求值域的方法大全及习题

求值域方法

常用求值域方法

（1）、直接观察法：利用已有的基本函数的值域观察直接得出所求函数的值域

对于一些比较简单的函数，如正比例,反比例,一次函数,指数函数,对数函数,等等, 其值域可通过观察直接得到。

例1、求函数

1

,[1,2]y x x =

∈的值域。

例2、 求函数x 3y -=的值域。 【同步练习1】函数2

21x

y +=

的值域.

（2）、配方法：二次函数或可转化为形如c x bf x f a x F ++=)()]([)(2类的函数的值域问题，均可用配方法，而后一情况要注意)(x f 的范围；配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。

例1、求函数

225,y x x x R =-+∈的值域。

例2、求函数]2,1[x ,5x 2x y 2

-∈+-=的值域。

例3、求()()22log 26log 62log 22

222

2-+=++=x x x y 。（配方法、换元法）

例4、设02x ≤≤，求函数1()4321x x f x +=-+ 的值域． 例5、求函数13432-+-=x x y 的值域。（配方法、换元法） 例6、求函数x x y 422+--=的值域。（配方法） 【同步练习2】

1、求二次函数2

42y x x =-+-（[]1,4x ∈）的值域.

2、求函数342-+-=x x e y 的值域.

3、求函数421,[3,2]x

x y x --=-+∈-的最大值与最小值.

4、求函数])8,1[(4

log 2log 22

∈?=x x

x y 的最大值和最小值. 5、已知[]0,2x ∈，求函数1

2

()4

325x x f x -=-?+的值域.

6、若,42=+y x 0,0>>y x ,试求y x lg lg +的最大值。

（3）、换元法：（三角换元法）有时候为了沟通已知与未知的联系，我们常常引进一个（几个）新的量来代替原来的量，实行这种“变量代换”往往可以暴露已知与未知之间被表面形式掩盖着的实质，发现解题方向，这就是换元法．在求值域时，我们可以通过换元将所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域．

例1、

求()f x x =

【同步练习3】求函数x x y 21--=的值域。 例2、求函数221x x x y +-=的值域。

【同步练习4】求函数2

x 54x y -++=的值域。

【同步练习5】

1、求函数x x y 21-+=的值域.

2、求函数2

)1x (12x y +-++=的值域。

3、已知函数)(x f 的值域为??

????95,83，求函数)(21)(x f x f y -+=的值域.

（4）、函数有界性法（方程法）

直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定函数的值域。 我们所说的单调性，最常用的就是三角函数的单调性。

例1、求函数3

sin 3

sin +-=

x x y 的值域。

例2、求函数3

cos 21

sin 3+-=

x x y 的值域。

【同步练习6】求函数

11x x

e y e -=+，2sin 11sin y θθ-=+，2sin 1

1cos y θθ-=+的值域.

（5）、数形结合法（函数的图像）：对于一些函数（如二次函数、分段函数等）的求值域问题，我们可以借助形象直观的函数图象来观察其函数值的变化情况，再有的放矢地通过函数解析式求函数最值，确定函数值域，用数形结合法，使运算过程大大简化．

其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。

例1、 求函数22

23(20)()23(03)

x x x f x x x x ?+--

≤ ≤≤的值

域．

例2、 求函数2

2)8x ()2x (y ++-=的值域

.

例3、求函数5x 4x 13x 6x y 2

2++++-=的值域.

例4、求函数

5x 4x 13x 6x y 2

2++-+-=的值域. 【同步练习7】

1、求函数13y x x =-+-的值域.

2、求函数31y x x =--+的值域.

3、

求函数y =

. 4、求函数()225222++-++=

x x x x x f 的最大值.

（6）均值不等式法：利用基本关系,0)]([2≥x f 两个正数的均值不等式ab b a 2≥+在应用时要注意“一正二定三相等”；

利用基本不等式abc 3c b a ,ab 2b a 3

≥++≥+)R c ,b ,a (+∈，求函数的最值，其题型特征解析式是和式时

要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时需要用到拆项、添项和两边平方等技巧。

例1、求函数)1(1

2

22->+++=

x x x x y 的值域 例3、 求函数4)x cos 1x (cos )x sin 1x (sin y 2

2-+++

=的值域.

（7）、根判别式法：对于形如2111

2

222

a x

b x

c y a x b x c ++=++（1a ，2a 不同时为0）的函数常采用此法，就是把函数转化成关于x 的一元二次方程（二次项系数不为0时），通过方程有实数根，从而根的判别式大于等于零，求得原函数的值域．

对二次函数或者分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其他方法进行化简 如:

.1

12..2

22

22222

b

a y 型：直接用不等式性质k+x bx

b. y 型,先化简，再用均值不等式

x mx n

x 1 例：y 1+x x+x

x m x n c y 型 通常用判别式

x mx n x mx n

d. y 型

x n

法一：用判别式 法二：用换元法，把分母替换掉

x x 1（x+1）（x+1）+1 1

例：y （x+1）1211

x 1x 1x 1=

=++==≤

''

++=++++=+++-===+-≥-=+++

例1、求函数2

2

11x x y x

++=+的值域．

例2、求函数

)x 2(x x y -+=的值域.

【同步练习8】

1、求函数22

585

1

x x y x ++=+的值域.

2、求函数2

21

2

+++=x x x y 的值域.

3、函数2281

3()log ax x b

x f x +++=的定义域为(,)-∞+∞，值域为[0,2]，求,a b 的值.

4、设函数 ()22

ax b

y f x x +==+的值域为 []51,-，求a ,b .

5、已知函数y =f (x)=()01

222

<+++b x c bx x 的值域为[1,3],求实数b ,c 的值.

（8）、分离常数法：对于分子、分母同次的分式形式的函数求值域问题，因为分子分母都有变量，利用函数单调性确定其值域较困难，因此，我们可以采用凑配分子的方法，把函数分离成一个常数和一个分式和的形式，而此时的分式，只有分母上含有变量，进而可利用函数性质确定其值域．

例1、求函数221

x

x y =+的值域．

例2、求2

1

+-=

x x y 的值域.

（9）、倒数法

有时，直接看不出函数的值域时，把它倒过来之后，你会发现另一番境况

例1、

求函数

y =

的值域.

多种方法综合运用

总之，在具体求某个函数的值域时，

首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，

一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。

【例题综合分析】

例1、求下列函数的值域：

（1）232y x x =-+； （2）y =； （3）31

2

x y x +=

-；

（4）y x =+ （5）y x = （6）|1||4|y x x =-++；

（7）22221

x x y x x -+=++； （8）2211

()212x x y x x -+=>-； （9）1sin 2cos x y x -=-

解：

（1）法一：公式法（略）

法二：（配方法）2

2

1

2323323()6

1212

y x x x =-+=-+≥ ， ∴232y x x =-+的值域为23

[

,)12

+∞． 【拓展】求函数232y x x =-+，[1,3]x ∈的值域．

解：（利用函数的单调性）函数232y x x =-+在[1,3]x ∈上单调增， ∴当1x =时，原函数有最小值为4；当3x =时，原函数有最大值为26． ∴函数232y x x =-+，[1,3]x ∈的值域为[4,26]．

（2）求复合函数的值域：设265x x μ=---（0μ≥），则原函数可化为y ．

又∵2265(3)44x x x μ=---=-++≤，∴04μ≤≤[0,2]，

∴y =的值域为[0,2]． （3）（法一）反函数法：312

x y x +=-的反函数为21

3x y x +=-，其定义域为{|3}x R x ∈≠，

∴原函数31

2

x y x +=

-的值域为{|3}y R y ∈≠． （法二）分离变量法：313(2)77

3222

x x y x x x +-+===+

---， ∵

702x ≠-，∴7

332

x +≠-， ∴函数31

2

x y x +=

-的值域为{|3}y R y ∈≠．

（4）换元法（代数换元法）：设0t =≥，则2

1x t =-，

∴原函数可化为2214(2)5(0)y t t t t =-+=--+≥，∴5y ≤， ∴原函数值域为(,5]-∞．

说明：总结y ax b =+

2y ax b =+

2y ax b =+（5）三角换元法：∵2

1011x x -≥?-≤≤，∴设cos ,[0,]x ααπ=∈，

则cos sin )4

y π

ααα=+=

+

∵[0,]απ∈，∴5[,]444π

ππα+∈

，∴sin()[42

πα+∈-，

)[4

π

α+

∈-，

∴原函数的值域为[1-．

（6）数形结合法：23(4)

|1||4|5

(41)23(1)x x y x x x x x --≤-??

=-++=-<

，∴5y ≥，

∴函数值域为[5,)+∞．

（7）判别式法：∵2

10x x ++>恒成立，∴函数的定义域为R ．

由22221

x x y x x -+=++得：2

(2)(1)20y x y x y -+++-= ①

①当20y -=即2y =时，①即300x +=，∴0x R =∈

②当20y -≠即2y ≠时，∵x R ∈时方程2(2)(1)20y x y x y -+++-=恒有实根， ∴22(1)4(2)0y y =+-?-≥ ，∴15y ≤≤且2y ≠， ∴原函数的值域为[1,5]．

（8）2

121(21)1111

2

121212122

2

x x x x y x x x x x x -+-+=

==+=-++----，

∵12x >，∴102

x ->，

∴11222x x -+≥=-当且仅当11

2

122

x x -

=

-时，

即x =

时等号成立．∴12y ≥

，∴原函数的值域为1

,)2

+∞．

（9）（法一）方程法（函数有界性）：原函数可化为：sin cos 12x y x y -=-，

)12x y ?-=-

（其中cos ??=

=

，

∴sin()[1,1]x ?-=

-

，∴|12|y -≤2340y y -≤，∴403

y ≤≤

， ∴原函数的值域为4

[0,]3

．

（法二）数形结合法：可看作求点(2,1)与圆221x y +=上的点的连线的斜率的范围，解略． 例2、若关于x 的方程|3|2(22)3x a ---=+有实数根，求实数a 的取值范围．（综合） 解：原方程可化为|3|2(22)3x a --=--， 令|3|

2

x t --=，则01t <≤，2()(2)3a f t t ==--，又∵()a f t =在区间(0,1]上是减函数，

∴(1)()(0)f f t f ≤<，即2()1f t -≤<， 故实数a 的取值范围为：21a -≤<．

例3、 求函数

3x 2

x y ++=

的值域。（换元法、不等式法）

解：令)0t (2x t ≥+=，则1t 3x 2

+=+

（1）当0t >时，

2

1

t 1t 11t t y 2≤

+=+=

，当且仅当t=1，即1x -=时取等号，所以

21y 0≤

< （2）当t=0时，y=0。

综上所述，函数的值域为：?

????

?21,0 注：先换元，后用不等式法

【拓展练习】（共11题，附答案） 一、选择题

1、下列函数中，值域是（0，+∞）的函数是 A ．151+=

-x

y B ．x

y 21-= C ．1)2

1(-=x y D ．x y -=1)31( 2、已知3

2

()26f x x x a =-+（a 是常数），在[]2,2-上有最大值3，那么在[]2,2-上的最小值是

A ．5-

B ．11-

C ．29-

D ．37-

3、已知函数322

+-=x x y 在区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围是

A 、[ 1，+∞）

B 、[0，2]

C 、（-∞，2]

D 、[1，2]

4、（04年天津卷.文6理5）若函数)10(log )(<<=a x x f a 在区间]2,[a a 上的最大值是最小值的3倍，则a=

A.

4

2

B.

2

2 C.

41 D. 2

1

5、（04年湖北卷.理7）函数()log (1)[0,1]x a f x a x =++在上的最大值与最小值之和为a,则a 的值为

（A ）41 （B ）2

1

（C ）2 （D ）4

6、若122=+y x ，则12--x y 的最小值是__________4

3y

x +的最大值是______________

7、已知函数)12lg(2++=x ax y 的值域为R ，则实数a 的取值范围是_____________ 8、下列函数的值域分别为：

（1） （2） （3） （4） . （1）1

1+-=e

e

x

x y （2） x

x y 2225

.0-= （3）3

3x x y -= （4）4

52

2++=

x x y

9、已知函数)0(1

2)(2

2<+++=b x c

bx x x f 的值域为]3,1[，求实数c b ,的值。

10、已知二次函数)0()(2

≠+=a bx ax x f 满足条件：)3()5(-=-x f x f 且方程x x f =)( 有等根，⑴ 求

)(x f 的解析式；⑵ 是否存在实数)(,n m n m <，使得)(x f 的定义域为],[n m ，值域为]3,3[n m 。

11、已知函数),1[,2)(2+∞∈++=

x x

a

x x x f （1） 当2

1

=

a 时，求函数)(x f 的最小值 ； （2）

若对任意),1[+∞∈x ，)(x f 0>恒成立，试求实数a 的取值范围。

答案：同步练习 g3.1011函数的最值与值域 1—5、DDDAB 6、

34；512

7、[0,1]

8(1)(-1,1) (2)(]0,4 (3)R (4)5,2??+∞????

9、2,2b c =-= 10(1)21()2f x x x =-+ (2)4,0m n =-= 9(1)7

2

(3)3a >-

1、函数221

x

x y =+的值域为(0,1)．（分离常数法）

2、若函数()log a f x x =在[2,4]上的最大值与最小值之差为2，则a =．

（函数单调性法） 【拓展练习】（★★★★） 一、选择题

1、函数y =x 2

+

x

1 (x ≤－21

)的值域是( )（函数单调性法）

A.(－∞,－47]

B.［－47

,+∞)

C.［2233,+∞)

D.(－∞,－322

3］

2、函数y =x +x 21-的值域是( )（换元法）（配方法） A.(－∞,1] B.(－∞,－1] C.R

D.［1,+∞)

1、函数f(x)＝a x

+log a (x+1)在［0,1］上的最大值和最小值之和为a,则a 的值为( )（★★★★） A.

41 B.2

1

C.2

D.4 2、函数y ＝log 2x+log x (2x)的值域是( ) （★★★★）

A.(-∞,-1］

B.［3,+∞)

C.［-1,3］

D.(-∞,-1］∪［3,+∞)

3、已知f(x)是奇函数,且当x ＜0时,f(x)＝x 2

+3x+2.若当x∈［1,3］时,n ≤f(x)≤m 恒成立,则m-n 的最小值为( ) A.

49 B.2 C.43 D.4

1 4、把长为1

2 cm 的细铁丝截成两段,各自围成一个正三角形,那么这两个正三角形面积之和的最小值是( ) A.

2

33 cm 2 B.4 cm 2 C.23 cm 2 D.32 cm 2

5、在区间［1.5,3］上,函数f(x)＝x 2

+bx+c 与函数1

1

)(-+

=x x x g 同时取到相同的最小值,则函数f(x)在区间［1.5,3］上的最大值为( )

A.8

B.6

C.5

D.4

6、若方程x 2+ax+b ＝0有不小于2的实根,则a 2+b 2

的最小值为( )

A.3

B.

516 C.5

17 D.518 7、函数∑=-=

19

1

||)(n n x x f 的最小值为( )

A.190

B.171

C.90

D.45 8、设a ＞1,函数f(x)＝log a x 在区间［a,2a ］上的最大值与最小值之差为

2

1

,则a 等于( ) A.2 B.2 C.22 D.4 9、设a 、b∈R,a 2

+2b 2

＝6,则a+b 的最小值是( ) A.22- B.3

3

5-

C.-3

D.27-

10、若动点(x,y)在曲线

1422

2=+b

y x (b ＞0)上变化,则x 2+2y 的最大值为( ) A.?????≥<<+4,240,442b b b b B.??

???≥<<+2

,22

0,442

b b b b C.442+b D.2b 11、设a,b∈R,记max{a,b}＝?

??<≥.,,,b a b b a a 函数f(x)＝max{|x+1|,|x-2|}(x∈R)的最小值是_________.

12、规定记号“Δ”表示一种运算,即b a ab b a ++=?,a 、b∈R +

.若1Δk ＝3,则函数f(x)＝k Δx 的值

域是__________.

13、已知函数f(x)＝2+log 3x,x∈［1,9］,则函数y ＝［f(x)］2+f(x 2

)的值域为___________. 14、若变量x 和y 满足条件??

?≥-≥-+,

02,03y x y x 则z ＝2x+y 的最小值为_______;x y

的取值范围是_________.

15、求下列函数的值域:（ ）

(1)y ＝x 2

-4x+6,x∈［1,5); (2)2

41

5+-=

x x y ;

(3)12--=x x y .

16、(2009山东烟台高三模块检测,20)设函数bx ax x x g -+=

2

32

131)((a,b∈R),在其图象上一点P(x,y)处的切线的斜率记为f(x).

(1)若方程f(x)＝0有两个实根分别为-2和4,求f(x)的表达式;

(2)若g(x)在区间［-1,3］上是单调递减函数,求a 2+b 2

的最小值.

【答案】

1、解析:f(x)＝a x +log a (x+1)是单调递增(减)函数〔原因是y ＝a x

与y ＝log a (x+1)单调性相同〕,且在［0,1］

上的最值分别在两端点处取得,最值之和为f(0)+f(1)＝a 0

+log a 1+a+log a 2＝a, ∴log a 2+1＝0.∴2

1

=

a . 答案:B 2、解析:y ＝log 2x+log x (2x)＝1log 1

log log log 1log 22222++=++

x

x x x x .

∵2|

log |1

|log ||log 1log |2222≥+=+

x x x x ,

∴1log 1

log 22++

x

x ∈(-∞,-1］∪［3,+∞).故选D.

3、解析:设x ＞0,则-x ＜0,

∴f(x)＝-f(-x)＝-［(-x)2+3(-x)+2］＝-x 2

+3x-2.

∴在［1,3］上,当23=

x 时f(x)max ＝4

1

,当x ＝3时f(x)min ＝-2. ∴m≥41且n ≤-2.故m-n ≥4

9

. 答案:A

4、解析:设其中一段长为3x,则另一段为12-3x,则所折成的正三角形的边长分别为x,4-x,它们的面积分别为

24

3x ,2)4(43

x -,则它们的面积之和为22)4(4343x x S -+= ]4)2[(2

3)1682(4322+-=+-=

x x x ,可见当x ＝2时,两个正三角形面积之和的最小值为32 cm 2. 答案:D

5、解析:311

1

)1(21111)(=+-?-≥+-+

-=x x x x x g ,当且仅当x ＝2时,g(x)min ＝3, ∴f(x)＝(x-2)2

+3.

∴在区间［1.5,3］上,f(x)max ＝f(3)＝4. 故选D.

6、解析:将方程x 2+ax+b ＝0看作以(a,b)为动点的直线l:xa+b+x 2＝0的方程,则a 2+b 2

的几何意义为l 上的

点(a,b)到原点O(0,0)的距离的平方,由点到直线的距离d 的最小性知a 2+b 2≥d 2

＝

211)1(1)1

00(

22242

22

-+++=+=+++x x x x x x (x ≥2), 令u ＝x 2

+1,易知21)(-+

=u u u f (u ≥5)在［5,+∞)上单调递增,则f(u)≥f(5)＝5

16, ∴a 2+b 2

的最小值为

5

16

.故选B. 7、解析:f(x)＝|x-1|+|x-2|+…+|x -9|+|x-10|+|x-11|+…+|x -18|+|x-19|, 由|a-b|≤|a|+|b|(当且仅当a·b≤0时取等号), 得|x-1|+|x-19|≥|x-1-x+19|＝18, |x-2|+|x-18|≥|x-2-x+18|＝16,… |x-9|+|x-11|≥|x-9-x+11|＝2,

|x-10|≥0.

上面各式当x ＝10时同时取等号,

∴f(x)最小值为18+16+…+2+0＝

902

)

018(10=+?. 答案:C

8、解:由a ＞1知f(x)为增函数,所以log a 2a-log a a ＝21,即log a 2＝2

1

,解得a ＝4.所以选D.

9、解析:∵13

62

2=+b a ,故令αcos 6=a ,αsin 3=b ,

∴)sin(3sin 3cos 6?ααα+=+=+b a .

∴a+b 的最小值为-3. 答案:C

10、解析:令x ＝2cos θ,y ＝bsin θ,则x 2+2y ＝4cos 2θ+2bsin θ＝-4sin 2

θ+2bsin θ+4＝

-4(4sin b -θ)2+4+42b ;当4b ＜1即0＜b ＜4时,x 2

+2y 取最大值4

42b +,此时4sin b =θ;当14≥b 即b ≥4

时,x 2

+2y 的最大值为2b,此时sin θ＝1.故选A.

11、解析:如右图所示,函数y ＝max{|x+1|,|x-2|}的图象为图中实线部分,

∴max{|x +1|,|x-2|}的最小值为23. 答案:2

3 12、解析:由题意311=++=?k k k ,解得k ＝1,

∴x x x f ++=

1)(.

而1)(++

=x x x f 在［0,+∞)上递增,

∴f(x)≥1. 答案:［1,+∞)

13、解析:∵f(x)＝2+log 3x,x∈［1,9］,

∴y＝［f(x)］2

+f(x 2

)的定义域为?

??≤≤≤≤.91,

912

x x 解得1≤x ≤3,即定义域为［1,3］.

∴0≤log 3x ≤1.

又y ＝［f(x)］2+f(x 2

)

＝(2+log 3x)2+2+log 3x 2

＝(log 3x)2

+6log 3x+6

＝(log 3x+3)2

-3, ∵0≤log 3x ≤1, ∴6≤y ≤13.

故函数的值域为［6,13］. 答案:［6,13］

14、解析:如图作出可行域,易知将直线DE:2x+y ＝0平移至点A(2,1)时目标函数z ＝2x+y 取得最小值

,

即z min ＝2×2+1＝5,

x

y

表示可行域内点与原点连线的斜率,由图形知,直线从GH 绕原点逆时针方向转动到AB 位置,斜率变得越来越大,故-1＝k GH ＜x

y ≤k AB ＝21. 答案:5 (-1,21

］

15、解:(1)y ＝x 2

-4x+6＝(x-2)2

+2,

∵x∈［1,5),

∴由图象知函数的值域为{y|2≤y ＜

11}.

(2)2

41

5+-=

x x y

＝24251)24(4

5+-

-+x x ＝2

427)24(4

5+-

+x x ＝

)

24(2745+-x . ∵

)24(27

+x ≠0,

∴y≠

4

5. ∴函数的值域为{y∈R|y≠

4

5}. (3)令t x =-1,则x ＝t 2

+1(t ≥0),

∴y＝2(t 2

+1)-t ＝2t 2

-t+2＝2(41-

t )2+8

15. ∵t≥0, ∴y≥

8

15

. ∴函数的值域是［

8

15

,+∞). 16、解:(1)根据导数的几何意义知f(x)＝g′(x)＝x 2

+ax-b,

由已知-2、4是方程x 2

+ax-b ＝0的两个实数, 由韦达定理,??

?-=?--=+-,

42,

42b a

∴??

?=-=,

8,2b a f(x)＝x 2

-2x-8.

(2)g(x)在区间［-1,3］上是单调减函数,

∴在［-1,3］区间上恒有f(x)＝g′(x)＝x 2

+ax-b ≤0,

即f(x)＝x 2

+ax-b ≤0在［-1,3］上恒成立, 这只需满足??

?≤≤-0)3(,0)1(f f 即可,也即???≥-≥+,

93,

1a b b a

而a 2

+b 2

可视为平面区域?

??≥-≥+,93,

1a b b a 内的点到原点距离的平方,其中点(-2,3)距离原点最近,∴当

??

?=-=3

,2b a 时,a 2+b 2

有最小值13.

【拓展练习】

1、函数1

1

22+-=x x y 的值域是（ ）（★★★）

A ．[-1，1]

B ．[-1，1）

C ．（-1，1]

D ．（-1，1）

2、若函数

1)1(2

1

)(2+-=x x f 的定义域和值域都是)1(],,1[>b b ，则b 的值为（ ）

（★★★★） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6

3、已知定义在闭区间[0,a]上的函数y=x 2

-2x+3，若y 的最大值是3，最小值是2，则a 的取值范围是 . （★★★）

5、函数y=x 2

-2x+a 在[0,3]上的最小值是4，则a= ；若最大值是4，则a= .

6、已知函数12

79,432

2

+--=-+=x x x y x x y 的值域分别是集合P 、Q ，则（ ）

（★★★）（根判别法） A ．p ?Q

B ．P=Q

C ．P ?Q

D ．以上答案都不对

7、函数])4,0[(422∈+--=x x x y 的值域是（ ）（★★★）（配方法）

A ．[0，2]

B ．[1，2]

C ．[－2，2]

D ．[－2，2]

8、若函数)(},4|{}0|{1

1

3)(x f y y y y x x x f 则的值域是≥?≤--=

的定义域是( ) A ．]3,3

1[ B ．]3,1()1,3

1[? C ．),3[]3

1,(+∞-∞或 D ．[3,+∞)

9、求下列函数的值域：

①)1(3

55

3>-+=x x x y ②y=|x+5|+|x-6| ③242++--=x x y ④x x y 21-+= ⑤4

22+-=x x x

y

10、设函数4

1)(2

-

+=x x x f . （Ⅰ）若定义域限制为[0，3]，求)(x f 的值域； （Ⅱ）若定义域限制为]1,[+a a 时，)(x f 的值域为]16

1

,21[-

，求a 的值. 11、若函数1

2

)(22+--+=x x ax x x f 的值域为[－2，2]，求a 的值.

一、选择题

1．若函数y ＝2x

的定义域是P ＝{1,2,3}，则该函数的值域是 ( )

A ．{2,4,6}

B ．{2,4,8}

C ．{1,2，log 32}

D ．{1,2，log 23}

2．定义在R 上的函数y ＝f (x )的值域为[a ，b ]，则y ＝f (x ＋1)的值域为 ( )

A ．[a ，b ]

B ．[a ＋1，b ＋1]

C ．[a －1，b －1]

D ．无法确定 3．函数y ＝

x

x 2

＋x ＋1

(x >0)的值域是

( )

A ．(0，＋∞)

B ．(0，1

3

)

C ．(0，13]

D ．[1

3

，＋∞)

4．函数y ＝x 2

－2x ＋3在区间[0，m ]上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围是( ) A ．[1，＋∞) B ．[0,2] C ．(－∞，2] D ．[1,2]

5．若函数y ＝f (x )的值域是[12，3]，则函数F (x )＝f (x )＋1

f (x )

的值域是( )

A ．[12，3]

B ．[2，103]

C ．[52，103]

D ．[3，103

]

6．(2009·海南/宁夏高考)用min{a ，b ，c }表示a ，b ，c 三个数中的最小值．设f (x )＝min{2x

，x ＋2,10－x }(x ≥0)，则f (x )的最大值为 ( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．7

二、填空题(每小题5分，共20分)

7．函数y ＝2x －5

x －3

的值域是{y |y ≤0或y ≥4}，则此函数的定义域为__________．

8．已知f (x )的值域是[38，4

9

]，g (x )＝f (x )＋1－2f (x )，则y ＝g (x )的值域是__________．

9．函数f (x )＝x 2

－2x ＋2x 2

－5x ＋4的最小值为__________．

10．(2009·泉州质检)在实数的运算法则中，我们补充定义一种新运算“ ”如下：当a ≥b 时，a b ＝a ；

当a

；则函数f (x )＝(1 x )·x －(2 x )，(x ∈[－2,2])的最大值是__________．

【答案】

1、解析：由题意得，当x ＝1时，2x ＝2，当x ＝2时，2x ＝4，当x ＝3时，2x

＝8，即函数的值域为{2,4,8}，故应选B. 答案：B

2、解析：∵函数y ＝f (x ＋1)的图象是由函数y ＝f (x )的图象向左平移1个单位得到的，其值域不改变，∴其值域仍为

[a ，b ]，故应选A. 答案：A

3、解析：由y ＝x x 2＋x ＋1(x >0)得0

＋1≤12x ·1

x

＋1＝13，因此该函数的值域是(0，1

3]，

选C.

4、解析：x ＝1时，y 取最小值2；令y ＝3，得x ＝0或x ＝2.故1≤m ≤2. 答案：D

5、解析：令t ＝f (x )，则t ∈[1

2，3]，F (t )＝t ＋1

t

，根据其图象可

知：

当t ＝1时，F (x )min ＝F (t )min ＝F (1)＝2；

当t ＝3时，F (x )max ＝F (t )max ＝F (3)＝10

3，

故其值域为[2，10

3]． 答案：B

6、解析：令2x

＝x ＋2?x 1<0(舍)或x 2＝2，

令2x ＝10－x 即2x

＋x ＝10，则2

7、解析：y ＝2x －5x －3＝2＋1

x －3

，

即1x －3≤－2或1x －3≥2， 由1x －3≤－2?52≤x <3， 由1x －3≥2?3

] 8、解析：∵f (x )∈[38，49]，则2f (x )∈[34，8

9

]，

1－2f (x )∈[19，1

4

]．

令t ＝1－2f (x )∈[13，1

2]，

则f (x )＝1－t 22，g (x )＝1－t

2

2＋t ，

即g (x )＝－t 2

＋2t ＋1

2

，对称轴t ＝1，

g (x )在t ∈[13，12]上单调递增，g (x )∈[79，78]．答案：[79，78

]

9、解析：由?

????

x 2

－2x ≥0

x 2

－5x ＋4≥0??

??

??

x ≥2或x ≤0，x ≥4或x ≤1，

∴x ≥4或x ≤0.

又x ∈[4，＋∞)时，f (x )单调递增?f (x )≥f (4)＝1＋22；而x ∈(－∞，0]时，f (x )单调递减?f (x )≥f (0)＝0＋4＝4.

故最小值为1＋2 2. 答案：1＋2 2 10、解析：

【拓展练习】 一、选择题

1.函数y ＝x 2

－2x 的定义域为{0,1,2,3}，那么其值域为 ( ) A.{－1,0,3} B.{0,1,2,3} C.{y |－1≤y ≤3} D.{y |0≤y ≤3}

2.若函数f (x )＝(a 2－2a －3)x 2

＋(a －3)x ＋1的定义域和值域都为R ，则a 的取值范围是( ) A.a ＝－1或a ＝3 B.a ＝－1 C.a ＝3 D.a 不存在

3.已知函数f (x )＝lg(4－x )的定义域为M ，g (x )＝0.5x

－4的定义域为N ，则M ∩N ＝( ) A.M B.N C.{x|2≤x<4} D.{x|－2≤x<4}

4.(2009·江西高考)函数y ＝－x 2

－3x ＋4

x

的定义域为 ( )

A.[－4,1]

B.[－4,0)

C.(0,1]

D.[－4,0)∪(0,1]

5.若函数f (x )的值域为[12，3]，则函数F (x )＝f (x )＋1

f (x )

的值域是 ( )

A.[12，3]

B.[2，103]

C.[52，102]

D.[3，103

] 6.(2010·南通模拟)若函数y ＝f (x )的值域是[1,3]，则函数F (x )＝1－2f (x ＋3)的值域是( ) A.[－5，－1] B.[－2,0] C.[－6，－2] D.[1,3]

二、填空题

7.函数f (x )＝ln(2＋x －x 2

)

|x |－x 的定义域为 .

8.函数的值域：y ＝－x 2

－6x －5为 .

9.已知函数f (x )＝4

|x |＋2

－1的定义域是[a ，b ](a ，b ∈Z)，值域是[0,1]，则满足条件的整数数对(a ，b )

共有 个.

三、解答题

10.求下列关于x 的函数的定义域和值域： (1)y ＝1－x －x ；

(2)y ＝log 2(－x 2

＋2x )； （3）

【答案】

1、解析：把x ＝0,1,2,3分别代入y ＝x 2

－2x ， 即y ＝0，－1,3. 答案：A

2、解析：依题意应有2230

, 1.30

a a a a ?--==-?-≠?解得 答案：B

3、解析：M ＝{x |4－x >0}＝{x |x <4}， N ＝{x |0.5x －4≥0}＝{x |x ≤－2}， 则M ∩N ＝N . 答案：B

4、解析：要使y ＝－x 2

－3x ＋4

x

有意义，

只要2340,0x x x ?--+?≠?

≥

所以所求定义域为[－4,0)∪(0,1]. 答案：D

5、解析：令f (x )＝t ，t ∈[12，3]，问题转化为求函数y ＝t ＋1t 在[12，3]的值域.又y ′＝1－1t ＝t 2

－1

t

，当

t ∈[12，1]，y ′≤0，y ＝t ＋1t 为减函数， 在[1,3]，y ′≥0，y ＝t ＋1

t

在[1,3]上为增函数，故t ＝1时y min

＝2，t ＝3时y ＝10

3

为最大.

∴y ＝t ＋1t ，t ∈[12，3]的值域为[2，10

3

]. 答案：B

6、解析：∵1≤f (x )≤3，∴1≤f (x ＋3)≤3，

∴－6≤－2f (x ＋3)≤－2，∴－5≤F (x )≤－1. 答案：A

7、解析：由2

20,

12,0,0,x x x x x x ?+->-<

解得

即－1

8、解析：设μ＝－x 2－6x －5(μ≥0)，则原函数可化为y ＝μ.又∵μ＝－x 2

－6x －5＝

－(x ＋3)2

＋4≤4，

∴0≤μ≤4，故μ∈[0,2]，

∴y ＝－x 2

－6x －5的值域为[0,2]. 答案：[0,2]

9、解析：由0≤4|x |＋2－1≤1，即1≤4

|x |＋2

≤2得0≤|x |≤2，满足整数数对的有(－2,0)，

(－2,1)，(－2,2)，(0,2)，(－1,2)共5个. 答案：5 10、解：（1）要使函数有意义，则10,x x -??

?

≥0,

≥∴0≤x ≤1

函数的定义域为[0,1].[来源:学科网]

∵函数y ＝1－x －x 为减函数， ∴函数的值域为[－1,1].

(2)要使函数有意义，则－x 2

＋2x >0，∴0

又∵当x ∈(0,2)时，－x 2

＋2x ∈(0,1]，

∴log 2(－x 2

＋2x )∈(－∞，0]. 即函数的值域为(－∞，0].

(3)函数定义域为{0,1,2,3,4,5}，

函数值域为{2,3,4,5,6,7}.一、函数的概念与表示

1、映射

（1）映射：设A、B是两个集合，如果按照某种映射法则f，对于集合A中的任一个元素，在集合B 中都有唯一的元素和它对应，则这样的对应（包括集合A、B以及A到B的对应法则f）叫做集合A 到集合B的映射，记作f：A→B。

注意点：（1）对映射定义的理解。（2）判断一个对应是映射的方法。一对多不是映射，多对一是映射

2、函数

构成函数概念的三要素①定义域②对应法则③值域

两个函数是同一个函数的条件：三要素有两个相同

二、函数的解析式与定义域

1、求函数定义域的主要依据：

（1）分式的分母不为零；

（2）偶次方根的被开方数不小于零，零取零次方没有意义；

（3）对数函数的真数必须大于零；

（4）指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1；

三、函数的值域

1求函数值域的方法

①直接法：从自变量x的范围出发，推出y=f(x)的取值范围，适合于简单的复合函数；

②换元法：利用换元法将函数转化为二次函数求值域，适合根式内外皆为一次式；

③判别式法：运用方程思想，依据二次方程有根，求出y的取值范围；适合分母为二次且∈R的分式；

④分离常数：适合分子分母皆为一次式（x有范围限制时要画图）；

⑤单调性法：利用函数的单调性求值域；

⑥图象法：二次函数必画草图求其值域；

⑦利用对号函数

⑧几何意义法：由数形结合，转化距离等求值域。主要是含绝对值函数

四．函数的奇偶性

1．定义: 设y=f(x)，x∈A，如果对于任意∈A，都有，则称y=f(x)为偶函数。

如果对于任意∈A，都有，则称y=f(x)为奇

函数。

2.性质：

①y=f(x)是偶函数y=f(x)的图象关于轴对称, y=f(x)是奇函数y=f(x)的图象关于原点对称,

②若函数f(x)的定义域关于原点对称，则f(0)=0

③奇±奇=奇偶±偶=偶奇×奇=偶偶×偶=偶奇×偶=奇[两函数的定义域D1 ，D2，D1∩D2要关于原点对称]

3．奇偶性的判断

①看定义域是否关于原点对称②看f(x)与f(-x)的关系

五、函数的单调性

1、函数单调性的定义：

2 设是定义在M上的函数，若f(x)与g(x)的单调性相反，则在M上是减函数；若f(x)与g(x)的单调性相同，则在M上是增函数。

例说函数奇偶性的几种判断方法

值域经典题型

值域简单练习题 1.求6)(2+-=x x x f 在[]11， -上的值域 2.求函数132)(++= x x x f 的值域 3. 求函数1 33)(2+++=x x x x f 的值域 4.求函数x x x f -+=1)(的值域 5.1321 3)(x x +?-=x f 6.1)(22 +--=x x x x x f 7.x -1x 3131)(-+=x f 8.x x x f +-+=243)( 9.2x 2x -)(2++=x f 10.y =11.2256y x x =-++ 12.2cos 1 3cos 2x y x +=- 13. 求函数()1y x =≥的值域。

值域的求法加强练习题 解答题（共10小题） 1．已知函数的定义域为集合A，函数的值域为集合B，求A∩B和（C R A）∩（C R B）． 2．已知函数f（x）=x2﹣bx+3，且f（0）=f（4）． （1）求函数y=f（x）的零点，写出满足条件f（x）＜0的x的集合； （2）求函数y=f（x）在区间（0，3]上的值域． 3．求函数的值域：． 4．求下列函数的值域： （1）y=3x2﹣x+2；（2）；（3）； （4）；（5）（6）； 5．求下列函数的值域 （1）； （2）； （3）x∈[0，3]且x≠1；

（4）． 6．求函数的值域：y=|x﹣1|+|x+4|． 7．求下列函数的值域． （1）y=﹣x2+x+2；（2）y=3﹣2x，x∈[﹣2，9]；（3）y=x2﹣2x﹣3，x∈（﹣1，2]；（4）y=．8．已知函数f（x）=22x+2x+1+3，求f（x）的值域． 9．已知f（x）的值域为，求y=的值域． 10．设的值域为[﹣1，4]，求a、b的值．

函数值域的求法(精选例题)

函数值域的求法 1、（观察法）求下列函数的值域 （1）求函数y1=121 1x +的值域 (]1,0 （2）求函数y1=2－x 的值域。 (]2-，∞ 2、（配方法）求下列函数的值域 （1）求函数225,[1,2]y x x x =-+∈-的值域 ][84， （2）求函数y =的值域： ][20， （3）,x y 是关于m 的方程2260m am a -++=的根,则()()2211x y -+-的最小值是（ ） C A.-1241 B.18 C.8 D.43

3、（换元法）求下列函数的值域 （1）21y x =+[)∞+，3 （2）4y x =++ ][234,1+ （3）求函数y=32 ++x x 的值域 ??????21,0 （4）求函数y = ][2,1 （5）求函数 y=12243++-x x x x 的值域 ??????41,41-

4、（分离常数法）求下列函数的值域 （1）求值域（1）1 (4)2x y x x -=≥-+ ()??? ???∞+∞，，251- （2）求函数122+--=x x x x y 的值域。 ?????? 131 -， 5、（判别式法）求下列函数的值域 （1）求函数的值域2222 1x x y x x -+=++ ][51， （2）求函数3274222++-+=x x x x y 的值域。 ?????? 229 -， （3）已知函数12)(22 +++=x b ax x f x 的值域是[1，3 ]，求实数a ， b 的值. a=2或-2，b=2

6、(单调性法)求下列函数的值域 （1）求函数32()2440f x x x x =+-，[3,3]x ∈-的最小值。 (2)-48f = （2）设函数f(x)＝ln(2x ＋3)＋x 2.求f(x)在区间???? ??－34，14上的最大值和最小值． max 171()=ln +4216()f f x = min 11(-)=ln 2+24()f f x = 7、(数形结合法)求下列函数的值域 （1）求函数y=4 1362+-x x 4-542++x x 的值域 (]265-， （2）求函数y=4 12++x x 4-1 - 2 +x x 的值域 ()1,1-

判别式法求函数值域

判别式法求函数值域 [6] 把函数转化成关于x 的二次方程(,)0F x y =，通过方程有实根，判别式0?≥，从而求得原函数的值域，这种方法叫做判别法。形如 2111122222 (,0)a x b x c y a a a x b x c ++=++不同时为的函数常用此法。此类问题分为两大类：一类为分子和分母没有公因式一般可使用判别式0?≥解得，但要注意判别式?中二次项系数为零和不为零两种情况；另一类为分子和分母中有公因式，约去因式回到上述方法解决。但值得注意的是函数的定义域问题。 例1、求函数22y=3 x x +的值域。 分析：函数22y=3x x +形如2111122222 (,0)a x b x c y a a a x b x c ++=++不同时为，且定义域为全休实数，因此可用判别式法求解。 解：由22y=3 x x + 得 2320yx y x +-= 当y = 0 时， x = 0 当0y ≠时，由0?≥ 得24120y -≥ ∴33 y -≤≤ ∴函数22y= 3x x +的值域为|33y y ??-≤≤?????。 例2、求函数22(1)(2)(1) x y x x +=--的值域。 分析：察看函数22(1)(2)(1)x y x x += --可知，分子和分母存在公因式1x +，因为分母不为0，则有10x +≠，因此可以分子和分母同时约去公因式1x +。从而原函数就等价为2(2)(1) y x x =--，再用判别式法去解。 解：由22(1)(2)(1)x y x x +=--=2(2)(1)x x --=2232 x x -+ 得

23220yx yx y -+-= ∵当0y =时，-2 = 0 ，不成立 当0y ≠时，由0?≥，得2(3)4(22)y y y ---=280y y +≥ ∴8y ≤-或0y ≥ 由于0y ≠ ∴函数22(1)(2)(1)x y x x +=--的值域为{}|80y y y ≤->或。

函数值域求法总结及练习题

函 数 值 域 求 法 1．重难点归纳． (1)求函数的值域． 此类问题主要利用求函数值域的常用方法 配方法、分离变量法、单调性法、图像法、换元法、不等式法等 无论用什么方法求函数的值域，都必须考虑函数的定义域． (2)函数的综合性题目． 此类问题主要考查函数值域、单调性、奇偶性、反函数等一些基本知识相结合的题目 此类问题要求考生具备较高的数学思维能力和综合分析能力以及较强的运算能力 在今后的命题趋势中综合性题型仍会成为热点和重点，并可以逐渐加强． (3)运用函数的值域解决实际问题． 2．值域的概念和常见函数的值域． 函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用什么方法球函数的值域均应考虑其定义域． 常见函数的值域： 一次函数()0y kx b k =+≠的值域为R ． 二次函数()2 0y ax bx c a =++≠，当0a >时的值域为24,4ac b a ?? -+∞???? ， 当0a <时的值域为24,4ac b a ?? --∞ ?? ?． 反比例函数()0k y k x =≠的值域为{}0y R y ∈≠． 指数函数()01x y a a a =>≠且的值域为{}0y y >． 对数函数()log 01a y x a a =>≠且的值域为R ． 正，余弦函数的值域为[]1,1-，正，余切函数的值域为R ． 3．求函数值域（最值）的常用方法． 一、观察法（根据函数图象、性质能较容易得出值域(最值)的简单函数） 1、求242-+-=x y 的值域． 2、求函数 y =的值域．

二、配方法（当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时，可利用配方法求值域） 1、求函数][)4,0(422∈+--=x x x y 的值域． 2、若,42=+y x 0,0>>y x ，试求xy 的最大值。 三、反表示法（分子、分母只含有一次项的函数，也可用于其它易反解出自变量的函数类型） 对于存在反函数且易于求得其反函数的函数，可以利用“原函数的定义域和值域分别为其反函数的值域和定义域”这一性质，先求出其反函数，进而通过求其反函数的定义域的方法求原函数的值域。 1、求函数1 2+= x x y 的值域． 2、求函数224 1 x y x +=-的值域． 四、判别式法（分子、分母中含有二次项的函数类型，此函数经过变形后可以化为 0)()()(2=++y C x y B x y A 的形式，再利用判别式加以判断） 1、求函数3 27 4222++-+=x x x x y 的值域． 解：由于本题的分子、分母均为关于x 的二次形式，因此可以考虑使用判别式法，将原 函数变形为：7423222-+=++x x y xy y x 整理得：073)2(2)2(2=++-+-y x y x y 当2≠y 时，上式可以看成关于x 的二次方程，该方程的x 范围应该满足 032)(2≠++=x x x f ，即R x ∈此时方程有实根即△0≥， △[2 92(2)]4(2)(37)0[,2]2 y y y y =---+≥?∈-． 注意：判别式法解出值域后一定要将端点值（本题是2 9 ,2- ==y y ）代回方程检验． 将29,2-==y y 分别代入检验得2=y 不符合方程，所以)2,2 9 [-∈y ．

正确用判别式法求值域着重点辨析

正确用判别式法求值域“着重点”辨析 用判别式法求函数的值域是求值域的一种重要方法之一，它主要适用于分式型二次函数，或可通过换元法转化为二次函数的一些函数求值域问题。但在用判别式法求值域时因忽视一些“着重点”而经常出错，下面针对“着重点”一一加以辨析 着重点1 对二次方程的二次项系数是否为零加以讨论 例1 求函数3 22122+-+-=x x x x y 的值域。 错解 原式变形为0)13()12()12(2=-+-+-y x y x y （*） ∵R x ∈，∴0)13)(12(4)12(2≥----=?y y y ，解得 21103≤≤y 。 故所求函数的值域是]21,103[ 分析 把21=y 代入方程（*）显然无解，因此21=y 不在函数的值域内。事实上，21=y 时，方程（*）的二次项系数为0，显然用“?”来判定其根的存在情况是不正确的，因此要注意判别式存在的前提条件，即需对二次方程的二次项系数加以讨论。 正解 原式变形为0)13()12()12(2 =-+-+-y x y x y （*） （1）当2 1= y 时，方程（*）无解； （2）当2 1≠y 时，∵R x ∈，∴0)13)(12(4)12(2≥----=?y y y ，解得2 1103<≤y 。 由（1）、（2）得，此函数的值域为)21,103[ 着重点2 将原函数转化为方程时应等价变形 例2 求函数1++=x x y 的值域。 错解 移项平方得：()011222=+++-y x y x ， 由()014)]12([22≥+---=?y y 解得43≥y ，则原函数的值域是?? ????+∞,43. 分析 由于1-= -x x y 平方得()011222=+++-y x y x ，这种变形不是等价变

高一数学求函数的定义域与值域的常用方法教案

一. 教学内容： 求函数的定义域与值域的常用方法 求函数的解析式，求函数的定义域，求函数的值域，求函数的最值 二. 学习目标 1、进一步理解函数的定义域与值域的概念； 2、会应用代换、方程思想求简单的函数解析式； 3、会求基本初等函数、简单的复合函数及含参变量函数的定义域、值域和最值； 4、会将求函数值域问题化归为求函数的最值问题，重视函数单调性在确定函数最值中的作用； 5、会求实际问题中的函数解析式、定义域、值域和最值问题； 6、会用集合、区间或不等式表示函数的定义域和值域。 三. 知识要点 （一）求函数的解析式 1、函数的解析式表示函数与自变量之间的一种对应关系，是函数与自变量建立联系的一座桥梁，其一般形式是y＝f（x），不能把它写成f（x，y）＝0； 2、求函数解析式一般要写出定义域，但若定义域与由解析式所确定的自变量的范围一致时，可以不标出定义域；一般地，我们可以在求解函数解析式的过程中确保恒等变形； 3、求函数解析式的一般方法有： （1）直接法：根据题给条件，合理设置变量，寻找或构造变量之间的等量关系，列出等式，解出y。 （2）待定系数法：若明确了函数的类型，可以设出其一般形式，然后代值求出参数的值； （3）换元法：若给出了复合函数f［g（x）］的表达式，求f（x）的表达式时可以令t＝g （x），以换元法解之； （4）构造方程组法：若给出f（x）和f（－x），或f（x）和f（1/x）的一个方程，则可以x代换－x（或1/x），构造出另一个方程，解此方程组，消去f（－x）（或f（1/x））即可求出f（x）的表达式； （5）根据实际问题求函数解析式：设定或选取自变量与因变量后，寻找或构造它们之间的等量关系，列出等式，解出y的表达式；要注意，此时函数的定义域除了由解析式限定外，还受其实际意义限定。 （二）求函数定义域 1、函数定义域是函数自变量的取值的集合，一般要求用集合或区间来表示； 2、常见题型是由解析式求定义域，此时要认清自变量，其次要考查自变量所在位置，位置决定了自变量的范围，最后将求定义域问题化归为解不等式组的问题； 3、如前所述，实际问题中的函数定义域除了受解析式限制外，还受实际意义限制，如时间变量一般取非负数，等等；

高考求函数值域及最值得方法及例题_训练题

函数专题之值域与最值问题 一．观察法:通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域. 例1:求函数) + =的值域. y- 3x 3 2( 点拨：根据算术平方根的性质，先求出) -的值域. 3 2(x 解：由算术平方根的性质，知) 2(x -≥3。∴函数的值域为) 3 -≥0，故3+) 2(x 3 ,3[+∞ . 点评：算术平方根具有双重非负性，即：（1）被开方数的非负性，（2）值的非负性。本题通过直接观察算 术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧法。 练习：求函数y=[x](0≤x≤5)的值域。（答案：值域为：｛0，1，2，3，4，5｝） 二．反函数法:当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域. 例2:求函数y=(x+1)/(x+2)的值域. 点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。 解：显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1－2y)/（y－1）,其定义域为y≠1的实数, 故函数y的值域为｛y∣y≠1,y∈R｝。 点评：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。 这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。 练习：求函数y=(10x+10-x)/(10x－10-x)的值域。（答案：函数的值域为｛y∣y<－1或y>1｝）三．配方法:当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域. 例3：求函数y=√(－x2+x+2)的值域. 点拨：将被开方数配方成完全平方数，利用二次函数的最值求。 解：由－x2+x+2≥0,可知函数的定义域为x∈[－1，2]。 此时－x2+x+2=－（x－1/2）2＋9/4∈[0，9/4] ∴0≤√－x2+x+2≤3/2,函数的值域是[0,3/2] 点评：求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。 配方法是数学的一种重要的思想方法。 练习：求函数y=2x－5＋√15－4x的值域.(答案:值域为{y∣y≤3}) 四.判别式法:若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函数的值域。 例4:求函数y=(2x2－2x+3)/(x2－x+1)的值域. 点拨：将原函数转化为自变量的二次方程，应用二次方程根的判别式，从而确定出原函数的值域。

求函数值域的常见方法大全教师版

第 1 页 共 6 页 求函数值域的几种常用方法 在函数的三要素中，定义域和值域起决定作用，而值域是由定义域和对应法则共同确定。研究函数的值域，不但要重视对应法则的作用，而且还要特别重视定义域对值域的制约作用。确定函数的值域是研究函数不可缺少的重要一环。对于如何求函数的值域，是学生感到头痛的问题，它所涉及到的知识面广，方法灵活多样，在高考中经常出现，占有一定的地位，若方法运用适当，就能起到简化运算过程，避繁就简，事半功倍的作用。本文就求函数值域的方法归纳如下，供参考。 一、直接观察法 这是最基本的方法，通过对函数的定义域及其对应关系的观察分析，求函数的值域。 例1 求函数y = x 1 的值域。 解： x ≠0 ，∴ x 1 ≠0 显然函数的值域是：（ -∞，0 ）∪（0 ，+∞）. 例2 求函数y = 3 -x 的值域。 解： x ≥0 ∴- x ≤0 3 -x ≤3 故函数的值域是：(,3]-∞ . 二、反函数法 当一个函数存在反函数又便于求其反函数时，可以通过求原函数的定义域来确定反函数的值域。 例3 求函数y = 6 54 3++x x 值域。 解：由原函数式可得：x = 3 564--y y ， 则其反函数为：4653x y x -= - 其定义域为：x ≠5 3 ， 故所求函数的值域为：33 (,)(,)55 -∞?+∞. 注：本题还可以用分离系数法，把原函数式变形为：3252530 y x = ++同样达到目的。 例4 求函数11()211()2 x x y -= +值域。 解：由原函数式可得：1 21log 1y x y -=+， 则其反函数为：1 2 1log 1x y x -=+ 由 101x x ->+，知11x -<<， 故所求函数的值域为：(1,1)-. 注：本题还可以利用函数的有界性法，把原函数式变形为：11()02 1x y y -= >+同样达到目的 三、配方法 配方法是求二次函数（即形如2 ()()()f x ag x bg x c =++的函数）值域最基本的方法之一。 例5 求函数y =2 x -2x + 5，x ∈[-1，2]的值域。 解：将函数配方得：y =（x -1）2 + 4， x ∈[-1，2]， 由二次函数的性质可知： 当x = 1时，min y = 4 ， 当x = - 1，时max y = 8 ， 故函数的值域是：[ 4 ，8 ]. 例6 求函数y = 的值域。 解： 将函数变形为：y =故函数的值域是：[ 0 ， 3 2 ].

求三角函数值域及最值的常用方法+练习题

求三角函数值域及最值的常用方法 （一）一次函数型 或利用：=+ =x b x a y cos sin )sin(22?+?+x b a 化为一个角的同名三角函数形式，利用三角函数的有界性或单调性求解； （2）2sin(3)512 y x π =-- +，x x y cos sin = （3）函数x x y cos 3sin +=在区间[0,]2 π 上的最小值为 1 ． （4）函数tan( )2 y x π =- (4 4 x π π - ≤≤ 且0)x ≠的值域是 (,1][1,)-∞-?+∞ （二）二次函数型 利用二倍角公式，化为一个角的同名三角函数形式的一元二次式，利用配方法、 换元及图像法求解。 （2）函数)(2cos 2 1 cos )(R x x x x f ∈- =的最大值等于43． （3）.当2 0π <

（三）借助直线的斜率的关系，用数形结合求解 型如d x c b x a x f ++= cos sin )(型。此类型最值问题可考虑如下几种解法： ①转化为c x b x a =+cos sin 再利用辅助角公式求其最值； ②利用万能公式求解； ③采用数形结合法（转化为斜率问题）求最值。 例1：求函数sin cos 2 x y x = -的值域。 解法1：数形结合法：求原函数的值域等价于求单位圆上的点P(cosx , sinx )与定点Q(2, 0)所确定的直线的斜率的范围。作出如图得图象，当过Q 点的直线与单位圆相切时得斜率便是函数sin cos 2 x y x = -得最值，由几何知识，易求得过Q 的两切线得斜率分别为3 3 -、 33。结合图形可知，此函数的值域是33 [,]33 - 。 解法2：将函数sin cos 2x y x =-变形为cos sin 2y x x y -=，∴22s i n ()1y x y φ+= +由2 |2||sin()|11y x y φ+= ≤+22(2)1y y ?≤+，解得：3333 y - ≤≤，故值域是33 [,]33- 解法3：利用万能公式求解：由万能公式2 12sin t t x +=，221cos 1t x t -=+，代入sin cos 2x y x =-得到2 213t y t =--则有2 320yt t y ++=知：当0t =，则0y =，满足条件；当0t ≠，由2 4120y =-≥△，3333 y ?-≤≤，故所求函数的值域是33[,]33-。 解法4：利用重要不等式求解：由万能公式2 12sin t t x +=，221cos 1t x t -=+，代入sin cos 2x y x = -得到2 213t y t =--当0t =时，则0y =，满足条件；当0t ≠时， 22 113(3) y t t t t = =---+，如果t > 0，则2223113233(3)y t t t t ==-≥-=---+， x Q P y O

关于判别式法求值域增根的研究

关于判别式法求值域增根的研究 文章来源：2008年下半年度《试题与研究》 我们都知道对于形如f ( x ) = 的二次分式函数我们通常使用判别式来求其值域。但这是在分子分母没有公因式的前提下进行的，若分子分母有公因式时，我们须先 约去公因式，化成f(x) =的形式，然后再求出其值域。但如果我们用判别式法求这类函数的值域时，会出现什么情况呢？让我们比较吧！ 例：求二次分式函数y = 的值域．

y = y = = ， = 通过比较，我们发现用判别式法求值域的结果，比先化成一次分式函数来求解其值域的结果多了一个值y = 2。这就是说，

用判别式法求值域会产生增根。这是为什么呢？下面让我们首先来研究一下用判别式法来求值域的原理吧！ 函数是定义域到值域的映射，在定义域内任何一个x值，在值域内都有唯一一个y值与之对应。反过来，值域内每一个y 值，都会有一个或多个x值与之对应。将某一函数化为关于x 的方程（将y看作是x的系数），只是将x和y的对应关系用另一种形式表示出来，其对应实质并未改变。判别式法求值域就是基于这种思想而产生的。 将二次分式函数的分母乘到另一侧，得到一个关于x的方程。如果二次项系数不为0，此方程为关于x的一元二次方程。其中，当△≥0时（△是含字母y的式子），将这个范围内的y 值代入方程，都能够得到一个或两个与之对应的x值；而当△＜0时，方程无解，这说明在此范围内的y值没有x值与之对应，因此此范围内的值y不属于值域。如果二次项系数为0，此方程为关于x的一次方程，将此时y的取值代入解析式可得到一个与之对应的x值，如果所得x值在定义域内，则该y值属于值域；如果所得x值不在定义域内，或所得解析式根本没有意义，则该y值不属于值域。

求函数解析式及值域的基本方法

求函数解析式的基本方法 求函数解析式是中学数学的重要内容，是高考的重要考点之一。本文给出求函数解析式的基本方法，供广大师生参考。 一、定义法 根据函数的定义求其解析式的方法。 例1. 已知x 2x )1x (f +=+，求)x (f 。 解：因为 ) 1x (1x )x (f , 11x , 1]1)x [(x 2x )1x (f 22≥-=≥+-+=+=+所以 二、换元法 已知)x (g ),x (f )]x (g [f 把求看成一个整体t ，进行换元，从而求出)x (f 的方法。 例2. 同例1。 解：令2)1t (x ,1t x ,1t ,t 1x -=-=≥=+则， 所以)1t (1t )1t (2)1t ()t (f 22≥-=-+-=， 所以)1x (1x )x (f 2≥-=。 评注：利用换元法求函数解析式必须考虑“元”的取值范围，即)x (f 的定义域。 三、方程组法 根据题意，通过建立方程组求函数解析式的方法。 例3. 已知定义在R 上的函数)x (f 满足1x )x (f 2)x (f +=+-，求)x (f 的解析式。 解：1x )x (f 2)x (f +=+- ， ① 1x )x (f 2)x (f +-=-+∴ ② ②①-?2得1x 3)x (f 3+=， 所以31x )x (f +=。 评注：方程组法求解析式的关键是根据已知方程中式子的特点，构造另一个方程。 四、特殊化法 通过对某变量取特殊值求函数解析式的方法。

例 4. 已知函数)x (f 的定义域为R ，并对一切实数x ，y 都有)1y 2x (x )y (f 3)x (f )y x (f 2++++=-，求)x (f 的解析式。 解：令 x x )0(f 3)x (f )x (f 20y 2+++==得， 令)0(f 3)0(f )0(f 20y x +===得， 所以0)0(f =， 所以 )R x (x x )x (f 2∈+= 五、待定系数法 已知函数解析式的类型，可设其解析式的形式，根据已知条件建立关于待定系数的方程，从而求出函数解析式的方法。 例5. 已知二次函数)x (f 的二次项系数为a ，且不等式x 2)x (f ->的解集为（1，3），方程0a 6)x (f =+有两个相等的实根，求)x (f 的解析式。 解：因为的0x 2)x (f >+解集为（1，3）， 设0a ),3x )(1x (a x 2)x (f <--=+且， 所以x 2)3x )(1x (a )x (f ---= a 3x )a 42(ax 2++-= ① 由方程0a 6)x (f =+ 得0a 9x )a 42(ax 2=++- ② 因为方程②有两个相等的实根， 所以0a 9a 4)]a 42([2=?-+-=?， 即,01a 4a 52=-- 解得51a 1a -==或 又51 a ,0a - =<所以，

人教版必修一求函数值域的几种常见方法

人教版必修一求函数值域的几种常见方法 1．直接法：利用常见函数的值域来求 一次函数y=ax+b(a ≠0)的定义域为R ，值域为R ； 反比例函数)0(≠= k x k y 的定义域为{x|x ≠0}，值域为{y|y ≠0}； 二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 的定义域为R ， 当a>0时，值域为{a b ac y y 4)4(|2-≥}；当a<0时，值域为{a b a c y y 4)4(|2 -≤}. 例1．求下列函数的值域 ① y=3x+2(-1≤x ≤1) ②x x f -+=42)( ③1 += x x y ④x x y 1 + = 解：①∵-1≤x ≤1，∴-3≤3x ≤3， ∴-1≤3x+2≤5，即-1≤y ≤5，∴值域是[-1，5] ②∵),0[4+∞∈-x ∴),2[)(+∞∈x f 即函数x x f -+=42)(的值域是 { y| y ≥2} ③1 111 111 +- =+-+= +=x x x x x y ∵ 01 1≠+x ∴1≠y 即函数的值域是 { y| y ∈R 且y ≠1}（此法亦称分离常数法） ④当x>0，∴x x y 1+ ==2)1(2 +- x x 2≥， 当x<0时，)1(x x y -+ --==－2)1(2 --- -x x 2-≤ ∴值域是 ]2,(--∞[2，+∞).（此法也称为配方法） 函数x x y 1+ =的图像为： 2．二次函数比区间上的值域(最值)： 例2 求下列函数的最大值、最小值与值域： ①142+-=x x y ； ②]4,3[,142∈+-=x x x y ；③]1,0[,142∈+-=x x x y ； ④]5,0[,142∈+-=x x x y ； 4 3 21 -1-2-3 -4 -6 -4 -2 2 4 6 y=x o -2 -112 f x () = x+ 1x

高中函数值域的12种解法(含练习题)

高中函数值域的12种求法 一、观察法 通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。 例1求函数y＝3＋√(2－3x) 的值域。 点拨：根据算术平方根的性质，先求出√(2－3x) 的值域。 解：由算术平方根的性质，知√(2－3x)≥0， 故3＋√(2－3x)≥3。 ∴函数的知域为[3，＋∞]。 点评：算术平方根具有双重非负性，即：（1）被开方数的非负性，（2）值的非负性。本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧法。 练习：求函数y＝[x](0≤x≤5)的值域。（答案：值域为：｛0，1，2，3，4，5｝） 二、反函数法 当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。 例2求函数y＝(x＋1)/(x＋2)的值域。 点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。 解：显然函数y＝(x＋1)/(x＋2)的反函数为:x＝(1－2y)/（y－1）,其定义域为y≠1的实数,故函数y的值域为｛y∣y≠1,y∈R｝。 点评：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。

练习：求函数y＝(10x＋10-x)/(10x－10-x)的值域。（答案：函数的值域为｛y∣y＜－1或y ＞1｝） 三、配方法 当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域。 例3：求函数y＝√(－x2＋x＋2)的值域。 点拨：将被开方数配方成完全平方数，利用二次函数的最值求。 解：由－x2＋x＋2≥0,可知函数的定义域为x∈[－1，2]。此时－x2＋x＋2＝－(x－1/2)2＋9/4∈[0，9/4]， ∴0≤√(－x2＋x＋2)≤3/2,函数的值域是[0，3/2]。 点评：求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。配方法是数学的一种重要的思想方法。 练习：求函数y＝2x－5＋√(15－4x)的值域。（答案:值域为{y∣y≤3}） 四、判别式法 若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函数的值域。 例4求函数y＝(2x2－2x＋3)/(x2－x＋1)的值域。 点拨：将原函数转化为自变量的二次方程，应用二次方程根的判别式，从而确定出原函数的值域。 解：将上式化为（y－2）x2－(y－2)x＋(y－3)＝0（＊） 当y≠2时,由Δ＝(y－2)2－4（y－2）(y－3)≥0，解得：2＜x≤10/3 当y＝2时,方程(＊)无解。∴函数的值域为2＜y≤10/3。 点评：把函数关系化为二次方程F(x,y)＝0，由于方程有实数解，故其判别式为非负数，可

如何用判别式法求函数值域

如何用判别式法求函数值域 用判别式法求值域是求函数值域的常用方法，但在教学过程中，很多学生对用判别式求值域掌握不好。一是不理解为什么可以这样做，二是学生对哪些函数求值域可以用判别式法，哪些函数不能也比较模糊。本人结合自己的教学实践谈谈对本内容的一点体会。 一、判别式法求值域的理论依据 例1、 求函数1 22+--=x x x x y 的值域 象这种分子、分母的最高次为2次的分式函数可以考虑用判别式法求值域。 解：由1 22+--=x x x x y 得： （y-1）x 2+(1-y)x+y=0 ① 上式中显然y ≠1,故①式是关于x 的一元二次方程 ?? ????-+--=∴≠≤≤-≥?---=?13111,13 10) 1(4)1(222，x x x x y y y ，y y y 的值域为又解得令 为什么可以这样做？即为什么△≥0，解得y 的范围就是原函数的值域？ 我们可以设计以下问题让学生回答： 1、 当x=1时，y=? (0) 反过来当y=0时，x=?（1） 当x=2时，y=? (32) 当y=3 2时，x=?（2） 以上y 的取值，对应x 的值都可以取到，为什么？ （因为将y=0和y=3 2代入方程①，方程的△≥0） 2、 当y=-1时，x=? 当y=2时，x=? 以上两个y 的值x 都求不到，为什么求不到？（因为将y 的值代入方程①式中△<0,所以无解） 3、 当y 在什么范围内，可以求出对应的x 值？ 4、 函数1 22+--=x x x x y 的值域怎样求？ 若将以上问题弄清楚了，也就理解了判别式求值域的理论依据。 二、判别式法求值域的适用范围 前面已经谈到分子、分母的最高次为2次的分式函数可以考虑用判别式法求值域。是不是所有这种类函数都可以用判别式法求值域？

函数的值域求法练习题

函数的值域求法练习题 （一）基本知识点 1、直接观察法： 2、配方法 3、换元法。 4、反函数法（或反表示法）。 5、反比例函数法。 6、数形结合法。 7、判别式法。 8、不等式法。 9、单调性法 （二）经典例题 1、（配方法）求下列函数的值域 （1）当(0,2]x ∈时，函数2()4(1)3f x ax a x =++-在2x =时取得最大值，则a 的取值范围是___ （2）设函数2()2()g x x x R =-∈,()4,(), ()(),(). g x x x g x f x g x x x g x ++

求函数的定义域与值域的常用方法完整版

求函数的定义域与值域 的常用方法 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】

求函数的定义域与值域的常用方法 引入： 自变量x 的取值范围为 定义域 因变量y 的取值范围为 值域 求函数的解析式、求函数的定义域、求函数的值域、求函数的最值? 一、求函数的解析式 （一）解析式的表达形式 （解析式的表达形式有一般式、分段式、复合式等。） 1、一般式 （是大部分函数的表达形式） 例：一次函数：b kx y +=)0(≠k 二次函数：c bx ax y ++=2 )0(≠a 反比例函数：x k y = )0(≠k 正比例函数：kx y = )0(≠k 2、复合式 若y 是u 的函数，u 又是x 的函数，即),(),(),(b a x x g u u f y ∈==，那么y 关于x 的函数[]()b a x x g f y ,,)(∈=叫做f 和g 的复合函数。 例1、已知3)(,12)(2+=+=x x g x x f ，则[]=)(x g f ， []=)(x f g 。 解：[]721)3(21)(2)(22+=++=+=x x x g x g f （二）解析式的求法 （根据已知条件求函数的解析式，常用配凑法、换元法、待定系数法、赋值（式）法、方程法等。） 1. 配凑法 例1.已知 ：23)1(2+-=+x x x f ，求f(x)； 解：因为15)1(23)1(22+-+=+-=+x x x x x f 例2、已知：221)1(x x x x f +=+，求)(x f 。 解： 2)1(1)1(222-+=+=+x x x x x x f ∴ )22(2)(2-≤≥-=x x x x f 或 注意：使用配凑法也要注意自变量的范围限制。 2.换元法 例1.已知：x x x f 2)1(+=+，求f(x); 解：令2)1(,1,1-=≥=+t x t t x 即则 则1)1(2)1()(22-=-+-=t t t t f 所以)1(1)(2≥-=x x x f 例2、已知：11)11(2-=+x x f ，求)(x f 。

求函数的定义域与值域的常用方法

求函数的定义域与值域的常用方法 引入： 自变量x 的取值范围为 定义域 因变量y 的取值范围为 值域 求函数的解析式、求函数的定义域、求函数的值域、求函数的最值 一、 求函数的解析式 （一）解析式的表达形式 （解析式的表达形式有一般式、分段式、复合式等。） 1、一般式 （是大部分函数的表达形式） 例：一次函数：b kx y +=)0(≠k 二次函数：c bx ax y ++=2)0(≠a 反比例函数：x k y = )0(≠k 正比例函数：kx y =)0(≠k 2、复合式 若y 是u 的函数，u 又是x 的函数，即),(),(),(b a x x g u u f y ∈==，那么y 关于x 的函数[]()b a x x g f y ,,)(∈=叫做f 和g 的复合函数。 例1、已知3)(,12)(2+=+=x x g x x f ，则[]=)(x g f ，[]=)(x f g 。 解：[]721)3(21)(2)(22+=++=+=x x x g x g f [][]4443)12(3)()(222 ++=++=+=x x x x f x f g （二）解析式的求法 （根据已知条件求函数的解析式，常用配凑法、换元法、待定系数法、赋值（式）法、方程法等。） 1. 配凑法 例1.已知 ：23)1(2 +-=+x x x f ，求f(x)； 解：因为15)1(23)1(22+-+=+-=+x x x x x f 65)(6)1(5)1(22+-=++-+=x x x f ，x x 所以 例2、已知：221)1(x x x x f +=+，求)(x f 。 解： 2)1(1)1(222-+=+=+x x x x x x f ∴ )22(2)(2-≤≥-=x x x x f 或 注意：使用配凑法也要注意自变量的范围限制。

高中函数值域的经典例题 12种求法

一．观察法 通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。 例1求函数y=3+√(2－3x) 的值域。 点拨：根据算术平方根的性质，先求出√(2－3x) 的值域。 解：由算术平方根的性质，知√(2－3x)≥0， 故3+√(2－3x)≥3。 ∴函数的知域为 . 点评：算术平方根具有双重非负性，即：（1）被开方数的非负性，（2）值的非负性。 本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧法练习：求函数y=[x](0≤x≤5)的值域。（答案：值域为：｛0，1，2，3，4，5｝） 二．反函数法 当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。 例2求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。 点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。 解：显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1－2y)/（y－1）,其定义域为y≠1的实数,故函数y的值域为｛y∣点评：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。这种方法体现逆向思维的思想，是数学练习：求函数y=(10x+10-x)/(10x－10-x)的值域。（答案：函数的值域为｛y∣y<－1或y>1｝） 三．配方法 当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域 例3：求函数y=√(－x2+x+2)的值域。 点拨：将被开方数配方成完全平方数，利用二次函数的最值求。 解：由－x2+x+2≥0,可知函数的定义域为x∈[－1，2]。此时－x2+x+2=－（x－1/2）2＋9/4∈[0，9/4] ∴0≤√－x2+x+2≤3/2,函数的值域是[0,3/2] 点评：求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。配方法是数学的一种练习：求函数y=2x－5＋√15－4x的值域.(答案:值域为{y∣y≤3}) 四．判别式法 若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函数的值域。 例4求函数y=(2x2－2x+3)/(x2－x+1)的值域。 点拨：将原函数转化为自变量的二次方程，应用二次方程根的判别式，从而确定出原函数的值域。 解：将上式化为（y－2）x2－(y－2)x+(y-3)=0 （＊） 当y≠2时,由Δ=(y－2)2－4（y－2）x+(y－3)≥0，解得：2＜x≤10/3 当y=2时,方程(＊)无解。∴函数的值域为2＜y≤10/3。 点评：把函数关系化为二次方程F(x,y)=0，由于方程有实数解，故其判别式为非负数，可求得函数的值域。常适y=(ax2+bx+c)/(dx2+ex+f)及y=ax+b±√(cx2+dx+e)的函数。 练习：求函数y=1/(2x2－3x+1)的值域。（答案：值域为y≤－8或y>0）。 五．最值法 对于闭区间[a,b]上的连续函数y=f(x),可求出y=f(x)在区间[a,b]内的极值,并与边界值f(a).f(b)作比较,求出函域。 例5已知(2x2-x-3)/(3x2+x+1)≤0,且满足x+y=1,求函数z=xy+3x的值域。 点拨：根据已知条件求出自变量x的取值范围，将目标函数消元、配方，可求出函数的值域。 解：∵3x2+x+1＞0，上述分式不等式与不等式2x2-x-3≤0同解，解之得－1≤x≤3/2，又x+y=1，将y=1-x代入z=-x2+4x(-1≤x≤3/2), ∴z=-(x-2)2+4且x∈[-1,3/2],函数z在区间[-1,3/2]上连续，故只需比较边界的大小。 当x=-1时，z=－5；当x=3/2时，z=15/4。

高中数学求值域的10种方法

求函数值域的十种方法 一．直接法（观察法）：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。 例1．求函数1y = 的值域。 【解析】0≥11≥，∴函数1y =的值域为[1,)+∞。 【练习】 1．求下列函数的值域： ①32(11)y x x =+-≤≤； ②x x f -+=42)(； ③1 += x x y ； ○ 4()112 --=x y ，{}2,1,0,1-∈x 。 【参考答案】①[1,5]-；②[2,)+∞；③(,1)(1,)-∞+∞U ；○4{1,0,3}-。 二．配方法：适用于二次函数及能通过换元法等转化为二次函数的题型。形如 2()()()F x af x bf x c =++的函数的值域问题，均可使用配方法。 例2．求函数2 42y x x =-++（[1,1]x ∈-）的值域。 【解析】22 42(2)6y x x x =-++=--+。 ∵11x -≤≤，∴321x -≤-≤-，∴21(2)9x ≤-≤，∴2 3(2)65x -≤--+≤，∴35y -≤≤。 ∴函数2 42y x x =-++（[1,1]x ∈-）的值域为[3,5]-。 例3．求函数][)4,0(422∈+--=x x x y 的值域。 【解析】本题中含有二次函数可利用配方法求解，为便于计算不妨设： )0)((4)(2≥+-=x f x x x f 配方得：][)4,0(4)2()(2∈+--=x x x f 利用二次函数的相关知识得 ][4,0)(∈x f ，从而得出：]0,2y ?∈?。 说明：在求解值域(最值)时，遇到分式、根式、对数式等类型时要注意函数本身定义域的限制，本题为： 0)(≥x f 。 例4．若,42=+y x 0,0>>y x ，试求y x lg lg +的最大值。