数理统计课后题答案完整版(汪荣鑫)

第一章3. 解：因为

i i x a

y c

-=

所以 i i x a cy =+

1

1n

i

i x x n ==∑

()1111n

i i n

i i a cy n na cy n ===+??=

+ ???

∑∑

1n

i

i c a y n a c y

==+=+∑

所以 x a c y =+ 成立

因为 ()2

21

1n

x

i i s x x

n ==-∑

()

(

)

()

2

2

12

21

1

1n

i i i

n

i i n

i

i a cy a c y n cy c y n c y y n

====

+--=-=-∑∑∑

又因为 ()2

2

1

1n y i i s y y

n ==-∑

所以 2

22

x

y

s c s = 成立 6. 解：变换

()1027i i y x =-

1

1l

i i i y m y n ==∑

()1

3529312434101.5=

-?-?+?+=- 2710

y

x

=

+= ()

2

21

1l

y

i i i s m y y

n ==-∑

()()()()2222

1235 1.539 1.5412 1.534 1.510

440.25

?=

?-++?-++?+++???= 22

1 4.4025100

x y s s =

= 7解： 6266707478*1

1l

i i i x m x n ==∑

()1

156101601416426172121682817681802100166=

?+?+?+?+?+?+?= ()2

2

*1

1l

i i i s m x x

n ==-∑

()()()()()()()2222

222110156166141601662616416628168166100

121721668176166218016633.44

=

?-+?-+?-+?-???

+?-+?-+?-?

=

8解：将子样值重新排列（由小到大） -4，，，，，0，0，，，，，，

()()()()()17218120

3.2147.211.2

e n n e n

M X X R X X M X X +?? ???

??+ ???

====-=--==== 9解：

12

1211121211n n i j

i j n x n x n n x n n ==+=+∑∑1122

12

n x n x n n +=+

()122

21

12

1n n i

i s x x n n +==

-+∑

(

)()()12

1

22

2112

2

1

1

112212122

2

222

11

1

2

2

2

1

1

2

2

12

12

2

2

222

11221122

11221212

122

2211211122

121

n n i i n n i j

i j x x

n n x x n x n x n n n n n s x n s

x n x n x

n n n n n s n s n x n x n x n x n n n n n n n n n x n n s n s n n +====

-++??+=

- ?++??

+++??+=-

?++?

?

??+++=

+- ?

+++??

+++=++∑

∑∑()()

()()()

()

2

2

21221122

2

122

2

221122121

12212122

12122

2212121122

2

12122n n x n x n x n n n s n s n n x n n x n n x x n n n n n n x x n s n s n n n n +-++++-=+++-+=+++

12. 解：

()i

x P λ i Ex λ= i Dx λ= 1,2,,i n =???

112211

1111

n n i i i i n

n

i i

i i n E X E x Ex n n n n DX D

x Dx

n n

n n

λ

λ

λλ

===========

=∑∑∑∑

13.解：

(),i

x U a b 2i a b Ex += ()2

12

i b a Dx -= 1,2,,i n =??? 在此题中 ()1,1i x U - 0i Ex = 1

3

i Dx = 1,2,,i n =???

11211

110

11

1

3n n

i i i i n

n

i i

i i E X E x Ex n n DX D

x Dx

n n

n

==========

∑∑∑∑

14.解：因为()2,i

X N μσ 0i X E

μ

σ

-= 1i X D

μ

σ

-=

所以 ()0,1i X N μ

σ

- 1,2,,i

n =???

由2

χ分布定义可知

()

2

2

2

1

11

n

n

i i

i i X Y X

μμσσ==-??=

-=

??

?∑∑服从2χ分布 所以 ()2Y

n χ

15. 解：因为

()0,1i

X N

1,2,,i n =???

()123

0,3X X X N ++

0=

1=

所以

()0,1N

()2

21χ

同理

()2

21χ

由于2

χ分布的可加性，故

()22

2123Y χ=+

可知 13

C

=

16. 解：（1）因为 ()20,i

X N σ 1,2,,i n =???

()0,1i

X N σ

所以 ()2

21

21n

i i X Y n χσσ=??= ?

??

∑

(){}11122Y Y

y F y P Y y P σ

σ??=≤=≤????

()2

20

y

f x dx σχ=

?

()()211'221

Y Y y f y F y f χσσ

??==? ???

因为 ()2122

202200n x n x e x n f x x χ--??>???

=?Γ

????

?≥?

所以 ()21122202200n y

n n

Y y e y n f y y σσ--??>???=?Γ

????

?≤?

（2） 因为 ()20,i X N σ 1,2,,i n =???

()0,1i

X N σ

所以

()2

222

1

n

i i X nY n χσ

σ=??

= ???∑

(){}()2

2222220

ny

Y nY

ny F y P Y y P f x dx σχσ

σ??=≤=≤=

?????

()()222'22Y Y ny n

f y F y f χσσ

??== ???

故

()2

21222202200n n

ny n n Y n y e y n f y y σσ--??>???=?Γ

?

???

?≤?

（3）因为 ()20,i X N σ 1,2,,i n =???

()1

0,1n

i N =

所以

()2

2311n i Y n χσ

=?= ?

(){}()()2

2333210

y

n Y Y F y P Y y P y f x dx n σ

χσ??

=≤=≤=?????

()()()233'2211

Y Y y f y F y f n n χσσ

??== ???

()(

)221000x x f x x χ-?>=≤?

故

(

)2

32000

y n Y y f y y σ-?>=≤?

（4）因为 ()20,i

X N σ 1,2,,i n =???

所以

(

)

()

12

242

10,11n

i n

i N Y χσ

==?

= ?

(){}()()()()()2

24224442210

'22

11

y Y Y Y

y F y P Y y P f x dx

y f y F y f σχχχσσσσ

??=≤=≤=

??????== ????

故

(

)242000

y Y y f y y σ-?>=≤?

17.解：因为 ()X

t n

存在相互独立的U ，V

()0,1U

N ()2V

n χ

使

X = ()2

21U

χ

则 2

21U X V n

=

由定义可知 ()2

1,F n χ

18解：因为 ()20,i

X N σ 1,2,,i n =???

()1

0,1n

i N =

()2

21n m

i i n X m χσ+=+?? ???

∑

所以

()1

n

n

i

X Y

t m =

=

（2）因为

()0,1i

X N σ

1,2,,i n m =???+

()

()

2

2

12

21n

i i n m

i i n X n X m χσχσ=+=+?? ???

?? ???

∑∑

所以 ()2

211

22211,n

i n i i

i n m

n m

i i

i n i n X m X n Y F n m X n X m

σσ==++=+=+??

???==?? ???

∑∑∑∑

19.解：用公式计算

(

)20.010.019090χ=

查表得 0.01 2.33U =

代

入

上

式

计

算

可

得

()2

0.01909031.26121.26χ=+=

20.解：因为

()2

X

n χ 2

E n χ= 2

2D n χ=

由2

χ分布的性质3可知

()0,1N

{

}P X c P ≤=≤

2

2lim t n P dt -→∞-∞

≤==Φ 故 {

}P

X c ≤≈Φ

第 二 章 1. 0

,0

()0,0()()1

()

1

1

1

x x x x x

e x

f x x E x f x xdx xe dx

xe e d x e x

λλλλλλλλλλ

λ

λ

-+∞

+∞

--∞+∞

+∞--+∞-?≥=?

?==-+

=-=

=?

?

?

令

从而有 1x λ∧

=

2.

()1

1

1

1

2

1).()(1)

(1)1

1

11k k x x E x k p p p k p p

p

p ∞

∞

--===-=-==

??--??

∑∑

令

1

p ＝X

所以有

1

p X ∧

=

２）．其似然函数为

1`

1

1

()(1)

(1)n

i x i i n

X n

n

i L P P p p p -=-=∑=-=-∏

1

ln ()ln ()ln(1)

n

i i L P n p X n p ==+--∑

1

ln 1

()0

1n

i i d L n X n dp p p ==--=-∑

解之得

1

1

n

i

i n

p X X

∧

==

=

∑

３． 解：因为总体Ｘ服从Ｕ（a ，b ）所以

()21

22!

2!!

()12n

i i a b n E X r n r X X X X a b S X b X =∧

∧

+=--?=???-?=???=???=?∑2

2

2（a-b ）（） D （X ）=

12令E （X ）= D （X ）=S ，

1S =

n a+b

2

（）a 4. 解：（1）设

12,,n x x x 为样本观察值则似然函数为

11

1

()(),01,1,2,

,ln ()ln ln ln ln 0n

n

i i i n

i

i i

n

i i L x x i n

L n x d L n

x d θθθθθθθθ-====<<==+=+=∏∑∑（-1）

解之得：

1

1

ln ln n

i

i n

i

i n

x

n

x

θθ=∧

==-

==

∑∑

（2）母体X 的期望

1

()()1E x xf x dx x dx θθθθ+∞

-∞

===

+?

?

而样本均值为：

1

1

()1n

i i X x n E x X X X

θ=∧

=

==

-∑令得

5.。解：其似然函数为：

1

1

11

1

11()2(2)1

ln ()ln(2)1

n

i

i

i x n

x n

i n i

i n

i

i L e e L n x x σσσσ

σσσσ

σσ

=-

-==∧

=∑

=?=?=--=

∏∑=∑

令

得：

（2）由于

00

11222111

()()()x

x

x x

n n i i i i x x E e dx e dx x e e dx E E x E x n n n n σ

σσ

σσ

σσ

σσσ

+∞

----

+∞

+∞+∞

-∞

∧

=====-+====?=?

??

∑∑

所以

11

n

i i x n σ∧

==

∑ 为σ的无偏估计量。

6. 解：其似然函数为：

(1)(1)()()(1)!(1)!11k k n n k x n x i k i L x e x e i i k k i i βββββ----∏==∏--==

ln ()ln (1)ln()11n n

L nk k X X i i

i i βββ=+--∑∑==

1

ln ()0

n

i

i d L nk

d X

βββ

==-

=∑

解得

1

n

i

i nk

k

X

X

β∧

==

=

∑1

(),0,f x x ββ=

≤≤

７．解：由题意知：均匀分布的母体平均数

2

2

β

βμ=

-=

，

方差12

12)0(2

22

ββλ=-=

用极大似然估计法求β得极大似然估计量

似然函数：∏

==n

i n

L 1

1

)

(θ

β β

≤≤≤≤≤n

i i i i x x 1)

(max min 0

选取β使L 达到最大

取n

i i

x ≤≤∧

=1max β

由以上结论当抽得容量为6的子样数值 ，，，，，，时

2.2=∧

β即,

1.12

==∧

∧

β

μ

4033.012

2

.22.212

2

2

≈?=

=

∧

βσ

8. 解：取子样值为)(),,,(21θ≥i

n x x x x

则似然函数为： ∏=--=n

i x i e L 1)

()

(θθ θ

≥i

x

∑∑==+-=--=n

i n

i i i n x x L 1

1

)()(ln θθθ

要使似然函数最大，则需θ取),,,min(

21n x x x

即

∧

θ=),,min(21n x x x

9. 解：取子样值)0)(,,(2,1>i

n x x x x

则其似然函数∑

===-=-∏n

i i

i

x n

n

i x e

e

L 1

1)

(λ

λλλλ

∑=-=n

i i

x n L 1

ln )(ln λλλ

∑=-=n

i i

x n

d L 1

)(ln λλλ

x

x

n

n

i i

1

1

==

∑=∧

λ 由题中数据可知

20)6525554545703510025150152455365(1000

1=?+?+?+?+?+?+?=

x 则 05.020

1

==

∧

λ

10. 解：（1）由题中子样值及题意知： 极差7.45.12.6=-=R 查表2-1得

4299.01

5

=d

故0205.27.44299.0=?=∧

λ

（2）平均极差115.0=R ，查表知

3249.01

10

=d

0455.0115.03249.0=?=∧

λ

11/解：设∧

u 为其母体平均数的无偏估计，则应有x =∧

μ

又因4)26261034018(60

1

=?+?+?+?=

x 即知4=∧

μ

12. 解：)1,(~μN X

μ=∴)(i x E

，1)

(=i x D ， )2,1(=i

则μμ=+=∧

2113

2

31)(EX EX E

μμ=+=∧21243

41)(EX EX E

μμ=+=∧2132

1

21)(EX EX E

所以三个估计量321,,∧

∧∧μμμ均为μ的无偏估计

9

5

91949194)3132()(2121=+=+=+=∧DX DX X X D D μ

同理可得85)(2=∧

μD ，2

1

)(2=

∧μD

可知3∧μ的方差最小也亦∧

2μ最有效。 13解：)(~λP X

λλ==∴)(,)(X D X E

])(11[)(1

22

*∑=--=n

i i X X n E S E

)]()([1121

2

X nE X E n n

i i --=∑= ])()([11122∑=+-+-=n

i n n n λλλλ

λλλ=--=

)(1

1

n n 即2

*S

是λ的无偏估计

又因为

λ====∑∑∑===n

i i n

i i n i i EX n X E n X n E X E 1

111)(1)1()(

即

X

也是λ的无偏估计。

又]1,0[∈?α

λλλαλααα=-+=-+=-+)1()()1()())1((2

*2

*S E X E S X a E

因此2

*

)1(S X

αα-+也是λ的无偏估计

14.解：由题意：),(~2σμN X

因为

])(()([)()(2111

1212

i i n i i i i i X X E X X D C X X E C E -+-=-=+-=++∧

∑∑λ

21

1

211

1)1(22]0)()([λλ-==++=∑∑-=-=+n C C X D X D C n i n i i i

要使22

)(λλ

=∧E 只需)1(21

+=

n C

所以当)

1(21

-=

n C 时2

∧λ为2

λ的无偏估计。

15.证明： 参数θ的无偏估计量为∧

θ，∧

θD 依赖于子样容量n 则,0>?ε

由切比雪夫不等式

0lim =∧

∞→θD n 故有1lim =?

??

???<-∧

∞

→εθθp n 即证∧

θ为θ的相合估计量。 16证明：设X 服从),(p N B ，

则分布律为 k k k N

P P k X P C

)1()(-== ),2,1(N k =

这时NP X E =)

( )1()(P NP X D -=

2

2

2

2

)1()(P

N P NP EX DX EX +-=+=

例4中N

X

p -

∧=

所以P N

NP

N X E P E ===

-

∧

)

(（无偏）

Nn P P n

N P NP N X D P D )

1()1(2

2-=-==-

∧

罗—克拉美下界满足

∑=----??=n

k P N K K

N P N K K N R P P P P Ln p

n I C C 02)1(])1([1 ∑=----++??

=N

K K N K K N

K

N P P P Ln P N KLnP Ln P n

C C

2

)1())]1()(([

∑=-----=N K K N K

K N P P P

P N P K n C 0

2)1(]1[

])

1(2)1(22[2

2

2222P EX NEX N P P EX NEX P EX n -+-+---= 2

2

2222222222)1()1(2)1()1(2)1([P P

N P NP P N N P P N P NP P N P P N P NP n -+-+-+-----+-=

)1(]111[

P P nN P P nN -=

-+= 所以∧=-=P D nN

P P I R )

1(即∧p 为优效估计

17． 解：设总体X 的密度函数 2

22)(21)(σμσ

π--=

x e

x f

似然函数为

∏

=---

-∑===n

i x n x n

i i i e

e

L 1

2)(2

2

2)

(2

2

1

2

2

2

)2(21)(σ

μσ

μπσσ

πσ

2

1

2

222)(2

22)(σ

μσπσ∑=----

=n

i i

x

Ln n

Ln n LnL

02)(24

1

2

2

2=-+

-=∑=σ

μσσn

i i

x

n d dLnL

∑=-=n i i x n 1

22

)(1μσ

因为

?

+∞

∞

-??dx x f x Lnf )())((

2

2σ

=

?

∞

+∞

---

--dx e

x x 2

22)(2

2

42

21]212)([

σμσ

πσ

σμ

=

]2)()([414

2248

σσμμσ

+---X E X E =4

2σ

n

故2

σ的罗—克拉美下界

4

2σn

I R =

又因∑=∧-=n i i X n E E 1

2

2

)

)(1(μσ

∑=-=n

i i X E n 1

2))((1

μ2σ= 且∑=-=n i i X n D D 12

2

))(1()(μσ42σn

=

所以2

∧σ是2

∧σ

的无偏估计量且)(2

∧=σD I R

故2

∧σ

是2

∧σ

的优效估计

18． 解：由题意：n=100，可以认为此为大子样，

所以n

S X U

μ-=

近似服从)1,0(N

αα-=1}{2

u U P

得置信区间为n

s u x 2

(α

- )2

n

s u x α

+

已知95.01=-α

s=40 x =1000 查表知96.12

=α

u 代入计算得

所求置信区间为（ ） 19.解：（1）已知cm 01.0=σ

则由)1,0(~N n

X U σ

μ-=αα

-=<1}{2

u U P

解之得置信区间n

u X

σ

α

2

(- )2

n

u X

σ

α

+

将n=16 X = 645.105.02

==u u α

01.0=σ

代入计算得置信区间（ ） （2）σ未知

)1(~--=n t n

S X T μ

αα-=<1}{2

t T P

解得置信区间为2

(αt n

s X

-

)2

αt n

s X +

将n=16 753.1)15()15(05

.02

==t t α

00029.02=S 代入计算得置信区间为（ ）

。 20．解：用T 估计法

)1(~--=

*

n t n

S X T μ

αα-=-<1)}1({2

n t T P 解之得置信区间2

(α

t n

S X *

- )2

*αt n

S X +

将6720=X 220=*

S

n=10 查表2622.2)9(025.0=t

代入得置信区间为（ ）。

21．解：因n=60属于大样本且是来自（0—1）分布的总体，

故由中心极限定理知

)1()1(1p np np X n p np np

X n

i i

--=

--∑=近似服从)1,0(N 即αα

-=<--1})1()({2u p np P X n p 解得置信区间为2

)1((α

u n p p X --

))

1(2

αu n p p X -+ 本题中将n U n 代替上式中的X 由题设条件知25.0=n U

n

055.0)()

1(2

=-=-n

U n U n p p n n 查表知96.1025.0==U U n

代入计算的所求置信区间为（ ） 22． 解：2

σ

未知 故

)

1,0(~N n

X U σ

μ

-=

由αα-<<1}{2

u U P 解得置信区间为2(α

σu n X -

)2ασu n X + 区间长度为2

2ασu n

于是L u n

≤2

2ασ计算得22

2

2

4ασU L

n ≥即为所求

23．解：μ未知，用2

χ估计法 )1(~)1(22

22--=n S n χσ

χ

αχχχαα

-=-<-<--1)}1()1()1({2

2

222

1n n n P

解得σ的置信区间为2

22

)1((α

χS

n - ))1(22

12

α

χ-

-S n

（1） 当n=10，*

S =时 查表)9(2

005.0χ= )9(2

995.0χ=

代入计算得σ的置信区间为（ ）

（2） 当n=46，*

S =14时 查表)45(2

005.0χ= )45(2

995.0χ

代入计算可得σ的置信区间为（ ） 24．解：（1）先求μ的置信区间 由于σ未知

)1(~--=n t n

S

X T μ αα

-=<1}{2

t T P

得置信区间为2

(α

t n

S X -

)2

αt n

S X +

经计算2203.012.5==S X 查表093.2)

19(025.0=t n=20

代入计算得置信区间为（ ）

（2）μ未知 用统计量)1(~)1(22

2

2--=n S n χσ

χ

αχχχαα-=<<-1}{2

2

222

1P

得σ的置信区间为22

2)1((α

χS n - ))1(2

2

12

α

χ

-

-S n 查表)19(2025.0χ= )19(2

975.0χ= 代入计算得σ的置信区间为（ ） 25．解：因1+n X 与

n X X X ,,21相互独立，

所以

1+n X 与X

相互独立，故

))11(,0(~21σn

N X X n +-+ 又因

)1(~22

2

-n nS

χσ

且与X X n -+1相互独立，

有T 分布的定义知

)1(~1

1

)1(1

12

21-+--=

-+-++n t n n S X X n nS n n X

X n n σσ 26． 解：因),(~21σμN X i

m i ,2,1=

),(~22σμN Y j n j ,2,1=

所以),0(~)(2

2

1m

N X σαμα-，),

0(~)(222n N Y σβμβ- 由于

X 与Y 相互独立，则

)](

,0[~)()(2

2

21n

m

N Y X β

α

μβμα+

-+-

即

)

1,0(~)

()(2

2

21N n

m Y X σ

βαμβμα+

-+-

又因

)1(~222-m ms x

χσ

)1(~22

2-n ns y

χσ

则

)2(~22

22

2

-++

n m ns ms y

x

χσ

σ

构造t 分布

n

m Y X 2

2

21)

()(βασμβμα+

-+-

=

)2(~2

)

()(2

2

22

21-++

-++-+-n m t n

m

n m ns

ms Y X y

x

β

α

μβμα

27． 证明：因抽取n>45为大子样

)1(~)1(22

2

*

2

--=

n s n χσ

χ

由2χ分布的性质3知

)

1(2)

1(2---=

n n U χ近似服从正态分布)1,0(N

所以 α

α-=≤1}{2u U

P 得 22)1(2)1(αχu n n ≤--- 或2

2

2

2)

1(2)1()1(αασu n n s n u ≤----≤- 可得2σ的置信区间为?????

???????---+22

2

2121,

121ααu n s u n s 28． 解： 因22

22

1

σσσ==未知，故用T 统计量

)2(~1

1)(21-++---=

m n t m

n s Y X T w

μμ

其中2

)1()1(2

2

212-+-+-=

m n s m s n s w

而

05.0=α 2-+m n 查表 144.2)4(025.0=t

计算

625.81=X 125.76=Y

695.14521=s ，554.10122=s ， 625.1232

=w s 代入得

9237.115.51

1)2(2±=+-+±-m

n s m n t Y X w

α 故得置信区间)4237.17,4237.6(-

29解： 因2222

1

σσσ==故用T 统计量

)

2(~11)

(21-++---=

m n t m

n s Y X T w

B A μμ

其中2)1()1(2

2

2

12-+-+-=

m n S m S n S W αα-=????

??<12t T P

计算得置信区间为 m n m n t S X X W B A 11)

2((2

+

-+--α，

)11)2(2

m n m n t S X X W B A +-++-α

把2

W S = )7(2

α

t =

代入可得所求置信区间为（ ）。 30．解：由题意 用U 统计量

)

1,0(~)

(2

22

12121N m

S

n S X X U +---=

μμ

αα-=<1}}{2

u U P 计算得置信区间为

m S n S u

X X 2

2212

21(+

--α

，

)2

22

12

21m S n S u X X ++-α 把71.11=X 67.12=X 22

1

035.0=S

22

2038.0=S

100==m n 96.1025.02

==u u α

代入计算得 置信区间)0501.0,0299.0(- 31．解：由题意，21,u u 未知，则

)

1,1(~122

12

*1

22

2*2

--=

n n F S S F σσ

则ααα-=?

??

???

--<<---

1)1,1()1,1(1221221n n F F n n F

P 经计算得

ασσαα-=??

?

???????--<<---1)1,1()1,1(2*22

*112222212*22*11221S S n n F S S n n F P

解得2

22

1σσ的置信区间为

???

? ??-----2*22*11

222*22*11221)1,1(,)1,1(S S n n F S S n n F αα

61=n 92=n 245.02

*1=S

357.02

*2

=S

05.0=α

查表：82.4)

8,5(025.0=F

207.082

.41

)8,5(1)5,8(025.0975.0===∴F F

带入计算得

2

22

1σσ的置信区间为：)639.4,142.0(。

32. 解：2σ未知，则

)1(~*

--=

n t n

S X T μ

即： {}αα-=-<1)1(n t T P 有：α

μα-=?

??

???-->1)1(*n S n t X P

则单侧置信下限为：

n

S n t X *)

1(--α将6720=X 220*=S

10=n 833.1)9(05.0=t 带入计算得471.6592即钢索所能承受平

均张力在概率为%95的置信度下的置信下限为471.6592。 33.解：总体服从（0，1）分布且样本容量n=100 为大子样。令X

为样本均值，由中心极限定理)1,0(~2

N n nP X n σ- 又因为22S =σ

所以αα

-=?

??

?

??<-12

u nS np X n P

则相应的单侧置信区间为-∞(， )2αu n

S X + 将X = 94.06.0)1(2?=-=

n

m

n m S 645.105.0==u u α 代入计算得所求置信上限为

即为这批货物次品率在置信概率为95%情况下置信上限为。

34.解：由题意：)1(~)1(22

2

2

--=*

n S n χσχ

{

}

αχ

χα

-=->-1)1(12

2n P 解得σ

的单侧置信上限为)

1()1(212

---*

n S

n αχ其中n=10，*S =45， 查表==-)9()1(2

95.02

χχαn

代入计算得σ的单侧置信上限为。 第五章

1.解：对一元回归的线性模型为i i i Y x βε=+ 1,2,,i n =??? 离差平方和为()2

1

n

i

i i Q y

x β==

-∑

对Q 求β的偏导数，并令其为0，即

()1

n

i

i

i

i y x x

β=-=∑

变换得 2

11

11n n i i i

i i x y x n n β===∑∑ 解此方程得 2

xy x

β

∧

=

因为 22D E σεε== i

i i y x εβ=-

所以 2

2

11n i i i y x n σβ∧∧=??=- ?

??

∑

()()()

2

2212

2

22

2

2

2

2

2

2

1222

n

i i i i i y x y x n y xy x xy xy x y

x

x ββββ∧

∧=∧

∧??=

-+ ?

??

=-+=-+∑

()

2

22

xy y x

=-

其中11n i i i xy x y n ==∑ 2

211n i i x x n ==∑ 221

1n i i y y n ==∑

2. 解：将 26x = 90.14y = 2736.511xy =

2

451.11x

m = 2

342.665y m =代入得

2

2

2

22

22736.5112690.14

0.8706451.11

90.140.87062667.5088

342.6650.8706451.110.7487x y x xy x y m y x m m βαβσβ∧

∧

∧

∧∧--?=

===-=-?==-=-?=

3证明：

'

00

2

211d d uv uv

d d u u β∧-=- ()()()

1

2

1

1

n

i

i

i n

i

i u

u

v v d

d u

u

==--=-∑∑

()()

()

()()

(

)

100111

10002

1

1111

1100121

21

11

2

111n

i i i n i i n

i i i n i

i n

i

i

i n

i i x c y c y c x c d d d d d d x c x c d d x x y y d d d d x x d x x y y x x

β

======∧

??

??------ ?

?????=??

--- ???--=

---=

-=∑∑∑∑∑∑

'

'

0001

1'

'

000011

'

10001'

01d d c c d d d v d u c c d c d v c d u d d y x

d y x αββββββα

∧∧∧∧∧∧∧

∧

+-=-+-

??

=+-+ ?

?

?=-=-=

()2

''2

012

''00012

''1

000112

'''000011112

1n i i i n

i i i n

i i i n

i i i n

i i i d v u d v d d u x c y c d d d d d y c d x c d d y x αβαβαβαββαβ∧∧=∧∧=∧∧=∧∧∧=∧∧

=??-- ???

??=-- ???-??=---??

????

=---+ ?

????=-- ?

??∑∑∑∑∑4．解：

品质指标

支数

将 35.353x

= 2211.2y = 76061.676xy =

2

132.130x

m = 234527.46y

m = 代入得

()2

2

2

2

22

76061.67635.3532211.2

15.98132.130

2211.215.9835.3532776.14

34527.4615.98132.130786.69x y x xy xy m y x m m βαβσβ∧

∧

∧

∧∧--?=

==-=-=+?==-=--?=

*2

σ∧为2

σ

∧的无偏估计量

*2

220786.69874.10218

n n σ

σ∧

∧===- 5. 解：将6x = 210.4y = 1558xy =

28x

m

= 210929.84y

m = 代入得

(

)2

*2

22*

15586210.436.958

210.436.95611.3

510929.8436.95812.3723

3.517

x xy x y m y x n n βαβσ

σσ∧

∧∧

∧∧∧

--?====-=-?=-==-?=-= 假设 0

:38H β= 1:38H β≠

用T 检验法 拒绝域为

()2t n α≥-

查表得 ()

0.025

3 3.1824t =

将上面的数据代入得

()0.0251.893t t =<

所以接受0H 即认为β为38

6. 解：（1）由散点图看，x 的回归函数具有线性函数形式， 认为长度对于质量的回归是线性的。

长度

质量

（2）将17.5x

= 9.49y = 179.37xy =

2

72.92x m = 2 2.45y m =代入得

2

179.3717.59.49

0.18272.92

x xy xy m β∧

--?=

== 9.490.18217.5 6.305y x αβ∧

∧

=-=-?=

6.3050.182y x x αβ∧

∧

∧

=+=+

（

3）当16x =时

00

16y a b ε=++

由T 分布定义

()2T t n ∧

∧

=

-

()0.02520.95P t n ???

??

<-=???

???

所以0Y 的预测区间为

()

(

)00.02500.02522x t n x t n αβσβσ∧∧

∧∧∧∧?+--++-?? 查表得()0.025

4 2.776t =

将（2）的数据代入得

()*2

22*

6 2.450.18272.920.0075

240.0866

n n σσσ∧∧∧==-?=-=

计算得0Y 的预测区间为

()8.9521,9.4721

9. 解：利用第八题得到的公式 将21x

= 141.2y = 3138xy = 2

90x m =

代入得

2

313821141.2

1.9290

141.2 1.9221100.88

x xy x y m y x βαβ∧

∧

∧

--?=

===-=-?=

10.

解

：

二

元

线

性

回

归

模

型

为

1122,1,2,,i i i i Y x x i n ββε=++=???

离差平方和为()

2

1221

n

i i i i i Q

y x x ββ==--∑

对Q 求12,ββ的偏导数并令其为0

()()112211

112221

00n

i i i i i n

i i i i i y x x x y x x x ββββ==?--=????--=??∑∑ 可变换为2

111212111

22112221

1100n n n

i i i i i i i i n n n

i i i i i i i i x y x x x y x x x x βββ

β======?--=????--=??∑∑∑∑∑∑

正规方程为21112212121222x x x x y

x x x x y

ββββ∧

∧

∧∧

?+=???+=?

最小二乘估计为2

21212

1

2

221212

2

1122122

22

1212

x yx x x yx x x x x

x yx x x yx x x x x ββ∧

∧

-=

--=

-

其中1111n i i i x y x y n ==∑ 221

1n

i i

i x y x y n ==∑

121211n i i i x x x x n ==∑ 2

21

1n j ij i x x n ==∑ 1,2j =

11解：（1）

2p = 15n =采用线性回归模型

()()

1122Y x x x x μββε=+-+-+

15

1

248.25i

i y

==∑ 16.55y =

15

21

4148.3125i i y ==∑

15

11

920i i x ==∑

15

2

1

1

56734i i x

==∑

161.33x = 15

21

7257i i x ==∑ 2483.8x =

15

22

1

3524489i i x

==∑

15

12

1

445366i i i x

x ==∑

15

11

15170i i

i x

y ==∑

15

2

1

12063925i i i x

y ==∑

2

15

152111

11

115673456426.66307.3415i i i i L x x ==??

=-=-= ???∑∑

2

15

152222

21

1135244893510936.613552.415i i i i L x x ==??

=-=-= ???∑∑

15

1515122112121

11144536644509627015i i i i i i i L L x x x x ===????

==-

=-= ???????

∑∑∑ 15

15151111

111151701522656

15y i i i i i i i L x y x y ===????

=-=-=- ???????∑∑∑15

15152221111120639.25120103.2553615y i i i i i i i L x y x y ===????

=-

=-= ???????

∑∑∑于是 16.55y μ∧

==

307.3427027013552.4L ??=???? 1256536y y L L ??-??=????

?????

?

可得

11256536L ββ∧-∧??

-??

??=??????

??

所以

1210.5040.2160.04y x x =-+

12.解

3p =18n =采用线性回归模型

()()()

112233Y x x x x x x μβββε=+-+-+-+

18

1

1463i i y ==∑

81.277y =

18

11

215i i x ==∑

1

11.944x = 18

21

758i i x ==∑ 242.11x =

18

3

1

2214i i x

==∑

3123x =

18

2

1

1

4321.02i i x

==∑

18

22

1

35076i i x

==∑

18

23

1

307864i i x

==∑

2

18

18

21111112

18

18

22222112

18

182

33331

114321.022568.051752.971813507631920.223155.7818130789427232235572

18i i i i i i i i i i i i L x x L x x L x x ======??

=-

=-= ?????

=-

=-= ???

??=-=-= ???∑∑∑∑∑∑18

12

1

10139.5i i i x

x ==∑

18

1818122112121

11110139.59053.881085.6218i i i i i i i L L x x x x ===????

==-=-= ???????∑∑∑

18

131

96598

i i i x x ==∑18

1818133113131

1112764526445120018i i i i i i i L L x x x x ===????

==-=-= ???????∑∑∑

18

23

196598i i i x

x ==∑

18

1818322323231

11196598932343364

18i i i i i i i L L x x x x ===????

==-=-= ???????∑∑∑

18

11

20706.2i i

i x

y ==∑

18

18181111

11120706.217474.73231.518y i i i i i i i L x y x y ===????

=-=-= ???????∑∑∑

18

2

1

63825i i i x

y ==∑

18

18182221

1116382561608.52216.5

18y i i i i i i i L x y x y ===????

=-=-= ???????∑∑∑

18

31

187542i i

i x

y ==∑

18

18183331

111187542179949759318y i i i i i i i L x y x y ===????

=-=-= ???????∑∑∑

于是

4.582y μ

∧

==1752.931085.621200L -????=??????

1085.62

1200 3155.78 3364 3364 35572

1233231.52216.57593y y y L L L ????????=????????????可得11233231.52216.57593L βββ∧

∧-∧????????

??=????????????

??

所以

12343.65 1.780.080.16y x x x ∧

=+-+

第三章

1.解: 假设: 26:,26:10≠=μμH H

由于2.5=σ

已知,故用统计量)1,0(~N n

x u σ

μ-=-

αα=???

???≥2u u P u 的拒绝域2

αu u ≥

2.14

2.526

56.27=-=

-=

-

n

x u σ

μ

因

显

著

水

平

05

.0=α,则

96.12.1025.02

==≤=u u u α

这时,就接受0H

2. 解: (1) σ已知,故)1,0(~0

N n

x u σμ

-=

-

αα=???

???≥2u u P u 的拒绝域2

α

u u ≥

2.310

15

32.50

=-=

-=

-

n

x u σμ

因显著水平01.0=α,则

576

.22.3005.02

==≥=u u u α 故此时拒绝

0H :5=u

(2) 检验8.4=u

时犯第二类错误的概率β

-

+-???? ??--?-=

x d e

n

n

n

n

x 0

2

2

20

2

20

21

σμμσ

μμσμαα

σπβ

令n

x t 0

σμ

-=

-

则上式变为

7180

.0171990.09999979.01)58.0()58.4()58.0()58.4(212158

.458

.02

2

22

1

02

1

02≈-+=-Φ+Φ=-Φ-Φ==

=

?

?

--+----dt

e

dt e

t u n

u n

t π

π

βα

α

σμμσμμ

3. 解:假设25.3:,25.3:10

≠=μμH H

用

t

检验法拒绝域

)1(2

*

-≥-=

-

n t n

s x T αμ

01.0=α,

252.3=-

x 查表6041.4)14(0112.0=t 0130.0,00017.02*==s s 代入计算

)14(344.00112.0t T <=

故接受0H ,认为矿砂的镍含量为25.3

4解:改变加工工艺后电器元件的电阻构成一个母体, 则在此母体上作假设64.2:0

=μH ,用大子样检验

)1,0(~0

N n

s

x u μ-=

-

拒绝域为2

αu u ≥ 由01.0,06.0,62.2,200====-

αs x n

查表得575.22

=α

u

2

575.233.310

06.002

.0αμu n

s

x u =>==-=

-

故新加工工艺对元件电阻有显著影响.

5 .解：用大子样作检验，假设

00:μμ=H

)1,0(~0N n

s x u 近似

μ-=

-

拒绝域为2

αu u >由

96

.1,05.0,162.0,994.0,973.0,200025.00======-

u s x n αμ96.1833.1200162.0021

.00<≈=--

n s x μ

故接收0H ，认为新工艺与旧工艺无显著差异。 6.解:由题意知，母体X 的分布为二点分布),1(p B ，

作假设)17.0(:000==p p p H

此时)(个产品中废品数为n m n

m

x

=

-

因400=n 很大，故由中心极限定理知-

x 近似服从正态分

布。

故)1,0(~)

1(000N n p p p n m u --=

应用数理统计课后习题参考答案

习题五 1 试检验不同日期生产的钢锭的平均重量有无显著差异？（=0.05） 解 根据问题，因素A 表示日期，试验指标为钢锭重量，水平为5. 假设样本观测值(1,2,3,4)ij y j =来源于正态总体2 ~(,),1,2,...,5i i Y N i μσ= . 检验的问题：01251:,:i H H μμμμ===不全相等 . 计算结果： 表5.1 单因素方差分析表 ‘*’ . 查表0.95(4,15) 3.06F =，因为0.953.9496(4,15)F F =>，或p = 0.02199<0.05， 所以拒绝0H ，认为不同日期生产的钢锭的平均重量有显著差异. 2 考察四种不同催化剂对某一化工产品的得率的影响，在四种不同催化剂下分别做试验 试检验在四种不同催化剂下平均得率有无显著差异？（=0.05） 解 根据问题，设因素A 表示催化剂，试验指标为化工产品的得率，水平为4 . 假设样本观测值(1,2,...,)ij i y j n =来源于正态总体2 ~(,),1,2,...,5i i Y N i μσ= .其中

样本容量不等，i n 分别取值为6，5，3，4 . 检验的问题：012341:,:i H H μμμμμ===不全相等 . 计算结果： 表5.2 单因素方差分析表 查表0.95(3,14) 3.34F =，因为0.952.4264(3,14)F F =<，或p = 0.1089 > 0.05， 所以接受0H ，认为在四种不同催化剂下平均得率无显著差异 . 3 试验某种钢的冲击值（kg ×m/cm2），影响该指标的因素有两个，一是含铜量A ， 试检验含铜量和试验温度是否会对钢的冲击值产生显著差异？（=0.05） 解 根据问题，这是一个双因素无重复试验的问题，不考虑交互作用. 设因素,A B 分别表示为含铜量和温度，试验指标为钢的冲击力，水平为12. 假设样本观测值(1,2,3,1,2,3,4)ij y i j ==来源于正态总体2 ~(,),1,2,3,ij ij Y N i μσ= 1,2,3,4j = .记i α?为对应于i A 的主效应；记j β?为对应于j B 的主效应； 检验的问题：（1）10:i H α?全部等于零，11 :i H α?不全等于零； （2）20:j H β?全部等于零，21:j H β?不全等于零； 计算结果： 表5.3 双因素无重复试验的方差分析表 查表0.95(2,6) 5.143F =，0.95(3,6) 4.757F =，显然计算值,A B F F 分别大于查表值， 或p = 0.0005，0.0009 均显著小于0.05，所以拒绝1020,H H ，认为含铜量和试验温度都会对钢的冲击值产生显著影响作用. 4 下面记录了三位操作工分别在四台不同的机器上操作三天的日产量：

(完整版)汪荣鑫版数理统计习题答案chapitre1

100 11 ==∑ =n i i x n x 34 11222 =-=∑ =n i i x x n s 第一章 1.在五块条件基本相同的田地上种植某种作物，亩产量分别为92，94，103，105，106（单位：斤），求子样平均数和子样方差。 解： 2.从母体中抽取容量为60的子样，它的频数分布 求子样平均数与子样方差，并求子样标准差。 解： 411 *==∑=l i i i x m n x 67.181122*2 =-=∑=l i i i x x m n s 32.467.18==s 3.子样平均数和子样方差的简化计算如下：设子样值n x x x ,,,21?的平均数为x 和方差 为2x ε。作变换c a x y i i -= ，得到n y y y ,,,21?，它的平均数为y 和方差为2 y s 。试证：222 ,y x s c s y c a x =+=。 解：由变换c a x y i i -= ，即i i cy a x += ()y cn na x n cy a x n i i n i i +=+=∑∑==,1 1 y c a x +=∴ 而()() () ∑∑∑====-= --+=-=n i y i n i i n i i x s c y y n c y c a cy a n x x n s 1 222 2 1212211

4.对某种混凝土的抗压强度进行研究，得到它的子样的下列观测数据（单位：磅/英寸2）： 1939, 1697， 3030, 2424, 2020, 2909， 1815, 2020, 2310 采用下面简化计算法计算子样平均数和方差。先作变换2000-=i i x y ，再计算y 与2y s ，然 后利用第3题中的公式获得x 和2x s 的数值。 解：作变换2000-=i i x y ，2000=a 44.24021649 1 11=?==∑=n i i y n y 444.2240=+=y a x 247.1970321122 22=-==∑=n i i y x y y n s s 5.在冰的溶解热研究中，测量从℃72.0-的冰变成0℃的水所需热量，取13块冰分别作试验得到热量数据如下： 79.98， 80.04， 80.02, 80.04, 80.03, 80.03, 80.04， 79.97， 80.05， 80.03， 80.02， 80.00， 80.02 试用变换()80100-=i i x y 简化计算法计算子样平均数和子样方差。 解：作变换()80100-=i i x y ，1001,80==c a 229131 11=?==∑=n i i y n y 02.80100280=+=+=y c a x 41 2 2 2222103.5-=?=-= =∑n i i y x y y n c s c s 6.容量为10的子样频数分布为 试用变换()2710-=i i x y 作简化计算，求x 与2 x s 的数值。 解：作变换()2710-=i i x y ，10/1,27==c a ()5.11510 1 11*-=-?==∑=l i i i y m n y

北航应用数理统计考试题及参考解答

北航2010《应用数理统计》考试题及参考解答 09B 一、填空题（每小题3分，共15分） 1，设总体X 服从正态分布(0,4)N ，而12 15(,,)X X X 是来自X 的样本，则22 110 22 11152() X X U X X ++=++服从的分布是_______ . 解：(10,5)F ． 2，?n θ是总体未知参数θ的相合估计量的一个充分条件是_______ . 解：??lim (), lim Var()0n n n n E θθθ→∞ →∞ ==． 3，分布拟合检验方法有_______ 与____ ___. 解：2 χ检验、柯尔莫哥洛夫检验． 4，方差分析的目的是_______ . 解：推断各因素对试验结果影响是否显著． 5，多元线性回归模型=+Y βX ε中，β的最小二乘估计?β 的协方差矩阵?βCov()=_______ . 解：1?σ-'2Cov(β) =()X X ． 二、单项选择题（每小题3分，共15分） 1，设总体~(1,9)X N ，129(,, ,)X X X 是X 的样本，则___B___ . （A ） 1~(0,1)3X N -； （B ）1 ~(0,1)1X N -； （C ） 1 ~(0,1) 9X N -； （D ~(0,1)N ． 2，若总体2(,)X N μσ，其中2σ已知，当样本容量n 保持不变时，如果置信度1α-减小，则μ的 置信区间____B___ . （A ）长度变大； （B ）长度变小； （C ）长度不变； （D ）前述都有可能. 3，在假设检验中，就检验结果而言，以下说法正确的是____B___ . （A ）拒绝和接受原假设的理由都是充分的； （B ）拒绝原假设的理由是充分的，接受原假设的理由是不充分的； （C ）拒绝原假设的理由是不充分的，接受原假设的理由是充分的； （D ）拒绝和接受原假设的理由都是不充分的. 4，对于单因素试验方差分析的数学模型，设T S 为总离差平方和，e S 为误差平方和，A S 为效应平方和，则总有___A___ .

应用数理统计,施雨,课后答案,

习题1 1.1 解：由题意95.01=? ?? ???<--u x p 可得： 95.0=??? ???????????<-σσn n u x p 而 ()1,0~N u x n σ ??? ??-- 这可通过查N(0,1)分布表，975.0)95.01(2195.0=-+=??? ? ??????????<--σσn n u x p 那么 96.1=σ n ∴2296.1σ=n 1.2 解：(1)至800小时，没有一个元件失效，则说明所有元件的寿命>800小时。 {}2.10015.0800 0015.00800 | e 0015.0800--∞ +-=∞ +-==>?e e dx x p x x 那么有6个元件，则所求的概率() 2.76 2 .1--==e e p (2)至300小时，所有元件失效，则说明所有元件的寿命<3000小时 {}5.430000 0015.03000 0015.001|e 0015.03000----=-==

因为~()i X P λ,所以 112233{,,}P X x X x X x ≤≤≤ 112233{}{}{}P X x P X x P X x =≤≤≤1233123!!! x x x e x x x ++-λ λ= 其中,0,1,2, ,1,2,3k x k == (2) 123{(,,)|0;1,2,3}k x x x x k χ=≥= 因为~()i X Exp λ,其概率密度为,0 ()0,0 x e x f x x -λ?λ≥=? ? 所以,1233 1 (,,)() f x x x b a = -,其中;1,2,3k a x b k ≤≤= (4) 123{(,,)|;1,2,3}k x x x x k χ=-∞<<+∞= 因为~(,1)i X N μ, 其概率密度为(2(),()x f x x 2 -μ) -=-∞<<+∞ 所以,3 1 1 (212332 1 (,,)(2)k k x f x x x e π2=- -μ)∑=,其中;1,2,3k x k -∞<<+∞= 解：由题意可得：()?? ???∞ <<=--，其它00,21)(i 2ln i i 2 2 i x e x x f u x σσπ 则∏ == n i x f x x f 1 i n i )(),...(＝??? ????=∞<<∏=∑--=，其它0,...1,0,1 n )2()(ln 212n 1 2 i 2 i x x e i n i i u x n i σπσ

汪荣鑫版数理统计习题答案chapitre1

100 11 ==∑=n i i x n x 34 1122 2 =-=∑=n i i x x n s 第一章 1.在五块条件基本相同的田地上种植某种作物，亩产量分别为92，94，103，105，106（单位：斤），求子样平 均数和子样方差。 解： 2.从母体中抽取容量为60的子样，它的频数分布 求子样平 均数与子样方 差，并求子样标准差。 解： 411 *==∑=l i i i x m n x 67.181122*2 =-=∑=l i i i x x m n s 32.467.18==s 3.子样平均数和子样方差的简化计算如下：设子样值n x x x ,,,21?的平均数为x 和方差 为2x ε。作变换c a x y i i -= ，得到n y y y ,,,21?，它的平均数为y 和方差为2 y s 。试证：222 ,y x s c s y c a x =+=。 解：由变换c a x y i i -= ，即i i cy a x += ()y cn na x n cy a x n i i n i i +=+=∑∑==,1 1 y c a x +=∴ 而()() () ∑∑∑====-= --+=-=n i y i n i i n i i x s c y y n c y c a cy a n x x n s 1 222 2 1212211

4.对某种混凝土的抗压强度进行研究，得到它的子样的下列观测数据（单位：磅/英寸 2 ）： 1939, 1697， 3030, 2424, 2020, 2909， 1815, 2020, 2310 采用下面简化计算法计算子样平均数和方差。先作变换2000-=i i x y ，再计算y 与2y s ，然 后利用第3题中的公式获得x 和2x s 的数值。 解：作变换2000-=i i x y ，2000=a 44.24021649 1 11=?==∑=n i i y n y 444.2240=+=y a x 247.1970321122 22=-==∑=n i i y x y y n s s 5.在冰的溶解热研究中，测量从℃72.0-的冰变成0℃的水所需热量，取13块冰分别作试验得到热量数据如下： ， ， , , , , ， ， ， ， ， ， 试用变换()80100-=i i x y 简化计算法计算子样平均数和子样方差。 解：作变换()80100-=i i x y ，1001,80==c a 229131 11=?==∑=n i i y n y 02.80100280=+=+=y c a x 41 2 2 2222103.5-=?=-= =∑n i i y x y y n c s c s

清华大学-杨虎-应用数理统计课后习题参考答案2

习题三 1 正常情况下，某炼铁炉的铁水含碳量2 (4.55,0.108)X N :.现在测试了5炉铁水，其含碳量分别为4.28，4.40，4.42，4.35，4.37. 如果方差没有改变，问总体的均值有无显著变化？如果总体均值没有改变，问总体方差是否有显著变化（0.05α=）？ 解 由题意知 2~(4.55,0.108),5,0.05X N n α==，1/20.975 1.96u u α-==，设立统计原假设 0010:,:H H μμμμ=≠ 拒绝域为 {}00K x c μ=->，临界值 1/2 1.960.108/0.0947c u α-==?=， 由于 0 4.364 4.550.186x c μ-=-=>，所以拒绝0H ，总体的均值有显著性变化. 设立统计原假设 2222 0010:,:H H σσσσ=≠ 由于0μμ=，所以当0.05α=时 22220.0250.9751 1()0.03694,(5)0.83,(5)12.83,n i i S X n μχχ==-===∑% 2210.02520.975(5)/50.166,(5)/5 2.567c c χχ==== 拒绝域为 {} 222200201//K s c s c σσ=><%%或 由于22 0/ 3.167 2.567S σ=>%，所以拒绝0H ，总体的方差有显著性变化. 2 一种电子元件，要求其寿命不得低于1000h .现抽测25件，得其均值为x =950h .已知该种元件寿命2(100,)X N σ:，问这批元件是否合格（0.05α=）？ 解 由题意知 2(100,)X N σ:，设立统计原假设 0010:,:,100.0.05.H H μμμμσα≥<== 拒绝域为 {}00K x c μ=-> 临界值为 0.050.0532.9c u u =?=?=- 由于 050x c μ-=-<，所以拒绝0H ，元件不合格. 3 某食品厂用自动装罐机装罐头食品，每罐标准重量为500g ，现从某天生产的罐头中随机抽测9罐，其重量分别为510，505，498，503，492，502，497，506，495（g ），假定罐头重量服从正态分布. 问 (1)机器工作是否正常（0.05α=）？ 2）能

数理统计汪荣鑫版习题答案

数理统计汪荣鑫版习题答案

数理统计习题答案 第一章 1.解： () () ()()()()()122 5 2 1122222 19294103105106100 5 11100519210094100103100105100106100534 n i i n i i i i X x n S x x x n ===++++====-=-?? =-+-+-+-+-? ?=∑∑∑ 2. 解：子样平均数 * 1 1l i i i X m x n ==∑ ()1 18340610262604= ?+?+?+?= 子样方差 ( )2 2 *1 1l i i i S m x x n ==-∑ ()()()()2222 18144034106422646018.67?? = ?-+?-+?-+?-? ?= 子样标准差 4.32 S = 3. 解：因为 i i x a y c -= 所以 i i x a cy =+ 1 1n i i x x n ==∑ ()1 111n i i n i i a cy n na cy n ===+??=+ ??? ∑∑ 1 n i i c a y n a c y ==+ =+∑ 所以 x a c y =+ 成 立 ( )2 2 1 1n x i i s x x n ==-∑ () ( ) () 2 2 12 21 11n i i i n i i n i i a cy a c y n cy c y n c y y n ====+--=-=-∑∑∑

因为 ()2 2 1 1n y i i s y y n ==-∑ 所以 222x y s c s = 成 立 ()()()()()17218120 3.2147.211.2 e n n e n M X X R X X M X X +?? ??? ??+ ??? ====-=--====4. 解：变换 2000 i i y x =- 1 1n i i y y n ==∑()61303103042420909185203109240.444 =--++++-++= ( )2 2 1 1n y i i s y y n ==-∑ ()()()()()()()()()222 2 2 2 222 161240.444303240.4441030240.4449 424240.44420240.444909240.444185240.44420240.444310240.444197032.247 =--+--+-+??-+-+-+ ?--+-+-? = 利用3题的结果可知 2220002240.444 197032.247 x y x y s s =+=== 5. 解：变换 () 10080i i y x =- 13 11 1113n i i i i y y y n ====∑∑ []1 2424334353202132.00= -++++++-+++++=

应用数理统计课后习题参考答案

习题五 1 某钢厂检查一月上旬内的五天中生产的钢锭重量，结果如下：(单位：k g) 日期重旦量 1 5500 5800 5740 5710 2 5440 5680 5240 5600 4 5400 5410 5430 5400 9 5640 5700 5660 5700 10 5610 5700 5610 5400 试检验不同日期生产的钢锭的平均重量有无显著差异？ ( =0.05) 解根据问题，因素A表示日期，试验指标为钢锭重量，水平为 5. 2 假设样本观测值y j(j 123,4)来源于正态总体Y~N(i, ),i 1,2,...,5 检验的问题：H。：i 2 L 5, H i : i不全相等. 计算结果： 注释当=0.001表示非常显著，标记为*** '类似地，=0.01，0.05，分别标记为 查表F0.95(4,15) 3.06，因为F 3.9496 F0.95(4,15)，或p = 0.02199<0.05 ，所 以拒绝H。，认为不同日期生产的钢锭的平均重量有显著差异 2 考察四种不同催化剂对某一化工产品的得率的影响，在四种不同催化剂下分别做试验 解 根据问题，设因素A表示催化剂，试验指标为化工产品的得率，水平为 4 . 2 假设样本观测值y j(j 1,2,..., nJ来源于正态总体Y~N(i, ), i 1,2,...,5 .其中样本容量不等，n分别取值为6，5，3，4 .

日产量 操作工 查表 F O .95（3,14） 3.34，因为 F 2.4264 F °.95（3,14），或 p = 0.1089 > 0.05， 所以接受H 。，认为在四种不同催化剂下平均得率无显著差异 3 试验某种钢的冲击值（kg Xm/cm2 ）,影响该指标的因素有两个，一是含铜量 A ,另 一个是温度 试检验含铜量和试验温度是否会对钢的冲击值产生显著差异？ （ =0.05 ） 解 根据问题，这是一个双因素无重复试验的问题，不考虑交互作用 设因素A,B 分别表示为含铜量和温度，试验指标为钢的冲击力，水平为 12. 2 假设样本观测值y j （i 1,2,3, j 1,2,3,4）来源于正态总体 Y j ~N （j , ）,i 1,2,3, j 1,2,3,4 .记i 为对应于A 的主效应；记 j 为对应于B j 的主效应； 检验的问题：（1） H i 。： i 全部等于零，H i — i 不全等于零； （2） H 20 : j 全部等于零，H 21： j 不全等于零； 计算结果： 查表F 0.95（2,6） 5.143 ,局.95（3,6） 4.757 ,显然计算值F A , F B 分别大于查表值, 或p = 0.0005 , 0.0009均显著小于0.05，所以拒绝H i°,H 20，认为含铜量和试验温度 都会对钢的冲击值产生显著影响作用 . 4 下面记录了三位操作工分别在四台不同的机器上操作三天的日产量: 检验的问题：H 0： 1 计算结果： H i : i 不全相等

应用数理统计习题答案 西安交大 施雨

应用数理统计答案 学号： 姓名： 班级：

目录 第一章数理统计的基本概念 (2) 第二章参数估计 (14) 第三章假设检验 (24) 第四章方差分析与正交试验设计 (29) 第五章回归分析 (32) 第六章统计决策与贝叶斯推断 (35) 对应书目：《应用数理统计》施雨著西安交通大学出版社

第一章 数理统计的基本概念 1.1 解：∵ 2 (,)X N μσ ∴ 2 (,)n X N σμ ∴ (0,1)N 分布 ∴(1)0.95P X P μ-<=<= 又∵ 查表可得0.025 1.96u = ∴ 2 2 1.96n σ= 1.2 解：(1) ∵ (0.0015)X Exp ∴ 每个元件至800个小时没有失效的概率为： 800 0.00150 1.2 (800)1(800) 10.0015x P X P X e dx e -->==-<=-=? ∴ 6个元件都没失效的概率为： 1.267.2 ()P e e --== (2) ∵ (0.0015)X Exp ∴ 每个元件至3000个小时失效的概率为： 3000 0.00150 4.5 (3000)0.00151x P X e dx e --<===-? ∴ 6个元件没失效的概率为： 4.56 (1)P e -=- 1.4 解：

i n i n x n x e x x x P n i i 1 2 2 )(ln 2121)2(),.....,(1 22 =-- ∏∑ = =πσμσ 1.5证： 2 1 1 2 2)(na a x n x a x n i n i i i +-=-∑∑== ∑∑∑===-+-=+-+-=n i i n i i n i i a x n x x na a x n x x x x 1 2 2 2 2 11) ()(222 a) 证： ) (1111 1+=+++=∑n n i i n x x n x ) (1 1 )(1 1 11n n n n n x x n x x x n n -++=++=++

应用数理统计课后习题 清华大学出版社 杨虎 钟波第三章作业参考答案

第 三 章 作 业 参 考 答 案 2、解：计算矩估计：2 1)1(1 ++= +?= ? αααα dx x x EX ， 令 X EX =++= 2 1αα ，解得 1 2-1?1-=X X α ； 计算极大似然估计：α α αα α)()1()1()()(1 1 1 ∏∏∏ ===+=+= = n i i n n i i n i i x x x f L )ln()1ln()(ln 1 ∏=++=?n i i x n L ααα0 )ln(1 )(ln 1 =++= ??? ∏=n i i x n L αα α 解得 ) ) ln(1(?1 2∏=+-=n i i x n α ； 将样本观测值代入，得到估计值分别为0.3077?1=α ，0.2112?2=α。 6、 解：（1）由例3.2.3可知，μ的极大似然估计分别为 X =μ ?， 05.0)(1)(=-Φ-=>μA A X P )645.1(95.0)(Φ==-Φ?μA 645 .1+=?μA ，由46页上极大似然估计的不变性可知645.1??+=μA ； （2）由例3.2.3可知，2 σμ，的极大似然估计分别为 ∑=-= =n i i X X n X 1 2 2 ) (1 ??σ μ，， 05.0)( 1)(=-Φ-=>σ μ A A X P )645.1(95.0)( Φ==-Φ?σ μ A σ μ645.1+=?A ，由46页上极大似然估计的不变性可知σμ?645.1??+=A 。 8、解：计算2 2 2 2222)()()(σσ μC n S CE X E CS X E -+ =-=-，由题意则有 2 2 2 2 μσ σ μ=-+ C n ，解得n C 1= 。

数理统计答案第四章汪荣鑫

P168 2解：假设0 1234:H μμμμ=== 112 34:H μμμμ不全为零 1234454562024.52r n n n n n X ======= 经计算可得下列反差分析表： 查表得0.05(3,16) 3.24F = 0.0517.8837 0.4745(3,16)37.6887 F F = =< 故接受0H 即可认为四个干电池寿命无显着差异 3 解：假设0 123:H μμμ== 1123:H μμμ不全相等 12336140.9278r n n n X ===== 经计算可得下列方差分析表： 0.050.05(2,15) 3.68 4.373 3.68(2,15) F F F ==>= ∴拒绝0H 故可认为该地区三所小学五年级男生平均身高有显着差异。

4 解： 假设01234:H μμμμ=== 11234:H μμμμ不全相等 123445100.535r n n n n X ====== 0.05(3,16) 3.24F = 0.05(3,16) 3.24F F >= ∴拒绝0H 故可认为这几支伏特计之间有显着差异。 5 解：假设012345:H μμμμμ==== 112345:H μμμμμ不全相等 60 1234553 89.6r n n n n n X ======= 0.050.05(4,10) 3.4815.18(4,10)F F F ==>

∴拒绝0H 故可认为温度对得率有显着影响 2 151515 11(,( ))X X N n n μμσ--+ 由T 检验法知： ()T t n r = - 给定的置信概率为10.95α-= 0.025{()}0.95P T t n r <-= 故15μμ-的置信概率为的置信区间为 150.025150.025((,()E E X X t n r X X t n r ----+- 2.236E S = == 0.025(10) 2.2281t = 由上面的数据代入计算可得： 150.025150.0259084 2.2281 2.236 1.932210.0678E E X X t X X t --=--?=-+= 故15μμ-的置信区间为（ , ） 2 343434 11(,( ))X X N n n μμσ--+ 由T 检验法知： ()X X T t n r = - 34μμ-的置信区间为： 340.025340.025((,()E E X X t n r X X t n r ----+-

研究生《应用数理统计基础》庄楚强 四五章部分课后答案

4-45. 自动车床加工中轴，从成品中抽取11根，并测得它们的直径（mm ）如下： 10.52，10.41，10.32，10.18，10.64，10.77，10.82，10.67，10.59，10.38，10.49 试用W 检验法检验这批零件的直径是否服从正态分布？（显著性水平05.0=α） （参考数据：） 4-45. 解：数据的顺序统计量为： 10.18，10.32，10.38，10.41，10.49，10.52，10.59，10.64，10.67，10.77，10.82 所以 6131 .0][)()1(5 1 ) (=-= -+=∑k k n k k x x a L ， 又 5264.10=x ， 得 38197 .0)(11 1 2 =-∑=i i x x 故 984.0) (11 1 2 2 =-= ∑=i i x x L W ， 又 当n = 11 时，85.005.0=W 即有 105.0<

2009(上)《数理统计》考试题(A卷)及参考解答

2009(上)《数理统计》考试题(A 卷)及参考解答 一、填空题（每小题3分，共15分） 1，设总体X 和Y 相互独立，且都服从正态分布2(0,3)N ，而129(,,)X X X 和129(,,)Y Y Y 是分别来自X 和Y 的样本，则U = 服从的分布是_______ . 解：(9)t ． 2，设1?θ与2?θ都是总体未知参数θ的估计，且1?θ比2?θ有效，则1?θ与2 ?θ的期望与方差满足_______ . 解：1212 ????()(), ()()E E D D θθθθ=<． 3，“两个总体相等性检验”的方法有_______ 与____ ___. 解：秩和检验、游程总数检验． 4，单因素试验方差分析的数学模型含有的三个基本假定是_______ . 解：正态性、方差齐性、独立性． 5，多元线性回归模型=+Y βX ε中，β的最小二乘估计是?β=_______ . 解：1?-''X Y β= ()X X ． 二、单项选择题（每小题3分，共15分） 1，设12(,,,)(2)n X X X n ≥ 为来自总体(0,1)N 的一个样本，X 为样本均值，2 S 为样本方差，则 ____D___ . （A ）(0,1)nX N ； （B ）2 2()nS n χ ； （C ） (1)()n X t n S - ； （D ）2 12 2 (1)(1,1)n i i n X F n X =--∑ . 2，若总体2(,)X N μσ ，其中2σ已知，当置信度1α-保持不变时，如果样本容量n 增大，则μ的 置信区间____B___ . （A ）长度变大； （B ）长度变小； （C ）长度不变； （D ）前述都有可能. 3，在假设检验中，分别用α，β表示犯第一类错误和第二类错误的概率，则当样本容量n 一定时，下列说法中正确的是____C___ . （A ）α减小时β也减小； （B ）α增大时β也增大； （C ）,αβ其中一个减小，另一个会增大； （D ）（A ）和（B ）同时成立. 4，对于单因素试验方差分析的数学模型，设T S 为总离差平方和，e S 为误差平方和，A S 为效应平方

清华大学应用数理统计课后习题及答案

清华大学应用数理统计课后习题及答案 习题三 1 正常情况下，某炼铁炉的铁水含碳量2 (4.55,0.108)X N :.现在测试了5炉铁水，其含碳量分别为4.28，4.40，4.42，4.35，4.37. 如果方差没有改变，问总体的均值有无显著变化？如果总体均值没有改变，问总体方差是否有显著变化（0.05α=）？ 解 由题意知 2 ~(4.55,0.108),5,0.05X N n α==，1/20.975 1.96u u α-==，设立 统计原假设 0010:,:H H μμμμ=≠ 拒 绝 域 为 {} 00K x c μ=->，临界值 1/2 1.960.108/0.0947c u α-==?=， 由于 0 4.364 4.550.186x c μ-=-=>，所以拒绝0H ，总体的均值有显著性 变化. 设立统计原假设 2 2 2 2 0010:,:H H σσσσ=≠ 由于0μμ=，所以当0.05α=时 22220.0250.9751 1()0.03694,(5)0.83,(5)12.83,n i i S X n μχχ==-===∑% 22 10.02520.975(5)/50.166,(5)/5 2.567c c χχ==== 拒绝域为 {} 222200201//K s c s c σσ=><%%或 由于2 2 / 3.167 2.567S σ=>%，所以拒绝0H ，总体的方差有显著性变化. 2 一种电子元件，要求其寿命不得低于1000h .现抽测25件，得其均值为 x =950h .已知该种元件寿命2(100,)X N σ:，问这批元件是否合格 （0.05α=）？ 解 由题意知 2 (100,)X N σ:，设立统计原假设 0010:,:,100.0.05.H H μμμμσα≥<== 拒绝域为 {} 00K x c μ=->

清华大学-杨虎-应用数理统计课后习题参考答案

习题一 1 设总体X 的样本容量5=n ，写出在下列4种情况下样本的联合概率分布. 1）),1(~p B X ； 2）)(~λP X ； 3）],[~b a U X ； 4）)1,(~μN X . 解 设总体的样本为12345,,,,X X X X X ， 1）对总体~(1,)X B p ， 11223344555 11 1 55(1) (,,,,)()(1)(1)i i n x x i i i i x x P X x X x X x X x X x P X x p p p p -==-========-=-∏∏ 其中：5 1 15i i x x ==∑ 2）对总体~()X P λ 11223344555 1 1 555 1 (,,,,)()! ! i x n i i i i i x i i P X x X x X x X x X x P X x e x e x λ λ λλ-==-========== ∏∏ ∏ 其中：5 1 15i i x x ==∑ 3）对总体~(,)X U a b 55 11511 ,,1,...,5 (,,)()0i i i i a x b i f x x f x b a ==?≤≤=?==-??? ∏∏ L ，其他

4）对总体~(,1) X Nμ () ()() 2 555 5/22 2 15 1 11 1 (,,)()=2exp 2 i x i i i i i f x x f x x μ πμ - -- = == ?? ==-- ? ?? ∑ ∏ L 2 为了研究玻璃产品在集装箱托运过程中的损坏情况，现随机抽取20个集装箱检查其产品损坏的件数，记录结果为：1，1，1，1，2，0，0，1，3，1，0，0，2，4，0，3，1，4，0，2，写出样本频率分布、经验分布函数并画出图形. 解设(=0,1,2,3,4) i i代表各箱检查中抽到的产品损坏件数，由题意可统计出如下的样本频率分布表1.1： 经验分布函数的定义式为：

应用数学统计教学大纲

北京建筑工程学院 《应用数理统计》课程教学大纲 （最新修改版） 课程名称：应用数理统计 英文名称：Application of Mathematical Statistics 课程编号： 11121002 开课单位：基础部数学教研室 撰写人：吕亚芹 开课学期： 2 总学时：32学时 学分：2学分 课程类别：学位课 考核类别：考试 考核方式：开卷或闭卷；平时成绩占30%，考试成绩占70%。 预修课程：概率论，线性代数, 高等数学 适用专业：管理、工科（土木、城建、测绘等）类各专业 一、教学目标 近年来，数理统计在自然科学，工程技术和社会经济等领域的应用了日趋深广，让数据说话的实证分析已成趋势，使统计越来越引起人们的重视。数理统计以概率论为基础，根据试验或观察得到的数据，来研究随机现象统计规律性的学科。本课程的目的是让学生了解统计推断检验等方法并能够应用这些方法对研究对象的客观规律性作出种种合理的估计和判断。掌握总体参数的点估计和区间估计，掌握假设检验的基本方法与技巧，理解方差分析及回归分析的原理，并能运用其方法和技巧进行统计推断。 二、教学要求

本课程属于数学基础课程，含有较多的数学推导和证明及很多统计思想。通过本课程的学习，使学生掌握数理统计基本知识，着重培养学生用数理统计方法和统计软件解决实际问题的能力。 具体教学要求如下： 1．理解简单随机样本的含义；熟练掌握一些常见的统计量及其分布。 2．掌握参数的矩估计和最大似然估计方法；掌握评价估计量的好坏准则；掌握正态总体参数的区间估计方法。 3．了解显著性检验的基本思想；熟练掌握一个正态总体的参数的显著性检验方法；．掌握两个正态总体的参数的显著性检验方法。 4．了解回归分析的基本思想；掌握一元线性回归分析的基本方法。 5．了解方差分析的基本思想；掌握单因素方差分析的基本方法。 6. 熟悉统计软件SPSS操作步骤，学会分析处理统计数据。 三、课程内容 课程的主要内容分为如下几部分： 1、总体、样本、简单随机样本；χ2-分布、t-分布、F-分布；统计量的定义及其分布。 2、估计量的求法：矩法、最大似然法；估计量的优良准则：无偏性、有效性、一致性；正态总体参数的区间估计。学会用统计软件SPSS进行区间估计。 3、假设检验的基本思想和基本概念；正态总体参数的显著性检验基本步骤。学会用统计软件SPSS进行假设检验。 4、一元线性回归分析；多元线性回归分析。学会用统计软件SPSS进行回归分析。 5、单因素方差分析；两因素方差分析。学会用统计软件SPSS进行方差分析。 四、教学时间安排

研究生应用数理统计基础庄楚强,何春雄编制 课后答案

研究生 习题2： 2-7. 设 )1,0(~N ξ，),,,,,(654321ξξξξξξ为其一样本，而26542321)()(ξξξξξξη+++++=， 试求常数c ，使得随机变量ηc 服从2 χ分布。 2-7解：设3211ξξξη++=，所以 )3,0(~1N η 6542ξξξη++=，所以 )3,0(~2N η 所以 )1,0(~3 1 N η ， )1,0(~3 2 N η )2(~)(3 1332 22212 22 1χηηηη+=??? ??+??? ?? 由于 2 22 1ηηη+= 因此 当 3 1=c 时，)2(~2 χηc 。 2-8. 设 ),,,(1021ξξξΛ为)3.0,0(2 N 的一个样本，求 ? ?? ???>∑=101244.1i i P ξ 。（参考数据：） 2-8解：因为 )3.0,0(~),,,(2 1021N ξξξξΛ=， 所以 )1,0(~3 .0N ξ ， 即有)10(~3.0210 12 χξ∑=?? ? ??i i 所以 ??? ???>∑=101244.1i i P ξ??????>=∑=1012223.044.13.0i i P ξ??????>=∑=10122163.0i i P ξ ? ?? ???≤-=∑=10122163.01i i P ξ1.09.01=-= 2-14. 设总体)4,1(~N ξ，求{}20≤≤ξP 与{} 20≤≤ξP ，其中ξ是样本容量为16的样 本均值。（参考数据：）

2-14解： {}20≤≤ξP )0()2(F F -=)210()212( -Φ--Φ=)2 1 ()21(-Φ-Φ= 1)2 1 (2-Φ=3830.016915.02=-?= 由于 )4,1(~N ξ ， 所以 )1,0(~21 1 16 21N -=-ξξ {} 20≤≤ξP ????? ?-≤-≤-=21122112110ξP ? ?? ???≤-≤-=22112ξP )2()2(-Φ-Φ=9545.019725.021)2(2=-?=-Φ= 2-17. 在总体)20,80(2 N 中随机抽取一容量为100的样本，问样本平均值与总体均值的差 的绝对值大于3的概率是多少？（参考数据：） 2-17解：因为 )20,80(~2 N ξ， 所以 )1,0(~2 80 100 20 80 N -= -ξξ 所以 {}380>-ξP {} 3801≤--=ξP ?? ? ?????? ?≤--=232801ξP ? ?? ???≤ -≤--=23280 231ξP )]5.1()5.1([1-Φ-Φ-= ]1)5.1(2[1-Φ-=1336.0)93319.01(2)5.1(22=-=Φ-= 2-25. 设总体ξ的密度函数为 ?? ?<<=其它 102)(x x x p 取出容量为4的样本),,,(4321ξξξξ，求： （1） 顺序统计量)3(ξ的密度函数)(3x p ；（2）)3(ξ的分布函数)(3x F ；（3）??? ? ??>21)3(ξP 。 2-25解：（1）由 ()()[][])()(1)(! !1! )(1)(x p x F x F k n k n x p k n k k -----= ξ 所以 当 10<