多元函数微分习题
第五部分 多元函数微分学
[选择题]
容易题1—36，中等题37—87，难题88—99。
1．设有直线?
??=+--=+++031020
123:z y x z y x L 及平面0224:=-+-z y x π，则直线L ( )
(A) 平行于π。 (B) 在上π。(C) 垂直于π。 (D) 与π斜交。 答：C
2．二元函数???
??=≠+=)0,0(),(,
0)0,0(),(,),(22y x y x y x xy
y x f 在点)0,0(处 ( )
(A) 连续，偏导数存在 (B) 连续，偏导数不存在 (C) 不连续，偏导数存在 (D) 不连续，偏导数不存在 答：C
3．设函数),(),,(y x v v y x u u ==由方程组?
??+=+=2
2v u y v u x 确定，则当v u ≠时，=??x u
( ) (A)
v u x - (B) v u v -- (C) v u u -- (D) v
u y
- 答：B
4．设),(y x f 是一二元函数，),(00y x 是其定义域内的一点，则下列命题中一定正确的是( )
(A) 若),(y x f 在点),(00y x 连续，则),(y x f 在点),(00y x 可导。
(B) 若),(y x f 在点),(00y x 的两个偏导数都存在，则),(y x f 在点),(00y x 连续。 (C) 若),(y x f 在点),(00y x 的两个偏导数都存在，则),(y x f 在点),(00y x 可微。 (D) 若),(y x f 在点),(00y x 可微，则),(y x f 在点),(00y x 连续。 答：D 5．函数2223),,(z y x z y x f +++=在点)2,1,1(-处的梯度是( )
(A) )32,31,31(- (B) )32,31,31(2- (C) )92,91,91(- (D) )9
2
,91,91(2- 答：A
6是函数存在全
微分的（）
（A).充分条件（B).充要条件
(C).必要条件 (D). 既不充分也不必要
答C
7．下列有关偏导数与全微分关系中正确的命题是（）。
(A).偏导数不连续，则全微分必不存在 (B).偏导数连续，则全微分必存在
(C).全微分存在，则偏导数必连续 (D).全微分存在，而偏导数不一定存在
答B
8）。
(A).可微可导
续
(B).
(C).
(D).
答C
9）
(A).连续但不可微 (B).连续但不一定可微
(C).可微但不一定连续 (D).不一定可微也不一定连续
答D
10
（）
(A).必无定义 (B)极限必不存在
(C).偏导数必不存在 (D).全微分必不存在。
答D
11．二元函数的几何图象一般是：( )
(A)一条曲线
(B)一个曲面
(C)一个平面区域
(D)一个空间区域
答 B
12．函数2
22
211arcsin
y x y
x z --++=的定义域为( ) (A) 空集 (B) 圆域 (C) 圆周 (D) 一个点 答 C
13．设),(2
2
2
z y x f u -+=则
=??x
u
( ) (A) '2xf
(B) f
u x
??2 (C) )(22
22z y x f
x
-+?? (D) )
(22
22z y x u
x
-+?? 答 A
14．3
32
)0,0(),(lim y x xy y x +→=( )
(A) 存在且等于0。 (B) 存在且等于1。
(C) 存在且等于1- (D) 不存在。
15．指出偏导数的正确表达( )
(A) 2
2
,)
,(),(lim
),('k
h b a f k b h a f b a f k h x +-++=→
(B) x
x f f x x )
0,(lim
),0('0
→= (C) y
y f y y f y f y y ?-?+=→?)
,0(),0(lim
),0('0
(D) x
x f y x f x f x x )
0,(),(lim )0,('0
-=→
答 C
16．设)ln(),(22y x x y x f --
= （其中 0>>y x ）
，则=-+),(y x y x f （ ）. （A ）)ln(2y x -；
（B ）)ln(y x -；（C ）)ln (ln 2
1
y x -；（D ）)ln(2y x -. 答A
17．函数)sin(),(2
y x y x f +=在点)0,0(处（ ）
（A ）无定义； （B ）无极限； （C ）有极限，但不连续； （D ）连续.
答D
18．函数),(y x f z =在点),(000y x P 间断，则（ ）
（A ）函数在点0P 处一定无定义； （B ）函数在点0P 处极限一定不存在；
（C ）函数在点0P 处可能有定义，也可能有极限；
（D ）函数在点0P 处有定义，也有极限，但极限值不等于该点的函数值. 答C
19．设函数),(y x u u =，),(y x v v =由方程组?
?
?+=+=22v u y v
u x 确定，v u ≠，则 =??x
u
（ ） （A ）v u x -； （B ）v u v
--；
（C ）v u u --； （D ）v
u xy
-.
答B 20．2223z y x u +++=
在点)2,1,1(0-M 处的梯度=gradu （ ）
（A ）)92,91,91(-； （B ）)94
,92,92(-； （C ）)32,31,31(-； （D ）)3
4
,32,32(-.
答C
21．设函数),(y x f z =在点),(00y x 处可微，且0),(00=y x f x ，0),(00=y x f y ，则
函数),(y x f 在),(00y x 处（ ）
（A ）必有极值，可能是极大，也可能是极小； （B ）可能有极值，也可能无极值； （C ）必有极大值； （D ）必有极小值. 答B 22．设,xy z =则
)
0,0(x z
??=( )
(A) 0 (B) 不存在 (C) 1- (D) 1 答 A
23．设y
e
x y xy y z 2arctan )1()sin(-+-+=,则
)
0,1(x z
??=( )
(A) 23 (B) 21
(c) 4
π
(D) 0 答 B 。
24．设),(2
2
z x yf z x -=+则y
z y x z z ??+??=( ) (A) x (B) y (C) z
(D) )(2
2z x yf - 答 A
25．设0),(=x z
x y f ,确定),(y x z z =则y
z
y x z x ??+??=( ) (A) z - (B) z (C) y - (D) y 答B
26．已知,cos ,tan ,t y t xe e z y x x
x
===-+则
=t dt
dz
=( )
(A) 21 (B) 2
1-
(C) 1 (D) 0 答D
27．设),(y x z z =由方程02=+--z
xy
e z e
确定,则22x
z
??=( )
(A) 2
2---z xy
e e y
(B) 2
2)2()2(------z z xy z xy e e ye e e y (C) 2222)2()2(-+--+--z z xy z xy e e y e e y
(D) 3
2222)
2()2(----+--z z xy z xy e e y e e y 答 D
28．设xy u u x f z ==),,(,则22x z
??=( )
(A) 2
2
222y u f x f ??+?? (B) 2
22222y u f y y x f x f ??+???+
?? (C) 2
222222
y u f y y x f x f ??+???+?? (D) 22222u
f
y y x f x f ??+???+
?? 答 C
29．设2
2
2
2
,),,(y x v y x u v u f z -=+==,则y
x z
???2=( )
(A) ???? ????+??v f u f x 222
(B) ???? ????+??2
2222v f u f x (C) ???? ?
???-??2
2222v f u f x (D) ???
? ?
???-??2
2224v f
u f xy
答 D
30．下列做法正确的是( )
(A) .设方程2
222a y x z ++=,,2,22z F x z z F z x x ='-'='代入z x x F F z ''-
=',得z
x
z x 2='. (B) 设方程2
222a y x z ++=,,2,2z F x F z x ='-='代入z x x F F z ''-
=',得z
x
z x ='. (C) 求2
2y x z +=平行于平面022=-+z y x 的切平面,因为曲面法向量 )1,2,2//()1,2,2(--=→
y x n ,1,1,1,1
1
2222-===?--==∴
z y x y x 切平面方程为0)1()1(2)1(2=+--+-z y x .
(D) 求8=xyz 平行于平面1=++z y x 的切平面,因为曲面法向量 )1,1,1//(),,(xy xz yz n =→
,1,1
11===?==∴
z y x xy xz yz 切平面方程为0)1()1()1(=-+-+-z y x 答 B
31．设),,(z y x M 为平面1=++z y x 上的点,且该点到两定点)1,0,2(),1,0,1(的距离平方之 和
为最小,则此点的坐标为( )
(A) )21
,21,1( (B) )21
,21,1(-
(C) )21
,21,1(--
(D) )2
1,21,1(-
答 B
32．若函数),(y x f z =在点),(00y x 可微，则在该点（ ） (A)
?
???f
x f 与一定存在。 (B)
y
f
x f ????与一定连续。
(C) 函数沿任一方向的方向导数都存在，反之亦真。 (D) 函数不一定连续。 答A
33．在矩形域δδ<-<-00,:y y x x D 内，0),(,0),(≡≡y x f y x f y x 是C y x f =),(（常数）的（ ）
(A)必要条件 (B) 充分条件 (C) 充要条件 (D)既非充分也非必要条件 答C
34．若函数),(),,(),,,(t s y t s x y x t f u ψ?===均具有一阶连续偏导数，则
=??t
u
( ) (A)232
2ψ?''+''f f ( B)23221ψ?''+''+'f f f (C)22
ψ?'+'f f (D)22ψ?'+'+f f f 答B
35．设函数)(),(t t ψ?具有二阶连续导数，则函数)()(y x y x z -++=ψ?满足关系（ ）
(A)
02=???y x z (B) 0222=??+???x
z y x z (C) 02222=??+??y z x z (D) 02222=??-??y
z
x z
答 D
36．二元函数221y x z +-
=的极大值点是
(A) (1,1) (B) (0,1) (C) (1,0) (D) (0,0) 答D 37．直线
z y x =-=+222
与???=++=++0
2012z y y x 之间的关系是( ) (A) 重合 (B) 平行 (C) 相交 (D) 异面 答：B
38．曲面21322
2
2
=++z y x 的与平面064=++z y x 平行的切平面方程是( )
(A) 2
21
64±
=++z y x (B) 2164=++z y x (C) 2164-=++z y x (D) 2164±=++z y x 答：D
39．下列结论中错误的是( ) (A) 0lim
0=+=→y x xy
kx y x (B) 0111lim lim
0000=+
=+→→→→x
y y x xy y x y x (C) 1lim
20-=+-=→y x xy x
x y x 。 (D) y x xy
y x +→→0
0lim
不存在。 答：B
40．已知),(y x f 二阶连续可导，),(xy x f z =，记xy v =，则下列结论中正确的是( )
(A) v x f
y x f x z ???+??=??2222
2。 (B) v x f
y x
f x z ???+??=??22
2222 (C)22222222v f y v x f y x f x z ??+???+??=??。 (D) 2
2
2222222v f y v x f y x f x z ??+???+??=??
答：D
41．设函数??
???=≠+==)0,0(),(,0)0,0(),(,),(22
y x y x y x y
x y x f z ，又t y t x ==,，则下列结论中正
确的是( )
(A) 0)0,0(=df 。 (B) 00
==t dz 。 (C) 2
10
=
=t dz
。 (D) dt dz
t 2
10
=
=。
答：D
42
）
(A).偏导数不存在，也不连续 (B).偏导数存在但不连续 (C).偏导数存在且可微 (D).偏导数不存在也不可微 答:B
43 ）
(A). 0 (B). 1 (C). 2 (D).不存在
答：B
44（ ）
(A). 1 (B). (C). 2
(D). 0 答： B
45 ）
(A).2
)
3
1
(x y
x
y ?
-
答：B
46 ）
答：B
47，且
(A). 1/7 (B).71- (C).4
1
- (D).31-
答：B
48 ）
答：A
49
（ ）
(A). 0 (B). 1- (C). 2- (D). 3- 答：C
501/2，1/2，1/2）处的切平面，则
）。
(A).4/5 (B). 5/4 (C)2 (D).1/2 答：C
51
截距之和为（ ）
答：C
52．指出2
22),(y
x xy
y x f +=
与不相同的函数( ) (A)
2
2
2
21),(y x y x y x y x f +-=-+ (B) 0
,00,),(22222
2222=+≠++-???=-+y x y x y x y x y x y x f
(C) 2
22
23),(v u v u v u v u f +-=-+ (D) 2
2242222),(v
uv u uv
u v u u f +--=- 答 : B
53．指出错误的结论：( )
(A) 按等价无穷小的替换原则，有0lim )sin(lim 222
20,22220,=++=++→→y
x y x y x y x y x y x (B) 按无穷大量与无穷小量的关系，有01
11
lim lim
0,0,=+=+→→x
y y x xy y x y x ，
因当0,→y x 时，
∞→y
x 1
,1。 (C) 按变量代换的方法，有1)1(lim 1lim 1
,0,=+=-+→→t y x y
x y x t e e y
x ， 此处1-=y
x
e e t 。
(D) 按根式有理化方法，有2
1
111lim 11lim
0,0,=-+=--→→xy xy xy y x y x 。
答 : B
54．以下各点都是想说明),(lim 0
,y x f y x →不存在的，试问其理由是否正确？( )
(A) 对y
x xy
y x f +=
),(，理由是x y -=时函数无定义。 (B) 对,,0,),(???
??-=-≠+=x
y x y y x xy
y x f 理由是令2x y =或x x -2将得到不同的极限值1,0-。
(C) 对,0
,00
,),(?????=≠=x x x
y
y x f 理由是令x y -=1，即知极限不存在。 (D) 对,0,00
,1sin 1sin ),(??
???
=≠+=xy xy x
y y x y x f 理由是当0→x 或0→y 时极限已经不存在，故二重极限更不可能存在了。 答 : B
55．在具备可微性的条件下，等式 ,)(dv du v u d +=+ ,)(du u d λλ=
,)(vdu udv uv d += )(1
)(2udv vdu v
v u
d -=的成立，对v u ,还有什麽限制？( )
(A) 没什麽限制（除v 作分母时不为 0）。 (B) v u , 只能是自变量。
(C) v u ,是自变量或某自变量的一元函数。 (D) v u ,是自变量或某自变量的一次函数。 答: A
56．对二元函数而言，指出下列结论中的错误。( ) (A) 两个偏导数连续?任一方向导数存在。 (B) 可微?任一方向导数存在。 (C) 可微?连续。
(D) 任一方向导数存在?函数连续。 答: D
57．设0),,(=z y x F 满足隐函数定理的条件，问
x
z
z y y x ????????如何？( ) (A) 该式=
1=??????????x
z y z
y x
(B) 该式1)()()(-=????-=-?-?-=z
y x x z y z x y z
x y
F F F F F F F F F F F F
(C) 因为一个方程0),,(=z y x F 可以确定一个函数，不妨设z 为函数，另两个变量y
x ,则为自变量，于是
0=??y
x
，故所给表达式为0。 (D) 仿(C)不妨设由0),,(=z y x F 确定z 为y x ,的函数,因
z
y
??无意义,故所给表达式无意义。 答: B
58．设??
?==0
),,(0
),,(z y x G z y x F ，试求对x 的导数。( )
(A) 由第一个方程两边对x 求导，得0=?+x z x z F F ，故z
x
x F F z -
=。 (B) 由第二个方程两边对x 求导，同理得z
x
x G G z -
=。 (C) 由两个方程消去y 得0),(=z x H ，再对x 求导，得0'=?+z H H z x 故z
x
H H z -
='. (D) 视z y ,为x 的函数，在方程组两边对x 求导，得???=?+?+=?+?+0''0
''z G y G G z F y F F z y x
z y x ，故解出
y
z z y x y y x G F G F G F G F z --=
'。
答 : D
59．设),(t x f y =，则由0),,(=t y x F 两边对x 求导的结果为：( )
(A) 0''=?+?+t F y F F t y x ,其中dx
dt t dx dy y =
=
','。 (B) 0)'('=?+?+?+y t t F y F F y x t y x 。
(C) 0)(=?+?+?+x t x t x y x t F t f f F F 。
(D) 0)'()(=?+?+?+?+y t t F t f f F F y x t x t x y x 。
答: A 60．=+-+∞
→∞→22lim
y xy x y
x y x （ ）
（A ）1； （B ）0； （C ）1-； （D ）不存在.
答：B
61．设函数???
??=≠+=)
0,0(),(,0)0,0(),(,),(422
y x y x y x xy y x f ，则（ ）
（A ）极限),(lim 00
y x f y x →→存在，但),(y x f 在点)0,0(处不连续；
（B ）极限),(lim 00y x f y x →→存在，且),(y x f 在点)0,0(处连续； （C ）极限),(lim 0
0y x f y x →→不存在，故),(y x f 在点)0,0(处不连续； （D ）极限),(lim 0
0y x f y x →→不存在，但),(y x f 在点)0,0(处连续.
答：C
62．设M m ,分别为函数),(y x f z =在区域D 上的最小值和最大值，且M m ≤≤μ，则（ ）
（A ）函数),(y x f z =在定义域D 内一定有点),(y x P ，使满足：μ=)(P f ； （B ）当D 为闭区域，),(y x f 为连续函数时，则在D 上至少有一点),(y x P ，使 μ=)(P f ；
（C ）当D 为有界区域，),(y x f 为连续函数时，则),(y x f z =在D 上至少有一点 ),(y x P ，使μ=)(P f ；
（D ）当D 为连通区域，),(y x f 为D 上的连续函数时，则),(y x f z =在D 上至少有一点 ),(y x P ，使μ=)(P f . 答：D
63．函数),(y x f 在点),(00y x 偏导数存在是),(y x f 在该点连续的（ ）
（A ）充分条件但不是必要条件； （B ）必要条件但不是充分条件； （C ）充分必要条件；
（D ）既不是充分条件也不是必要条件. 答：D
64．二元函数),(y x f z =在),(00y x 处满足关系（ ）
（A ）可微（指全微分存在）?可导（指偏导数存在）?连续； （B ）可微?可导?连续；
（C ）可微?可导，或可微?连续，但可导不一定连续； （D ）可导?连续，但可导不一定可微. 答：C 65．若
00
0=??==y y x x x
f ，
00
0=??==y y x x y
f ，则),(y x f 在),(00y x 是（ ）
（A ）连续且可微； （B ）连续但不一定可微； （C ）可微但不一定连续； （D ）不一定可微也不一定连续. 答：D
66．设??
?
??=≠=,0,,0,)
sin(),(2xy x xy xy
y x y x f 则=)1,0(x f （ ） （A ）0； （B ）1； （C ）2； （D ）不存在. 答：B
67．二元函数),(y x f 在点),(00y x 处的两个偏导数),(00y x f x '，),(00y x f y '存在是),(y x f
在该点连续的（ ） （A ）充分条件而非必要条件； （B ）必要条件而非充分条件； （C ）充分必要条件；
（D ）既非充分条件又非必要条件. 答：D 68．已知
2
)
()(y x ydy
dx ay x +++为某函数的全微分，则=a （ ） （A ）1-； （B ）0； （C ）1； （D ）2.
(完整版)多元函数微分法及其应用期末复习题高等数学下册(上海电机学院)
第八章 偏导数与全微分 一、选择题 1.若u=u(x, y)是可微函数，且,1),(2==x y y x u ,2x x u x y =??=则=??=2x y y u [A ] A. 2 1 - B. 21 C. -1 D. 1 2.函数62622++-+=y x y x z [ D ] A. 在点(-1, 3)处取极大值 B. 在点(-1, 3)处取极小值 C. 在点(3, -1)处取极大值 D. 在点(3, -1)处取极小值 3.二元函数(),f x y 在点()00,x y 处的两个偏导数()()0000,,,x y f x y f x y 存在是函数f 在该点可微的 [ B ] A. 充分而非必要条件 B.必要而非充分条件 C.充分必要条件 D.既非充分也非必要条件 4. 设u=2 x +22y +32 z +xy+3x-2y-6z 在点O(0, 0, 0)指向点A(1, 1, 1)方向的导数 =??l u [ D ] A. 635 B.635- C.335 D. 3 3 5- 5. 函数xy y x z 333-+= [ B ] A. 在点(0, 0)处取极大值 B. 在点(1, 1)处取极小值 C. 在点(0, 0), (1, 1)处都取极大值 D . 在点(0, 0), (1, 1)处都取极小值 6.二元函数(),f x y 在点()00,x y 处可微是(),f x y 在该点连续的[ A ] A. 充分而非必要条件 B.必要而非充分条件 C.充分必要条件 D.既非充分也非必要条件 7. 已知)10(0sin <<=--εεx y y , 则dx dy = [ B ] A. y cos 1ε+ B. y cos 11ε- C. y cos 1ε- D. y cos 11 ε+ 8. 函数y x xy z 2050++ = （x>0，y>0）[ D ] A. 在点(2, 5)处取极大值 B. 在点(2, 5)处取极小值 C.在点(5, 2)处取极大值 D. 在点(5, 2)处取极小值 9.二元函数(),f x y 在点()00,x y 处连续的是(),f x y 在点()00,x y 处可微的 [A ] A. 必要而非充分条件 B. 充分而非必要条件
多元函数微分学知识点梳理
第九章 多元函数微分学 内容复习 一、基本概念 1、知道：多元函数的一些基本概念（n 维空间，n 元函数，二重极限，连续等）；理解：偏导数；全微分. 2、重要定理 （1）二元函数中，可导、连续、可微三者的关系 偏导数连续?可微???函数偏导数存在 ?连续 （2）（二元函数）极值的必要、充分条件 二、基本计算 （一） 偏导数的计算 1、 偏导数值的计算（计算),(00y x f x '） （1）先代后求法 ),(00y x f x '＝0),(0x x y x f dx d = （2）先求后代法（),(00y x f x '＝00),(y y x x x y x f =='） （3）定义法（),(00y x f x '＝x y x f y x x f x ?-?+→?),(),(lim 00000）（分段函数在分段点处的偏导数） 2、偏导函数的计算（计算(,)x f x y '） （1） 简单的多元初等函数——将其他自变量固定，转化为一元函数求导 （2） 复杂的多元初等函数——多元复合函数求导的链式法则（画树形图，写求导公式） （3） 隐函数求导 求方程0),,(=z y x F 确定的隐函数),(y x f z =的一阶导数,z z x y ???? ,,,(),,y x z z F F z z x y z x F y F x y x y z ''???=-=-?''????? 公式法：（地位平等）直接法：方程两边同时对或求导（地位不平等） 注：若求隐函数的二阶导数，在一阶导数的基础上，用直接法求。 3、高阶导数的计算 注意记号表示，以及求导顺序 （二） 全微分的计算 1、 叠加原理
多元函数微分法word版
§5.3 多元函数微分法 一、复合函数微分法――链式法则 模型1. ()()()z f u v u u x y v v x y ==，，，，=， z z u z z z u z x u x x y u y y νννν??????????=?+?=?+???????????； 模型2. ()()u f x y z x y =，，，z=z ， x z y z u z f f x x u z f f y y ???''=+????? ???''=+???? 模型3. ()()()u f x y z y y x z x ===，，，，z ()()x y z du f f y x f z x dx '''''=++ 模型4. ()()()w f u v u u x y z v v x y z ===，，，，，，， u v u v u v w u v f f x x x w u v f f y y y w u v f f z z z ????''=+????? ????''=+? ????????''=+????? 还有其他模型可以类似处理。 【例1】 设()u f x y z =，，有连续的一阶偏导数，又函数()y y x =及()z z x =分别由 下列两式确定2xy e xy -=和0sin x z x t e dt t -= ?，求du dx 。 解 根据模型3. x y z du dy dz f f f dx dx dx '''=++
由2xy e xy -=两边对x 求导，得0xy dy dy e y x y x dx dx ???? +-+= ??????? 解出 dy y dx x =-（分子和分母消去公因子()1xy e -） 由0 sin x z x t e dt t -= ? 两边对x 求导，得()()sin 1x x z dz e x z dx -??=- ?-?? 解出 ()() 1sin x e x z dz dx x z -=- - 所以 ()()1sin x e x z du f y f f dx x x y x z z ??-???=-+-?? ??-??? 【98】设1 ()()z f xy y x y x ?=++，f ，?具有二阶连续导数，则 2________z x y ?=??。 答案：()()()yf xy x y y x y ??'''''++++ 注：①混合偏导数在连续的条件下与求导次序无关； ②此题中f 和?均为一元函数。 【05】设函数(,)()()()d x y x y u x y x y x y t t ??ψ+-=++-+? ，其中函数?具有二阶导数，ψ 具有一阶导数，则必有（ ） （A ）2222u u x y ??=-??；（B ）2222u u x y ??=??；（C ）222u u x y y ??=???；（D ）222 u u x y x ??=??? 答案：B 全微分形式不变性 例：利用全微分形式不变性求sin u z e v =，u xy =，v x y =+的偏导数。 【06】设函数()f u 在(0,)+∞内具有二阶导数，且z f =满足等式 2222 0z z x y ??+=??
§8.5复合函数微分法
§8.5多元复合函数微分法 复习：一元复合函数的求导法则 设)]([x f y ?=是由)(u f y =和)(x u ?=复合而成，则)()(x u f dx du du dy dx dy ?'?'=?=。 8.5.1全导数 定理1 若函数)(x u ?=及)(x v ψ=都在点x 可导，函数)v ,u (f z =在对应点)v ,u ( 处可微，则复合函数)](),([x x f z ψ?=在点x 可导，且 x d v d v z x d u d u z dx z d ? ??+???=（全导数公式）。 ① 证明：给x 以增量x ?，则u 、v 得相应的增量u ?、v ?， 从而)v ,u (f z =有全增量) ,() ,(v u f v v u u f z -?+?+=?， ∵)v ,u (f z =在)v ,u (处可微， ∴)(ρ+???+???= ?o v v z u u z z ，其中22)()(v u ?+?=ρ。 ∵)(x u ?=、)(x v ψ=都在点x 可导， ∴)(x u ?=、)(x v ψ=都在点x 必连续， 即当0→?x 时，0→?u ，0→?v ，从而0lim 0 =ρ→?x 。 ∵ x o x v v z x u u z x z ?ρ+????+????=??)(， 而x o o x x ?ρ?ρρ=ρρ→?→?)(lim )(lim 00])()([lim )(lim 220 0x v x u o x x ??+??±?ρρ=→?→? 0])()([022=+±?=dx dv dx du ， ∴ x o x v v z x u u z x z x x x x ?ρ+????+????=??→?→?→?→?) (lim )(lim )(lim lim 0000， 即 x d v d v z x d u d u z dx z d ? ??+???=。
多元函数微分法
第十章 多元函数微分学 一、学习要点 1.关于二元函数 会求二元函数的定义域和相应的函数值。求二元函数定义域及函数值的方法与一元函数的方法相似。 2.关于二元函数微分 (1)熟练掌握一阶、二阶偏导数的计算方法和复合函数、隐函数一阶偏导数的计算方法，尤其是形如z=f (x 2－y 2 ，e xy )等的复合函数的偏导数。能熟练地求全微分。 偏导数的定义、计算公式基本与一元函数导数公式相同。求偏导数时，对一个变量求导时，将另一变量视为常数。如求函数32ln z y x u ++=的偏导数 32121z y x x u ++=??(y ，z 为常数)，32221z y x y y u ++=??(x ，z 为常数) 复合函数求偏导数是难点。一般用链式法则，即z=f (u ，v)，u=u(x ，y)，v=v(x ，y)，有 y v v z y u u z y z x v v z x u u z x z ????????????????????+=+= 具体情况有两种： （一）全部函数关系都给出：这时可按前边方法求偏导数，如求二元函数 )ln(2v u z +=，xy e v y x u =+=,22. 的偏导数y z x z ????,，可以把u ，v 代入z 中，再求偏导数，即 z=ln(x 2+y 2+e 2xy )，求偏导数有 xy xy e y x ye x x z 222222+++=?? xy xy e y x xe y y z 222222+++=?? （二）部分函数关系没有给出：此时只有用链式法则。如求函数z=f(xy ，x 2+y 3)，
的一阶偏导数，则不能用如上方法求解.正确求法是记u=xy ，v=x 2+y 3，用链式法则 x v f y u f x v v z x u u z x z 2??????????????+=+=，23y v f x u f y z ??????+= 上例也可以用链式法则，有 xy xy xe v u v y v u y z ye v u v x v u x z 2222221,221+++=+++=???? 求隐函数的偏导数，是复合函数求偏导数的应用，方法仍然同一元隐函数的求导. 如求函数32ln z y x u ++=的偏导数. 32121z y x x u ++=??(y ，z 为常数)，32221z y x y y u ++=??(x ，z 为常数) (2)知道函数连续、可微、偏导数存在的关系。 3.关于偏导数的几何应用 掌握求曲线的切线与法平面，曲面的切平面与法线的方法. (1)设空间曲线方程为x =x (t)，y =y (t)，z = z (t)，在t=t 0处的切线方向为 ))(),(),((000t z t y t x l '''=ρ，则在t 0处曲线的 切线方程为 )()()()()()(000000t z t z z t y t y y t x t x x '-='-='- 法平面方程为 )())(()())(()())((000000t z t z z t y t y y t x t x x '-+'-+'-=0 (2)曲面F (x ，y ，z)=0(或z=f (x ，y))，在曲面上的点P(x 0，y 0，z 0)处的法方向为)}1,,{(},,{),,(),,(000000z y x y x z y x z y x f f F F F n -'''''=或ρ，则在点(x 0，y 0，z 0)处的 切平面方程为 0)()()(000=-'+-'+-'z z F y y F x x F z y x 法线方程为 z y x F z z F y y F x x ' -='-='-000
最新多元函数微分法及其应用习题及答案
第八章 多元函数微分法及其应用 (A) 1．填空题 (1)若()y x f z ,=在区域D 上的两个混合偏导数y x z ???2，x y z ???2 ，则在D 上， x y z y x z ???=???22。 (2)函数()y x f z ,=在点()00,y x 处可微的 条件是()y x f z ,=在点()00,y x 处的偏导数存在。 (3)函数()y x f z ,=在点()00,y x 可微是()y x f z ,=在点()00,y x 处连续的 条件。 2．求下列函数的定义域 (1)y x z -=；(2)2 2 arccos y x z u += 3．求下列各极限 (1)x xy y x sin lim 00→→； (2)11lim 0 0-+→→xy xy y x ； (3)22222200)()cos(1lim y x y x y x y x ++-→→ 4．设()xy x z ln =，求y x z ???23及2 3y x z ???。 5．求下列函数的偏导数 (1)x y arctg z =；(2)()xy z ln =；(3)32z xy e u =。 6．设u t uv z cos 2+=，t e u =，t v ln =，求全导数 dt dz 。 7．设()z y e u x -=，t x =，t y sin =，t z cos =，求dt du 。 8．曲线?? ???=+= 4422y y x z ，在点(2,4,5)处的切线对于x 轴的倾角是多少？ 9．求方程122 2222=++c z b y a x 所确定的函数z 的偏导数。 10．设y x ye z x 2sin 2+=，求所有二阶偏导数。
第九章多元函数微分法及其应用教案
第九章多元函数微分法及其应用 【教学目标与要求】 1、理解多元函数的概念和二元函数的几何意义。 2、了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上的连续函数的性质。 3、理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件， 了解全微分形式的不变性。 4、理解方向导数与梯度的概念并掌握其计算方法。 5、掌握多元复合函数偏导数的求法。 6、会求隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数。 7、了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求它们的方程。 8、了解二元函数的二阶泰勒公式。 9、理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格郎日乘数法求条件极值，会求简多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。 【教学重点】 1、二元函数的极限与连续性； 2、函数的偏导数和全微分； 3、方向导数与梯度的概念及其计算； 4、多元复合函数偏导数； 5、隐函数的偏导数；多元函数极值和条件极值的求法； 6、曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线； 【教学难点】 1、二元函数的极限与连续性的概念； 2、全微分形式的不变性； 3、复合函数偏导数的求法； 4、二元函数的二阶泰勒公式； 5、隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数； 6、拉格郎日乘数法，多元函数的最大值和最小值。 【教学课时分配】 (18学时) 第1 次课§１第2 次课§2 第3 次课§3 第4 次课§4 第5次课§5 第6次课§6 第7次课§7 第8次课§8 第9次课习题课 【参考书】 [1]同济大学数学系.《高等数学（下）》，第五版.高等教育出版社. [2] 同济大学数学系.《高等数学学习辅导与习题选解》，第六版.高等教育出版社. [3] 同济大学数学系.《高等数学习题全解指南（下）》，第六版.高等教育出版社
多元函数微分学总结
多元函数微分学总结内部编号：（YUUT-TBBY-MMUT-URRUY-UOOY-DBUYI-0128）
`第八章多元函数微分学 基本知识点要求 1.理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义. 2.了解二元函数的极限与连续的概念以及有界闭区域上连续函数的性质。 3.理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性。 4.理解方向导数与梯度的概念，并掌握其计算方法. 5.熟练掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法. 6.了解隐函数存在定理，熟练掌握多元隐函数偏导数的求法. 7.了解空间曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，熟练掌握它们的方程的求法。 8.了解二元函数的二阶泰勒公式. 9.理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，掌握二元函数极值存在的充分条件，并会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。 基本题型及解题思路分析 题型1 与多元函数极限、连续、偏导数和可微的概念及其之间的关系有关的题 1.二元函数的极限与连续的概念及二元函数极限的计算。 （1）基本概念
①二元函数极限的定义：设()(,)f P f x y =的定义域为D ,000(,)P x y 是D 的聚点.若?常数A ，对于?0ε>，总?0δ>，使得当0(,)(,)P x y D U P δ∈时，都有 ()(,)f P A f x y A ε-=-<成立，则称A 为函数(,)f x y 当00(,)(,)x y x y →时的极限，记 作 000 (,)(,) lim (,)lim ()x y x y P P f x y A f P A →→==或。 ②二元函数的连续：设()(,)f P f x y =的定义域为D ,000(,)P x y 为D 的聚点，且 0P D ∈.若 0000(,)(,) lim (,)(,)x y x y f x y f x y →=，则称(,)f x y 在点000(,)P x y 连续。 （2）关于二元函数极限的解题思路 注意：在二元函数0 lim ()P P f P A →=存在的定义中，0P P →方式任意，正是由于这 一点致使二元函数有与一元函数不一样的性态，在学习过程中注意比较、总结和体会二者之间的不同。 ① 证明二元函数的极限不存在：若0P P 以两种不同的方式趋于时，()f P 的极 限不同，则0 lim ()P P f P →一定不存在（见例1）。 ②求二元函数的极限：可以应用一元函数求极限方法中的适用部分求二元 函数的极限，比如：极限的局部有界性、局部保号性、四则运算法则、夹逼准则、两个重要的极限、变量代换法则、等价无穷小代换、分子分母有理化、无穷小量与有界变量的乘积仍为无穷小量、连续性等（见例2） 例1证明：2 24(,)xy f x y x y =+在原点0,0（）的极限不存在。 【分析】观察分子、分母中变量,x y 的各次幂的特点，可考虑选择路径 2x ky =。 证明： 22 24242442000lim (,)lim lim 1y y y x ky x ky xy ky k f x y x y k y y k →→→=====+++， k ∴不同，极限值就不同，故 (,)(0,0) lim (,)x y f x y →不存在。
多元函数微分法及其应用
第九章多元函数微分法及其应用 一、基本要求及重点、难点 1. 基本要求 (1)理解二元函数的概念，了解多元函数的概念。 (2)了解二元函数的极限、连续性概念，有界闭域上连续函数的性质。 (3)理解偏导数和全微分的概念，熟练掌握偏导数的计算，了解全微分存在的必要条件 和充分条件。 (4)了解方向导数与梯度的概念及其计算方法。 (5)掌握复合函数一阶偏导数的求法，会求复合函数的二阶偏导数。 (6)会求隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数（主要是一阶）。 (7)了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面与法线、并会求出它们的方程。 (8)理解多元函数极值和条件极值的概念，会求二元函数的极值。了解求条件极值的拉 格朗日乘数法，会求解一些较简单的最大值和最小值的应用问题。 2. 重点及难点 （1）重点：多元函数概念，偏导数与全微分概念，偏导数计算，微分在几何上的应用，多元函数的极值的计算。 （2）难点：二重极限的定义与计算，多元函数连续；偏导数存在与可微之间的关系；复合函数的高阶偏导数；方向导数、偏导数、梯度之间的关系。。 二、内容概述 多元函数微分学是一元函数微分学的推广，因此两者之间有许多相似之处，但是要特别注意它们之间的一些本质差别。 1.多元函数的极限和连续 (1)基本概念 1)点集和区域。 2)多元函数的定义、定义域。 3)二元函数的极限、连续。 (2)基本定理 1)多元初等函数在其定义域内是连续的。 2)多元连续函数在有界闭区域上一定有最大值M、最小值m；且必取到最大值 M和最小值m之间的任何值。 2.多元函数微分法 (1)基本概念
偏导数、全微分、高阶偏导数的定义。 (2) 计算方法 1) 偏导数：),(y x f z =在),(00y x 处对x 的偏导数 x x x z =??，就是一元函数 ),(0y x f z = 在0x x =处的导数；对y 的偏导数 x x x z =??（同理）。 2) `全微分：),(y x f z =的全微分dy y z dx x z dz ??+??= 3) 复合函数求导法则：画出函数到自变量的路经，然后利用链式迭加法则：即同 条路经的偏导数相乘，不同路经的偏导数相加，求出所要的偏导数。 A. 设),(v u f z =，)(),(t v t u ψ?==，则全导数dt dv v z dt du u z dt dz ??+ ??=。 B. 设),(v u f z =，),(),,(y x v y x u ψ?== 则： x v v z x u u z x z ????+ ????=??，y v v z y u u z y z ????+????=??。 4) 隐函数求导法则： A. 设函数)(x f y =由隐函数0),(=y x F 确定，则 y x F F dx dy -=。 B. 设函数),(y x f z =由隐函数0),,(=z y x F 确定，则 z x F F dx dz -=，z y F F dy dz - =。 C. 设函数)(),(x g z x f y ==由隐函数方程组?? ?==0 ),,(0 ),,(z y x G z y x F 确定，从 ???? ?='+'+='+'+0)()(0 )()(x g G x f G G x g F x f F F z y x z y x ，求出导数)(),(x g x f ''。 (3) 多元函数连续、可导、可微的关系 (4) 基本定理
多元函数微分法及其应用
第八章多元函数微分法及其应用 （讲授法18学时） 上册研究了一元函数微分法，利用这些知识，我们可以求直线上质点运动的速度和加速度，也可以求曲线的切线的斜率，可以判断函数的单调性和极值、最值等，但这远远不够，因为一元函数只是研究了由一个因素确定的事物。一般地说，研究自然现象总离不开时间和空间，确定空间的点需要三个坐标，所以一般的物理量常常依赖于四个变量，在有些问题中还需要考虑更多的变量，这样就有必要研究多元函数的微分学。 多元函数微分学是一元函数的微分学的推广，所以多元函数微分学与一元函数微分学有许多相似的地方，但也有许多不同的地方，学生在学习这部分内容时，应特别注意它们的不同之处。 一、教学目标与基本要求 1、理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义。 2、了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上连续函数的性质。 3、理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性，了解全微分在近似计算中的应用。 4、理解方向导数与梯度的概念并掌握其计算方法。 5、掌握多元复合函数偏导数的求法。 6、会求隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数。 7、了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求它们的方程。 8、了解二元函数的二阶泰勒公式。 9、理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。 二、教学内容及学时分配： 第一节多元函数的基本概念2课时 第二节偏导数2学时 第三节全微分2学时 第四节多元复合函数的求导法则2学时 第五节隐函数的求导公式2学时 第六节多元函数微分学的几何应用2学时 第七节方向导数与梯度2学时 第八节多元函数的极值及其求法2学时 三、教学内容的重点及难点： 重点： 1．多元函数的极限与连续； 2．偏导数的定义；全微分的定义 3．多元复合函数的求导法则；隐函数的求导法则 4．方向导数与梯度的定义 5．多元函数的极值与最值的求法 难点： 1．多元函数微分学的几个概念，即多元函数极限的存在性、多元函数的连续性、偏导数的存在性、全微分的存在性、偏导数的连续性之间的关系； 2．多元复合函数的求导法则中，抽象函数的高阶导数； 3．由方程组确定的隐函数的求导法则； 4．梯度的模及方向的意义； 5．条件极值的求法
多元函数微分学及其应用归纳总结
第八章 多元函数微分法及其应用 一、多元函数的基本概念 1、平面点集，平面点集的内点、外点、边界点、聚点，多元函数的定义等概念 2、多元函数的极限 ? 00(,)(,) lim (,)x y x y f x y A →=（或0 lim (,)P P f x y A →=）的εδ-定义 ? 掌握判定多元函数极限不存在的方法： （1）令(,)P x y 沿y kx =趋向00(,)P x y ，若极限值与k 有关，则可断言 函数极限不存在； （2）找两种不同趋近方式，若 00(,)(,) lim (,)x y x y f x y →存在，但两者不相等， 此时也可断言极限不存在。 ? 多元函数的极限的运算法则（包括和差积商，连续函数的和差积商， 等价无穷小替换，夹逼法则等）与一元类似： 例1．用εδ-定义证明 2222 (,)(0,0) 1 lim ()sin 0x y x y x y →+=+ 例2（03年期末考试 三、1，5分）当0,0→→x y 时，函数22 2 222 ()+++-x y x y x y 的极限是否存在？证明你的结论。 例3 设22 2222,0 (,)0,0xy x y x y f x y x y ?+≠?+=??+=? ，讨论(,)(0,0) lim (,)x y f x y →是否存在？ 例4（07年期末考试 一、2，3分）设222 24 22,0(,)0,0?+≠?+=??+=? xy x y x y f x y x y ，讨论 (,)(0,0) lim (,)→x y f x y 是否存在？
例5．求222 (,)(0,0)sin() lim x y x y x y →+ 3、多元函数的连续性0000(,)(,) lim (,)(,)x y x y f x y f x y →? = ? 一切多元初等函数在其定义区域内都是连续的，定义区域是指包含 在定义域内的区域或闭区域。 ? 在定义区域内的连续点求极限可用“代入法” 例1． 讨论函数3322 22 22,0(,)0,0x y x y x y f x y x y ?++≠?+=??+=? 在（0，0）处的连续性。 例2． （06年期末考试 十一，4分）试证222 24 22,0(,)0,0?+≠?+=??+=? xy x y x y f x y x y 在 点(0,0)不连续，但存在一阶偏导数。 例3．求 (,)(1,2)lim x y x y xy →+ 例4 ．(,)(0,0)lim x y → 4、了解闭区域上商连续函数的性质：有界性，最值定理，介值定理 二、多元函数的偏导数 1、 二元函数(,)z f x y =关于,x y 的一阶偏导数的定义（二元以上类似定义） 如果极限00000 (,)(,) lim x f x x y f x y x ?→+?-?存在，则有 00 000 0000000 (,)(,) (,)lim x x x x x y y x x x x y y y y f x x y f x y z f z f x y x x x =?→=====+?-??= ===??? （相当于把y 看成常数！所以求偏导数本质是求一元函数的导数。）
多元函数微分法及其应用复习题及解答
多元函数微分法及其应用 复习题及解答 一、选择题 1.极限lim x y x y x y →→+00 242 = （ B ） (A)等于0； (B)不存在； (C)等于 12 ； (D)存在且不等于0或 12 （提示：令2 2 y k x =） 2、设函数f x y x y y x xy xy (,)sin sin =+≠=? ????1100 ，则极限lim (,)x y f x y →→0 = （ C ） (A)不存在； (B)等于1； (C)等于0； (D)等于2 （提示：有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小） 3、设函数f x y xy x y x y x y (,)=++≠+=??? ? ?22 2222000 ，则(,)f x y （ A ） (A) 处处连续； (B) 处处有极限，但不连续； (C) 仅在（0,0）点连续； (D) 除（0,0）点外处处连续 （提示：①在2 2 0x y +≠，(,)f x y 处处连续；②在0,0x y →→ ，令y kx = ， 200 0(0,0)x x y f →→→=== ，故在220x y +=，函数亦连续。所以， (,)f x y 在整个定义域内处处连续。） 4、函数z f x y =(,)在点(,)x y 00处具有偏导数是它在该点存在全微分的 （ A ） (A)必要而非充分条件； (B)充分而非必要条件； (C)充分必要条件； (D)既非充分又非必要条件 5、设u y x =arctan ，则??u x = （ B ） (A) x x y 22 +； (B) - +y x y 22 ； (C) y x y 22 + ； (D) -+x x y 22
第四节 多元复合函数的求导法则
第四节 多元复合函数的求导法则 要求：熟练地计算复合函数的一阶偏导数，会计算抽象函数的二阶偏导数计算。 重点：各种类型复合函数的求导与计算。 难点：抽象函数的二阶偏导数计算。 作业：习题8－4（36P ）2)3)2)2)3)4)2,4,6,8,10,11,12,13 一．多个中间变量，一个自变量情况 定理1 如果函数()u t ?=及()v t ψ=都在点t 可导，且函数),(v u f z =在对应点具有连续偏导数，则复合函数[](),()z f t t ?ψ=在点t 可导，且其导数公式为 d z z d u z d v d t u d t v d t ?? = + ?? （全导数） 证明 设t 有增量t ?，相应函数()u t ?=及()v t ψ=的增量为 ,u v ??，此时函数),(v u f z =相应获得的增量为z ?． 又由于函数),(v u f z =在点(,)u v 处可微，于是由上节定理3证明有 12f f z u v u v u v εε???= ?+ ?+?+??? 这里，当0,0u v ?→?→时，120,0εε→→，上式除以t ?得 1 2z f u f v u v t u t v t t t εε???????=+++???????． 当0t ?→时，0,0u v ?→?→，,u du v dv t dt t dt ??→ →??， 所以 0l i m t d z z f d u f d v d t t u d t v d t ?→??? ==+???，即 d z f d u f d v z d u z d v d t u d t v d t u d t v d t ?? ? ?= + =+????． 此时，dz z du z dv dt u dt v dt ??=+ ??从形式上看是全微分z z dz du dv u v ??= + ??两端除以d t 得到 的，常将 d z d t 称为全导数． 推论 若),,(w v u f z =，()u t ?=，()v t ψ=，)(t w w =复合而的复合函数 [](),(),()z f t t w t ?ψ=满足定理条件，则有全导数公式 d z z d u z d v z d w d t u d t v d t w d t ?? ? = + +?? ? 例1．设函数y x u =，而t x e =，sin y t =，求全导数dt du ．
多元函数微分法的应用精选
6．4 多元函数微分法的应用 6．4．1 微分在几何上的应用 1．空间曲线的切线和法平面 设空间曲线的参数方程为：)(),(),(t w z t y t x ===ψ?这里假定)(),(),(t w t t ψ?都在],[βα上可导。 在曲线上取对应于t =t 0的一点M 0(x 0 y 0 z 0)及对应于t =t 0+t 的邻近一点M (x 0+x y 0+y z 0+z ). 作曲线的割线MM 0 其方程为 z z z y y y x x x ?-=?-=?-000 当点M 沿着趋于点M 0时割线MM 0的极限位置就是曲线在点M 0处的切线. 考虑 t z z z t y y y t x x x ??-=??-=??-000 当M M 0 即t 0时 得曲线在点M 0处的切线方程为 ) ()()(000000t z z t y y t x x ωψ?'-='-='-. 曲线的切向量: 切线的方向向量称为曲线的切向量. 向量 T =(j (t 0) y (t 0) w (t 0)) 就是曲线在点M 0处的一个切向量. 法平面: 通过点M 0而与切线垂直的平面称为曲线 在点M 0 处的法平面 其法平面方程为 j (t 0)(x -x 0)+y (t 0)(y -y 0)+w (t 0)(z -z 0)=0. 例1：求曲线2342 1,31,41t z t y t x ===的平行于平面023=++z y x 的切线方程。 解：曲线上任一点处的切向量{}t t t T ,,23=，平面的法向量{}2,3,1=→ n ，由题设条件有：→⊥n T ，即0=?→ n T ，故{}{ }2,3,1,,23?t t t =02323=++t t t ， 解得2,1,0--=t 。 对应01=t 的点)0,0,0(1M 有切向量{}0,0,01=T ，由于切向量须为非零向量，故无意义舍去；
多元函数微分法及其应用总结
第九章 多元函数微分法及其应用总结 多元函数的概念 对应规则、定义域、 值域、图形 二重极限()()()00,,lim ,x y x y f x y →的定义、与()0lim x x f x →的区别 极限的计算(P61、 P62、P63(6)) 二元函数的连续性 ()()()()0000,,lim ,,x y x y f x y f x y →= 二元函数 (),f x y 在区域D
连续 在有界闭区域上的连续函 数 (),f x y 的性质 有界性、有最值、 介值性 多元初等函数 多元初等函数在其定 义域内就是连续函数 多元函数的偏导数 (),z f x y =在点()00,x y 处对x ,y 的偏导数()00,x f x y ,()00,y f x y 的定义 例如,计算
()()00000,,lim x f x x y f x x y x ?→+?--?? (),z f x y =在点()00,x y 处对x ,y 的偏导数()00,x f x y ,()00,y f x y 的几何解释 (),z f x y =对x ,y 的偏导数(),x f x y ,(),y f x y 的定义 算法练习(P69、1,4) 多元函数的高阶偏导数(P69、6(1),7,8) 多元函数的全微分
(),z f x y =, ()(),,x y dz f x y dx f x y dy =+推广到更多元的函数 算法练习(P75、 1(1),2,3) 多元复合函数的求导法则 树形法则(P82、 1,3,8,10) 隐函数求导法则 若(),0F x y =,则x y F dy dx F =- 若(),,0F x y z =,
多元复合函数的微分法习题
多元复合函数的微分法习题 1. 书上习题8 24（6），（8）； 2. 设)(22y x f y z -=，求f 为可微函数，证明： 211y z y z y x z x =??+??。 3. 设),(v u f 是二元可微函数，),(y x x y f z = ，求 y z y x z x ??+??。 4. 设)(),(x y g y x xy f z +=，f ,g 均为可微函数，求x z ??。 5. 设),()sin(y x x xy z ?+=，其中?有二阶连续偏导数，求y x z ???2。 6. 设),(v u f 具有二阶连续偏导数，且满足12222=??+??v f u f ，又))(21,(),(22y x xy f y x g -=，求 2222y g x g ??+??。
解答 1. 24（6） ),(22xy e y x f z -=，求x z ??，y z ??。 xy ye f x f x z ?'+?'=??212， xy xe f y f x z ?'+-?'=??21)2(。 24（8） ),(xy y x f z -=，求y x z ???2。 21f y f x z '+'=??， 2221212112f xy f y f f x f y x z ''+''+'+''+''=???。
2. 设)(22y x f y z -=，求f 为可微函数，证明： 211y z y z y x z x =??+??。 令 2 2y x u -=，)(u f y z =， )() (2)()(22u f u f xy x u u f u f y x z '-=??'?-=??， ) ()(2)()()()(1222u f u f y u f y u u f u f y u f y z '+=??'?-=??， ∴ 211y z y z y x z x =??+??
多元函数微分法及其应用四
第八章 多元函数微分法及其应用 Chapter8 Differentiation of Functions of Several Variables and Its Application 8.1多元函数的基本概念（The Basic Concepts of Functions of Several Variables ） 定义1 设D 是2R 的一个非空子集，称映射:f D R →为定义在D 上的二元函数，通常记为()(),,,z f x y x y D =∈或(),z f P P D =∈。其中点集D 称为该函数的定义域，x 、y 称为自变量，z 称为因变量。 Definition 1 Let D be a nonempty subset of 2R ,we call the mapping :f D R → the function of two variables defined on ,usually denoted by ()(),,,z f x y x y D =∈,or (),z f P P D =∈.The set D is called the domain of the function .We call x and y the independent variables and z the dependent variable. 定义2 设二元函数()(),f P f x y =的定义域为D ，()000,P x y 是D 的聚点。如果存在常数A ，对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得当点()()0 0,,P x y D U P δ∈?，都有 ()(),f P A f x y A ε-=-<成立，那么就称常数A 为函数(),f x y 当()()00,,x y x y →时的极限，记作 ()() ()00,,lim ,x y x y f x y A →=或()()()()00,,,f x y A x y x y →→， 也记作()0lim P P f P A →=或()()0f P A P P →→。 Definition 2 Let D be the domain of the function ()(),f P f x y = of two variables, ()000,P x y be a point of accumulation of D.If there exists a constant A, such that, for each 0ε> there is a corresponding 0δ> such that ()(),f P A f x y A ε-=-<,provided that ()()0 0,,P x y D U P δ∈?, then we call the constant A the limit of (),f x y as ()()00,,x y x y →. 定义3 设二元函数()(),f P f x y =的定义域为D ，()000,P x y 是D 的聚点，且0P D ∈。如果()()()()0000,,lim ,,x y x y f x y f x y →=，则称函数(),f x y 在点()000,P x y 连续。 Definition 3 Let D be the domain of the function ()(),f P f x y =of two variables, ()000,P x y be a point of accumulation of D and 0P D ∈. If ()()()()0000,,lim ,,x y x y f x y f x y →=, then we say that (),f x y is continuous at the point ()000,P x y .