2007年高考.全国Ⅱ卷.文科数学试题及解答

2007年普通高等学校招生全国统一考试试题卷

文科数学(必修+选修I)

注意事项:

1 本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.共4页,总分150分考试时间120分钟.

2 答题前，考生须将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在本试题卷指定的位置上。

3 选择题的每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上的对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮

擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上。

4 非选择题必须使用0.5毫米的黑色字迹的签字笔在答题卡上书写，字体工整，笔迹清楚。

5 非选择题必须按照题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，超出答题区域或在其它题的答题

区域内书写的答案无效；在草稿纸、本试题卷上答题无效。 6 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I 卷（选择题）

本卷共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的。

参考公式：

如果事件A 、B 互斥，那么

P （A+B ）=P （A ）+P （B ） 如果事件A 、B 相互独立，那么

P （A ·B ）=P （A ）·P （B ）

如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么

n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率

P n (k)=C k

n

P k (1－P)n －

k

一．选择题 1. cos3300 =

(A)

2

1 (B) 2

1-

(C) 23

(D) 2

3

-

2.设集合U={1,2,3,4},A={1,2},B={2,4},则C U (A ∪B)= (A) {2} (B){3} (C) {1,2,4} (D) {1,4}

3.函数f(x)=|sinx|的一个单调递增区间是 (A)???

?

?-

4,4ππ (B) ???

?

?43,4ππ

(C) ??? ?

?

23,

ππ (D) ??

? ??ππ2,23

4.以下四个数中的最大者是

(A) (ln2)2

(B) ln(ln2)

(C) ln 2

(D) ln2

5．不等式

2

03

x x ->+的解集是（ ） A ．(32)-， B ．(2)+∞，

C ．(3)(2)-∞-+∞U ，，

D ．(2)(3)-∞-+∞U ，，

6.在?ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若=2，=

3

1

λ+,则λ= 球的表面积公式

S=42

R π

其中R 表示球的半径， 球的体积公式

V=334R π，

其中R 表示球的半径

(A)

3

2 (B)

3

1 (C)3

1-

(D) 3

2-

7.已知正三棱锥的侧棱长与底面边长的2倍，则侧棱与底面所成角的余弦值等于

(A)6

3 (B)

4

3 (C)

2

2 (D)

2

3

8．已知曲线24x y =的一条切线的斜率为1

2

，则切点的横坐标为

(A)1

(B) 2

(C) 3

(D) 4

9．把函数y =e x 的图象按向量a =(2,0)平移，得到y =f (x )的图象，则f (x )=

(A) e x +2 (B) e x -2 (C) e x -2 (D) e x +2

10.5位同学报名参加两上课外活动小组,每位同学限报其中的一个小组,则不同的报名方法共有

(A)10种 (B) 20种 (C) 25种 (D) 32种

11．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍,则椭圆的离心率为

(A)

3

1 (B)

3

3 (C)

2

1 (D)

2

3

12.设F 1,F 2分别是双曲线19

y x 2

2

=-的左右焦点，若点P 在双曲线上,且0PF PF 21=?，=+ (A)10 (B)210 (C)5 (D) 25

第II 卷（非选择题）

本卷共10题，共90分。

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13． 一个总体含有100个个体,以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为5的样本,则指定的某个个体被抽到的概率为 ① .

14．已知数列的通项a n =-5n +2,则其前n 项和为S n = ② .

15．一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm 的球面上。如果正四棱柱的底面边长为1cm ，那么该棱柱的表面积为 ③ cm 2.

16.（1+2x 2）(1+)8的展开式中常数项为 ④ 。（用数字作答）

三．解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17. （本小题满分10分）设等比数列 {a n }的公比q <1,前n 项和为S n .已知a 3=2,S 4=5S 2,求{a n }的通项公式.

18. （本小题满分12分）在 ?ABC 中，已知内角A=

3

π

,边 BC=23,设内角B=x , 周长为y （1）求函数y =f (x )的解析式和定义域； （2）求y 的最大值

19. （本小题满分12分）从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件，假设事件A ：“取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率P （A ）=0.96 (1)求从该批产品中任取1件是二等品的概率p ;

（2）若该批产品共有100件，从中任意抽取2件，求事件B:?取出的2件产品中至少有一件二等品 的概率P （B ）。

20. （本小题满分12分）如图，在四棱锥S -ABCD 中，底面ABCD 为正方形，侧棱SD ⊥ 底面ABCD ，E 、F 分别是AB 、SC 的中点.

(Ⅰ)求证：EF ∥ 平面SAD

(Ⅱ)设SD = 2CD ，求二面角A -EF -D 的大小.

21．（本小题满分12分）在直角坐标系xOy 中，以O 为圆心的圆与直线：x -3y =4相切 （1）求圆O 的方程 （2）圆O 与x 轴相交于A 、B 两点，圆内的动点P 使|P A |、|PO |、|PB |成等比数列，求PA PB ?u u u r u u u r

的取值范围。

A B C D S

E

F

22．（本小题满分12分）已知函数f (x )=3

1ax 3-bx 2

+(2-b)x +1 在x =x 1处取得极大值，在x =x 2处取得极小值，且00;

（2）若z =a +2b ,求z 的取值范围。

2007年普通高等学校招生全国统一考试

文科数学试题（必修+选修Ⅰ）参考答案

评分说明：

1． 本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容

比照评分参考制订相应的评分细则．

2． 对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度．可

视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

3． 解答右侧所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4． 只给整数分数．选择题和填空题不给中间分． 一、选择题 1．C 2．B 3．C 4．D 5．C 6．A 7．A 8．A 9．C 10．D 11．D 12．B 二、填空题

13．120

14．252

n n --

15

．2+

三、解答题

17．解：由题设知11(1)

01n n a q a S q

-≠=-，，

则212

1

41

2(1)5(1)11a q a q a q q q

?=-?=??--?-?

，． ②

由②得4215(1)q q -=-，22

(4)(1)0q q --=，(2)(2)(1)(1)0q q q q -+-+=， 因为1q <，解得1q =-或2q =-．

当1q =-时，代入①得12a =，通项公式1

2(1)n n a -=?-；

当2q =-时，代入①得112a =，通项公式1

1(2)2

n n a -=?-． 18．解：（1）ABC △的内角和A B C ++=π，由00A B C π=>>3，，得20B π

<<3

．

应用正弦定理，知

sin 4sin sin sin BC AC B x x A =

==3

，

2sin 4sin sin BC AB C x A π??==- ?3??

． 因为y AB BC AC =++，

所以224sin 4sin 03y x x x ππ???=+-+<< ??3???

， （2

）因为1

4sin sin 2y x x x ??=+++ ? ???

5x x ππ

ππ???=++<+< ??66

66???，

所以，当x ππ+=62，即x π

=3

时，y

取得最大值

19．（1）记0A 表示事件“取出的2件产品中无二等品”，

1A 表示事件“取出的2件产品中恰有1件二等品”．

则01A A ，互斥，且01A A A =+，故

01()()P A P A A =+

012

1

22

()()

(1)C (1)1P A P A p p p p =+=-+-=-

于是2

0.961p =-．

解得120.20.2p p ==-，（舍去）．

（2）记0B 表示事件“取出的2件产品中无二等品”， 则0B B =．

若该批产品共100件，由（1）知其中二等品有1000.220?=件，故2

8002100C 316

()C 495

P B ==．

00316179

()()1()1495495

P B P B P B ==-=-=

20．解法一：

（1）作FG DC ∥交SD 于点G ，则G 为SD 的中点．

连结12

AG FG CD

∥，，又CD AB ∥， 故FG AE AEFG

∥，为平行四边形． EF AG ∥，又AG ?平面SAD EF ?，平面SAD ． 所以EF ∥平面SAD ．

（2）不妨设2DC =，则42SD DG ADG ==，，△为等

腰直角三角形．

取AG 中点H ，连结DH ，则DH AG ⊥．

又AB ⊥平面SAD ，所以AB DH ⊥，而AB AG A =I ， 所以DH ⊥面AEF ．

取EF 中点M ，连结MH ，则HM EF ⊥．

F

S

H G

连结DM ，则DM EF ⊥．

故DMH ∠为二面角A EF D --的平面角

tan DH DMH HM ∠=

== 所以二面角A EF D --

的大小为．

解法二：（1）如图，建立空间直角坐标系D xyz -．

设(00)(00)A a S b ，，，，，，则(0)(00)B a a C a ，，，，，， 00222a a b E a F ???? ? ?????，，，，，， 02b EF a ??=- ???u u u r ，，． 取SD 的中点002b G ?? ???，，，则02b AG a ?

?=- ??

?u u u r ，，． EF AG EF AG AG =?u u u r u u u r

，∥，平面SAD EF ?，平面

所以EF ∥平面SAD ．

（2）不妨设(100)A ，，，则(11

0)(010)(00B C S ，，，，，，，EF 中点111111(222222M MD EF ????=---=- ? ?????u u u

u r u u u r ，，，

，，，又1002EA ??=- ???u u u r ，，，0EA EF EA EF ?=u u

u r u u u r ，⊥， 所以向量MD u u u u r 和EA u u u r

的夹角等于二面角A EF D --的平面角．

cos 3MD EA MD EA MD EA

?<>==

?u u u u r u u u r

u u u u r u u u r u u u u r u u u r ，． 所以二面角A EF D --的大小为arccos

3

． 21．解：（1）依题设，圆O 的半径r 等于原点O 到直线4x -=的距离，

即 2r =

=． 得圆O 的方程为22

4x y +=．

（2）不妨设1212(0)(0)A x B x x x <，，

，，．由24x =即得

(20)(20)A B -，，，．

设()P x y ，，由PA PO PB ，，成等比数列，得

22x y =+，

即 2

2

2x y -=． (2)(2)PA PB x y x y ?=---?--u u u r u u u r

，，

222

42(1).

x y y =-+=-

由于点P 在圆O 内，故222242.

x y x y ?+

由此得2

1y <． 所以PA PB u u u r u u u r

g 的取值范围为[20)-，．

22．解：求函数()f x 的导数2

()22f x ax bx b '=-+-．

（Ⅰ）由函数()f x 在1x x =处取得极大值，在2x x =处取得极小值，知12x x ，是()0f x '=的两个根． 所以12()()()f x a x x x x '=--

当1x x <时，()f x 为增函数，()0f x '>，由10x x -<，20x x -<得0a >．

（Ⅱ）在题设下，12012x x <<<<等价于(0)0(1)0(2)0f f f '>??'? 即202204420b a b b a b b ->??

-+-?

．

化简得203204520b a b a b ->??

-+?

．

此不等式组表示的区域为平面aOb 上三条直线：203204520b a b a b -=-+=-+=，，．

所围成的ABC △的内部，其三个顶点分别为：46(22)(42)77A B C ??

???

，，，，

，． z 在这三点的值依次为16687，，． 所以z 的取值范围为1687??

???

，．

b a

2 1

2 4

O 4677A ??

???

， (42)C ， (22)B ，