=
)(x F ,1x e λ-- 0
≥x ,
,0 x<0。
⑧正态分布 设随机变量X
的密度函数为
2
22)(21
)(σμσπ--
=
x e
x f ， +∞<<∞-x ，
其中μ、0>σ为常数，则称随机变量X
服从参数为
μ、σ的正态分布或
高斯（Gauss ）分布，记为),(~2
σμN X 。
)(x f 具有如下性质：
1°
)(x f 的图形是关于μ=x 对称的；
2° 当μ=x 时，σ
πμ21)(=
f 为最大值；
3°
)(x f 以ox 轴为渐近线。
特别当σ固定、改变μ时，
)(x f 的图形形状不变，只是集体沿ox 轴平行移动，
所以μ又称为位置参数。当μ固定、改变σ时，
)(x f 的图形形状要发生变化，随σ变大，)(x f 图形的形状变得平坦，所以又称σ为形状参数。
若),(~2
σμN X ，则X
的分布函数为
dt
e
x F x
t ?
∞
---
=
22)(21
)(σμπσ
。。
参数0
=μ、1=σ
时的正态分布称为标准正态分布，记为)1,0(~N X ，其密度
函数记为
2
221)(x e x -=
π
?，+∞<<∞-x ，
分布函数为
dt
e
x x
t ?
∞
--
Φ2
221)
(π
。)(x Φ是不可求积函数，其函数值，已编制成表可供查用。
φ(x)和Φ(x)的性质如下：
1° φ(x)是偶函数，φ(x)＝φ(-x)；
2° 当x=0时，φ(x)＝
π
21为最大值；
3° Φ(-x)＝1-Φ(x)且Φ(0)＝2
1
。
如果X ~),(2
σ
μN ，则
σ
μ
-X ~)1,0(N 。
所以我们可以通过变换将)(x F 的计算转化为)(x Φ的计算，而)(x Φ的值是可以
通过查表得到的。
??
?
??-Φ-??? ??-Φ=≤<σμσμ1221)(x x x X x P 。
分位数的定义。 3、随机变量函数的分布 随机变量Y 是随机变量
X
的函数)(X g Y
=，若X
的分布函数)(x F X
或密度函
数
)(x f X 知道，则如何求出)(X g Y =的分布函数)(y F Y 或密度函数)(y f Y 。
（1）X 是离散型随机变量 已知X 的分布列为
,,,,,,,,)(2121n n i p p p x x x x X P X
=，
显然，)(X g Y
=的取值只可能是 ),(,),(),(21n x g x g x g ，若)(i x g 互不相
等，则Y 的分布列如下：
,,,,),(,),(),()(2121n n i p p p x g x g x g y Y P Y
=，
若有某些)(i x g 相等，则应将对应的i P 相加作为)(i x g 的概率。 （2）
X
是连续型随机变量
先利用X 的概率密度f X (x)写出Y 的分布函数F Y (y)，再利用变上下限积分的求导公式求出f Y (y)。
二维随机变量及其分布 第一节 基本概念
1、二维随机变量的基本概念
（1）二维离散型随机变量联合概率分布及边缘分布
如果二维随机向量ξ（X ，Y ）的所有可能取值为至多可列个有序对（x,y ）时，则称
ξ为离散型随机量。理解：（X=x,Y=y ）≡（X=x ∩Y=y ）
设
ξ
=（X ，Y ）的所有可能取值为
)
,2,1,)(,( =j i y x j i ，且事件
{ξ=),(j i y x }的概率为p ij,,称
),2,1,()},(),{( ===j i p y x Y X P ij j i
为ξ=（X ，Y ）的分布律或称为X 和Y 的联合分布律。联合分布有时也用下面的概率分布表来表示：
这里p ij 具有下面两个性质： （1）p ij ≥0（i,j=1,2,…）； （2）
.1=∑∑
ij i
j
p
对于随机向量（X ，Y ），称其分量X （或Y ）的分布为（X ，Y ）的关于X （或Y ）的边缘分布。上表中的最后一列（或行）给出了X 为离散型，并且其联合分布律为
),2,1,()},(),{( ===j i p y x Y X P ij j i ，
则X 的边缘分布为 ),2,1,()( ====∑?j i p x X P P ij j
i i ；
Y 的边缘分布为 ),2,1,()( ====∑?j i p y Y P P ij i
i i
。
（2）二维连续型随机向量联合分布密度及边缘分布 对于二维随机向量
)
,(Y X =ξ，如果存在非负函数
),)(,(+∞<<-∞+∞<<-∞y x y x f ，使对任意一个其邻边分别平行于坐标
轴的矩形区域D ，即D={(X,Y)|a??=∈D
dxdy y x f D Y X P ,),(}),{(
则称ξ为连续型随机向量；并称f(x,y)为ξ=（X ，Y ）的分布密度或称为X 和Y 的联合分布密度。
分布密度f(x,y)具有下面两个性质： （1） f(x,y)≥0; （2）
??
+∞∞-+∞
∞
-=.1),(dxdy y x f
一般来说，当（X ，Y ）为连续型随机向量，并且其联合分布密度为f(x,y)，则X 和Y 的边缘分布密度为
.),()(),()(?
?
+∞
∞
-+∞
∞
-==dx y x f y f dy y x f x f Y X ，
注意：联合概率分布→边缘分布
（3）条件分布
当（X ，Y ）为离散型，并且其联合分布律为
),,2,1,()},(),{( ===j i p y x Y X P ij j i
在已知X=x i 的条件下，Y 取值的条件分布为
,)|(?
=
==i ij i j p p x X y Y P
其中p i ?, p ?j 分别为X ，Y 的边缘分布。
当（X ，Y ）为连续型随机向量，并且其联合分布密度为f(x,y)，则在已知Y=y 的条件下，X 的条件分布密度为
)
()
,()|(y f y x f y x f Y =
在已知X=x 的条件下，Y 的条件分布密度为
)
()
,()|(x f y x f x y f X =
其中
0)(,0)(>>y f x f Y X 分别为X ，Y 的边缘分布密度。
（4）常见的二维分布
①均匀分布
设随机向量（X ，Y ）的分布密度函数为
???
???
?∈=其他
,0),(1
),(D
y x S y x f D
其中S D 为区域D 的面积，则称（X ，Y ）服从D 上的均匀分布，记为（X ，Y ）～U （D ）。 例如图3.1、图3.2和图3.3。
图3.1
O
2 x
图3.2 图3.3
②正态分布
设随机向量（X ，Y ）的分布密度函数为
,121
),(2222121211221))((2)1(21
2
??
?
?
???
????
? ??----???? ??----=
σμ
σσμμρσμρρ
σπσy y x x e
y x f
其中1||,0,0,,2121<>>ρσσμμ，共5个参数，则称（X ，Y ）服从二维正态
分布，
记为（X ，Y ）～N （).,,,222
1
,21ρσσμμ
由边缘密度的计算公式，可以推出二维正态分布的两个边缘分布仍为正态分布，反推则错。
即X ～N （).(~),,2
2,22
11σμσμN Y
（5）二维随机向量联合分布函数及其性质
设（X ，Y ）为二维随机变量，对于任意实数x,y,二元函数
},{),(y Y x X P y x F ≤≤=
称为二维随机向量（X ，Y ）的分布函数，或称为随机变量X 和Y 的联合分布函数。
分布函数是一个以全平面为其定义域，以事件
})(,)(|),{(2121y Y x X ≤<-∞≤<-∞ωωωω的概率为函数值的一个实值
函数。分布函数F(x,y)具有以下的基本性质： （1）;1),(0≤≤
y x F
（2）F （x,y ）分别对x 和y 是非减的，即
当x 2>x 1时，有F （x 2,y ）≥F(x 1,y);当y 2>y 1时，有F(x,y 2) ≥F(x,y 1); （3）F （x,y ）分别对x 和y 是右连续的，即
);0,(),(),,0(),(+=+=y x F y x F y x F y x F
（4）.1),(,0),(),(),(=+∞+∞=-∞=-∞=-∞-∞F x F y F F
2、随机变量的独立性 （1）一般型随机变量 F(X,Y)=F X (x)F Y (y)
（2）离散型随机变量
j i ij p p p ??=
例3．5：二维随机向量（X ，Y ）共有六个取正概率的点，它们是：（1，-1），（2，-1），（2，0），2，2），（3，1），（3，2），并且（X ，Y ）取得它们的概率相同，则（X ，Y ）的联合分布及边缘分布为
（3）连续型随机变量 f(x,y)=f X (x)f Y (y)
联合分布→边缘分布→f(x,y)=f X (x)f Y (y)
直接判断，充要条件： ①可分离变量
②正概率密度区间为矩形
例3．6：如图3.1，f(x,y)=8xy, f X (x)=4x 3
, f Y (y)=4y-4y 3
，不独立。 例3．7：f(x,y)=?
??≤≤≤≤其他,01
0,20,2
y x Axy
（4）二维正态分布
,121
),(2222121211221))((2)1(21
2
???
?
???????
?
??-+---???
? ??----=
σμ
σσμμρσμρρ
σπσy y x x e
y x f
ρ=0
（5）随机变量函数的独立性
若X 与Y 独立，h,g 为连续函数，则：h （X ）和g （Y ）独立。 例如：若X 与Y 独立，则：3X+1和5Y-2独立。
3、简单函数的分布
两个随机变量的和Z=X+Y ①离散型： ②连续型
f Z (z)＝dx x z x f ?+∞
∞
--),(
两个独立的正态分布的和仍为正态分布（22
2121,σσμμ++）。 2、随机变量的独立性
例3．17：设（X ，Y ）的联合分布密度为
??
?
?
?≤≤≤+=.
,0,
10),
(),(其他x y y x C y x f
（1） 求C ；
（2） 求X ，Y 的边缘分布； （3） 讨论X 与Y 的独立性； （4） 计算P （X+Y ≤1）。 3、简单函数的分布
随机变量的数字特征 第一节 基本概念
1、一维随机变量的数字特征 （1）一维随机变量及其函数的期望 ①设X 是离散型随机变量，其分布律为P(
k x X =)＝p k ，k=1,2,…,n ，
∑==n
k k
k p x X E 1
)(
期望就是平均值。 ③数学期望的性质 （1） E(C)=C （2） E(CX)=CE(X)
（3） E(X+Y)=E(X)+E(Y)，∑∑===n i n
i i
i
i
i
X E C X C E 1
1
)()(
（4） E(XY)=E(X) E(Y)，充分条件：X 和Y 独立； 充要条件：X 和Y 不相关。 （5） Y=g(X)
离散：∑==n
i k
k p x g Y E 1
)()
(
连续：?+∞
∞
-=
dx x xf X E )()(
?+∞
∞
-=
dx x f x g Y E )()()(
（2）方差
D(X)=E[X-E(X)]2，方差
)()(X D X =σ，标准差
①离散型随机变量
∑-=k
k
k p X E x X D 2)]([)(
②连续型随机变量
?+∞
∞
--=dx x f X E x X D )()]([)(2
③方差的性质
（1） D(C)=0；E(C)=C
（2） D(aX)=a 2D(X)； E(aX)=aE(X) （3） D(aX+b)= a 2D(X)； E(aX+b)=aE(X)+b
（4） D(X)=E(X 2)-E 2(X)
（5） D(X+Y)=D(X)+D(Y)，充分条件：X 和Y 独立； 充要条件：X 和Y 不相关。
D(X ±Y)=D(X)+D(Y) ±2E[(X-E(X))(Y-E(Y))]，无条件成立。
E(X+Y)=E(X)+E(Y)，无条件成立。
类似的，n 个相互独立的正态分布的线性组合，仍服从正态分布),(2
σ
μN 。
∑=i
i i C μμ， ∑=i
i i C 2
22σσ
（3）常见分布的数学期望和方差
①0－1分布
E(X)=p，D(X)=pq ②二项分布 X~B(n,p)，k
n
k
k
n
n
q
p
C
k
P-
=
)
(，（k=0,1,2…n）E(X)=np，D(X)=npq
③泊松分布 P(λ) P(X=k)=
!k
e x
k-
λ
，k=0,1,2…
E(X)= λ， D(X)= λ
④超几何分布
n
N
k
n
M
N
k
M
C
C
C
k
X
P
-
-
=
=)
(
E(X)=
N
nM
⑤几何分布1
)
(-
=
=k
pq
k
X
P，k=0,1,2…
E(X)=
p
1
， D(X)=
2
p
q
⑥均匀分布 X~U[a,b]，f(x)=
a
b-
1
，[a, b ]
E(X)=
2
b
a+
， D(X)=
12
)
(2
a
b-
⑦指数分布 f(x)= x
eλ
λ-，(x>0)
E(X)=λ1
， D(X)=2
1
λ
⑧正态分布 X ~N(μ,σ2
)，2
2
2)(21)(σμσ
π--
=
x e
x f
E(X)= μ， D(X)= σ
2
2、二维随机变量的数字特征 （1）协方差和相关系数
对于随机变量X 与Y ，称它们的二阶混合中心矩11μ为X 与Y 的协方差或相关矩，记
为),cov(Y X XY 或σ，即
))].())(([(11Y E Y X E X E XY --==μσ
与记号XY σ相对应，X 与Y 的方差D （X ）与D （Y ）也可分别记为XX σ与YY σ。 协方差有下面几个性质： (i) cov (X, Y)=cov (Y , X); (ii) cov(aX,bY)=ab cov(X,Y);
(iii) cov(X 1+X 2, Y)=cov(X 1,Y)+cov(X 2,Y); (iv)
cov(X,Y)=E(XY)-(E(X))(E(Y)).
对于随机变量X 与Y ，如果D （X ）>0, D(Y)>0，则称
)
()(Y D X D XY
σ
为X 与Y 的相关系数，记作XY ρ（有时可简记为ρ）。
|ρ|≤1，当|ρ|=1时，称X 与Y 安全相关：
完全相关??
?-==时，
负相关，当时，
正相关，当11ρρ
而当0=ρ
时，称X 与Y 不相关。
与相关系数有关的几个重要结论 （i ）
若随机变量X 与Y 相互独立，则0=XY ρ；反之不真。
（ii ）
若（X ，Y ）～N （ρσσμμ,,,,2
22
121）
，则X 与Y 相互独立的充要条件是0=ρ
，即X 和Y 不相关。
（iii ） 以下五个命题是等价的：
①0=XY
ρ；
②cov(X,Y)=0; ③E(XY)=E(X)E(Y); ④D(X+Y)=D(X)+D(Y); ⑤D(X-Y)=D(X)+D(Y).
（2）二维随机变量函数的期望
???????=??∑∑∞+∞∞
+∞
－－为连续型。，
为离散型；
，),(),(),(),(),()],([Y X dxdy y x f y x G Y X p y x G Y X G E i j ij j i
（3）原点矩和中心矩
①对于正整数k ，称随机变量X 的k 次幂的数学期望为X 的k 阶原点矩，记为v k ,即
u k =E(X k
), k=1,2, ….
于是，我们有
??????
?=?∑∞+∞
-.
,)(续型时为连当为离散型时，
当X dx x p x X p x u k i
i k i k
②对于正整数k ，称随机变量X 与E （X ）差的k 次幂的数学期望为X 的k 阶中心矩，
记为k μ，即
.,2,1,))(( =-=k X E X E k k μ
于是，我们有
??????
?--=?∑∞+∞
-.
,)())(())((续型时为连当为离散型时，
当X dx x p X E x X p X E x u k i
i k i k
③对于随机变量X 与Y ，如果有)(l k
Y X E 存在，则称之为X 与Y 的k+l 阶混合原
点矩，记为kl u ，即
))].(())([(Y E Y X E X E u k kl --=
大数定律和中心极限定理
第一节 基本概念
1、切比雪夫不等式
设随机变量X 具有数学期望E （X ）=μ，方差D （X ）=σ2
，则对于任意正数ε，有下列切比雪夫不等式
2
2
)(ε
σεμ≤≥-X P
切比雪夫不等式给出了在未知X 的分布的情况下，对概率
)(εμ≥-X P
的一种估计，它在理论上有重要意义。 2、大数定律
（1）切比雪夫大数定律 （要求方差有界）
设随机变量X 1，X 2，…相互独立，均具有有限方差，且被同一常数C 所界：D （X i ）.1)(11lim 11=???
? ??<-∑∑==∞→εn
i i n i i n X E n X n P
特殊情形：若X 1，X 2，…具有相同的数学期望E （X I ）=μ，则上式成为
.11lim 1=???
? ??<-∑=∞→εμn i i n X n P 或者简写成：
()
.1lim =<-∞
→εμX P n
切比雪夫大数定律指出，n 个相互独立，且具有有限的相同的数学期望与方差的随机变量，当n 很大时，它们的算术平均以很大的概率接近它们的数学期望。
（2）伯努利大数定律
设μ是n 次独立试验中事件A 发生的次数，p 是事件A 在每次试验中发生的概率，则对于任意的正数ε，有
.1lim =???
?
??<-∞→εμp n P n
伯努利大数定律说明，当试验次数n 很大时，事件A 发生的频率与概率有较大判别的可能性很小，即
.0lim =???
?
??≥-∞→εμp n P n 这就以严格的数学形式描述了频率的稳定性。
（3）辛钦大数定律 （不要求存在方差）
设X 1，X 2，…，X n ，…是相互独立同分布的随机变量序列，且E （X n ）=μ，则对于任意的正数ε有
.11lim 1=???
?
??<-∑=∞→εμn i i n X n P
3、中心极限定理
（1）列维－林德伯格定理
设随机变量X 1，X 2，…相互独立，服从同一分布，且具有相同的数学期望和方差：
),2,1(0)(,)(2 =≠==k X D X E k k σμ，则随机变量
σ
μ
n n X
Y n
k k
n ∑=-=
1
的分布函数F n (x )对任意的实数x ，有
?
∑∞
--
=∞
→∞→=???
?
???
???????≤-=x
t n k k n n n dt e
x n n X P x F .21lim )(lim 2
12
πσμ
或者简写成：
)1,0(/N n
X n ??→?-∞
→σμ
此定理也称为独立同分布的中心极限定理。
（2）棣莫弗－拉普拉斯定理
设随机变量X 1，…X n 均为具有参数n, p(0?
∞
--
∞
→=??
?
???????≤--=x
t n n dt e
x p np np X P .21)1(lim 2
2
π
例5．3：某车间有200台车床，在生产时间内由于需要检修、调换刀具、变换位置、调换工件等常需停车。设开工率为0.6，并设每台车床的工作是独立的，且在开工时需电力1Kw ，问应供应该车间多少瓦电力，才能以99.9%的概率保证该车间不会因供电不足而影响生产。
数理统计的基本概念 第一节 基本概念
1、总体、个体和样本 （1）总体与样本
总体
在数理统计中，常把被考察对象的某一个（或多个）指标的全体称为
总体（或母体）；而把总体中的每一个单元称为样品（或个体）。在以后的讨论中，我们总是把总体看成一个具有分布的随机变量（或随机向量）。
例如单正态总体X ，用
),(~2σμN X
来表示
我们把从总体中抽取的部分样品n x x x ,,,21 称为样本。样本中所含的样品
数称为样本容量，一般用n 表示。为了使抽取的样本很好地反映总体地信息，最常用的方法是“简单随机抽样”：
（1）代表性。即每一样品X i 与总体X 同分布； （2）独立性。即样品抽取互相间不影响。
此时的样本是n 个相互独立的且与总体有相同分布的随机变量，这样的样本称为简单随机样本。
注意：在泛指任一次抽取的结果时，n x x x ,,,21 表示n 个随机变量（样本）；在具体的一次抽取之后，n x x x ,,,21 表示n 个具体的数值（样本值）。我们称之为样本的两重性。 （2）样本函数与统计量
设n x x x ,,,21 为总体的一个样本，称
?
?=
（n x x x ,,,21 ）
为样本函数，其中?为一个连续函数。如果?中不包含任何未知参数，则称?（n x x x ,,,21 ）为一个统计量。
2、统计量 （1）常用统计量
样本均值
.11
∑==n
i i x n x
样本方差
∑=--=n
i i
x x n S 12
2.)(11 （与概率论中的方差定义不同）
样本标准差
.)(111
2∑=--=n
i i x x n S 样本k 阶原点矩
∑===n i k
i k k x n M 1
.,2,1,1
样本k 阶中心矩
∑==-='n
i k i k
k x x n M 1
.,3,2,)(1 （二阶中心矩∑=-=n i i X X n S 1
2
2
)(1*与概率论中的方差
定义相同）
（2）统计量的期望和方差
μ=)(X E ，n
X D 2
)(σ=
，
22)(σ=S E ，2
21)*(σn
n S E -=
, 其中∑=-=n i i X X n S 1
2
2
)(1*，为二阶中心矩。
3、三个抽样分布（χ2
、t 、F 分布） （1）χ2
分布
设n 个随机变量n X X X ,,,21 相互独立，且服从标准正态分布，可以证明：它们的平方和
∑==n
i i X W 12
的分布密度为
???????<≥??? ??Γ=--.
0,
0,
0221
)(2
122u u e u n u f u
n n
我们称随机变量W 服从自由度为n 的2
κ分布，记为W ～2
κ(n)，其中
.20
1
2dx e x n x n
-∞+-?=??? ??Γ 所谓自由度是指独立正态随机变量的个数，它是随机变量分布中的一个重要参数。
2κ 分布满足可加性：设
),(2i i n Y κ-
则
).(~211
2k k
i i n n n Y Z +++=∑= κ
注意两个结果：E(χ2
)=n ，D(χ2
)=2n
（2）t 分布
设X ，Y 是两个相互独立的随机变量，且
),(~),1,0(~2n Y N X κ
可以证明：函数
n
Y X T /=
的概率密度为
2
121221)(+-
???
? ?
?+??
?
??Γ?
??
??+Γ=n n t n n n t f π
).(+∞<<-∞t
我们称随机变量T 服从自由度为n 的t 分布，记为T ～t(n)。 注意两个结果：E(T)=0，D(T)=2
-n n
(n>2)
（3）F 分布
设)(~),(~22
12
n Y n X κκ，且X 与Y 独立，可以证明：2
1
//n Y n X F =
的概率
密度函数为
?????
????<≥???
? ??+???
?
???
?? ??Γ??? ??Γ???
??+Γ=+-
-.
0,
0,0,1222)(2
2112
2
2121212
111y y y n n y n n n n n n y f n n n n
我们称随机变量F 服从第一个自由度为n 1，第二个自由度为n 2的F 分布，记为F ～f(n 1,
n 2).
正态分布αα
μμ-=-1，
)()(1n t n t αα-=-，
)
,(1),(12211n n F n n F αα=-
4、正态总体下统计量的分布和性质
注意一个定理：X 与2
S 独立。
（1）正态分布 设
n x x x ,,,21 为来自正态总体),(2σμN 的一个样
本，则样本函数 ).1,0(~/N n
x u
def
σμ
-
（2）t-分布 设
n x x x ,,,21 为来自正态总体),(2σμN 的一个样
本，则样本函数
),1(~/--n t n
S x t
def
μ
其中t(n-1)表示自由度为n-1的t 分布。
（3）2
κ 分布
设
n x x x ,,,21 为来自正态总体),(2σμN 的一个样
本，则样本函数
),1(~)1(22
2
--n S n w
def
κσ
其中)1(2
-n κ表示自由度为n-1的2κ分布。
（4）F 分布 设n x x x ,,,21 为来自正态总体),(2
σ
μN 的一个样本，
而
n y y y ,,,21 为来自正态总体),(2
2σμN 的一个样本，则样本函数
),1,1(~//212
2
222
121--n n F S S F
def
σσ
其中
,)(112
1
1211∑=--=n i i
x x n S ;)(112
1
222
2∑=--=n i i
y y n S )1,1(21--n n F 表示第一自由度为11-n ，第二自由度为12-n 的F 分布。
第七章 参数估计 第一节 基本概念
1、点估计的两种方法 （1）矩法
所谓矩法就是利用样本各阶原点矩与相应的总体矩，来建立估计量应满足的方程，从而求得未知参数估计量的方法。
设总体X 的分布中包含有未知数m θθθ,,,21 ，则其分布函数可以表成
).,,,;(21m x F θθθ 显示它的
k 阶原点矩),,2,1)((m k X E v k k
==中也
包含了未知参数
m θθθ,,,21 ，即
)
,,,(21m k k v v θθθ =。又设
n x x x ,,,21 为总体X 的n 个样本值，其样本的k 阶原点矩为
∑=∧
=n i k
i
k x n v 1
1
).,,2,1(m k =
这样，我们按照“当参数等于其估计量时，总体矩等于相应的样本矩”的原则建立方程，即有
??????
?
?
??
?
???
?===∑∑∑=∧
∧∧=∧∧∧=∧∧
∧n i m i m m n i i m n i i m x n v x n v x n v 121122121
211.1),,,(,1),,,(,
1),,,(θθθθθθθθθ 由上面的m 个方程中，解出的m 个未知参数)
,,,(21∧
∧∧m θθθ 即为参数
（m θθθ,,,21 ）的矩估计量。
(完整版)概率论与数理统计课后习题答案
·1· 习 题 一 1．写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点： （1）掷一颗骰子，记录出现的点数. A =‘出现奇数点’； （2）将一颗骰子掷两次，记录出现点数. A =‘两次点数之和为10’，B =‘第一次的点数，比第二次的点数大2’； （3）一个口袋中有5只外形完全相同的球，编号分别为1,2,3,4,5；从中同时取出3只球，观察其结果，A =‘球的最小号码为1’； （4）将,a b 两个球，随机地放入到甲、乙、丙三个盒子中去，观察放球情况，A =‘甲盒中至少有一球’； （5）记录在一段时间内，通过某桥的汽车流量，A =‘通过汽车不足5台’，B =‘通过的汽车不少于3台’。 解 （1）123456{,,,,,}S e e e e e e =其中i e =‘出现i 点’ 1,2,,6i =L ， 135{,,}A e e e =。 （2）{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)S = (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6) (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6) (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6) (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6) (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}； {(4,6),(5,5),(6,4)}A =； {(3,1),(4,2),(5,3),(6,4)}B =。 （ 3 ） {(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(1,3,4),(1,4,5),(1,2,4),(1,2,5) S = (2,3,5),(2,4,5),(1,3,5)} {(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5)}A = （ 4 ） {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,), S ab ab ab a b a b b a =--------- (,,),(,,,),(,,)}b a a b b a ---，其中‘-’表示空盒； {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)}A ab a b a b b a b a =------。 （5）{0,1,2,},{0,1,2,3,4},{3,4,}S A B ===L L 。 2．设,,A B C 是随机试验E 的三个事件，试用,,A B C 表示下列事件：
概率论与数理统计期末试卷+答案
一、单项选择题(每题2分，共20分) 1.设A 、B 是相互独立的事件，且()0.7,()0P A B P A ?==则 ()P B = ( A A. 0.5 B. 0.3 C. 0.75 D. 0.42 2、设X 是一个离散型随机变量，则下列可以成为X 的分布律的是 ( D ) A. 10 1p p ?? ?-??( p 为任意实数) B. 123450.1 0.3 0.3 0.2 0.2x x x x x ?? ??? C. 3 3()(1,2,...) ! n e P X n n n -== = D. 3 3()(0,1,2,...) ! n e P X n n n -== = 3．下列命题 不正确的是 ( D ) (A)设X 的密度为)(x f ，则一定有?+∞ ∞-=1 )(dx x f ； (B)设X 为连续型随机变量，则P (X =任一确定值)=0； (C)随机变量X 的分布函数()F x 必有01)(≤≤x F ； (D)随机变量X 的分布函数是事件“X =x ”的概率； 4．若()()() E XY E X E Y =,则下列命题不正确的是 ( B ) (A)(,)0Cov X Y =； (B)X 与Y 相互独立 ； (C)0=XY ρ； (D)()()D X Y D X Y -=+； 5. 已知两随机变量X 与Y 有关系0.80.7Y X =+，则X 与Y 间的相关系数 为 ( B ) (A)－1 ( B)1 (C)-0.8 (D)0.7 6．设X 与Y 相互独立且都服从标准正态分布，则 ( B ) (A)(0)0.25P X Y -≥= (B)(min(,)0)0.25P X Y ≥=
概率论与数理统计第三章课后习题答案
习题三 1.将一硬币抛掷三次，以X 表示在三次中出现正面的次数，以Y 表示三次中出现正面次数与 出现反面次数之差的绝对值.试写出X 和Y 的联合分布律. 【解】X 和Y 的联合分布律如表： 222??222 ??= 2.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球，以X 表示取到黑球的只数，以Y 表示取到红球的只数.求X 和Y 的联合分布律. 【解】X 和Y 的联合分布律如表： 324 C 35= 32 4 C 35= 322 4 C 35= 11322 4 C C 12C 35=132 4 C 2C 35 = 21322 4 C C 6C 35 = 2324 C 3 C 35 = 3.设二维随机变量（X ，Y ）的联合分布函数为 F （x ，y ）=?????≤ ≤≤≤., 020,20,sin sin 其他ππy x y x 求二维随机变量（X ，Y ）在长方形域? ?? ? ??≤<≤<36,40πππy x 内的概率. 【解】如图πππ {0,}(3.2)463 P X Y <≤ <≤公式 ππππππ(,)(,)(0,)(0,)434636 F F F F --+
ππππππ sin sin sin sin sin0sin sin0sin 434636 2 (31). 4 =--+ =- 题3图 说明：也可先求出密度函数，再求概率。 4.设随机变量（X，Y）的分布密度 f（x，y）= ? ? ?> > + - . ,0 ,0 ,0 ,)4 3( 其他 y x A y x e 求：（1）常数A； （2）随机变量（X，Y）的分布函数； （3）P{0≤X<1，0≤Y<2}. 【解】（1）由-(34) 00 (,)d d e d d1 12 x y A f x y x y A x y +∞+∞+∞+∞ + -∞-∞ === ???? 得A=12 （2）由定义，有 (,)(,)d d y x F x y f u v u v -∞-∞ =?? (34)34 00 12e d d(1e)(1e)0,0, 0, 0, y y u v x y u v y x -+-- ??-->> ? == ?? ? ?? ?? 其他 (3) {01,02} P X Y ≤<≤< 12(34)38 00 {01,02} 12e d d(1e)(1e)0.9499. x y P X Y x y -+-- =<≤<≤ ==--≈ ?? 5.设随机变量（X，Y）的概率密度为 f（x，y）= ? ? ?< < < < - - . ,0 ,4 2,2 ), 6( 其他 y x y x k
概率论与数理统计知识点总结详细
概率论与数理统计知识点 总结详细 Newly compiled on November 23, 2020
《概率论与数理统计》 第一章 概率论的基本概念 §2．样本空间、随机事件 1．事件间的关系 B A ?则称事件B 包含事件A ，指事件A 发生必然导致事件B 发生 B }x x x { ∈∈=?或A B A 称为事件A 与事件B 的和事件，指当且仅当A ，B 中至少有一个发生时，事件B A ?发生 B }x x x { ∈∈=?且A B A 称为事件A 与事件B 的积事件，指当A ，B 同时发生时，事件B A ?发生 B }x x x { ?∈=且—A B A 称为事件A 与事件B 的差事件，指当且仅当A 发生、B 不发生时，事件B A —发生 φ=?B A ，则称事件A 与B 是互不相容的，或互斥的，指事件A 与事件B 不能同时发生，基本事件是两两互不相容的 且S =?B A φ=?B A ，则称事件A 与事件B 互为逆事件，又称事件A 与事件B 互为对立事件 2．运算规则 交换律A B B A A B B A ?=??=? 结合律)()( )()(C B A C B A C B A C B A ?=???=?? 分配律 )()B (C A A C B A ???=??）（ 徳摩根律B A B A A B A ?=??=? B — §3．频率与概率 定义 在相同的条件下，进行了n 次试验，在这n 次试验中，事件A 发生的次数A n 称为事件A 发生的频数，比值n n A 称为事件A 发生的频率 概率：设E 是随机试验，S 是它的样本空间，对于E 的每一事件A 赋予一个实数，记为P （A ），称为事件的概率 1．概率)(A P 满足下列条件： （1）非负性：对于每一个事件A 1)(0≤≤A P （2）规范性：对于必然事件S 1)S (=P
概率论与数理统计第二版_课后答案_科学出版社_参考答案_
习题2参考答案 X 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 P 1/36 1/18 1/12 1/9 5/36 1/6 5/36 1/9 1/12 1/18 1/36 解：根据 1)(0 ==∑∞ =k k X P ，得10 =∑∞ =-k k ae ，即111 1 =---e ae 。 故 1-=e a 解：用X 表示甲在两次投篮中所投中的次数，X~B(2, 用Y 表示乙在两次投篮中所投中的次数, Y~B(2, (1)两人投中的次数相同 P{X=Y}= P{X=0,Y=0}+ P{X=1,Y=1} +P{X=2,Y=2}= 1 1 2 2 020********* 2222220.70.30.40.60.70.30.40.60.70.30.40.60.3124C C C C C C ?+?+?=(2)甲比乙投中的次数多 P{X>Y}= P{X=1,Y=0}+ P{X=2,Y=0} +P{X=2,Y=1}= 1 2 2 1 110220022011222222 0.70.30.40.60.70.30.40.60.70.30.40.60.5628C C C C C C ?+?+?=解:（1）P{1≤X ≤3}= P{X=1}+ P{X=2}+ P{X=3}=12321515155 ++= (2)P{解：（1）P{X=2,4,6,…}=246211112222k +++L =11[1()] 14 41314 k k lim →∞-=- （2）P{X ≥3}=1―P{X<3}=1―P{X=1}- P{X=2}=111 1244 --= 解：设i A 表示第i 次取出的是次品，X 的所有可能取值为0，1，2 12341213124123{0}{}()(|)(|)(|)P X P A A A A P A P A A P A A A P A A A A ====18171615122019181719 ???= 1123412342341234{1}{}{}{}{} 2181716182171618182161817162322019181720191817201918172019181795 P X P A A A A P A A A A P A A A A P A A A A ==+++=???+???+???+???= 12323 {2}1{0}{1}1199595 P X P X P X ==-=-==- -= 解：(1)设X 表示4次独立试验中A 发生的次数，则X~B(4, 34 314044(3)(3)(4)0.40.60.40.60.1792P X P X P X C C ≥==+==+= (2)设Y 表示5次独立试验中A 发生的次数，则Y~B(5, 3 4 5 324150555(3)(3)(4)(5)0.40.60.40.60.40.60.31744P X P X P X P X C C C ≥==+=+==++= （1）X ～P(λ)=P ×3)= P 0 1.51.5{0}0! P X e -=== 1.5 e - （2）X ～P(λ)=P ×4)= P(2) 0122 222{2}1{0}{1}1130!1! P X P X P X e e e ---≥=-=-==--=-
概率论与数理统计期末考试试题及解答
概率论与数理统计期末考 试试题及解答 Prepared on 24 November 2020
一、填空题（每小题3分，共15分） 1．设事件B A ,仅发生一个的概率为，且5.0)()(=+B P A P ，则B A ,至少有一个不发生的概率为__________. 答案： 解： 即 所以 9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P . 2．设随机变量X 服从泊松分布，且)2(4)1(==≤X P X P ，则 ==)3(X P ______. 答案： 解答： 由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλλλ---=+e e e 22 即 0122=--λλ 解得 1=λ，故 3．设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布，则随机变量2X Y =在区间) 4,0(内的概率密度为=)(y f Y _________. 答案： 解答：设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ，密度为()X f x 则 因为~(0,2)X U ，所以(0X F = ，即()Y X F y F = 故 另解 在(0,2)上函数2y x = 严格单调，反函数为()h y =所以 4．设随机变量Y X ,相互独立，且均服从参数为λ的指数分布，2)1(-=>e X P ，则=λ_________，}1),{min(≤Y X P =_________. 答案：2λ=，-4{min(,)1}1e P X Y ≤=- 解答： 2(1)1(1)P X P X e e λ-->=-≤==，故 2λ= 41e -=-. 5．设总体X 的概率密度为 ?????<<+=其它, 0, 10,)1()(x x x f θ θ 1->θ. n X X X ,,,21 是来自X 的样本，则未知参数θ的极大似然估计量为_________. 答案： 解答： 似然函数为 解似然方程得θ的极大似然估计为
华东师范大学末试卷(概率论与数理统计)复习题
华东师范大学期末试卷 概率论与数理统计 一． 选择题（20分，每题2分） 1. 已知随机变量X ~N(0,1),则2X 服从的分布为： A ．)1(χB 。)1(2 χC 。)1,0(N D 。)1,1(F 2. 讨论某器件的寿命，设:事件A={该器件的寿命为200小时}，事件B={该器件的寿 命为300小时}，则： A ． B A =B 。B A ? C 。B A ? D 。Φ=AB 3．设A,B 都是事件，且1)(,0)(,1)(≠>=A P A P B A P ,则=)(A B P （） A.1 B.0 C.0.5 D.0.2 4.设A,B 都是事件，且2 1 )(= A P ,A, B 互不相容，则=)(B A P （） B.41 C.0 D. 5 1 5.设A,B 都是事件，且2 1 )(= A P , A, B 互不相容，则=)(B A P （） B. 41 C.0 D. 5 1 B 。若A,B 互不相容，则它们相互独立 C ．若A,B 相互独立，则它们互不相容 D ．若6.0)()(==B P A P ，则它们互不相容 7.已知随机变量X ~)(λπ，且}3{}2{===X P X P ，则)(),(X D X E 的值分别为： A.3,3 B.9,9 C.3,9 D.9,3 8．总体X ~),(2 σμN ，μ未知，4321,,,X X X X 是来自总体的简单随机样本，下面估计量中的哪一个是μ的无偏估计量：、
A.)(31 )(21T 43211X X X X +++= C.)432(5 1 T 43213X X X X +++= A.)(4 1 T 43214X X X X +-+= 9.总体X ~),(2 σμN ，μ未知，54321,,,,X X X X X 是来自总体的简单随机样本，下列μ的无偏估计量哪一个是较为有效的估计量： A.54321141)(81)(41T X X X X X ++++= B.)(61 )(41T 543212X X X X X ++++= D.)2(6 1 T 543214X X X X X ++++= 10.总体X ~),(2 σμN ，μ未知，54321,,,,X X X X X 是来自总体的简单随机样本，记 ∑==n i i X n X 1 1， 21 21 )(11X X n S n i i --=∑=， 2 1 22 )(1X X n S n i i -=∑=， 21 23 )(1μ-=∑=n i i X n S ，21 24)(1μ-= ∑=n i i X n S ，则服从自由度为1-n 的t 分布的 1X t 2 --=n S μ C.n S 3X t μ-= D .n S 4 X t μ -= 11.如果存在常数)0(,≠a b a ，使1}{=+=b aX Y p ，且+∞<<)(0X D ，则Y X ,
概率论与数理统计知识点总结(详细)
《概率论与数理统计》 第一章概率论的基本概念 (2) §2．样本空间、随机事件..................................... 2.. §4 等可能概型（古典概型）................................... 3.. §5．条件概率.............................................................. 4.. . §6．独立性.............................................................. 4.. . 第二章随机变量及其分布 (5) §1随机变量.............................................................. 5.. . §2 离散性随机变量及其分布律................................. 5..§3 随机变量的分布函数....................................... 6..§4 连续性随机变量及其概率密度............................... 6..§5 随机变量的函数的分布..................................... 7..第三章多维随机变量. (7) §1 二维随机变量............................................ 7...§2边缘分布................................................ 8...§3条件分布................................................ 8...§4 相互独立的随机变量....................................... 9..§5 两个随机变量的函数的分布................................. 9..第四章随机变量的数字特征.. (10)
天津理工大学概率论与数理统计同步练习册标准答案详解
天津理工大学概率论与数理统计同步练习册答案详解
————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 2
第一章 随机变量 习题一 1、写出下列随机试验的样本空间 (1)同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和 Ω= { }1843,,,Λ (2)生产产品直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数 Ω= { }Λ,,1110 (3)对某工厂出厂的产品进行检验，合格的记上“正品”，不合格的记上“次品”， 如连续查出2个次品就停止，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。用“0”表示次品，用“1”表示正品。 Ω={111111101101011110111010110001100101010010000,,,,,,,,,,,} (4)在单位圆内任意取一点，记录它的坐标 Ω= }|),{(122<+y x y x (5)将一尺长的木棍折成三段，观察各段的长度 Ω=},,,|),,{(1000=++>>>z y x z y x z y x 其中z y x ,,分别表示第一、二、三段的长度 (6 ) .10只产品中有3只次品 ，每次从其中取一只(取后不放回) ，直到将3只次品都取出 ， 写出抽取次数的基本空间U = “在 ( 6 ) 中 ，改写有放回抽取” 写出抽取次数的基本空间U = 解: ( 1 ) U = { e3 ， e4 ，… e10 。} 其 中 ei 表 示 “ 抽 取 i 次 ” 的 事 件 。 i = 3、 4、 …、 10 ( 2 ) U = { e3 ， e4 ，… } 其 中 ei 表 示 “ 抽 取 i 次 ” 的 事 件 。 i = 3、 4、 … 2、互不相容事件与对立事件的区别何在？说出下列各对事件的关系 (1)δ<-||a x 与δ≥-||a x 互不相容 (2)20>x 与20≤x 对立事件 (3)20>x 与18x 与22≤x 相容事件 (5)20个产品全是合格品与20个产品中只有一个废品 互不相容 (6)20个产品全是合格品与20个产品中至少有一个废品 对立事件
概率论与数理统计必考大题解题索引
概率论与数理统计必考大题解题索引 编制：王健 审核： 题型一：古典概型：全概率公式和贝叶斯公式的应用。 【相关公式】 全概率公式： ()()()()()() n 1122S P()=|()||()() (|)() =()(|)()(|). i n n E S A E B A P A B P B P A B P B P A B P B P AB P B A P A P A P A B P B P A B P B +++= =+12设实验的样本空间为，为的事件，B ，B ，……，B 为的划分，且>0,则有： P ?…其中有：。特别地：当n 2时，有： 贝叶斯公式： ()()i 1 00(1,2,,),()(|)() (|)()(|)() =()(|)() (|)()(|)()(|)() i i i i n i i j E S A E A P B i n P B A P A B P B P B A P A P A B P B P AB P A B P B P B A P A P A B P B P A B P B =>>===== +∑12n 设实验的样本空间为。为的事件,B ，B ，……，B 为S 的一个划分，且P ，……则有：特别地： 当n 2时，有： 【相关例题】 1.三家工厂生产同一批产品，各工厂的产量分别占总产量的40%、25%、35%，其产品的不合格率依次为0.05、0.04、和0.02。现从出厂的产品中任取一件，求： （1）恰好取到不合格品的概率； （2）若已知取到的是不合格品，它是第二家工厂生产的概率。 解：设事件 表示：“取到的产品是不合格品”；事件i A 表示：“取到的产品是第i 家工 厂生产的”（i =123，，）。 则Ω== 3 1i i A ，且P A i ()>0，321A A A 、、两两互不相容，由全概率公式得 （1）∑=?=3 1 )|()()(i i i A A P A P A P 1000/37100 210035100410025100510040=?+?+?=
概率论与数理统计题库及答案
概率论与数理统计题库及答案 一、单选题 1. 在下列数组中，（ ）中的数组可以作为离散型随机变量的概率分布． (A) 51,41,31,21 (B) 81,81,41,21 (C) 2 1,21,21,21- (D) 16 1, 8 1, 4 1, 2 1 2. 下列数组中，（ ）中的数组可以作为离散型随机变量的概率分布． (A) 4 1414121 (B) 161814121 (C) 16 3 16 14 12 1 (D) 8 18 34 12 1- 3. 设连续型随机变量X 的密度函数 ???<<=, ,0, 10,2)(其他x x x f 则下列等式成立的是（ ）． (A) X P (≥1)1=- (B) 21)21(==X P (C) 2 1)21(= < X P (D) 2 1)21(= > X P 4. 若 )(x f 与)(x F 分别为连续型随机变量X 的密度函数与分布函数，则等式（ ）成 立． (A) X a P <(≤?∞ +∞-=x x F b d )() (B) X a P <(≤? = b a x x F b d )() (C) X a P <(≤? = b a x x f b d )() (D) X a P <(≤? ∞+∞ -= x x f b d )() 5. 设 )(x f 和)(x F 分别是随机变量X 的分布密度函数和分布函数，则对任意b a <，有 X a P <(≤=)b （ ）． (A) ? b a x x F d )( (B) ? b a x x f d )( (C) ) ()(a f b f - (D) )()(b F a F - 6. 下列函数中能够作为连续型随机变量的密度函数的是（ ）．
(完整版)概率论与数理统计课程标准
《概率论与数理统计》课程标准 一、课程概述 （一）课程定位 《概率论与数理统计》(Probability Theory and Mathematical Statistics)，由概率论和数理统计两部分组成。它是研究随机现象并找出其统计规律的一门学科，是广泛应用于社会、经济、科学等各个领域的定量和定性分析的科学体系。从学科性质讲，它是一门基础性学科，它为建筑专业学生后继专业课程的学习提供方法论的指导。 （二）先修后续课程 《概率论与数理统计》的先修课程为《高等数学》、《线性代数》等，这些课程为本课程的学习奠定了理论基础。 《概率论与数理统计》的后续课程为《混凝土结构设计》、《地基与基础》等课程。通过该课程的学习可为这些课程中的模型建立等内容的知识学习奠定良好的基础,在教学中起到了承上启下的作用。 二.课程设计思路 本课程的基本设计思路是极力用较为通俗的语言阐释概率论的基本理论和数理统计思想方法;理论和方法相结合，以强调数理统计理论的应用价值。总之,强调理论与实际应用相结合的特点,力求在实际应用方面做些有益的探索，也为其它学科的
进一步学习打下一个良好的基础。 三、课程目标 《概率论与数理统计》是一门几乎遍及所有的科学技术领域以及工农业生产和国民经济各部门之中。通过学习该课程使学生掌握概率、统计的基本概念，熟悉数据处理、数据分析、数据推断的各种基本方法，并能用所掌握的方法具体解决工程实践中所遇到的各种问题。 （一）能力目标 力求在简洁的基础上使学生能从整体上了解和掌握该课程的内容体系，使学生能够在实际工作中、其它学科的学习中能灵活、自如地应用这些理论。 （二）知识目标 1.理解掌握概率论中的相关概念和公式定理； 2.学会应用概率论的知识解决一些基本的概率计算； 3.理解数理统计的基本思想和解决实际问题的方法。 （三）素质目标 1.培养学生乐于观察、分析、不断创新的精神； 2.培养具有较好的逻辑思维、较强的计划、组织和协调能力； 3.培养具有认真、细致严谨的职业能力。 四、课程内容 根据能力培养目标的要求，本课程的主要内容是随机事件、随机变量、随机向量、数字特征、极限定理。具体内容和学时分配见表4-1。 表4-1 课程内容和学时分配
概率论与数理统计试题库
《概率论与数理统计》试题（1） 一 、 判断题（本题共15分，每小题3分。正确打“√”，错误打“×”） ⑴ 对任意事件A 和B ，必有P(AB)=P(A)P(B) ( ) ⑵ 设A 、B 是Ω中的随机事件,则(A ∪B )-B=A ( ) ⑶ 若X 服从参数为λ的普哇松分布，则EX=DX ( ) ⑷ 假设检验基本思想的依据是小概率事件原理 （ ） ⑸ 样本方差2n S = n 121 )(X X n i i -∑=是母体方差DX 的无偏估计 （ ） 二 、（20分）设A 、B 、C 是Ω中的随机事件，将下列事件用A 、B 、C 表示出来 （1）仅A 发生，B 、C 都不发生； （2）,,A B C 中至少有两个发生； （3）,,A B C 中不多于两个发生； （4）,,A B C 中恰有两个发生； （5）,,A B C 中至多有一个发生。 三、（15分） 把长为a 的棒任意折成三段，求它们可以构成三角形的概率. 四、（10分） 已知离散型随机变量X 的分布列为 2101 31111115651530 X P -- 求2 Y X =的分布列. 五、（10分）设随机变量X 具有密度函数|| 1()2 x f x e -= ，∞＜ x ＜∞， 求X 的数学期望和方差. 六、（15分）某保险公司多年的资料表明，在索赔户中，被盗索赔户占20%，以X 表示在随机抽查100个索赔户中因被盗而向保险公司索赔的户数，求(1430)P X ≤≤. x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 Ф(x) 0.500 0.691 0.841 0.933 0.977 0.994 0.999 七、（15分）设12,,,n X X X 是来自几何分布 1 ()(1) ,1,2,,01k P X k p p k p -==-=<< ， 的样本，试求未知参数p 的极大似然估计.
概率论与数理统计课后习题答案
习题1.1解答 1. 将一枚均匀的硬币抛两次，事件C B A ,,分别表示“第一次出现正面”，“两次出现同一面”，“至少有一次出现正面”。试写出样本空间及事件C B A ,,中的样本点。 解：{=Ω(正，正)，（正，反），（反，正），（反，反）} {=A (正，正)，（正，反）}；{=B （正，正），（反，反）} {=C (正，正)，（正，反），（反，正）} 2. 在掷两颗骰子的试验中，事件D C B A ,,,分别表示“点数之和为偶数”，“点数之和小于5”，“点数相等”，“至少有一颗骰子的点数为3”。试写出样本空间及事件D C B A BC C A B A AB ---+,,,,中的样本点。 解：{})6,6(,),2,6(),1,6(,),6,2(,),2,2(),1,2(),6,1(,),2,1(),1,1( =Ω； {})1,3(),2,2(),3,1(),1,1(=AB ； {})1,2(),2,1(),6,6(),4,6(),2,6(,),5,1(),3,1(),1,1( =+B A ； Φ=C A ；{})2,2(),1,1(=BC ； {})4,6(),2,6(),1,5(),6,4(),2,4(),6,2(),4,2(),5,1(=---D C B A 3. 以C B A ,,分别表示某城市居民订阅日报、晚报和体育报。试用C B A ,,表示以下事件： （1）只订阅日报； （2）只订日报和晚报； （3）只订一种报； （4）正好订两种报； （5）至少订阅一种报； （6）不订阅任何报； （7）至多订阅一种报； （8）三种报纸都订阅； （9）三种报纸不全订阅。 解：（1）C B A ； （2）C AB ； （3）C B A C B A C B A ++； （4）BC A C B A C AB ++; （5）C B A ++； （6）C B A ； （7）C B A C B A C B A C B A +++或C B C A B A ++ （8）ABC ； （9）C B A ++ 4. 甲、乙、丙三人各射击一次，事件321,,A A A 分别表示甲、乙、丙射中。试说明下列事件所表示的结果：2A , 32A A +, 21A A , 21A A +, 321A A A , 313221A A A A A A ++. 解：甲未击中；乙和丙至少一人击中；甲和乙至多有一人击中或甲和乙至少有一人未击中；甲和乙都未击中；甲和乙击中而丙未击中；甲、乙、丙三人至少有两人击中。 5. 设事件C B A ,,满足Φ≠ABC ，试把下列事件表示为一些互不相容的事件的和：C B A ++，C AB +，AC B -. 解：如图：
概率论与数理统计试题与答案
概率论与数理统计试题 与答案 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】
概率论与数理统计试题与答案(2012-2013-1) 概率统计模拟题一 一、填空题（本题满分18分，每题3分） 1、设,3.0)(,7.0)(=-=B A P A P 则)(AB P = 。 2、设随机变量p)B(3,~Y p),B(2,~X ，若9 5 )1(= ≥X p ，则=≥)1(Y p 。 3、设X 与Y 相互独立，1,2==DY DX ，则=+-)543(Y X D 。 4、设随机变量X 的方差为2，则根据契比雪夫不等式有≤≥}2EX -X {P 。 5、设)X ,,X ,(X n 21 为来自总体)10(2 χ的样本，则统计量∑==n 1 i i X Y 服从 分布。 6、设正态总体),(2σμN ，2σ未知，则μ的置信度为α-1的置信区间的长度 =L 。（按下侧分位数） 二、选择题（本题满分15分，每题3分） 1、 若A 与自身独立，则（ ） (A)0)(=A P ； (B) 1)(=A P ；(C) 1)(0<考研概率论与数理统计题库-题目
概率论与数理统计 第一章 概率论的基本概念 1. 写出下列随机试验的样本空间 （1）记录一个小班一次数学考试的平均分数（以百分制记分） （2）生产产品直到得到10件正品，记录生产产品的总件数。 （3）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的盖上“正品”，不合格的盖上“次品”，如连续查出二个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。 2. 设A ，B ，C 为三事件，用A ，B ，C 的运算关系表示下列事件。 （1）A 发生，B 与C 不发生 （2）A ，B 都发生，而C 不发生 （3）A ，B ，C 中至少有一个发生 （4）A ，B ，C 都发生 （5）A ，B ，C 都不发生 （6）A ，B ，C 中不多于一个发生 （7）A ，B ，C 中不多于二个发生 （8）A ，B ，C 中至少有二个发生。 3. 设A ，B 是两事件且P (A )=0.6，P (B )=0.7. 问(1)在什么条件下P (AB )取到最大值，最 大值是多少？（2）在什么条件下P (AB )取到最小值，最小值是多少？ 4. 设A ，B ，C 是三事件，且0)()(,4/1)()()(=====BC P AB P C P B P A P ，8 1 )(= AC P . 求A ，B ，C 至少有一个发生的概率。 5. 在电话号码薄中任取一个电话号码，求后面四个数全不相同的概率。（设后面4个数 中的每一个数都是等可能性地取自0，1，2……9）
6. 在房间里有10人。分别佩代着从1号到10号的纪念章，任意选3人记录其纪念章的 号码。 （1）求最小的号码为5的概率。 （2）求最大的号码为5的概率。 7. 某油漆公司发出17桶油漆，其中白漆10桶、黑漆4桶，红漆3桶。在搬运中所标笺 脱落，交货人随意将这些标笺重新贴，问一个定货4桶白漆，3桶黑漆和2桶红漆顾客，按所定的颜色如数得到定货的概率是多少？ 8. 在1500个产品中有400个次品，1100个正品，任意取200个。 （1）求恰有90个次品的概率。 （2）至少有2个次品的概率。 9. 从5双不同鞋子中任取4只，4只鞋子中至少有2只配成一双的概率是多少？ 10. 将三个球随机地放入4个杯子中去，问杯子中球的最大个数分别是1，2，3，的概 率各为多少？ 11. 已知)|(,5.0)(,4.0)(,3.0)(B A B P B A P B P A P ?===求。 12. )(,2 1 )|(,31)|(,41)(B A P B A P A B P A P ?=== 求。 13. 设有甲、乙二袋，甲袋中装有n 只白球m 只红球，乙袋中装有N 只白球M 只红球， 今从甲袋中任取一球放入乙袋中，再从乙袋中任取一球，问取到（即从乙袋中取到）白球的概率是多少？ (2) 第一只盒子装有5只红球，4只白球；第二只盒子装有4只红球，5只白球。先从第一盒子中任取2只球放入第二盒中去，然后从第二盒子中任取一只球，求取到白球的概率。 14. 已知男人中有5%是色盲患者，女人中有0.25%是色盲患者。今从男女人数相等的人 群中随机地挑选一人，恰好是色盲患者，问此人是男性的概率是多少？ 15. 一学生接连参加同一课程的两次考试。第一次及格的概率为P ，若第一次及格则第 二次及格的概率也为P ；若第一次不及格则第二次及格的概率为2/P
概率论与数理统计学习地总结
概率论与数理统计 学习报告 学院 学号： 姓名：
概率论与数理统计学习报告 通过短短一学期的学习，虽然学习、研究地并不深入，但该课程的每一处内容都有不同的奇妙吸引着我，让我对它在生活中饰演的角色充满遐想；它将我带入了一个由随机变量为桥梁，通过表面偶然性找出其内在规律性，从而与其它的数学分支建立联系的世界，让我对这种进行大量的随机重复实验，通过分析研究得出统计规律性的过程产生了极大地兴趣。我很喜欢这门课程，但也不得不说课后在它上面花的时间并不多，因此学得还不深入，但它真的深深地吸引了我，我一定会找时间进一步深入地学习它。 先简单地介绍一下概率论与数理统计这门学科。 概率论是基于给出随机现象的数学模型，并用数学语言来描述它们，然后研究其基本规律，透过表面的偶然性，找出其内在的规律性，建立随机现象与数学其他分支的桥梁，使得人们可以利用已成熟的数学工具和方法来研究随机现象，进而也为其他数学分支和其他新兴学科提供了解决问题的新思路和新方法。数理统计是以概率论为基础，基于有效的观测、收集、整理、分析带有随机性的数据来研究随机现象，进而对所观察的问题作出推断和预测，直至为采取一定的决策和行动提供依据和建议。 概率论与数理统计是研究随机现象及其规律性的一门数学学科。研究随机现象的规律性有其独特的思想方法，它不是寻求出现每一现象的一切物理因素，不能用研究确定性现象的方法研究随机现象，而是承认在所研究的问题中存在一些人们不能认识或者根本不知道的
随机因素作用下，发生随机现象。这样，人们既可以通过试验来观察随机现象，揭示其规律性，作出决策，也可根据实际问题的具体情况找出随机现象的规律，作出决策。 至今，概率论与数理统计的理论与方法已经广泛应用于自然科学、社会科学以及人文科学等各个领域中，并随着计算机的普及，概率论与数理统计已成为处理信息、制定决策的重要理论和方法。它们不仅是许多新兴学科，如信息论、控制论、排队论、可靠性论以及人工智能的数学理论基础，而且与其他领域的新兴学科的相互交叉而产生了许多新的分支和边缘学科，如生物统计、统计物理、数理金融、神经网络统计分析、统计计算等。 概率论应用随机变量与随机变量的概率分布、数字特征及特征函数为数学工具对随机现象进行描述、分析与研究，其前提条件是假设随机变量的概率分布是已知的；而数理统计中作为研究对象的随机变量的概率分布是完全未知的，或者分布类型已知，但其中的某些参数或某些数字特征是未知的。概率论研究问题的方法是从假设、命题、已知的随机现象的事实出发，按一定的逻辑推理得到结论，在方法上是演绎式的。而统计学的方法是归纳式的，从所研究地对象的全体中随机抽取一部分进行试验或观测，以获得试验数据，依据试验数据所获取的信息，对整体进行推断，是归纳而得到结论的。因此掌握它特有的学习方法是很重要的。 在学习的过程中，不论是老师提出的一些希望我们课后讨论的问题还是自己在做作业看书过程中遇到的一些问题都引发了我的一些
概率论与数理统计试卷及答案(1)
模拟试题一 一、 填空题（每空3分，共45分） 1、已知P(A) = , P(B) = , P(B|A ) = , 则P(A|B ) = P( A ∪B) = 2、设事件A 与B 独立，A 与B 都不发生的概率为1 9 ，A 发生且B 不发生的概率与B 发生且A 不发生的概率相等，则A 发生的概率为： ； 3、一间宿舍内住有6个同学，求他们之中恰好有4个人的生日在同一个月份的概率： ；没有任何人的生日在同一个月份的概率 ； 4、已知随机变量X 的密度函数为：,0 ()1/4, 020,2 x Ae x x x x ??为未知参数，12,, ,n X X X 为其样本，1 1n i i X X n ==∑为样本均值， 则θ的矩估计量为： 。 9、设样本129,, ,X X X 来自正态总体(,1.44)N a ，计算得样本观察值10x =，求参数a 的置 信度为95%的置信区间： ； 二、 计算题（35分） 1、 (12分)设连续型随机变量X 的密度函数为： 1, 02()2 0, x x x ??≤≤?=???其它
概率论与数理统计考试试卷与答案
0506 一.填空题(每空题2分，共计60 分) 1、A、B 是两个随机事件，已知p(A) 0.4,P(B) 0.5,p(AB) 0.3 ，则p(A B) 0.6 , p(A -B) 0.1 ，P(A B)= 0.4 , p(A B) 0.6。 2、一个袋子中有大小相同的红球6只、黑球4只。(1)从中不放回地任取2 只，则第一次、第二次取红色球的概率为：1/3 。(2)若有放回地任取 2 只，则第一次、第二次取红色球的概率为：9/25 。( 3)若第一次取一只球观查球颜色后，追加一只与其颜色相同的球一并放入袋中后，再取第二只，则第一次、第二次取红色球的概率为：21/55 。 3、设随机变量X 服从B(2，0.5)的二项分布，则p X 1 0.75, Y 服从二项分 布B(98, 0.5), X 与Y 相互独立, 则X+Y 服从B(100,0.5)，E(X+Y)= 50 ， 方差D(X+Y)= 25 。 4、甲、乙两个工厂生产同一种零件，设甲厂、乙厂的次品率分别为0.1、 0.15．现从由甲厂、乙厂的产品分别占60%、40%的一批产品中随机抽取 一件。 ( 1)抽到次品的概率为：0.12 。 2)若发现该件是次品，则该次品为甲厂生产的概率为：0.5 6、若随机变量X ~N(2,4)且(1) 0.8413 ，(2) 0.9772 ,则P{ 2 X 4} 0.815 ， Y 2X 1,则Y ~ N( 5 ，16 )。
7、随机变量X、Y 的数学期望E(X)= -1，E(Y)=2, 方差D(X)=1 ，D(Y)=2, 且 X、Y 相互独立，则：E(2X Y) - 4 ，D(2X Y) 6 。 8、设D(X) 25 ，D( Y) 1，Cov( X ,Y) 2，则D(X Y) 30 9、设X1, , X 26是总体N (8,16)的容量为26 的样本，X 为样本均值，S2为样本方 差。则：X~N(8 ，8/13 )，25S2 ~ 2(25)，X 8 ~ t(25)。 16 s/ 25 10、假设检验时，易犯两类错误，第一类错误是：”弃真” ,即H0 为真时拒绝H0, 第二类错误是：“取伪”错误。一般情况下，要减少一类错误的概率，必然增大另一类错误的概率。如果只对犯第一类错误的概率加以控制，使之
