初中奥数题目_勾股定理

九年级数学竞赛专题 勾股定理

一、选择题

1．△ABC 周长是24，M 是AB 的中点MC=MA=5，则△ABC 的面积是（ ）

A ．12;

B ．16;

C ．24;

D ．30

2．如图1，在正方形ABCD 中，N 是CD 的中点，M 是AD 上异于D 的点，且∠NMB=∠MBC ，则AM ：AB=（ ）

A ．31;

B ．33;

C ．21;

D ．6

3

(1) (2) (3)

3. 如图2，已知O 是矩形ABCD 内一点，且OA=1，OB=3，OC=4，那么OD 的长为（ ） A.2; B.22; C.23; D.3

4．如图3，P 为正方形ABCD 内一点，PA=PB=10，并且P 点到CD 边的距离也等于10，那么，正方形ABCD 的面积是（ ）

A ．200;

B ．225;

C ．256;

D ．150+102

5．如图4，矩形ABCD 中，AB=20，BC=10，若在AB 、AC 上各

取一点N 、M ，使得BM+MN 的值最小，这个最小值为（ ）

A ．12;

B ．102;

C ．16;

D ．20

二、填空题 (4)

1． 如图，△ABC 中，AB=AC=2，BC 边上有10个不同的点

1021,,P P P ，记

C P B P AP M i i i i ?+=2（i = 1，2， (10)

，那么， 1021M M M +++ =_________。

2． 如图，设∠MPN=20°，A 为OM 上一点，OA=43，D 为ON 上

一点，OD=83，C 为AM 上任一点，B 是OD 上任意一点，那

么折线ABCD 的长最小为__________。

3．如图，四边形ABCD 是直角梯形，且AB=BC=2AB ，PA=1，PB=2，PC=3，那么梯形ABCD 的面积=__________。

4．若x + y = 12，那么9422+++y x 的最小值=___________。

5．已知一个直角三角形的边长都是整数，且周长的数值等于面积的数值，那么这个三角形的三边长分别为____________。

三、解答题

1．如图△ABC 三边长分别是BC=17，CA=18，AB=19，过△ABC 内的点P 向△ABC 三边分别作垂线PD ，PE ，PF ，且BD+CE+AF=27，求BD+BF 的长度。

2．如图，在△ABC 中，AB=2，AC=3， ∠A=∠BCD=45°，求BC 的长及△BDC 的面积。

3．设a,b,c,d 都是正数。 求证：ad d b a c b cd d c a 2222222222+++>

+++++

4．如图，四边形ABCD 中， ∠ABC=135°，∠BCD=120°，AB=6，BC=5-3，CD=6，求AD 。

5．如图，正方形ABCD 内一点E ，E 到A 、B 、C 三点的距离之和的最小值为62+，求此正方形的边长。

答案

一、选择题

1．C

2．A

3．B

4．C

5．C

解答：

1．∵MA=MB=MC=5， ∴∠ACB=90°

知周长是24，则AC+BC=14，AC 2+BC 2=102，

∴2AC ·BC=(AC+BC)2-(AC 2+BC 2) = 142-102=4×24 ∴242

1=?=?BC AC S ABC 2．如图，延长MN 交BC 的延长线于T ，设MB 的中点为O ，连TO ，则△BAM ∽△TOB

∴AM ：MB=OB ：BT

∴MB 2=2AM ·BT （1）

令DN=1，CT=MD=k ，则AM=2 – k

所以BM=222)2(4k AM AB -+=+

BT= 2 + k 代入（1），得4 + (2 – k )2= 2 (2 – k ) (2 + k ) 所以 k =

34 所以AM ：AB=32：2 = 3

1 3．如图，过O 作EF ⊥AD 于E ，交BC 于F ；过O 作GH ⊥DC 于G ，交AB 于H

设CF=x ，FB = y, AH = s, HB = x,

所以OG=x, DG = s

所以OF 2=OB 2- BF 2=OC 2-CF 2 即42- x 2= 32- y 2

所以x 2- y 2= 16 – 9 =7 （1）

同理有OH 2=12- s 2= 32- t 2

所以t 2- s 2= 32- 12= 8 （2）

又因为OH 2+HB 2=OB 2 即y 2+ t 2= 9

（1）-（2）得(x 2+s 2) – (y 2+ t 2) = – 1

22222 所以OD 2=x 2+ s 2= (y 2+ t 2) – 1 = 9 – 1 = 8

所以OD=22

4．如图，过P 作EF ⊥AB 于E ，交CD 于F ，则PF ⊥CD

所以PF=PA=PB=10，E 为AB 中点

设PE = x ，则AB=AD=10 + x

所以AE=21AB=2

1(10 + x) 在Rt △PAE 中，PA 2=PE 2+AE 2

所以102= x 2+ [2

1(10 + x )]2 所以x = 6 所以正方形ABCD 面积=AB 2=(10 + 6)2 = 256

5．如图，作B 关于AC 的对称点B '，连A B '，

则N 点关于AC 的对称点N '在A B '上，

这时，B 到M 到N 的最小值等于B →M →N '的最小值，等于

B 到A B '的距离BH '，连B 与A B '和D

C 的交点P ，

则ABP S ?=2

1×20×10=100， 由对称知识，∠PAC=∠BAC=∠PCA

所以PA=PC ， 令PA=x ，则PC=x ，PD=20 – x ，

在Rt △ADP 中，PA 2=PD 2+AD 2

所以 x 2 = (20 – x )2 + 102 所以 x = 12.5

因为ABP S ?=

21PA ·BH ' 所以BH '=

165.1221002=?=?PA S ABP 二、填空题

1．40；

2．12；

3．22

3415+； 4．13；

5．6，8，10或5，12，13

解答：

1．如图，作AD ⊥BC 于D ，在Rt △ABD 和Rt △AP i D 中，AB 2=AD 2+BD 2

222D P AD AP i i +=

所以22222)(D P AD BD AD AP AB i i +-+=-

B

P C P D P BD D P BD D P BD i i i i i ?=-+=-=))((2

2

所以422==?=AB B P C P AP i i i 所以4=i M

所以401021=+++M M M

3． 如图，作A 关于ON 的对称点A '，D 关于OM 的对称点D '，

连结A 'B ，CD '，则A 'B=AB ，

C 'D=C

D ，从而AB+BC+CD=A 'B+BC+CD '≥A 'D '

因为∠A 'ON=∠MON=∠MOD '=20°，所以∠A 'OD '=60°

又因为OA '=OA=43，OD '=OD=83，

所以OD '=2OA '

即△OD 'A '为直角三角形，且∠OA 'D '=90°

所以A 'D '=12)34()38(222'2'=-=-OA OD

所以，折线ABCD 的长的最小值是12

3．如图，作PM ⊥AB 于M ，PN ⊥BC 于N ，

设AB = m, PM = x, PN = y ，则

??

???=+-=-+=+)3(9)()2(1)()1(4222222y x m y m x y x

由（2）、（3）分别得，

12222=+-+y my m x （3）

92222=+-+x mx m y （4）

将（1）代入（4）得;2303222

m m y my m +=?=+- 将（1）代入（5）得;2505222

m m x mx m -=?=--

把x,y 的表达式分别代入（1）得0171024=+-m m

因为m 2>0 所以m 2=5+22

所以 AB=22521,225,225+=+=+=

AD BC m 所以22

3415)(21+=?+=AB BC AD S ABCD

4．如图，AB=12，AC=2，BD=3，且AB ⊥AC ，AB ⊥BD ，P 在AB 上且PA=x ，PB=y ，连PC ，PD ，

在Rt △CAP 和Rt △DBP 中

9,

42

22222+=+=+=+=y PB BD PD x PA AC PC 如图，P 点在0P 位置时，PC+PD 的值最小，为线段CD 的长度，而 CD=1312)32(22=++ 所以9422+++y x 的最小值为13。

5．设三边长为a,b,c ，其中c 是斜边，则有

??

???=++=+)3(2)1(222ab c b a c b a （2）代入（1）得222)2(b a ab b a --=+ 即0)844(4

=+--b a ab ab 因为ab ≠0 所以ab – 4a – 4b + 8 = 0 所以4

84-+=b a (a,b 为正整数) 所以b – 4 = 1，2，4，8，

所以b = 5，6，8，12；

a = 12，8，6，5；

c = 13，10，10，13，

所以，三边长为6，8，10或5，12，13

三、解答题

1．如图,连结PA,PB ，PC ，设BD=x ，CE=y ，AF=z ，

则DC=17-x ，EA=18 – y ，FB = 19 – z

在Rt △PBD 和Rt △PFB 中，有2

222)19(PF z PD x +-=+

同理有：

22222

222)18()17(PE y PF z PD x PE y +-=++-=+

将以上三式相加，得222222)19()18()17(z y x z y x -+-+-=++ 即17x + 18y + 19z = 487

又因为x + y + z = 27，

所以x = z – 1,

所以BD + BF = x + (19 – z ) = z – 1 + 19 – z = 18

2．如图，作CE ⊥AB 于E ，

则CE=AE=2

622=AC 所以BE=AB-AE=2 - 2

6426-= 又222BE CE BC +=

所以BC=1662722-=-=+BE CE

再过D 作DF ⊥BC ，交CB 延长线于F ，并设DF=CF=x ，

则BF= x – BC = x + 1 - 6

又Rt △DFB ∽Rt △CEB ，

所以DF ：BF=CE ：BE ，即x ：(x + 1 - 6) = 264:26- 所以x = 2

623+ 所以4692623)16(2121+=+?-?=?=

?DF BC S BCD 4． 如图，构造一个边长为(a + b)、(c + d)的矩形ABCD ，

在Rt △ABE 中，BE=22AB AE +

所以BE=cd d c a d c a 2)(22222+++=

++ 在Rt △BCF 中， BF=ab d b a d b a CF BC 2)(2222222+++=++=+

在R t △DEF 中，EF=2222c b DF DE +=+

在△BEF 中，BE+EF>BF

即ab d b a c b cd d c a 2222222222+++>+++++

5． 如图，过A 作AE ∥BC 交CD 于E ，则∠1=45°，∠2=60°， 过B 作BF ⊥AE 于F ，作CG ⊥AE 于G ，

则Rt △ABF 为等腰直角三角形，BCFG 为矩形，

又因为AB=6，BC=5-3，

所以BF=AF=2

2AB=3，所以CG=BF=3， 所以CE=32

CG=2，EG=31CG=1

所以AE=AF+FG+GE=AF+BC+GE=6

DE=CD-EC=6-2=4

过D 作DM ⊥AE 延长线于M

∠MED=180°-∠AED=180°-∠BCD=180°-120°=60°

所以EM=21DE=2，DM=2

3DE=23 在Rt △AMD 中，AD=

192)32()26(2222=++=+DM AM 5．如图，以A 为中心，将△ABE 旋转60°到△AMN ，连NB ，MB ，则

AE+EB+EC=AN+MN+EC

因为AE=AN ，∠NAE=60°

所以AE=NE

所以AE+EB+EC=MN+NE+EC

当AE+EB+EC 取最小值时，折线MNEC 成为线段，且MC=62+，∠MBC=150°

在Rt △PMC 中，设BC=x ，PM=x PB x 2

3,2= 所以22

2)23(

)2()62(x x x ++=+ 所以x = 2, BC=2

勾股定理常见题型

专题一：勾股定理与面积 知识点精讲： 类型一“勾股树”及其拓展类型求面积 典型例题： 1．如图（16），大正方形的面积可以表示为，又可以表示为，由此可得等量关系______________________,整理后可得：___________． 2．图中字母所代表的正方形的面积为144的选项为( ) 3．“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个正方形拼成的大正方形．如图，每一个直角三角形的两条直角边的长分别是3和6，则大正方形与小正方形的面积差是() A．9 B．36 C．27 D．34 4．如图所示的大正方形是由八个全等的直角三角形和一个小正方形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3.若正方形EFGH的边长为2，则S1＋S2＋S3＝________． 5．如图，所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形，已知S1＝4，S2＝9，S3＝8，S4＝10，则S＝() A．25 B．31 C．32 D．40 6．如图，已知在Rt ABC △中，? = ∠90 ACB，4 AB=，分别以AC，BC为直径作半圆，面积分别记为1S，2S， 则 12 S S +的值等于________ 7．如图，已知直角△ABC的两直角边分别为6，8，分别以其三边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积是________．8．如图所示为一种“羊头”形图案，其作法是：从正方形①开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形②和②，…，依此类推，若正方形①的面积为64，则正方形⑤的面积为( ) A．2 B．4 C．8 D．16 a a a a b b b b c c c c 图(16) 8 6 C B A

初一下册奥数题

2012．3．4第三次课（初中一年级下册） 试卷9题：周长为30，各边长互不相等且都是整数的三角形共有多少个？考点：三角形三边关系．分析：不妨设三角形三边为a、b、c，且a＜b＜c，由三角形三边关系定理及题设条件可确定c的取值范围，以此作为解题的突破口．解答：解：设三角形三边为a、b、c，且a＜b＜c． ∵a+b+c=30，a+b＞c ∴10＜c＜15 ∵c为整数 ∴c为11，12，13，14 ∵①当c为14时，有5个三角形，分别是：14，13，3；14，12，4；14，11，5；14，10，6；14，9，7； ②当c为13时，有4个三角形，分别是：13，12，5；13，11，6；13，10，7；13，9，8； ③当c为12时，有2个三角形，分别是：12，11，7；12，10，8； ④当c为11时，有1个三角形，分别是：11，10，9； ∴各边长互不相等且都是整数的三角形共有12个． 试卷10题：现有长为150cm的铁丝，要截成n（n＞2）小段，每段的长为不小于1（cm）的整数．如果其中任意3小段都不能拼成三角形，试求n的最大值，此时有几种方法将该铁丝截成满足条件的n段．考点：主要考学生对三角形三边关系：两边之和大于第三边的理解及运用分析：因n段之和为定值150cm，故欲n尽可能的大，必须每段的长度尽可能小，这样依题意可构造一个数列． 解答：解：因为n段之和为定值150（cm），故欲n尽可能的大，必须每段的长度尽可能的小．又由于每段的长度不小于1（cm），且任意3段都不能拼成三角形， 因此这些小段的长度只可能分别是1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89， 但1+1+2++34+55=143＜150，1+1+2++34+55+89=232＞150， 故n的最大值为10． 将长为150（cm）的铁丝分为满足条件的10段共有以下7种方式： 1，1，2，3，5，8，13，21，34，62； 1，1，2，3，5，8，13，21，35，61； 1，1，2，3，5，8，13，21，36，60； 1，1，2，3，5，8，13，21，37，59； 1，1，2，3，5，8，13，22，35，60； 1，1，2，3，5，8，13，22，36，59； 1，1，2，3，5，8，14，22，36，58．本题考查了三角形三边关系．正确确定什么情况下n 最大，是解决本题的关键；注意各个竖列之和为143，由于150-143=7，故多余的7cm要加到数列的末几项上，而且使得任何三个不构成三角形， ¤¤¤试卷12题：在三角形ABC中，角ABC=100°，∠C的平分钱交AB于E，在AC边上取点D，使∠CBD=20°，连DE，求∠CED的度数

小学六年级奥数工程问题及答案

小学六年级奥数工程问题及答案 工程问题 1．甲乙两个水管单独开，注满一池水，分别需要20小时，16小时.丙水管单独开，排一池水要10小时，若水池没水，同时打开甲乙两水管，5小时后，再打开排水管丙，问水池注满还是要多少小时？ 解： 1/20+1/16＝9/80表示甲乙的工作效率 9/80×5＝45/80表示5小时后进水量 1-45/80＝35/80表示还要的进水量 35/80÷（9/80-1/10）＝35表示还要35小时注满 答：5小时后还要35小时就能将水池注满。 2．修一条水渠，单独修，甲队需要20天完成，乙队需要30天完成。如果两队合作，由于彼此施工有影响，他们的工作效率就要降低，甲队的工作效率是原来的五分之四，乙队工作效率只有原来的十分之九。现在计划16天修完这条水渠，且要求两队合作的天数尽可能少，那么两队要合作几天？ 解：由题意得，甲的工效为1/20，乙的工效为1/30，甲乙的合作工效为1/20*4/5+1/30*9/10＝7/100，可知甲乙合作工效>甲的工效>乙的工效。 又因为，要求“两队合作的天数尽可能少”，所以应该让做的快的甲多做，16天内实在来不及的才应该让甲乙合作完成。只有这样才能“两队合作的天数尽可能少”。 设合作时间为x天，则甲独做时间为（16-x）天 1/20*（16-x）+7/100*x＝1 x＝10 答：甲乙最短合作10天 3．一件工作，甲、乙合做需4小时完成，乙、丙合做需5小时完成。现在先请甲、丙合做2小时后，余下的乙还需做6小时完成。乙单独做完这件工作要多少小时？ 解： 由题意知，1/4表示甲乙合作1小时的工作量，1/5表示乙丙合作1小时的工作量 （1/4+1/5）×2＝9/10表示甲做了2小时、乙做了4小时、丙做了2小时的工作量。 根据“甲、丙合做2小时后，余下的乙还需做6小时完成”可知甲做2小时、乙做6小时、丙做2小时一共的工作量为1。 所以1－9/10＝1/10表示乙做6-4＝2小时的工作量。 1/10÷2＝1/20表示乙的工作效率。 1÷1/20＝20小时表示乙单独完成需要20小时。 答：乙单独完成需要20小时。 4．一项工程，第一天甲做，第二天乙做，第三天甲做，第四天乙做，这样交替轮流做，那么恰好用整数天完工；如果第一天乙做，第二天甲做，第三天乙做，第四天甲做，这样交替轮流做，那么完工时间要比前一种多半天。已知乙单独做这项工程需17天完成，甲单独做这项工程要多少天完成？ 解：由题意可知 1/甲+1/乙+1/甲+1/乙+……+1/甲＝1 1/乙+1/甲+1/乙+1/甲+……+1/乙+1/甲×0.5＝1

六年级奥数题：工程问题(A)资料

六年级奥数题：工程 问题(A)

六年级奥数题测试（二） 工程问题 年级 班 姓名 得分 一、填空题（共10小题，每小题6分，满分60分） 1.一项工程,甲、乙两队合作20天完成,乙丙两队合作60天完成,丙丁两队合作30完成,甲丁合作 天完成? 2.甲乙两队合作一项工程,计划在24天内完成.如果甲队做6天,乙队做4天,只能做完全工程的20%,两队单独做完全工程各需要 天. 3.一条公路,甲队独修24天完成,乙队独修30天完成.甲乙两队合修若干天后,乙队停工休息,甲队继续修了6天完成,乙队修了 天. 4.某市举办菊展,新建一个喷水池.单开甲管1小时可将喷水池注满,单开乙管40分钟可将水注满,两管同时齐开5210分钟后,共注水3 14吨.喷水池能装水 吨. 5.一项工作,两个师傅和三个徒弟合作需922天完成,如果三个师傅2个徒弟合作需要7 12天完成,如果一名师傅单独做需 天完成.

6.加工一批零件,甲独做需3天完成,乙独做需4天完成,两人同时加工,完成任务时,甲比乙多做24个,这批零件共有 个. 7.一项建筑工程,由甲建筑队单独承建要一年半,乙建筑队单独承建要一年零三个月,现在两队合作半年,剩下的由乙队继续完成还要 个月.(假设每月实际工作天数一样) 8.甲、乙、丙三人合修一围墙.甲、乙合修6天修好围墙的31,乙、丙合修2天修好余下的4 1,剩下的三人又合修了5天才完成.共得工资180元,按各人所完成的工作量的多少来合理分配,每人应得 元. 9.原计划用24个工人挖一定数量的土方,按计划工作5天后,因为调走6人,于是剩下的工人每天比原定工作量多挖1方土才能如期完成任务,原计划每人每天挖土 方. 10.一个水池,底部安有一个常开的排水管,上部安有若干个同样粗细的进水管,当打开4个进水管时,需要5小时才能注满水池,当打开2个进水管时,需要15小时才能注满水池;现在需要在2小时内将水池注满,那么至少要打开 个进水管. 二、解答题（共4小题，满分40分） 11.抄一份书稿,甲每天的工作效率等于乙、丙二人每天的工作效率的和;丙每天的工作效率相当于甲、乙二人每天工作效率之和的5 1;如果三人合抄只需8天就完成了,那么乙一人单独抄需多少天才能完成?

初一奥数专题讲义——完全平方公式与平方差公式

完全平方公式与平方差公式 一?知识要点 1 ?乘法公式就是把一些特殊的多项式相乘的结果加以总结，直接应用。公式中的每一个字母，一般可以表示数字、单项式、多项式，有的还可以推广到分式、根式。公式的应用不仅可从左到右的顺用（乘法展开），还可以由右到左逆用（因式分解），还要记住一些重要的变形及其逆运算一一除法等。 2. 基本公式 完全平方公式：（a 士b）2=a2士2ab+b2 平方差公式：（a+b）（a—b）=a2—b2 立方和（差）公式：（a 士b）（a2」ab+b2）=a3士b3 3?公式的推广 （1）多项式平方公式：（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc 即:多项式平方等于各项平方和加上每两项积的2倍。 （2）二项式定理：（a 士b）3=a3± 3a2b+3ab2士b3 （a士b）4=a4士4a3b+6a2b2士4ab3+b4 （a 士b）5=a5士5a4 b+10a3b2士10a2b3+ 5ab4士b5 注意观察右边展开式的项数、指数、系数、符号的规律 4 ?公式的变形及其逆运算 由(a+b) 2=a2+2ab+b2得a2+b2=(a+b)2—2ab 由(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=a3+b3+3ab(a+b)得a3+b3=(a+b)3—3ab(a+b) 5 ?由平方差、立方和(差)公式引伸的公式 (a+b) (a3—a2b+ab2—b3)=a4—b4 (a+b)(a4—a3b+a2b2—ab3+b4)=a5+b5 (a+b)(a5—a4b+a3b2—a2b3+ab4—b5)=a6—b6 注意观察左边第二个因式的项数、指数、系数、符号的规律在正整数指数的条件下，可归纳如下：设n为正整数（a+b）（a2n—1—a2n—2b+a2n —3b2—…+ ab2n—2—b2n —1）=a2n—b2n （a+b）（a2n—a2n —1b+a2n—2b2-…-ab2n —1+b2n）=a2n+1+b2n+1 类似地： （a—b）（a n—1+a n—2b+a n—3b2+…+ ab n—2+b n—1）=a n—b n 由公式的推广③可知：当n为正整数时 a n— b n能被a—b整除， a2n+1 +b2n+1能被a+b 整除, a2n—b2n能被a+b及a—b整除。 二?例题精选 例1 .已知x、y满足x2+y2+ 5 =2x+y,求代数式一~的值。 4 x + y 例2 ?整数x,y满足不等式x2+y2+1 < 2x+2y,求x+y的值。 例3 .同一价格的一种商品在三个商场都进行了两次价格调整 甲商场：？第一次提价的百分率为a,第二次提价的百分率为b;

《勾股定理》典型例题

《勾股定理》典型例题 例1 在两千多年前我国古算术上记载有“勾三股四弦五”.你知道它的意思吗？ 它的意思是说：如果一个直角三角形的两条直角边长分别为3和4个长度单位，那么它的斜边的长一定是5个长度单位，而且3、4、5这三个数有这样的关系：32+42=52. （1）请你动动脑筋，能否验证这个事实呢？该如何考虑呢？ （2）请你观察下列图形，直角三角形ABC 的两条直角边的长分别为AC =7，BC =4，请你研究这个直角三角形的斜边AB 的长的平方是否等于42+72？ 解： （1）边长的平方即以此边长为边的正方 形的面积，故可通过面积验证.分别以这个直 角三角形的三边为边向外做正方形，如右 图：AC =4，BC =3, S 正方形ABED =S 正方形FCGH －4S Rt △ABC =(3+4)2－4×2 1×3×4=72－24=25 即AB 2=25，又AC =4，BC =3， AC 2+BC 2=42+32=25 ∴AB 2=AC 2+BC 2 （2）如图（图见题干中图）

S 正方形ABED =S 正方形KLCJ －4S Rt △ABC =(4+7)2－4×2 1×4×7=121－56=65=42+72 例2 下图甲是任意一个直角三角形ABC ，它的两条直角边的边长分别为a 、b ,斜边长为c .如图乙、丙那样分别取四个与直角三角形ABC 全等的三角形，放在边长为a +b 的正方形内. ①图乙和图丙中（1）（2）（3）是否为正方形？为什么？ ②图中（1）（2）（3）的面积分别是多少？ ③图中（1）（2）的面积之和是多少？ ④图中（1）（2）的面积之和与正方形（3）的面积有什么关系？为什么？ 由此你能得到关于直角三角形三边长的关系吗？ 解： ①图乙、图丙中（1）（2）（3）都是正方形.易得（1）是以a 为边长的正方形， （2）是以b 为边长的正方形，（3）的四条边长都是c ，且每个角都是直角，所以（3）是以c 为边长的正方形. ②图中（1）的面积为a 2,(2)的面积为b 2,(3)的面积为c 2. ③图中（1）（2）面积之和为a 2+b 2. ④图中（1）（2）面积之和等于（3）的面积. 因为图乙、图丙都是以a +b 为边长的正方形，它们面积相等，（1）（2）的面

(完整)初二奥数题及答案

初二数学奥数 1、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，DE＝EC，EF∥AB交BC于点F，EF＝EC，连结DF。 (1)试说明梯形ABCD是等腰梯形； (2)若AD＝ 1，BC＝3，DC DCF的形状； (3)在条件(2)下，射线BC上是否存在一点P，使△PCD是等腰三角形，若存在，请直接写出PB的长；若不存在，请说明理由。

2、在边长为6的菱形ABCD中，动点M从点A出发，沿A→B→C向终点C运动，连接DM交AC于点N. （1）如图25－1，当点M在AB边上时，连接BN. ①求证：△ABN≌△ADN； ②若∠ABC = 60°，AM = 4，求点M到AD的距离； （2）如图25－2，若∠ABC = 90°，记点M运动所经过的路程为x（6≤x≤12）试问：x为何值时，△ADN为等腰三角形.

3、对于点O 、M ，点M 沿MO 的方向运动到O 左转弯继续运动到N ，使OM ＝ON ，且OM ⊥ON ，这一过程称为M 点关于O 点完成一次“左转弯运动”． 正方形ABCD 和点P ，P 点关于A 左转弯运动到P 1，P 1关于B 左转弯运动到P 2，P 2关于C 左转弯运动到P 3，P 3关于D 左转弯运动到P 4，P 4关于A 左转弯运动到P 5，……． （1）请你在图中用直尺和圆规在图中确定点P 1的位置； （2）连接P 1A 、P 1B ，判断 △ABP 1与△ADP 之间有怎样的关系？并说明理由。 (3)以D 为原点、直线AD 为y 轴建立直角坐标系，并且已知点B 在第二象限，A 、P 两点的坐标为（0，4）、（1，1），请你推断：P 4、P 2009、P 2010三点的坐标． P D C B A N M 图1 图2

小学奥数工程问题题型大全含答案

奥数之工程问题

在日常生活中，做某一件事，制造某种产品，完成某项任务，完成某项工程等等，都要涉及到工作量、工作效率、工作时间这三个量，它们之间的基本数量关系是——工作量=工作效率×时间. 在小学数学中，探讨这三个数量之间关系的应用题，我们都叫做“工程问题”。 工程问题方法总结： 一：基本数量关系： 工效×时间=工作总量 二：基本特点： 设工作总量为“1”，工效=1/时间 三：基本方法：

算术方法、整体思想、组合法、比例方法、方程方法、假设法 四：基本思想： 分做合想、合做分想。 五：类型与方法： 一：分做合想:1.合想,2.假设法,3.巧抓变化(比例),4.假设法。 二：按劳分配思路：每人每天工效→每人工作量→按比例分配三：休息请假： 方法：1.分想：划分工作量。2.假设法：假设不休息。3.方程法四：周期工程 休息与周期： 1.已知条件的顺序：①先工效，再周期，②先周期，再天数。 2..天数：①近似天数，②准确天数。 3.列表确定工作天数。 交替与周期：估算周期，注意顺序！ 注水与周期：1.顺序，2.池中原来是否有水，3.注满或溢出。 五：工效变化。 六：比例：1.分比与连比，2.归一思想，3.正反比例的运用，4.假设法思想(周期)。

七：牛吃草问题：1.新生草量，2.原有草量，3.解决问题。 一、用“组合法”解工程问题 专题简析： 在解答工程问题时，如果对题目提供的条件孤立、分散、静止地看，则难以找到明确的解题途径，若用“组合法”把具有相依关系的数学信息进行恰当组合，使之成为一个新的基本单位，便会使隐蔽的数量关系立刻明朗化，从而顺利找到解题途径。 例题1。 一项工程，甲、乙两队合作15天完成，若甲队做5天，乙队做 3天，只能完成工程的7 30，乙队单独完成全部工程需要几天？ 【思路导航】此题已知甲、乙两队的工作效率和是1 15，只要求出甲队货乙队的工作效率，则问题可解，然而这正是本题的难点，用“组合法”将甲队独做5天，乙队独做3天，组合成甲、乙两队合作了3天后，甲队独做2天 来考虑，就可以求出甲队2天的工作量7 30－ 1 15×3 ＝1 30，从而求出甲队的工作效率。所以 1÷【1 15－（7 30－1 15×3）÷（5－3）】＝20（天）

人教版初中数学讲义

人教版初中数学讲义 第一章有理数 一、正数和负数 1、正数、负数：大于零的数叫做正数，小于零的数叫做负数。应用：生产收入，海拔高低，气温的冷热，方位的指向，比赛的胜负，比例的增长等等。 二、有理数 1、概念：整数和分数统称为有理数。 ??正整数??正整数?正数???整数正分数?零??????负整数 2、分类?零或????负整数??正分数?负数?分数????负分数??负分数?? 注：分数和小数可以互化，所以小数可以归为分数类。 3、“0”表示的意义： （1）0既不是正数也不是负数（2）0是整数（3）0不是表示没有，有时表示一种趋于正负的状态（4）0是最小的自然数，即是最小的非负整数（5）0不能作为分母（6）0等相反数是0（7）0的绝对值是0（8）0没有倒数（9）0乘以任何数都为0（10）0除以任何不为0的数都为0. 4、数轴：通常用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴。数轴的三要素：原点，正方向，单位长度。 数学中规定：在数轴上表示有理数，它们从左到右的顺序，就是从小到大的顺序，即左边的数小于右边的数。 5、相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。与原点距离相等的两个数互为相反数。互为相反数的两个数相加得0（a，b互为相反数，则a+b=0） 6、绝对值：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a| |a|=??a(a≥0) ?-a(a<0) 两个负数，绝对值大的反而小。 三、有理数的加减法 1、有理数的加法： （1）加法法则： 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； 绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两个数相加得0. 一个数同0相加，仍得这个数。 （2）运算律：加法交换律：a+b=b+a；加法结合律：（a+b）+c=a+（b+c） 2、有理数的减法： 减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。a-b=a+（-b）） 引入相反数后，加减混合运算可以统一为加法运算。 四、有理数的乘除法 1、有理数的乘法：

勾股定理及常见题型分类

勾股定理及常见题型分类 一、知识要点： 1、勾股定理 2、勾股定理证明方法及勾股树 3、勾股定理逆定理 4、勾股定理常见题型回顾 二、典型题 题型一：“勾股树”及其拓展类型求面积 1. 右图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A 、B 、C 、D 的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形E 的面积是（ ） A.13 B.26 C.47 D.94 2.如图，直线l 上有三个正方形a,b,c,若a,c 的边长分别为6和8，求b 的面积。 3. 如图，以Rt △ABC 的三边为直径分别向外作三个半圆，试探索三个半圆的面积之间的关系． 4、如图所示，分别以直角三角形的三边向外作三个正三角形，其面积分别是S 1、S 2、S 3，则它们之间的关系是（ ） A. S 1- S 2= S 3 B. S 1+ S 2= S 3 C. S 2+S 3< S 1 D. S 2- S 3=S 1 S 3 S 2 S 1 甲 乙 图1

5、在直线上依次摆放着七个正方形（如图4所示）。已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是 、 =_____________。 题型二：勾股定理与图形问题 1、已知△ABC 是边长为1的等腰直角三角形，以Rt △ABC 的斜边AC 为直角边，画第二个等腰Rt △ACD ，再以Rt △ACD 的斜边AD 为直角边，画第三个等腰Rt △ADE ，…，依此类推，第n 个等腰直角三角形的斜边长是 ． 2.如图，求该四边形的面积 3.如图2，已知，在△ABC 中，∠A = 45°，AC = 2，AB = 3+1，则边BC 的长为 ． 4.某公司的大门如图所示,其中四边形ＡＢＣＤ是长方形,上部是以ＡＤ为直径的半圆,其中ＡＢ=2.3ｍ，ＢＣ=2ｍ,现有一辆装满货物的卡车,高为2.5ｍ,宽为1.6ｍ,问这辆卡车能否通过公司的大门?并说明你的理由 . 5.如图是一块地，已知AD=8m ，CD=6m ，∠D=90°，AB=26m ，BC=24m ，求这块地的面积。 题型三：在直角三角形中，已知两边求第三边 A B C D E F G

初三奥数精选题

奥数题 一.选择题.(每小题7分,共42分) ()1. 在丄,一,0.2002,- (丁3_2庞 _72),乔_祚_2 (门是大于3的整数) 7 2 2 3 这5个数中,分数的个数为：(A)2 (B)3 (C)4 (D)5 ()2.如图1,正方形ABC 啲面积为256,点F 在AD 上，点E 在AB 的延长线 上,Rt △ CEF 的面积为200,则BE 的长为:(A)10 (B)11 (C)12 (D)15 ()3.已知a,b,c 均为整数，且满足 a 2 b 2 c 2 3 v ab 3b 2c .贝U 以 (B) x 2 2x -8 =0 (C)X 2-4X -5=0 (D) X 2-2X -3=0 ()4. 如图 2,在 Rt △ ABC 中 ,AF 是高，/ BAC=90 且 BD=DC=FC 二则 AC 为: (A) 3 2 (B) (C) & (D) 3 3 2b 亠c R 丄,则k 的值 a 二、填空题.(每小题7分,共28分) 2 1.方程F 二 10 的实数根是 a ，b~c 为根的一元二次方 程是：(A) x 2 -3x 2 = 0 ()5.若 k 二 c 2a b 2c a 为： (A)1 (B)2 (C)3 ()6. 设 x 亠0, y 丄 0,2 x y = 6 ,则 u 二 (D) 非上述答案 y 2 -6x -3y 的最大值是： (A) 27 (B)18 (C)20 (D) 2 不存在

x2 +1 x23x

2.女口图3,矩形ABCD中，E,F 分别是BC,CD上的点,且 S LABE-2, S_cEF -3, S_ADF - 4 ,则S AEF = 3.已知二次函数y = x2? （a 1）x b （a,b为常数）.当x = 3时，y=3; 当x为 任意实数时，都有y _ x.则抛物线的顶点到原点的距 离为 4.如图4,半径为2cm,圆心角为90°的扇形OAB的AB 上有一运动的点P.从点P向半径OA引垂线PH交OA 于点巴设厶OPH的内心为I,当点P在AB上从点A 运动到点B时，内心I所经过的路径长为—. 第二试 .（20分）在一个面积为1的正方形中构造一个如下的小正方形；将单位正方形的各边n等分,然后将每个顶点和它相对应顶点最接近的分点连 结起来，如图5所示.若小正方形的面积恰为0 E1 .（25分）一条笔直的公路I穿过草原,公路边有一卫生站A,距公路30km 的地方有一居民点B,A,B之间的距离为90km. 一天某司机驾车从卫生站送一批急救药品到居民点.已知汽车在公路上行驶的最快速度是60km/h ,在草地上行驶的最快速度是30km/h .问司机应以怎样的路线行驶,所用的行车时间最短？最短时间是多少？

小学奥数工程问题十大类

小学奥数工程问题十大类 工程问题就是从分率的角度来解决工作方面的问题，其基本数量关系仍然是工作量，工作时间和工作效率三者之间的关系，只不过不再是具体的数量，而是把“一项工程” 、“一段路”、“一批零件”、“一份稿件”、“一个水池”等这些没有告诉具体数量的工作量看作“1”；几天完成，也就是把这个“ 1”平均分成几份；每天完成几分之几，就是工作效率。 在解答工程问题时，要充分利用“工作效率X工作时间=工作总量”这个关系。建立“数量间的对应关系”是解题的突破口；掌握工程问题的解题方法，抓住解答工程问题的特点，理清题目的解题思路，是提高解答工程问题能力的关键。运用常用的数学思想及解题方法，如：假设法、转化法、代换法、列举法、方程等来解答工程问题。 一、单位“ 1” 例题1 一件工作，甲独做要20 天完成，乙独做要12 天完成。这件工作先由甲做了若干天，然后由乙继续做完，从开始到完工用了14 天。这件工作由甲先做了几天？ 例题2 一条公路，甲队独修24 天可以完成，乙队独修30 天可以完成。先由甲、乙两队合修4 天，再由丙队参加一起修7 天后全部完成。如果由甲、乙、丙三队同时开工修这条公路，几天可以完成？ 练习一： 1、一项工程，甲独做要40 天完成，乙独做要30 天完成。现在先由甲做了若干天，然后由乙接着做，共用了35 天完成任务。乙队单独做了多少天？ 2、一条水渠，甲队独挖120 天完成，乙队独挖40 天完成。现在两队合挖8 天，剩下的由丙队加入一起挖，又用12 天挖完。这条水渠由丙队单独挖，多少天可以完成？ 3、一件工作，甲、乙合做6天可以完成，乙、丙合做10天可以完成。如果甲、丙合做3 天后，由乙单独做，还要9天才能完成。如果全部工作由3人合做，需几天可以完成？

初中奥数讲义_动态几何问题透视附答案

【例题求解】 【例1】如图，把直角三角形ABC的斜边AB放在定直线上，按顺时针方向在l上转动两次，使它转到A″B″C″的位置，设BC=1，AC=3，则顶点A运动到点A″的位置时，点A经过的路线与直线l所围成的面积是． (黄冈市中考题) 思路点拨解题的关键是将转动的图形准确分割．RtΔABC的两次转动，顶点A所经过的路线是两段圆弧，其中圆心角分别为120°和90°，半径分别为2和3，但该路线与直线l所围成的面积不只是两个扇形面积之和． 【例2】如图，在⊙O中，P是直径AB上一动点，在AB同侧作AA′⊥AB，BB′⊥AB，且AA′=AP，BB′=BP，连结A′B′，当点P从点A移到点B时，A′B′的中点的位置( ) A．在平分AB的某直线上移动 B．在垂直AB的某直线上移动 ⌒ C．在AmB上移动 D．保持固定不移动 (荆州市中考题) 思路点拨画图、操作、实验，从中发现规律．

【例3】如图，菱形OABC的长为4厘米，∠AOC＝60°，动点P从O出发，以每秒1厘米的速度沿O→A →B路线运动，点P出发2秒后，动点Q从O出发，在OA上以每秒1厘米的速度，在AB上以每秒2厘米的速度沿O→A→B路线运动，过P、Q两点分别作对角线AC的平行线．设P点运动的时间为x秒，这两条平行线在菱形上截出的图形(图中的阴影部分)的周长为y厘米，请你回答下列问题： (1)当x=3时，y的值是多少? (2)就下列各种情形： ①0≤x≤2；②2≤x≤4；③4≤x≤6；④6≤x≤8．求y与x之间的函数关系式． (3)在给出的直角坐标系中，用图象表示(2)中的各种情形下y与x的关系． (吉林省中考题) 思路点拨本例是一个动态几何问题，又是一个“分段函数”问题，需运用动态的观点，将各段分别讨论、画图、计算． 注：动与静是对立的，又是统：一的，无论图形运动变化的哪一类问题，都真实地反映了现实世界中数与

《勾股定理》典型例题分析

《勾股定理》典型例题分析 一、知识要点： 1、勾股定理 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。也就是说：如果 直角三角形的两直角边为a 、b ，斜边为c ，那么 a 2 + b 2= c 2。公式的变形：a 2 = c 2 - b 2， b 2= c 2-a 2 。 2、勾股定理的逆定理 如果三角形ABC 的三边长分别是a ，b ，c ，且满足a 2 + b 2= c 2 ，那么三角形ABC 是直角三角形。这个定理叫做勾股定理的逆定理. 该定理在应用时，同学们要注意处理好如下几个要点： ① 已知的条件：某三角形的三条边的长度. ②满足的条件：最大边的平方=最小边的平方+ 中间边的平方. ③得到的结论：这个三角形是直角三角形，并且最大边的对角是直角. ④如果不满足条件，就说明这个三角形不是直角三角形。 3、勾股数 满足a 2 + b 2= c 2 的三个正整数，称为勾股数。注意：①勾股数必须是正整数，不能是分数或小数。②一组勾股数扩大相同的正整数倍后，仍是勾股数。常见勾股数有： （3，4，5）(5，12，13) (6，8，10) (7，24，25) (8，15，17 )(9，40，41 ) 4、最短距离问题：主要运用的依据是两点之间线段最短。 二、考点剖析 考点一：利用勾股定理求面积 1、求阴影部分面积：（1）阴影部分是正方形；（2）阴影部分是长方形；（3）阴影部分是半圆． 2. 如图所示，分别以直角三角形的三边向外作三个正三角形，其面积分别是S 1、S 2、S 3，则它们之间的关系是（ ）A. S 1- S 2= S 3 B. S 1+ S 2= S 3 C. S 2+S 3< S 1 D. S 2- S 3=S 1 3、如图，以Rt △ABC 的三边为直径分别向外作三个半圆，试探索三个半圆的面积之间的关系． 4、四边形ABCD 中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD 的面积。 S 3 S 2 S 1

初二奥数题及答案1

初二数学奥数及答案 1、如图,梯形AＢCD中，AD∥BC,DＥ=EC，ＥF∥AB交BC于点F,EＦ＝EＣ，连结DＦ。 （1)试说明梯形ABCD是等腰梯形； （2）若AＤ=１，BＣ＝3，DC＝，试判断△DCF的形状; (3）在条件(２)下,射线BＣ上是否存在一点Ｐ，使△PＣD 是等腰三角形，若存在，请直接写出PB的长;若不存在，请说明理由。 2、在边长为６的菱形ABCD中，动点M从点Ａ出发，沿Ａ→Ｂ→C向终点C运动,连接DM交AＣ于点N。 (１）如图25－１，当点M在AB边上时,连接ＢN. ①求证:△ABＮ≌△ＡＤN； ②若∠ABC = ６0°，AM = 4，求点Ｍ到ＡD的距离;（2）如图25－2,若∠ＡBC = ９0°，记点M运动所经过的路程为ｘ(6≤x≤1２）试问：x为何值时,△ADN为等腰三角形。 ３、对于点O、M，点M沿MO的方向运动到Ｏ左转弯继续运动到Ｎ,使ＯM＝ON，且ＯM⊥ON,这一过程称为M点关于Ｏ点完成一次“左转弯运动”. 正方形ABＣD和点P，P点关于A左转弯运动到Ｐ1，Ｐ1关于Ｂ左转弯运动到P2,P2关于C左转弯运动到P3,P3关于D左转弯运动到P4，P４关于A左转弯运动到P５，……． （1)请你在图中用直尺和圆规在图中确定点Ｐ1的位置；（2）连接P1A、P１B，判断△ABP1与△AＤP之间有怎样的

关系？并说明理由。 （３）以D 为原点、直线A Ｄ为轴建立直角坐标系，并且已知点B 在第二象限,A 、P 两点的坐标为（0,４）、(１，１)，请你推断：P 4、P ２０09、P ２010三点的坐标． 4、如图１和２,在２０ ×２0的等距网格（每 格的宽和高均是１个单 位长）中,Rt △A ＢＣ从 点A 与点M 重合的位置 开始,以每秒1个单位长的速度先向下平移，当ＢC 边与网的底部重合时，继续同样的速度向右平移,当点C 与点Ｐ重合时，Ｒｔ△ＡBC 停止移动．设运动时间为x 秒,△QAC 的面积为y 。...感谢聆听... （1）如图1,当Rt △ABC 向下平移到Rt △A 1B １C 1的位置时，请你在网格中画出Rt △A 1B 1C 1关于直线QN 成轴对称的图形; (2)如图2，在Rt △AB Ｃ向下平移的过程中,请你求出y 与x 的函数关系式,并说明当x 分别取何值时,y 取得最大值和最小值?最大值和最小值分别是多少? （３）在Ｒt △ＡＢＣ向右平移的过程中,请你说明当x 取何值时，y 取得最大值和最小值？最大值和最值分别是多少？为什么？ 5、如图①,△ＡB Ｃ中，A Ｂ=AC,∠B 、∠C 的平分线交于O 图1 图2

六年级奥数工程问题(教师版)

工程问题 一：基本类型 工程问题中的某项工程一般不给出具体的数量，首先，在解题时关键要把“一项工程”看作单位“ 1 ”，工作效率就用完成单位“ 1 ”所 需的工作时间的倒数来表示；其次，在解答时要抓住三个基本数量：工作效率、工作时间和工作总量，并结合有关工程问题的三个基本数量关系式来列式解答。 模型一：工作效率（和）^工作时间二工作总量 模型二：工作总量+工作效率（和）二工作时间 模型三：工作总量+工作时间二工作效率（和） （一）先合作，后独作 例1、一条公路，甲队独修需24天完成，乙队独修需30天完成。甲、乙两队合修若干天后，乙队停工休息，甲队继续修了6天完成，乙队修了多少天？（A） 设乙x 天（1/24+1/30 ）x+1/24*6=1 x=10 例2、修一条公路，甲队单独修20天可以修完，乙队单独修30天可以修完。现两队合修，中途甲队休息 2.5天，乙队休息若干天，这样一共14天才修完。乙队休息了几天？（B级）

（二）丙先帮甲，再帮乙 例3、搬运一个仓库的货物，甲需10小时，乙需12小时，丙需15 小时。有同样的仓库A和B，甲在A仓库，乙在B仓库同时开始搬运货物，丙开始帮助甲搬运，中途又去帮助乙搬运，最后同时搬完两个仓库的货物。丙帮助甲搬运了几小时？（B级） （三）甲乙合作，中途有人休息 例4、一项工程，如果单独做，甲需10天完成，乙需15天完成，丙需20天完成。现在三人合作，中途甲先休息1天，乙再休息3天, 而丙一直工作到完工为止。这样一共用了几天时间？（B级）

（四）独做化合做 例5、甲乙合做一项工程，24天完成。如果甲队做6天，乙队做4 天，只能完成工程的1/5 ,两队单独做完成任务各需多少天？（B级） （五）合做变独做 例6、一项工程，甲先独做2天，然后与乙合做7天，这样才完成全 工程的一半。已知甲、乙工作效率的比是 2 : 3。如果由乙单独做， 需要多少天才能完成？（B）

初中数学竞赛辅导讲义全

专业资料 初中数学竞赛辅导讲义（初三） 第一讲 分式的运算 [知识点击] 1、 分部分式：真分式化为另几个真分式的和，一般先将分母分解因式，后用待定系数法进行。 2、 综合除法：多项式除以多项式可类似于是有理数的除法运算，可列竖式来进行。 3、 分式运算：实质就是分式的通分与约分。 [例题选讲] 例1．化简 2312++x x + 6512++x x + 12 712++x x 解：原式= )2)(1(1++x x + )3)(2(1++x x + ) 4)(3(1++x x = 11+x - 21+x + 21+x - 31+x + 31+x - 4 1+x =) 4)(1(3++x x 例2． 已知 z z y x -+ = y z y x +- = x z y x ++- ，且xyz ≠0，求分式xyz x z z y y x ))()((+-+的值。

专业资料 解：易知：z y x + = y z x + = x z y + =ｋ 则?? ???=+=+=+)3()2()1(kx z y ky z x kz y x （1）+（2）+（3）得：(ｋ-2)(x+y+z)=0 ｋ=2 或 x+y+z=0 若ｋ=2则原式= k 3 = 8 若 ｘ+ｙ+ｚ=0，则原式= k 3 =-1 例3．设 1 2+-mx x x =1，求 12242+-x m x x 的值。 解：显然X 0≠，由已知x mx x 12+- =1 ，则 x +x 1 = ｍ + 1 ∴ 22241x x m x +- = ｘ2 + 21x - ｍ2= (x +x 1)2-2 –ｍ2 =( ｍ +1)2-2- ｍ2= 2ｍ -1 ∴原式=1 21-m 例4．已知多项式3x 3 +ax 2 +3x +1 能被x 2 +1整除，求ａ的值。 解：

勾股定理常见题型

1 .如图（16）,大正方形的面积可以表示为 ，又可以表示为 ，由此可得等量关系 ABCD 正方形EFGH .ACB=90 , AB=4，分别以AC , BC 为直径作半圆，面积分别记为 专题一：勾股定理与面积 知识点精讲： 类型一 “勾股树”及其拓展类型求面积 典型例题: 3 .“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个正方形拼成的大正方形.如图，每一个直角三角形的两条直角 边的长分别是3和6,则大正方形与小正方形的面积差是 （ ） 4 .如图所示的大正方形是由八个全等的直角三角形和一个小正方形拼接而成，记图中正方形 正方形MNKT 勺面积分别为 S 、S 2、S.若正方形EFGH 勺边长为2,贝U S + S 2+ S 3 = _____________________________________ . 5.如图，所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形，已知 Si = 4, S 2= 9, S 3 = 8, S= 10，则S =（ ） A. 25 B . 31 C . 32 D . 40 7?如图，已知直角厶ABC 的两直角边分别为 6, 8,分别以其三边为直径作半圆， 则图中阴影部分的面积是 ____________ 8.如图所示为一种“羊头”形图案，其作法是：从正方形①开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形， 然后再以其直角边为边，分别向外作正方形②和②，…，依此类推，若正方形①的面积为 64,则正方形⑤的面积 _________________________ ,整理后可得： _______________ C 6 .如图，已知在Rt A ABC 中, C 6 8 ①

初二奥数题及标准答案

初二奥数题及答案

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F E A D C B 初二数学奥数 1、如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，DE ＝EC ，EF ∥AB 交BC 于点F ，EF ＝EC ，连结DF 。 (1)试说明梯形ABCD 是等腰梯形； (2)若AD ＝1，BC ＝3，DC ＝2，试判断△DCF 的形状； (3)在条件(2)下，射线BC 上是否存在一点P ，使△PCD 是等腰三角形，若存在，请直接写出PB 的长；若不存在，请说明理由。

2、在边长为6的菱形ABCD中，动点M从点A出发，沿A→B→C向终点C运动，连接DM交AC于点N. （1）如图25－1，当点M在AB边上时，连接BN. ①求证：△ABN≌△ADN； ②若∠ABC = 60°，AM = 4，求点M到AD的距离； （2）如图25－2，若∠ABC = 90°，记点M运动所经过的路程为x（6≤x≤12）试问：x为何值时，△ADN为等腰三角形.

3、对于点O 、M ，点M 沿MO 的方向运动到O 左转弯继续运动到N ，使OM ＝ON ，且OM ⊥ON ，这一过程称为M 点关于O 点完成一次“左转弯运动”． 正方形ABCD 和点P ，P 点关于A 左转弯运动到P 1，P 1关于B 左转弯运动到P 2，P 2关于C 左转弯运动到P 3，P 3关于D 左转弯运动到P 4，P 4关于A 左转弯运动到P 5，……． （1）请你在图中用直尺和圆规在图中确定点P 1的位置； （2）连接P 1A 、P 1B ，判断 △ABP 1与△ADP 之间有怎样的关系？并说明理由。 (3)以D 为原点、直线AD 为y 轴建立直角坐标系，并且已知点B 在第二象限，A 、P 两点的坐标为（0，4）、（1，1），请你推断：P 4、P 2009、P 2010三点的坐标． P D C B A O N M 图1 图2

新五年级奥数工程问题

新五年级奥数工程问题 Document serial number【KK89K-LLS98YT-SS8CB-SSUT-SST108】

工程问题 知识点：“工程问题”指的都是两个人以上合作完成某一项工作，有时还将内容延伸到相遇运动和向水池注水等等。解答工程问题时，一般都是把总工作量看作单位“1”，把单位“1”除以工作时间看成工作效率，因此，工作效率就是工作时间的倒数。 工程问题关系式是：工作总量÷工作效率＝工作时间 或：工作总量÷工作效率和＝合作时间 例1.一篇稿件，甲、乙两人合打。甲一个人完成要5小时，乙一个人完成要8小时，求两人合打几小时可以完成？ 例2.一项工程，甲独立完成要12天，乙独立完成要15天，现两队合作，几天可以完成这项工程的3/5？ 例3.一项工程，甲乙两队合作，8天完成了这项工程的3/5，已知甲独立完成要24天，乙独立完成要几天？ 例4.一条水渠，甲乙两个工程队一起修。甲队独修要30天，乙队独修要40天。甲队先修了10天后，乙队才来。问再过多少天可以修完？ 例5.师徒俩共同加工一批零件，6天可以完工。现在师傅先加工了5天后，有事让徒弟接着加工，徒弟加工3天后，共完成这批零件的7/10，问师傅和徒弟单独加工这批零件各要几天？ 例6、加工一批零件，计划15天完工。实际工作效率比计划提高了25%，实际几天完工？ 例7、甲乙两车分别从A、B两地相向开出，已知甲乙两车的速度比是2:3，甲车行完全程要11/2小时，求甲乙两车多少小时可以相遇？ 例8、甲、乙两人同时加工同样多的零件，甲每小时加工40个，当甲完成任务 的时，乙完成了任务的还差40个．这时乙开始提高工作效率，又用了7.5小时完成了全部加工任务．这时甲还剩下20个零件没完成．求乙提高工效后每小时加工零件多少个？ 例9、一项工程，由甲队单独工作需要15天完成，由乙队单独工作需要12天完成，由丙队单独工作需要10天完成。现在由甲乙两个工程共同工作了3天后，剩下的工程由丙队单独完成，丙队还需要几天才能完成这项工程？ 例10.一个水池安装甲、乙两个进水管和丙放水管，单开甲管4小时能把空池注满水，单开乙管5小时能把空池注满水，单开丙管3小时能把满池水放完。现在三管同时打开，几小时能把空池注满？ 例11.一项工程，甲单独干需要20天，乙单独干需要30天，现在由他们两人合干，又知甲在工作途中先请了3天事假，后因公事出差2天。求他们完成这项工程从开工到结束一共花了多少天？ 难题解析： 一件工作，甲乙合作完成需要4天，乙丙合作完成需要5天，现在甲丙合作2天后，乙再做6天完成。问：乙独立完成需要几天？