概率论与数理统计复习(答案)
复习题简答： 第一章
1、 设A 、B 、C 表示三个随机事件，试将下列事件用A 、B 、C 表示出来：
（1）B,C 都发生，而A 不发生； （2）A,B,C 中至少有一个发生； （3）A,B,C 中恰有一个发生； （4）A,B,C 中恰有两个发生； （5）A,B,C 中不多于一个发生； （6）A,B,C 中不多于两个发生。
解:（1）BC A （2）C B A ??
（3）C B A C B A C B A ?? （4）C B A BC A C AB ?? （5）C B A C B A C B A C B A ??? （6）ABC
2、 把1，2，3，4，5诸数各写在一张纸片上任取其中三个排成自左而右的次序。问：
（1） 所得三位数是偶数的概率是多少？
（2） 所得三位数不小于200的概率是多少？
解：（1）2
435
2A A 52
=（2）2435445A A =
3、 甲乙丙三人去住三间房子。求：
（1） 每间恰有一个的概率； （2） 空一间的概率。
解:（1）92
333
3=A （2）1213323233
C C C =
4、 设8支枪中有3支未经试射校正，5支已经试射校正。一射击手用校正过的枪射击时，
中靶概率为0.8，而用未校正过的枪射击时，中靶概率为0.3. 今假定从8支枪中任取一支进行射击，求： （1） 中靶的概率；
（2） 若已知中靶，求所用这支枪是已校正过的概率。 解:设A ：中靶。B ：射击所用枪支是已校正过的。
80
49
3.0838.085)(=
?+?=A P 49403.08
3
8.0858
.085
)(=
?+??=A B P
5、 设有甲乙两盒，其中甲盒内有2只白球1只黑球，乙盒内有1只白球5只黑球。求从甲
盒任取一球投入乙盒内，然后随机地从乙盒取出一球而得白球的概率。 解:A ：从乙盒取出一球得白球。
B ：从甲盒中取一白球放入乙盒。
22115
()()(|)()P(A |B)373721
P A P B P A B P B =+=?+?=
6、 设某工厂甲、乙、丙三个车间生产同一种螺钉，产量依次占全厂的45%，35%，20%。
如果各车间的次品率依次为4%，2%，5%。现在待出厂产品中检查出一个次品，试判断它是由甲车间生产的概率。 解：A ：任取一个产品是次品。
B ：产品由甲车间生产。
35
18
%5%20%2%35%4%45%4%45)(=?+?+??=
A B P
7、 对某种药物的疗效进行研究，假定这药物对某种疾病治愈率为0.8，现10个患此病的病
人都服用此药，求其中至少有6人治愈的概率。
解:X ：治愈的人数，)8.0,10(~B X
0.9672
)8.0()2.0()8.0()2.0()8.0()2.0()8.0()2.0()8.0(}6{10
10
1019910288103771046610=++++=≥C C C C C X P
第二章
8、 某产品5件，其中有2件次品。现从其中任取2件，求取出的2件产品中的次品数X 的
概率分布律及分布函数。
解：次品数X 可能的取值为0，1，2分布律为：
2
325
{0}0.3C P X C ===
0.6}1{2
512
13===C C C X P
0.1}2{25
2
2===C C X P
分布函数为：
0,
00.3,01()0.9,121,2
x x F x x x
=?
≤
9、 设连续型随机变量X 的分布函数为3,0
()0,
0x A Be x F x x -?+>=?≤?,试确常数A,B ，并求
1
{X 1}3
P <<，{1}P X ≥及概率密度。 解：由()1F +∞=及()F x 在0的连续性，得A=1,B= -1，所以31,0
()0,
0x e x F x x -?->=?≤?
1311
{1}(1)()e ;33P X F F e --<<=-=- 3{1}1(1);P X F e -≥=-=
33,0()()0,0x e x f x F x x -?>'==?
≤?
10、已知连续型随机变量X 有概率密度1,02
()0,kx x f x +<
，求：
（1）系数k ；
（2）分布函数F(x)； （3） P{1.5 解：由f(x)的规范性，得k= -1/2. ?? ???≥<≤+-<=2,1200,4 1 0,0)(2x x x x x F 0625.0)5.1()5.2(}5.25.1{=-=< 11、某元件寿命（按小时计）X 服从参数为=0.001λ的指数分布，三个这样的元件使用1000 小时后，都没有损坏的概率是多少？ 解：?? ?≤>=-0 , 00 , 001.0)(001.0x x e x f x ?+∞--==>1000 1001.0001.0}1000{e dx e X P x Y ：损坏的个数，)1,3(~1--e B Y 1033 3{0}(1)P Y C e e e ---==-= 12、设(1.5,4)X N :，计算：（1）P{X<-4}，（2）P{|X|>2}。 解：003.0)75.2(1)75.2(}2 5 .1425.1{ }4{=Φ-=-Φ=--<-=- .0)75.1(1)25.0(1)2 5 .12()25.12(1}2{1}2{=Φ-+Φ-=--Φ+-Φ-=≤-=>X P X P 13、设随机变量X 在（-1，1）上服从均匀分布，求31Y X =+的概率密度。 解：?????<<-=其他 , 01 1, 2 1 )(x x f 31Y X =+的概率密度为?????<<-=其他 , 04 2, 6 1 )(y y f Y 14、设X 的分布律为 求（1）2X +, （2）1X -+，（3）2 X 的分布律。 第三章 15、一整数X 随机地在1，2，3，4四个整数中取一个值，另一个整数Y 随机地在1到X 中取一个值，试求（X,Y ）的分布律。 解： 16、设(X,Y) 的概率密度为2222 (1+1 (,)0, +1C x y f x y x y ??≤=?>??，试求： （1）系数C ；（2）(X,Y)落在D:2 2 2 (1/2)x y +≤确定的区域内的概率。 解: 根据?? +∞∞ +∞ ∞ =--1),(dxdy y x f 解出π 3 = C 2 1 )1(3}),{(21 20=-=∈??dr r r d D Y X P πθπ 17、设(X,Y) 求（1）(X,Y)的边缘分布律；（2）P{X>Y}。 解 : （2）P{X>Y}=3/5 18、设二维连续型随机变量(X,Y)的概率密度为3 4,0,0,(2)(,)0,.x y x y f x y ? >>?++=??? 其它求(X,Y) 的边缘概率密度，并判断X,Y 是否相互独立。 解: ?????≤>+=++== ?? ∞ +∞ +∞ -0,00,)2(2)2(4),()(2 3x x x dy y x dy y x f x f X ?????≤>+=++==?? ∞ +∞ +∞ -0 , 00 ,) 2(2)2(4),()(2 03y y y dx y x dx y x f y f Y X,Y 不相互独立 19、若X,Y 独立且都服从同一概率密度,0, ()0,0. x xe x f x x -?>=?≤?，求（1）(X,Y)的联合概率密度； （2）P{0 解:(X,Y)的联合概率密度函数为???>>=+-其他,00 ,0,),()(y x xye y x f y x 1()120 2 {01,2}(12)3x y P X Y xye dxdy e e +∞ -+--<<>==-? ? 或 1 2 {0X 1,Y 2}P{0X 1}{Y 2}(12e )3P P e --<<>=<=- 第四章 20、一个有n 把钥匙的人要开他的门，他随机而又独立地用钥匙试开。如果除去试开不成功的钥匙，求试开次数的数学期望。 解:设X 为试开次数，则X 的可能取值为1，2，……，n ，且 12111 (),1,2,,n 121n n n k P X k k n n n k n k n ---+== ????==--+-+L L 21 12)1(11211)(+= +=?+?+?=n n n n n n n n X E Λ 21、对球的直径作近似测量，设其值均匀地分布在区间[,]a b 内，求球体积的均值。 解:36 D V π = ))((24 16 )(223 a b a b dx a b x V E b a ++=-=? π π 22、设X 为随机变量，2 (),()E X D X μσ==，试证：2 [(1)](1)E X X μμσ-=-+。 证明：22222)1()()()()]1([σμμμσμ+-=-+=-=-=-X E X E X X E X X E 23、设(X,Y)服从{(x,y)|0x 1,0y x}D =<<<<上的均匀分布，试求X,Y 的相关系数XY ρ，并说明X 与Y 是否不相关。 解:?? ?∈=其他, 0),(,2),(D y x y x f 41)(,31)(32)(===XY E Y E X E ，361 )()()(),cov(=-=Y E X E XY E Y X 61)(21)(22==Y E X E ，18 1 )(181)(==Y D X D ， 2 1 )()(),cov(== Y D X D Y X XY ρ 不是不相关。 24、对于随机变量X,Y ,Z ，已知 ()()1,()1,()()()1, E X E Y E Z D X D Y D Z ==-====0,0.5,0,5XY XZ YZ ρρρ===- 求（1）2 ()E X Y +；（2）()D X Y Z ++。 解:22()(X Y)()E X Y D E X Y +=+++ 22 ()()2[()E(Y)]11(2)6 XY D X D Y E X ρ=+++=++-= 3 ) ,cov(2),cov(2),cov(2)()()()(=+++++=++Z Y Z X Y X Z D Y D X D Z Y X D 25、在n 重贝努里试验中，若每次试验A 出现的概率为0.75，试利用切比雪夫不等式求出n ，使A 出现的频率在0.74至0.76之间的概率不小于0.9。 解:事件A 出现的次数 )75.0,(~n B X ,75.0)(n X E =,1875.0)(n X D = n n n n n X P n X P 18751) 01.0(1875.01}01.075.0{)76.074.0(2-=-≥<-=<< ,9.01875 1≥- n .18750≥n 第五章 26、已知一批产品（批量很大）的次品率0.1p =，现从这批产品中随机地抽取1000件进行检查，求次品数在90至110之间的概率。 解:次品数)B(1000,0.1~X ，()10000.1100,()10000.10.990E X D X =?==??= (0,1)N 0.7062(-1.05)-(1.05)}90 100 -11090100-X 90100-90P{ 110}X P{90=ΦΦ≈≤≤=≤≤ 27、设某电话交换台每秒种平均被呼叫2次（电话交换台每秒被呼叫次数服从泊松分布），试求在100秒钟内被呼叫次数在180至220次之间的概率。 解:第i 秒呼叫次数(2)~X i π2)(,2)(==i i X D X E ，100秒内呼叫次数为X ，则100 1 i i X X == ∑ ()1002200,()1002200E X D X =?==?=， (0,1)N 8414 .0(-1.41)-(1.41)}200200 -220200200-X 200200-180P{220}X P{180100 1 i =ΦΦ≈≤≤=≤≤∑=i 第六章 28、设12,,,n X X X K 来自总体X 的简单随机样本，已知2 (),()E X D X ==μσ，试求 (),()E X D X 。 解: μ==E(X))X E(n 2 )X D(σ= 29、设125,,,X X X K 来自总体X 为标准正态分布的简单随机样本，试确定常数c ，使得 T = 服从t 分布。 解: ) 2,0(~X 21N X +)1,0(~2 X 2 1N X + )3(~22 52 42 3χX X X ++ (3)t = 2 c = 30、设有N 个产品，其中有M 个次品，进行放回抽样。定义i X 如下， 1,0,. i i X i ?=??第次取得次品，第次取得正品求样本12,,,n X X X K 的联合分布律。 解: 总体X 的分布律为：1()( )(1),0,1x x M M P X x x N N -==-=， 则样本12,,,n X X X K 的联合分布律为 ∑-∑=---===- ---n i i n i i n n x n x x x x x x x n N M N M N M N M N M N M N M N M x x x f 112211)1()( )1()()1()()1()( ),,(11121*ΛΛ 31、设一批灯泡的寿命X 服从参数为λ的指数分布，求来自总体样本12,,,n X X X K 的联合概率密度。 解:总体的概率密度：,0 ()0,0x e x f x x λλ-?>=?≤? 则样本12,,,n X X X K 的联合概率密度为 ∑===----n i i x n e e e e x x x f n x x x n 1 21),,(21*λ λλλλλλλΛΛ 32、在总体(7.6,4)N 中抽取容量为n 的样本，如果要求样本均值落在(5.6,9.6)内的概率不小于0.95，则n 至少为多少？ 解: )4, 6.7(~n N X 95.0}/26 .76.9/26.7/26.76.5{ }6.96.5{≥-<-<-=< n X n P X P 95.0)()(≥-Φ-Φn n , 95.01)(2≥-Φn 0.975)(≥Φn 1.96, 3.84n ≥故，样本容量至少为4. 33、设1217,,,X X X K 是来自正态分布2 (,)N μσ的一个样本，2,X S 分别是样本均值和样本方差。求k 使得{}0.95P X kS μ>+=。 解 ~(16)t , 95.0}1717{}{=>-=+>k S X P kS X P μμ 1.7459=-, 0.4234k =- 第七章 34、设总体分布律为2 2 ()(1)(1) ,2,3,,01k P X k k k θθθ-==--=< 然估计$θ 。 解: 似然函数： ∑----=------==----n i i n n x n n x n x x x x x x x x L 1 2122212 2222221)1()1()1)(1()1()1()1()1()1()1()(θθθθθθθθθΛΛ 两边取对数， )1ln()2(ln 2)]1()1)(1ln[()(ln 1 21θθθ--++---=∑=n x n x x x L n i i n Λ 两边求导数，并令其为0， 01 22)(ln 1 =---=∑=θθ θθn i i x n n d L d 解出∑== n i i x n 1 ^ 2θ θ的极大似然估计量为 X X n n i i 2 21 ^ = = ∑=θ 35 、设总体密度函数函数为2 ,0, ()0,0.x x f x x ?-?>?=??≤? 求θ的矩估计。 解: θππθμθ12)()(2 1= == =-∞ +∞ +∞ -? ? dx e x dx x xf X E x , 2 1 1 πμθ= ，用X 替代1μ，得2 ^ 1 X πθ= 为矩估计量。 36、设123,,X X X 是取自某总体的容量为3的样本，试证下列统计量都是该总体均值μ的无偏估计，在方差存在且不为0时指出哪一个估计的有效性最差？ （1）μ1 123111 236 X X X μ=++； （2）?2123 111333 X X X μ=++； （3）μ3123 112663X X X μ=++。 解: 验证无偏估计略。第三个估计的有效性最差。 37、设12,,,n X X X K 是来自正态总体2 (,)N μσ的一个样本，对2 σ考虑如下三个估计 ?12211()1n i i X X n ==--∑σ，?22 21 1()n i i X X n ==-∑σ，?32211()1n i i X X n ==-+∑σ 哪一个是2 σ的无偏估计？ 解: 第一个是2σ的无偏估计。 38、包糖某日开工包糖，抽取12包糖，称得重量（单位：0.05Kg ）为： 10.1，10.3，10.4，10.5，10.2，9.7，9.8，10.1，10.0，9.9，9.8，10.3 假定重量服从正态分布，试由此数据对该机器所包糖的平均重量μ及方差2 σ，求置信水平为95%的置信区间。 解: 95.01=-α，05.0=α2010.2)11(025.0=t 10.09166=x 0.25746=s 平均重量μ置信水平为95%的置信区间为 )2552.10,9281.9(）) 1(（2 =-±n s n t X α 方差2 σ置信水平为95%的置信区间为 9200.21)11(2025.0=χ，8157.3)11(2 975.0=χ，0.066292=s 22220.0250.975(1)(1)(,)(0.0333,0.1911)(11)(11)n s n s χχ--= 39、随机地从一批钉子中抽取16枚，测得其长度为（单位：cm ）：2.14，2.10，2.13，2.15，2.13，2.12，2.13，2.10，2.15，2.12，2.14，2.10，2.13，2.11，2.14，2.11，设钉长的分布为正态分布，分别对下列两种情况求出总体均值μ的90%置信度的置信区间。 （1）已知0.01cm σ=；（2）σ未知。 解:已知0.01cm σ=，0.052.125,0.0171, 1.645x s z === ) 1291.2,1209.2()401 .0645.1125.2,401.0645.1125.2(),(05.005 .0=+-=+-n Z X n Z X σσσ未知，0.05(15) 1.7531t = ) 1325.2,1175.2() 40.0171 1.7531125.2,40.01711.7531125.2(）) 1(（2 =+-=-±n s n t X α 40、已知某炼铁厂铁水含碳量服从正态分布2 (4.55,0.108)N ，现在测定了9炉铁水，其平均含碳量为4.484，如果铁水含碳量的方差没有变化，可否认为现在生产的铁水平均含碳量仍为4.55（0.05α=）？ 解：设原假设 4.55:0=μH ， 4.55:1≠μH 检验统计量n X U /00 σμ-= 拒绝域}{025.0Z U W ≥=96.1025.0=Z ， }96.1{≥=U W 8333.13/108.055 .4484.4/00-=-=-= n x u σμ 因为W u ?，故接受0H . 可以认为现在生产的铁水平均含碳量仍为4.55（0.05α=）. 41、设在木材中抽出100根，测其小头直径，得到样本平均数为11.2x cm =，样本标准差 2.6s cm =，问该批木材小头的平均直径能否认为不低于12cm （0.05α=）？ 解：1211.2< 设原假设21:0≥μH ，21:1<μH 检验统计量n S X T /0 μ-= 拒绝域)}99({05.0t T W -≤=,645.1)99(05.005.0==Z t ， }645.1{-≤=T W 0769.310/6.212 2.11/0-=-=-= n s x t μ 因为W u ∈，接受1H ，不能认为该批木材小头的平均直径不低于12cm （0.05α=）？ 42、某电工器材厂生产一种保险丝，测量其熔化时间，依通常情况方差为400，今从某天产品中抽取容量为25的样本，测量其熔化时间并计算得262.24,404.77x s ==，问这天保险熔化时间分散度与通常有无显著差异（取0.05α=）？ 解:设原假设400:20=σH ，400:2 1≠σH 检验统计量20 2 2 )1(σχS n -= 拒绝域 )}24(),24({2975.022025.02χχχχ≤≥=W 401.12)24(,364.39)24(2 975.02025.0==χχ， }401.12,364.39{22≤≥=χχW W s n ?=?= -= 2862.24400 77 .40424)1(2 2 2 σχ 故接受0H ，可以认为这天保险熔化时间分散度与通常没有显著差异 数三《概率论与数理统计》教学大纲 教材：四川大学数学学院邹述超、何腊梅：《概率论与数理统计》，高等教育出版社出，2002年8月。 参考书：袁荫棠：《概率论与数理统计》（修订本），中国人民大学出版社。 四川大学数学学院概率统计教研室：《概率论与数理统计学习指导》 总学时：60学时，其中：讲课50学时，习题课10学时。 学分：3学分。 说明： 1.生源结构：数三的学生是由高考文科生和一部分高考理科生构成。有些专业全是文科生或含极少部分理科生（如：旅游管理，行政管理），有些专业约占1/4～1/3的理科生（国贸，财政学，经济学），有些专业全是理科生（如：国民经济管理，金融学）。 2.高中已讲的内容：高中文、理科都讲了随机事件的概率、互斥事件的概率、独立事件的概率，即教材第一章除条件概率以及有关的内容以外，其余内容高中都讲了。高中理科已讲离散型随机变量的概率分布（包括二项分布、几何分布）和离散型随机变量的期望与方差，统计基本概念、频率直方图、正态分布、线性回归。而高中文科则只讲了一点统计基本概念、频率直方图、样本均值和样本方差的简单计算。 3.基本要求：学生的数学基础差异大，不同专业学生对数学课重视程度的差异大，这就给讲授这门课带来一定的难度，但要尽量做到“分层次”培养学生。高中没学过的内容要重点讲解，学过的内容也要适当复习或适当增加深度。讲课时，既要照顾数学基础差的学生，多举基本例子，使他们掌握大纲要求的基本概念和方法；也要照顾数学基础好的学生，使他们会做一些综合题以及简单证明题。因为有些专业还要开设相关的后继课程（如：计量经济学），将用到较多的概率统计知识；还有一部分学生要考研，数三的概率考研题往往比数一的难。 该教材每一章的前几节是讲述基本概念和方法，习题(A)是针对基本方法的训练而编写的，因此，这一部分内容须重点讲解，并要求学生必须掌握；每一章的最后一节是综合例题，习题(B)具有一定的综合性和难度，可以选讲部分例题，数学基础好的学生可选做(B)题。 建议各章学时分配(+号后面的是习题课学时)： 第一章随机事件及其概率 一、基本内容 随机事件的概念及运算。概率的统计定义、古典定义及公理化定义。概率的基本性质、加法公式、条件概率与乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式。事件的独立性，独立随机试验、 一、填空题（每小题3分，共15分） 1． 设事件B A ,仅发生一个的概率为0.3，且5.0)()(=+B P A P ，则B A ,至少有一个不发 生的概率为__________. 答案：0.3 解： 3.0)(=+B A B A P 即 )(25.0)()()()()()(3.0AB P AB P B P AB P A P B A P B A P -=-+-=+= 所以 1.0)(=AB P 9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P . 2． 设随机变量X 服从泊松分布，且)2(4)1(==≤X P X P ，则==)3(X P ______. 答案： 161-e 解答： λλ λ λλ---= =+==+==≤e X P e e X P X P X P 2 )2(, )1()0()1(2 由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλ λλ---=+e e e 22 即 0122 =--λλ 解得 1=λ，故 16 1)3(-= =e X P 3． 设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布，则随机变量2 X Y =在区间)4,0(内的概率 密度为=)(y f Y _________. 答案： 04,()()0,. Y Y X y f y F y f <<'===? 其它 解答：设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ，密度为()X f x 则 2 ()()())))Y X X F y P Y y P X y y y y y =≤=≤ =≤- - 因为~(0,2)X U ，所以(0X F = ，即()Y X F y F = 故 概率论与数理统计知识点 总结详细 Newly compiled on November 23, 2020 《概率论与数理统计》 第一章 概率论的基本概念 §2．样本空间、随机事件 1．事件间的关系 B A ?则称事件B 包含事件A ，指事件A 发生必然导致事件B 发生 B }x x x { ∈∈=?或A B A 称为事件A 与事件B 的和事件，指当且仅当A ，B 中至少有一个发生时，事件B A ?发生 B }x x x { ∈∈=?且A B A 称为事件A 与事件B 的积事件，指当A ，B 同时发生时，事件B A ?发生 B }x x x { ?∈=且—A B A 称为事件A 与事件B 的差事件，指当且仅当A 发生、B 不发生时，事件B A —发生 φ=?B A ，则称事件A 与B 是互不相容的，或互斥的，指事件A 与事件B 不能同时发生，基本事件是两两互不相容的 且S =?B A φ=?B A ，则称事件A 与事件B 互为逆事件，又称事件A 与事件B 互为对立事件 2．运算规则 交换律A B B A A B B A ?=??=? 结合律)()( )()(C B A C B A C B A C B A ?=???=?? 分配律 )()B (C A A C B A ???=??）（ 徳摩根律B A B A A B A ?=??=? B — §3．频率与概率 定义 在相同的条件下，进行了n 次试验，在这n 次试验中，事件A 发生的次数A n 称为事件A 发生的频数，比值n n A 称为事件A 发生的频率 概率：设E 是随机试验，S 是它的样本空间，对于E 的每一事件A 赋予一个实数，记为P （A ），称为事件的概率 1．概率)(A P 满足下列条件： （1）非负性：对于每一个事件A 1)(0≤≤A P （2）规范性：对于必然事件S 1)S (=P 《概率论与数理统计》试题（1） 一 、 判断题（本题共15分，每小题3分。正确打“√”，错误打“×”） ⑴ 对任意事件A 和B ，必有P(AB)=P(A)P(B) ( ) ⑵ 设A 、B 是Ω中的随机事件,则(A ∪B )-B=A ( ) ⑶ 若X 服从参数为λ的普哇松分布，则EX=DX ( ) ⑷ 假设检验基本思想的依据是小概率事件原理 （ ） ⑸ 样本方差2n S = n 121 )(X X n i i -∑=是母体方差DX 的无偏估计 （ ） 二 、（20分）设A 、B 、C 是Ω中的随机事件，将下列事件用A 、B 、C 表示出来 （1）仅A 发生，B 、C 都不发生； （2）,,A B C 中至少有两个发生； （3）,,A B C 中不多于两个发生； （4）,,A B C 中恰有两个发生； （5）,,A B C 中至多有一个发生。 三、（15分） 把长为a 的棒任意折成三段，求它们可以构成三角形的概率. 四、（10分） 已知离散型随机变量X 的分布列为 2101 31111115651530 X P -- 求2 Y X =的分布列. 五、（10分）设随机变量X 具有密度函数|| 1()2 x f x e -= ，∞＜ x ＜∞， 求X 的数学期望和方差. 六、（15分）某保险公司多年的资料表明，在索赔户中，被盗索赔户占20%，以X 表示在随机抽查100个索赔户中因被盗而向保险公司索赔的户数，求(1430)P X ≤≤. x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 Ф(x) 0.500 0.691 0.841 0.933 0.977 0.994 0.999 七、（15分）设12,,,n X X X 是来自几何分布 1 ()(1) ,1,2,,01k P X k p p k p -==-=<< ， 的样本，试求未知参数p 的极大似然估计. 概率论与数理统计期末考 试试题及解答 Prepared on 24 November 2020 一、填空题（每小题3分，共15分） 1．设事件B A ,仅发生一个的概率为，且5.0)()(=+B P A P ，则B A ,至少有一个不发生的概率为__________. 答案： 解： 即 所以 9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P . 2．设随机变量X 服从泊松分布，且)2(4)1(==≤X P X P ，则 ==)3(X P ______. 答案： 解答： 由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλλλ---=+e e e 22 即 0122=--λλ 解得 1=λ，故 3．设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布，则随机变量2X Y =在区间) 4,0(内的概率密度为=)(y f Y _________. 答案： 解答：设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ，密度为()X f x 则 因为~(0,2)X U ，所以(0X F = ，即()Y X F y F = 故 另解 在(0,2)上函数2y x = 严格单调，反函数为()h y =所以 4．设随机变量Y X ,相互独立，且均服从参数为λ的指数分布，2)1(-=>e X P ，则=λ_________，}1),{min(≤Y X P =_________. 答案：2λ=，-4{min(,)1}1e P X Y ≤=- 解答： 2(1)1(1)P X P X e e λ-->=-≤==，故 2λ= 41e -=-. 5．设总体X 的概率密度为 ?????<<+=其它, 0, 10,)1()(x x x f θ θ 1->θ. n X X X ,,,21 是来自X 的样本，则未知参数θ的极大似然估计量为_________. 答案： 解答： 似然函数为 解似然方程得θ的极大似然估计为 模拟试题A 一.单项选择题（每小题3分，共9分） 1. 打靶3 发，事件表示“击中i发”，i = 0，1，2，3。那么事件 表示( )。 ( A ) 全部击中；( B ) 至少有一发击中； ( C ) 必然击中；( D ) 击中3 发 2.设离散型随机变量x 的分布律为则常数 A 应为 ( )。 ( A ) ；( B ) ；(C) ；(D) 3.设随机变量，服从二项分布B ( n，p )，其中0 < p < 1 ，n = 1，2,…，那么，对 于任一实数x，有等于( )。 ( A ) ; ( B ) ; ( C ) ; ( D ) 二、填空题（每小题3分，共12分） 1.设A , B为两个随机事件，且P(B)>0，则由乘法公式知P(AB) =__________ 2.设且有 ,,则 =___________。 3.某柜台有4个服务员，他们是否需用台秤是相互独立的，在1小时内每人需用台秤的概 率为，则4人中至多1人需用台秤的概率为：__________________。 4.从1，2，…，10共十个数字中任取一个，然后放回，先后取出5个数字，则所得5个数字全不相同的事件的概率等于___________。 三、（10分）已知，求证 四、（10分）5个零件中有一个次品，从中一个个取出进行检查，检查后不放回。直到查 到次品时为止，用x表示检查次数，求的分布函数： 五、（11分）设某地区成年居民中肥胖者占10% ,不胖不瘦者占82% ,瘦者占8% ,又知肥胖者患高血压的概率为20%,不胖不瘦者患高血压病的概率为10% ,瘦者患高血压病的概率为 5%, 试求： ( 1 ) 该地区居民患高血压病的概率; ( 2 ) 若知某人患高血压, 则他属于肥胖者的概率有多大？ 六、（10分）从两家公司购得同一种元件，两公司元件的失效时间分别是随机变量和，其概率密度分别是： 如果与相互独立，写出的联合概率密度，并求下列事件的概率: ( 1 ) 到时刻两家的元件都失效(记为A)， ( 2 ) 到时刻两家的元件都未失效(记为B)， ( 3 ) 在时刻至少有一家元件还在工作(记为D)。 七、（7分）证明：事件在一次试验中发生次数x的方差一定不超过。 八、（10分）设和是相互独立的随机变量，其概率密度分别为 又知随机变量 , 试求w的分布律及其分布函数。 九、（11分）某厂生产的某种产品，由以往经验知其强力标准差为 7.5 kg且强力服从正态分布，改用新原料后，从新产品中抽取25 件作强力试验，算 得，问新产品的强力标准差是否有显著变化？( 分别 取和0.01，已知， ） 十、（11分）在考查硝酸钠的可溶性程度时，对一系列不同的温度观察它在100ml 的水中溶解的硝酸钠的重量，得观察结果如下： 概率论与数理统计课程教学大纲 一、课程说明 （一）课程名称：概率论与数理统计 所属专业：物理学 课程性质：必修 学分：3 （二）课程简介、目标与任务； 《概率论与数理统计》是研究随机现象规律性的一门学科；它有着深刻的实际背景，在自然科学、社会科学、工程技术、军事和工农业生产等领域中有广泛的应用。通过本课程的学习，使学生掌握概率与数理统计的基本概念，并在一定程度上掌握概率论认识问题、解决问题的方法。同时这门课程的学习对培养学生的逻辑思维能力、分析解决问题能力也会起到一定的作用。 （三）先修课程要求，与先修课与后续相关课程之间的逻辑关系和内容衔接； 先修课程：高等数学。后续相关课程：统计物理。《概率论与数理统计》需要用到高等数学中的微积分、级数、极限等数学知识与计算方法。它又为统计物理、量子力学等课程提供了数学基础，起了重要作用。 （四）教材与主要参考书。 教材： 同济大学数学系编，工程数学–概率统计简明教程（第二版），高等教 育出版社，2012. 主要参考书： 1.浙江大学盛骤，谢式千，潘承毅编，概率论与数理统计（第四版）， 高等教育出版社，2008. 2.J.L. Devore, Probability and Statistics(fifth ed.)概率论与数 理统计（第5版）影印版，高等教育出版社，2004. 二、课程内容与安排 第一章随机事件 1.1 样本空间和随机事件； 1.2 事件关系和运算。 第二章事件的概率 2.1概率的概念；2.2 古典概型；2.3几何概型；2.4 概率的公理化定义。第三章条件概率与事件的独立性 3.1 条件概率； 3.2 全概率公式； 3.3贝叶斯公式；3.4 事件的独立性； 3.5 伯努利试验和二项概率。 第四章随机变量及其分布 4.1 随机变量及分布函数；4.2离散型随机变量；4.3连续型随机变量。 第五章二维随机变量及其分布 5.1 二维随机变量及分布函数；5.2 二维离散型随机变量；5.3 二维连续随机变量；5.4 边缘分布； 5.5随机变量的独立性。 第六章随机变量的函数及其分布 6.1 一维随机变量的函数及其分布；6.2 多元随机变量的函数的分布。 第七章随机变量的数字特征 7.1数学期望与中位数； 7.2 方差和标准差； 7.3协方差和相关系数； *7.4大数律； 7.5中心极限定理。 第八章统计量和抽样分布 8.1统计与统计学；8.2统计量；8.3抽样分布。 第九章点估计 概率论与数理统计必考大题解题索引 编制：王健 审核： 题型一：古典概型：全概率公式和贝叶斯公式的应用。 【相关公式】 全概率公式： ()()()()()() n 1122S P()=|()||()() (|)() =()(|)()(|). i n n E S A E B A P A B P B P A B P B P A B P B P AB P B A P A P A P A B P B P A B P B +++= =+12设实验的样本空间为，为的事件，B ，B ，……，B 为的划分，且>0,则有： P ?…其中有：。特别地：当n 2时，有： 贝叶斯公式： ()()i 1 00(1,2,,),()(|)() (|)()(|)() =()(|)() (|)()(|)()(|)() i i i i n i i j E S A E A P B i n P B A P A B P B P B A P A P A B P B P AB P A B P B P B A P A P A B P B P A B P B =>>===== +∑12n 设实验的样本空间为。为的事件,B ，B ，……，B 为S 的一个划分，且P ，……则有：特别地： 当n 2时，有： 【相关例题】 1.三家工厂生产同一批产品，各工厂的产量分别占总产量的40%、25%、35%，其产品的不合格率依次为0.05、0.04、和0.02。现从出厂的产品中任取一件，求： （1）恰好取到不合格品的概率； （2）若已知取到的是不合格品，它是第二家工厂生产的概率。 解：设事件 表示：“取到的产品是不合格品”；事件i A 表示：“取到的产品是第i 家工 厂生产的”（i =123，，）。 则Ω== 3 1i i A ，且P A i ()>0，321A A A 、、两两互不相容，由全概率公式得 （1）∑=?=3 1 )|()()(i i i A A P A P A P 1000/37100 210035100410025100510040=?+?+?= <概率论>试题A 一、填空题 1．设 A 、B 、C 是三个随机事件。试用 A 、B 、C 分别表示事件 1）A 、B 、C 至少有一个发生 2）A 、B 、C 中恰有一个发生 3）A 、B 、C 不多于一个发生 2．设 A 、B 为随机事件， P (A)=0.5，P(B)=0.6，P(B A)=0.8。则P(B )A U ＝ 3．若事件A 和事件B 相互独立, P()=,A αP(B)=0.3，P(A B)=0.7,U 则α= 4. 将C,C,E,E,I,N,S 等7个字母随机的排成一行，那末恰好排成英文单词SCIENCE 的概率为 5. 甲、乙两人独立的对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和 0.5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为 6.设离散型随机变量X 分布律为{}5(1/2)(1,2,)k P X k A k ===???则A=______________ 7. 已知随机变量X 的密度为()f x =? ? ?<<+其它,010,x b ax ,且{1/2}5/8P x >=,则a =________ b =________ 8. 设X ～2(2,)N σ,且{24}0.3P x <<=,则{0}P x <= _________ 9. 一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率 为8081 ，则该射手的命中率为_________ 10.若随机变量ξ在（1，6）上服从均匀分布，则方程x 2+ξx+1=0有实根的概率是 11.设3{0,0}7P X Y ≥≥=，4{0}{0}7 P X P Y ≥=≥=，则{max{,}0}P X Y ≥= 12.用（,X Y ）的联合分布函数F （x,y ）表示P{a b,c}X Y ≤≤<= 13.用（,X Y ）的联合分布函数F （x,y ）表示P{X a,b}Y <<= 14.设平面区域D 由y = x , y = 0 和 x = 2 所围成，二维随机变量(x,y)在区域D 上服从均匀分布，则（x,y ）关于X 的边缘概率密度在x = 1 处的值为 。 15.已知)4.0,2(~2-N X ，则2(3)E X +＝ 16.设)2,1(~),6.0,10(~N Y N X ，且X 与Y 相互独立，则(3)D X Y -= 17.设X 的概率密度为2 ()x f x -=，则()D X ＝ 18.设随机变量X 1，X 2，X 3相互独立，其中X 1在[0，6]上服从均匀分 布，X 2服从正态分布N （0，22），X 3服从参数为λ=3的泊松分布，记Y=X 1－2X 2+3X 3，则D （Y ）= 19.设()()25,36,0.4xy D X D Y ρ===，则()D X Y += 20.设12,,,,n X X X ??????是独立同分布的随机变量序列,且均值为μ,方差为2σ,那么当n 充分大时,近似有X ～ 或 X ～ 。特别是，当同为正态分布时，对于任意的n ，都精确有 X ～ 或～ . 21.设12,,,,n X X X ??????是独立同分布的随机变量序列,且i EX μ=， 《概率论与数理统计》课程教学大纲 一、课程基本信息 课程编号：450006 课程名称：概率论与数理统计 课程类别：公共基础课（必修） 学时学分：理论48学时/3学分 适用专业：计算机、自动化、经管各专业 开课学期：第一学期 先修课程：高等数学 后续课程： 执笔人： 审核人： 制（修）订时间：2015.9 二、课程性质与任务 概率论与数理统计是研究随机现象客观规律性的数学学科，是高等学校理、工、管理类本科各专业的一门重要的基础理论课。通过本课程的教学，应使学生掌握概率论与数理统计的基本概念，了解它的基本理论和方法，从而使学生初步掌握处理随机事件的基本思想和方法，培养学生运用概率统计方法分析和解决实际问题的能力。 三、课程教学基本要求 本课程以课堂讲授为主，致力于讲清楚基本的概率统计思想，使学生掌握基本的概率、统计计算方法。注意培养基本运算能力、分析问题和解决实际问题的能力。讲授中运用实例来说明本课程应用的广泛性和重要性。每节课布置适量的习题以巩固所学知识，使学生能够运用概率统计思想和方法解决一些实际问题。 四、课程教学内容及各教学环节要求 （一）概率论的基本概念 1、教学目的 理解随机现象、样本空间、随机事件、概率等概念，掌握事件的关系与运算，掌握古典概犁及其计算、条件概率的计算、全概率公式和贝叶斯公式的应用。 2、教学重点与难点 （1）教学重点 ① 概率、条件概率与独立性的概念； ② 加法公式；乘法公式；全概率公式；贝叶斯公式。 （2）教学难点 ① 古典概型的有关计算；② 全概率公式的应用； ③ 贝叶斯公式的应用。 3、教学方法 采用传统教学方式，以课堂讲授为主，课堂讨论、多媒体演示、课下辅导等为辅的教学方法。加强互动教学，学生对课程的某一学术问题通过检索资料、实际调查来提高自学能力和实践应用能力。 4、教学要求 （1）理解随机试验、样本空间、随机事件等基本概念；熟练掌握事件的关系及运算 （2）理解频率和概率定义；熟练掌握概率的基本性质 （3）理解等可能概型的定义性质；,会计算等可能概型的概率 （4）理解条件概率的定义；熟练掌握加法公式、乘法公式、全概率公式和贝叶斯公式（5）理解事件独立性概念,掌握应用独立性进行概率计算 （二）随机变量及其分布 1、教学目的 了解随机变量的概念；理解离散型随机变量的分布律和连续型随机变量的概率密度的概念及性质，会利用性质确定分布律和概率密度；理解分布函数的概念及性质，会利用此概念和性质确定分布函数，会利用概率分布计算有关事件的概率；掌握正态分布、均匀分布、指数分布、0-1分布、二项分布、泊松分布，会求简单的随机变量函数的分布 2、教学重点与难点 （1）教学重点 ① 随机变量及其概率分布的概念； ② 离散型随机变量分布律的求法； 概率论与数理统计复习题--带答案 ;第一章 一、填空题 1.若事件A?B且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则P(A －B)=（0.3 ）。 2.甲、乙各自同时向一敌机炮击，已知甲击中敌 机的概率为0.7，乙击中敌机的概率为0.8．求 敌机被击中的概率为（0.94 ）。 3.设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ，Ｃ中 不少于二个发生可表示为（AB AC BC ++）。 4.三台机器相互独立运转，设第一，第二，第三 台机器不发生故障的概率依次为0.9，0.8，0.7，则这三台机器中至少有一台发生故障的概率 为（0.496 ）。 5.某人进行射击，每次命中的概率为０.6 独立 射击４次，则击中二次的概率为 （ 0.3456 ）。 6.设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ与Ｃ都 不发生可表示为（ABC）。 7.设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ，Ｃ中 不多于一个发生可表示为（AB AC BC I I）； 8.若事件A与事件B相互独立，且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则P(A|B)=（0.5 ）； 9.甲、乙各自同时向一敌机炮击，已知甲击中敌机 的概率为0.6，乙击中敌机的概率为0.5．求敌机被击中的概率为（0.8 ）； 10.若事件A与事件B互不相容，且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则P(B A-)=（0.5 ） 11.三台机器相互独立运转，设第一，第二，第三 台机器不发生故障的概率依次为0.8，0.8，0.7，则这三台机器中最多有一台发生故障的概率为（0.864 ）。 12.若事件A?B且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(B A)=（0.3 ）; 13.若事件A与事件B互不相容，且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则P(B A)=（0.5 ） 14.Ａ、Ｂ为两互斥事件，则A B= U（S ）15.Ａ、Ｂ、Ｃ表示三个事件，则Ａ、Ｂ、Ｃ恰 有一个发生可表示为 （ABC ABC ABC ++） 16.若()0.4 P AB A B= U P AB=0.1则(|) P B=，() P A=，()0.2 （ 0.2 ） 17.Ａ、Ｂ为两互斥事件，则AB=（S ） 18.保险箱的号码锁定若由四位数字组成，则一次 ）。 就能打开保险箱的概率为（1 10000 《概率论与数理统计》课程标准 一、课程概述 （一）课程定位 《概率论与数理统计》(Probability Theory and Mathematical Statistics)，由概率论和数理统计两部分组成。它是研究随机现象并找出其统计规律的一门学科，是广泛应用于社会、经济、科学等各个领域的定量和定性分析的科学体系。从学科性质讲，它是一门基础性学科，它为建筑专业学生后继专业课程的学习提供方法论的指导。 （二）先修后续课程 《概率论与数理统计》的先修课程为《高等数学》、《线性代数》等，这些课程为本课程的学习奠定了理论基础。 《概率论与数理统计》的后续课程为《混凝土结构设计》、《地基与基础》等课程。通过该课程的学习可为这些课程中的模型建立等内容的知识学习奠定良好的基础,在教学中起到了承上启下的作用。 二.课程设计思路 本课程的基本设计思路是极力用较为通俗的语言阐释概率论的基本理论和数理统计思想方法;理论和方法相结合，以强调数理统计理论的应用价值。总之,强调理论与实际应用相结合的特点,力求在实际应用方面做些有益的探索，也为其它学科的 进一步学习打下一个良好的基础。 三、课程目标 《概率论与数理统计》是一门几乎遍及所有的科学技术领域以及工农业生产和国民经济各部门之中。通过学习该课程使学生掌握概率、统计的基本概念，熟悉数据处理、数据分析、数据推断的各种基本方法，并能用所掌握的方法具体解决工程实践中所遇到的各种问题。 （一）能力目标 力求在简洁的基础上使学生能从整体上了解和掌握该课程的内容体系，使学生能够在实际工作中、其它学科的学习中能灵活、自如地应用这些理论。 （二）知识目标 1.理解掌握概率论中的相关概念和公式定理； 2.学会应用概率论的知识解决一些基本的概率计算； 3.理解数理统计的基本思想和解决实际问题的方法。 （三）素质目标 1.培养学生乐于观察、分析、不断创新的精神； 2.培养具有较好的逻辑思维、较强的计划、组织和协调能力； 3.培养具有认真、细致严谨的职业能力。 四、课程内容 根据能力培养目标的要求，本课程的主要内容是随机事件、随机变量、随机向量、数字特征、极限定理。具体内容和学时分配见表4-1。 表4-1 课程内容和学时分配 概率论与数理统计试题 与答案 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】数三概率论与数理统计教学大纲
《概率论与数理统计》期末考试试题及解答
概率论与数理统计知识点总结详细
概率论与数理统计试题库
概率论与数理统计期末考试试题及解答
概率论与数理统计模拟试题
概率论与数理统计课程教学大纲
概率论与数理统计必考大题解题索引
概率论与数理统计试题库及答案(考试必做)
《概率论与数理统计》课程教学大纲
概率论与数理统计复习题--带答案
(完整版)概率论与数理统计课程标准
概率论与数理统计试题与答案
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