二次函数导学案(全章)
第1课时 二次函数的概念
【学习目标】
1．经历探索，分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法描述变量之间的数量关系；2．探索并归纳二次函数的定义；3．能够表示简单变量之间的二次函数关系。
【学习重点】掌握二次函数的概念并能利用概念解答相关的题型。 【课时类型】概念课 【学习过程】 一、学习准备
1．函数的定义：在某个变化过程中，有两个变量x 和y ，如果给定一个x 值，相应地就确定了一个y 值，那么我们称 是 的函数，其中 是自变量， 是因变量。
2．一次函数的关系式为y= (其中k 、b 是常数，且k≠0)；正比例函数的关系式为y ＝ (其中k 是 的常数)；反比例函数的关系式为y= (k 是 的常数)。 二、解读教材——数学知识源于生活
3．某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子。现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少。根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子。假设果园增种x 棵橙子树，那么果园共有 棵橙子树，这时平均每棵树结 个橙子，如果果园橙子的总产量为y 个，那么y= 。
4．如果你到银行存款100元，设人民币一年定期储蓄的年利率是x ，一年到期后,银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存。那么你能写出两年后的本息和y(元)的表达式(不考虑利息税)吗？ 。 5．能否根据刚才推导出的式子y=-5x 2+100x+60000和y=100x 2+200x+100猜想出二次函数的定义及一般形式吗？
一般地，形如y ＝ax 2+bx+c(a ，b ，c 是常数，a≠0)的函数叫做x 的二次函数。它就是二次函数的一般形式，理解并熟记几遍。
例1 下列函数中，哪些是二次函数？
(1)2
321x y +-= (2)112+=x y
(3)x y 222
+=
(4)2
51t t s ++= (5)
2
2)3(x
x y -+= (6)2
10r
s π=
即时练习：下列函数中，哪些是二次函数？ (1)2x y = (2)25213
2+-=x x y
(4)
1132--=）（x y (5)c
ax y -=2
(6)12+=x s
三、挖掘教材
6．对二次函数定义的深刻理解及运用 例2 若函数
12
32
++=+-kx x y k k
是二次函数，求k 的值。
分析：x 的最高次数等于2，即k 2-3k+2=2，求出k 的值即可。 解：
即时练习：若函数1)3(2
32++-=+-kx x
k y k k 是二次函数，则k 的值为 。
四、反思小结
1．我们通过观察、思考、合作，交流，归纳出二次函数的概念，并从中体会函数的建模思想。 2．定义：一般地，形如y=ax2+bx+c(a ，b ，c 是常数，a≠0)的函数叫做x 的二次函数。 3．二次函数y=ax2+bx+c(a ，b ，c 是常数，a≠0)的几种不同表示形式：
(1) y=ax2 (a≠0)； (2) y=ax2+c (a≠0且c≠0)； (3) y=ax2+bx (a≠0且b≠0)。
4．二次函数定义的核心是关键字“二”，即必须满足自变量最高次项的指数为_____，且______项系数不为_____的整式。 【达标测评】
1．下列函数不属于二次函数的是（ ） A ．y =(x －1)(x +2)
B ．y =
2
1
(x +1)2 C ．y =2(x +3)2－2x 2 D ．y =1－
3x 2
2．在边长为6 cm 的正方形中间剪去一个边长为x cm(x <6)的小正方形，剩下的四方框形的面积为y ，则y 与x 之间的函数关系是 。
3．用总长为60m 的篱笆围成矩形场地，场地面积S(m2)与矩形一边长a(m)之间的关系式是 ，它是 函数。
4．正方形的边长是5，若边长增加x ，面积增加y ，则y 与x 之间的函数表达式为 。 5．当m= 时，
2
2
)2(--=m
x m y 是二次函数；若函数
m
m
x m y --=2
)2(是二次函数，则m= 。
6．已知函数y=ax 2＋bx ＋c （其中a ，b ，c 都是常数）：当a 时，它是二次函数；当a ，b 时，它是一次函数；当a ，b
，c 时，它是正比例函数。 7．若函数y =(k 2－4)x 2+(k +2)x +3是二次函数，则k 。
第2课时二次函数y＝ax2的图象与性质
【学习目标】1．能够利用描点法做出函数y＝ax2的图象，能根据图象认识和理解二次函数y＝ax2的性质；
2．理解二次函数y＝ax2中a对函数图象的影响。
【学习重点】经历探索二次函数y＝ax2的图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究函数性质的经验。
【学习难点】能够利用描点法作出函数的图象，并能根据图象认识和理解二次函数y＝ax2的性质。
【学习过程】
一、学习准备
1．正比例函数y=kx(k≠0)是图像是。
2．一次函数y=kx+b(k≠0)的图像是。
3．反比列函数y=
k
x
(k≠0)的图像是。
4．当我们还不了解一种函数图像的形状时，只能用描点法研究，描点法的一般步骤是：，，。
二、解读教材
5．试作出二次函数y＝x2的图象。
（1）画出图象：①列表：（注意选择适当的x值，并计算出相应的y值）
②描点：（在右图坐标系中描点）
③连线：（应注意用光滑的曲线连接各点）
（2）根据图像，进行小结：
①y＝x2的图像是，且开口方向是。
②它是对称图像，对称轴是轴。在对称轴的左侧（x>0）,y随x的增大而；在对称轴的右侧（x<0），y随x的增大而。
③图像与对称轴有交点，称为抛物线的顶点
此时，坐标为（，）。
④因为图像有最低点，所以函数有最值，当x=0时，y最小= 。
2的图象。
小结：①y＝-x2的图像是，且开口向。
②对称轴是，在对称轴左右的增减性分别是：在对称轴左侧，y随x，在对称轴的右侧，y随x的增大。
③顶点坐标是：（，），且从图像看出它有最点，所以函数有最值。当x=0时，。
同时，a 决定图象在同一直角坐标系中的开口方向，|a|越小图象开口 。 9．例 已知：抛物线
102
-+=m m mx y ，当x>0时，y 随x 的增大而增大，求m 的值。
10．已知抛物线y=ax 2经过点A （-2，-8），（1）求此抛物线的函数解析式；
（2）判断点B （-1，- 4）是否在此抛物线上；（3）求出此抛物线上纵坐标为-6的点的坐标。 四、反思小结
二次函数的y ＝ax 2（a≠0）的图象与性质：五个方面理解： ， ， ， ， 。 【达标测评】
1．抛物线y=2x 2的顶点坐标是 ，对称轴是 ，在 侧，y 随着x 的增大而增大；在 侧,y 随着x 的增大而减小。当x= 时，函数y 的值最小,最小值是 。抛物线y=2x 2的图象在 方（除顶点外）。
2．函数y ＝x 2的顶点坐标为 ，若点（a ，4）在其图象上，则a 的值是 。
3．函数y ＝x 2与 y ＝-x 2的图象关于 对称，也可以认为y ＝-x 2 是函数y ＝x 2的图象绕 旋转得到的。 4．求出函数y=x+2与函数y ＝x 2的图象的交点坐标 。
5．若a>1，点（a-1，y 1），（a ，y 2），（a+1，y 3）都在函数y ＝x 2的图象上，判断y 1，y 2，y 3的大小关系是 。
【学习目标】1．会用描点法作出函数y＝ax2+k的图象，能根据图象认识和理解二次函数y＝ax2+k的性质；
2．理解二次函数y＝ax2+k中a和k对函数图象的影响；
3．理解二次函数y＝ax2与y＝ax2+k的关系。
【学习重点】理解二次函数y＝ax2+k的性质。
【学习难点】理解二次函数y＝ax2与y＝ax2+k的关系。
【学习过程】一、学习准备1．画出两条抛物线的草图并填空。
二、解读教材2．用描点法作出二次函数y＝2x2+1的图像。
小结：①y＝2x2+1的图像是，且开口向。
②对称轴是，在对称轴左右的增减性分别是：
在对称轴左侧，y随x的增大而；在对称轴的右侧，y随x
③顶点是：( ， )，且从图像看它有最点，则函数y有最值，即当x= 时有最值是。3．在同一直角坐标系中，作出二次函数y＝-x2，y＝-x2+2，y＝-x2-2
小结：
①抛物线y＝ax2+k的开口方向由决定，当时，开口向上；当时，开口向下。
②对称轴是，当a>0时，在对称轴左侧，y随x的增大而，在对称轴的右侧，y随x的增大而。且函数y当x=0时y min=。当a<时，在对称轴左侧，y随x的增大而，在对称轴的右侧，y随x的
增大而。且函数y当x=0时y max=。
③顶点坐标是（，）。
④y＝-x2的顶点坐标是（，），y＝-x2+2的顶点坐标是（，）所以y＝-x2向平移个单位便可以得到y＝-x2+2。y＝-x2-2的顶点坐标是（，）所以y＝-x2+2向平移个单位便可以得到y＝-x2-2。
4．变式训练1二次函数y=5
4
x2+3的图像是线，开口向，顶点坐标是，对称轴是；当x>0
时，y随x的增大而。当x= 时，y有最值为。
三、挖掘教材---抛物线y＝ax2+k可以由抛物线y＝ax2经过向上（k>0）或向下(k<0)平移|k|个单位得到。
5．函数y＝-2x2的图像向下平移3个单位，就得到函数；函数y=-4+3
2
x2的图像可以看作函数y=
3
2
x2
的图像向平移个单位而得到。
6．已知：二次函数y＝ax2+1的图像与反比列函数y=k
x
的图像有一个公共点是（-1，-1）。
（1）求二次函数及反比例函数解析式；
（2）在同一坐标系中画出它们的图形，说明x取何值时，二次函数与反比例函数都随x的增大而减小。
四、反思小结：1．填表回忆
2.抛物线y=ax2+k 可以由抛物线y=ax2经过向（k>0）或向(k<0)平移个单位得到。
【达标测评】
1．抛物线y=-x2-5可以看作是抛物线经过向平移个单位得到。
2．抛物线y=x2+4 的开口向，对称轴是，在对称轴左侧，y随x的增大而，在对称轴的右侧，y随x的增大而；顶点坐标是，当x= 时，y有最值为。
3．抛物线y=-3x2上有两点A（x，-27），B（2，y），则x= ，y= 。
4．抛物线y=3x2与直线y=kx+3的交点为（2，b），则k= ，b= 。
第4课时 二次函数y=a(x-h)2和y ＝a(x-h)2+k 的图象与性质
【学习目标】1．能够作出函数y=a(x-h)2和y ＝a(x-h)2+k 的图象，并能理解它与y ＝ax 2的图象的关系，理解a ，h ，k 对二次函数图象的影响；
2．能够正确说出二次函数的顶点式y ＝a(x-h)2+k 图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。
【学习重点】能够作出函数y=a(x-h)2和y ＝a(x-h)2+k 的图象，正确说出y ＝a(x-h)2+k 图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。 【学习过程】 一、学习准备
1．说出下列函数图象的开口方向，对称轴，顶点，最值和增减变化情况。
（1）y=2x2 （2）y=-2x2+1 2．请说出二次函数y=ax2+c 与y=ax2的关系。
3
．我们已知y=ax 2，y=ax 2+c 的图像及性质，现在同学们可能想探究y=ax 2+bx 的图像，那我们就动手画图像。 列表、描点、连线。 二、解读教材
4．由学习准备可知，我们如果知道一条抛物线的顶点坐标，那么画图像就比较简单，所以我们可以先配成完全平方式结构。现在我们画二次函数y=3(x-1)2
+2的图象．在同一直角坐标系中作 y=3x2， y=3(x-1)2
，y=3(x-1)2
+2的图像，并结合图像完成下表。
观察后得到：二次函数y ＝3x 2，y=3(x-1)2，y=3(x-1)2+2的图象都是抛物线．并且形状相同，开口方向相同，只是位置不同，顶点不同，对称轴不同，将函数y ＝3x 2的图象向右平移1个单位，就得到函数y=3(x-1)2的图象；再向上平移2个单位，就得到函数y=3(x-1)2+2的图象． 三、挖掘教材
5．抛物线的顶点式y ＝a(x-h)2
+k
在前面的学习中你发现二次函数y ＝a(x-h)2
+k 中的a ，h ，k 决定了图形什么？用自己的语言整理得： 同桌交流看是否有遗漏！然后填写下表。
即时练习：直接说出抛物线y=-0.5x2，y=-0.5x2-1，y=-0.5（x+1）2，y=-0.5（x+1）2-1 的开口方向、对称轴、顶点坐标。
6．例已知：抛物线y=a(x-h)2+k的形状及开口方向与y=-2x2+1相同，当
即时练习
已知抛物线的顶点坐标是（3，5）且经过点A（2，-5），请你求出此抛物线的解析式。
7.例二次函数()2
221
y x
=-+的顶点坐标是，把它的图像向右平移2个单位再向下平移2个单位此时得到的抛物线顶点坐标为，它的解析式为。
四、反思小结
1．一般地，平移二次函数y=ax2的图象便可得到二次函数为y=ax2+c，y＝a(x-h)2，y=a(x-h)2+k的图象．（规律为：上正下负，右正左负）
2．二次函数的顶点式y＝a(x-h)2+k的图象是轴对称图形，对称轴为x=h,顶点坐标为(h,k),a决定开口方向和大小，a＞0时，开口向上，有最小值k； a＜0时，开口向下，有最大值k。
【达标测评】
1．指出下面函数的开口方向，对称轴，顶点坐标，最值。
(1) y=2(x-3)2-5 (2) y=-0.5(x+1)2(3) y=-0.75x2-1
(4) y=2(x-2)2+5 (5) y=-0.5(x+4)2+2 (6) y=-0.75(x-3)2
2．函数y= x2的图象向平移个单位得到y=x2+3的图象；再向平移个单位得到y＝(x-1)2+3的图象。
y = ax
h )2
= a( x–h )2 +
y