复数经典例题doc
一、复数选择题
1．在复平面内，复数534i
i
-（i 为虚数单位）对应的点的坐标为（ ） A ．()3,4
B ．()4,3-
C ．43,55??-
??
? D ．43,55??
-
???
2．若20212zi i =+，则z =（ ） A ．12i -+ B ．12i --
C ．12i -
D ．12i +
3．
212i
i
+=-（ ） A ．1
B ．?1
C ．i -
D ．i
4．若复数z 为纯虚数，且()373z i m i -=+，则实数m 的值为（ ） A ．97
-
B ．7
C ．
97
D ．7-
5．复数z 满足12i z i ?=-，z 是z 的共轭复数，则z z ?=（ ）
A B C ．3
D ．5
6．已知复数5i
5i 2i
z =+-，则z =（ ）
A B ．C ．D ．
7．设复数z 满足方程4z z z z ?+?=，其中z 为复数z 的共轭复数，若z ，则z 为（ ）
A ．1
B
C ．2
D ．4
8．若复数()4
1i 34i
z +=
+，则z =（ ）
A ．
4
5
B ．
35
C ．
25
D ．
5
9．复数z 满足22z z i +=，则z 在复平面上对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
10．复数2i
i -的实部与虚部之和为（ ） A ．
35 B ．15- C ．15
D ．
3
5
11．复数112z i =+，21z i =+（i 为虚数单位），则12z z ?虚部等于（ ）． A ．1-
B ．3
C ．3i
D ．i -
12．设a +∈R ，复数()()()
24
2
121i i z ai ++=-，若1z =，则a =（ ）
A ．10
B ．9
C ．8
D ．7
13．复数()()212z i i =-+在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
14．复数21i
i
+的虚部为（ ） A ．1-
B ．1
C ．i
D ．i -
15．设复数z 满足(1)2i z -=，则z ＝（ ）
A ．1
B
C D ．2
二、多选题
16．i 是虚数单位，下列说法中正确的有（ ） A ．若复数z 满足0z z ?=，则0z =
B ．若复数1z ，2z 满足1212z z z z +=-，则120z z =
C ．若复数()z a ai a R =+∈，则z 可能是纯虚数
D ．若复数z 满足234z i =+，则z 对应的点在第一象限或第三象限 17．若复数351i
z i
-=-，则（ ）
A ．z =
B ．z 的实部与虚部之差为3
C ．4z i =+
D ．z 在复平面内对应的点位于第四象限
18．已知复数z 满足2
20z z +=，则z 可能为（ ）. A ．0
B ．2-
C ．2i
D ．2i+1-
19．已知复数122
z =-+（其中i 为虚数单位，，则以下结论正确的是（ ）． A ．2
0z
B ．2z z =
C ．31z =
D ．1z =
20．若复数z 满足()234z i i +=+（i 为虚数单位），则下列结论正确的有（ ）
A ．z 的虚部为3
B ．z =
C ．z 的共轭复数为23i +
D ．z 是第三象限的点
21．已知复数z 满足2724z i =--，在复平面内，复数z 对应的点可能在（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
22．已知复数1cos 2sin 22
2z i π
πθθθ??=++-
<< ???（其中i 为虚数单位），则（ ）
A ．复数z 在复平面上对应的点可能落在第二象限
B ．z 可能为实数
C ．2cos z θ=
D ．
1
z 的实部为12
- 23．下列说法正确的是（ ） A ．若2z =，则4z z ?=
B ．若复数1z ，2z 满足1212z z z z +=-，则120z z =
C ．若复数z 的平方是纯虚数，则复数z 的实部和虛部相等
D ．“1a ≠”是“复数()()
()2
11z a a i a R =-+-∈是虚数”的必要不充分条件
24．已知复数12ω=-（i 是虚数单位），ω是ω的共轭复数，则下列的结论正确的
是（ ） A ．2ωω=
B ．31ω=-
C ．210ωω++=
D ．ωω>
25．对于复数(,)z a bi a b R =+∈，下列结论错误．．的是（ ）. A ．若0a =，则a bi +为纯虚数 B ．若32a bi i -=+，则3,2a b == C ．若0b =，则a bi +为实数 D ．纯虚数z 的共轭复数是z -
26．以下命题正确的是（ ）
A ．0a =是z a bi =+为纯虚数的必要不充分条件
B ．满足210x +=的x 有且仅有i
C ．“在区间(),a b 内()0f x '>”是“()f x 在区间(),a b 内单调递增”的充分不必要条件
D ．已知()f x =()1878
f x x '=
27．（多选）()()321i i +-+表示( ) A ．点()3,2与点()1,1之间的距离 B ．点()3,2与点()1,1--之间的距离 C ．点()2,1到原点的距离
D ．坐标为()2,1--的向量的模
28．对任意1z ，2z ，z C ∈，下列结论成立的是（ ） A ．当m ，*n N ∈时，有m n m n z z z +=
B ．当1z ，2z
C ∈时，若22
12
0z z +=，则10z =且20z = C ．互为共轭复数的两个复数的模相等，且22||||z z z z ==? D ．12z z =
的充要条件是12=z z
29．设(
)(
)
2
2
25322z t t t t i =+-+++，t ∈R ，i 为虚数单位，则以下结论正确的是（ ）
A ．z 对应的点在第一象限
B ．z 一定不为纯虚数
C ．z 一定不为实数
D ．z 对应的点在实轴的下方
30．已知复数i z a b =+(a ,b ∈R ,i 为虚数单位),且1a b +=,下列命题正确的是( )
A ．z 不可能为纯虚数
B ．若z 的共轭复数为z ,且z z =,则z 是实
数
C ．若||z z =,则z 是实数
D ．||z 可以等于
12
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一、复数选择题 1．D 【分析】
运用复数除法的运算法则化简复数的表示，最后选出答案即可. 【详解】 因为，
所以在复平面内，复数（为虚数单位）对应的点的坐标为. 故选：D 解析：D 【分析】
运用复数除法的运算法则化简复数534i
i
-的表示，最后选出答案即可. 【详解】
因为
55(34)152043
34(34)(34)2555
i i i i i i i i ?+-===-+--+， 所以在复平面内，复数534i i -（i 为虚数单位）对应的点的坐标为43,55??
- ???
. 故选：D
2．C 【分析】
根据复数单位的幂的周期性和复数除法的运算法则进行求解即可. 【详解】
由已知可得，所以. 故选：C
解析：C 【分析】
根据复数单位i 的幂的周期性和复数除法的运算法则进行求解即可. 【详解】
由已知可得202150541222(2)21
121
i i i i i i z i i i i i i ?+++++?-======-?-，所以12z i =-. 故选：C
3．D 【分析】
利用复数的除法运算即可求解. 【详解】 ， 故选：D
解析：D 【分析】
利用复数的除法运算即可求解. 【详解】
()()()()22
21222255121212145
i i i i i i
i i i i i +++++====--+-， 故选：D
4．B 【分析】
先求出，再解不等式组即得解. 【详解】 依题意，，
因为复数为纯虚数， 故，解得. 故选：B 【点睛】
易错点睛：复数为纯虚数的充要条件是且，不要只写.本题不能只写出，还要写上.
解析：B 【分析】 先求出32179
5858m m z i -+=+，再解不等式组3210790m m -=??+≠?
即得解.
【详解】 依题意，()()()()337332179
3737375858
m i i m i m m z i i i i +++-+=
==+--+， 因为复数z 为纯虚数， 故3210
790m m -=??
+≠?
，解得7m =.
故选：B 【点睛】
易错点睛：复数(,)z a bi a b R =+∈为纯虚数的充要条件是0a =且0b ≠，不要只写0b ≠.本题不能只写出790m +≠，还要写上3210m -=.
5．D 【分析】
求出复数，然后由乘法法则计算． 【详解】 由题意， ． 故选：D ．
解析：D 【分析】
求出复数z ，然后由乘法法则计算z z ?． 【详解】 由题意121
22i z i i i
-=
=-+=--， 22(2)(2)(2)5z z i i i ?=---+=--=．
故选：D ．
6．B 【分析】
根据复数的四则运算法则及模的计算公式，即可得到选项. 【详解】 由题，得，所以. 故选：B.
解析：B 【分析】
根据复数的四则运算法则及模的计算公式，即可得到选项. 【详解】
由题，得()()()
5i 2+i 5i
5i 5i 1+7i 2i 2i 2+i z =+=+=---，所以z == 故选：B.
7．B 【分析】
由题意，设复数，根据共轭复数的概念，以及题中条件，即可得出结果. 【详解】
因为的实部为，所以可设复数，
则其共轭复数为，又， 所以由，可得，即，因此. 故选：B.
解析：B 【分析】
由题意，设复数(),z yi x R y R =∈∈，根据共轭复数的概念，以及题中条件，即可得出结果. 【详解】
因为z
，所以可设复数(),z yi x R y R =∈∈，
则其共轭复数为z yi =
，又z z =，
所以由4z z z z ?+?=，可得()4z z z ?+=
，即4z ?=
，因此z =
故选：B.
8．A 【分析】
首先化简复数，再计算求模. 【详解】 ， . 故选：A
解析：A 【分析】
首先化简复数z ，再计算求模. 【详解】
()()()2
24
2112434343434i i i z i i i i
??++??====-
++++ ()()()
()4344341216
3434252525i i i i i --=-
=-=-++-，
45z ∴==.
故选：A
9．B 【分析】
先设复数，根据复数模的计算公式，以及复数相等，求出，得出复数，再由复数的几何意义，即可得出结果.
【详解】 设复数， 由得， 所以，解得，
因为时，不能满足，舍去； 故，所以，其对应的
解析：B 【分析】
先设复数(),z x yi x R y R =+∈∈，根据复数模的计算公式，以及复数相等，求出,x y ，得出复数，再由复数的几何意义，即可得出结果. 【详解】
设复数(),z x yi x R y R =+∈∈，
由22z z i +=
得222x yi i +=，
所以2022
x y ??+=?=??
，解得31x y ?=±
???=?
，
因为1x y ?=???=?
时，不能满足20x =，舍去；
故1x y ?=???=?
z i =+
，其对应的点?? ? ???位于第二象限， 故选：B.
10．C 【分析】
利用复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【详解】
，的实部与虚部之和为. 故选：C 【点睛】
易错点睛：复数的虚部是，不是.
解析：C 【分析】
利用复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【详解】
()()()2+1212222+555i i i i i i i i -+===-+--，2i i ∴-的实部与虚部之和为121555
-+=. 故选：C 【点睛】
易错点睛：复数z a bi =+的虚部是b ，不是bi .
11．B 【分析】
化简，利用定义可得的虚部． 【详解】
则的虚部等于 故选：B
解析：B 【分析】
化简12z z ?，利用定义可得12z z ?的虚部． 【详解】
()()1212113z z i i i ?=+?+=-+
则12z z ?的虚部等于3 故选：B
12．D 【分析】
根据复数的模的性质求模，然后可解得． 【详解】 解：，解得. 故选：D ． 【点睛】
本题考查复数的模，掌握模的性质是解题关键．设复数，则， 模的性质：，，．
解析：D
【分析】
根据复数的模的性质求模，然后可解得a ． 【详解】
解：()()()
(
)
2
4
24
24
2
2
2
2
121250
1111i i i i a
ai ai
++++=
=
=
=+--，解得7a =. 故选：D ．
【点睛】
本题考查复数的模，掌握模的性质是解题关键．设复数(,)z a bi a b R =+∈
，则
z =
模的性质：1212z z z z =，(*)n
n
z z n N =∈，
11
22
z z z z =． 13．A 【分析】
利用复数的乘法化简复数，利用复数的乘法可得出结论. 【详解】 ，
因此，复数在复平面内对应的点位于第一象限. 故选：A.
解析：A 【分析】
利用复数的乘法化简复数z ，利用复数的乘法可得出结论. 【详解】
()()221223243z i i i i i =-+=+-=+，
因此，复数z 在复平面内对应的点位于第一象限. 故选：A.
14．B 【分析】
将分母乘以其共轭复数进行分母实数化，化成的代数形式即得结果. 【详解】 ，故虚部为1. 故选：B.
解析：B 【分析】
将分母乘以其共轭复数进行分母实数化，化成(),a bi a b R +∈的代数形式即得结果. 【详解】
22(1)
11(1)(1)
i i i i i i i -==+++-，故虚部为1. 故选：B.
15．B 【分析】
由复数除法求得，再由模的运算求得模． 【详解】
由题意，∴． 故选：B ．
解析：B 【分析】
由复数除法求得z ，再由模的运算求得模． 【详解】
由题意22(1)11(1)(1)
i z i i i i +=
==+--+，∴z == 故选：B ．
二、多选题 16．AD 【分析】
A 选项，设出复数，根据共轭复数的相关计算，即可求出结果；
B 选项，举出反例，根据复数模的计算公式，即可判断出结果；
C 选项，根据纯虚数的定义，可判断出结果；
D 选项，设出复数，根据题
解析：AD 【分析】
A 选项，设出复数，根据共轭复数的相关计算，即可求出结果；
B 选项，举出反例，根据复数模的计算公式，即可判断出结果；
C 选项，根据纯虚数的定义，可判断出结果；
D 选项，设出复数，根据题中条件，求出复数，由几何意义，即可判断出结果. 【详解】
A 选项，设(),z a bi a b R =+∈，则其共轭复数为(),z a bi a b R =-∈， 则220z z a b ?=+=，所以0a
b ，即0z =；A 正确；
B 选项，若11z =，2z i =，满足1212z z z z +=-，但12z z i =不为0；B 错；
C 选项，若复数()z a ai a R =+∈表示纯虚数，需要实部为0，即0a =，但此时复数
0z =表示实数，故C 错；
D 选项，设(),z a bi a b R =+∈，则()2
222234z a bi a abi b i =+=+-=+，
所以22324a b ab ?-=?=?
，解得21a b =??=?或21a b =-??=-?，则2z i =+或2z i =--，
所以其对应的点分别为()2,1或()2,1--，所以对应点的在第一象限或第三象限；D 正确. 故选：AD.
17．AD
【分析】
根据复数的运算先求出复数z ，再根据定义、模、几何意义即可求出. 【详解】 解：， ，
z 的实部为4，虚部为，则相差5，
z 对应的坐标为，故z 在复平面内对应的点位于第四象限，所以AD 正
解析：AD 【分析】
根据复数的运算先求出复数z ，再根据定义、模、几何意义即可求出. 【详解】 解：()()()()
351358241112i i i i
z i i i i -+--=
===---+，
z ∴==
z 的实部为4，虚部为1-，则相差5，
z 对应的坐标为()41-,，故z 在复平面内对应的点位于第四象限，所以AD 正确， 故选：AD.
18．AC 【分析】
令，代入原式，解出的值，结合选项得出答案． 【详解】 令，代入， 得，
解得，或，或， 所以，或，或. 故选：AC 【点睛】
本题考查复数的运算，考查学生计算能力，属于基础题．
解析：AC 【分析】
令()i ,z a b a b R =+∈，代入原式，解出,a b 的值，结合选项得出答案． 【详解】
令()i ,z a b a b R =+∈，代入2
20z z +=，
得222i 0a b ab -+=，
解得00a b =??=?，或02a b =??=?，或02a b =??=-?
，
所以0z =，或2i z =，或2i z =-. 故选：AC 【点睛】
本题考查复数的运算，考查学生计算能力，属于基础题．
19．BCD 【分析】
计算出，即可进行判断. 【详解】 ，
，故B 正确，由于复数不能比较大小，故A 错误； ，故C 正确； ，故D 正确. 故选：BCD. 【点睛】
本题考查复数的相关计算，属于基础题.
解析：BCD 【分析】
计算出2
3
,,,z z z z ，即可进行判断. 【详解】
122
z =-+，
2
2
1313
i i=2222z z ，故B 正确，由于复数不能比较大小，故A 错误； 3
3
131313i i i 12
2
2
2
2
2
z ，故C 正确；
2
2
1312
2
z
，故D 正确.
故选：BCD. 【点睛】
本题考查复数的相关计算，属于基础题.
20．BC 【分析】
利用复数的除法求出复数，利用复数的概念与几何意义可判断各选项的正误. 【详解】
，，所以，复数的虚部为，，共轭复数为，复数在复平面对应的点在第四象限. 故选：BD. 【点睛】 本题考
解析：BC 【分析】
利用复数的除法求出复数z ，利用复数的概念与几何意义可判断各选项的正误. 【详解】
()
234z i i +=+，34232i
z i i
+∴=
-=-+，所以，复数z 的虚部为3-，z =共轭复数为23i +，复数z 在复平面对应的点在第四象限. 故选：BD. 【点睛】
本题考查复数的四则运算、虚部、模、共轭复数以及几何意义，考查计算能力，属于基础题.
21．BD 【分析】
先设复数，根据题中条件，由复数的乘法运算，以及复数相等的充要条件求出，即可确定对应的点所在的象限. 【详解】 设复数， 则， 所以， 则，解得或，
因此或，所以对应的点为或， 因此复
解析：BD 【分析】
先设复数(),z a bi a b R =+∈，根据题中条件，由复数的乘法运算，以及复数相等的充要条件求出z ，即可确定对应的点所在的象限. 【详解】
设复数(),z a bi a b R =+∈， 则2222724z a abi b i =+-=--， 所以2222724z a abi b i =+-=--，
则227224
a b ab ?-=-?=-?，解得34a b =??=-?或34a b =-??=?，
因此34z i =-或34z i =-+，所以对应的点为()3,4-或()3,4-， 因此复数z 对应的点可能在第二或第四象限. 故选：BD. 【点睛】
本题主要考查判定复数对应的点所在的象限，熟记复数的运算法则，以及复数相等的条件即可，属于基础题型.
22．BC 【分析】
由可得，得，可判断A 选项，当虚部，时，可判断B 选项，由复数的模计算和余弦的二倍角公式可判断C 选项，由复数的运算得，的实部是，可判断D 选项. 【详解】
因为，所以，所以，所以，所以A 选
解析：BC 【分析】 由2
2
π
π
θ-
<<
可得2πθπ-<<，得01cos22θ<+≤，可判断A 选项，当虚部
sin 20θ=，,22ππθ??
∈-
??
?时，可判断B 选项，由复数的模计算和余弦的二倍角公式可判断C 选项，由复数的运算得11cos 2sin 212cos 2i z θθθ+-=+，1z 的实部是
1cos 21
22cos 22
θθ+=+，可判断D 选项. 【详解】 因为2
2
π
π
θ-
<<
，所以2πθπ-<<，所以1cos21θ-<≤，所以01cos22θ<+≤，
所以A 选项错误； 当sin 20θ=，,22ππθ??
∈-
???
时，复数z 是实数，故B 选项正确；
2cos z θ=
==，故C 选项正确：
()()111cos 2sin 21cos 2sin 21cos 2sin 21cos 2sin 21cos 2sin 212cos 2i i z i i i θθθθθθθθθθθ
+-+-===+++++-+，
1
z 的实部是
1cos 2122cos 22
θθ+=+，故D 不正确. 故选：BC 【点睛】
本题主要考查复数的概念，复数模的计算，复数的运算，以及三角恒等变换的应用，属于
中档题.
23．AD 【分析】
由求得判断A ；设出，，证明在满足时，不一定有判断B ；举例说明C 错误；由充分必要条件的判定说明D 正确. 【详解】
若，则，故A 正确； 设， 由，可得
则，而不一定为0，故B 错误； 当时
解析：AD 【分析】
由z 求得z z ?判断A ；设出1z ，2z ，证明在满足1212z z z z +=-时，不一定有120z z =判断B ；举例说明C 错误；由充分必要条件的判定说明D 正确. 【详解】
若2z =，则2
4z z z ?==，故A 正确；
设()11111,z a bi a b R =+∈，()22222,z a b i a b R =+∈ 由1212z z z z +=-，可得
()()()()222222
121212121212z z a a b b z z a a b b +=+++=-=-+-
则12120a a b b +=，而
()()121122121212121212122z z a bi a b i a a bb a b i b a i a a a b i b a i =++=-++=++不一定为0，故
B 错误；
当1z i =-时22z i =-为纯虚数，其实部和虚部不相等，故C 错误； 若复数()()
()2
11z a a i a R =-+-∈是虚数，则210a -≠，即1a ≠±
所以“1a ≠”是“复数()()
()2
11z a a i a R =-+-∈是虚数”的必要不充分条件，故D 正确；
故选：AD 【点睛】
本题考查的是复数的相关知识，考查了学生对基础知识的掌握情况，属于中档题.
24．AC 【分析】
根据复数的运算进行化简判断即可. 【详解】 解：∵所以，
∴，故A 正确， ，故B 错误， ，故C 正确，
虚数不能比较大小，故D 错误， 故选：AC. 【点睛】
本题主要考查复数的有关概念
解析：AC 【分析】
根据复数的运算进行化简判断即可. 【详解】
解：∵12ω=-所以12ω=--，
∴2131442ωω=
--=--=，故A 正确，
3
2
11131222244ωωω??????
==---+=--= ??? ???????，故B 错误，
2111102
2ωω++=--++=，故C 正确， 虚数不能比较大小，故D 错误， 故选：AC . 【点睛】
本题主要考查复数的有关概念和运算，结合复数的运算法则进行判断是解决本题的关键．属于中档题．
25．AB 【分析】
由复数的代数形式的运算，逐个选项验证可得． 【详解】 解：因为
当且时复数为纯虚数，此时，故A 错误，D 正确； 当时，复数为实数，故C 正确； 对于B ：，则即，故B 错误； 故错误的有AB
解析：AB 【分析】
由复数的代数形式的运算，逐个选项验证可得．
解：因为(,)z a bi a b R =+∈
当0a =且0b ≠时复数为纯虚数，此时z bi z =-=-，故A 错误，D 正确； 当0b =时，复数为实数，故C 正确；
对于B ：32a bi i -=+，则32a b =??-=?即3
2a b =??=-?
，故B 错误；
故错误的有AB ； 故选：AB 【点睛】
本题考查复数的代数形式及几何意义，属于基础题． 26．AC 【分析】
利用纯虚数的概念以及必要不充分条件的定义可判断A 选项的正误；解方程可判断B 选项的正误；利用导数与函数单调性的关系结合充分不必要条件的定义可判断C 选项的正误；利用基本初等函数的导数公式
解析：AC 【分析】
利用纯虚数的概念以及必要不充分条件的定义可判断A 选项的正误；解方程210x +=可判断B 选项的正误；利用导数与函数单调性的关系结合充分不必要条件的定义可判断C 选项的正误；利用基本初等函数的导数公式可判断D 选项的正误.综合可得出结论. 【详解】
对于A 选项，若复数z a bi =+为纯虚数，则0a =且0b ≠， 所以，0a =是z a bi =+为纯虚数的必要不充分条件，A 选项正确； 对于B 选项，解方程210x +=得x i =±，B 选项错误；
对于C 选项，当(),x a b ∈时，若()0f x '>，则函数()f x 在区间(),a b 内单调递增， 即“在区间(),a b 内()0f x '>”?“()f x 在区间(),a b 内单调递增”. 反之，取()3
f x x =，()2
3f x x '=，当()1,1x ∈-时，()0f x '≥，
此时，函数()y f x =在区间()1,1-上单调递增，
即“在区间(),a b 内()0f x '>”?/“()f x 在区间(),a b 内单调递增”.
所以，“在区间(),a b 内()0f x '>”是“()f x 在区间(),a b 内单调递增”的充分不必要条件. C 选项正确；
对于D 选项，()111
7248
8
f x x
x ++===，()1
8
78f x x -'∴=，D 选项错误.
故选：AC.
本题考查命题真假的判断，涉及充分条件与必要条件的判断、实系数方程的根以及导数的计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
27．ACD 【分析】
由复数的模的意义可判断选项A,B ；整理原式等于,也等于,即可判断选项C,D 【详解】
由复数的几何意义,知复数,分别对应复平面内的点与点,所以表示点与点之间的距离,故A 说法正确,B
解析：ACD 【分析】
由复数的模的意义可判断选项A,B ；整理原式等于2i +,也等于2i --,即可判断选项C,D 【详解】
由复数的几何意义,知复数32i +,1i +分别对应复平面内的点()3,2与点()1,1,所以
()()321i i +-+表示点()3,2与点()1,1之间的距离,故A 说法正确,B 说法错误；()()3212i i i +-+=+,2i +可表示点()2,1到原点的距离,故C 说法正确；
()()()()3211322i i i i i +-+=+-+=--,2i --可表示表示点()2,1--到原点的距
离,即坐标为()2,1--的向量的模,故D 说法正确, 故选:ACD 【点睛】
本题考查复数的几何意义,考查复数的模
28．AC 【分析】
根据复数乘法的运算律和复数的模及共轭复数的概念可判断出答案A 和C 正确；C 中可取，进行判断；D 中的必要不充分条件是. 【详解】
解：由复数乘法的运算律知，A 正确； 取，；，满足，但且不
解析：AC 【分析】
根据复数乘法的运算律和复数的模及共轭复数的概念可判断出答案A 和C 正确；C 中可取
11z =，2z i =进行判断；D 中12z z =的必要不充分条件是12=z z .
【详解】
解：由复数乘法的运算律知，A 正确；
取11z =，；2z i =，满足22
12
0z z +=，但10z =且20z =不成立，B 错误；
由复数的模及共轭复数的概念知结论成立，C 正确； 由12z z =
能推出12=z z ，但12||||z z =推不出12z z =， 因此12z z =的必要不充分条件是12=z z ，D 错误.
故选：AC 【点睛】
本题主要考查复数乘法的运算律和复数的基本知识以及共轭复数的概念，属于基础题.
29．CD 【分析】
利用配方法得出复数的实部和虚部的取值范围，结合复数的概念和几何意义可判断出各选项的正误，由此可得出结论. 【详解】 ，，
所以，复数对应的点可能在第一象限，也可能在第二象限，故A 错误
解析：CD 【分析】
利用配方法得出复数z 的实部和虚部的取值范围，结合复数的概念和几何意义可判断出各选项的正误，由此可得出结论. 【详解】
2
2549
492532488t t t ?+?= ???
+-->-，()2222110t t t ++=++>，
所以，复数z 对应的点可能在第一象限，也可能在第二象限，故A 错误；
当222530220
t t t t ?+-=?++≠?，即3t =-或1
2t =时，z 为纯虚数，故B 错误；
因为2220t t ++>恒成立，所以z 一定不为实数，故C 正确；
由选项A 的分析知，z 对应的点在实轴的上方，所以z 对应的点在实轴的下方，故D 正确. 故选：CD. 【点睛】
本题考查复数的几何意义与复数的概念相关命题真假的判断，解题的关键就是求出复数虚部和实部的取值范围，考查计算能力与推理能力，属于中等题.
30．BC 【分析】
根据纯虚数、共轭复数、复数的模、复数为实数等知识，选出正确选项. 【详解】
当时,,此时为纯虚数,A 错误;若z 的共轭复数为,且,则,因此,B 正确;由是实数,且知,z 是实数,C 正确;由
解析：BC
上海市2019届高三数学一轮复习典型题专项训练：复数与行列式
上海市2019届高三数学一轮复习典型题专项训练 复数与行列式 一、复数 1、（2018上海高考）已知复数z 满足117i z i +=-（）（i 是虚数单位），则∣z ∣= 2、（2017上海高考）已知复数z 满足3 0z z +=，则||z = 3、（2016上海高考）设i i Z 23+= ，期中i 为虚数单位，则Im z =__________________ 4、（宝山区2018高三上期末）若i z i 23-+= （其中i 为虚数单位），则Imz = ． 5、（崇明区2018高三上期末（一模））若复数z 满足iz=1+i （i 为虚数单位），则z= ． 6、（奉贤区2018高三上期末）复数 i +12 的虚部是________. 7、（静安区2018高三二模）若复数z 满足(1)2z i i -=（i 是虚数单位），则||z = 8、（普陀区2018高三二模）已知i 为虚数单位，若复数2(i)i a +为正实数，则实数a 的值为……………………………（ ） )A (2 ()B 1 ()C 0 ()D 1- 9、（青浦区2018高三二模）若复数z 满足2315i z -=+（i 是虚数单位），则=z _____________． 10、（青浦区2018高三上期末）已知复数i 2i z =+（i 为虚数单位），则z z ?= ． 11、（松江、闵行区2018高三二模）设m ∈R ，若复数(1i)(1i)m ++在复平面内对应的点位于实轴 上，则m = ． 12、（松江区2018高三上期末）若i -2是关于x 的方程02 =++q px x 的一个根（其中i 为虚数单位，R q p ∈,），则q 的值为 A. 5- B. 5 C. 3- D. 3 13、（杨浦区2018高三上期末）在复平面内，复数2i z i -= 对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 14、（浦东新区2018高三二模）已知方程210x px -+=的两虚根为1x 、2x ，若12||1x x -=，则实数p 的值为（ ） A. 3± B. 5± C. 3，5 D. 3±，5± 15、（浦东新区2018高三二模）在复数运算中下列三个式子是正确的：（1）1212||||||z z z z +≤+；（2）1212||||||z z z z ?=?；（3）123123()()z z z z z z ??=??，相应的在向量运算中，下列式子：（1）
复数经典例题百度文库
一、复数选择题 1．在复平面内，复数534i i -（i 为虚数单位）对应的点的坐标为（ ） A ．()3,4 B ．()4,3- C ．43,55??- ?? ? D ．43,55?? - ??? 2．设复数1i z i =+，则z 的虚部是（ ） A ．12 B ．12 i C ．12 - D ．12 i - 3． 212i i +=-（ ） A ．1 B ．?1 C ．i - D ．i 4．若复数(2)z i i =+（其中i 为虚数单位），则复数z 的模为（ ） A ．5 B C ． D ．5i 5．若复数1z i i ?=-+，则复数z 的虚部为（ ） A ．－1 B ．1 C ．－i D ．i 6．若复数()()24z i i =--，则z =（ ） A ．76i -- B ．76-+i C ．76i - D ．76i + 7．复数z 满足12i z i ?=-，z 是z 的共轭复数，则z z ?=（ ） A B C ．3 D ．5 8．已知i 为虚数单位，若复数()12i z a R a i +=∈+为纯虚数，则z a +=（ ） A B ．3 C ．5 D ．9．已知复数()2 11i z i -= +，则z =（ ） A ．1i -- B ．1i -+ C ．1i + D ．1i - 10．设复数2i 1i z =+，则复数z 的共轭复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 11．复数z 满足22z z i +=，则z 在复平面上对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 12． 122i i -=+（ ） A ．1 B ．-1 C ．i D ．-i
复数讲义绝对经典
复数 一、复数的概念 1． 虚数单位 i: （1）它的平方等于1-，即21i =-； （2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立． （3）i 与－1的关系: i 就是1-的一个平方根，即方程21x =-的一个根，方程21x =-的另一个 根是-i ． （4）i 的周期性： 41n i i +=， 421n i +=-， 43n i i +=-， 41n i =． 2． 数系的扩充：复数(0)i i(0) i(0)i(0) a b a b b a a b b a b a =?? +=??+≠??+≠?? 实数纯虚数虚数非纯虚数 3． 复数的定义： 形如i()a b a b +∈R ，的数叫复数，a 叫复数的实部，b 叫复数的虚部．全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C 表示 4． 复数的代数形式: 通常用字母z 表示，即()z a bi a b R =+∈，，把复数表示成a bi +的形式，叫做复数的代数形式． 5． 复数与实数、虚数、纯虚数与0的关系： 对于复数()a bi a b R +∈，，当且仅当0b =时，复数()a bi a b R +∈，是实数a ；当0b ≠时，复数z a bi =+叫做虚数；当0a =且0b ≠时，z bi =叫做纯虚数；当且仅当 0a b ==时，z 就是实数0
6． 复数集与其它数集之间的关系：N Z Q R C 7． 两个复数相等的定义： 如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等．这就是说，如果a ，a b d ，，， c ，d ∈R ，那么i i a b c d +=+?a c =，b d = 二、复数的几何意义 1． 复平面、实轴、虚轴： 复数i()z a b a b =+∈R ，与有序实数对()a b ，是一一对应关系．建立一一对应的关系．点Z 的横坐标是a ，纵坐标是b ，复数i()z a b a b =+∈R ，可用点()Z a b ， 表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴．实轴上的点都表示实数． 2． ．对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为()00， ，它所确定的复数是00i 0z =+=表示是实数． 除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数． 3． 复数z a bi =+←???→一一对应 复平面内的点()Z a b ， 这就是复数的一种几何意义．也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法． 三、复数的四则运算 1． 复数1z 与2z 的和的定义：
福建省莆田第一中学复数经典例题doc
一、复数选择题 1．设复数1i z i =+，则z 的虚部是（ ） A ． 12 B ．12 i C ．12 - D ．12 i - 2．若20212zi i =+，则z =（ ） A ．12i -+ B ．12i -- C ．12i - D ．12i + 3．若复数1z i =-，则1z z =-（ ） A B ．2 C ． D ．4 4．若(1)2z i i -=，则在复平面内z 对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 5．设复数z 满足方程4z z z z ?+?=，其中z 为复数z 的共轭复数，若z ，则z 为（ ） A ．1 B C ．2 D ．4 6．已知复数z 满足2021 22z i i i +=+-+，则复数z 在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 7．若复数()4 1i 34i z += +，则z =（ ） A ． 4 5 B ． 35 C ． 25 D ． 5 8．已知复数1z i =+，z 为z 的共轭复数，则()1z z ?+=（ ） A B ．2 C ．10 D 9．复数z 对应的向量OZ 与(3,4)a =共线，对应的点在第三象限，且10z =，则z =（ ） A ．68i + B ．68i - C ．68i -- D ．68i -+ 10．已知()312++=+a i i bi (,a b ∈R ，i 为虚数单位)，则实数+a b 的值为（ ） A ．3 B ．5 C ．6 D ．8 11．已知i 为虚数单位，则43i i =-（ ） A ． 2655 i + B ． 2655 i - C ．2655 i - + D ．2655 i - -
复数知识点与历年高考经典题型
数系的扩充与复数的引入知识点（一） 1．复数的概念： （1）虚数单位i ； （2）复数的代数形式z=a+bi ，(a, b ∈R)； （3）复数的实部、虚部、虚数与纯虚数。 2．复数集 整 数有 理 数实数(0)分 数复 数(,)无理数(无限不循环 小数)纯 虚 数(0)虚 数(0)非 纯 虚 数(0)b a bi a b R a b a ??????=?????+∈????≠?≠??=?? 3．复数a+bi(a, b ∈R)由两部分组成，实数a 与b 分别称为复数a+bi 的实部与虚部，1与i 分别是实数单位和虚数单位，当b=0时，a+bi 就是实数，当b ≠0时，a+bi 是虚数，其中a=0且b ≠0时称为纯虚数。 应特别注意，a=0仅是复数a+bi 为纯虚数的必要条件，若a=b=0，则a+bi=0是实数。 4．复数的四则运算 若两个复数z1=a1+b1i ，z2=a2+b2i ， （1）加法：z1+z2=(a1+a2)+(b1+b2)i ； （2）减法：z1－z2=(a1－a2)+(b1－b2)i ；
（3）乘法：z1·z2=(a1a2－b1b2)+(a1b2+a2b1)i ； （4）除法：11212211222222()()z a a b b a b a b i z a b ++-=+； （5）四则运算的交换率、结合率；分配率都适合于复数的情况。 （6）特殊复数的运算： ① n i (n 为整数)的周期性运算； ②(1±i)2 =±2i ； ③ 若ω=-21+23i ，则ω3=1，1+ω+ω2=0. 5．共轭复数与复数的模 （1）若z=a+bi ，则z a bi =-，z z +为实数，z z -为纯虚数(b ≠0). （2）复数z=a+bi 的模 |Z|=且2||z z z ?==a 2+b 2. 6.根据两个复数相等的定义，设a, b, c, d ∈R ，两个复数a+bi 和c+di 相 等规定为a+bi=c+di a c b d =???=?. 由这个定义得到a+bi=0?00a b =??=?. 两个复数不能比较大小，只能由定义判断它们相等或不相等。 7．复数a+bi 的共轭复数是a －bi ，若两复数是共轭复数，则它们所表示的点关于实轴对称。若b=0，则实数a 与实数a 共轭，表示点落在实轴上。 8．复数的加法、减法、乘法运算与实数的运算基本上没有区别，最主要的是在运算中将i 2=－1结合到实际运算过程中去。 如(a+bi)(a －bi)= a 2+b 2
最新高中数学《复数》经典考题分类解析
最新高中数学《复数》经典考题分类解析 复数的代数运算年年必考，其题目活而不难，主要考查学生灵活运用知识的能力，复数的几何意义也是考查的一个重点。落实考查特点有利于抓住复习中的关键：（1）复数的概念，包括虚数、纯虚数、复数的实部与虚部、复数的模、复数的相等、共轭复数的概念。（2）复数代数形式基本运算的技能与技巧，特别是 i ±1的计算，注意转化思想的训练，善于将复数向实数转化。 （3）复数的几何意义， 1、复数的概念以及运算 例1i 是虚数单位，238i 2i 3i 8i ++++=L ．（用i a b +的形式表示，a b ∈R ，） 解：原式＝i －2－3i ＋4＋5i －6－7i ＋8＝4－4i 点评：复数是高中数学的重要内容，是解决数学问题的重要工具，本题考查了复数的概念以及复数的引入原则，主要考查i 12-=的实际应用问题。 例2若a 为实数， =，则a 等于（ ） A ． B ． C ． D ．-解析：由已知得：等式左边＝i a a i ai 3 223223)21)(2(-++=-+ 由复数相等的充要条件知：???????-=-=+23 220322a a ，所以a ＝ 点评：本题考查了复数的基本运算以及复数相等的概念。 例3若复数(1)(2)bi i ++是纯虚数（i 是虚数单位，b 是实数），则b =（ ） A ．2 B ．12 C ．12- D ．2- 解析：(1)(2)bi i ++＝i b b )12()2(++-，因为(1)(2)bi i ++是纯虚数，因此
???≠+=-0 1202b b 所以b ＝2。 点评：本题考查的复数的乘法运算问题，通过该运算考查了纯虚数的概念。 2、复数的几何意义 复数与复平面上的点，及复平面上从原点出发的向量建立了一一对应关系，这样使得 复数问题可以借助几何图形的性质解决，反之，一些解析几何问题、平面几何问题也可以借助于复数的运算加以解决。 例4若35ππ44θ??∈ ??? ，，则复数(cos sin )(sin cos )i θθθθ++-在复平面内所对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 解析：复数的实部a ＝)4sin(2sin cos π θθθ+=+，虚部b ＝ )4sin(2cos sin πθθθ-=-，因为4 543πθπ<<，所以 ππθπππθπ<-<<+<42,234，所以0)4sin(<+πθ，0)4 sin(>-πθ，即a<0，b>0，所以复数对应的点在第二象限。 点评：本题以复数的三角形式作为命题背景，考查了复数的三角形式运算以及三角函数的恒等变化，以及复数的几何意义。复数与复平面内的点的对应关系经常出现在考题中，关键是把复数化简成bi a +的形式，并且准确的判断出a 、b 的符号是求解问题的关键。 3、复数的开放性的考查 例4．复数i z a b a b =+∈R ，，，且0b ≠，若24z bz -是实数，则有序实数对()a b ，可以是 ．（写出一个有序实数对即可） 解析：因为24z bz -＝i b ab ab b a )42()4(222-+--是实数，所以有 0422=-b ab ，因为0≠b ，所以b a 2=，所以答案可以填写（2，1）或（2，4）、（3，6）等等。
复数经典例题
一、复数选择题 1．复数1 1z i =-，则z 的共轭复数为（ ） A ．1i - B ．1i + C ． 1122 i + D ． 1122 i - 2．已知复数2z i =-，若i 为虚数单位，则1i z +=（ ） A ． 3155 i + B ． 1355i + C ．113 i + D ． 13 i + 3．已知复数1=-i z i ，其中i 为虚数单位，则||z =（ ） A ． 12 B ． 2 C D ．2 4．i =（ ） A ．i - B ．i C i - D i 5． 212i i +=-（ ） A ．1 B ．?1 C ．i - D ．i 6．已知i 为虚数单位，则复数23i i -+的虚部是（ ） A ．35 B ．35i - C ．15 - D ．1 5 i - 7． )) 5 5 11-- +＝（ ） A ．1 B ．-1 C ．2 D ．-2 8．若复数1211i z i +=--，则z 在复平面内的对应点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 9．复数12i z i = +（i 为虚数单位）在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 10． 122i i -=+（ ） A ．1 B ．-1 C ．i D ．-i 11．在复平面内，已知平行四边形OABC 顶点O ，A ，C 分别表示25-+i ，32i +，则点B 对应的复数的共轭复数为（ ） A ．17i - B ．16i - C ．16i -- D ．17i --
12．复数()()212z i i =-+在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 13．复数21i i +的虚部为（ ） A ．1- B ．1 C ．i D ．i - 14．已知i 是虚数单位，设11i z i ，则复数2z +对应的点位于复平面（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限15．题 目文件丢失！ 二、多选题 16．已知复数12z =-，则下列结论正确的有（ ） A ．1z z ?= B ．2z z = C ．31z =- D ．2020122 z =- + 17．已知复数(),z x yi x y R =+∈，则（ ） A ．2 0z B ．z 的虚部是yi C ．若12z i =+，则1x =，2y = D ．z = 18．已知复数012z i =+（i 为虚数单位）在复平面内对应的点为0P ，复数z 满足 |1|||z z i -=-，下列结论正确的是（ ） A ．0P 点的坐标为(1,2) B ．复数0z 的共轭复数对应的点与点0P 关于 虚轴对称 C ．复数z 对应的点Z 在一条直线上 D ．0P 与z 对应的点Z 间的距离的最小值为 2 19．已知复数122 z =-+（其中i 为虚数单位，，则以下结论正确的是（ ）． A ．2 0z B ．2z z = C ．31z = D ．1z = 20．设复数z 满足1 z i z +=，则下列说法错误的是（ ） A ．z 为纯虚数 B ．z 的虚部为12 i - C ．在复平面内，z 对应的点位于第三象限 D ．2 z =
复数经典例题百度文库(1)
一、复数选择题 1．复数()1z i i =?+在复平面上对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2．已知复数()123z i i +=- （其中i 是虚数单位），则z 在复平面内对应点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3．复数312i z i =-的虚部是（ ） A ．65i - B ．35i C ．35 D ．65 - 4．如图所示，在复平面内，网格中的每个小正方形的边长都为1，点A ，B 对应的复数分别是1z ，2z ，则12z z -=（ ） A 2 B ．2 C ．2 D ．8 5．已知i 是虚数单位，则复数 41i i +在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 6．已知i 为虚数单位，复数12i 1i z += -，则复数z 在复平面上的对应点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 7．若复数z 满足421i z i += +，则z =（ ） A ．13i + B ．13i - C ．3i + D ．3i - 8．若复数z 满足()322i z i i -+= +，则复数z 的虚部为（ ） A ．35 B ．3 5i - C ．35 D ．35i 9．已知复数()211i z i -=+，则z =（ ） A ．1i -- B ．1i -+ C ．1i + D ．1i - 10．复数z 的共轭复数记为z ，则下列运算：①z z +；②z z -；③z z ?④ z z ，其结果一定是实数的是（ ）
高中《复数》经典练习题1(含答案)
高中《复数》经典练习题 【编著】黄勇权 一、填空题 1、复数i i ++12的共扼复数是 。 2．设复数z=1+i （i 是虚数单位），则|+z|= 。 3、若复数Z 满足Z （1-i ）=2+4i （i 为虚数单位），则Z= 。 4、若复数Z 满足Z+2i =i 2i 55++（i 为虚数单位），则Z= 。 5、z=（m 2-4）+（2-m ）i 为纯虚数，则实数m 的值为 。 6、已知m ∈R ，i 是虚数单位，若z=a-2i ，z ?z =6，则m= 。 7、已知z =(x+1)+(x -3)i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是 。 8、若复数Z 满足2-3i= 3+2Zi （i 为虚数单位），则Z= 。 9、复数Z=i+i 2在复平面对应的点在第 象限。 10、复数Z 满足（Z-1）i=2+i ，则Z 的模为 。 11、若复数Z 满足Z （1-i ）= 2+2i （i 为虚数单位），则Z= 。 12、复数Z=i 1i 32++,则Z ?(z -1)= . 13、若复数i 2i a +的实部与虚部相等，则实数a = 。 14、复数 的虚部 。 15、2．若复数（α∈R ）是纯虚数，则复数2a+2i 在复平面内对应的点在第 象限。 16、设复数z 满足（z+i ）（2+i ）=5（i 为虚数单位），则z=______。 17、如果复数z= （i 为虚数单位）的实部与虚部互为相反数，那么|z|=______
18、复数z=﹣2i+ 3-i i ，则复数z 的共轭复数在复平面内对应的点在第 象限。 19、设复数z 满足 i i z i (23)4(+=-?是虚数单位），则z 的实部为 。 20、设复数121,1z i z i =-=+，其中i 是虚数单位，则Z1Z2 的模为 。 二、选择题 1、设a ，b ∈R ，i 为虚数单位，若（a+bi ）?i=2﹣5i ，则ab 的值为（ ）。 A 、-5 B 、5 C 、-10 D 、10 2、若复数z 为纯虚数， 且满足i )i 2(+=-a z (i 为虚数单位)，则实数a 的值为 ． A 、 12 B 、 13 C 、 14 D 、 16 3、已知复数z 满足(1)2i z i -=，其中i 为虚数单位，则z 的模为（ ） A 、 4 2 B 、 3 2 C 、 2 2 D 、 2 4、i 是虚数单位，复数 等于（ ） A 、﹣2﹣2i B 、2﹣2i C 、﹣2+2i D 、2+2i 5、若复数()()ai i z -+=11是实数，则实数a 的值是（ ） A 、1± B 、1- C 、0 D 、1 6、设i 为虚数单位，已知复数i i z -= 1，则z 的共轭复数在复平面内表示的点位于（ ） A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限 7、i 是虚数单位， 的值是（ ）。 A 、 1 B 、 -1 C 、 i D 、-i
河北省盐山中学复数经典例题 百度文库
一、复数选择题 1．复数2 1i =+（ ） A ．1i -- B ．1i -+ C ．1i - D ．1i + 2．复数3(23)i +（其中i 为虚数单位）的虚部为（ ） A ．9i B ．46i - C ．9 D ．46- 3．若复数z 为纯虚数，且()373z i m i -=+，则实数m 的值为（ ） A ．97 - B ．7 C ． 97 D ．7- 4．已知i 为虚数单位，则复数23i i -+的虚部是（ ） A ．35 B ．35i - C ．15 - D ．15 i - 5．若(1)2z i i -=，则在复平面内z 对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 6．已知复数()2 11i z i -= +，则z =（ ） A ．1i -- B ．1i -+ C ．1i + D ．1i - 7．复数z 的共轭复数记为z ，则下列运算：①z z +；②z z -；③z z ?④z z ，其结果一定是实数的是（ ） A ．①② B ．②④ C ．②③ D ．①③ 8．已知复数z 满足2 2z z =，则复数z 在复平面内对应的点(),x y （ ） A ．恒在实轴上 B ．恒在虚轴上 C ．恒在直线y x =上 D ．恒在直线y x =-上 9．已知复数1z i =+，z 为z 的共轭复数，则()1z z ?+=（ ） A B ．2 C ．10 D 10．若复数z 满足213z z i -=+，则z =（ ） A ．1i + B ．1i - C ．1i -+ D ．1i -- 11．复数()()212z i i =-+在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 12．已知i 是虚数单位，2i z i ?=+，则复数z 的共轭复数的模是（ ） A ．5 B C D ．3
复数经典例题 百度文库(1)
一、复数选择题 1．已知复数2z i =-，若i 为虚数单位，则1i z +=（ ） A ． 3155 i + B ． 1355i + C ．113 i + D ． 13 i + 2．在复平面内，复数534i i -（i 为虚数单位）对应的点的坐标为（ ） A ．()3,4 B ．()4,3- C ．43,55??- ??? D ．43,55?? - ?? ? 3．若()2 11z i =-，21z i =+，则1 2 z z 等于（ ） A ．1i + B ．1i -+ C ．1i - D ．1i -- 4．设复数1i z i =+，则z 的虚部是（ ） A ． 12 B ．12 i C ．12 - D ．12 i - 5．已知复数1=-i z i ，其中i 为虚数单位，则||z =（ ） A ． 12 B C D ．2 6．复数()1z i i =?+在复平面上对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 7． 212i i +=-（ ） A ．1 B ．?1 C ．i - D ．i 8．已知复数()123z i i +=- （其中i 是虚数单位），则z 在复平面内对应点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 9．已知i 为虚数单位，则复数23i i -+的虚部是（ ） A ．35 B ．35i - C ．15- D ．15 i - 10．已知i 是虚数单位，则复数41i i +在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 11．若复数()4 1i 34i z += +，则z =（ ）
高考数学复数典型例题附答案
1, 已知复数求k的值。 解： ，∴ 由的表示形式得k=2 即所求k=2 点评： (i) 对于两个复数、，只要它们不全是实数，就不能比较大小，因此，、能够比较大小 ，均为实数。 （ii）虚数不能与0比较大小，更无正负之分，因此， 对于任意复数z，且R； 且R。 2, 若方程有实根，求实数m的值，并求出此实根。 解：设为该方程的实根，将其代入方程得 由两复数相等的定义得， 消去m得， 故得 当时得，原方程的实根为； 当时得，原方程的实根为。 点评：对于虚系数一元方程的实根问题，一般解题思路为：设出实根——代入方程——利用两复数相等的充要条件求解。 3, 已知复数z满足，且z的对应点在第二象限，求a的取值范围。
解：设， 。 由得 ① 对应点在第二象限，故有 ② 又由①得③ 由③得， 即， ∴， ∴④ 于是由②，④得，即 再注意到a<0，故得 即所求a的取值范围为 点评：为利用导出关于a的不等式，再次利用①式：由①式中两复数相等切入，导出关于与a的关系式：此为解决这一问题的关键。此外，这里对于有选 择的局部代入以及与的相互转化，都展示了解题的灵活与技巧，请同学们注意领悟，借鉴。4, 求同时满足下列两个条件的所有复数： （1）；
（2）z的实部与虚部都是整数。 解：设，则 由题意，∴ ∴y=0或 （Ⅰ）当y=0时，，， ∴由得① 注意到当x<0时，；当x>0时，， 此时①式无解。 （Ⅱ）当时，由得 ∴ 又这里x，y均为整数 ∴x=1，或x=3，， ∴或 于是综合（Ⅰ）（Ⅱ）得所求复数z=1+3i，1-3i，3+i，3-i. 5, （1）关于x的方程在复数集中的一个根为-2i，求a+b的值。 （2）若一元二次方程有虚根，且，试判断a，b，c所成数列的特征。 解： （1） 解法一：
复数经典例题
一、复数选择题 1．若()2 11z i =-，21z i =+，则1 2 z z 等于（ ） A ．1i + B ．1i -+ C ．1i - D ．1i -- 2．若20212zi i =+，则z =（ ） A ．12i -+ B ．12i -- C ．12i - D ．12i + 3．已知复数()2m m m i z i --=为纯虚数，则实数m =（ ） A ．-1 B ．0 C ．1 D ．0或1 4． 212i i +=-（ ） A ．1 B ．?1 C ．i - D ．i 5．已知,a b ∈R ，若2 ()2a b a b i -+->（i 为虚数单位），则a 的取值范围是（ ） A ．2a >或1a <- B ．1a >或2a <- C ．12a -<< D ．21a -<< 6．已知复数31i z i -=，则z 的虚部为（ ） A ．1 B ．1- C ．i D ．i - 7．已知复数21i z i =-，则复数z 在复平面内对应点所在象限为（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 8．已知复数z 满足()3 11z i i +=-，则复数z 对应的点在（ ）上 A ．直线12 y x =- B ．直线12y x = C ．直线12x =- D ．直线12 y 9．复数z 满足12i z i ?=-，z 是z 的共轭复数，则z z ?=（ ） A B C ．3 D ．5 10．已知复数5i 5i 2i z =+-，则z =（ ） A B ．C ．D ．11．已知i 为虚数单位，若复数()12i z a R a i +=∈+为纯虚数，则z a +=（ ） A B ．3 C ．5 D ．12．设2i z i +=，则||z =（ ） A B C ．2 D ．5 13．在复平面内，复数z 对应的点为(,)x y ，若2 2 (2)4x y ++=，则（ ）
复数经典例题百度文库
一、复数选择题 1．已知i 是虚数单位，复数2z i =-，则()12z i ?+的模长为（ ） A ．6 B C ．5 D 2．已知,a b ∈R ，若2 ()2a b a b i -+->（i 为虚数单位），则a 的取值范围是（ ） A ．2a >或1a <- B ．1a >或2a <- C ．12a -<< D ．21a -<< 3．若复数()()24z i i =--，则z =（ ） A ．76i -- B ．76-+i C ．76i - D ．76i + 4．已知复数5i 5i 2i z =+-，则z =（ ） A B ．C ．D ．5．已知i 为虚数单位，若复数()12i z a R a i +=∈+为纯虚数，则z a +=（ ） A B ．3 C ．5 D ．6．若复数1211i z i +=--，则z 在复平面内的对应点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 7．满足313i z i ?=-的复数z 的共扼复数是（ ） A ．3i - B ．3i -- C ．3i + D ．3i -+ 8．复数z 的共轭复数记为z ，则下列运算：①z z +；②z z -；③z z ?④z z ，其结果一定是实数的是（ ） A ．①② B ．②④ C ．②③ D ．①③ 9．若复数2i 1i a -+（a ∈R ）为纯虚数，则1i a -=（ ） A B C ．3 D ．5 10．已知复数1z i =+，z 为z 的共轭复数，则()1z z ?+=（ ） A B ．2 C ．10 D 11．若( )()3 24z i i =+-，则在复平面内，复数z 所对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 12．在复平面内，已知平行四边形OABC 顶点O ，A ，C 分别表示25-+i ，32i +，则点B 对应的复数的共轭复数为（ ） A ．17i - B ．16i - C ．16i -- D ．17i -- 13．复数()()212z i i =-+，则z 的共轭复数z =（ ） A ．43i + B ．34i - C ．34i + D ．43i -
高三复数总复习知识点经典例题习题
高三复数总复习知识点经 典例题习题 Revised by BLUE on the afternoon of December 12,2020.
复 数 一．基本知识 【1】复数的基本概念 （1）形如a + b i 的数叫做复数（其中R b a ∈，）；复数的单位为i ，它的平方等 于－1，即1i 2-=.其中a 叫做复数的实部，b 叫做虚部 实数：当b = 0时复数a + b i 为实数 虚数：当0≠b 时的复数a + b i 为虚数； 纯虚数：当a = 0且0≠b 时的复数a + b i 为纯虚数 （2）两个复数相等的定义： （3）共轭复数：z a bi =+的共轭记作z a bi =-； （4）复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫复平面；z a bi =+，对应点坐标 为(),p a b ；（象限的复习） （5）复数的模：对于复数z a bi =+，把z =叫做复数z 的模； 【2】复数的基本运算 设111z a b i =+，222z a b i =+ （1） 加法：()()121212z z a a b b i +=+++； （2） 减法：()()121212z z a a b b i -=-+-； （3） 乘法：()()1212122112z z a a b b a b a b i ?=-++ 特别22z z a b ?=+。 （4）幂运算：1i i =21i =-3i i =-41i =5i i =61i =-?????? 【3】复数的化简 c di z a bi +=+（,a b 是均不为0的实数）；的化简就是通过分母实数化的方法将分母化为实数：()()22 ac bd ad bc i c di c di a bi z a bi a bi a bi a b ++-++-==?=++-+
复数问题的题型与方法
复数问题的题型与方法 复数一节的题型主要是讨论复数的概念，复数相等，复数的几何表示，计算复数模，共轭复数，解复数方程等． 一、数学规律： 1．共轭复数规律， 2．复数的代数运算规律i4n 1=i，i4n 2= 1，i4n 3= i； 1）i 4n=1 n n 1 n 2 n 3 n n 1 n 2 n 3 （3）i · i · i ·i = 1，i ＋i ＋i ＋i =0； ； 3．辐角的运算规律 （1）Arg（z1·z2）＝Argz1＋Argz 2 3）Argzn=nArgz （n∈N） ?，n 1。 或z∈R 。 要条件是|z|＝|a|。
（6）z 1·z 2 ≠0，则 4．根的规律 复系数一元 n 次方程有且只有 n 个根，实系数一元 n 次方程的虚根成对共轭出现。 5．求最值 时，除了代数、三角的常规方法外，还需注意几何法及不等式 ||z 1| |z 2 ||≤|z 1± z 2 |≤ |z 1 |+|z 2 |的运用。 即|z 1±z 2 |≤ |z 1 |+|z 2 |等号成立的条件是： z 1 ， z 2所对应的向量共线且同向。 |z 1±z 2 |≥|z 1| |z 2 |等号成立的条件是： z 1，z 2 所对立的向量共线且异向。 二、 主要的思想方法和典型例题分析： 1．化归思想 复数的代数、几何、向量及三角表示，把复数与实数、三角、平面几何和解析几何有 机地联系在一起，这就保证了可将复数问题化归为实数、三角、几何问题。反之亦然。这 种化归的思想方法应贯穿复数的始终。 分析】这是解答题，由于出现了复数 z 和 z ，宜统一形式，正面求解。 解】解法一 设 z ＝x ＋yi （ x ， y ∈R ），原方程即为 x 2 y 2 3y 3xi 1 3i 用复数相等的定义得： ∴ z 1= 1， z 2 = 1+3i.
典型例题：复数的代数形式及其运算
复数的代数形式及其运算 例1．计算： i i i i i 2 1 2 1 ) 1( ) 1( 2005 40 40 + + - + + - - + 解：提示：利用i i i i= ± = ±2005 2,2 ) 1( 原式＝0 变式训练1： 2 = （A）1 -（B） 1 22 +（C） 1 22 -+（D）1 解：21 2 ===-+故选C； 例2. 若0 1 2= + +z z，求2006 2005 2003 2002z z z z+ + + 解：提示：利用z z z= =4 3,1 原式＝2 ) 1(4 3 2002- = + + +z z z z 变式训练2：已知复数z满足z2＋1＝0，则（z6＋i）（z6－i）＝▲ ． 解：2 例3. 已知4, a a R >∈，问是否存在复数z，使其满足ai z i z z+ = + ?3 2（a∈R），如果存在，求出z的值，如果不存在，说明理由 解：提示：设) , (R y x yi x z∈ + =利用复数相等的概念有 ? ? ? = = + + a x y y x 2 3 2 2 2 3 4 2 2 2> ? ? = - + + ? a y y i a a z a 2 16 2 2 4 | | 2 - ± - + = ? ≤ ? 变式训练3：若 (2) a i i b i -=+，其中i R b a, ,∈是虚数单位，则a＋b＝ __________
解：3 例4. 证明：在复数范围内，方程255||(1)(1)2i z i z i z i -+--+=+（i 为虚数单位）无解． 证明：原方程化简为 2||(1)(1)1 3.z i z i z i +--+=-设 yi x z += (x 、y∈R，代入上述方程得22221 3.x y xi yi i +--=- 221(1)223(2)x y x y ?+=?∴?+=?? 将（2）代入（1） ，整理得281250. x x -+=160,()f x ?=-<∴方程无实数解，∴原方程在复数范围内无解. 变式训练4：已知复数z 1满足(1＋i)z 1＝－1＋5i ，z 2＝a －2－i ，其中i 为虚数单位，a∈R, 若12z z -<1z ，求a 的取值范围. 解：由题意得 z 1＝151i i -++＝2＋3i, 于是12z z -=42a i -+1z =13. 13，得a 2－8a ＋7<0，1 复数的加减运算 例 计算 （1）)43()53(i i -++； （2）)54()23(i i --+-； （3）)33()22()65(i i i +---+- 分析：根据复数加、减法运算法则进行运算。 解：（1）.6)45()33()43()53(i i i i +=-++=-++ （2）.77)]5(2[)43()54()23(i i i i +-=--+--=--+- （3）)33()22()65(i i i +---+-i )326()325(---+--=.11i -= 确定向量所表示的复数 例 如图，平行四边形OABC ，顶点O 、A 、C 分别表 示0，i 23+，i 42+-，试求： （1）AO 所表示的复数，BC 所表示的复数. （2）对角线CA 所表示的复数． （3）对角线OB 所表示的复数及OB 的长度． 分析：要求某个向量对应的复数，只要找出所求的向量的始点和终点。或者用向量的相等直接给出所求的结论． 解：（1）OA AO -= AO ∴所表示的复数为i 23--． AO BC =Θ， BC ∴所表示的复数为i 23--． （2）OC OA CA -=， CA ∴所表示的复数为i i i 25)42()23(-=+--+ （3）对角线OC OA AB OA OB +=+=，它所对应的复数为 i i i 61)42()23(+=+-++ 3761||22=+=OB 求正方形的第四个顶点对应的复数 例 复数i z 211+=，i z +-=22，i z 213--=，它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数。 分析1：利用BC AD =或者DC AB =求点D 对应的复数。 解法1：设复数1z ，2z ，3z 所对应的点分别为A 、B 、C ，正方形的第四个顶点D 对应的复数为yi x +（R y x ∈,）则 OA OD AD -=)21()(i yi x +-+= i y x )2()1(-+-= OB OC BC -=i i i 31)2()21(-=+----= ∵ BC AD =， ∴.31)2()1(i i y x -=-+- ∴ ???-=-=-3211y x 解得? ??-==12y x 故点D 对应的复数.2i - 分析2：利用正方形的性质，对角钱相等且互相平分，相对顶点连线段的 中点重合，即利用正方形的两条对角线交点是其对称中心求解． 解法2：设复数1z ，2z ，3z 所对应的点分别为A 、B 、C ，正方形的第四个顶点D 对应的复数为yi x +（R y x ∈,） 因为点A 与点C 关于原点对称，所以原点O 为正方形的中心． ∴ 点O 也是B 与D 点的中点，于是由0)()2(=+++-yi x i ∴ .1,2-==y x 故D 对应的复数为.2i - 小结：解题1一定要善于发现问题中可能被利用的条件，寻找最佳的解题方法，解法2利用正方形是如C 对称固形，解题思路较巧． 根据条件求参数的值 例 已知i a a z )5(321++-=，i a a a z )12(12 2-++-=（R a ∈）分别对应向量， 21,OZ OZ （O 为原点） ，若向量12Z Z 对应的复数为纯虚数，求a 的值． 分析：12Z Z 对应的复数为纯虚数，利用复数减法先求出12Z Z 对应的复数，再利用复 经典例题透析 类型一：复数的有关概念 Z 分别为: （1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数. 思路点拨：根据复数Z 为实数、虚数及纯虚数的概念，判断实部与虚部取值情况 .利用 它们的充要条件可分别求出相应的 a 值. 解析： （1）当Z 为实数时, I a - 5a -6=0 Ia = -1或a — 6— 有 2 = = a =6， a 2 -1 = 0 a =二 1 ???当a = 6时，Z 为实数. (2) 当Z 为虚数时， I a - 5a - 6 = 0 Ia=-I ^且a = 6 — 有 2 = = a _1 且 a = 6 , a -1=0 a - -1 ?当 a ∈(-∞,- 1 )U(— 1, 1 )∪( 1, 6)∪( 6, +∞)时，Z 为虚数. (3) 当Z 为纯虚数时， ?不存在实数a 使Z 为纯虚数. 总结升华：由于a ∈ R ,所以复数Z 的实部与虚部分为 a ： 7a 6 与a 2 - 5a - 6. a 2 -1 ① 求解第（1）小题时，仅注重虚部等于零是不够的，还需考虑它的实部是否有意义， 否则本小题将出现增解； ② 求解第（2）小题时，同样要注意实部有意义的问题； ③ 求解第（3）小题时，既要考虑实数为0（当然也要考虑分母不为 0）,还需虚部不为0, 两者缺一不可. 例1已知复数 2 a —7a +6 丄 / 2 Z 2 (a - 5a - 6)i (a - R), 试求实数a 分别取什么值时, a 2 _5a _6 = 0 a 2 -7a 6 .a 2-1 -0 a =二 _1^且 a ~^ 6 a =6 举一反三: 【变式1】设复数z=a+bi (a 、b ∈ R ),贝U Z 为纯虚数的必要不充分条件是( ) A . a=0 B . a=0 且 b ≠ 0 C . a ≠0 且 b=0 D . a ≠0 且 b ≠ 0 【答案】A ;由纯虚数概念可知： a=0且b ≠ 0是复数z=a+bi (a 、b ∈ R )为纯虚数的充 要条件?而题中要选择的是必要不充分条件，对照各选择支的情况，应选择 A. - - .> , 2 【变式2】若复数(a -3a ? 2) ? (a -1)i 是纯虚数，则实数 a 的值为( ) A.1 B.2 C.1 或 2 D.-1 2 2 【答案】B ； ?/ (a 2 C 1 i 是纯虚数，??? a -3a ?2=0且a-1 = 0 ,即 a = 2. 【变式3】如果复数(m 2 ?i)(1 ?mi)是实数，则实数 m=( ) A . 1 B . - 1 C . 、. 2 D . . 2 【答案】B ； 【变式4】求当实数m 取何值时，复数z = (m 2 - m - 2) ? (m 2 -3m 2)i 分别是: 解析: 同理可得: (1)实数; (2)虚数; (3)纯虚数. 【答案】 (1) 2 m -3m 2 =0 即 m=1 或 m=2 时, 复数Z 为实数; (2) 2 m -3m 2=0 即 m 1 且 m = 2 时, 复数Z 为虚数; (3) 2 m - m -2 = 0 2 即m =—1时，复数 m —3m 2 = 0 Z 为纯虚数. 类型 :复数的代数形式的四则运算 例2. 计算: (1) i n (n N .); (1 i)8 ⑶(1 2i)P-2i); (1 - 4i)(1 i) 2 4i 3 4i ⑴??? i 2 ?1 , ? i 3 =i 2 i i 4 =i 2 i 2 =1,高中数学 典型例题 复数加减 新课标
复数经典例题