初一数学培优汇总(精华)
第一讲 数系扩张--有理数(一)
一、【问题引入与归纳】
1、正负数,数轴,相反数,有理数等概念。
2、有理数得两种分类:
3、有理数得本质定义,能表成
m
n
(0,,n m n ≠互质)。 4、性质:① 顺序性(可比较大小);
② 四则运算得封闭性(0不作除数);
③ 稠密性:任意两个有理数间都存在无数个有理数。
5、绝对值得意义与性质:
① (0)
||(0)
a a a a a ≥?=?-≤? ② 非负性 2(||0,0)a a ≥≥
③ 非负数得性质: i)非负数得与仍为非负数。
ii)几个非负数得与为0,则她们都为0。
二、【典型例题解析】:
1、若||||||
0,a b ab ab a b ab
+-
则得值等于多少？ 2. 如果m 就是大于1得有理数,那么m 一定小于它得( ) A 、相反数 B 、倒数 C 、绝对值 D 、平方
3、已知两数a 、b 互为相反数,c 、d 互为倒数,x 得绝对值就是2,求
220062007()()()x a b cd x a b cd -+++++-得值。
4、如果在数轴上表示a 、b 两上实数点得位置,如下图所示,那么||||a b a b -++化简得结果等于( A 、2a B 、2a - C 、0 D 、2b
5、已知2(3)|2|0a b -+-=,求b a 得值就是( ) A 、2 B.3 C 、9 D 、6
6、 有3个有理数a,b,c,两两不等,那么
,,a b b c c a
b c c a a b
------中有几个负数？ 7、 设三个互不相等得有理数,既可表示为1,,a b a +得形式式,又可表示为
0,b
a
,b 得形式,求20062007a b +。
8、 三个有理数,,a b c 得积为负数,与为正数,且
||||||||||||a b c ab bc ac X a b c ab bc ac
=
+++++则321ax bx cx +++得值就是多少？ 9、若,,a b c 为整数,且20072007||||1a b c a -+-=,试求||||||c a a b b c -+-+-得值。 三、课堂备用练习题。
1、计算:1+2-3-4+5+6-7-8+…+2005+2006
2、计算:1×2+2×3+3×4+…+n(n+1)
3、计算:59173365129
132********
+++++-
4、已知,a b 为非负整数,且满足||1a b ab -+=,求,a b 得所有可能值。
5、若三个有理数,,a b c 满足
||||||1a b c a b c ++=,求
||
abc abc
得值。 第二讲 数系扩张--有理数(二)
一、【能力训练点】:
1、绝对值得几何意义
① |||0|a a =-表示数a 对应得点到原点得距离。 ② ||a b -表示数a 、b 对应得两点间得距离。 2、利用绝对值得代数、几何意义化简绝对值。
二、【典型例题解析】:
1、 (1)若20a -≤≤,化简|2||2|a a ++-
(2)若0x
,化简
|||2|
|3|||
x x x x ---
2、设0a
,且||
a
x a ≤
,试化简|1||2|x x +-- 3、a 、b 就是有理数,下列各式对吗？若不对,应附加什么条件？
(1)||||||;a b a b +=+ (2)||||||;ab a b = (3)||||;a b b a -=- (4)若||a b =则a b =
(5)若||||a b ,则a b (6)若a b ,则||||a b
4、若|5||2|7x x ++-=,求x 得取值范围。
5、不相等得有理数,,a b c 在数轴上得对应点分别为A 、B 、C,如果
||||||a b b c a c -+-=-,那么B 点在A 、C 得什么位置？
6、设a b c d ,求||||||||x a x b x c x d -+-+-+-得最小值。
7、abcde 就是一个五位数,a b c d e ,求||||||||a b b c c d d e -+-+-+-得
最大值。 8、设1232006,,,
,a a a a 都就是有理数,令1232005()M a a a a =++++
2342006()a a a a +++
+,1232006()N a a a a =+++
+2342005()a a a a +++
+,试比
较M 、N 得大小。
三、【课堂备用练习题】: 1、已知()|1||2||3||2002|f x x x x x =-+-+-+
+-求()f x 得最小值。
2、若|1|a b ++与2(1)a b -+互为相反数,求321a b +-得值。
3、如果0abc ≠,求||||||
a b c a b c
++
得值。 4、x 就是什么样得有理数时,下列等式成立？
(1)|(2)(4)||2||4|x x x x -+-=-+- (2)|(76)(35)|(76)(35)x x x x +-=+-
5、化简下式:||||
x x x
-
第三讲 数系扩张--有理数(三)
一、【能力训练点】:
1、运算得分级与运算顺序;
2、有理数得加、减、乘、除及乘方运算得法则。
(1)加法法则:同号相加取同号,并把绝对值相加;异号相加取绝对值较大数得符号,并用较大绝对值减较小绝对值;一个数同零相加得原数。(2)减法法则:减去一个数等于加上这个数得相反数。
(3)乘法法则:几个有理数相乘,奇负得负,偶负得正,并把绝对值相乘。 (4)除法法则:除以一个数,等于乘以这个数得倒数。
3、准确运用各种法则及运算顺序解题,养成良好思维习惯及解题习惯。
二、【典型例题解析】:
1、计算:3510.752(0.125)124478???
???+-+++-+- ? ? ????
???
2、计算:(1)、()()560.9 4.48.11+-++-+
(2)、(-18、75)+(+6、25)+(-3、25)+18、25 (3)、(-4
23)+111362324??????-+++- ? ? ???????
3、计算:①()232321 1.75343??????
------+ ? ? ???????
②111142243??????-+--- ? ? ???????
4、 化简:计算:(1)711145438248????????
---+--+ ? ? ? ?????????
(2)35123.7540.1258623??
??????----+-+- ? ? ?????????
??
(3)()()340115477??
????+-----+--+- ? ????????
?
(4)235713346??????-?+÷- ? ? ???????
(5)-4、035×12＋7、535×12-36×(79-57
618
+)
5、计算: (1)()()()324
2311-+?---
(2)()()2
19981110.5333??---??--?
?
(3)22831210.52552142??????
÷--?--÷? ? ? ???????
6、计算:()3
413312100.51644??????????
+--?-÷---???? ? ????
?????????
7、计算:3323
200213471113()[0.25()](5 1.254)[(0.45)(2)](1)81634242001
-?+----÷++-
:
第四讲 数系扩张--有理数(四)
一、【能力训练点】:
1、运算得分级与运算顺序;
2、有理数得加、减、乘、除及乘方运算得法则。
3、巧算得一般性技巧:
① 凑整(凑0); ② 巧用分配律 ③ 去、添括号法则; ④ 裂项法 4、综合运用有理数得知识解有关问题。
二、【典型例题解析】:
1、计算:237970.71 6.6 2.20.7 3.31173118
?-?-÷+?+÷ 2
、
111111111
1
(1)()(1)23
1996234
199723
1997
---
-
?++++
-----111
1
()234
1996
?++++
3、计算:①223
2(2)|3.14|| 3.14|(1)π
π-+----
---
②{}235324[3(2)(4)(1)]7-?-+?-?---÷--
4、化简:111
()(2)(3)(9)122389
x y x y x y x y +++++++???并求当2,x =9y =时
得值。
5、计算:222222222131411
2131411n n S n ++++=++++---- 6、比较1234248162n n n
S =+++++与2得大小。
7、计算:3323
200213471113()[0.25()](5 1.254)[(0.45)(2
)](1)81634242001
-?+----÷++- 8、已知a 、b 就是有理数,且a b ,含23a b c +=,23a c x +=,23
c b
y +=,请将
,,,,a b c x y 按从小到大得顺序排列。
三、【备用练习题】:
1、计算(1)1111142870130208++++ (2)222133599101+++
??? 2、计算:111111
20072006200520041232323-+-+-
3、计算:1111
(1)(1)(1)(1)2342006
-?-?-??-
4、如果2
(1)|2|0a b -++=,求代数式220062005
()()2()b a a b ab a b -++++得值。
5、若a 、b 互为相反数,c 、d 互为倒数,m 得绝对值为2,求
2221
(12)a b m m cd
-+
÷-+得值。
第五讲代数式(一)
一、【能力训练点】:
(1)列代数式; (2)代数式得意义; (3)代数式得求值(整体代入法)
二、【典型例题解析】:
1、用代数式表示:
(1)比x y 与得与得平方小x 得数。 (2)比a b 与得积得2倍大5得数。 (3)甲乙两数平方得与(差)。 (4)甲数与乙数得差得平方。
(5)甲、乙两数与得平方与甲乙两数平方与得商。 (6)甲、乙两数与得2倍与甲乙两数积得一半得差。 (7)比a 得平方得2倍小1得数。 (8)任意一个偶数(奇数) (9)能被5整除得数。 (10)任意一个三位数。
2、代数式得求值: (1)已知
25a b a b -=+,求代数式2(2)3()
2a b a b a b a b
-++
+-得值。 (2)已知225x y ++得值就是7,求代数式2364x y ++得值。
(3)已知2a b =;5c a =,求
624a b c
a b c
+--+得值(0)c ≠
(4)已知113b a -=,求222a b ab
a b ab ---+得值。
(5)已知:当1x =时,代数式31Px qx ++得值为2007,求当1x =-时,代数
式31Px qx ++得值。
(6)已知等式(27)(38)810A B x A B x -+-=+对一切x 都成立,求A 、B 得
值。
(7)已知223(1)(1)x x a bx cx dx +-=+++,求a b c d +++得值。 (8)当多项式210m m +-=时,求多项式3222006m m ++得值。
3、找规律:
Ⅰ、(1)22(12)14(11)+-=+; (2)22(22)24(21)+-=+ (3)22(32)34(31)+-=+ (4)22(42)44(41)+-=+ 第N 个式子呢？ Ⅱ、已知 2222233+
=?; 2333388+=?; 244441515+=?; 若21010a a
b b
+=?
(a 、b 为正整数),求?a b +=
Ⅲ、 32332333211;123;1236;=+=++=33332123410;+++=猜想: 333331234?n ++++
+=
三、【备用练习题】:
1、若()m n +个人完成一项工程需要m 天,则n 个人完成这项工程需要多少天？
2、已知代数式2326y y -+得值为8,求代数式
2
312
y y -+得值。 3、某同学到集贸市场买苹果,买每千克3元得苹果用去所带钱数得一半,而
余下得钱都买了每千克2元得苹果,则该同学所买得苹果得平均价格就是每千克多少元？4
、
已
知
1111n n
a a +=
+(1,2,3,,2006)n =求当
11
a =时,122320062007?a a a a a a +++=
第六讲 代数式(二)
一、【能力训练点】:
(1)同类项得合并法则; (2)代数式得整体代入求值。
二、【典型例题解析】:
1、 已知多项式222259337y x xy x nxy my +-++-+经合并后,不含有y 得项,求2m n +得值。
2、当250(23)a b -+达到最大值时,求22149a b +-得值。
3、已知多项式3225a a a -+-与多项式N 得2倍之与就是324224a a a -+-,求N ？
4、若,,a b c 互异,且x y a b b c c a Z
==
---,求x y Z ++得值。 5、已知210m m +-=,求3222005m m ++得值。
6、已知2215,6m mn mn n -=-=-,求2232m mn n --得值。
7、已知,a b 均为正整数,且1ab =,求11
a b
a b +
++得值。 8、求证20061
20062
1111222
2个个等于两个连续自然数得积。 9、已知1abc =,求
111
a b c
ab a bc b ac c ++
++++++得值。 10、一堆苹果,若干个人分,每人分4个,剩下9个,若每人分6个,最后一个人分到得少于3个,问多少人分苹果？三、【备用练习题】:
1、已知1ab =,比较M 、N 得大小。
1111M a b =
+++, 11a b
N a b
=+
++。
2、已知210x x --=,求321x x -+得值。
3、已知
x y z K y z x z x y
===+++,求K 得值。 4、5544333,4,5a b c ===,比较,,a b c 得大小。 5、已知22350a a --=,求432412910a a a -+-得值。
第七讲 发现规律
一、【问题引入与归纳】
我国著名数学家华罗庚先生曾经说过:“先从少数得事例中摸索出规律来,再从理论上
来证明这一规律得一般性,这就是人们认识客观法则得方法之一”。这种以退为进,寻找规律得方法,对我们解某些数学问题有重要指导作用,下面举例说明。 能力训练点:观察、分析、猜想、归纳、抽象、验证得思维能力。
二、【典型例题解析】 1、 观察算式:
(13)2(15)3(17)4(19)5
13,135,1357,13579,,
2222
+?+?+?+?+=
++=+++++++=按规律填空:1+3+5+…+99= ？,1+3+5+7+…
+(21)n -= ？2、如图就是某同学在沙滩上用石子摆成得小房子。观察图形得变化规律,写出第
n 个小房子用了多少块石子？
3、 用黑、白两种颜色得正六边形地面砖(如图所示)得规律,拼成若干个图案:(1)第3个图案中有白色地面砖多少块？(2)第n 个图案中有白色地面砖多少块？
4、 观察下列一组图形,如图,根据其变化规律,可得第10个图形中三角形得个数为多少？第n 个图形中三角形得个数为多少？
5、 观察右图,回答下列问题:
(1)图中得点被线段隔开分成四层,则第一层有1个点,第二层有3个点,第三层有多少个点,第四层有多少个点？(2)如果要您继续画下去,那第五层应该画多少个点,第n 层有多少个点？ (3)某一层上有77个点,这就是第几层？
(4)第一层与第二层得与就是多少？前三层得与呢？前4层得与呢？您有没有发现什么规律？根据您得推测,前12层得与就是多少？6、 读一读:式子“1+2+3+4+5+…+100”表示从1开始得100个连续自然数得与,由于上述式子比较长,书写也不方便,为了简便起见,我们可将“1+2+3+4+5+…+100”表示为100
1n n =∑,这里“∑”就是求与符号,例如“1+3+5+7+9+…+99”(即从1
开始得100以内得连续奇数得与)可表示为
50
1
(21);
n n =-∑又如
“333333333312345678910+++++++++”可表示为1031
n n =∑,同学们,通过以上材料得阅读,请解答下列问题:(1)2+4+6+8+10+…+100(即从2开始得100以内得连续偶数得与)用求与符号可表示为 ;(2)计算:5
21(1)n n =-∑= (填写最后得计算结果)。
7、 观察下列各式,您会发现什么规律？
3×5=15,而15=42-1 5×7=35,而35=62-1 … … 11×13=143,而143=122-1 … …
将您猜想得规律用只含一个字母得式子表示出来 。
8、 请您从右表归纳出计算13+23+33+…+n 3得分式,并算出13+23+33+…+1003得值。三、【跟踪训练题】1 1、有一列数1234
,,,,n a a a a a 其中:1a =6×2+1,2a =6×3+2,3a =6×4+3,4a =6×
5+4;…则第n 个数n a = ,当n a =2001时,n = 。
2、将正偶数按下表排成5列
第1列
第2列 第3列 第4列 第5列 第一行 2 4 6 8 第二行 16 14 12 10 第三行 18 20 22 24
……
……
28
26
根据上面得规律,则2006应在 行 列。
3、已知一个数列2,5,9,14,20,x ,35…则x 得值应为:( )
4、在以下两个数串中:
1,3,5,7,
…
,1991,1993,1995,1997,1999
与
1,4,7,10,…,1990,1993,1996,1999,同时出现在这两个数串中得数得个数共有( )个。A 、333 B.334 C 、335 D 、336 5、学校阅览室有能坐4人得方桌,如果多于4人,就把方桌拼成一行,2张方桌拼成一行能坐6人(如右图所示 )按照这种规定填写下表得空格:拼成一行得桌子数
1 2 3 … n 人数
4
6
…
6、给出下列算式:
4
87938572835181322222222?=-?=-?=-?=-
观察上面得算式,您能发现什么规律,用代数式表示这个规律:
7、通过计算探索规律:
152=225可写成100×1×(1+1)+25 252=625可写成100×2×(2+1)+25
352
=1225可写成100×3×(3+1)+25 452=2025可写成100×4×(4+1)+25
…………
752=5625可写成 归纳、猜想得:(10n+5)2= 根据猜想计算:19952= 8、已知()()1216
1
3212222++=
++++n n n n ,计算: 112+122+132+…+192= ;
9、从古到今,所有数学家总希望找到一个能表示所有质数得公式,有位学者提出:当n 就是自然数时,代数式n 2+n+41所表示得就是质数。请验证一下,当n=40时,n 2+n+41得值就是什么？这位学者结论正确吗？第八讲 综合练习(一)
1、若
5x y x y -=+,求552233x y x y
x y x y
-+++-得值。 2、已知|9|x y +-与2(23)x y -+互为相反数,求x y 。 3、已知|2|20x x -+-=,求x 得范围。
4、判断代数式||||
x x x
-得正负。 5、若||1abcd abcd =-,求||||||||a b c d a b c d
+++
得值。 6、若2|2|(1)0ab b -+-=,求111
(1)(1)(2)(2)
ab a b a b +
++++++
1
(2007)(2007)a b ++
7、已知2
3x -,化简|2||3|x x +--
8、已知,a b 互为相反数,,c d 互为倒数,m 得绝对值等于2,P 就是数轴上得表示原点得数,求10002a b
P cd m abcd
+-+
+得值。 9、问□中应填入什么数时,才能使|20062006|2006?-=
10、,,a b c 在数轴上得位置如图所示,
化简:|||1||||1||23|a b b a c c b ++------- 11、若0,0a
b
,求使||||||x a x b a b -+-=-成立得x 得取值范围。
12、计算:2481632
(21)(21)(21)(21)(21)
21
+++++- 13、已知
200420042004200320032003a ?-=-
?+,200520052005200420042004b ?-=-?+,200620062006
200520052005c ?-=-?+,求abc 。
14、已知99
99909911,99
P q ==,求P 、q 得大小关系。
15、有理数,,a b c 均不为0,且0a b c ++=。设||||||
|
|a b c x b c c a a b
=+++++,求代数式19992008x x -+得值。
第九讲 一元一次方程(一)
一、知识点归纳:
1、等式得性质。
2、一元一次方程得定义及求解步骤。
3、一元一次方程得解得理解与应用。
4、一元一次方程解得情况讨论。 二、典型例题解析: 1、解下列方程:(1)2121136x x -+=- (2)32122234x x ??
??--=+ ???????
; (3)0.30.2 1.550.70.20.5
x x
--+
=
2、 能否从(2)3a x b -=+;得到32b x a +=
-,为什么？反之,能否从3
2
b x a +=-得到(2)3a x b -=+,为什么？
3、若关于x 得方程
2236
kx m x nk
+-=+
,无论K 为何值时,它得解总就是1x =,求m 、n 得值。
4、若5545410(31)x a x a x a x a +=++++。求543210a a a a a a -+-+-得值。
5、已知1x =就是方程11
322mx x =-得解,求代数式22007(79)m m -+得值。
6、关于x 得方程(21)6k x -=得解就是正整数,求整数K 得值。
7、若方程732465x x x --=-与方程3551
2246x x mx ---=-
同解,求m 得值。 8、关于x 得一元一次方程22(1)(1)80m x m x --++=求代数式
200()(2)m x x m m +-+得值。 9、解方程2006122334
20062007
x x x
x
+++
+
=????
10、已知方程2(1)3(1)x x +=-得解为2a +,求方程2[2(3)3()]3x x a a +--=得解。 11、当a 满足什么条件时,关于x 得方程|2||5|x x a ---=,①有一解;②有无数解;③无解。
第十讲 一元一次方程(2)
一、能力训练点: 1、列方程应用题得一般步骤。
2、利用一元一次方程解决社会关注得热点问题(如经济问题、利润问题、增长率问题)
二、典型例题解析。
1、 要配制浓度为20%得硫酸溶液100千克,今有98%得浓硫酸与10%得硫酸,问这两种硫酸分别应各取多少千克？
2、一项工程由师傅来做需8天完成,由徒弟做需16天完成,现由师徒同时做了4天,后因师傅有事离开,余下得全由徒弟来做,问徒弟做这项工程共花了几天？
3、某市场鸡蛋买卖按个数计价,一商贩以每个0、24元购进一批鸡蛋,但在贩运途中不慎碰坏了12个,剩下得蛋以每个0、28元售出,结果仍获利11、2元,问该商贩当初买进多少个鸡蛋？:
4、某商店将彩电按原价提高40%,然后在广告上写“大酬宾,八折优惠”,结果每台彩电仍可获利270元,那么每台彩电原价就是多少？
5、一个三位数,十位上得数比个位上得数大4,个位上得数比百位上得数小2,若将此三位数得个位与百位对调,所得得新数与原数之比为7:4,求原来得三位数？
6、初一年级三个班,完成甲、乙两项任务,(一)班有45人,(二)班有50人,(三)班有43人,现因任务得需要,需将(三)班人数分配至(一)、(二)两个班,且使得分配后(二)班得总人数就是(一)班得总人数得2倍少36人,问:应将(三)班各分配多少名学生到(一)、(二)两班？
7、一个容器内盛满酒精溶液,第一次倒出它得1
3
后,用水加满,第二次倒出它得
1
2
后用水加满,这时容器中得酒精浓度为25%,求原来酒精溶液得浓度。
8、某中学组织初一同学春游,如果租用45座得客车,则有15个人没有座位;如果租用同数量得60座得客车,则除多出一辆外,其余车恰好坐满,已知租用45座得客车日租金为每辆车250元,60座得客车日租金为每辆300元,问租用哪种客车更合算？租几辆车？
9、 1994年底,张先生得年龄就是其祖母得一半,她们出生得年之与就是3838,问到2006年底张先生多大？
10、有一满池水,池底有泉总能均匀地向外涌流,已知用24部A型抽水机,6天可抽干池水,若用21部A型抽水机13天也可抽干池水,设每部抽水机单位时间得抽水量相同,要使这一池水永抽不干,则至多只能用多少部A型抽水机抽水？
11、狗跑5步得时间,马能跑6步,马跑4步得距离,狗要跑7步,现在狗已跑出55米,马开始追它,问狗再跑多远马可以追到它？
12、一名落水小孩抱着木头在河中漂流,在A处遇到逆水而上得快艇与轮船,因雾大而未被发现,1小时快艇与轮船获悉此事,随即掉头追救,求快艇与轮船从获悉
到追及小孩各需多少时间？数形结合谈数轴
一、阅读与思考
数学就是研究数与形得学科,在数学里数与形就是有密切联系得。我们常用代数得方法来处理几何问题;反过来,也借助于几何图形来处理代数问题,寻找解题思路,这种数与形之间得相互作用叫数形结合,就是一种重要得数学思想。 运用数形结合思想解题得关键就是建立数与形之间得联系,现阶段数轴就是数形结合得有力工具,主要体现在以下几个方面:1、利用数轴能形象地表示有理数; 2、利用数轴能直观地解释相反数; 3、利用数轴比较有理数得大小;
4、利用数轴解决与绝对值相关得问题。 二、知识点反馈
1、利用数轴能形象地表示有理数;
例1:已知有理数a 在数轴上原点得右方,有理数b 在原点得左方,那么( ) A.b ab < B.b ab > C.0>+b a D.0>-b a 拓广训练:
1、如图b a ,为数轴上得两点表示得有理数,在a b b a a b b a ---+,,2,中,负数得个数有( )
(“祖冲之杯”邀请赛试题) A.1 B.2 C.3 D.4