选D 3．从分别写有数字1，2，3，4，5的5张卡片中任意取出两张，把第一张卡片上的数字作为十位数字，第二张卡片上的数字作为个位数字，组成一个两位数，则所组成的数是3的倍数的概率是 （ ） A ．15 B ． 310 C ． 25 D ． 12 . 【答案】C 【解析】 能够组成的两位数有12，13，14，15，21，23，24，25，31，32，34，35，41，42，43，45， 51，52，53，54，共20个，其中是3的倍数的数为12，15，21，24，42，45，51，54，共8个． 所以所组成的数是3的倍数的概率是 82 205 =．故选C 4．在ABC △中，12ABC ∠=，132ACB ∠=，BM 和CN 分别是这两个角的外角平分线，且点M ，N 分别在直线AC 和直线AB 上，则 （ ） A ．BM CN > B ．BM CN = E F D C B A

2017年全国初中数学联赛(整理好)

2017年全国初中数学联合竞赛试题 说明：评阅试卷时，请依据本评分标准．第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数． 第一试(A) 一、选择题(本题满分42分，每小题7分) 1．已知实数a ，b ，c 满足2a ＋13b ＋3c ＝90，3a ＋9b ＋c ＝72，则3b ＋c a ＋2b ＝( ) A ．2 B ．1 C ．0 D ．－1 2．已知△ABC 的三边长分别是a ，b ，c ，有以下三个结论： (1)以a ，b ，c 为边长的三角形一定存在； (2)以a 2，b 2，c 2为边长的三角形一定存在； (3)以|a －b |＋1，|b －c |＋1，|c －a |＋1为边长的三角形一定存在． 其中正确结论的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 3．若正整数a ，b ，c 满足a ≤b ≤c 且abc ＝2(a ＋b ＋c )，则称(a ，b ，c )为好数组．那么，好数组的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 4．设O 是四边形ABCD 的对角线AC ，BD 的交点，若∠BAD ＋∠ACB ＝180 ，且BC ＝3， AD ＝4，AC ＝5，AB ＝6，则DO OB ＝( ) A ．109 B ．87 C ．65 D ．43 5．设A 是以BC 为直径的圆上的一点，AD ⊥BC 于点D ，点E 在线段DC 上，点F 在CB 的延长线上，满足∠BAF ＝∠CAE ．已知BC ＝15，BF ＝6，BD ＝3，则AE ＝( ) A ．43 B ．213 C ．214 D ．215 6．对于正整数n ，设a n 是最接近n 的整数，则1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a 200 ＝( ) A ．1917 B ．1927 C ．1937 D ．1947

2013年全国初中数学联赛试题及详解

2013年全国初中数学联合竞赛试题及详解 第一试 一、选择题（本题满分42分，每小题7分） 1.计算=（ ） （A 1 （B ）1 （C （D ）2 【答案】（B ） 【解析】原式=1)3)1-=-=，故选（B ）. 2.满足等式()2221m m m ---=的所有实数m 的和为（ ） （A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6 【答案】（A ） 【解析】分三种情况进行讨论： （1）若21m -=，即1m =时，满足已知等式； （2）若21m -=-，即3m =时，()2242(1)1m m m ---=-=满足已知等式； （3）若21m -≠±，即1m ≠且3m ≠时，由已知，得22020 m m m -≠??--=?解得，1m =- 故满足等式()2221m m m ---=的所有实数m 的和13(1=3++-），故选（A ）. 3.已知AB 是圆O 的直径，C 为圆O 上一点，15CAB ∠= ，ABC ∠的平分线交圆O 于 点D ，若CD =，则AB =（ ） （A ）2 （B （C ） （D ）3 【答案】（A ） 【解析】连接OC ,过点O 作ON CD ⊥于点N ，则 CN DN ==,OC OA =,从而15OCA CAB ∠=∠= ,由AB 是圆O 的直径，得90ACB ∠= ,因CD 平分ACB ∠,故45ACD ∠= ,30OCN ACD OCA ∠=∠-∠= , 在Rt ONC ?中，∵cos CN OCN OC ∠= =,1OC =∴,∴22AB OC ==,故选（A ）. 4.不定方程23725170x xy x y +---=的全部正整数解(,)x y 的组数为（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 【答案】（B ）

2017全国初中数学联赛初二卷

2017年全国初中数学联合竞赛试题初二卷 第一试 一、选择题：（本题满分42分，每小题7分） 1.已知实数a,b,c满足2a+13b+3c=90，3a+9b+c=72，则3 2 b c a b + + 的值为（）. A.2 B.1 C.0 D.-1 2.已知实数a,b,c满足a+b+c=1， 111 135 a b c ++= +++ ，则(a+1)2+(b+3)2+(c+5)2的值为（）. A.125 B.120 C.100 D.81 3.若正整数a,b,c满足a≤b≤c且abc=2(a+b+c)，则称(a,b,c)为好数组.那么好数组的个数为（）. A.4 B.3 C.2 D.1 4.已知正整数a,b,c满足a2-6b-3c+9=0，-6a+b2+c=0，则a2+b2+c2的值为（）. A.424 B.430 C.441 D.460 5.梯形ABCD中，AD∥BC，AB=3，BC=4，CD=2，AD=1，则梯形的面积为（）. C. D. 6.如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，点E在AB上，若AE=42，BE=28，BC=70，∠DCE=45°，则DE的值为（）. A.56 B.58 C.60 D.62 二、填空题：（本题满分28分，每小题7分） 7.a的值为________. 8.已知△ABC的三个内角满足A＜B＜C＜100°.用θ表示100°-C,C-B,B-A中的最小者，则θ的最大值为 ________. 9.设a,b是两个互质的正整数，且 3 8ab p a b = + 为质数.则p的值为________.

10.20个都不等于7的正整数排成一行，若其中任意连续若干个数之和都不等于7，则这20个数之和的最小值为________. 第二试 一、（本题满分20分）设A,B是两个不同的两位数，且B是由A交换个位数字和十位数字所得，如果A2-B2是完全平方数，求A的值. 二、（本题满分25分）如图，△ABC中，D为BC的中点，DE平分∠ADB，DF平分∠ADC，BE⊥DE，CF⊥DF，P 为AD与EF的交点.证明：EF=2PD. 三、（本题满分25分）已知a,b,c为有理数，求 222 a b c a b c ++ ++ 的最小值.

2016年初中数学全国联赛试题及解析

2016年全国初中数学联赛（决赛）试题 第 1 页 2016年初中数学全国联合竞赛试题 第一试 (3月20日上午8:30 - 9:30) 一、选择题(满分42分，每小题7分) 1.用[]x 表示不超过x 的最大整数，把[]x x -称为x 的小数部分.已知23t = -a 是t 的小数部分，b 是t -的小数部分，则112b a -= ( ) .A 12 .B 32 .C 1 .D 3 2.3种图书的单 价分别 为10元、15元和20元，某学 校计划恰 好用500元购买上述图书 3 0本，那么不同的购 书 方 案 有( ) .A 9种 .B 10种 .C 11种 .D 12种 3(A). 如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的立方差，则称这个正整数为“和谐数”.如：3333 21(1),2631,=--=- 2和26均为“和谐数”.那么，不超过2016的正整数中，所有的“和谐数”之和为 ( ) .A 6858 .B 6860 .C 9260 .D 9262 3(B ）.已知二次函数21(0)y ax bx a =++≠的图象的顶点在第二象限，且过点(1,0).当a b -为整数时，ab = ( ) .A 0 .B 14 .C 34 - .D 2- 4.已知O e 的半径OD 垂直于弦AB ,交AB 于点C ，连接AO 并延长交O e 于点E ,若8,AB =2CD =,则BCE ?的面积为 ( ) .A 12 .B 15 .C 16 .D 18 5.如图，在四边形ABCD 中，090BAC BDC ∠=∠=，5AB AC ==1CD =,对角 线的交点为M ，则DM = ( ) .A 32 .B 53 .C 22 .D 12 6.设实数,,x y z 满足1,x y z ++= 则23M xy yz xz =++的最大值为 ( )

2014年全国初中数学竞赛试题及答案

初三数学竞赛试题中国教育学会中学数学教学专业委员会 2014年全国初中数学竞赛试题 题号 一 二 三 总分 1～5 6～10 11 12 13 14 得分 评卷人 复查人 答题时注意： 1．用圆珠笔或钢笔作答； 2．解答书写时不要超过装订线； 3．草稿纸不上交． 一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分．每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的．请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）

1．设非零实数，，满足则的值为（）．（A） （B） （C） （D） 2．已知关于的不等式组 恰有个整数解，则的取值范围是（）．（A）＜＜ （B）≤＜ （C）＜≤ （D）≤≤ （A）OD （B）OE （C）DE （D）AC （A）3 （B）4 （C）6 （D）8

5．对于任意实数x，y，z，定义运算“*”为： ， 且，则的值为（）． （A） （B） （C） （D） 二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分） 6．设，是的小数部分，是的小数部分，则的值为． 7．一个质地均匀的正方体的六个面上分别标有数1，2，3，4，5，6．掷这个正方体三次，则其朝上的面的数和为3的倍数的概率是． 8．已知正整数a，b，c满足，，则的最大值为． 11．如图，抛物线，顶点为E，该抛物线与轴交于A，B两点，与轴交于点C，且OB＝OC＝3OA．直线与轴交于点D．求∠DBC∠CBE． 12．设△的外心、垂心分别为，若共圆，对于所有的△，求所有可能的度数． 14．如果将正整数M放在正整数m左侧，所得到的新数可被7整除，那么称M为m的“魔术数”（例如，把86放在415的左侧，得到的数86415能被7整除，所以称86为415的魔术数）．求正整数n的最小值，使得存在互不相同的正整数，满足对任意一个正整数m，在中都至少有一个为m的魔术数． 中国教育学会中学数学教学专业委员会 2013年全国初中数学竞赛试题参考答案 一、选择题 1．A

2019年全国初中数学竞赛试题及答案

中国教育学会中学数学教学专业委员会 “《数学周报》杯”2019年全国初中数学竞赛试题 一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分.其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分） 1．若 20 10a b b c ==，，则a b b c ++的值为（ ）． （A ）1121 （B ）2111 （C ）11021 （D ）21011 解：D 由题设得12012101111110 a a b b c b c b +++===+++． 2．若实数a ，b 满足21202 a a b b -++=，则a 的取值范围是 （ ）． （A ）a ≤2- （B ）a ≥4 （C ）a ≤2-或 a ≥4 （D ）2-≤a ≤4 解．C 因为b 是实数，所以关于b 的一元二次方程21202b ab a -+ += 的判别式 21()41(2)2a a ?--??+＝≥0,解得a ≤2-或 a ≥4． 3．如图，在四边形ABCD 中，∠B ＝135°，∠C ＝120°，AB =BC =4-CD ＝AD 边的长为（ ）． （A ） （B ）64 （C ）64+ （D ）622+ 解：D 如图，过点A ，D 分别作AE ，DF 垂直于直线BC ，垂足分别为E ， F ． 由已知可得 BE =AE ，CF ＝DF ＝ ， 于是 EF ＝4 ． 过点A 作AG ⊥DF ，垂足为G ．在Rt △ADG 中，根据勾股定理得 AD == 2+ 4．在一列数123x x x ，，，……中，已知11=x ，且当k ≥2时，1121444k k k k x x -?--?????=+-- ?????? ?????

全国初中数学竞赛试题及答案(1999年)[1]

1999年全国初中数学联合竞赛试卷 第一试（4月4日上午8:30--9:30） 考生注意：本试两大题共10道小题，每题7分。全卷满分70分。 一、选择题（本题满分42分，每小题7分） 本题共有6个小题，每小题都给出了（A）、（B）、（C）、（D）四个结论，其中只有一个是正确的，请把你认为正确结论的代表字母写在题后的圆括号内。每小题选对得7分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在圆括号内），一律得0分。 1、计算的值是（）。 （A）1；（B）－1；（C）2；（D）－2。 2、△ABC的周长是24，M是AB的中点，MC＝MA＝5，则△ABC的面积是（）。（A）12；（B）16；（C）24；（D）30。 3、设，将一次函数与的图象画在同一平面直角坐标系内，则有一组的取值，使得下列4个图中的一个为正确的是（）。

4、若函数，则当自变量取1、2、3、…、100这100个自然数时，函数值的和是（）。 （A）540；（B）390；（C）194；（D）97。 5、如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AB＝998，DC＝1001，AD＝1999，点P 在线段AD上，则满足条件∠BPC＝90°的点P的个数为（）。 （A）0；（B）1；（C）2；（D）不小于3的整数。 6、有下列三个命题：（甲）若是不相等的无理数，则是无 理数；（乙）若是不相等的无理数，则是无理数；（丙）若是不相等的无理数，则是无理数。其中正确命题的个数是（）。（A）0；（B）1；（C）2；（D）3。 二、填空题（本题满分28分，每小题7分） 本题共有4道小题，要求直接把答案写在横线上。 1、已知且，则＝________。 2、如图，在△ABC中，∠B＝36°，∠ACB＝128°，∠CAB的平分线交BC于M，△ABC的外接圆的切线AN交BC的延长线于N，则△ANM的最小角等于________。

2019年全国初中数学联赛试题及详解

2019年全国初中数学联合竞赛试题及详解 第一试 一、选择题：（本题满分42分，每小题7分） 1. 若,,a b c 均为整数且满足1010()()1a b a c -+-=，则||||||a b b c c a -+-+-= （ B ） A ．1. B ．2. C ．3. D ．4. 解： 由已知可推得011a b b c a c -=??-=±?-=±? 或 110 a b b c a c -=±??-=±?-=?，分别代入即得。 2．若实数,,a b c 满足等式3||6b =，9||6b c =，则c 可能取的最大值为 （ C ） A ．0. B ．1. C ．2. D ．3. 解：由已知，693)15121512c b b b b ==-=-≤，∴2c ≤. 3．若b a ,是两个正数，且 ,0111=+-+-a b b a 则 （ C ） A ．103a b <+≤. B ．113a b <+≤. C ．413a b <+≤. D ．423 a b <+≤. 解：当a b =时，可计算得23a b ==，从而43a b +=。观察4个选项，只能选C. 4．若方程2310x x --=的两根也是方程420x ax bx c +++=的根，则2a b c +-的值为 （ A ） A ．－13. B ．－9. C ．6. D ． 0. 解：由已知：42x ax bx c +++一定能被231x x --整除。 ∵4222(31)(310)[(333)(10)]x ax bx c x x x x a a b x a c +++=--+++++++++ ∴(333)(10)0a b x a c +++++=，故3330213100 a b a b c a c ++=??+-=-?++=? 5．在△ABC 中，已知?=∠60CAB ，D ，E 分别是边AB ，AC 上的点，且?=∠60AED ，CE DB ED =+，CDE CDB ∠=∠2,则=∠DCB ( B ) A ．15°. B ．20°. C ．25°. D ．30°. 解：如图，由已知，ADE 是正三角形。作BF ∥DE 交 AC 于F ，则BD ＝EF ，从而EC ＝DE+BD ＝AB ＝BF ，DE ＝FC ， 又∠1＝∠2＝120○ ，故ΔEDC ≌ΔFCB .故x θ?+=. ∵∠CDB ＝2?，∠BDE ＝120○ ，∴40?=，故 40x θ+= 由406020θ?θθ+=+=?=，得：20x =.

2014年全国初中数学联赛

第2题图 D A C B 第4题图 D A C B 2014年全国初中数学联赛(初三组)初赛试卷 班级：: 姓名： 成绩： 考生注意： 1、本试卷共五道大题，全卷满分140分； 2、不能使用计算器。 一、选择题（本题满分42分，每小题7分） 1、某件商品的标价为13200元，若以8折降价出售，仍可获利10%（相对于进货价），则该商品的进货价是（ ） A 、9504元 B 、9600元 C 、9900元 D 、10000元 2、如图，在凸四边形ABCD 中，BD BC AB ==，?=∠80ABC ，则ADC ∠等于（ ） A 、?80 B 、?100 C 、?140 D 、?160 3、如果方程()()0422=+--m x x x 的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么，实数m 的取值范围是（ ） A 、04m <≤ B 、3≥m C 、4≥m D 、34m <≤ 4、如图，梯形ABCD 中，CD AB //，?=∠60BAD ，?=∠30ABC ，6=AB 且CD AD =，那么 BD 的长度是（ ） A 、7 B 、4 C 、72 D 、24 5、如果20140a -<<，那么|2014||2014|||+-+++-a x x a x 的最小值是（ ） A 、2014 B 、2014+a C 、4028 D 、4028+a 6、方程()y x y xy x +=++322的整数解有（ ） A 、3组 B 、4组C 、5组 D 、6组 二、填空题（本大题满分28分，每小题7分） 1、如图，扇形AOB 的圆心角?=∠90AOB ，半径为5，正方形CDEF 内接于该扇形，则正方形CDEF 的边长为 ． D F E O A C B

全国初中数学联赛试题及答案

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2010年全国初中数学联合竞赛试题 第一试 一、选择题：（本题满分42分，每小题7分） 1. 若,,a b c 均为整数且满足1010()()1a b a c -+-=，则||||||a b b c c a -+-+-= （ B ） A ．1. B ．2. C ．3. D ．4. 2．若实数,,a b c 满足等式3||6b =，9||6b c =，则c 可能取的最大值为 （ C ） A ．0. B ．1. C ．2. D ．3. 3．若b a ,是两个正数，且 ,011 1=+- +-a b b a 则 （ C ） A ．1 03a b <+≤. B ．1 13a b <+≤. C ．413a b <+≤. D ．4 23a b <+≤. 4．若方程2310x x --=的两根也是方程420x ax bx c +++=的根，则2a b c +-的值为 （ A ） A ．－13. B ．－9. C ．6. D ． 0. 5．在△ABC 中，已知?=∠60CAB ，D ，E 分别是边AB ，AC 上的点，且?=∠60AED ， CE DB ED =+，CDE CDB ∠=∠2,则=∠DCB ( B ) A ．15°. B ．20°. C ．25°. D ．30°. 6．对于自然数n ，将其各位数字之和记为n a ，如2009200911a =+++=， 201020103a =+++=，则12320092010a a a a a +++++= （ D ） A ．28062. B ．28065. C ．28067. D ．28068. 二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）

2014年全国初中数学竞赛试题和答案解析

2014年全国初中数学竞赛试题和答案解析 一、选择题：（本题满分42分，每小题7分） 1．已知,x y 为整数，且满足22441 111211 ()()()3x y x y x y + +=--，则x y +的可能的值有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答】 C. 由已知等式得2244 224423x y x y x y xy x y x y ++-?=?，显然,x y 均不为0，所以x y +＝0或32()xy x y =-. 若32()xy x y =-，则(32)(32)4 x y +- =-.又,x y 为整数，可求得12, x y =-??=?， 或21.x y =-??=? ， 所以1x y +=或1x y +=-. 因此，x y +的可能的值有3个. 2．已知非负实数,,x y z 满足1x y z ++=，则22t xy yz zx =++的最大值为 （ ） A ． 47 B ．59 C ．916 D ．12 25 【答】 A. 21 222()2()()4 t xy yz zx x y z yz x y z y z =++=++≤+++ 212(1)(1)4x x x =-+-2731424x x =-++2734 ()477x =--+， 易知：当37x =，27y z ==时，22t xy yz zx =++取得最大值4 7 . 3．在△ABC 中，AB AC =，D 为BC 的中点，BE AC ⊥于E ，交AD 于P ，已知 3BP =，1PE =，则AE ＝ （ ） A B C D 【答】 B . 因为AD BC ⊥，BE AC ⊥，所以,,,P D C E 四点共圆，所以12BD BC BP BE ?=?=，又2BC BD = ，所以BD = DP =.

全国数学联赛初中数学试题及答案---打印版

全国初中数学竞赛试题 班级 姓名 成绩 一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分. 每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分） 1．设非零实数a ，b ，c 满足2302340a b c a b c ++=??++=? ，，则222 ab bc ca a b c ++++的值为（ ）． （A ）12 - （B ）0 （C ）12 （D ）1 2．已知a ，b ，c 是实常数，关于x 的一元二次方程2 0ax bx c ++=有两个非零实根1x ，2x ，则下列关于x 的一元二次方程中，以 211x ，22 1 x 为两个实根的是（ ）． （A ）2 2 2 2 (2)0c x b ac x a +-+= （B ）2 2 2 2 (2)0c x b ac x a --+= （C ）2 2 2 2 (2)0c x b ac x a +--= （D ）2 2 2 2 (2)0c x b ac x a ---= 3．如图，在Rt △ABC 中，已知O 是斜边AB 的中点，CD ⊥AB ，垂足为D ，DE ⊥OC ，垂足为E ．若AD ，DB ，CD 的长度都是有理数，则线段OD ，OE ，DE ，AC 的长度中，不一定．．．是有理数的为（ ）． （A ）OD （B ）OE （C ）DE （D ）AC 4．如图，已知△ABC 的面积为24，点D 在线段AC 上，点F 在线段BC 的延长线上，且4BC CF =，DCFE 是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（ ）． （A ）3 （B ）4 （C ）6 （D ）8 （第3题） （第4题）