数学规划模型

课程设计

课程数学模型课程设计

题目应用数学规划模型求解实际数学问题

学院数学与统计学院

专业班级信计13-2

学生姓名

学生学号

指导教师

2015年7 月 5 日

东北石油大学课程设计任务书

课程《数学模型》课程设计

题目应用数学规划模型求解实际数学问题

专业姓名学号

主要内容、基本要求、主要参考资料等

主要内容

简单介绍数学规划模型基本理论及本文所用的规划模型和相关软件LINGO，并通过实例来掌握如何应用数学规划模型求解实际数学问题。并利用本文所介绍的方法来分析林区汽车修理网的布局

课程设计的要求：

1.独立完成建模，并提交一篇建模论文。

2.论文的主要内容包括：摘要，问题的提出，问题的分析，模型假设，模型设计，模型解法

与结果，模型结果的分析和检验，包括误差分析、稳定性分析等。模型的优缺点及改进方向。必要

的计算机程序。

3.文档格式：参照《东北石油大学课程设计撰写规范》和《数学模型课程设计教学大纲》。

4.课程设计结束时参加答辩。

主要参考资料：

[1]唐焕文，贺明峰，数学模型(第三版)，北京：高等教育出版社，2005.3

[2]杨云峰等，数学建模与数学软件，哈尔滨：哈尔滨工程大学出版社，2012.6

[3]陈东彦，李冬梅，王树忠，数学建模，北京：科学出版社，2007

[4]吴建国等，数学建模案例精编，北京：中国水利水电出版社，2005

[5]胡运权，吴中启，李树青等，运筹学，北京：清华出版社，2003

[6]焦永兰，管理运筹学，北京：中国铁道出版社，2002

完成期限2016 年6月27日-7月8日

指导教师

专业负责人

2016年7月5日

摘要

人们需要了解各种不确定现象中隐含的必然规律性，并用数学方法研究各种结果。在研究过程

中需要处理大量数据，而统计学正是对社会经济数据进行定量分析的重要工具，应用统计方法来整

理这些数据，就可以省去不必要的过程。

本文简要介绍了了数学规划模型的概念、特点，以及LINGO软件的发展及用途。本

文在求解的过程中主要借助了这个软件。必要的求解过程是利用MATLAB和LINGO来求解的。本文在详

细介绍了数学规划模型的几个基本模型的过程中，并且每种模型都举了实例，并且通过LINGO操作，对每种方法所举实例归纳总结了较为简便的求解方法，并

且给出了具体答案。最后，本文着重的探讨了典型数学模型应用规划模型方法结合LINGO求解，在解决林区汽车修理网的布局问题中，很好的体现了规划模型方法在解决典型数学模型问题时应用的广泛性和有效性。

林区的汽车往往需要定期送往不同的修理厂进行大修,不同的汽车分配方案往往需要消耗不同的

修理成本.本文主要利用图论和运筹学理论建立了一套线性规划数学模

型,用于求解不同的修理厂规模的条件下最优的汽车分配方案，以及所对应的总费用，并对其进行

分析评估。但为寻求最佳的修理厂规模调整方案，本文模拟实际情况中的市场机理，把市场作为

资源分配的主要手段，国家（此处为方案制定制者）对市场进行必要的宏观调控。在此方案下得

到了相当满意的结果，这也是本文的独到之处。本模型对

实际情况中汽车修理分配方案的制定有很大的指导作用.且本模型的处理思想,对市场体制下的很多类似问题都有借鉴作用.

本模型对实际情况中汽车修理分配方案的制定有很大的指导作用.且本模型的处理思想，对市场体制下的很多类似问题都有借鉴作用.

应用规划模型结合实际数学问题可以简化求解步骤，省去繁琐的过程。为实际问题的研究提

供了较为简便的方法。

关键词：LINGO；汽车修理网布局；图论；布局规划模型

目录

第1章基础理论 (1)

1.1 数学规划模型的相关软件介绍 (1)

1.2 数学规划模型的基本概念 (2)

1.3 本章小结 (3)

第2章常用模型 (4)

2.1 模型1——目标规划模型 (4)

2.2 模型2——最短路和最大流模型 (5)

2.3 本章小结 (8)

第3章典型实例 (9)

3.1 实例1——生产安排问题 (9)

3.2 实例2——设备更新问题 (10)

3.3 本章小结 (12)

第4章数学模型案例 (13)

4.1符号说明 (14)

4.2 模型的建立和求解 (14)

4.3 结果分析 (15)

4.4 模型改进与模型评价 (15)

4.5 本章小结 (15)

结论 (16)

参考文献 (17)

附录 (18)

第1章基础理论

1.1 数学规划模型的相关软件介绍

1.1.1LINGO相关介绍

美国芝加哥大学的Linus Schrage教授于1980年前后开发了一套专门用于求解最

优化问题的软件包，后来又经过了多年的不断完善和扩充，并成立了LINDO系统公司进行商业化运作，取得了巨大成功.在最优化软件的市场中具有绝对的优势，根据该公司网上提供的信息，位列全球《财富》杂志500强的企业中一半以上使用上述产品，其中位列全球《财富》杂志25强企业中有23家使用上述产品.读者可以从该公司的主页上了解更多的相关信息，特别是可以下载该公司产品的演示版(DEMO)和大量应用例子。演

示版和正式版的基本功能是一样的，只是试用版求解问题的规模(决策变量和约束条件的个数)受到严

格限制。

LINGO的前身是LINDO，LINDO只能求解线性规划和二次规划(求解二次规划时又较繁琐的程序转换)，有丰富的结果分析；后来为了解决非线性规划问题，LINDO公司开发

了LINGO，当前LINGO的版本是10.0，最近一次更新是2006年12月。

LINGO(包括LINDO)的最大特色在于可以允许决策变量是整数(甚至0-1整数)，而且运行速度快。

LINGO实际上还是最优化问题的一种建模语言，包括许多常用的数学函数供使用者调用，并可以

接受其他数据文件(如文本文件.txt，电子表格文件.xml,数据库文件，,)，既是对优化方面的专业知识了解不多的用户，也能方便的建立和输入、有效

的求解和分析实际中遇到的大规模优化问题，并通常能够快速得到复杂优化问题的高质量的解。

此外，LINGO还提供了与其他开发工具(如C++、JAVA等语言)的接口软件LINDOAPI，因此使LINGO 还能方便的融入到用户应用软件的开发中去；最后LINGO提供了与电子表格软件(如EXCEL等)的接口，能够直接集成到电子表格软件中使用。

由于自LINGO9开始LINGO完全地包含了LINDO的功能，所以LINDO公司已经

将LINDO从其产品目录中删去，这意味着以后不会再有LINDO软件的新版本了。

1.1.2LINGO程序模版

LINGO 的程序结构

1.集合段以sets开始、endsets结束，作用在于定义必要的集合变量及其元素(含义类似于数组的下标)和属性(含义类似于数组)；

2.数据段以data开始、enddata结束，作用在于对集合的属性(数组)输入已知数

1

据；

3.初始段以init 开始、endinit结束，作用在于对集合的属性(数组)定义初值；

4.计算段以calc开始、endcalc结束，作用在于对一些原始数据进行计算处理；

5.目标与约束段无开始和结束标志，作用在于定义目标函数和约束条件.

1.1.3LINGO常用命令

一、运算符及优先级

1、算术运算符(5个)：

+(加法),—(减法或负号),*(乘法),/(除法),^(乘方)

2、逻辑运算符(9个)：

(1)#and#(与)，#or#(或)，#not#(非)；

(2)#eq#(等于),#ne#(不等于),#gt#(大于),#lt#(小于),

#ge#( 大于等于)，#le#(小于等于).

二、数学函数

@abs(),@cos(),@exp(),@floor(),@mod(x,y),@pow(x,y),@sign(),@sin

(),@smax(),@smin(),@sqr(),@sqrt(),@tan(),@lgm(),@log().

三、集合函数

1、集合循环函数

@for(),@max(),@min(),@prod,@sum()

2、集合操作函数

@in(),@index(),@wrap(),@size

四、变量定界函数

@bnd(l,x,u),@bin(),@free(),@gin()

1.2 数学规划模型的基本概念

1.2.1 数学规划模型的概念

数学规划理论是运筹学这门学科的主要内容，而运筹学的基本特点是：考虑系统的

整体优化、多学科的配合以及模型方法的应用。细化为如下步骤：

1、分析与表述问题。

2、建立数学模型。

3、求解数学模型。

4、对模型和由模型导出的解进行检验。

5、建立起对解的有效控制。

2

6、方案的实施。

定义：实际问题均为函数问题，对实际问题的优化就是求描述此问题的函数f(x)的极值，其中变量x来自实际问题，他们必然满足一些条件，这就是数学规划问题。数学规划的

标准形式为：

Min(Max)z f(x),x (x1,Lx n)T

s.t.g i(x) 0,i 1,2,Lm

x~ 决策变量f(x)~ 目标函数gi(x) 0~约束条件

所以，数学规划本质上是(多元)函数条件极值

1.2.2 数学规划模型的特点

根据目标函数和约束条件的形式，数学规划可以分为

(1)线性规划模型:f(x),gi(x) 均为1 次多项式

(2)二次规划模型:f(x)为2 次,gi(x) 均为1次多项式

(3)整数规划模型:决策变量x的取值全为整数

(4)0--1 规划模型: 决策变量x的取值全为0或1

(5)其他优化模型:其他情形

1.3 本章小结

本章主要介绍了数学规划模型的概念、特点及作用等基础信息。并且介绍了将要用到的

LINGO的特点，以及在实际生活中它们的用处。本文主要用到LINGO来操作解决一些实

例问题

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第2章常用模型

2.1 模型1——目标规划模型

2.1.1目标规划的基本概念

目标规划是为了克服线性规划的局限性而引入的，与线性规划相比，目标规划采用了如

下手段：

1、设置偏差变量；

2、统一处理目标与约束；

3、目标的优先级与权系数。

2.1.2目标规划的一般模型

设XJ(J=1..N)是目标规划的决策变量，共有M个约束是刚性的(可能是等式，也可能是不等式)；还有L个柔性约束，偏差变量为D+,D-(I=1..L)；设有Q个优先级，分别为P1,P2,,,PQ，在同一优先级PK下，有不同的权重，分别记为：

w kj,w kj(j1,..,l)

这样目标规划的一般数学模型为：

q l

minz Pk (w kj d w kj d )

k 1 j1

n

s.t.

a i

j x

j(,)b i, i 1,...,m j 1

n

c ij x j d

i d i g i,i

1,...

,l

j 1

2.1.3求解目标规划的序贯式算法

序贯式算法是求解目标规划的一种早期算法，其核心是根据优先级的先后次序，将目标规划分解成一系列的单目标规划问题，然后再依次求解。

4

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2.2 模型2——最短路和最大流模型

2.2.1 最短路模型

例：管道铺设问题

见下图，图中点表示城市，现有A,B1,B2,C1,C2,C3,D共7个城市。点与点之间的

连线表示城市间有道路相连，连线上的数字表示道路的长度。现计划从城市A到城市D 铺设一条天然气管道，请设计出最小价格管道铺设方案。

问题分析此问题本质上是求从城市A到城市D的一条最短路。为了书写上的方便，

我们将7个城市编号如下：A,B1,B2,C1,C2,C3,D=1,2,3,4,5,6,7 。

定义邻接矩阵AM=(aij)n*n，其元素为

1，i、j之间有道路相连；

a ij

0，否则。

每两个城市之间的距离记为

d ij，i、j之间有道路相连,d ij为其距离；

w ij

，i、j之间无道路相连。

则矩阵W=(wij)n*n 称为赋权矩阵。

下面i,j 之间的道路记为(i,j) ，定义变量

1,(i,j)在所求路上；

x ij

0，否则。

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则xij 组成如下一个上三角矩阵

x12 x13 x14 x15 x16 x17 x23

x24 x25 x26 x27 x34

x35 x36 x37 x45 x46 x47 x56

x57

x67

求最短路等价于求上述上三角阵中那些为 1，那些为0

模型建立 决策变量即是xij ，已知量即是赋权矩阵。易知目标函数为： z

w ij x

ij

(i,j)

由决策变量矩阵，可得决策变量应满足的约束条件为：

7

7

1,

i 1

xij xji 1,

i

7 j 1 j 1 0,otherwise

(i , j) ( j,i)

这样最短路的数学模型就建立起来了，是 0-1 线性规划模型。

2.2.2 最大流模型

最大流问题涉及图论中的网络及相关概念，下面给出相关知识。 一、网络与最大流的基本概念

定义1图(Graph)：图是一些顶点(Vertex)和连接这些定点的边(Edge)的集合，记为G(V,E)。譬如，一个地区的交通图，顶点集V 是各城市和乡镇，而边集E 则是连接这些城市或乡镇的路(铁路、公路、

乡村小路等)；一栋办公楼里的机构示意图，顶点

集 V 是各机构的办公室，而边集E 则是连接各办公室的通道；一个城市的(天然气、自来水,)管道分布图；,

若顶点集V 是有限集，则称图

G(V,E)为有限图。

我们只讨论有限图。

若图G(V,E)中所有的边都是没有方向的，则称图G(V,E)为无向图。否则称为有向图。

6

有向图的例子：自来水输送管道图，天然气输送管道图，石油输送管道图，,

定义2网络(Network)：设G(V,A)为有向图，如果在V中有两个不同的顶点子集S和T，且在弧集A上定义了一个从弧集A到非负实数集R>=0上函数c,则称G(V,A)为一个

网络，简记为N。S中的顶点称为源(source)，T中的顶点称为汇(Sink)，既非源又非

汇的顶点称为中间点。而c则称为网络N的容量函数(capacity function) ；设a

对于网络N中的弧(u,v) ，除了有容量外，还有一个流量(flow) ，记为f(u,v) 。

显然，

0<=f(u,v)<=c(u,v)

称满足此不等式的网络N是相容的。

对于所有中间点v，流入的总量=流出的总量：

（1）：

f(u,v) f(v,u)

u V u V

网络N的流量值V(f)定义为从源s流出的总流量，即

（2）：

V(f) f(s,v)

v V

易知N的流量值V(f)也为流入汇t的总流量，即

（3）：

V(f) f(v,t)

v V

设V1和V2为V的子集，用(V1,V2)记起点在V1中、终点在V2中的弧的集合，f(V1,V2)

记(V1,V2)中弧的流量的总和，即

f(V1,V2) f(u,v)

u V1,v V2

特别地，令V1=v,V2=V，结合(1),(2),(3) 三式，得到

（4）：

V(f), v s

f(v,V) f(V,v) 0, otherwise

V(f), v t

满足(4)式的网络N是守恒的。

定义3如果流f同时满足相容性和守恒性，则称流f是可行的。若存在可行流f*，使得对所有的可行流f，均有V(f*)>=V(f),则称f*为最大流(maximumflow).

最大流问题的数学模型

通过上述推导得到最大流的数学模型为max V(f)

V(f), i s

fij fji 0,otherwise

jV,(i,j)A jV,(j,i)A

V(f), j t

最大流问题的求解程序

最大流问题的Lingo求解程序为：

Model:

sets:

vertex/1..200/;

arcs(vertex,vertex)/1,21,32,32,43,54,34,65,45,6/:c,f;end

sets

data:

c=8759925610;

enddata

[obj]max=flow;

@for(vertex(i)|i#ne#1#and#i#ne#@size(vertex):

@sum(arcs(i,j):f(i,j))-@sum(arcs(i,j):f(j,i))=0);

@sum(arcs(i,j)|i#eq#1:f(i,j))=flow;

@for(arcs:@bnd(0,f,c));

End

2.3 本章小结

本章主要介绍了数学规划模型中的目标规划模型、最短路和最大流模型，并且通过一个例题解释

了最短路问题模型。了将了这些模型的基本的特点，以及在实际生活中它们的用处。本章主要用

到模型和LINGO来操作解决一些实例问题

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第3章典型实例

3.1 实例1——生产安排问题

某企业生产甲乙两种产品，需要用到A、B、C三种设备，关于产品的盈利与使用设备的工时及限

制如下表：

甲乙设备能力(h)

A(h/件) 2 2 12

B(h/件) 4 0 16

C(h/件) 0 5 15

盈利200 300

问：在下述生产要求下该企业应如何安排生产使得在计划期内总利润最大？

生产要求：

（1）力求使利润指标不低于1500元；

（2)考虑到市场需求，甲乙产量尽量保持1:2；

（3）设备A为贵重物品，严格禁止超时使用；

(4）设备C可以适当加班，但要控制；

（5）设备B既要充分使用又要尽可能不加班；

（6）在重要性上B是C的3倍。

问题分析与建模每一个生产要求都是目标，所以所求问题是目标规划问题。在生产要求中设备A是刚性约束，其余是柔性约束首先，我们需拟定各目标的优先级及权系数：P1 对企业而言，最重要的指标是利润，因此，将利润的优先级列为第一级；

P2 产品是利润的载体，所以将甲乙产量保持1:2列为第二级；

P3 设备是产品的来源，所以对设备B,C的工时要求列为第三集；在此级中，B,C 的重要性不同，表明B,C的权系数不一样。

然后，给出决策变量及变差变量：

x1,x2 分别为甲乙的产量；

d1,d2,d3,d4分别为利润、产品比例、B的工时、C的工时的偏差变量。则目标规划为：

9

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min z Pd

1P(d

2

d

2

) P[3(d

3

d

3

) d

4

]

1 2 3

s.t.2x1 2x2 12

200x1300x2 d1d11500

2x1 x2 d2d20

4x1 d3d316

5x2 d4 d415

模型求解程序

用序贯式算法求解目标规划的Lingo通用程序.

3.2 实例2——设备更新问题

张先生打算购买一辆新轿车，新轿车售价是12万元人民币。轿车购买后，每年的

各种保险费、养护费等费用见表1。如果在5年之内，张先生将轿车售出，并再购买新

车。5年之内的二手车销售价见表2。请帮助张先生设计一种购买轿车的方案，使5年内用车的总费用最少。

表1 轿车的维护费

车龄/年0 1 2 3 4

费用/万元 2 4 5 9 12

表2 二手车的售价

车龄/年 1 2 3 4 5

售价/万元7 6 2 1 0

问题分析设备更新问题是动态规划的一类问题，此处借助于最短路方法解决设备

更新问题。用6个点(1,2,3,4,5,6) 表示各年的开始，各点之间的边的长度(权)表示从左端点开始年至右端点结束年所花的费用，这样构成购车的小费的网络图如后：

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记cij=

第i 年开始到第j-1 年结束因车的总费用

=第i 年开始到第j-1年结束轿车的维护费用+第i 年开始时的购车费用-第j 年开始时的 二手车销售收入。

我们首先须将cij 求出来，这可以在程序中自动实现模型建立 (1)

赋权矩阵为C=(cij)5*5，为一上三角阵(有向最短路问题均为上三角阵)； (2) 决策变量：

1,(i,j)在最小费用路上；

x

ij

0，

否则。

由前面分析我们可建立如下设备更新的最短路模型：

min z

c

ij x

ij

1ij

6

6 5

1,

i

1

s.t.

xij xj i 1,

i

6 j 2 j 1 0,otherwise

(i , j )

( j,i)

用Lingo 求解，结果如下(程序)：

Globaloptimalsolutionfound.

Objectivevalue: 31.00000

Totalsolveriterations:

ModelTitle: 设备更新问题 Variable Value ReducedCost X(1,2)

1.000000 0.000000

11

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X(4,6) 1.000000 0.000000

上述结果翻译为实际意思，就是：第1年初买新车，第2年初卖掉，再购买新车，到第4年初卖掉，在购买新车使用到第5年末，总费用最小，为31万元。

3.3 本章小结

本章主要介绍了数学规划模型在实践中的实例生产模型和设备更新问题。并且介绍了这些问题的求解过程。通过这俩个实例可以让我们更好的理解与接受规划模型在日常生活中的简单应用。

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第4章数学模型案例

规划模型赛题解析——林区汽车修理网的布局

在林业生产中，汽车是主要的运输工具。为了确保汽车在使用中有良好的技术状态和较长的使用寿命，需定期对汽车进行保养与维修，大修是重要的一个环节。但目前各林业局都设有大修

厂，由于厂点多、规模小、技术落后等原因，导致了大修成本高、质量低等问题。现需对林区的

大修厂作出合理布局，使林区整体经济效益最优。

表1给出了某林区某年各大修厂的产量及成本。

表2给出了某林区各大修厂的现有生产规模和车辆数。

图1是林区18个林业局的分布图：

各线段上的数字是两林业局的距离（单位：公里；线的长短和真实的距离不

成比例，括号“()”里的数字是林业局编号）。

当把一个林业局的汽车送到另一个林业局大修时，每辆车的运送费（双程）：

公路每公里6元，铁路每公里5元。

假设：

(1)每辆汽车一年大修一次；

(2)不考虑关闭、扩建大修厂的费用。

分别对以下几种情况求出该林区汽车大修方案，作出大修厂的布局规划。

情形1 分协作区大修；

情形2 不分协作区大修(整个林区)；

情形3拟定对林业局(2)、(5)、(8)、(14)、(16)所属大修厂进行扩建，使生产规模分别增加80辆；

情形4集中到情形3中拟定的两个厂点大修是否更好？给出是那两个厂点和生产规模。

你还有更好的建议吗？

表1 各林业局汽修厂的产量及单位生产成本

林业局 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 1 1 13 14 1 16 17 18

0 1 2 5

产量 5 25 20 1 20 1 40 1 7 4 2 4 40 13 4 110 50 60 （辆）0 5 9 5 5 5 0 0 5

单位成57 48 43 5 64 6 55 4 5 6 6 7 56 47 5 5000 5300 5100本（元/ 00 50 00 5 00 5 00 5 8 0 1 2 00 00 6

辆）0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

表2 林业局所属林区、车辆拥有数及其汽修厂的生产规模

数学建模常用模型方法总结精品

【关键字】设计、方法、条件、动力、增长、计划、问题、系统、网络、理想、要素、工程、项目、重点、检验、分析、规划、管理、优化、中心 数学建模常用模型方法总结 无约束优化 线性规划连续优化 非线性规划 整数规划离散优化 组合优化 数学规划模型多目标规划 目标规划 动态规划从其他角度分类 网络规划 多层规划等… 运筹学模型 （优化模型） 图论模型存 储论模型排 队论模型博 弈论模型 可靠性理论模型等… 运筹学应用重点:①市场销售②生产计划③库存管理④运输问题⑤财政和会计⑥人事管理⑦设备维修、更新和可靠度、项目选择和评价⑧工程的最佳化设计⑨计算器和讯息系统⑩城市管理 优化模型四要素：①目标函数②决策变量③约束条件 ④求解方法(MATLAB--通用软件LINGO--专业软件) 聚类分析、 主成分分析 因子分析 多元分析模型判别分析 典型相关性分析 对应分析 多维标度法 概率论与数理统计模型 假设检验模型 相关分析 回归分析 方差分析 贝叶斯统计模型 时间序列分析模型 决策树 逻辑回归

传染病模型马尔萨斯人口预测模型微分方程模型人口预 测控制模型 经济增长模型Logistic 人口预测模型 战争模型等等。。 灰色预测模型 回归分析预测模型 预测分析模型差分方程模型 马尔可夫预测模型 时间序列模型 插值拟合模型 神经网络模型 系统动力学模型(SD) 模糊综合评判法模型 数据包络分析 综合评价与决策方法灰色关联度 主成分分析 秩和比综合评价法 理想解读法等 旅行商(TSP)问题模型 背包问题模型车辆路 径问题模型 物流中心选址问题模型 经典NP问题模型路径规划问题模型 着色图问题模型多目 标优化问题模型 车间生产调度问题模型 最优树问题模型二次分 配问题模型 模拟退火算法(SA) 遗传算法(GA) 智能算法 蚁群算法(ACA) (启发式) 常用算法模型神经网络算法 蒙特卡罗算法元 胞自动机算法穷 举搜索算法小波 分析算法 确定性数学模型 三类数学模型随机性数学模型 模糊性数学模型

(完整word版)整数规划的数学模型及解的特点

整数规划的数学模型及解的特点 整数规划IP (integer programming)：在许多规划问题中，如果要求一部分或全部决策变量必须取整数。例如，所求的解是机器的台数、人数、车辆船只数等，这样的规划问题称为整数规划，简记IP 。 松弛问题(slack problem)：不考虑整数条件，由余下的目标函数和约束条件构成的规划问题称为该整数规划问题的松弛问题。 若松弛问题是一个线性规化问题，则该整数规划为整数线性规划(integer linear programming)。 一、整数线性规划数学模型的一般形式 ∑==n j j j x c Z 1 min)max(或 中部分或全部取整数n j n j i j ij x x x m j n i x b x a t s ,...,,...2,1,...,2,10 ),(.211 ==≥=≥≤∑= 整数线性规划问题可以分为以下几种类型 1、纯整数线性规划(pure integer linear programming)：指全部决策变量都必须取整数值的整数线性规划。有时，也称为全整数规划。

2、混合整数线性规划(mixed integer liner programming)：指决策变量中有一部分必须取整数值，另一部分可以不取整数值的整数线性规划。 3、0—1型整数线性规划(zero —one integer liner programming)：指决策变量只能取值0或1的整数线性规划。 1 解整数规划问题 0—1型整数规划 0—1型整数规划是整数规划中的特殊情形，它的变量仅可取值0或1，这时的 ???? ? ????≥≤+≥+≤-+=且为整数0,5210453233max 2121212121x x x x x x x x x x z

整数规划的两种数学模型解法

规划模型求解 指导老师： 组员： 组员分工 实际的内容： 1·简要介绍线性规划的历史 线性规划是运筹学中最基本、应用最广泛的分支。规划模型是一类有着广泛应用的确定性的系统优化模型，1939年，苏联数学家康托洛维奇出版《生产组织和计划中的数学方法》一书. 1947年，美国数学家丹兹格提出了线性规划问题的单纯形求解方法. 1951年，美国经济学家库普曼斯（J.C.Koopmans,1910—1985）出版《生产与配置的活动分析》一书. 1950～1956年，线性规划的对偶理论出现. 1960年，丹兹格与沃尔夫（P.Wolfe）建立大规模线性规划问题的分解算法. 1975年，康托洛维奇与库普曼斯因“最优资源配置理论的贡献”荣获诺贝尔经济学奖. 1978年，苏联数学家哈奇扬（L.G.Khachian）提出求解线性规划问题的多项式时间算法（内点算法），具有重要理论意义. 1984年，在美国贝尔实验室工作的印度裔数学家卡玛卡（N.Karmarkar）提出可以有效求解实际线性规划问题的多项式时间算法——Karmarkar算法.

线性规划的基本点就是在满足一定约束条件下，使预定的目标达到最优. 现在线性规划已不仅仅是一种数学理论和方法，而且成了现代化管理的重要手段，是帮助管理者与经营者做出科学决策的一个有效的数学技术. 历史表明，重要数学概念对数学发展的作用是不可估量的，函数概念对数学发展的影响，可以说是贯穿古今、旷日持久、作用非凡，回顾函数概念的历史发展，看一看 函数概念不断被精炼、深化、丰富的历史过程，是一件十分有益的事情，它不仅有助于我们提高对函数概念来龙去脉认识的清晰度，而且更能帮助我们领悟数学概念 对数学发展，数学学习的巨大作用。 2·线性规划的原理：线性规划是合理利用、调配资源 的一种应用数学方法。它的基本思路就是在满足一定的约束条件下，使预定的目标达到最优。它的研究内容可归纳为两个方面：一是系统的任务已定，如何合理筹划，精细安排，用最少的资源(人力、物力和财力)去实现这个任务；二是资源的数量已定，如何合理利用、调配，使任务完成的最多。前者是求极小，后者是求极大。线性规划是在满足企业内、外部的条件下，实现管理目标和极值(极小值和极大值)问题，就是要以尽少的资源输入来实现更多的社会需要的产品的产出。因此，线性规划是辅助企业“转轨”、“变型”的十分有利的工具，它在辅助企业经营决策、计划优化等方面具有重要的作用。其一般形式为： n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a x c x c x c x f =+++=+++→+++= 2 2222121112121112211min )(

什么是数学模型与数学建模

1. 什么是数学模型与数学建模 简单地说：数学模型就是对实际问题的一种数学表述。 具体一点说：数学模型是关于部分现实世界为某种目的的一个抽象的简化的数学结构。 更确切地说：数学模型就是对于一个特定的对象为了一个特定目标，根据特有的内在规律，做出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。数学结构可以是数学公式，算法、表格、图示等。 数学建模就是建立数学模型，建立数学模型的过程就是数学建模的过程（见数学建模过程流程图）。数学建模是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻划并"解决"实际问题的一种强有力的数学手段。 2.美国大学生数学建模竞赛的由来： 1985年在美国出现了一种叫做MCM的一年一度大大学生数学模型（1987年全称为Mathematical Competition in Modeling,1988年改全称为Mathematical Contest in Modeling,其所写均为MCM）。这并不是偶然的。在1985年以前美国只有一种大学生数学竞赛（The william Lowell Putnam mathematial Competition,简称Putman(普特南）数学竞赛），这是由美国数学协会（MAA--即Mathematical Association of America的缩写）主持，于每年12月的第一个星期六分两试进行，每年一次。在国际上产生很大影响，现已成为国际性的大学生的一项著名赛事。该竞赛每年2月或3月进行。 我国自1989年首次参加这一竞赛，历届均取得优异成绩。经过数年参加美国赛表明，中国大学生在数学建模方面是有竞争力和创新联想能力的。为使这一赛事更广泛地展开，1990年先由中国工业与应用数学学会后与国家教委联合主办全国大学生数学建模竞赛（简称CMCM），该项赛事每年9月进行。

数学建模中常见的十大模型

数学建模常用的十大算法==转 (2011-07-24 16:13:14) 转载▼ 1. 蒙特卡罗算法。该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可以通过模拟来检验自己模型的正确性，几乎是比赛时必用的方法。 2. 数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法。比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用MA TLAB 作为工具。 3. 线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类算法。建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算法来描述，通常使用Lindo、Lingo 软件求解。 4. 图论算法。这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备。 5. 动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法。这些算法是算法设计中比较常用的方法，竞赛中很多场合会用到。 6. 最优化理论的三大非经典算法：模拟退火算法、神经网络算法、遗传算法。这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的，对于有些问题非常有帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用。 7. 网格算法和穷举法。两者都是暴力搜索最优点的算法，在很多竞赛题中有应用，当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用一些高级语言作为编程工具。 8. 一些连续数据离散化方法。很多问题都是实际来的，数据可以是连续的，而计算机只能处理离散的数据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的。 9. 数值分析算法。如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那些数值分析中常用的算法比如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用。 10. 图象处理算法。赛题中有一类问题与图形有关，即使问题与图形无关，论文中也会需要图片来说明问题，这些图形如何展示以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用MA TLAB 进行处理。 以下将结合历年的竞赛题，对这十类算法进行详细地说明。 以下将结合历年的竞赛题，对这十类算法进行详细地说明。 2 十类算法的详细说明 2.1 蒙特卡罗算法 大多数建模赛题中都离不开计算机仿真，随机性模拟是非常常见的算法之一。 举个例子就是97 年的A 题，每个零件都有自己的标定值，也都有自己的容差等级，而求解最优的组合方案将要面对着的是一个极其复杂的公式和108 种容差选取方案，根本不可能去求解析解，那如何去找到最优的方案呢？随机性模拟搜索最优方案就是其中的一种方法，在每个零件可行的区间中按照正态分布随机的选取一个标定值和选取一个容差值作为一种方案，然后通过蒙特卡罗算法仿真出大量的方案，从中选取一个最佳的。另一个例子就是去年的彩票第二问，要求设计一种更好的方案，首先方案的优劣取决于很多复杂的因素，同样不可能刻画出一个模型进行求解，只能靠随机仿真模拟。 2.2 数据拟合、参数估计、插值等算法 数据拟合在很多赛题中有应用，与图形处理有关的问题很多与拟合有关系，一个例子就是98 年美国赛A 题，生物组织切片的三维插值处理，94 年A 题逢山开路，山体海拔高度的插值计算，还有吵的沸沸扬扬可能会考的“非典”问题也要用到数据拟合算法，观察数据的

01型整数规划模型

甲乙公司不合作即竞争下所争取到的不同名专业推广者所建立的不同动态规划模 型的组合方案如下：其中X 为可能竞争到的专业推广者人数，即动态规划模型中第一天的

专业推广者推 广能力的份数，Y 为第二天需要的专业推广者推广能力的份数，即第三天安排从事推广 工作的专业推广者的人数；Z 为第三天需要的专业推广者推广能力的份数，即第三天安排从事推广工作的专业推广者的人数；a 为x 名专业推广者累计从事培训工作出来的兼职推广者的批数（每批20 人），其中，有多种组合方案；甲公司雇佣这些兼职推广者均工作一天，从事推广工作，第二天辞退a ?b 批兼职推广员，其余的b 批继续从事推广工作一天后辞退，即兼职宣传员总共最多雇佣2 天；cost 为花费的成本，即资金的使用数量；F 为不同方案下所达到的总推广效益。上表可以提供给甲公司做决策依据，根据效益的大小甲公司可以决策的目标方向顺序是从①--⑧，即不合作的情况下甲公司可以尽量争取到9 人，如若 不行，考虑争取4 人。 §5.4 0—1型整数规划模型 1、 0—1型整数规划模型概述 整数规划指的是决策变量为非负整数值的一类线性规划，在实际问题的应用中，整数规划模型对应着大量的生产计划或活动安排等决策问题，整数规划的解法主要有分枝定界解法及割平面解法（这里不作介绍，感兴趣的读者可参考相关书籍）。在整数规划问题中，0—1型整数规划则是其中较为特殊的一类情况，它要求决策变量的取值仅为0或1，在实际问题的讨论中，0—1型整数规划模型也对应着大量的最优决策的活动与安排讨论，我们将列举一些模型范例，以说明这个事实。 0—1型整数规划的的数学模型为： 目标函数 n n x c x c x c z M i n M a x +++= 2211)( 约束条件为： ???? ?? ?==≥≤++=≥≤++=≥≤++1 | 0 ) ,() ,() ,(2211222221211 1212111n m n mn m m n n n n x x x b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a , , ,21 这里，0 | 1表示0或1。 2、0—1型整数规划模型的解法

数学建模(整数规划)

整数规划模型

实际问题中 x x x x f z Max Min T n "),(),()(1==或的优化模型 m i x g t s i ",2,1,0)(..=≤x ~决策变量f (x )~目标函数g i (x )≤0~约束条件 多元函数决策变量个数n 和数 线性规划条件极值约束条件个数m 较大最优解在可行域学 规 非线性规划解 的边界上取得划 整数规划

Programming +Integer 所有变量都取整数，称为纯整数规划；有一部分取整数，称为混合整数规划；限制取0，1称为0‐1型整数规划。 型整数规划

+整数线性规划 max(min) n z c x =1j j j n =∑1 s.t. (,) 1,2,,ij j i j a x b i m =≤=≥=∑"12 ,,,0 () n x x x ≥"且为整数 或部分为整数

+例：假设有m 种不同的物品要装入航天飞机，它们的重量和体积分别为价值为w j 和v j ，价值为c j ，航天飞机的载重量和体积限制分别为W 和V ，如何装载使价值最大化？ m 1?1 max j j j c y =∑ 1 0j j y =?被装载 s.t. m j j v y V ≤∑0 j ?没被装载1 j m =1 j j j w y W =≤∑ 0 or 1 1,2,,j y j m =="

(Chicago)大学的Linus Schrage教授于1980年美国芝加哥(Chi)Li S h 前后开发, 后来成立LINDO系统公司（LINDO Systems Inc.），网址：https://www.sodocs.net/doc/f212437604.html, I）网址htt//li d LINDO: Interactive and Discrete Optimizer (V6.1) Linear(V61) LINGO: Linear Interactive General Optimizer (V8.0) LINDO——解决线性规划LP—Linear Programming，整数规划IP—Integer Programming问题。 LINGO——解决线性规划LP—Linear Programming，非线性规划NLP—Nonlinear Programming，整数规划IP—Integer Programming g g整划g g g 问题。

数学建模实验答案数学规划模型二

实验05 数学规划模型㈡（2学时） （第4章数学规划模型） 1.（求解）汽车厂生产计划（LP，整数规划IP）p101~102 (1) (LP)在模型窗口中输入以下线性规划模型 max z = 2x1 + 3x2 + 4x3 . + 3x2 + 5x3≤ 600 280x1 + 250x2 + 400x3≤ 60000 x1, x2, x3≥ 0 并求解模型。 ★(1) 给出输入模型和求解结果（见[101]）： model: TITLE汽车厂生产计划（LP）; !文件名：; max=2*x1+3*x2+4*x3; *x1+3*x2+5*x3<600; 280*x1+250*x2+400*x3<60000; end (2) (IP)在模型窗口中输入以下整数规划模型 max z = 2x1 + 3x2 + 4x3 . + 3x2 + 5x3≤ 600 280x1 + 250x2 + 400x3≤ 60000 x1, x2, x3均为非负整数

并求解模型。 LINGO函数@gin见提示。 ★(2) 给出输入模型和求解结果（见[102]模型、结果）：model: TITLE汽车厂生产计划（IP）; !文件名：; max=2*x1+3*x2+4*x3; *x1+3*x2+5*x3<600; 280*x1+250*x2+400*x3<60000; @gin(x1); @gin(x2); @gin(x3);!将x1,x2,x3限定为整数; end 2.（求解）原油采购与加工（非线性规划NLP，LP且IP）p104~107 模型： 已知 ? ? ? ? ? ≤ ≤ + ≤ ≤ + ≤ ≤ = ) 1500 1000 ( 6 3000 ) 1000 500 ( 8 1000 ) 500 0( 10 ) ( x x x x x x x c 注：当500 ≤x≤ 1000时，c(x) = 10 × 500 + 8( x– 500 ) = (10 – 8 ) × 500 + 8x

数学建模中常见的十大模型

数学建模中常见的十大 模型 Document serial number【KKGB-LBS98YT-BS8CB-BSUT-BST108】

数学建模常用的十大算法==转 (2011-07-24 16:13:14) 1. 蒙特卡罗算法。该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可以通过模拟来检验自己模型的正确性，几乎是比赛时必用的方法。 2. 数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法。比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用MATLAB 作为工具。 3. 线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类算法。建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算法来描述，通常使用Lindo、Lingo 软件求解。 4. 图论算法。这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备。 5. 动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法。这些算法是算法设计中比较常用的方法，竞赛中很多场合会用到。 6. 最优化理论的三大非经典算法：模拟退火算法、神经网络算法、遗传算法。这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的，对于有些问题非常有帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用。 7. 网格算法和穷举法。两者都是暴力搜索最优点的算法，在很多竞赛题中有应用，当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用一些高级语言作为编程工具。

8. 一些连续数据离散化方法。很多问题都是实际来的，数据可以是连续的，而计算机只能处理离散的数据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的。 9. 数值分析算法。如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那些数值分析中常用的算法比如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用。 10. 图象处理算法。赛题中有一类问题与图形有关，即使问题与图形无关，论文中也会需要图片来说明问题，这些图形如何展示以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用MATLAB 进行处理。 以下将结合历年的竞赛题，对这十类算法进行详细地说明。 以下将结合历年的竞赛题，对这十类算法进行详细地说明。 2 十类算法的详细说明 蒙特卡罗算法 大多数建模赛题中都离不开计算机仿真，随机性模拟是非常常见的算法之一。 举个例子就是97 年的A 题，每个零件都有自己的标定值，也都有自己的容差等级，而求解最优的组合方案将要面对着的是一个极其复杂的公式和108 种容差选取方案，根本不可能去求解析解，那如何去找到最优的方案呢随机性模拟搜索最优方案就是其中的一种方法，在每个零件可行的区间中按照正态分布随机的选取一个标定值和选取一个容差值作为一种方案，然后通过蒙特卡罗算法仿真出大量的方案，从中选取一个最佳的。另一个例子就是去年的彩票第二问，要求设计一种更好的方案，首先方案的优劣取决于很多复杂的因素，同样不可能刻画出一个模型进行求解，只能靠随机仿真模拟。

数学建模统计模型

数学建模

论文题目： 一个医药公司的新药研究部门为了掌握一种新止痛剂的疗效，设计了一个药物试验，给患有同种疾病的病人使用这种新止痛剂的以下4个剂量中的某一个：2 g，5 g，7 g和10 g，并记录每个病人病痛明显减轻的时间（以分钟计）. 为了解新药的疗效与病人性别和血压有什么关系，试验过程中研究人员把病人按性别及血压的低、中、高三档平均分配来进行测试. 通过比较每个病人血压的历史数据，从低到高分成3组，分别记作，和. 实验结束后，公司的记录结果见下表（性别以0表示女，1表示男）. 请你为该公司建立一个数学模型，根据病人用药的剂量、性别和血压组别，预测出服药后病痛明显减轻的时间.

一、摘要 在农某医药公司为了掌握一种新止痛药的疗效，设计了一个药物实验，通过观测病人性别、血压和用药剂量与病痛时间的关系，预测服药后病痛明显减轻的时间。我们运用数学统计工具m i n i t a b软件，对用药剂量，性别和血压组别与病痛减轻

时间之间的数据进行深层次地处理并加以讨论概率值P （是否<）和拟合度R-S q的值是否更大（越大，说明模型越好）。 首先，假设用药剂量、性别和血压组别与病痛减轻时间之间具有线性关系，我们建立了模型Ⅰ。对模型Ⅰ用m i n i t a b 软件进行回归分析，结果偏差较大，说明不是单纯的线性关系，然后对不同性别分开讨论，增加血压和用药剂量的交叉项，我们在模型Ⅰ的基础上建立了模型Ⅱ，用m i n i t a b软件进行回归分析后，用药剂量对病痛减轻时间不显着，于是我们有引进了用药剂量的平方项，改进模型Ⅱ建立了模型Ⅲ，用m i n i t a b 软件进行回归分析后，结果合理。最终确定了女性病人服药后病痛减轻时间与用药剂量、性别和血压组别的关系模型： Y=1x 3x 1x 3x 2 1 x 对模型Ⅱ和模型Ⅲ关于男性病人用m i n i t a b软件进行回归分析，结果偏差依然较大，于是改进模型Ⅲ建立了模型Ⅳ，用m i n i t a b软件进行回归分析后，结果合理。最终确定了男性病人服药后病痛减轻时间与用药剂量、性别和血压组别的关系模 型：Y=1x1x 3x 2 1 x关键词止痛剂药剂量性别病痛减轻时 间

数学建模0—1规划

SETS: !We have a network of 10 points. We want to find the length of the shortest route from point 1 to point 10.; ! Here is our primitive set of 10 points,where F(i) represents the shortest path distance from point i to the last point; CITIES /1..10/:F; ! The derived set ROADS lists the roads that exist between the points; ROADS(CITIES,CITIES)/ 1,2 1,3 1,4 2,5 2,6 3,5 3,6 3,7 4,6 4,7 5,8 5,9 6,8 6,9 7,8 7,9 8,10 9,10/:D; ! D(i,j) is the distance from point i to j; ENDSETS DATA: ! Here are the distances that correspond to the above links; D= 4.5 2.8 3 10.3 9 6 7.4 10.2 3.5 8.3 4.6 8.2 9 6.5 5.4 4.6 8 4.6; ENDDATA ! If you are already in point 10,then the cost to travel to point 10 is 0; F(@SIZE(CITIES))=0; @FOR(CITIES(i)|i#LT#@SIZE(CITIES): F(i)=@MIN(ROADS(i,j):D(i,j)+F(j)) ); END

数学建模模型

五邑大学 数学建模 课程考核论文 2010-2011 学年度第 2 学期 010 20 30 40 50 60 70 8090 第一季度第三季度 东部西部北部 论文题目 抑制物价快速上涨问题 得分 学号 姓名（打印） 姓名（手写） ap0808221 林加海 ap0808204 陈荣昌 指导老师—邹祥福

——2011.6.20 抑制物价快速上涨问题 摘要 本文通过一个多元线性回归模型较好地解决了影响物价因素的问题。使我国经济快速发展的同时，使百姓得到真的实惠，又保证了经济的长远的发展。 物价问题比较复杂。在本次实验中我们参阅大量资料把影响物价的的因素主要概括括需求性因素（消费，投资，进出口，政府支出等）、货币性因素（货币供给量）、结构性因素（房地产价格，农产品价格等）以及其他因素（如预期因素等）。 总结出原先物价计算方法的不足之处，需要建立一种新的计算和预测的方法。首先，为了确定物价和影响因素之间的关系我们用了多元线性回归，从国家统计局找到相关数据经过挑选，建立了函数关系，为了使函数更具有说服力我们进一步用了残差分析，检验所得到的结果的合理性 。本文利用matlab 软件实现了拟合出多元线性回归函数y=86.4798967193207+0.00441024146152813*x1+4.32730555279258e-007*x2+0.00377788223112076*x3+2.70211635024846e-006*x4+7.58738000216411e-005*x5，置信度95％，且20.932609896853743,_R F ==检验值8.30338450288840>，但是显著性概率.α=005相关的0.055839341752489056>0.p =。再利用逐步回归的方法，拟合出Y=94.4958+0.00771506*x1+5.8917e-007*x2+0.00250019*x3+1.90595e-006*x4+ 6.62396e-005*x5.93269896853743R =200，修正的R 2值.R α =20897797，F_检验值＝26.3535，与显著性概率相关的p 值＝..<000106754005，残差均方RMSE ＝0.204517，以上指标值都很好，说明回归效果比较理想。通过对物价形成及演化问题的讨论，提出以量化分析为基础的调节物价的方法，深入分析找出影响物价的主要因素，并就此分析现在物价的上涨情况，根据《关于稳定消费价格总水平保障群众基本生活的通知》，根据模型分析给出抑制物价的政策建议，并对未来的形势走向根据模型给出预测。 关键字：物价，逐步回归分析，上涨因素，预测，多元回归分析

农业生产规划模型数学建模

长江学院 课程设计报告课程设计题目：农业生产规划模型 姓名1：袁珍珍学号： 08354230 姓名2：倪美丹学号： 08354213 姓名3：阮鹏娟学号： 08354216 专业土木工程 班级083542 指导教师邱淑芳 2010年4月11号

摘要： 通过对题目的分析可以看出本题是关于线性规划的问题，解决此类问题要找出决策变量，目标函数，约束条件等，在解题中我们建立了两种模型，通过比较来使问题更加的具有科学性。 中国是一个农业大国，农民的生产生活可以直接影响到国家的经济，优化农业生产模型是一个不可忽视的问题。本题就是研究了农民在农业生产中种植农作物和养殖畜牧业的生产规划问题。以现有标准为参考，采用假设分析法提出了优化模型，计算出农民在农业生产中合理规划农作物的种植和畜牧业养殖的分配问题。让拥有有限经济实力和有限土地的农民，在有限的投资和有限的土地限制下，可以按照不同季节合理安排种植业和畜牧业的劳动时间，更可用赋予时间进行多项劳动，从而可以在规定的劳动力和劳动时间内收获最大净收益。这不仅可以发展我国的农业，更可使农民富裕起来，从而缩小了我国的贫富差距，对我国的经济发展有着重大促进作用。本文根据题目给出的数据和条件，假设出必要未知量，再列出必要方程式，运用Lingo等数学软件分析提出合理的数学模型。关键字： 线性规划、数学建模、Lingo、农业生产、合理分配、最大净收益

阐述题目 某农户拥有100亩土地和25000元可供投资，每年冬季（9月份中旬至来年5月中旬），该家庭的成员可以贡献 3500h的劳动时间，而夏季为4000h。如果这些劳动时间有赋予，该家庭中的年轻成员将去附近的农场打工，冬季每小时元，夏季每小时元。 现金收入来源于三种农作物（大豆、玉米和燕麦）以及两种家禽（奶牛和母鸡）。农作物不需要付出投资，但每头奶牛需要400元的初始投资，每只母鸡需要3元的初始投资，每头奶牛需要使用亩土地，并且冬季需要付出100h劳动时间，夏季付出50h劳动时间，该家庭每年产生的净现金收入为450元；每只母鸡的对应数字为：不占用土地，冬季，夏季，年净现金收入元。养鸡厂房最多只能容纳3000只母鸡，栅栏的大小限制了最多能饲养32偷奶牛。 根据估计，三种农作物每种植一亩所需要的劳动时间和收入如下表所示。建立数学模型，帮助确定每种农作物应该种植多少亩，以及奶牛和母鸡应该各蓄养多少，使年净现金收入最大。

数学建模——传染病模型

传染病模型 摘要 当今社会，人们开始意识到通过定量地研究传染病的传播规律，建立传染病的传播模型，可以为预测和控制传染病提供可靠、足够的信息。本文利用微分方程稳定性理论对传统传染病动力学建模方式进行综述，且针对甲流，SARS等新生传染病模型进行建模和分析。 不同类型的传染病的传播过程有其各自不同的特点，我们不是从医学的角度一一分析各种传染病的传播，而是从一般的传播机理分析建立各种模型，如简单模型，SI模型，SIS模型，SIR模型等。本文中，我们应用传染病动力学模型来描述疾病发展变化的过程和传播规律，运用联立微分方程组体现疫情发展过程中各类人的内在因果联系，并在此基础上建立方程求解算法。然后，通过借助Matlab程序拟合出与实际较为符合的曲线并进行了疫情预测，评估各种控制措施的效果，从而不断完善文中的模型。 本文由简到难、全面地评价了该模型的合理性与实用性，而后对模型和数据也做了较为扼要的分析，进一步改进了模型的不妥之处。同时，在对问题进行较为全面评价的基础上又引入更为全面合理的假设，运用双线性函数模型对卫生部的措施进行了评价并给出建议，做好模型的完善与优化工作。 关键词：传染病模型,简单模型，SI，SIS,SIR，微分方程，Matlab。

一、问题重述 有一种传染病（如SARS、甲型H1N1）正在流行，现在希望建立适当的数学模型，利用已经掌握的一些数据资料对该传染病进行有效地研究，以期对其传播蔓延进行必要的控制，减少人民生命财产的损失。考虑如下的几个问题，建立适当的数学模型，并进行一定的比较分析和评价展望。 1、不考虑环境的限制，设单位时间内感染人数的增长率是常数，建立模型求t 时刻的感染人数。 2、假设单位时间内感染人数的增长率是感染人数的线性函数，最大感染时的增长率为零。建立模型求t时刻的感染人数。 3、假设总人口可分为传染病患者和易感染者，易感染者因与患病者接触而得病，而患病者会因治愈而减少且对该传染病具有很强的免疫功能，建立模型分析t 时刻患病者与易感染者的关系，并对传染情况（如流行趋势，是否最终消灭）进行预测。 二、问题分析 1、这是一个涉及传染病传播情况的实际问题，其中涉及传染病感染人数随时间的变化情况及一些初始资料，可通过建立相应的微分方程模型加以解决。 2、问题表述中已给出了各子问题的一些相应的假设。 3、在实际中，感染人数是离散变量，不具有连续可微性，不利于建立微分方程模型。但由于短时间内改变的是少数人口，这种变化与整体人口相比是微小的。 因此，为了利用数学工具建立微分方程模型，我们还需要一个基本假设：感染人数是时间的连续可微函数。

数学规划模型参考答案

数学规划模型㈡ （第4章数学规划模型） 1.（求解）汽车厂生产计划（LP，整数规划IP）p101~102 (1) (LP)在模型窗口中输入以下线性规划模型 max z = 2x1 + 3x2 + 4x3 s.t. 1.5x1 + 3x2 + 5x3≤ 600 280x1 + 250x2 + 400x3≤ 60000 x1, x2, x3≥ 0 并求解模型。 ★(1) 给出输入模型和求解结果（见[101]）： model: TITLE汽车厂生产计划（LP）; !文件名：p101.lg4; max=2*x1+3*x2+4*x3; 1.5*x1+3*x2+5*x3<600; 280*x1+250*x2+400*x3<60000; end (2) (IP)在模型窗口中输入以下整数规划模型 max z = 2x1 + 3x2 + 4x3 s.t. 1.5x1 + 3x2 + 5x3≤ 600 280x1 + 250x2 + 400x3≤ 60000 x1, x2, x3均为非负整数 并求解模型。 LINGO函数@gin见提示。 ☆(2) 给出输入模型（见[102]）和求解结果（见[102]）：model: TITLE汽车厂生产计划（IP）;

!文件名：p102.lg4; max=2*x1+3*x2+4*x3; 1.5*x1+3*x2+5*x3<600; 280*x1+250*x2+400*x3<60000; @gin(x1); @gin(x2); @gin(x3);!将x1,x2,x3限定为整数; end 2.（求解）原油采购与加工（非线性规划NLP，LP且IP）p104~107 模型： 已知 ? ? ? ? ? ≤ ≤ + ≤ ≤ + ≤ ≤ = ) 1500 1000 ( 6 3000 ) 1000 500 ( 8 1000 ) 500 0( 10 ) ( x x x x x x x c 注：当500 ≤x≤ 1000时，c(x) = 10 × 500 + 8( x– 500 ) = (10 – 8 ) × 500 + 8x 11211222 1112 2122 11 1121 12 1222 11122122 max 4.8() 5.6()() 500 1000 1500 0.5 0.6 ,,,,0 z x x x x c x x x x x x x x x x x x x x x x x x =+++- +≤+ +≤ ≤ ≥ + ≥ + ≥ 2.1解法1（NLP）p104~106 将模型变换为以下的非线性规划模型：

数学建模 四大模型总结

四类基本模型 1 优化模型 1.1 数学规划模型 线性规划、整数线性规划、非线性规划、多目标规划、动态规划。 1.2 微分方程组模型 阻滞增长模型、SARS 传播模型。 1.3 图论与网络优化问题 最短路径问题、网络最大流问题、最小费用最大流问题、最小生成树问题(MST)、旅行商问题(TSP)、图的着色问题。 1.4 概率模型 决策模型、随机存储模型、随机人口模型、报童问题、Markov 链模型。 1.5 组合优化经典问题 ● 多维背包问题(MKP) 背包问题：n 个物品，对物品i ，体积为i w ，背包容量为W 。如何将尽可能多的物品装入背包。 多维背包问题：n 个物品，对物品i ，价值为i p ，体积为i w ，背包容量为W 。如何选取物品装入背包，是背包中物品的总价值最大。 多维背包问题在实际中的应用有：资源分配、货物装载和存储分配等问题。该问题属于NP 难问题。 ● 二维指派问题(QAP) 工作指派问题：n 个工作可以由n 个工人分别完成。工人i 完成工作j 的时间为ij d 。如何安排使总工作时间最小。 二维指派问题（常以机器布局问题为例）：n 台机器要布置在n 个地方，机器i 与k 之间的物流量为ik f ，位置j 与l 之间的距离为jl d ，如何布置使费用最小。 二维指派问题在实际中的应用有：校园建筑物的布局、医院科室的安排、成组技术中加工中心的组成问题等。 ● 旅行商问题(TSP) 旅行商问题：有n 个城市，城市i 与j 之间的距离为ij d ，找一条经过n 个城市的巡回（每个城市经过且只经过一次，最后回到出发点），使得总路程最小。 ● 车辆路径问题(VRP) 车辆路径问题（也称车辆计划）：已知n 个客户的位置坐标和货物需求，在

数学建模常见评价模型简介

常见评价模型简介 评价类数学模型是全国数学建模竞赛中经常出现的一类模型，如200５年全国赛A题长江水质的评价问题，20０8年B题高校学费标准评价体系问题等。主要介绍三种比较常用的评价模型:层次分析模型，模糊综合评价模型,灰色关联分析模型，以期帮助大家了解不同背景下不同评价方法的应用。 层次分析模型 层次分析法(AＨP)是根据问题的性质和要求，将所包含的因素进行分类，一般按目标层、准则层和子准则层排列，构成一个层次结构，对同层次内诸因素采用两两比较的方法确定出相对于上一层目标的权重，这样层层分析下去, 直到最后一层,给出所有因素相对于总目标而言,按重要性程度的一个排序。其主要特征是,它合理地将定性与定量决策结合起来，按照思维、心理的规律把决策过程层次化、数量化。 运用层次分析法进行决策,可以分为以下四个步骤: 步骤1 建立层次分析结构模型 深入分析实际问题,将有关因素自上而下分层(目标—准则或指标—方案或对象)，上层受下层影响,而层内各因素基本上相对独立。 步骤2构造成对比较阵 对于同一层次的各元素关于上一层次中某一准则的重要性进行两两比较,借助1～9尺度，构造比较矩阵； 步骤3计算权向量并作一致性检验 由判断矩阵计算被比较元素对于该准则的相对权重，并进行一致性检验，若通过,则最大特征根对应的特征向量做为权向量。 步骤４计算组合权向量（作组合一致性检验) 组合权向量可作为决策的定量依据 通过一个具体的例子介绍层次分析模型的应用。 例（选择旅游地决策问题)如何在桂林、黄山、北戴河3个目的地中按照景色、费用、居住条件、饮食、旅途条件等因素进行选择。 步骤1 建立系统的递阶层次结构 将决策问题分为3个层次:目标层O,准则层Ｃ，方案层P；每层有若干

数学规划模型

课程设计 2015年 7 月 5 日

东北石油大学课程设计任务书 课程《数学模型》课程设计 题目应用数学规划模型求解实际数学问题 专业姓名学号 主要内容、基本要求、主要参考资料等 主要内容 简单介绍数学规划模型基本理论及本文所用的规划模型和相关软件LINGO，并通过实例来掌握如何应用数学规划模型求解实际数学问题。并利用本文所介绍的方法来分析林区汽车修理网的布局 课程设计的要求： 1.独立完成建模，并提交一篇建模论文。 2.论文的主要内容包括：摘要，问题的提出，问题的分析，模型假设，模型设计，模型解法与结果，模型结果的分析和检验，包括误差分析、稳定性分析等。模型的优缺点及改进方向。必要的计算机程序。 3.文档格式：参照《东北石油大学课程设计撰写规范》和《数学模型课程设计教学大纲》。 4.课程设计结束时参加答辩。 主要参考资料： [1] 唐焕文，贺明峰，数学模型(第三版)，北京：高等教育出版社，2005.3 [2]杨云峰等，数学建模与数学软件，哈尔滨：哈尔滨工程大学出版社，2012.6 [3]陈东彦，李冬梅，王树忠，数学建模，北京：科学出版社，2007 [4] 吴建国等，数学建模案例精编，北京：中国水利水电出版社，2005 [5]胡运权，吴中启，李树青等，运筹学，北京：清华出版社，2003 [6] 焦永兰，管理运筹学，北京：中国铁道出版社，2002 完成期限 2016年6月27日-7月8日 指导教师 专业负责人 2016年7月5日

摘要 人们需要了解各种不确定现象中隐含的必然规律性，并用数学方法研究各种结果。在研究过程中需要处理大量数据，而统计学正是对社会经济数据进行定量分析的重要工具，应用统计方法来整理这些数据，就可以省去不必要的过程。 本文简要介绍了了数学规划模型的概念、特点，以及LINGO软件的发展及用途。本文在求解的过程中主要借助了这个软件。必要的求解过程是利用MATLAB和LINGO来求解的。本文在详细介绍了数学规划模型的几个基本模型的过程中，并且每种模型都举了实例，并且通过LINGO操作，对每种方法所举实例归纳总结了较为简便的求解方法，并且给出了具体答案。最后，本文着重的探讨了典型数学模型应用规划模型方法结合LINGO 求解，在解决林区汽车修理网的布局问题中，很好的体现了规划模型方法在解决典型数学模型问题时应用的广泛性和有效性。 林区的汽车往往需要定期送往不同的修理厂进行大修,不同的汽车分配方案往往需要消耗不同的修理成本. 本文主要利用图论和运筹学理论建立了一套线性规划数学模型,用于求解不同的修理厂规模的条件下最优的汽车分配方案，以及所对应的总费用，并对其进行分析评估。但为寻求最佳的修理厂规模调整方案，本文模拟实际情况中的市场机理，把市场作为资源分配的主要手段，国家（此处为方案制定制者）对市场进行必要的宏观调控。在此方案下得到了相当满意的结果，这也是本文的独到之处。本模型对实际情况中汽车修理分配方案的制定有很大的指导作用.且本模型的处理思想,对市场体制下的很多类似问题都有借鉴作用. 本模型对实际情况中汽车修理分配方案的制定有很大的指导作用.且本模型的处理思想，对市场体制下的很多类似问题都有借鉴作用. 应用规划模型结合实际数学问题可以简化求解步骤，省去繁琐的过程。为实际问题的研究提供了较为简便的方法。 关键词：LINGO；汽车修理网布局；图论；布局规划模型

数学建模100个模型

《数学建模》题库 为了培养想象力、洞察力和判断力，考察对象时除了从正面分析，还常常需要从侧面或反面思考，尽可能迅速的回答1-5题。 1. 某人早上8：00从山下旅馆出发，沿一条路径上山，下午5：00到达山顶并留 宿。次日早8：00沿同一路径下山，下午5：00回到旅馆。则此人必在两天中同一时刻经过路径中的同一地点，为什么？ 2. 37支球队进行冠军争夺赛，每轮比赛中出场的每两支球队的胜者以及轮空者 进入下一轮，直到比赛结束，问共需进行多少场比赛，共需进行多少轮比赛？ 3. 甲乙两站之间有电车相通，每隔十分钟甲乙两站相互发一趟车，但发车时刻 不一定相同。甲乙之间有一中间站丙，某人每天在随机时刻到达兵站，并搭乘最先经过丙站的那趟车，结果发现100天中约有90天到达甲站。问开往甲乙两站的电车经过丙站的时刻表是如何安排的？ 4. 某人家住T市在他乡工作，每天下班后乘火车于6：00抵达T市车站，他的妻 子驾车准时到车站接他回家。一日他提前下班，搭乘早一班火车于5：30抵达T市车站，随即步行回家，他的妻子像往常一样驾车前来，在半路上遇到他，即接他回家，此时发现比往常提前了十分钟。问他步行了多长时间？ 5. 一男孩和一女孩分别在离家2千米和1千米且方向相反的两所学校上学，每天 同时放学后分别以4千米/小时和2千米/小时的速度步行回家。一小狗以6千米/小时的速度由男孩处奔向女孩，又从女孩处奔向男孩，如此往返只至回到家中，问小狗奔波了多少路程？ 6. 任意拿出黑白两种颜色的棋子共8个，排成如图一所示的一个圆圈，然后在两 颗颜色相同棋子中间放一颗黑棋子，在两颗颜色不同的棋子中间放一颗白棋子，放完后撤掉原来所放的棋子，再重复以上的过程，这样放下一圈后就拿走前次的一圈棋子，问这样重复下去棋子的颜色会发生怎样的变化？ 图一