2018全国卷高考复习平面向量知识总结+题型

第一部分 平面向量的概念及线性运算

1.向量的有关概念

名称 定义

备注

向量 既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向

量的长度(或称模)

平面向量是自由向量

零向量 长度为零的向量；其方向是任意的

记作0

单位向量 长度等于1个单位的向量 非零向量a 的单位向量为±a

|a |

平行向量 方向相同或相反的非零向量 0与任一向量平行或共线

共线向量

方向相同或相反的非零向量又叫做共线向

量

相等向量 长度相等且方向相同的向量 两向量只有相等或不等，不能比较

大小 相反向量 长度相等且方向相反的向量

0的相反向量为0 2.向量的线性运算 向量运算

定 义 法则(或几何意义) 运算律

加法

求两个向量和的运算

(1)交换律：a ＋b ＝b ＋a .

(2)结合律： (a ＋b )＋c ＝

a ＋(

b ＋

c )

减法

求a 与b 的相反向量

－b 的和的 运算叫做 a 与b 的差

a －

b ＝a ＋(－b )

数乘

求实数λ与向量a 的

积的运算

(1)|λa |＝|λ||a |；

(2)当λ＞0时，λa 的方向与a 的方向相同；当λ＜0时，λa 的方向与a 的方向相反；当λ＝0时，λa ＝0

λ(μa )＝λμa ； (λ＋μ)a ＝λa ＋μa ； λ(a ＋b )＝λa ＋λb

向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b ＝λa .

【基础练习】

1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) (1)零向量与任意向量平行.( ) (2)若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .( )

(3)向量AB →与向量CD →

是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点在一条直线上.( ) (4)当两个非零向量a ，b 共线时，一定有b ＝λa ，反之成立.( ) (5)在△ABC 中，D 是BC 中点，则AD →＝12(AC →＋AB →

).( )

2.给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是任意的；②若a ，b 都是单位向量，则a ＝b ；③向量AB →与BA →

相等.则所有正确命题的序号是( ) A.①

B.③

C.①③

D.①②

3.(2017·枣庄模拟)设D 为△ABC 所在平面内一点，AD →＝－13AB →＋43AC →，若BC →＝λDC →

(λ∈R )，则

λ＝( ) A.2

B.3

C.－2

D.－3

4.(2015·全国Ⅱ卷)设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝____________.

5.(必修4P92A12改编)已知?ABCD 的对角线AC 和BD 相交于O ，且OA →＝a ，OB →＝b ，则DC →

＝______，BC →

＝________(用a ，b 表示).

6.(2017·嘉兴七校联考)设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC ，若DE

→

＝λ1AB →＋λ2AC →

(λ1，λ2为实数)，则λ1＝________，λ2＝________. 考点一 平面向量的概念

【例1】 下列命题中，不正确的是________(填序号). ①若|a |＝|b |，则a ＝b ；

②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则“AB →＝DC →

”是“四边形ABCD 为平行四边形”的充要条件； ③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c .

【训练1】 下列命题中，正确的是________(填序号). ①有向线段就是向量，向量就是有向线段；

②向量a 与向量b 平行，则a 与b 的方向相同或相反； ③两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小.

解析 ①不正确，向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段，有向线段也不是向量； ②不正确，若a 与b 中有一个为零向量，零向量的方向是不确定的，故两向量方向不一定相同或相反；

③正确，向量既有大小，又有方向，不能比较大小；向量的模均为实数，可以比较大小. 答案 ③

考点二 平面向量的线性运算

【例2】 (2017·潍坊模拟)在△ABC 中，P ，Q 分别是AB ，BC 的三等分点，且AP ＝1

3AB ，BQ ＝13BC .若AB →＝a ，AC →＝b ，则PQ →

＝( ) A.13a ＋13b B.－13a ＋1

3b C.13a －13

b

D.－13a －13

b

【训练2】 (1)如图，正方形ABCD 中，点E 是DC 的中点，点F 是BC 的一个靠近B 点的三等分点，那么EF →

等于( ) A.12AB →－13AD → B.14AB →＋12AD →

C.13AB →＋12

DA →

D.12AB →－23

AD → 考点三 共线向量定理及其应用 【例3】 设两个非零向量a 与b 不共线.

(1)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →

＝3(a －b ).求证：A ，B ，D 三点共线； (2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线.

【训练3】已知向量AB →＝a ＋3b ，BC →＝5a ＋3b ，CD →

＝－3a ＋3b ，则( ) A.A ，B ，C 三点共线 B.A ，B ，D 三点共线 C.A ，C ，D 三点共线

D.B ，C ，D 三点共线

第二部分 平面向量基本定理与坐标表示

1.平面向量的基本定理

如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.

其中，不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. 2.平面向量的正交分解

把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解. 3.平面向量的坐标运算

(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则

a ＋

b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)，|a |＝x 21＋y 2

1.

(2)向量坐标的求法

①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.

②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，|AB →

|＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2. 4.平面向量共线的坐标表示

设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b ?x 1y 2－x 2y 1＝0. 【基础练习】

1.(2017·东阳月考)已知向量a ＝(2，4)，b ＝(－1，1)，则2a ＋b 等于( ) A.(5，7)

B.(5，9)

C.(3，7)

D.(3，9)

2.(2015·全国Ⅰ卷)已知点A (0，1)，B (3，2)，向量AC →＝(－4，－3)，则向量BC →

＝( ) A.(－7，－4) B.(7，4) C.(－1，4)

D.(1，4)

3.(2016·全国Ⅱ卷)已知向量a ＝(m ，4)，b ＝(3，－2)，且a ∥b ，则m ＝________.

4.(必修4P101A3改编)已知?ABCD 的顶点A (－1，－2)，B (3，－1)，C (5，6)，则顶点D 的坐标为________.

考点一 平面向量基本定理及其应用

【例1】 (2014·全国Ⅰ卷)设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB →＋FC →

＝( ) A.AD →

B.12AD →

C.12BC →

D.BC →

【训练1】如图，已知AB →＝a ，AC →＝b ，BD →＝3DC →，用a ，b 表示AD →，则AD →

＝________.

考点二 平面向量的坐标运算

【例2】 (1)已知向量a ＝(5，2)，b ＝(－4，－3)，c ＝(x ，y )，若3a －2b ＋c ＝0，则c ＝( ) A.(－23，－12) B.(23，12) C.(7，0)

D.(－7，0)

【训练2】 (1)已知点A (－1，5)和向量a ＝(2，3)，若AB →

＝3a ，则点B 的坐标为( ) A.(7，4) B.(7，14) C.(5，4)

D.(5，14)

(2)(2015·江苏卷)已知向量a ＝(2，1)，b ＝(1，－2).若m a ＋n b ＝(9，－8)(m ，n ∈R )，则m －n 的值为________.

考点三 平面向量共线的坐标表示

【例3】 (1)已知平面向量a ＝(1，2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，则2a ＋3b ＝________. (2)(必修4P101练习7改编)已知A (2，3)，B (4，－3)，点P 在线段AB 的延长线上，且|AP |＝3

2|BP |，则点P 的坐标为________.

【训练3】 (1)(2017·浙江三市十二校联考)已知点A (1，3)，B (4，－1)，则与AB →

同方向的单位向量是( ) A.????35

，－45 B.????45，－35 C.???

?－35，4

5 D.???

?－45，3

5 (2)若三点A (1，－5)，B (a ，－2)，C (－2，－1)共线，则实数a 的值为________.

第三部分 平面向量的数量积及其应用

1.平面向量数量积的有关概念

(1)向量的夹角：已知两个非零向量a 和b ，记OA →＝a ，OB →

＝b ，则∠AOB ＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a 与b 的夹角.

(2)数量积的定义：已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，则数量|a ||b |cos__θ 叫做a 与b 的数量积(或内积)，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos__θ，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0·a ＝0.

(3)数量积几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积. 2.平面向量数量积的性质及其坐标表示

设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为向量a ，b 的夹角. (1)数量积：a ·b ＝|a ||b |cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2.

(2)模：|a |＝a ·a ＝x 21＋y 2

1.

(3)夹角：cos θ＝a ·b |a ||b |＝

x 1x 2＋y 1y 2

x 21＋y 21·x 22＋y 2

2

.

(4)两非零向量a ⊥b 的充要条件：a ·b ＝0?x 1x 2＋y 1y 2＝0.

(5)|a ·b |≤|a ||b |(当且仅当a ∥b 时等号成立)?|x 1x 2＋y 1y 2|≤ x 21＋y 21·x 22＋y 2

2.

3.平面向量数量积的运算律：(1)a ·b ＝b ·a (交换律).(2)λa ·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )(结合律).(3)(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c (分配律). 【基础练习】

1.(2015·全国Ⅱ卷)向量a ＝(1，－1)，b ＝(－1，2)，则(2a ＋b )·a 等于( ) A.－1

B.0

C.1

D.2

2.(2017·湖州模拟)已知向量a ，b ，其中|a |＝3，|b |＝2，且(a －b )⊥a ，则向量a 和b 的夹角是________.

3.(2016·石家庄模拟)已知平面向量a ，b 的夹角为2π3，|a |＝2，|b |＝1，则|a ＋b |＝________.

5.(必修4P104例1改编)已知|a |＝5，|b |＝4，a 与b 的夹角θ＝120°，则向量b 在向量a 方向上的投影为________.

6.(2017·瑞安一中检测)已知a ，b ，c 是同一平面内的三个向量，其中a ＝(1，2)，|b |＝1，且a ＋b 与a －2b 垂直，则向量a ·b ＝________；a 与b 的夹角θ的余弦值为________.

【考点突破】

考点一 平面向量的数量积及在平面几何中的应用（用已知表示未知）

【例1】 (1)(2015·四川卷)设四边形ABCD 为平行四边形，|AB →|＝6，|AD →

|＝4，若点M ，N 满足BM →＝3MC →，DN →＝2NC →，则AM →·NM →

等于( ) A.20

B. 15

C.9

D.6

(2)(2016·天津卷)已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE ＝2EF ，则AF →·BC →

的值为( ) A.－58

B.18

C.14

D.118

【训练1】 (1)(2017·义乌市调研)在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝AC ＝2，点D 为AC 的中点，点E 满足BE →＝13

BC →，则AE →·BD →

＝________.

(2)(2017·宁波质检)已有正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE →·CB →

的值为________；DE →·DC →

的最大值为________. 考点二 平面向量的夹角与垂直

【例2】 (1)(2016·全国Ⅱ卷)已知向量a ＝(1，m )，b ＝(3，－2)，且(a ＋b )⊥b ，则m ＝( ) A.－8

B.－6

C.6

D.8

(2)若向量a ＝(k ，3)，b ＝(1，4)，c ＝(2，1)，已知2a －3b 与c 的夹角为钝角，则k 的取值范围是________.

【训练2】 (1)(2016·全国Ⅲ卷)已知向量BA →＝????1

2，

32，BC →＝????32，12，则∠ABC ＝( ) A.30°

B.45°

C.60°

D.120°

(2)(2016·全国Ⅰ卷)设向量a ＝(m ，1)，b ＝(1，2)，且|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2，则m ＝________. 考点三 平面向量的模及其应用

【例3】 (2017·云南统一检测)已知平面向量a 与b 的夹角等于π

3，若|a |＝2，|b |＝3，则|2a －3b |＝( )