平面向量与解三角形单元检测题(含答案)
平面向量与解三角形单元检测题
、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的)
1.设 x , y € R,向量 a = (x, 1) , b = (1 , y ) , c = (2 , — 4),且 a 丄 c, b II c ,
则| a + b | =( )
C . 2 ：5
D . 10
uuu 1 uuu uur um 2 uuu 2?在△ ABC 中, N 是 AC 边上一点，且 AN = 2 NC ,P 是 BN 上的一点，若 AP = m AB + 9 AC ,
则实数m 的值为(
)
C . 1
D . 3
3. 已知点 A ( — 1 , 1),巳1 , 2) , Q — 2, — 1) , D (3 , 4)，则向量A B 在&方向上的投影为
C.
4?在直角坐标系xOy 中，XB= (2,1) , AC= (3 , k )，若三角形 ABC 是直角三角形，则 k 的可能值个数是(
)
A. 1 B . 2 C . 3 D . 4
5.已知向量a 与b 的夹角为120°, |a | = 3, |a + b | =卫，则|b |等于 (
).
A . 5
B . 4
C . 3
D. 1
6?在四边形 ABCD 中, AC= (1 , 2) , B D- ( — 4, 2)，则该四边形的面积为
B. 2 '5 C .
5 D . 10
7.如图所示,非零向量；：：.=a , =b ,且BCLOA,C 为垂足，若|-訂'=入a (入工0),贝U 入=(
)
&在△ ABC 中,sin 2A n n (C)(0, — ] (D)[ — , n ) 3 3 n n (A) (0, ] (B )[ , n ) 6 6 9.设△ ABC 的内角代B, C所对边分别为a, b, c.若b+ c= 2a, 3sin A= 5sin B,则角C 10. 在平面直角坐标系中，若O为坐标原点，则A, B, C三点在同一直线上的等价条件为存 在唯一的实数入，使得O G= x O AF(1 —入)脸立，此时称实数入为“向量6快于O和3B勺 终点共线分解系数”. 若已知R(3, 1) , P2(—1,3),且向量OP与向量a= (1,1)垂直，则“向量OP 关于OP和OP的终点共线分解系数”为() A.—3 B . 3 C . 1 D . —1 二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.请把正确答案填在题中横线上) uir um 11. ______________ 在平面直角坐标系xOy中，已知OA = ( —1, t), OB = (2,2).若/ ABO= 90°，则实数t的值为. 12. 已知a= (1,2) , b= (1 ,入)，若a与b的夹角为钝角，则实数入的取值范围是______ 13. ___________________________________________________________ 已知正方形ABC啲边长为2, E为CD的中点，贝U XE- B D= __________________________ . n 14. 设e1, e2为单位向量，且e1, e2的夹角为—，若a= & + 3e2, b= 2e1，则向量a在b方 3 向上的射影为_________ . 15. ____________________________________________________________________ 若非零向量a, b满足| a| = | b| , (2 a+ b) ? b= 0，则a与b的夹角为_______________________ . 三、解答题(本大题共6小题,共75分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤) 16. 已知△ ABC勺角A B, C所对的边分别是a, b, c,设向量m^ (a, b) , n= (sin B, sin A, P= ( b— 2, a— 2). (1)若m// n,求证：△ ABC为等腰三角形； n (2)若ml p,边长c = 2，角C=—，求△ ABC的面积. 17. 在△ ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知sin Asin B+sin Bsin C+cos 2B=1. (1)求证:a,b,c成等差数列；(2) 若CnS,求a的值. 3 b 1 18. 在△ ABC中,a、b、c分别是角A B C所对的边，且a= c+bcos C. 2 (1)求角B的大小；(2)若&ABC=、、3 ,求b的最小值. 2C 2A 3 19. 在△ ABC中，角A B, C的对边分别为a, b, c,若a cos + c cos?= ?b. (1)求证：a, b, c成等差数列；(2)若/ B= 60°, b= 4,求厶ABC勺面积. 20. △ ABC 为一个等腰三角形形状的空地 ,腰AC 的长为3(百米),底AB 的长为4(百米).现决 定在空地内筑一条笔直的小路 EF(宽度不计),将该空地分成一个四边形和一个三角形 ，设 分 成的四边形和三角形的周长相等 ，面积分别为S 和S 2. (1)若小路一端E 为AC 的中点,求此时小路的长度； ⑵若小路的端点 E 、 F 两点分别在两腰上，求S1的最小值. S 2 参考答案： 2x — 4= 0, x = 2, 1. B 由题意可知 解得 —4— 2y = 0, y =— 2. 故 a + b = (3 , — 1), |a + b | =你. uuu 1 uuu uuu 1 uuu uur uuu 2 uuu uuu 2 2.选B 如图，因为AN = ^NC ，所以 AN = -AC , AP = = m AB + - AC = m AB +& 9 3 uur 2 1 AN ，因为B, P , N 三点共线，所以 3= 1，所以mi= 3. 3. A 解析 AB= (2 , 1), S D= (5 , 5)，所以A i B 在6［方向上的投 .AB - cr> 形為. .= ? -J -- 1 Cl) _2X5+1X5― 15 __3 曲一护 5挖 2 sin B sin C 2 cos B cosC sin A (1) 证明：b (2) 如图，点 o cos A c 2a ; O 是厶ABC 外一点，设 AOB (0 ) 21?已知△ ABC 的角A, B, C 所对的边分别是 a ，b , c ,且满足 OA=2OB2，当b C 时，求平面四边形 OACBT 积的最最大值。 C 4. B 解析：.若/ A = 90°,贝V AB ? AC= 6+ k = 0, k =— 6; 若/ B= 90°，贝y XB- B C = K B-(AC-AB = 0, 6 + k — 5= 0, k =— 1; 若/ C = 90°，则 XC- 6B= X C- (A B - AC = 0, k 2 — k + 3=0 无解. ???综上，k 可能取—6, — 1两个数?故选B. 5. B 解析 向量a 与b 的夹角为120°, | a | = 3, |a + b | = 13, 3 2 2 2 贝U a ? b = |a || b | ? cos 120 ° =— 2I b | , |a + b | = | a | + 2a ? b + |b | . 所以 13= 9— 3|b | + | b |2,则 | b | =— 1(舍去)或|b | = 4. 6. C 解析因为AC- B D = 0, 所以AC L B D 故四边形 ABCD 勺面积 S = ql AC l 丽=2 x .''5X2'5 = 5. 7. A 【解析】.二丄二,即二丄二,所以(；>￡)?二=0,所以|二m ?二=0, BC OA BC OC 0C 08 OC 'QC OB 0C 2 2 S ' 即入|a| -入a ? b=0,又入工0,解得 入=| . 8 C.解析：根据正弦定理，由 sin 2A < sin 2B+sin 2C-sin Bsin C 得 a 2 .2 2 2 A b c a 、be 1 cos A= > =— 2bc 2bc 2 n 又??? 0 3 9. B 【解析】 由 3sin A = 5sin B,得 3a = 5b .又因为 b + c = 2a, 5 7 所以 a = 3b , c =3b , 10. D.解析：设 OP = (x , y )，则由 OP 丄a 知 x + y = 0，于是 OP = (x , — x ), 设OP =入 OP + (1 —入)OP , (x ,— x )=入(3,1) + (1 —入)(—1,3) = (4 入一1,3 — 2 入). 4入一1 = x , ?- 于是 4 入一 1 + 3— 2 X = 0,入=一 1. 3— 2 X = — x , urn um uir um um 11. 5 解析：AB OB OA = (3,2 — t )，由题意知 OB AB = 0,所以 2X 3+ 2(2 — t ) = 0, t = 5. 根据余弦定理 所以cos C = 2 . 2 2 a + b — c 2ab 2 2 7 2 + b- 3b 5 3bX b 1 2 n —?.因为 C € (0 ,n )，所以 C =-^. 5 1 3 12. -m ，- 2 .因为a 与b 的夹角为钝角，所以 cos 0 <0且cos 0丰一1, 1 所以a ?b<0且a 与b 不反向.由a ?b <0得1 + 2入<0,故 入<—^, 由a 与b 共线得 入=2，故a 与b 不可能反向. 1 所以入的取值范围为 一R,— 2 . 解析 由题意知：X E - B D =（心6E ）?（社—崩=（心2崩?（血—驹= 16. 解：(1)证明：T m// n ,「. a sin A = b sin B a b 即a - 2R = b - 2R 其中R 是三角形ABC 外接圆半径, 故a = 乂即厶ABC 为等腰三角形. (2)由题意可知 m- p = 0, 即卩 a (b — 2) + b (a — 2) = 0. /. a + b = ab. 2 2 2 由余弦定理可知 4= a + b — ab = (a + b ) — 3ab , 即(ab ) — 3ab — 4 = 0,「. ab = 4(舍去 ab =— 1). ,, I I n 厂 故 S = r ab sin C = 2 - 4 - sin — =yf 3. 3 17. (1)证明:由 sin Asin B+sin Bsin C+1-2sin 因为一^ = —= —c ,所以 a+c-2b=0, sin A sin B sin C 所以2b=a+c,即a 、b 、c 成等差数列. c 2=a 2+b 2- 2ab - cos C 及 2b=a+c,c= 解析 a 在b 方向上的射影为| a |cos 〈a . b > a - b TbT . 2 a ? b = (e 1 + 3e 2)-2 e 1 = 2e 1 + 6& ? e 2= 5. b | = |2 e 1| = 2. a - b 5 TbT = 2. 2 15. 120°【解析】 ?/(2 a + b ) - b = 0, ^2 a - b + b = 0, ??? a - b =- 1 2 -,设a 与b 的夹角为0 ,又| a | = | b | , …cos a - b I a || b | 1 2, e = 120° 2 B=1 得 sin A+sin C-2sin B=0. （2）解:由余弦定理 =4 — 0— 2 = 2. | a || b | 一.即 a 2+4b 2-4ab=a 2+b 2+ab, 2 也即3b 2=5ab,所以旦=3. b 5 、 一 18. 解:⑴ 由正弦定理可得 sin A= sin C+sin Bcos C, 2 又因为 A=n -(B+C),所以 sin A=sin(B+C), 1 可得 sin Bcos C+cos Bsin C= sin C+sin Bcos C, 又 sin C 丰 0, 2 1 n 即 cos B=,所以 B=—. 2 3 (2)因为 S ^ABC F 3, 所以一 acsin n =3 ,所以ac=4, 2 3 由余弦定理可知 b 2=a 2+c 2-ac > 2ac -ac=ac,当且仅当a=c 时等号成立 所以b 2>4,即b >2,所以b 的最小值为2. 19.解析： 2 C 2 A 1 + cos C 1 + cos A 3 (1) a cos 2+ c cos 2 = a ? 2 + c ? 2 = 2b , 即 a (1 + cos C ) + c (1 + cos A ) = 3b .由正弦定理得： sin A + sin A cos C + sin C + cos A sin C = 3sin B , 即 sin A + sin C + sin( A + C ) = 3sin B ,「. sin A + sin C = 2sin B. 由正弦定理得，a + c = 2b,故a , b, c 成等差数列. ⑵ 由/ B = 60°, b = 4 及余弦定理得：42= a 2+ c 2— 2ac cos 60 ° , ■'■( a + c )2— 3ac = 16，又由(1)知 a + c = 2b ,代入上式得 4b 2— 3ac = 16，解得 ac = 16, 1 1 厂 ABC 的面积 S = ^ac sin B = ?ac sin 60 ° = 4 '3. 333 20. 解:(1) VE 为 AC 中点时，则 AE=EC 上，?/ +3< +4, ■ F 不在 BC 上.故 F 在 AB 上, 2 2 2 7 2 可得AF=—,在三角形 ABC 中,cos A= . 2 3 2 2 2 15 y] 30 在三角形 AEF 中 ,EF =AE+A —2AE ? AFcos A= , ■ EF= . 得(a-2b) 2=a 2+b 2-2ab