(完整版)[数学]数学高考压轴题大全

1、（本小题满分14分）

已知函数．

（1）当时，如果函数仅有一个零点，求实数的取值范围；

（2）当时，试比较与的大小；

（3）求证：（）．

2、设函数，其中为常数．

（Ⅰ）当时，判断函数在定义域上的单调性；

（Ⅱ）若函数的有极值点，求的取值范围及的极值点；

（Ⅲ）当且时，求证：．

3、在平面直角坐标系中，已知椭圆.如图所示，斜率为且不过原点的直线交椭圆于，两点，线段的中点为，射线交椭圆于点，交直线于点.

（Ⅰ）求的最小值；

（Ⅱ）若?，（i）求证：直线过定点；

（ii ）试问点，能否关于轴对称？若能，求出

此时的外接圆方程；若不能，请说明理由.

二、计算题

评卷人得分

（每空？分，共？分）4、设函数的图象在点处的切线的斜率为，且函数为偶函数．若函数满足下列条件：①；②对一切实数，不等式恒成立．

（Ⅰ）求函数的表达式；

（Ⅱ）求证：．

5、已知函数：

（1）讨论函数的单调性；

（2）若函数的图像在点处的切线的倾斜角为，问：在什么范围取值时，函数在区间上总存在极值？

(3)求证：．

6、已知函数=，.

(Ⅰ)求函数在区间上的值域；

（Ⅱ）是否存在实数，对任意给定的，在区间上都存在两个不同的，使得成立.若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由；

（Ⅲ）给出如下定义：对于函数图象上任意不同的两点，如果对于函数图象上的点（其中总能使得

成立，则称函数具备性质“”，试判断函数是不是具备性质“”，并说明理由.

7、已知函数

（Ⅰ）若函数是定义域上的单调函数，求实数的最小值；

（Ⅱ）方程有两个不同的实数解，求实数的取值范围；（Ⅲ）在函数的图象上是否存在不同两点，线段的中点的横坐标为，有成立？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．

8、已知函数：

⑴讨论函数的单调性；

⑵若函数的图象在点处的切线的倾斜角为45o，对于任意的，函数

在区间上总不是单调函数，求m的取值范围；

⑶求证：．

9、已知正方形的中心在原点，四个顶点都在函数图象上．（1）若正方形的一个顶点为，求，的值，并求出此时函数的单调增区间；

（2）若正方形唯一确定，试求出的值．

10、已知函数，曲线在点处的切线方程为．（I）求a，b的值；

（II）如果当x>0，且时，，求k的取值范围．

11、设函数f(x)=x2+b ln(x+1),其中b≠0.

(Ⅰ)当b>时，判断函数f(x)在定义域上的单调性；

（Ⅱ）求函数f(x)的极值点；

（Ⅲ）证明对任意的正整数n,不等式ln)都成立.

12、如图7，椭圆的离心率为，x轴被曲线截得的线段长等于的长半轴长。

（Ⅰ）求，的方程；

（Ⅱ）设与y轴的焦点为M，过坐标原点O的直线与相交于点A,B,直线MA,MB分别与相交与D,E.

(i)证明：MD⊥ME;

(ii)记△MAB,△MDE的面积分别是,.问：是否存在直线l,使得=?

请说明理由。

13、已知点是直角坐标平面内的动点，点到

直线的距离为，到点的

距离为，且．

(1)求动点P所在曲线C的方程；

(2)直线过点F且与曲线C交于不同两点A、

B(点A或B不在x轴上)，分别过A、B点作直线的垂线，对应的垂足分别为，

试判断点F与以线段为直径的圆的位置关系(指在圆内、圆上、圆外等情况)；

(3)记，，(A、B、是(2)中的点)，问是否存在实数，使成立．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

进一步思考问题：若上述问题中直线、点、曲线C：

，则使等式成立的的值仍保持不变．请给出

你的判断 (填写“不正确”或“正确”)(限于时间，这里不需要举反例，或证明)．

14、如图，在轴上方有一段曲线弧，其端点、在轴上（但不属于），对上任一点及点，，满足：．直线，分别交直线于，两点．

（1）求曲线弧的方程；

（2）求的最小值（用表示）；

（3）曲线上是否存点，使为正三角形？若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由．

15、设、是函数的两个极值点．

(1)若，求函数的解析式；

(2)若，求的最大值．

(3)若，且，，求证：．

16、已知函数．

（Ⅰ）求函数的单调区间；

（Ⅱ）设，若对任意，，不等式

恒成立，求实数的取值范围．

17、已知函数

（1）若曲线处的切线平行，求a的值；

（2）求的单调区间；

（3）设是否存在实数a，对

均成立；若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由。

18、已知函数图象的对称中心为，且的极小值为. （1）求的解析式；

（2）设，若有三个零点，求实数的取值范围；

（3）是否存在实数，当时，使函数

在定义域[a,b] 上的值域恰为[a,b]，若存在，求出k的范围；若不存在，说明理由.

19、已知函数．

（1）若方程在区间内有两个不相等的实根，求实数的取值范围；（2）如果函数的图像与x轴交于两点，且，求证：（其中，是的导函数，正常数满足）．20、已知函数f(x)＝a x＋x2－x ln a(a＞0，a≠1)．

（1）当a＞1时，求证：函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；

（2）若函数y＝|f(x)－t|－1有三个零点，求t的值；

（3）若存在x1，x2∈[－1，1]，使得|f(x1)－f(x2)|≥e－1，试求a的取值范围．

21、已知函数处取得极小值，其图象过点A（0，1），且在点A 处切线的斜率为—1。

(Ⅰ)求的解析式；

（Ⅱ）设函数上的值域也是

，则称区间为函数的“保值区间”。证明：当不存在“保值区间”；

22、已知函数

（1）求证函数上的单调递增；

（2）函数有三个零点，求t的值；

（3）对恒成立，求a的取值范围。

23、已知函数，其中

（Ⅰ）若函数上有极值，求的取值范围；

（Ⅱ）若函数有最大值（其中为无理数，约为2．71828）,求的值；

（Ⅲ）若函数有极大值,求的值。

24、已知函数。

（1）若函数在区间上存在极值，其中，求实数的取值范围；

（2）如果当时，不等式恒成立，求实数的取值范围；

（3）求证：

25、已知函数,，其中R．

（Ⅰ）讨论的单调性；

（Ⅱ）若在其定义域内为增函数，求正实数的取值范围；

（Ⅲ）设函数,当时，若，，总有成立，求实数的取值范围．

26、已知函数．

（1）求函数的单调区间；

（2）设m>0，求在[m，2m]上的最大值；

（3）试证明：对任意N+，不等式＜恒成立．

27、已知函数

（1）求函数的单调区间；

（2）设，求证：；

（3）设，求证：.

28、已知二次函数对都满足且，设函数

（，）．

（Ⅰ）求的表达式；

（Ⅱ）若，使成立，求实数的取值范围；

（Ⅲ）设，，求证：对于，恒有

.

29、已知函数

不等式求实数的取值范围；

（3）若函数

30、已知函数

（Ⅰ）若函数是定义域上的单调函数，求实数的最小值；

（Ⅱ）在函数的图象上是否存在不同两点，线段的中点的横坐标

为，直线的斜率为，有成立？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．

31、已知函数的图象在点（为自然对数的底数）处的切线斜率为3．

⑴求实数的值；

⑵若，且对任意恒成立，求的最大值；

⑶当时，证明．

32、已知函数在点的切线方程为.

（Ⅰ）求函数的解析式；

（Ⅱ）设，求证：在上恒成立；

（Ⅲ）已知，求证：.

33、已知

（1）若，函数在其定义域内是增函数，求的取值范围；

（2）当时，证明：函数只有一个零点；

（3）若的图象与轴交于两点，AB中点为，求证：

参考答案

一、综合题

1、解：（1）当时，，定义域是，

，令，得或．…2分当或时，，当时，，

函数在、上单调递增，在上单调递减．……………4分

的极大值是，极小值是．

当时，；当时，，

当仅有一个零点时，的取值范围是或．……………5分（2）当时，，定义域为．

令，

，

在上是增函

数．…………………………………7分

①当时，，即；

②当时，，即；

③当时，，即．…………………………………9分

（3）（法一）根据（2）的结论，当时，，即．

令，则有，．……………12分

．……………………………………14分

(法二)当时，．

，，即时命题成立．………………………………10分设当时，命题成立，即．

时，

．

根据（2）的结论，当时，，即．

令，则有，

则有，即时命题也成立．……………13分

因此，由数学归纳法可知不等式成立．………………………………14分

（法三）如图，根据定积分的定义，

得．……11分

，

．………………………………12分

，又，，

．

．…………………………………14分

【说明】本题主要考查函数导数运算法则、利用导数求函数的极值、证明不等式等基础知识，考查分类讨论思想和数形结合思想，考查考生的计算能力及分析问题、解决问题的能力和创新意识．

2、解：（1）由题意知，的定义域为，

当时，，函数在定义域上单调递增．

（2）①由（Ⅰ）得，当时，函数无极值点．

②时，有两个相同的解，

时，

时，函数在上无极值点．

③当时，有两个不同解，

时，，

,

此时，随在定义域上的变化情况如下表：

减极小值增

由此表可知：时，有惟一极小值点，

ii) 当时，0<<1

此时，，随的变化情况如下表：

增极大值减极小值增由此表可知：时，有一个极大值和一个极小值点

；

综上所述：

当且仅当时有极值点;

当时，有惟一最小值点；

当时，有一个极大值点和一个极小值点（3）由(2)可知当时，函数，

此时有惟一极小值点

且

令函数

3、【解析】（Ⅰ）由题意:设直线,

由消y得:,设A、B,AB的中点E,则由韦达定理得: =,即

,,所以中点E的坐标为

E,因为O、E、D三点在同一直线上，所以，即，解得

，所以=,当且仅当时取等号,即的最小值为2.

（Ⅱ）（i）证明:由题意知:n>0,因为直线OD的方程为,所以由得交点G的纵坐标为,又因为,,且?，所以

,又由（Ⅰ）知: ,所以解得,所以直线的方程为

,即有,令得,y=0,与实数k无关,所以直线过定点(-1,0).

（ii）假设点，关于轴对称,则有的外接圆的圆心在x轴上,又在线段AB的中垂线上,

由（i）知点G(,所以点B(,又因为直线过定点(-1,0),所以直线的斜率为，又因为，所以解得或6，又因为

,所以舍去,即，此时k=1，m=1，E，AB的中垂线为2x+2y+1=0，圆心坐标为，G(,圆半径为，圆的方程为.综上所述, 点，关于轴对称,此时的外接圆的方程为.

二、计算题

4、（Ⅰ）解：由已知得：

．……………1分

由为偶函数，得为偶函数，

显然有

．

…………2分

又，所以，即． (3)

分

又因为对一切实数恒成立，

即对一切实数，不等式恒成立．…………4分

显然，当时，不符合题

意．…………5分