走进重高讲义数学七年级上册人教版

基础巩固篇

第一讲有理数

思维导图

重难点分析

重点分析：

1.回顾以前学过的关于“数”的知识，进一步理解自然数、分数的产生和发展的实际背景，通过学生身边的例子体验自然数与分数的意义和在它们计数、测量、排序、编码等方面的应用.

2.从相反意义的量的表示，理解正数、负数的概念，理解有理数产生的必然性、合理性.

3.有理数的分类：按有理数的整分性可以分为整数和分数；按有理数的正负性可以分为正有理数、负有理数和零.

难点分析：

1.分数都可以化为小数，有些小数(有限小数和无限循环小数)可以化为分数.

2.相反意义的量包含两个要素：一是它们的意义要相反；二是它们都具有数量(必须是同一类量，数量大小可以不相等).

例题精析

例1、判断：

(1)前进和后退是两个具有相反意义的量；

(2)零上6?的相反意义的量只有零下6?；

(3)收入50万元和亏损20万元是两个具有相反意义的量；

(4)上涨100元和下降50点是两个具有相反意义的量.

思路点拨：先判断意义是否相反，再看是不是有数量.

解题过程：(1)前进和后退具有相反意义，但没有数量，所以错误.

(2)相反意义的量中数量可以不相等，所以错误.

(3)收入和支出才具有相反意义，所以错误.

(4)相反意义的量中数量必须是同一类量，100元和50点不是同一类量，所以错误.

方法归纳：判断是否是相反意义的量时要抓住两个要素：一是它们的意义要相反；二是它们

都具有数量(必须是同一类量，数量大小可以不相等).

易错误区：注意(3)中收入的相反意义是支出，亏损的相反意义是盈利，不要混淆.

例2、火车票上的车次号有两个意义，一是数字越小表示车速越快，1～98次为特快列车，101～198次为直快列车，301～398次为普快列车，401～498次为普客列车；二是单数与双数表示不同的行驶方向，其中单数表示从北京开出，双数表示开往北京，根据以上规定，龙岩开往北京的普快列车“海西号”的车次号可能是( ). A.96 B.118 C.335 D.336

思路点拨：根据普快列车的车次号在301～398之间，开往北京的列车车次号为双数作答. 参考答案：D

方法归纳：本题是材料题，要仔细阅读所给信息，才能得出正确的结论. 易错误区：解题时要把火车票车次号的两个意义相结合.

例3、(1)已知4个矿泉水空瓶可以换矿泉水一瓶，现有15个矿泉水空瓶，若不交钱，最多可以喝 瓶矿泉水； (2)师生共52人外出春游，到达后，班主任要给每人买一瓶矿泉水，给了班长买矿泉水的钱.

班长到商店后，发现商店正在进行促销活动，规定每5个空瓶可换1瓶矿泉水.班长只要买 瓶矿泉水，就可以保证每人一瓶.

思路点拨：(1)看15里面有几个4，再看余下的空瓶包含几个4，把个数相加即可；(2)因为5个空瓶=1个空瓶+1瓶的水，可知4个空瓶可以换1瓶的水，因此花4瓶的钱可以喝到5瓶水，所以花40瓶的钱可以喝到50瓶水，还差2瓶单买.

解题过程：(1)15÷4=3……3，可先换3瓶矿泉水，喝完后还剩3+3=6个空瓶，拿出4个空瓶换一瓶矿泉水，还剩3个空瓶，找人借一个空瓶凑齐4个空瓶换一瓶矿泉水，喝完还剩一个空瓶再把这个空瓶还给那个人，故最多可以喝5瓶矿泉水. (2)52÷5=10组……2瓶；4310+2=42瓶.

答：班长只要买42瓶矿泉水，就可以保证每人一瓶.

方法归纳：本题考查的知识点是推理与论证，关键要抓住“5个空瓶可换1瓶矿泉水”这个条件，得出“4个矿泉水空瓶可以换矿泉水一瓶”这一结论，然后再列式计算. 易错误区：换来的矿泉水喝完又是空瓶，可以继续换.

例4、分子为1的分数叫做单位分数.早在三千多年前，古埃及人就利用单位分数进行书写和计算.将一个分数拆分为几个不同的单位分数之和是一个古老且有意义的问题.例如：

2141424142143+=+=+=；2

16163616316432+=+=+==. (1)仿照上例分别把分数85和5

3

拆分成两个不同的单位分数之和.

85= ；5

3

= ； (2)在上例中，214143+=，又因为3

16162616216321+=+=+=

=，所以31

614143++=，

即

4

3

可以写成三个不同的单位分数之和.按照这样的思路，它也可以写成四个，甚至五个不同的单位分数之和.根据这样的思路，探索分数8

5

能写出哪些两个以上的不同的单位分数之

和.

思路点拨：(1)由单位分数的意义可知将一个分数拆分为几个不同的单位分数之和，就是利用同分母分数的加法或约分的性质，把这个分数拆成两个同分母分数，使其中一个分子是1，另一个分数分子能整除分母；(2)只要根据单位分数的转化方法，把其中的一个单位分数利用分数的性质继续拆分即可.

解题过程：(1)

2

1101105110653,218184185+=+==+=+=. (2)4

1

121618185,2112124185,31618185+++=++=

++=. 方法归纳：本题考查了分数性质的灵活应用、同分母分数的相加以及约分方法，也考查了学生的观察能力.

易错误区：分子为1的分数叫做单位分数，最大的单位分数是

1

1

,21是整数，不是分数.

例5、已知有A ，B ，C 三个数集，每个数集中所含的数都写在各自的大括号内，请把这些 数填入图中相应的部分. A.{-5，2.7，-9，7，2.1} B.{-8.1，2.1，-5，9.2，-

7

1} C.{2.1，-8.1，10，7}

思路点拨：由已知观察，先找出三个数集相同的数，再找出每两个数集相同的数，把相同的数分别填入公共部分.

解题过程：

通过观察，A ，B ，C 三个数集都含有2.1， A ，B 数集都含有-5， A ，C 数集都含有7， B ，C 数集都含有-8.1.

方法归纳：本题主要考查学生对数集的理解与应用.

易错误区：每个数在图中只能出现一次，多个数集都有的数要填在公共部分.

例6、把下列各数填入相应的数集内： -100，+12，3

31，-72，0.01，68，-10%，0，18?，-24

1

，2.0，0.4252，π. 正有理数集：{ …}；

负有理数集：{ …}； 整数集：{ …}； 分数集：{ …}；

自然数集：{ …}； 非负数集：{ …}.

思路点拨：按照有理数的分类进行判断：有理数包括：整数和分数或者正有理数、负有理数和零；整数包括：正整数、0和负整数；分数包括：正分数和负分数；自然数包括：零和正整数.

解题过程：正有理数集：{+12，3

3

1

，0.01，68，18?，2.0，0.4252，…}； 负有理数集：{-100，-72，-10%，-24

1

，…}；

整数集：{-100，+12，68，0，2.0，…}； 分数集：{3

31，-72，0.01，-10%，18?，-24

1

，0.4252，…}； 自然数集：{+12，68，0，2.0，…}； 非负数集：{+12，3

3

1

，0.01，68，0，18?，2.0，0.4252，π，…}. 方法归纳：本题考查了有理数的概念，认真掌握正数、负数、整数、分数、正有理数、负有理数、非负数等的定义与特点.注意整数和正数的区别，注意0是整数，但不是正数. 易错误区：π是无限不循环小数，不能转化为分数，所以它既不是分数，也不是有理数.

探究提升

例、请根据各数之间的关系，找规律填空.

思路点拨：(1)观察图形中的数字可知：(9+6)31=15；(6+7)34=52；(5+8)33=39；由此可得，每个三角形中：(上面的数字+左下的数字)3右下的数字=中间的数字；(2)根据图形中的数字可知：中间的数字=上下数字之差；左边的数字=中间的数字3右边的数字；由此即可解答；(3)观察每组图形中的三个数字特点可知：下边的数字由三部分组成：最左边的数字是右上方的数字十位上的数字；最右边的数字是左上方的数字个位上的数字；中间的数字是左上方的数字十位上的数字与右上方的数字个位上的数字之和，由此即可解答. 解题过程：①(11+3)32=28.故？=28. ②61-56=5，533=15.故？=5，△=15.

③最左边数字是6，最右边数字是8，中间数字是1+1=2，所以这个数是628.故？=628. 方法归纳：主要考查了学生通过对特例进行分析从而归纳总结出一般结论的能力.对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的

变化规律后直接利用规律求解.

易错误区：规律的确定通常至少要三个特例，从一个或两个特例中总结出的结论不一定正确，所以归纳出的一般结论要检验，使每一个特例都满足规律.

专项训练

拓展训练

A组

略

B组

略

走进重高

1.略

2.【台湾】在1～45的45个正整数中，先将45的因子全部删除，再将剩下的整数由小到大排列，求第10个数为( ).

A.13

B.14

C.16

D.17

3.【金华】有四包真空小包装火腿，每包以标准克数(450g)为基数，超过的克数记作正数，不足的克数记作负数，以下数据是记录结果，其中表示的实际克数最接近标准克数的是( ).

A.+2

B.-3

C.+3

D.+4

4.略

5.略

6.略

7.【仙游】有一口9m深的水井，蜗牛和乌龟同时从井底向上爬.因为井壁滑，蜗牛白天向上爬2m，晚上向下滑1m；乌龟白天向上爬3m，晚上向下滑1m.当乌龟爬到井口时，蜗牛距井口 m.

高分夺冠

1.略

2.略

3.五羊矿泉水为了环境保护而回收空矿泉水瓶.允许消费者用4个空瓶换1瓶矿泉水(少于4个空瓶则不能换)，花城中学买了1999瓶五羊牌矿泉水，如果尽可能把空瓶拿去换矿泉水，那么花城中学师生一共能喝上瓶矿泉水；反过来，如果一共能喝上3126瓶矿泉水，那么最初应该买了瓶矿泉水.

4.略

5.某路公交车从起点经过A，B，C，D四站到达终点，途中上下乘客如下表所示.(用正数表

(1)到终点下车还有多少人？填在表格相应位置；

(2)车行驶在哪两站之间车上的乘客最多？站和站；

(3)若每人乘坐一站需买票0.5元，问该车出车一次能收入多少钱？要求写出算式.

第二讲数轴和绝对值

思维导图

重难点分析

重点分析：

1.数轴的三要素：原点、单位长度、正方向.

2.理解有理数可以用数轴上的点表示，数轴上的点不一定表示有理数.

3.相反数：实数a与－a互为相反数，零的相反数仍是零.若a，b互为相反数，则a+b＝0.

4.倒数：若两个实数的乘积为1，就称这两个实数互为倒数，零没有倒数.

5.绝对值的几何意义：表示这个数到原点的距离.

6.比较有理数大小的两种基本方法：利用数轴比较大小；利用法则比较大小.

难点分析：

1.数轴涉及数和形两个方面，是解决许多数学问题的重要工具.

2.绝对值具有非负性，去绝对值问题往往会涉及较复杂的符号问题.

例题精析

例1、下列所画的数轴正确的有( ).

A.1条

B.2条

C.3条

D.4条

思路点拨：利用数轴的概念和三要素(原点，正方向和单位长度)来判断正误.

解题过程：第一条数据顺序不对，错误；第二条正确；第三条没有正方向，错误；

第四条刻度不均匀，错误.所以正确的共有1条.故选A.

方法归纳：本题主要考查了数轴的三要素：原点、正方向和单位长度.三个要素缺一不可. 易错误区：数轴的单位长度可以根据实际需要选取.

例2、数轴上点A，B的位置如图所示，若点B关于点A的对称点为C，则点C表示的数为 .

思路点拨：点A表示的数是-1，点B表示的数是3，所以｜AB｜=4；点B关于点A的对称点为C，所以点C到点A的距离｜AC｜=4.设点C表示的数为x，则-1-x=4，解出x即可求得点

C表示的数.

解题过程：如图，点A表示的数是-1，点B表示的数是3，所以｜AB｜=4.

又点B关于点A的对称点为C，所以点C到点A的距离｜AC｜=4.

设点C表示的数为x，则-1-x=4，解得x=-5.故答案为-5.

方法归纳：由于引进了数轴，我们把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来，二者互相补充，相辅相成，把很多复杂的问题转化为简单的问题，在学习中要注意培养数形结合的数学思想.

易错误区：数轴上两点间的距离是表示这两个点的数的差的绝对值.

例3、已知数轴上A，B两点分别为-3，-6，若在数轴上找一点C，使得A与C的距离为4；找一点D，使得B与D的距离为1，则下列( )不可能为C与D的距离.

A.0

B.2

C.4

D.6

思路点拨：将点A，B，C，D在数轴上表示出来，然后根据绝对值与数轴的意义计算CD的长度.

解题过程：根据题意，点C与点D在数轴上的位置如图所示：

在数轴上使AC的距离为4的点C有两个：C1，C2，

数轴上使BD的距离为1的点D有两个：D1，D2，

∴C与D的距离为：①C2D2=0；②C2D1=2；③C1D2=8；④C1D1=6.

综合①②③④，知C与D的距离可能为：0，2，6，8.

故选C.

方法归纳：本题综合考查了数轴，绝对值的有关内容，用几何方法借助数轴来求解，非常直观，且不容易遗漏，体现了数形结合的优点.

易错误区：在数轴上找一点C，使得A与C的距离为4，满足这个条件的点A有两个；同理找一点D，使得B与D的距离为1，满足条件的点D也有两个，注意不要遗漏.

例4、如图，数轴上标出了7个点，相邻两点之间的距离都相等，已知点A表示-4，点G表示8.

(1)点B表示的有理数是，表示原点的是点是；

(2)图中的数轴上另有点M到点A、点G距离之和为13，则这样的点M表示的有理数是；

(3)若相邻两点之间的距离不变，将原点取在点D，则点C表示的有理数是，此时点B与点表示的有理数互为相反数.

思路点拨：(1)先根据数轴上两点之间的距离公式求出点A到点G的距离，再求出相邻两点之间的距离即可解答；(2)设点M表示的有理数是m，根据数轴上两点之间距离的定义即可求出m的值；(3)根据两点间的距离是2可求出C点坐标，再根据相反数的定义即可求出结论.

解题过程：(1)∵数轴上标出了7个点，相邻两点之间的距离都相等，已知点A表示-4，点

G 表示8，∴AG=｜8+4｜=12. ∴相邻两点之间的距离=

6

12

=2. ∴点B 表示的有理数是-4+2=-2，点C 表示的有理数-2+2=0. 故答案为：-2；C.

(2)设点M 表示的有理数是m ，则｜m+4｜+｜m-8｜=13， ∴m=-4.5或m=8.5. 故答案为：-4.5或8.5. (3)若将原点取在点D ， ∵每两点之间距离为2， ∴点C 表示的有理数是-2.

∵点B 与点F 在原点D 的两侧且到原点的距离相等， ∴此时点B 与点F 表示的有理数互为相反数. 故答案为：-2；F. 方法归纳：本题考查的是数轴的特点及数轴上两点之间距离的定义，熟知数轴上两点之间距离公式是解答本题的关键.

易错误区：第(2)题中A ，G 两点间的距离为12，所以数轴上到点A 、点G 距离之和为13的点M 在线段AG 外，这样的点有两个.

例5、已知｜a+3.5｜+｜b-9｜+｜c-13.5｜=0，求ab+c 的值.

思路点拨：根据非负数的性质可求出a ，b ，c 的值，再将它们代入ab+c 中求解即可. 解题过程：∵｜a+3.5｜+｜b-9｜+｜c-13.5｜=0， ∴a+3.5=0，b-9=0，c-13.5=0. ∴a=-3.5，b=9，c=13.5. ∴ab+c=-3.539+13.5=-18.

方法归纳：非负数的性质：有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零. 易错误区：只有当若干个非负数相加等于零时，才能得出每个非负数都同时为零.

探究提升

例、观察下列每对数在数轴上的对应点之间的距离4与-2，3与5，-2与-6，-4与3，回答下列各题：

(1)你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗？答： ；

(2)若数轴上的点A 表示的数为x ，点B 表示的数为―1，则点A 与点B 两点间的距离可以表示为 ；

(3)结合数轴求得｜x-2｜+｜x+3｜的最小值为 ，取得最小值时x 的取值范围为 ；

(4)满足｜x+1｜+｜x+4｜>3的x 的取值范围为 .

思路点拨：(1)通过观察容易得出结论；(2)在数轴上找到点B 所在的位置，点A 可以位于数轴上的任意位置，分三种情况进行分类讨论；(3)(4)根据(2)中的结论，利用数轴分析. 解题过程：(1)相等.

(2)结合数轴，分以下三种情况：

当x ≤-1时，距离为-x-1

当-1

当x>0，距离为x+1

综上，我们得到A与B两点间的距离可以表示为x+1.

(3)｜x-2｜即x与2的差的绝对值，它可以表示数轴上x与2之间的距离.｜x+3｜=｜x-(-3)｜即x与-3的差的绝对值，它也可以表示数轴上x与-3之间的距离.

如图，x在数轴上的位置有三种可能：

图1

图2

图3

图2符合题意，所以｜x-2｜+｜x+3｜的最小值为5，取得最小值时x的取值范围为-3≤x≤2.

(4)同理｜x+1｜表示数轴上x与-1之间的距离，｜x+4｜表示数轴上x与-4之间的距离.所以本题即求：当x在什么范围内时x与-1之间的距离加上x与-4之间的距离会大于3.借助数轴，我们可以得到正确答案：x<-4或x>-1.

方法归纳：借助数轴可以使有关绝对值的问题转化为数轴的距离问题，反之，有关数轴上的距离问题也可以转化为绝对值问题.这种相互转化在解决某些问题时可以带来方便.事实上，｜a-b｜表示的几何意义就是在数轴上表示数a与数b的点之间的距离.这是一个很有用的结论，我们正是利用这一结论并结合数轴的知识解决了(3)、(4)这两道难题.

易错误区：｜a-b｜表示的几何意义就是在数轴上表示数a与数b的点之间的距离，｜a+b｜表示的几何意义就是在数轴上表示数a与数-b的点之间的距离.

专项训练

拓展训练

A组

略

B组

略

走进重高

1.略

2.【菏泽】如图，数轴上的A ，B ，C 三点所表示的数分别是a ，b ，c ，其中AB=BC ，如果|a|＞|b|＞|c|，那么该数轴的原点O 的位置应该在（ ）. A.点A 的左边 B.点A 与点B 之间 C.点B 与点C 之间

D.点B 与点C 之间或点C 的右边

(第2题)

(第3题)

3.【遵义】如图，A ，B 两点在数轴上表示的数分别是a ，b ，则下列式子中成立的是（ ）. A.a+b ＜0 B.-a ＜-b C.1-2a ＞1-2b D.|a|-|b|＞0

4.略

5.略

(第6题)

6.【咸宁】实数a ，b 在数轴上对应点的位置如图所示，则｜a ｜ ｜b ｜(填“＞”“＜”或“=”).

7.【略

8.【咸宁】在数轴上，点A （表示整数a ）在原点的左侧，点B （表示整数b ）在原点的右侧.若|a-b|=2013，且AO=2BO ，则a+b 的值为 ．

高分夺冠 1.略

2.当x 满足条件 时，y=｜x-1｜+｜x-2｜+｜x-3｜+…+｜x-2010｜会得到最小值.

3.求｜x-3｜+｜x-5｜+｜x-2｜+｜x+1｜+｜x+7｜的最小值.

4.略

5.有理数a ，b ，c 均不为0，且a+b+c=0.设x=||

||||||b

a c a c

b

c b a +++++，试求代数式x 19

+99x+2013之值.

第三讲有理数的加减

思维导图

重难点分析

重点分析：

1.有理数加法法则：(1)同号相加，取相同符号，并把绝对值相加；(2)绝对值不等的异号加减，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.互为相反数的两个数相加得0；(3)一个数同0相加，仍得这个数.

2.加法交换律:a+b=b+a，两个数相加，交换加数的位置，和不变.加法结合律:a+b+c=(a+b)+c=a+(b+c)，三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变.

3.有理数减法法则：减去一个非零的数，等于加上这个数的相反数.其中，两变：减法运算变加法运算，减数变成它的相反数；一不变：被减数不变.可以表示成：a－b=a+(－b).

难点分析：

1.在进行有理数加法运算时，首先判断两个加数的符号：是同号还是异号，是否有0.从而确定用哪一条法则.在应用过程中，一定要牢记“先符号，后绝对值”，熟练以后就不会出错了.

2.在进行有理数加法运算时，一般采取：(1)是互为相反数的先加(抵消)；(2)同号的先加；

(3)同分母的先加；(4)能凑整数的先加；(5)异分母分数相加，先通分，再计算.

例题精析

例1,、钟面上有1，2，3，4，5，…，12共12个数.

(1)试在某5个数的前面添加负号，使这5个负数与其余7个正数的和为0；

(2)在解题过程中你能总结出一些什么规律？

思路点拨：先求出1，2，3，4，5，…，12这12个数的和为78，将78÷2得出5个负数绝对值的和为39，找到12个数中5个数绝对值的和等于39的数前面添加负号即可.

解题过程：(1)1+2+3+4+5+…+12=78，78÷2=39.

∵1+6+9+11+12=39，

∴5个数为1，6，9，11，12(答案不唯一).

(2)规律：5个负数绝对值的和等于1，2，3，4，5，…，12这12个数的和的一半.

方法归纳：认真审题，找出“5个负数绝对值的和等于1，2，3，4，5，…，12这12个数的和的一半”这一规律是解答本题的关键所在.

易错误区：要利用互为相反数的两个数相加和为0，从而找到规律，不能盲目乱凑.

例2、计算：

(1)-6-8-2+3.54-4.72+16.46-5.28； (2)75.1)3

21()432()323(------.

思路点拨：(1)注意运算过程中的简便方法，让能够凑成整十的两个数相结合；(2)首先化简，然后利用有理数的加法法则和加法的交换律进行计算.

解题过程：(1)原式=(-6-8-2-4.72-5.28)+(3.54+16.46)=-26+20=-6. (2)原式=)4

3

1432()321323(431321432323

-++-=-++-=-2+1=-1. 方法归纳：在计算时要灵活运用运算定律使运算更加简便.

易错误区：当使用运算定律后不能使运算更简便的，就按一般运算顺序计算.

例3、用简便方法计算:

(1)111.1+(-12)+0.9； (2)(+13)+(-21)+(+28)+(-10)； (3)4.33+(-7.52)+(-4.33)； (4)

)7

6()61()71(65-+-+-+. 思路点拨：(1)能凑整的先凑整简称凑整结合法；

(2)把正数与负数分别结合在一起再相加简称同号结合法； (3)有相反数的先把相反数相加简称相反数结合法；

(4)遇到分数，先把同分母的数相加，简称同分母结合法. 解题过程：(1)原式=111.1+0.9+(-12)=112+(-12)=100.

(2)原式=［(+13)+(+28)］+［(-21)+(-10)］=(+41)+(-31)=10. (3)原式=(-7.52)+［(+4.33)+(-4.33)］=(-7.52)+0=-7.52. (4)原式=3

1)1(32)]76()71[()]61(65[-=-+=

-+-+-+. 方法归纳：认真观察算式的特点，合理利用简便计算规则：①凑整结合法；②同号结合法；

③相反数结合法；④同分母结合法.

易错误区：不是所有的计算都有简便方法的.

例4、一天，有个年轻人来到“高记”童鞋店里买了一双鞋，这双鞋的成本是15元，标价是21元，这个年轻人掏出一张50元的人民币要买这双鞋，鞋店当时没有零钱，就用那张50元钱向街坊换了50元的零钱，找给年轻人29元，但是，街坊后来发现那张50元的钱是假钞，鞋店老板无奈之下，还了街坊50元，那么鞋店在这次交易中共损失了( ). A.15元 B.44元 C.50元 D.100元

思路点拨根据题意可知，鞋店老板首先损失了这双鞋的成本15元，然后损失了找给年轻人的29元，共损失了44元.

解题过程：15+29=44(元).答：鞋店老板共损失了44元.

方法归纳：本题的关键在于充分理解题意，若那张50元的钱是真钞，鞋店老板就没有损失了.

易错误区：注意还给街坊的50元不属于损失之列，因为换零钱时街坊也给了鞋店老板50元.

例5、小张上周末买进股票

(1)到本周三，小张所持股票每股是多少元？

(2)本周内，股票最高价出现在星期几？是多少元？

(3)已知小张买进股票时付了1.5?的手续费，卖出时需付成交额1.5?的手续费和3?的交易税.如果小张在本周末卖出全部股票，他的收益如何？

思路点拨：(1)由表中数据可以算出股票每天每股的价格；(2)比较五天涨跌可知，星期一和星期二都是涨，则该股票最高价出现在星期二，进而求出每股的价格；(3)收益=卖股票收入-买股票支出-卖股票手续费和交易税-买股票手续费，代入求值即可.

解题过程：(1)20+4+5-1=28(元).

答：到本周三，小张所持股票每股28元.

(2)20+4+5=29(元).

答：本周内，股票最高价出现在星期二，是29元.

(3)29-1-3-6=19(元)，

1000319=19000(元)，

1000320=20000(元)，

19000-20000-2000031.5?-190003(1.5?+3?)

=-1000-30-85.5

=-1115.5(元).

答：小张亏了1115.5元.

方法归纳：本题主要考查正负数及有理数的运算在实际生活中的应用.所以学生在学这一部分时一定要联系实际，活学活用.

易错误区：股票的涨跌是以前一天股票的价格为基准的.

例6、实际测量一座山的高度时，可在若干个观测点中测量每两个相邻可视观测点的相对高度，然后用这些相对高度计算出山的高度.下表是某次测量数据的部分记录(用A-C表示观测点A相对观测点C的高度)根据这次测量的数据，可得观测点A相对观测点B的高度是( ).

A.210 m

B.130 m

C.390 m

D.-210 m

思路点拨：认真审题可以发现：A比C高90 m，C比D高80 m，D比E高60 m，F比E高50 m，F比G高70 m，B比G高40 m.然后转化为算式，通过变形得出A-B的关系即可.

解题过程：由表中数据可知：A-C=90…①，C-D=80…②，D-E=60…③，E-F=-50…④，F-G=70…⑤，G-B=-40…⑥.①+②+③+…+⑥，

可得(A-C)+(C-D)+(D-E)+(E-F)+(F-G)+(G-B)=A-B=90+80+60-50+70-40=210.

∴观测点A相对观测点B的高度是210 m.故选A.

方法归纳：解答本题的关键是理解表格中数据的实际意义，然后转化为算式，本题也可以通过画线段图来求解.

易错误区：注意A-C 与C-A 表示的意义不同.

探究提升

例、观察下列等式4

131431,3121321,211211-=?-=?-=?，将以上三个等式两边分别相加得：

4

341141313121211431321211=-=-+-+-=?+?+?. (1)猜想并写出：

)

1(1

+n n = ；

(2)直接写出下列各式的计算结果： ①

201320121...431321211?++?+?+?= ； ②

431321211?+?+?+…+)

1(1

+?n n = ； (3)探究并计算：

2014

20121

...861641421?++?+?+?; (4)计算180

1

...40124112141+++++.

思路点拨：(1)观察可得分子为1，分母为两个相邻整数的分数可化为这两个整数的倒数之差，即

1

1

1)1(1+-

=+n n n n ；(2)根据此规律把各分数转化，再进行分数的加减运算；(3)先提出

4

1

，然后按照前面的运算方法计算即可；(4)根据)90

1...1216121(211801...40124112141++++=+++++计算即可. 解题过程：(1) 1

1

1+-n n

(2)①20132012 ②1+n n

(3)原式=2014

503

1007100641)100710061...321211(41=?=?++?+?.

(4)原式=.20

910921)1091...431321211(21)90

1...1216121(2190121...1212161212121=?=?++?+?+?=++++=?++?+?+?

方法归纳：本题考查了关于数字的变化规律：通过观察数字之间的变化规律，得到一般性的

结论，再利用此结论解决问题.

易错误区：(3)(4)要注意观察算式的特点，转化为第(2)题中的运算方法.

专项训练 拓展训练 A 组 略 B 组 略

走进重高

1.略

2.略

3.【武汉】-8的绝对值与它的相反数的差是( ). A.8 B.-8 C.0 D.16

4.略

5.【芜湖】请阅读一小段约翰斯特劳斯的作品，根据乐谱中的信息，确定最后一个音符的时值长应为( ). A.

81 B.21

C.41

D.4

3

(第5题)

(第6题)

6.【常德】如图，一个数表有7行7列，设a ij 表示第i 行第j 列上的数(其中i=1，2，3，…，j=1，2，3，…).

例如：第5行第3列上的数a 53=7，则： (1)(a 25-a 22)+(a 52-a 53)= ；

(2)此数表中的四个数a np ,a nk ,a mp ,a mk ，满足(a np -a nk )+(a mk -a mp )= .

高分夺冠

1.略

2.略

3.如图的号码是由14位数字组成的，把每一位数字写在下面的方格中，若任意相邻的三个

(第3题)

4.略

5.解答题：

(1)已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，x的绝对值为1，求a+b+x2-cdx的值；

(2)10箱苹果，如果每箱以30kg为准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，称重的记录如下：+2，+1，0，-1，-1.5，-2，+1，-1，-1，-0.5.这10箱苹果的总质量是多少千克？

(3)小亮用50元钱买了10支钢笔，准备以一定的价格出售，如果每支钢笔以6元的价格为标准，超过的记作正数，不足的记作负数，记录如下：0.5，0.7，-1，-1.5，0.8，1，-1.5，-2.1，9，0.9.

①这10支钢笔的最高售价和最低售价各是几元？

②当小亮卖完钢笔后是盈还是亏？

第四讲 有理数的乘除

思维导图

重难点分析 重点分析：

1.有理数乘法法则：

(1)两数相乘，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘； (2)任何数字同0相乘，都得0. 2.有理数乘法运算律:

(1)乘法交换律：a3b=b3a；

(2)乘法结合律：(a3b)3c=a3(b3c)； (3)对加法的分配律：a3(b+c)=a3b+a3c. 3.有理数除法法则：

(1)除以一个数等于乘以这个数的倒数.(注意：0没有倒数)； (2)两数相除，同号为正，异号为负，并把绝对值相除. 难点分析：

1.几个不等于0的数字相乘，积的符号由负因数的个数决定.当负因数的个数为奇数时，积为负；当负因数的个数为偶数时，积为正.

2.几个数相乘，有一个因数为0时，积为0.

3.乘积为1的两个有理数互为倒数.

例题精析

例1、下列计算中正确的是( ).

A.(-7)3(-6)=-42

B.(-3)3(+5)=15

C.(-2)30=0

D.264)2

1

7(4217

-=?+-=?- 思路点拨：根据有理数乘法法则进行计算.

参考答案：C

方法归纳：本题考查了有理数乘法法则：1.两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；2.任何数同零相乘，都得0. 易错误区：注意-21

7可以拆成-217-，而不是-2

17+，不要被混淆.

例2、对于有理数a ，b ，定义运算：“?”，a?b=a2b -a-b-2. (1)计算(-2)?3的值；

(2)填空：4?(-2) (-2)?4(填“＞”、“=”或“＜”)；

(3)我们知道：有理数的加法运算和乘法运算满足交换律.那么，由(2)计算的结果，你认为这种运算“?”是否满足交换律？请说明理由. 思路点拨：(1)将a=-2，b=3代入运算公式a?b=a2b -a-b-2，即可得到代数式(-2)?3的值； (2)运用运算公式分别计算出4?(-2)和(-2)?4的值即可比较大小；

(3)是否满足交换律关键是利用公式分别计算出a?b 和b?a 的结果，再利用乘法交换律和加法交换律看看是否相等.

解题过程：(1)(-2)?3=(-2)33-(-2)-3-2=-9. (2)4?(-2)=43(-2)-4-(-2)-2=-12； (-2)?4=(-2)34-(-2)-4-2=-12.故填=. (3)答：这种运算“?”满足交换律. 理由是：∵a?b=a2b -a-b-2，

又∵b?a=b2a -b-a-2=a2b -a-b-2， ∴a?b=b?a.

∴这种运算“?”满足交换律. 方法归纳：本题主要考查了用代入法求代数式的值，还考查了运用乘法交换律和加法交换律证明公式的性质.

易错误区：第(3)题中说明该运算满足交换律时不能用特殊值法，这样证明不全面.

例3、若a ，b 互为相反数，c ，d 互为倒数，m 的绝对值是2，求

m

b

a ++m-cd 的值. 思路点拨：由a ，

b 互为相反数，

c ，

d 互为倒数，m 的绝对值是2可以得到a+b=0，cd=1，m=±2，然后代入求解即可.

解题过程：∵a，b 互为相反数，c ，d 互为倒数，m 的绝对值是2， ∴a+b=0，cd=1，m=±2. ∴

m

b

a ++m-cd=±2-1.∴所求代数式的值为1或-3. 方法归纳：本题分别考查了相反数、绝对值、倒数的定义及代数式的求值，解题的关键是熟练掌握相关的定义及其性质.

易错误区：绝对值等于2的数是+2和-2，注意不要漏解.

例4、计算：

(1)3)45()27()53(÷-÷-?-； (2)-2.5÷)8

1

()165(-?-

÷(-4). 思路点拨：首先把除法统一化成乘法，再确定结果的符号，然后运用法则计算即可.

解题过程：(1)原式=25

143154275331)54()2

7()53

(-=???-=?-?-?-. (2)原式=4

1

418151625)41()81()516(25=???

=-?-?-?-. 方法归纳：掌握好运算法则，注意正负号即可.

易错误区：除法通常都转化为乘法再进行计算较为简便.

例5、简便计算：

(1)(-0.125)3(-0.05)383(-40)； (2))12

7

6595321(-+-

-3(-36). 思路点拨：(1)先确定符号，然后运用乘法的交换律以及结合律进行计算； (2)运用分配律进行计算较为简便.

解题过程：(1)原式=－0.12530.0538340=－0.1253830.05340 =－(0.12538)3(0.05340)=－132=－2. (2)原式=

213(-36)-33(-36)-953(-36)+653(-36)-12

73(-36)

=-18+108+20-30+21=101.

方法归纳：在运算中，要学会灵活运用乘法交换律、结合律、分配律使运算更加简便. 易错误区：在(2)中利用乘法分配律时要注意各数的符号.

例6、请阅读下列材料： 计算：)5

26110132()301(-+-÷-

. 解法一：原式=6

1

121513120152)301(61)301(101)301(32)301(=+-+-=÷--÷-+÷--÷-； 解法二：原式=10

13301)2165()301()]52101()6132[()301(-=?-=-÷-=+-+÷-

； 解法三：原式的倒数为;

10125320)30(52

)30(61)30(101)30(32)30()52

6110132()301()526110132(-=+-+-=-?--?+-?--?=-?-+-=-÷-+-

故原式=-10

1-

. 上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为解法 是错误的， 在正确的解法中，你认为解法 最简便. 然后请计算：)7

23214361()421(-+-÷-

. 思路点拨：根据有理数除法的运算法则可以判断出上述解法的对错；解法二先把括号内化简

再计算，可提高解题的效率.

解题过程：解法一是错误的，解法二最简便. 原式=14

13)421()2165()421()]72143()3261)[(421(-=?-=--÷-=+-+-

. 方法归纳：在计算时先对整式进行化简，有利于提高解题效率.

易错误区：在除法运算中，当除数是多个数时，不能应用分配律.

(人教版)七年级数学上册培优辅导讲义

最新人教版七年级数学上册培优辅导讲义 第1讲与有理数有关的概念 考点·方法·破译 1．了解负数的产生过程，能够用正、负数表示具有相反意义的量. 2．会进行有理的分类，体会并运用数学中的分类思想. 3．理解数轴、相反数、绝对值、倒数的意义．会用数轴比较两个有理数的大小，会求一个数的相反数、绝对值、倒数. 经典·考题·赏析 【例1】写出下列各语句的实际意义⑴向前－7米⑵收人－50元⑶体重增加－3千克【解法指导】用正、负数表示实际问题中具有相反意义的量．而相反意义的量应该包合两个要素：一是它们的意义相反．二是它们具有数量．而且必须是同类两，如“向前与自后、收入与支出、增加与减少等等” 解：⑴向前－7米表示向后7米⑵收入－50元表示支出50元⑶体重增加－3千克表示体重减小3千克. 【变式题组】 01．如果＋10%表示增加10%，那么减少8%可以记作（） A．－18% B．－8% C．＋2% D．＋8% 02．（金华）如果＋3吨表示运入仓库的大米吨数，那么运出5吨大米表示为( ) A．－5吨B．＋5吨C．－3吨D．＋3吨 03．（山西）北京与纽约的时差－13（负号表示同一时刻纽约时间比北京晚）.如现在是北京时间15：00，纽约时问是_ ___ 【例２】在－ 22 7 ，π，0，0.033 . 3这四个数中有理数的个数（ ) A． 1个B． 2个C． 3个D． 4个 【解法指导】有理数的分类：⑴按正负性分类，有理数0 ?? ? ? ? ?? ? ?? ?? ?? ? 正整数 正有理数 正分数 负整数 负有理数 负份数 ；

（2）按整数、分数分类，有理数 ?? ?? ? ? ?? ?? ? ? ?? ?? ? 正整数 整数0 负整数 正分数 分数 负分数 ；其中分数包括有限小数和无限循环小数，因为π＝3.1415926…是无限不循环小数，它不能写成分数的形式，所以π不是有理数， － 22 7是分数，0.033 . 3是无限循环小数可以化成分数形式，0是整数，所以都是有理数，故选C．【变式题组 】 01．在7，0，15，－ 1 2 ，－301，31.25，－ 1 8 ，100，1，－3 001中，负分数为，整数为，正整数 . 02．（河北秦皇岛）请把下列各数填入图中适当位置15，－ 1 9 ， 2 15 ，－ 13 8 ，0.1，－5.32，123, 2.333 【例３】（宁夏）有一列数为－1， 1 2 ，－ 1 3 ， 1 4 ，－ 1 5 ， 1 6 ，…，找规律到第2007个数是 .【解法指导】从一系列的数中发现规律，首先找出不变量和变量，再依变量去发现规律．归纳去猜想，然后进行验证.解本题会有这样的规律：⑴各数的分子部是1；⑵各数的分母依次为1，2，3，4，5，6，…⑶处于奇数位置的数是负数，处于偶数位置的数是正数，所以第2007个数的分子也是1．分母是2007，并且是一个负数，故答案为－ 1 2007 . 【变式题组】 01（湖北宜昌）数学解密：第一个数是3＝2 ＋1，第二个数是5＝3 ＋2，第三个数是9＝5＋4，第四个数是17＝9＋8…观察并猜想第六个数是 . 02．（毕节）毕达哥拉斯学派发明了一种“馨折形”填数法，如图则？填____. 03．（茂名）有一组数1，2，5，10，17，26…请观察规律，则第8个数为__ __ . 【例４】（2008年河北张家口）若1＋ m 2 的相反数是－3，则m的相反数是____. 【解法指导】理解相反数的代数意义和几何意义，代数意义只有符号不同的两个数叫互为相反数.几何意义：在数轴上原点的两旁且离原点的距离相等的两个点所表示的数叫互为相反

七年级数学上册全册复习课专题汇总

复习课一(2.1－2.4) 例1 计算： (1)(－34)－(－12)＋(＋34)＋(＋8.5)－13； (2)0－(－256)＋(－527)－(－21 6)－????－657. 反思：进行有理数的加减混合运算往往是把加减法统一成加法，再利用加法的运算律进行简化计算．灵活地运用加法的交换律和结合律是简化的关键，往往把互为相反数的先加，同分母的先加，同号的先加． 例2 计算： (1)(－3)÷????－134×0.75×73 ÷3； (2)(114－56＋1 2 )×(－12)； (3)(－24)÷??? ?－14＋18－12. 反思：进行有理数乘除混合运算时往往是把乘除统一成乘法，再利用乘法交换律和结合律进行简化运算，在计算过程中还应注意结果的符号不要搞错．分配律的逆向使用有一定的难度，关键是找准相同的因数才能准确地计算． 例3 开学时，某校对七年级(1)班的男生进行了单杠引体向上的测验，以能做7次为达标标准，超过的次数用正数表示，不足的次数用负数表示，第一小组8名男生的成绩如下表：

(1)第一小组的达标率是多少？ (2)平均每人做了多少个引体向上？ 反思：用有理数的混合运算解决实际问题时，要分析清楚题意，选择正确的运算．运算过程中能用运算律的要使用运算律来简化计算． 1．计算：(－1)÷(－5)×(－1 5 )的结果是( ) A ．－1 B ．1 C ．－1 25 D ．－25 2．据探测，月球表面白天阳光垂直照射的地方温度高达127℃，而夜晚温度可降低到零下183℃.根据以上数据推算，在月球上昼夜温差有( ) A ．56℃ B ．－56℃ C ．310℃ D ．－310℃ 3．下列计算：①0－(－5)＝－5；②(－3)＋(－9)＝－12；③23×(－94)＝－3 2；④(－36)÷(－ 9)＝－4.其中正确的个数是( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 4．(凉山州中考)若x 是2的相反数，|y|＝3，则x －y 的值是( ) A ．－5 B ．1 C ．－1或5 D ．1或－5 5．数轴上的点A 和点B 所表示的数互为相反数，且点A 对应的数是－2，P 是到点A 或点B 距离为3的数轴上的点，则所有满足条件的点P 所表示的数的和为( ) A ．0 B ．6 C ．10 D ．16 6．(1)(____________)÷4＝－31 2 ； (2)比6的相反数小4的数是____________； (3)如果一个数除以它的倒数，商是1，那么这个数是____________． 7．(1)若a ，b 互为相反数，c ，d 互为倒数，且|c|＝1，则a ＋b c ＋c 2 －cd ＝____________，

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最新(人教版)七年级数学上册培优辅导讲义 第1讲与有理数有关的概念 考点·方法·破译 1．了解负数的产生过程，能够用正、负数表示具有相反意义的量. 2．会进行有理的分类，体会并运用数学中的分类思想. 3．理解数轴、相反数、绝对值、倒数的意义．会用数轴比较两个有理数的大小，会求一个数的相反数、绝对值、倒数. 经典·考题·赏析 【例1】写出下列各语句的实际意义⑴向前－7米⑵收人－50元⑶体重增加－3千克 【解法指导】用正、负数表示实际问题中具有相反意义的量．而相反意义的量应该包合两个要素：一是它们的意义相反．二是它们具有数量．而且必须是同类两，如“向前与自后、收入与支出、增加与减少等等”解：⑴向前－7米表示向后7米⑵收入－50元表示支出50元⑶体重增加－3千克表示体重减小3千克. 【变式题组】 01．如果＋10%表示增加10%，那么减少8%可以记作（） A．－18% B．－8% C．＋2% D．＋8% 02．（金华）如果＋3吨表示运入仓库的大米吨数，那么运出5吨大米表示为( ) A．－5吨B．＋5吨C．－3吨D．＋3吨 03．（山西）北京与纽约的时差－13（负号表示同一时刻纽约时间比北京晚）.如现在是北京时间15：00，纽约时问是_ ___ 【例２】在－错误!，π，0，0.033 . 3这四个数中有理数的个数（ ) A． 1个B． 2个C． 3个D． 4个 【解法指导】有理数的分类：⑴按正负性分类，有理数 ?? ? ? ? ?? ? ?? ?? ?? ? 正整数正有理数 正分数 负整数 负有理数 负份数 ； （2）按整数、分数分类，有理数?? ?? ? ? ?? ?? ? ? ?? ?? ? 正整数 整数0 负整数 正分数 分数 负分数 ；其中分数包括有限小数和无限循环小数，因为π＝ 3.1415926…是无限不循环小数，它不能写成分数的形式，所以π不是有理数，－错误!是分数，0.033 . 3是 无限循环小数可以化成分数形式，0是整数，所以都是有理数，故选C．【变式题组】 01．在7，0，15，－错误!，－301，31.25，－错误!，100，1，－3 001 中，负分数为，整数 为，正整数 . 02．（河北秦皇岛）请把下列各数填入图中适当位置15，－错误!，错误!，－错误!，0.1，－5.32，123， 2.333 【例３】（宁夏）有一列数为－1，错误!，－错误!，错误!，－错误!，错误!，…，找规律到第2007个数是 .【解法指导】从一系列的数中发现规律，首先找出不变量和变量，再依变量去发现规律．归纳去猜想，然后进行验证.解本题会有这样的规律：⑴各数的分子部是1；⑵各数的分母依次为1，2，3，4，5，6，…⑶处于奇数位置的数是负数，处于偶数位置的数是正数，所以第2007个数的分子也是1．分母是

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七年级数学上册经典练习题 七年级有理数 一、境空题 1、31-的倒数是____；3 21的相反数是____. 2、比–3小9的数是____；最小的正整数是____. 3、在数轴上，点A 所表示的数为2，那么到点A 的距离等于3个单位长度的点所表示的数是____. 4、两个有理数的和为5，其中一个加数是–7，那么另一个加数是____. 5、某旅游景点11月5日的最低气温为 2-，最高气温为8℃，那么该景点这天的温差是____. C 6、计算：.______)1()1(101100=-+- 7、平方得4 12的数是____；立方得–64的数是____. 8、+2与2-是一对相反数，请赋予它实际的意义：___________________。 9、绝对值大于1而小于4的整数有____________，其和为_________。 10、若a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，则 3 (a + b) 3-cd =__________。 11、若0|2|)1(2=++-b a ，则b a +=_________。 12、数轴上表示数5-和表示14-的两点之间的距离是__________。 13、在数5-、 1、 3-、 5、 2-中任取三个数相乘，其中最大的积是___________，最小的积是____________。 14、若m ，n 互为相反数，则│m-1+n │=_________． 二、选择题（每小题3分，共21分） 15、有理数a 、b 在数轴上的对应的位置如图所示： 则（ ） 0-11a b A ．a + b ＜0 B ．a + b ＞0; C ．a －b = 0 D ．a －b ＞0 16、下列各式中正确的是（ ） A ．22)(a a -= B ．33)(a a -=; C ．|| 22a a -=- D ．|| 33a a = 17、如果0a b +>，且0ab <，那么（ ） Ａ．0,0a b >> ;Ｂ．0,0a b << ;Ｃ．a 、b 异号;D. a 、b 异号且负数和绝对值较小 18、下列代数式中，值一定是正数的是( ) A ．x 2 B.|－x+1| C.(－x)2+2 D.－x 2+1 19、算式（-34 3）×4可以化为（） （A ）-3×4-43×4 （B ）-3×4+3 （C ）-3×4+4 3×4 （D ）-3×3-3 20、小明近期几次数学测试成绩如下：第一次85分，第二次比第一次高8分，第三次比第二次低12分，第四次又比第三次高10分．那么小明第四次测验的成绩是…………（） A 、90分 B 、75分 C 、91分 D 、81分 21、一家商店一月份把某种商品按进货价提高60％出售，到三月份再声称以8折（80％）大拍卖，那么该商品三月份的价格比进货价………………………………………（）

人教版七年级数学上册知识点大全

人教版七年级数学上册知识点大全 1. 有理数： (1)凡能写成p q (p ，q 为整数且p ≠0)形式的数，都是有理数，整数和分数统称有理数. 注意：0即不是正数，也不是负数；-a 不一定是负数，+a 也不一定是正数；π不是有理数； (3)注意：有理数中，1、0、-1是三个特殊的数，它们有自己的特性；这三个数把数轴上的数分成四个区域，这四个区域的数也有自己的特性； (4)自然数 0和正整数； a ＞0 a 是正数； a ＜0 a 是负数； a ≥0 a 是正数或0 a 是非负数； a ≤ 0 a 是负数或0 a 是非正数. 2．数轴：数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线. 3．相反数： (1)只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数；0的相反数还是0； (2)注意： a-b+c 的相反数是-a+b-c ；a-b 的相反数是b-a ；a+b 的相反数是-a-b ； (3)相反数的和为0 a+b=0 a 、b 互为相反数. (4)相反数的商为-1. （5）相反数的绝对值相等 4.绝对值： (1)正数的绝对值等于它本身，0的绝对值是0，负数的绝对值等于它的相反数； 注意：绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离； (4) |a|是重要的非负数，即|a|≥0； 5.有理数比大小： （1）正数永远比0大，负数永远比0小；（2）正数大于一切负数； （3）两个负数比较，绝对值大的反而小；（4）数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大； （5）-1，-2，+1，+4，-0.5，以上数据表示与标准质量的差， 绝对值越小，越接近标准。 6.倒数： 乘积为1的两个数互为倒数； 注意：0没有倒数； 若ab=1 a 、b 互为倒数； 若ab=-1推断出 a 、b 互为负倒数. 等于本身的数汇总： 相反数等于本身的数：0 倒数等于本身的数：1，-1 绝对值等于本身的数：正数和0 平方等于本身的数：0,1 立方等于本身的数：0,1，-1. 7. 有理数加法法则： （1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； （2）异号两数相加，取绝对值较大加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；

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初一数学科总复习 第一章有理数 一、知识要点 本章的主要内容可以概括为有理数的概念与有理数的运算两部分。有理数的概念可以利用数轴来认识、理解，同时，利用数轴又可以把这些概念串在一起。有理数的运算是全章的重点。在具体运算时，要注意四个方面，一是运算法则，二是运算律，三是运算顺序，四是近似计算。 基础知识： 1、正数（position number）：大于0的数叫做正数。 2、负数（negation number）：在正数前面加上负号“-”的数叫做负数。 3、0既不是正数也不是负数。 4、有理数（rational number）：正整数、负整数、0、正分数、负分数都可以写成分数 的形式，这样的数称为有理数。 5、数轴（number axis）：通常，用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴。 数轴满足以下要求： （1）在直线上任取一个点表示数0，这个点叫做原点（origin）； （2）通常规定直线上从原点向右（或上）为正方向，从原点向左（或下）为负方向； （3）选取适当的长度为单位长度。 6、相反数（opposite number）：绝对值相等，只有负号不同的两个数叫做互为相反数。 7、绝对值（absolute value）一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a 的绝对值。记做|a|。 由绝对值的定义可得：|a-b|表示数轴上a点到b点的距离。 一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. 正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小。 8、有理数加法法则 （1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。 （2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两个数相加得0. （3）一个数同0相加，仍得这个数。 加法交换律：有理数的加法中，两个数相加，交换加数的位置，和不变。表达式：a+b=b+a。 加法结合律：有理数的加法中，三个数相加，先把前两个数相加或者先把后两个数相加，和不变。 表达式：（a+b）+c=a+（b+c）

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人教版七年级数学上册能力提高经典精品练习题 七年级有理数 一、境空题（每空2分，共38分） 1、31-的倒数是____；3 2 1的相反数是____. 2、比–3小9的数是____；最小的正整数是____. 3、在数轴上，点A 所表示的数为2，那么到点A 的距离等于3个单位长度的点所表示的数是 4、两个有理数的和为5，其中一个加数是–7，那么另一个加数是____. 5、某旅游景点11月5日的最低气温为ο2-，最高气温为8℃，那么该景点这天的温差是____.οC 6、计算：.______)1()1(101100=-+- 7、平方得4 1 2的数是____；立方得–64的数是____. 8、+2与2-是一对相反数，请赋予它实际的意义：___________________。 9、绝对值大于1而小于4的整数有____________，其和为_________。 10、若a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，则 3 (a + b) 3-cd =__________。 11、若0|2|)1(2=++-b a ，则b a +=_________。 12、数轴上表示数5-和表示14-的两点之间的距离是__________。 13、在数5-、 1、 3-、 5、 2-中任取三个数相乘，其中最大的积是___________，最小的积是____________。 14、若m ，n 互为相反数，则│m-1+n │=_________． 二、选择题（每小题3分，共21分） 15、有理数a 、b 在数轴上的对应的位置如图所示： 则（ ） -1 1 a b A ．a + b ＜0 B ．a + b ＞0; C ．a －b = 0 D ．a －b ＞0 16、下列各式中正确的是（ ） A ．22)(a a -= B ．33)(a a -=; C ．|| 22a a -=- D ．|| 33a a = 17、如果0a b +>，且0ab <，那么（ ） Ａ．0,0a b >> ;Ｂ．0,0a b << ;Ｃ．a 、b 异号;D. a 、b 异号且负数和绝对值较小 18、下列代数式中，值一定是正数的是( ) A ．x 2 B.|－x+1| C.(－x)2+2 D.－x 2+1 19、算式（-343 ）×4可以化为（） （A ）-3×4-43×4 （B ）-3×4+3 （C ）-3×4+4 3 ×4 （D ）-3×3-3 20、小明近期几次数学测试成绩如下：第一次85分，第二次比第一次高8分，第三次比第二次低12分，第四次又比第三次高10分．那么小明第四次测验的成绩是…………（） A 、90分 B 、75分 C 、91分 D 、81分

人教版七年级数学上册辅导讲义解析

最新人教版 七年级数学上册培优辅导讲义 第1讲 与有理数有关的概念 考点·方法·破译 1．了解负数的产生过程，能够用正、负数表示具有相反意义的量. 2．会进行有理的分类，体会并运用数学中的分类思想. 3．理解数轴、相反数、绝对值、倒数的意义．会用数轴比较两个有理数的大小，会求一个数的相反数、绝对值、倒数. 经典·考题·赏析 【例1】写出下列各语句的实际意义⑴向前－7米 ⑵收人－50元 ⑶体重增加－3千克 【解法指导】用正、负数表示实际问题中具有相反意义的量．而相反意义的量应该包合两个要素：一是它们的意义相反．二是它们具有数量．而且必须是同类两，如“向前与自后、收入与支出、增加与减少等等” 解：⑴向前－7米表示向后7米⑵收入－50元表示支出50元⑶体重增加－3千克表示体重减小3千克. 【变式题组】 01．如果＋10%表示增加10%，那么减少8%可以记作（ ） A ． －18% B ． －8% C ． ＋2% D ． ＋8% 02．（金华）如果＋3吨表示运入仓库的大米吨数，那么运出5吨大米表示为( ) A ． －5吨 B ． ＋5吨 C ． －3吨 D ． ＋3吨 03．（山西）北京与纽约的时差－13（负号表示同一时刻纽约时间比北京晚）.如现在是北京 时间15：00，纽约时问是_ ___ 【例２】在－227 ，π，0，0.033.3这四个数中有理数的个数（ ) A ． 1个 B ． 2个 C ． 3个 D ． 4个 【解法指导】有理数的分类：⑴按正负性分类，有理数0??????????????? 正整数正有理数正分数负整数负有理数负份数； （2）按整数、分数分类，有理数????????????????? 正整数整数0负整数正分数分数负分数；其中分数包括有限小数和无限循环小数，因为π＝3.1415926…是无限不循环小数，它不能写成分数的形式，所以π不是有理数，－227 是分数，0.033. 3是无限循环小数可以化成分数形式，0是整数，所以都是有理数，故选C ．

人教版七年级数学上册经典总复习练习题【附答案】

人教版七年级数学上册经典练习题 七年级有理数 一、境空题（每空2分，共38分） 1、31-的倒数是____；3 21的相反数是____. 2、比–3小9的数是____；最小的正整数是____. 3、在数轴上，点A 所表示的数为2，那么到点A 的距离等于3个单位长度的点所表示的数是 4、两个有理数的和为5，其中一个加数是–7，那么另一个加数是____. 5、某旅游景点11月5日的最低气温为 2-，最高气温为8℃，那么该景点这天的温差是____. C 6、计算：.______)1()1(101100=-+- 7、平方得4 12的数是____；立方得–64的数是____. 8、+2与2-是一对相反数，请赋予它实际的意义：___________________。 9、绝对值大于1而小于4的整数有____________，其和为_________。 10、若a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，则 3 (a + b) 3-cd =__________。 11、若0|2|)1(2=++-b a ，则b a +=_________。 12、数轴上表示数5-和表示14-的两点之间的距离是__________。 13、在数5-、 1、 3-、 5、 2-中任取三个数相乘，其中最大的积是___________，最小的积是____________。 14、若m ，n 互为相反数，则│m-1+n │=_________． 二、选择题（每小题3分，共21分） 15、有理数a 、b 在数轴上的对应的位置如图所示： 则（ ） 0-11a b A ．a + b ＜0 B ．a + b ＞0; C ．a －b = 0 D ．a －b ＞0 16、下列各式中正确的是（ ） A ．22)(a a -= B ．33)(a a -=; C ．|| 22a a -=- D ．|| 33a a = 17、如果0a b +>，且0ab <，那么（ ） Ａ．0,0a b >> ;Ｂ．0,0a b << ;Ｃ．a 、b 异号;D. a 、b 异号且负数和绝对值较小 18、下列代数式中，值一定是正数的是( ) A ．x 2 B.|－x+1| C.(－x)2+2 D.－x 2+1 19、算式（-34 3）×4可以化为（） （A ）-3×4-43×4 （B ）-3×4+3 （C ）-3×4+4 3×4 （D ）-3×3-3 20、小明近期几次数学测试成绩如下：第一次85分，第二次比第一次高8分，第三次比第二次低12分，第四次又比第三次高10分．那么小明第四次测验的成绩是…………（） A 、90分 B 、75分 C 、91分 D 、81分

初一数学上册分类专题复习题

金牌教育一对一个性化辅导教案 目录 1.方向问题...................................................................................................................... 2.销售折扣...................................................................................................................... 4.一元一次方程概念...................................................................................................... 5.两方程同解.................................................................................................................. 6.相反数、倒数.............................................................................................................. 7.两点之间直线最短...................................................................................................... 8.方案选择...................................................................................................................... 9.收水费.......................................................................................................................... 3.路程问题...................................................................................................................... 10.代数式概念 ............................................................................................................... 11.整体带入求值 ........................................................................................................... 12.同类项 ....................................................................................................................... 13.未知数系数为0........................................................................................................ 14.非负+非负=0............................................................................................................

七年级(上册)数学压轴题汇编经典和答案解析

个性化教学辅导教案 学科数学学生 姓名 年级七年级 任课 老师 授课 时间 2013 年11月9 日 教学目标教学内容：期中复习 考点：有理数、有理数的运算、实数、代数式能力： 方法： 课堂教学过程课前 检查 作业完成情况：优□良□中□差□ 建议: 过程 一、选择题 1、2008 2008) 5 . ( ) 2 (- ? -= 2、已知：+ +2)2 (a│5-b│=0，则= -b a 3、小明在求一个多项式减去x2—3x+5时，误认为加上x2—3x+5，得到的答案是5x2 —2x+4，则正确的答案是_______________ 4、如果x＋y=5，则3－x－y= ；如果x－y=4 3 ，则8y－8x= 5、观察下列单项式：x,-3x2,5x3,-7x4,9x5,…按此规律，可以得到第2013个单项式 是______.第n个单项式是________ 6、a,b,c在数轴上表示的点如图所示,则化简|b|+|a+b|-|a-c|=_____________ 7、计算()() 20082009 11 -+-的结果是__________ 8、一个三位数的个位数字是a，十位数字是b，百位数字是c，则这个三位数是__________ 9、2008年5月5日，奥运火炬手携带着象征“和平、友谊、进步”的奥运 圣火火种，离开海拔5200米的“珠峰大本营”，向山顶攀登．他们在海拔每上升100米，气温就下降0.6℃的低温和缺氧的情况下，于5月8日9时17分，成功登上海拔8844.43米的地球最高点．而此时“珠峰大本营” 的温度为-4℃，峰顶的温度为（结果保留整数） c o b a

10、多项式 22 3(2)1m x y m x y ++-是四次三项式，则m 的值为 11、如图所示的运算程序中，若开始输入的x 值为48，我们发现第一次输出的结果为24，第二次输出的结果为12，…，则第2010次输出的结果为 12、数学学科中有许多奇妙而有趣的现象，很多秘密等待我们去探索，比如，对于每一个大于100的3的倍数，求这个数每一个数位的数字的立方和，将所得的和重复上述操作，这样一直继续下去，结果最终得到一个固定不变的数R ，它会掉入一个数字“陷阱”，那么最终掉入“陷阱”的这个固定不变的数R=____________ 13、 两个同样大小的正方体积木，每个正方体上相对两个面上写的数字之和都等于3，现将两个这样的正方体重叠放置（如图），且看得见的五个面上的数如图所示，问看不见的七个面上所写的数之和是 二、选择题 1、下列说法不正确的有 ( ) ①1是绝对值最小的数 ②3a －2的相反数是－3a+2 ③25R π的系数是5 ④一个有理数不是整数就是分数 ⑤343x 是7次单项式 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2、当2=x 时, 整式13 ++qx px 的值等于2002，那么当 2-=x 时,整式 13++qx px 的值为（ ） A 、2001 B 、-2001 C 、2000 D 、-2000 3、已知有理数x 的近似值是5.4，则x 的取值范围是（ ） A. 5.35

七年级数学上册上册数学压轴题专题练习(word版

七年级数学上册上册数学压轴题专题练习（word 版 一、压轴题 1．在3×3的方格中，每行、每列及对角线上的3个代数式的和都相等，我们把这样的方格图叫做“等和格”。如图的“等和格”中，每行、每列及对角线上的3个代数式的和都等于15. （1）图1是显示部分代数式的“等和格”，可得a=_______（含b 的代数式表示）； （2）图2是显示部分代数式的“等和格”，可得a=__________,b=__________; （3）图3是显示部分代数式的“等和格”，求b 的值。（写出具体求解过程） 2．如图，点A 、B 是数轴上的两个点，它们分别表示的数是2-和1． 点A 与点B 之间的距离表示为AB ． （1）AB= ． （2）点P 是数轴上A 点右侧的一个动点，它表示的数是x ，满足217x x ++-=，求x 的值． （3）点C 为6． 若点A 以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B 和点C 分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动．请问：BC AB -的值是否随着运动时间t （秒）的变化而改变？ 若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 3．已知线段AB ＝m （m 为常数），点C 为直线AB 上一点，点P 、Q 分别在线段BC 、AC 上，且满足CQ ＝2AQ ，CP ＝2BP ． （1）如图，若AB ＝6，当点C 恰好在线段AB 中点时，则PQ ＝ ； （2）若点C 为直线AB 上任一点，则PQ 长度是否为常数？若是，请求出这个常数；若不是，请说明理由； （3）若点C 在点A 左侧，同时点P 在线段AB 上（不与端点重合），请判断2AP+CQ ﹣2PQ

新人教版七年级数学上册重要知识点汇总

七年级数学上册重要知识点汇总 第一章有理数 1.有理数： (1)凡能写成 )0p q ,p (p q ≠为整数且形式的数，都是有理数，整数和分数统称有理数. 注意：0即不是正数，也不是负数；-a 不一定是负数，+a 也不一定是正数；π不是有理数； (2)有理数的分类: ① ??? ? ????? ????负分数负整数负有理数零正分数 正整数 正有理数有理数 ② ???????????????负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数 (3)注意：有理数中，1、0、-1是三个特殊的数，它们有自己的特性；这三个数把数轴上的数分成四个区域，这四个区域的数也有自己的特性； (4)自然数? 0和正整数； a ＞0 ? a 是正数； a ＜0 ? a 是负数； a ≥0 ? a 是正数或0 ? a 是非负数； a ≤ 0 ? a 是负数或0 ? a 是非正数. 2．数轴：数轴是规定了原点、正方向、单位长度（数轴的三要素）的一条直线. 3．相反数：(1)只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数；0的相反数还是0； (2)注意： a-b+c 的相反数是-(a-b+c)= -a+b-c ；a-b 的相反数是b-a ；a+b 的相反数是-a-b ； (3)相反数的和为0 ? a+b=0 ? a 、b 互为相反数. (4)相反数的商为-1. （5）相反数的绝对值相等 4.绝对值： (1)正数的绝对值等于它本身，0的绝对值是0，负数的绝对值等于它的相反数； 注意：绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离； (2) 绝对值可表示为：??? ??<-=>=) 0a (a )0a (0)0a (a a 或 ???≤-≥=)0()0(a a a a a ； (3) 0a 1a a >?= ； 0a 1a a

初一数学上册分类专题复习题

初一数学上册分类专题复习题 目录 1.方向问题 (2) 2.销售折扣 (2) 4.一元一次方程概念 (4) 5.两方程同解 (5) 6.相反数、倒数 (4) 7.两点之间直线最短 (5) 8.方案选择 (7) 9.收水费 (10) 3.路程问题 (12) 10.代数式概念 (10) 11.整体带入求值 (10) 12.同类项 (15) 13.未知数系数为0 (15) 14.非负+非负=0 (11) 15.从三个方向看图形 (17) ( 确定符号 (17) 16.0、1 的特殊性，可以用n)1 17.正负方位 (18) 18.产量股票问题 (19) 19.找规律 (21) 20.图形折叠 (23) 21.钟表问题 (23)

22.解方程 (23) 欧拉公式：顶点数V+面数F-棱数E =2 1.方向问题 1.学校、电影院、公园在平面图上的标点分别是A 、B 、C ，电影院在学校的正东方向，公园在学校的南偏西25°方向，那么平面图上的∠CAB 等于( ) A ．115° B ．155° C ．25° D ．65° 2.如下图所示，关于图中四条射线的方向说法错误的是 A ．OA 的方向是北偏东35° B ．OB 的方向是北偏西15° C ．OC 的方向是南偏西25° D ．OD 的方向是东南方向 2.销售折扣 1.某品牌西装进价为800元，售价为1200元，后由于该西装滞销积压，商家准备打折出售，若保持5％的利润率，则应打 A ．6折 B ．7折 C ．8折 D ．9折 2.某件商品连续两次9折销售，降价后每件商品售价为a 元，则该商品每件原价为（ ） A.0.92a 元 B.1.12a 元 C.1.12a 元

人教版初一数学上册教案全册

人教版初一数学上册教案 全册 This model paper was revised by the Standardization Office on December 10, 2020

.1正数和负数教学目的： （一）知识点目标： 1.了解正数和负数是怎样产生的。 2.知道什么是正数和负数。 3.理解数0表示的量的意义。 （二）能力训练目标： 1.体会数学符号与对应的思想，用正、负数表示具有相反意义的量的符号化方法。 2.会用正、负数表示具有相反意义的量。 （三）情感与价值观要求： 通过师生合作，联系实际，激发学生学好数学的热情。 教学重点：知道什么是正数和负数，理解数0表示的量的意义。 教学难点：理解负数，数0表示的量的意义。 教学方法：师生互动与教师讲解相结合。 教具准备：地图册（中国地形图）。 教学过程：

引入新课： 1.活动：由两组各派两名同学进行如下活动：一名按老师的指令表演，另一名在黑板上速记，看哪一组记得最快、最好 内容：老师说出指令： 向前两步，向后两步； 向前一步，向后三步； 向前两步，向后一步； 向前四步，向后两步。 如果学生不能引入符号表示，教师可和一个小组合作，用符号表示出＋2、－2、＋1、－ 3、＋2、－1、＋ 4、－2等。 [师]其实，在我们的生活中，运用这样的符号的地方很多，这节课，我们就来学习这种带有特殊符号、表示具有实际意义的数-----正数和负数。 讲授新课： 1.自然数的产生、分数的产生。 2.章头图。问题见教材。让学生思考－3~3℃、净胜球数与排名顺序、±、-9的意义。 3、正数、负数的定义：我们把以前学过的0以外的数叫做正数，在这些数的前面带有“一”时叫做负数。根据需要有时在正数前面也加上“十”（正号）表示正数。 举例说明：3、2、、3 1等是正数（也可加上“十”）

七年级数学上册全册单元试卷专题练习(解析版)

七年级数学上册全册单元试卷专题练习（解析版） 一、初一数学上学期期末试卷解答题压轴题精选（难） 1．如图1，已知∠AOB=140°，∠AOC=30°，OE是∠AOB内部的一条射线，且OF平分∠AOE． （1）若∠EOB=30°，则∠COF=________； （2）若∠COF=20°，则∠EOB=________； （3）若∠COF=n°，则∠EOB=________（用含n的式子表示）． （4）当射线OE绕点O逆时针旋转到如图2的位置时，请把图补充完整；此时，∠COF与∠EOB有怎样的数量关系？请说明理由． 【答案】（1）20° （2）40° （3）80°-2n° （4）如图所示：∠EOB=80°+2∠COF． 证明：设∠COF=n°，则∠AOF=∠AOC-∠COF=30°-n°， 又∵OF平分∠AOE， ∴∠AOE=2∠AOF=60°-2n°． ∴∠EOB=∠AOB-∠AOE=140°-（60°-2n°）=（80+2n）° 即∠EOB=80°+2∠COF． 【解析】【解答】（1）∵∠AOB=140°，∠EOB=30°， ∴∠AOE=∠AOB-∠EOB=140°-30°=110°， ∵OF平分∠AOE， ∴∠AOF= ∠AOE= ×110°=55°， ∴∠COF=∠AOF-∠AOC， =55°-30°，

=25°； 故答案为：25°； （2）∵∠AOC=30°，∠COF=20°， ∴∠AOF=∠AOC+∠COF=30°+20°=50°， ∵OF平分∠AOE， ∴∠AOE=2∠AOF=2×50°=100°， ∴∠EOB=∠AOB-∠AOE=140°-100°=40°； 故答案为：40°； （3）∵∠AOC=30°，∠COF=n°， ∴∠AOF=∠AOC+∠COF=30°+n°， ∵OF平分∠AOE， ∴∠AOE=2∠AOF=2（30°+n°）=60°+2n°， ∴∠EOB=∠AOB-∠AOE=140°-（60°+2n°）=80°-2n°； 故答案为：80°-2n°； 【分析】（1）根据∠AOE=∠AOB-∠EOB先求出∠AOE，再根据角平分线的定义求出∠AOF，最后根据∠COF=∠AOF-∠AOC解答即可； （2）根据∠AOF=∠AOC+∠COF先求出∠AOF，再根据角平分线的定义求出∠AOE，最后根据∠EOB=∠AOB-∠AOE解答即可； （3）与（2）的思路相同求解即可； （4）设∠COF=n°，先表示出∠AOF，再根据角平分线的定义求出∠AOE，最后根据∠EOB=∠AOB-∠AOE解答即可． 2．如图1，已知∠AOB＝120°，∠COD＝60°，OM在∠AOC内，ON在∠BOD内，∠AOM＝ ∠AOC，∠BON＝∠BOD． （1）∠COD从图1中的位置绕点O逆时针旋转到OC与OB重合时，如图2，∠MON＝________°； （2）∠COD从图2中的位置绕点O逆时针旋转n°（0＜n＜120且n≠60），求∠MON的度数； （3）∠COD从图2中的位置绕点O顺时针旋转n°（0＜n＜120），则n＝________时，∠MON＝2∠BOC．

最新人教版七年级数学上册知识点归纳总结

人教版初一数学上册知识点归纳总结 第一章有理数 1.有理数： (1)凡能写成)0p q ,p (p q ≠为整数且形式的数，都是有理数，整数和分数统称有理数. 注意：0即不是正数，也不是负数；-a 不一定是负数，+a 也不一定是正数；π不是有理数； (2)有理数的分类: ① ??? ??????????负分数负整数负有理数零正分数正整数正有理数有理数 ② ???????????????负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数 (3)注意：有理数中，1、0、-1是三个特殊的数，它们有自己的特性；这三个数把数轴上的数分成四个区域，这四个区域的数也有自己的特性； (4)自然数? 0和正整数； a ＞0 ? a 是正数； a ＜0 ? a 是负数； a ≥0 ? a 是正数或0 ? a 是非负数； a ≤ 0 ? a 是负数或0 ? a 是非正数. 2．数轴：数轴是规定了原点、正方向、单位长度（数轴的三要素）的一条直线. 3．相反数：(1)只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数；0的相反数还是0； (2)注意： a-b+c 的相反数是-(a-b+c)= -a+b-c ；a-b 的相反数是b-a ；a+b 的相反数是-a-b ； (3)相反数的和为0 ? a+b=0 ? a 、b 互为相反数. (4)相反数的商为-1. （5）相反数的绝对值相等 4.绝对值： (1)正数的绝对值等于它本身，0的绝对值是0，负数的绝对值等于它的相反数； 注意：绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离； (2) 绝对值可表示为：?????<-=>=) 0a (a )0a (0)0a (a a 或 ???≤-≥=)0()0(a a a a a ； (3) 0a 1a a >?= ； 0a 1a a