三角形中位线的应用三例

三角形中位线的应用三例

在平面几何证明题中，若题设条件出现了一条线段的中点，则可取另一条线段的中点，构造三角形的中位线，利用其性质证题．主要有三种情况，现举例说明．

例1 如图1，正方形ABCD的对角线相交于点O，∠BAC的平分线AE交BC于E，DF⊥AE 于F，DF分别交AB、AC于G、H。

分析由题设知，O是△DGB一边DB的中点，取另一边DG的中点M，连OM，则OM平行

且等于1

2

BG。欲证OH=

1

2

BG，只需证OH=OM.

证明取DG的中点M，连OM．

∵AE平分∠BAC，且DF⊥AE，

∴∠OHM=∠AHF=90°－22.5°=67.5°．

又∠MOH=∠BAC=45°，

∴∠OMH=180°－67.5°－45°=67.5°，

∴∠OMH=∠OHM，

∴OH=OM，

例2 如图2，在四边形ABCD中，AD=BC，E、F分别是 AB、CD的中点，直线EF交AD 的延长线于G，交BC的延长线于H．

求证∠AGE=∠BHE．

分析由于中点E、F不在一个三角形的边上，可连结AC，取AC的中点M，连ME、MF，在△CAD和△ABC中分别利用中位线的性质．

证明连结AC，取AC的中点M，连ME、MF．

∵E是AB的中点，

∴∠MEF=∠BHE．

∴∠MFE=∠AGE．

又 AD=BC，

∴MF=ME，

∴∠MEF=∠MFE，

故∠AGE=∠BHE．

例3 如图3，在五边形ABCDE中，AB⊥BC，AE⊥ED，∠BAC=∠EAD，P是CD的中点，求证：PB=PE．

分析由于PB、PE不在同一个三角形中，且PB、PE分别所在的两个三角形又不具备全等的条件，欲证PB=PE，可分别以PB、PE为一边构造两个三角形，再证它们全等．为此，分别取AC、AD的中点F、G，连结FB、FP、GE、GP．在Rt△ABC和Rt△AED中分别利用斜边上中线的性质，在△ACD中利用中位线的性质．

证明分别取AC、AD的中点F、G，连结FB、FP、GE、GP．

∴∠PFC=∠DAC，∠PGD=∠CAD．

且 PF=EG，FB=GP．

又∠BFP=∠BFC+∠PFC

=∠FBA+∠BAC+∠DAC

=2∠BAC+∠DAC，

∠EGP=∠EGD+∠PGD

=∠GEA+∠DAE+∠CAD

=2∠DAE+∠CAD，

且已知∠BAC=∠DAE，∴∠BFP=∠EGP．于是，易知△BFP≌△EGP．

故 PB=PE．

北师大版八年级数学下册 三角形的中位线教学设计教案

《3三角形的中位线》教案 教学目标 知识与技能： 1、理解和领会三角形中位线的概念． 2、理解并掌握三角形中位线定理及其应用． 过程与方法： 经过探索三角形中位线定理的过程，理解它与平行四边形的内在联系，感悟几何学的推理方法． 情感态度与价值观： 培养学生合情推理意识，形成几何思维分析思路，体会几何学在日常生活中的应用价值．教学重难点 重点：理解并应用三角形中位线定理． 难点：三角形中位线定理的探索与推导． 学习过程 一、复习引入 1、什么叫三角形的中线？ 2、三角形的中线有几条？ 二、合作交流，探究新知 1、问题引入： 接下来，我们就要来探究一个问题，A、B两点被池塘隔开，现在要测量出A、B两点间的距离，但又无法直接去测量，怎么办？ 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线． 2、用例题证明中位线的定理： 例：如图已知，在△ABC中，点D，E分别是△ABC的边AB、AC中线， 求证：DE∥BC，且DE=1/2BC． 证明：如图，延长DE到F，使EF=DE，连结CF． ∵DE=EF，AE=EC，∠AED=∠CEF，

∴△ADE ≌△CFE ∴AD=FC ，∠A=∠CEF ∴AB ∥FC 又AD=DB ∴BD //CF 所以，四边形BCFD 是平行四边形． ∴DE ∥BC 且DE=2 1BC ． 三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． 3、解决引入问题： A 、 B 两点被池塘隔开，现在要测量出A 、B 两点间的距离，但又无法直接去测量，怎么办？ 在A 、B 外选一点 C ，连结AC 和BC ，并分别找出AC 和BC 的中点 D 、 E ，如果能测量出DE 的长度，也就能知道AB 的距离了．（AB=2DE ） 三、应用迁移 已知：如图所示，在四边形ABCD 中，E 、F 、H 、M 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点． 求证：四边形EFHM 是平行四边形． 分析：因为已知点分别是四边形各边中点，如果连结对角线就可以把四边形分成三角形，这样就可以用三角形中位线定理来证明出四边形EFGM 对边的关系，从而证出四边形EFGH 是平行四边形． 证明：连结AC ． ∵AM=MD ，CH=HD ∴HM //AC ，HM=1/2AC （三角形中位线定理）． 同理，EF //AC ，EF=1/2AC ∴HM //EF ∴四边形EFGH 是平行四边形． 四、课堂检测，巩固提高： 1、△ABC 中，E 、F 分别为AB ，AC 的中点，若AB=8，AC=12，BC=18，那么EF=________． 2、顺次连结任意四边形各边中点所得的图形是______． 3、已知三角形的3条中位线分别为3cm 、4cm 、6cm ，则这个三角形的周长是（ ） A ．3cm B ．26cm C ．24cm D ．65cm

初中几何中三角形中位线定理的应用

初中几何中三角形中位线定理的应用 三角形中位线定理在初中教材体系中是一个很重要的定理，学好本节内容将有助于梯形中位线定理乃至整个平面几何知识的学习。它具有两个方面的特性：（1）平行于第三边，这是位置关系； （2）等于第三边的一半，这是数量关系。就第一个特性而言，中位线定理与平行线等分线段定理中的推论2（经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边）存在着互逆关系。我们利用这两个特性，能证明（求解）许多几何问题，以下举例说明它的具体应用。 一、证明问题 1、证明角相等关系 例1、已知：如图在四边形ABCD 中 对角线AC=BD ，E 、F 分别为AB 、CD 中点，点O 为AC ，BD 的交点，M 、N 为EF 与BD ，AC 的交点。求证：OM=ON 分析：证明OM=ON 可转化成证明 ∠OMN=∠ONM ，由于E 、F 为AB 、CD 的中点这时只要取AD 中点H 作出△ABD 与 △ACD 的中位线，即可得到EH=21BD ,HF=21AC,因为AC=BD,从而 得到EH=HF 所以∠HEF=∠HFE,因为 EH//BD, FH//AC 所以∠HEF=∠OMN, ∠HFE=∠ANM 从而得到∠DMF=∠ANM 这样要求证问题就解决了。 证明：取AD 中点H 并分别连结EH 、HF ，即EF 与FH 分别为△ABD 与△DAC 的中位线。 ∴EH=21BD ，EH//BD ，HF=21AC ，FH//AC (三角形中位线定理) 而 AC=BD ，∴EH=HF ，∴∠HEF=∠HFE 又∵EH//BD ，HF//AC ，∴∠HEF=∠ DMF ，∠HFE=∠ANM ∴∠DMF=∠ANM ，∴OM=ON 例2、如图、四边ABCD 中，AB=CD ， M 、N 分别为AD 、BC 的中点，EF ⊥MN

《三角形的中位线》教学设计

《三角形的中位线》教学设计 [设计思路] （一）教材分析 本课时在教学中注重新旧知识的联系，强调直观与抽象的结合，鼓励学生大胆猜想，大胆探索新颖独特的证明方法和思路，让学生经历“探索—发现—猜想—证明”这一过程，同时渗透归纳、类比、转化等数学思想方法。通过本节课的学习，应使学生理解三角形中位线性质，不但能指出了三角形的中位线与第三边的位置关系和数量关系，而且还为证明线段之间的位置关系和数量关系提供了新的思路。 （二）学情分析 针对本班学生基础知识不够扎实，新知识接受能力不强，数学思想方法运用不够灵活的现状,本节课着眼于基础，注重能力的培养，积极引导学生首先通过实际操作获得结论，然后借助于平行四边形的有关知识进行探索和证明。在此过程中注重知识渗透转化、类比、归纳的数学思想方法，使学生能充分参与到教学过程中去，从而提高本节课的教学效果。 （三）教学目标 1.知识目标 （1）理解三角形中位线的概念。 （2）掌握三角形中位线的性质。 （3）会运用性质进行论证和计算。 2.能力目标

通过性质证明，培养学生思维的广阔性，渗透对比转化的思想。 3.情感目标 通过学生动手操作、观察、实验、推理、猜想、论证等过程，让学生体验知识的发生和发展过程，培养学生的创新意识。 （四）教学重点与难点 教学重点：三角形中位线的概念与三角形中位线的性质. 教学难点：三角形中位线性质的证明。 （五）教学方法与学法指导 对于三角形中位线定义的引入采用类比法，在此基础上，教师引导学生通过探索、猜测等自主探究的方法先获得结论再去证明。在此过程中，注重对证明思路的启发和数学思想方法的渗透，而对于定理的证明过程，则运用多媒体的优势，给予演示增强直观性，使学生易于理解和接受。 （六）教具和学具的准备 教具：多媒体、刻度尺、教学三角板。 学具：三角板、刻度尺。 [教学过程] 一、引入 谈话：同学们好，今天这节课我将与大家一起来学习三角形中位线的概念与性质。 二、新授 （1）对照图片，回顾三角形中线的概念及 特点：

三角形中线的阿波罗尼斯定理及其应用

三角形中线的阿波罗尼斯定理及其应用 阿波罗尼斯定理 三角形两边平方的和,等于所夹中线及第三边之半的平方和的2倍. 具体地说,就是:设AD 是△ABC 的中线,则)(22222BD AD AC AB +=+. 证明 如图1,作BC 边上的高AH . 由勾股定理,得 222DH AH AD +=,2 2 2BH AH AB +=, 2 2 2 CH AH AC +=. 所以222222CH BH AH AC AB ++=+. 由 CD BD =, 可 得 )(2)()(2 2 2 2 2 2 DH BD DH BD DH BD CH BH +=-++=+. 所以)(2)(22222222BD AD BD DH AH AC AB +=++=+. 该定理应用广泛,不但可以用来计算三角形中线的长度,而且对于多线段的平方和问题,尝试构造三角形的中线后运用它往往也能凑效.下面举例说明此定理的应用. 1.直接使用 当题设条件中出现三角形的中线时,可考虑使用阿波罗尼斯定理建立相关线段的联系,以助解题. 例 1 AD 、BE 、CF 是△ABC 的三条中线.若a BC =,b CA =,c AB =,则 = ++2 2 2 CF BE AD ______. (2005年山东省初中数学竞赛) 分析 AD 、BE 、CF 是△ABC 的三条中线,故可直接使用三角形中线的阿波罗尼斯定理进行计算. 解 如图2, AD 是BC 边上的中线,由阿波罗尼斯定理得 ?? ? ??+=+222 2 412BC AD AC AB . 代入已知数据,变形得2 2 2 24 12 121a b c AD - + =. 同 理 2 2 2 2 4 12 12 1b a c BE - + = ,2 2 2 2 4 12 12 1c b a CF - + = . 故()2 2 2 2 224 3c b a CF BE AD ++= ++. 例2 如图3,△ABC 的内切圆⊙O 与边CA 上的中线BM 交于点G 、H ,并且 点G 在点B 和点H 之间.已知HM BG =,2=AB ,2>BC .那么,当BC 、CA 为何值 D C B E A 图2 F A B 图1

三角形的中位线教案 (2)

三角形的中位线 石棉县城北中学吴国平1、知识状况 本节课是在学生学习了全等三角形、平行四边形的性质与判定的基础上学习三角形中位线的概念和性质。三角形中位线是继三角形的角平分线、中线、高线后的第四种重要线段。三角形中位线定理为证明直线的平行和线段的倍分关系提供了新的方法和依据，也是后续研究梯形中位线的基础。三角形中位线定理所显示的特点既有线段的位置关系又有线段的数量关系，因此对实际问题可进行定性和定量的描述，在生活中有着广泛的应用。 2、教学任务 本节课以“问题情境——建立模型——巩固训练——拓展延伸”的模式展开，引导学生从已有的知识和生活经验出发，提出问题与学生共同探索、讨论解决问题的方法，让学生经历知识的形成与应用的过程，从而更好地理解数学知识的意义。 利用制作的多媒体课件，让学生通过课件进行探究活动，使他们直观、具体、形象地感知知识，进而达到化解难点、突破重点的目的。 3、教学目标 认知目标 （1）知道三角形中位线的概念，明确三角形中位线与中线的不同。 （2）理解三角形中位线定理，并能运用它进行有关的论证和计算。 （3）通过对问题的探索及进一步变式，培养学生逆向思维及分解构造基本图形解决较复杂问题的能力． 能力目标 引导学生通过观察、实验、联想来发现三角形中位线的性质，培养学生 观察问题、分析问题和解决问题的能力。 德育目标

对学生进行事物之间相互转化的辩证的观点的教育。 情感目标 利用制作的Powerpoint 课件，创设问题情景，激发学生的热情和兴趣，激活学生思维。 4、教学重难点 【重点】：三角形中位线定理 【难点】：难点是证明三角形中位线性质定理时辅助线的添法和性质的录活应用． 5、教学过程 本节课设计了七个教学环节：第一环节：创设情景,导入课题；第二环节：教师讲授，传授新知；第三环节：师生共析，证明定理；第四环节：知识扩展，理解加固；第五环节：灵活运用，自我检测；第六环节：运用新知，攻克难关；第七环节：回顾小结，课后作业；第八环节：课后反思。 第一环节：创设情景，导入课题 １．怎样将一张三角形纸片剪成两部分，使分成的两部分能拼成一个平行四边形？ 操作：（1）剪一个三角形，记为△ABC （2）分别取AB,AC 中点D,E ，连接DE （3） 沿DE 将△ABC 剪成两部分，并将△ABC 绕点E 旋转180°，得四边形BCFD. 2、思考：四边形ABCD 是平行四边形吗？ 3、探索新结论：若四边形ABCD 是平行四边形，那么ＤＥ与ＢＣ有什么位置和数量关系呢？ 目的：通过一个有趣的动手操作问题入手入手，激发学生学习兴趣，然后设置一连串的递进问题，启发学生逆向类比猜想：ＤＥ∥ＢＣ，ＤＥ＝2 1ＢＣ． 由此引出课题．。 效果：激发了学生的求知欲和好奇心，激起了学生探究活动的兴趣。 第二环节：教师讲授，传授新知 内容： 引入三角形中位线的定义和性质

三角形中位线定理的运用

教学案例:《三角形中位线定理教学设计》 ⒈创设问题情境,诱导学生发现结论 ⑴怎样测算操场中被一障碍物隔开的两点A、B的距离?小明测量的方法是:在AB外选一点C,连结AC、BC,取AC、BC的中点M、N。连结MN,量出MN=20m,这样能算出AB的长吗?AB与MN有何关系?经观察,你猜测 AB与MN的关系是:①②。 ⑵MN这条线段既特殊又重要,我们把它叫做△ABC的 中位线。即连结三角形两边点的线段叫三角 形的。 ⑶一个三角形有条中位线,画出图4的三角形的所有中位线,观察、测量发现: ( )∥( ),( )=( )；( )∥( ),( )= ( )；( )∥( ),( )= ( )。用语言叙述上述结论:三角形的中位 线并且 . ⑷再画出图2的△ABC的三条中线,它与中位线有何区别? 说明:⑴以上内容让学生按印发的学习提纲在课前完成。⑵三角形中位线定义的引入、定理的结论课本是直接给出的,这不符合过程性原则.我们①以“应用性问题”导入,揭示了数学知识在生产、生活中的广泛应用,强化学习动机,变“要我学”为“我要学”;②让学生通过实验操作、观察比较、估计猜测,自己发现结论,

这可培养学生对数学的内在兴趣,让学生认识到数学不是少数天才创造的,而是经过努力一般人都可以发现的,数学来源于现实世界,而又是解决实际问题的有力工具,符合从“感性到理性”的认识规律。 ⒉创设思维情境,启导学生发现证明结论的思路和方法 ⑴检查课前自学情况。教师提问有关问题,学生回答,并用多媒体展示答案。 ⑵教师指出:同学们观察发现的这些结论是否正确,还需严格证明。教师板书,学生在提纲上写已知、求证。 ⑶启导全班学生思考、讨论证法,教师巡视与学生一起研究,收集信息,了解情况。 ①本题与以前学过的哪些知识、方法有关?是什么关系?学生进行联想,回答。△ADE与△ABC有何关系?若过D作平行于BC的直线,发现什么(用多媒体演示)?②怎样证一条线段等于另一条的一半?学生回答:截(把长的平分)与补(把短的加倍)。经过探讨,学生不难发现以下三种证法:(过程略) 证法㈠:利用相似三角形证法㈡: 证法㈢: 说明:定理的证明,不拿现成的方法给学生,而是创设思维情境,启导学生“联想”到学过的有关知识和方法,使新旧知识得到顺利同化,并引导学生展开讨

三角形中位线在初中几何中的应用

1 初中几何中三角形中位线定理的应用 三角形中位线定理在初中教材体系中是一个很重要的定理，学好本节内容将有助于梯形中位线定理乃至整个平面几何知识的学习。它具有两个方面的特性：（1）平行于第三边，这是位置关系；（2）等于第三边的一半，这是数量关系。就第一个特性而言，中位线定理与平行线等分线段定理中的推论2（经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边）存在着互逆关系。我们利用这两个特性，能证明（求解）许多几何问题，以下举例说明它的具体应用。 一、证明问题 1、证明角相等关系 例1、已知：如图在四边形ABCD 中 对角线AC=BD ，E 、F 分别为AB 、CD 中点，点O 为AC ，BD 的交点，M 、N 为EF 与BD ，AC 的交点。求证：OM=ON 分析：证明OM=ON 可转化成证明 ∠OMN=∠ONM ，由于E 、F 为AB 、CD 的中点这时只要 取AD 中点H 作出△ABD 与 △ACD 的中位线，即可得到EH= 21BD ,HF=2 1 AC,因为AC=BD,从而得到EH=HF 所以∠HEF=∠HFE,因为 EH//BD, FH//AC 所以∠HEF=∠OMN, ∠HFE=∠ANM 从而得到∠DMF=∠ANM 这样要求证问题就解决了。 证明：取AD 中点H 并分别连结EH 、HF ，即EF 与FH 分别为△ABD 与△DAC 的中位线。 ∴EH= 21BD ，EH//BD ，HF=2 1 AC ，FH//AC (三角形中位线定理)而 AC=BD ，∴EH=HF ，∴∠HEF=∠HFE 又∵ EH//BD ，HF//AC ，∴∠HEF=∠DMF ，∠HFE=∠ANM ∴∠DMF=∠ANM ，∴OM=ON 例2、如图、四边ABCD 中，AB=CD ， M 、N 分别为AD 、BC 的中点，EF ⊥MN 交AB 于E ，交CD 于F ，求证： ∠AEF=∠DFE 分析：欲证：∠AEF=∠DFE 。由MN ⊥EF 想到延长BA ，CD 与MN 的延长线交于P 、Q 只需证明∠EPN=∠Q ，如何利用中点的条件？ 想到三角形的中位线，连线BD ，取BD 的中点G ，则有 12GM AB ∥，1 2 GN CD ∥，由于AB=CD ，进而有GM=GN ， ∠GMN=∠GNM 然后再转化∠EPN=∠Q ，从而证出结论。 证明：延长BA ，CD 分别与NM 的延长线交于P 、Q 连结BD ， 取BD 的中点G ，连结GM 、GN 。∵G 、M 分别为△ABD 的边BD 、AD 的中点∴ 12GM AB ∥。同理可证：12 GN AB ∥，又∵AB=CD ，∴GM=GN ，∴∠GMN=∠GNM ， ∵GM//AB ，GN=CD ，∴∠GMN=∠EPN ，∠GNM=∠Q ，∴∠EPN=∠Q ，又 EF ⊥MN ，

三角形的中位线定理教案公开课

18.1.2三角形的中位线 一、教学目标 1、知识与技能 理解三角形中位线的概念,会证明三角形中位线定理，理解三角形中位线定理。能较熟练地应用三角形中位线定理进行有关的证明和计算。 2、过程与方法 使学生经历三角形中位线性质的“探索-发现-猜想-证明”的过程，发展学生推理论证的能力。体会合情推理与演绎推理在获得结论的过程中发挥的作用。从而培养学生分析问题、解决问题的能力。 3、情感态度价值观 通过情境引入，激发学生的求知欲，通过三角形中位线定理的证明，培养学生实事求是、善于观察、勇于探索、严密细致的科学态度。 二、教学重点难点 【重点】三角形中位线的定义和性质。 【难点】三角形中位线定理的证明。 三、教学方法 启发式教学法、谈话讨论法。 四、教具学具准备 电脑、投影仪和三角形卡片。 五、教学过程 （一）复习平行四边形的性质和判定 （二）情境引入 现有一块三角形的蛋糕，要把它分成4块大小、形状完全相同的三角形蛋糕，该怎么分？（三）新知探究，合作交流

1.三角形中位线的定义 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. [问题1]一个三角形有几条中位线？（3条） [问题2]下列各图中的D、E是各边的中点，哪条是中线？哪条是中位线呢？ [问题3]三角形中线与中位线有什么区别？（端点不同） 2.三角形的中位线的性质 (1).猜想:观察图形,猜想DE与BC有何位置关系,有何数量关系？ (2).度量：度量一下你手中的三角形，看看是否有DE=1/2BC？ (3).证明：（你是如何验证DE∥BC,DE=1/2BC？） 将△转化为（展示过程） (4).归纳总结：三角形的中位线平行于三角形的第三边,并且等于第三边的一半.

三角形中位线定理模型应用的思维导图

三角形中位线定理模型应用的思维导图 三角形中位线定理是一个重要知识点，更是一种重要的解题工具，熟练掌握定理的两种模型，能助力数学解题效率，提升数学核心素养. 一、定理模型构建 1.双中点模型 如图1 条件：在△ABC 中，点D 是边AB 的中点，点E 是边AC 的中点； 结论：12;2DE BC BC DE DE BC ?==????? ?数量关系：或位置关系：∥. 2.中点+平行线模型 如图1 条件：在△ABC 中，点D 是边AB 的中点，DE ∥BC ； 结论：12;2.DE BC BC DE E AC ?==????? ?数量关系：或位置关系：点是的中点 证明：如图2，过点C 作CF ∥AB ，交DE 的延长线于点F.∵DE ∥BC ，CF ∥AB, ∴四边形BDFC 是平行四边形，∴BD=CF. ∵AD=BD ，∴AD=CF. ∵CF ∥AB, ∴∠A=∠ACF ，∠ADE=∠EFC ，∴△ADE ≌△CFE ，∴AE=EC ，∴点E 是AC 的中点， DE 是△ABC 的中位线，∴DE=1 2BC. 二、定理常用模型 1.双中点模型 此条件下，完全具备定理的条件，可以直接使用. 2.构造托底平行线型 如图3，在△ABC 中，点D 是边AB 的中点，点E 为AC 上一点，连接DE ，过点B 作BF ∥DE ，则DE 是△ABF 的中位线，定理可用 .

3.构造中点平底线型 如图4，在△ABC 中，点D 是边AB 的中点，过点D 作DE ∥BC ，则DE 是△ABC 的中位线，定理可用. 三、应用剖析 1.平行四边形中构造使用定理 例1 （2020?陕西）如图5，在平行四边形ABCD 中，AB=5，BC=8．E 是边BC 的中点，F 是平行四边形ABCD 内一点，且∠BFC=90°．连接AF 并延长，交CD 于点G ．若EF ∥AB ，则DG 的长为 （ ） A. 5 2 B ．32 C ． 3 D ．2 解析：如图5，延长CD ，交BF 的延长线于点H ，∵E 是边BC 的中点，∠BFC=90°，∴EB=EF=EC=1 2BC=4，∵EF ∥AB ，CD ∥AB ，∴EF ∥CD ，∵E 是边BC 的中点，∴EF 是三角形BCH 的中位线， ∴CH=8,DH=5，易证△ABF ≌△GHF ，∴AB=GH=5，∴AH=CG=BH-BA=BC-BA=8-5=3， ∴DG=GH-DH=5-3=2，∴选D. 点评：解答时，把握三个关键，一是直角三角形斜边中线原理；二是三角形中位线定理；三是构造中点型全等三角形法，这些都是解题的核心要素. 例2（2020?凉山州）如图6，平行四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，OE ∥AB 交

《三角形的中位线定理》教学设计 (表格版)

《三角形的中位线定理》教学设计 【教学目标】 1.知识与技能目标： （1）知道三角形中位线的概念，明确三角形中位线与中线的不同； （2）理解三角形中位线定理，并能运用它解决有关问题。 2.能力与过程目标： 借助动手操作及动画变换等形式的直观演示，引导学生通过观察、实验、猜测、联想来发现三角形中位线的性质，培养学生观察问题、分析问题和解决问题的能力。经历探索三角形中位线定理的过程，发展合情推理能力，掌握三角形中位线定理； 3.德育目标： 对学生进行事物之间相互转化的辩证的观点的教育。 4.情感目标： 利用多媒体课件，创设问题情境，激发学生的学习热情和兴趣，激活学生的思维。 【教学重点与难点分析】 1、教学重点：掌握和运用三角形中位线性质； 2、教学难点：三角形中位线定理的证明及应用。 【教学方法】 对于三角形中位线的引入采用发现法，在教师的指导下，学生通过观察、探索、猜测、联想等自主探究的方法先获得结论，再去证明。在此过程中，注重对证明思路的启发和数学方法的渗透，提倡证明方法的多样性。课堂教学中，始终以“教师为主导，学生为主体、探究为主线”的教学思想，充分发挥主体地位的作用。 【教学用具】 教师：三角尺、剪刀、三角形纸片、计算机多媒体课件 学生：基本学具、导学案 【设计理念】 本节课我设计故事和问题情境导入，以学案导学，变静态、封闭型课堂为动态、开放性的知识互动交流和探究。借助动手操作演示，配合PowerPoint、几何画板等多媒体手段的动态辅助演示，用以突出教学重点，突破教学难点。力求遵循学生学习数学的认知规律，注意让学生经历知识的生成和发展过程，通过悬而未决的问题、简单的操作活动引起学生的注意，培养其分析问题、解决问题的能力，让学生在学习过程中不断构建各种数学模型，总结数学思想和规律，以便更好地运用所学的知识、方法去解决问题，真正体现“以学生为本”的理念。教学过程中选用的习题练习又易到难，梯度递升，贯穿了转化、一题多解、方程、倍分等数学思想和方法，融知识生成与解决途径于其中，体现了新课标的思想内涵。

《三角形中位线定理》教案

4.5三角形中位线定理 【教案背景】 1、面向学生：初二学生 2、课时：1课时 3、学科：数学 4、学生准备：提前预习本节课的内容，2张三角形纸，剪刀. 【教材分析】 1、教材的地位和作用： 本节教材是浙江教育出版社的八年级数学下册第四章第五节的内容。三角形中位线既是前面已学过的平行线、全等三角形、平行四边形性质等知识内容的应用和深化，同时为进一步学习等腰三角形的中位线打下基础，尤其是在判定两直线平行和论证线段倍分关系时常常用到。在三角形中位线定理的证明及应用中，处处渗透了归纳、类比、转化等化归思想，它是数学解题的重要思想方法，对拓展学生的思维有着积极的意义。 2、教学目标 （一）知识目标 （1）理解三角形中位线的概念 （2）会证明三角形的中位线定理 （3）能应用三角形中位线定理解决相关的问题； （二）过程与方法目标 进一步经历“探索—发现—猜想—证明”的过程，发展推理论证的能力。体会合情推理与演绎推理在获得结论的过程中发挥的作用。 （三）情感目标 通过拼图活动，来激发学生的求知欲，进一步培养学生合作、交流的能力和团队精神，培养学生实事求是、善于观察、勇于探索、严密细致的科学态度。 3.重点与难点 重点：理解并应用三角形中位线定理。 难点：三角形中位线定理的证明和运用。 【教学方法】 学生在前面的数学学习中具有了一定的合作学习的经验，为了让学生进一步经历、猜测、证明的过程，我采取：启发式教学，在课堂教学，我始终贯彻“教师为主导，学生为主体，探究为主线”的教学思想，通过引导学生实验、观察、比较、分析和总结，使学生充分地参与教学全过程。

【教学过程】 本节课分为五个环节：设景激趣，引入新课概念学习，感悟新知拼图活动，探索定理巩固练习，强化新知小结归纳，作业布置 （一）设景激趣，导入新课 动手实践探索（请您做一做：让学生拿出自己预先准备好的三角形纸板） 1、找出三边的中点 2、连接6点中的任意两点 3、找找哪些线是你已经学过的，哪些是未曾学过的 设计意图： 在本环节，让学生经过动手操作，学生会发现有3条是已经学过的中线，有3条是没有学过的。最终给出三角形中位线的定义。也引出了本节课的课题：三角形的中位线。这样做，既让学生得出三角形中位线的概念又让学生在无形中区分了三角形的中线和三角形中位线 （二）概念学习，感悟新知 三角形中位线的定义： 连接三角形两边中点的线段,叫做三角形的中位线 如图，DE、EF、DF是三角形的3条中位线。 跟踪训练： ①如果D、E分别为AB、AC的中点，那么DE为△ABC的； ②如果DE为△ABC的中位线，那么D、E分别为AB、AC的。设计意图： 学以致用，为了及时的使学生加深三角形中位线的概念印象，为后面的探究打下基础，设立了以上两道简单的抢答题，让学生学会及时的从图中找出信息。 （三）拼图活动、探索定理 C B A F E D C B E D

人教版八年级数学下册三角形中位线教学设计

人教版义务教育课程标准教科书八年级下册 18.1.2《平行四边形的判定》（三）教学设计 一、教材分析 1、地位作用：本课时所要探究的三角形中位线是三角形中一条重要的线段，三角形中位线定理是三角形的一个重要性质定理。因此，在教学中通过创设有趣的情境问题，激发学生的学习兴趣，注重新旧知识的联系，强调直观与抽象的结合，鼓励学生大胆猜想，大胆探索新颖独特的证明方法和思路，让学生充分经历“探索—发现—猜想—证明”这一过程，体会合情推理与演绎推理在获得结论的过程中发挥的作用，同时渗透归纳、类比、转化等数学思想方法。通过本节课的学习，应使学生理解三角形中位线定理不仅指出了三角形的中位线与第三边的位置关系和数量关系，而且为证明线段之间的位置关系和数量关系（倍分关系）提供了新的思路，从而提高学生分析问题、解决问题的能力。 2、教学目标： 1、探索并掌握三角形的中位线的概念、性质。 2、会利用三角形中位线的性质解决有关问题。 3、让学生交流讨论，培养学生合作学习的能力。 3、教学重、难点: 重点： 1、认识三角形的中位线，会画三角形的中位线； 2、理解三角形的中位线性质，会用中位线性质去解决相关问题。 难点：利用三角形中位线性质解决有关问题 重难点突破方法：对于三角形中位线定理的引入采用发现法，在教师的引导下，学生通过探索、猜测等自主探究的方法，先获得结论再去证明。在此过程中，注重对证明思路的启发和数学思想方法的渗透，提倡证明方法的多样性，而对于定理的证明过程，则运用多媒体演示。 二、教学准备：多媒体课件、导学案 三、教学过程：

猜想：DE∥BC, 你能验证你的猜想吗？证明：延长DE

九年级数学上册中位线应用三角形中位线定理“四会”素材新版华东师大版

应用三角形中位线定理“四会” 三角形中位线定理在一个题设下，有两个结论：一是线段的位置关系，另一个是线段之间的数量关系．这个定理在证明、计算、作图中都有广泛的应用，是三角形的最重要的性质之一，当三角形中有中点时，往往借助三角形中位线来解决相关问题．那么在学习了三角形中位线定理后，我们应该会解决哪些问题呢？本文所要阐述的就是这个问题． 一、会求值 例1：如图1，在菱形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、AC 的中点，如果2EF =，那么ABCD 的周长是（ ）． A ．4 B ．8 C ．12 D ．16 析解：因为E 、F 分别是AB 、AC 的中点，所以EF 是 ABC ?的中位线，则12 EF BC =，24BC EF ==．故菱形ABCD 的周长为416BC =，选D ． 二、会证明 例2：如图2，在ABC ?中，90BAC ∠=，延长BA 到点D ，使12 AD AB =，点E 、F 分别为边BC 、AC 的中点．求证DF BE =． 分析：由题意知点E 是Rt ABC ?斜边中点，作出斜边中线AE 后，有12AE BC = ．另外，点F 又是AC 的中点，所以EF 是ABC ?的中位线，EF ∥AB 且12 EF AB =．这样，就可证得四边形AEFD 是平行四边形，从而有12 DF AE BC BE ===，问题得证． 证明：连接AE ，则12AE BC BE = =． ∵E 、F 分别为边BC 、AC 的中点， ∴EF 是ABC ?的中位线， ∴EF ∥AB ，12EF AB = ． 又∵12 AD AB =， ∴EF AD =． 而EF ∥AD ， ∴四边形AEFD 是平行四边形，

三角形中位线定理的应用2

三角形中位线定理的应用 三角形中位线定理是平面几何中十分重要的性质，它说明中位线的位置与第三边平行，长度是第三边的一半，应用它可解许多几何题，如：1．说明线段的倍分关系 例1如图1，AD是△ABC的中线，E为AD的中点，BE交AC于F， AF=1 3 AC．试说明EF= 1 4 BF． 解：取CF的中点H，联结DH，则DH为△CBF的中位线． 又因为AF=1 3 AC，即F为AH的中点，则EF为△ADH的中位线，故DH＝ 1 2BF，EF= 1 3 DH，所以EF= 1 4 BF． 2．说明两线平行 例2如图2，自△ABC的顶点A向∠B和∠C的平分线作垂线，D、E为 垂足．试说明DE∥BC． 解：延长AE、AD交BC与BC的延长线于N、M．由∠1=∠2，BD⊥AM，可得AD=DM．同理可得AE=EN．故DE为△ANM的中位线．所以DE∥MN，即DE∥BC．

3．说明线段相等 例3如图3，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，且BD=CE，M、N分别为BE、CD的中点，直线MN分别交AB、AC于P、Q．试说明AP=AQ． 解：取BC中点F，联结MF与NF． 因为BM=ME，BF=FC． 所以MF∥CE，且MF＝1 2 CE． 同理可得NF∥BD，且NF＝1 2 BD．且又BD=CE，所以MF=NF，故∠3=∠4， 又∠1=∠4，∠2=∠3，所以∠1=∠2，故AP=AQ． 4．说明两角相等 例4如图4，在△ABC中，M、N分别在AB、AC上，且BM=CN，D、E 分别为MN与BC的中点，AP∥DE交BC于P．试说明∠BAP=∠CAP． 解：联结BN并取中点Q，联结DQ与EQ，则DQ∥BM，且DQ＝1 2 BM， EQ∥CN，且EQ＝1 2 CN，又BM＝CN，所以DQ=EQ，故∠1=∠2，因为AB∥DQ， DE∥AP，所以∠1=∠BAP．因为QE∥NC，DE∥AP，所以∠2=∠CAP，所以∠BAP=∠CAP．

四边形中三角形的中位线的应用

四边形中三角形的中位线的应用 例1. 已知点E 、F 、G 、H 分别是四边形ABCD 四边的中点，试问四边形EFGH 是平行四边形吗？ 分析：这是个引子问题，也是个基础问题。只要连结四边形ABCD 的一条对角线，再利用三角形中位线性质和平行四边形的判定定理“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可解决问题。它也有许多引伸。如：当四边形ABCD 满足什么样条件时，连结它四边中点所得到的四边形是菱形？答案是对角线相等。想想为什么？ 例3. 已知：如图，四边形ABCD ，点E 、F 分别是AB 、CD 的中点，试说明AD BC EF +>2。 分析：本题看条件很简单，如何得结论似乎无处入手。但只要想到三角形中位线，知道构造三角形，这问题也不难。 解：连结BD ，取BD 中点为H ，连结EH 、FH 。 因为点E 、F 分别是AB 、CD 的中点 所以EH AD FH BC = =1212， 又EH FH EF +>，所以1212AD BC EF +> 即AD BC EF +>2 例4. 已知：如图，四边形ABCD ，AC 、BD 交于点O ，且AC ＝BD ，点E 、F 分别是AB 、CD 中点，连结EF 交AC 、BD 于G 、H ，试说明OG ＝OH 。

分析：本题看条件比例3多了一个条件，但解题仍比较困难，这时经验与想象力就很重要了。 解：取BC 中点为M ，连结ME 、MF 因为点E 、F 分别是AB 、CD 的中点 所以ME AC MF BD ==1212， ME ∥AC ，MF ∥BD 又AC ＝BD ，所以ME ＝MF 则∠MEF ＝∠MFE 又ME ∥AC ，MF ∥BD 所以∠1＝∠MEF ，∠2＝∠MFE 所以∠1＝∠2，OG ＝OH

《三角形的中位线》教案 湘教版

2．4 三角形的中位线 1．了解三角形中位线的定义； 2．掌握三角形的中位线定理；(重点) 3．综合运用平行四边形的判定及三角形的中位线定理解决问题．(难点) 一、情境导入 如图所示，吴伯伯家有一块等边三角形的空地ABC ，已知点E ，F 分别是边AB ，AC 的中点，量得EF ＝5米，他想把四边形BCFE 用篱笆围成一圈放养小鸡，你能求出需要篱笆的长度吗？ 二、合作探究 探究点：三角形的中位线 【类型一】 利用三角形中位线定理求线段的长 如图，在△ABC 中，D 、E 分别为 AC 、BC 的中点，AF 平分∠CAB ，交DE 于点F .若DF ＝3，则AC 的长为( ) A.3 2 B ．3 C ．6 D ．9 解析：如图，∵D 、E 分别为AC 、BC 的中点，∴DE ∥AB ，∴∠2＝∠3，又∵AF 平分∠CAB ，∠1＝∠3，∴∠1＝∠2，∴AD ＝DF ＝3，∴AC ＝2AD ＝2DF ＝6.故选C. 方法总结：本题考查了三角形中位线定理，等腰三角形的判定等知识．解题的关键是熟记性质并熟练应用． 【类型二】 利用三角形中位线定理求角 如图，C 、D 分别为EA 、EB 的中 点，∠E ＝30°，∠1＝110°，则∠2的度数为( ) A ．80° B ．90° C ．100° D ．110° 解析：∵C 、D 分别为EA 、EB 的中点，∴CD 是三角形EAB 的中位线，∴CD ∥AB ，∴∠2＝∠ECD ，∵∠1＝110°，∠ E ＝30°，∴∠ECD ＝∠2＝80°，故选A. 方法总结：根据三角形中位线定理可得出平行关系，所以利用三角形中位线定理中的平行关系可以解决一些角度的计算问题． 【类型三】 运用三角形的中位线定理进行证明 如图所示，在四边形ABCD 中， AC ＝BD ，E 、F 分别为AB 、CD 的中点，AC 与BD 交于点O ，EF 分别交AC 、BD 于M 、N .求证：∠ONM ＝∠OMN .

三角形中位线性质的应用

三角形中位线性质的应用 三角形中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．三角形中位线性质，兼有位置和大小关系，可以用它判定平行，计算线段的长度． 例1如图1，已知：△ABC 中，分别以AB 、AC 为斜边作等腰直角三角形ABM 和CAN ，P 是BC 的中点．求证：PM ＝PN 证明：作ME ⊥AB ，NF ⊥AC ，垂足E ，F 因为△ABM 、△CAN 是等腰直角三角形 所以AE ＝EB ＝ME ，AF ＝FC ＝NF ， 根据三角形中位线性质，可知， PE ＝ 2 1AC ＝NF ，PF ＝2 1AB ＝ME PE ∥AC ，PF ∥AB 所以∠PEB ＝∠BAC ＝∠PFC 所以∠PEB+ ∠MEB ＝∠PFC+ ∠NFC 即∠PEM ＝∠PFN 所以△PEM ≌△PFN 所以PM ＝PN ． 例2如图2，已知：△ABC 中，AD 是角平分线，BE ＝CF ，M 、N 分别是BC 和EF 的中点．求证：MN ∥AD ． 证明：连结EC ，取EC 的中点P ，连结PM 、PN 根据三角形中位线性质，可知， MP ∥AB ，MP ＝ 2 1BE ，NP ∥AC ，NP ＝2 1CF 因为BE ＝CF ，所以MP ＝NP ， 所以∠3=∠4= 1802 M PN -∠ ， ∠MPN ＋∠BAC ＝180 （两边分平行的两个角相等或互补） 所以∠1=∠2=1802 M PN -∠ ， 所以∠2=∠3． 因为NP ∥AC ， 所以MN ∥AD ． 练一练： 1．如图3，已知E 、F 、G 、H 是四边形ABCD 各边的中点． 则①四边形EFGH 是 形； ②当AC ＝BD 时，四边形EFGH 是 形； ③当AC ⊥BD 时，四边形EFGH 是 形； ④当AC 和BD 时，四边形EFGH 是正方形形． 2．如图4，已知△ABC 中，AB ＝10，AC ＝7，AD 是角平分线，CM ⊥AD 于M ，且N 是BC N P 图1 C M 图 2 图3

鲁教版-数学-八年级上册-5.3 三角形的中位线 教案

三角形的中位线 教学目标： 1.理解三角形中位线的概念，掌握它的性质． 2.能较熟练地应用三角形中位线性质进行有关的证明和计算． 3.经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展推理论证的能力． 4．能运用综合法证明有关三角形中位线性质的结论．理解在证明过程中所运用的归纳、类比、转化等思想方法． 重点、难点 1．重点：掌握和运用三角形中位线的性质． 2．难点：三角形中位线性质的证明（辅助线的添加方法）． 3．难点的突破方法： （1）本教材三角形中位线的内容是由一道例题从而引出其概念和性质的，新教材与老教材在这个知识的讲解顺序安排上是不同的，它这种安排是要降低难度，但由于学生在前面的学习中，添加辅助线的练习很少，因此无论讲解顺序怎么安排，证明三角形中位线的性质时，题中辅助线的添加都是一大难点，因此教师一定要重点分析辅助线的作法的思考过程．让学生理解：所证明的结论既有平行关系，又有数量关系，联想已学过的知识，可添加辅助线构造平行四边形，利用平行四边形的对边平行且相等来证明结论成立的思路与方法． （2）强调三角形的中位线与中线的区别： 中位线：中点与中点的连线； 中线：顶点与对边中点的连线． （3）要把三角形中位线性质的特点、条件、结论及作用交代清楚： 特点：在同一个题设下，有两个结论．一个结论表明位置关系，另一个结论表明数量关系；条件（题设）：连接两边中点得到中位线； 结论：有两个，一个表明中位线与第三边的位置关系，另一个表明中位线与第三边的数量关系（在应用时，可根据需要选用其中的结论）； 作用：在已知两边中点的条件下，证明线段的平行关系及线段的倍分关系． （4）可通过题组练习，让学生掌握其性质． 三、例题的意图分析 例1是三角形中位线性质的证明题，一是要练习巩固平行四边形的性质与判定，二是为了降

三角形的中位线教案

三角形的中位线教案 林州市七中秦秋云 教学内容：三角形的中位线 教学目标：1.了解三角形中位线的概念 2.掌握三角形中位线的定理 3.灵活运用三角形中位线的定理进行计算和证明，形成解题技能。 4.经历三角形中位线定理的推导过程，培养学生的探究能力和探究兴趣。教学难点：定理及结论的推导 教学重点：定理的理解与运用 教学方法：自学—交流—展示—反馈 教学措施：激发全员参与、发挥小组长及积极组员的引领作用 教学过程： 一．导入新课（1分钟） 师：参与才能高效，展示创造奇迹，同学们，看大屏幕齐读：我参与，我快乐；我展示，我精彩。我努力，我成功；学数学，我能行！ 师：好，带上这种自信走进新课程的学习吧（板书：19.1三角形的中位线） 二．熟悉学习目标（2分钟齐读） 师：请大家齐读学习目标 三．预习交流、组内小展示 师：老师10分钟的时间交给组长由组长带领大家进行小组的交流学习 （组长组织预习交流并引领组员到小黑板前去讲解，并派代表把有价值的东西写下来，为班内大展示做准备）（教师进组进行学情调查和学情指导以及学情布置，做好小组评价） 引导：画图、写已知求证并写出证明过程。至少想出三种方法。第一种方法要求详细，要求能点燃思维 四．班内大展示（20分） 师：什么叫三角形的中线？一个三角形有几条中线？三角形的中线有哪些性质？（一

组展示，要求画图回答，必要时说出为什么？） （连结三角形的顶点和对边中点的线段叫做三角形的中线。有三条中线。三角形的中线可以等分线段、等分三角形的面积 评价：记忆力真好，给小组加分 什么叫三角形的中位线？一个三角形有几条中位线？三角形的中位线有哪些性质？（二组展示，要求画图回答） （连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。一个三角形有两条中位线。三角形的中位线也可以等分线段，等分三角形的面积。三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半） 评价：预习的很充分，答的很好，加分 师：三角形的中线和中位线有什么区别和联系？看大屏幕学生用课件介绍 评语：大家说说看，他总结的好不好？鼓掌 导语：看大屏幕：。下面看各小组的证法展示 （学生展示、质疑、对抗。老师适时调控、点拨、评价，把问题引向深入，把学生引向高潮） 强调：学生讲解几何题做到有审题标记、有思路分析、有过程梳理、有规律总结、有互动 师：由此我们得到三角形中位线的性质定理看大屏幕齐读。 牛刀一试：口答（要求：说出为什么？） 五．谈谈收获和困惑 通过本节课的学习，你知道了什么？还有什么问题? 六。达标检测 看大屏幕解决实际问题。 检测题用展台展示

四边形——三角形的中位线在四边形中的常见应用

四边形——三角形的中位线在四边形中的常见应用 单纯的三角形中位线问题并不复杂，但把它放到四边形中就难多了。下面通过一些例子来有序地讨论这些问题。 例1.已知点E 、F 、G 、H 分别是四边形ABCD 四边的中点，试问四边形EFGH 是平行四边形吗？ 分析：这是个引子问题，也是个基础问题。只要连结四边形ABCD 的一条对角线，再利用三角形中位线性质和平行四边形的判定定理“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可解决问题。它也有许多引伸。如：当四边形ABCD 满足什么样条件时，连结它四边中点所得到的四边形是菱形？答案是对角线相等。想想为什么？ 例2.已知：如图，四边形ABCD ，点E 、F 分别是AB 、CD 的中点，试说明AD+BC ＞2EF 。 分析：本题看条件很简单，如何得结论似乎无处入手。但只要想到三角形中位线，知道构造三角形，这问题也不难。 解：连结BD ，取BD 中点为H ，连结EH 、FH 。 因为点E 、F 分别是AB 、CD 的中点 所以EH= 21AD,FH=2 1 BC, 又EH+FH>EF ，所以21AD+2 1 BC>EF, 即AD+BC ＞2EF 。 例3.已知：如图，四边形ABCD ，AC 、BD 交于点O ，且AC ＝BD ，点E 、F 分别是AB 、CD 中点，连结EF 交AC 、BD 于G 、H ，试说明OG ＝OH 。 分析：本题看条件比例3多了一个条件，但解题仍比较困难，这时经验与想象力就很重要了。 解：取BC 中点为M ，连结ME 、MF

因为点E 、F 分别是AB 、CD 的中点，所以ME=21AC,MF=2 1 BD ， ME ∥AC ，MF ∥BD ， 又AC ＝BD ，所以ME ＝MF ， 则∠MEF ＝∠MFE. 又ME ∥AC ，MF ∥BD ，所以∠1＝∠MEF ，∠2＝∠MFE ， 所以∠1＝∠2，OG ＝OH. 下面两道题留给同学们思考。 （1）已知：四边形ABCD ，点M 、N 分别是AD 、BC 的中点，点P 、Q 分别是AC 、BD 的中点，且AC ＝BD ，试说明MN ⊥PQ 。 （2）已知：如图，四边形ABCD ，AB ＝CD ，点E 、F 分别 是AD 、BC 的中点，BA 、CD 的延长线交EF 的延长线于点 G 、H ，试说明∠BGF ＝∠CHF 。 三角形中位线辅助线的应用 三角形的中位线定理是几何中一个重要定理，它不仅反映了图形间线段的位置关系，而且还揭示了线段间的数量关系，利用三角形中位线定理可以解决许多相关的问题. 一、借助中位线定理选择结论 例1如图1，已知四边形ABCD 中，R 、P 分别是BC 、CD 上的点，E 、F 分别是AP 、RP 的中点，当点P 在CD 上从C 向D 移动而点R 不动时，那么下列结论成立的是（ ）. （A ）线段EF 的长逐渐增大 （B ）线段EF 的长逐渐减小 （C ）线段EF 的长不变 （D ）线段EF 的长与点P 的位置有关