奇偶性与单调性
函数的单调性、奇偶性是高考的重点和热点内容之一,特别是两性质的应用更加突出.本节主要帮助考生学会怎样利用两性质解题,掌握基本方法,形成应用意识.
●难点磁场
(★★★★★)已知偶函数f (x )在(0,+∞)上为增函数,且f (2)=0,解不等式f
[log 2(x 2
+5x +4)]≥0.
●案例探究
[例1]已知奇函数f (x )是定义在(-3,3)上的减函数,且满足不等式f (x -3)+f (x 2
-3)<0,设不等式解集为A ,B =A ∪{x |1≤x ≤5},求函数g (x )=-3x 2
+3x -4(x ∈B )的最大值.
命题意图:本题属于函数性质的综合性题目,考生必须具有综合运用知识分析和解决问题的能力,属★★★★级题目.
知识依托:主要依据函数的性质去解决问题.
错解分析:题目不等式中的“f ”号如何去掉是难点,在求二次函数在给定区间上的最值问题时,学生容易漏掉定义域.
技巧与方法:借助奇偶性脱去“f ”号,转化为x cos 不等式,利用数形结合进行集合运算和求最值.
解:由?
??<<-<??<-<-<-<-666
03333332
x x x x 得且x ≠0,故0 -3)=f (3-x 2 ),又f (x )在(-3,3)上是减函数, ∴x -3>3-x 2 ,即x 2 +x -6>0,解得x >2或x <-3,综上得2 +3x -4=-3(x - 21)2-4 13 知:g (x )在B 上为减函数,∴g (x )max =g (1)=-4. [例2]已知奇函数f (x )的定义域为R ,且f (x )在[0,+∞)上是增函数,是否存在实数m ,使f (cos2θ-3)+f (4m -2m cos θ)>f (0)对所有θ∈[0, 2 π ]都成立?若存在,求出符合条件的所有实数m 的范围,若不存在,说明理由. 命题意图:本题属于探索性问题,主要考查考生的综合分析能力和逻辑思维能力以及运算能力,属★★★★★题目. 知识依托:主要依据函数的单调性和奇偶性,利用等价转化的思想方法把问题转化为二次函数在给定区间上的最值问题. 错解分析:考生不易运用函数的综合性质去解决问题,特别不易考虑运用等价转化的思想方法. 技巧与方法:主要运用等价转化的思想和分类讨论的思想来解决问题. 解:∵f (x )是R 上的奇函数,且在[0,+∞)上是增函数,∴f (x )是R 上的增函数.于是 不等式可等价地转化为f (cos2θ-3)>f (2m cos θ-4m ), 即cos2θ-3>2m cos θ-4m ,即cos 2 θ-m cos θ+2m -2>0. 设t =cos θ,则问题等价地转化为函数g (t )=t 2 -mt +2m -2=(t -2 m )2-42 m +2m -2在 [0,1]上的值恒为正,又转化为函数g (t )在[0,1]上的最小值为正. ∴当2 m <0,即m <0时,g (0)=2m -2>0?m >1与m <0不符; 当0≤2 m ≤1时,即0≤m ≤2时,g (m )=-42m +2m -2>0 ?4-22 当 2 m >1,即m >2时,g (1)=m -1>0?m >1.∴m >2 综上,符合题目要求的m 的值存在,其取值范围是m >4-22. ●锦囊妙计 本难点所涉及的问题以及解决的方法主要有: (1)运用奇偶性和单调性去解决有关函数的综合性题目.此类题目要求考生必须具有驾驭知识的能力,并具有综合分析问题和解决问题的能力. (2)应用问题.在利用函数的奇偶性和单调性解决实际问题的过程中,往往还要用到等价转化和数形结合的思想方法,把问题中较复杂、抽象的式子转化为基本的简单的式子去解决.特别是:往往利用函数的单调性求实际应用题中的最值问题. ●歼灭难点训练 一、选择题 1.(★★★★)设f (x )是(-∞,+∞)上的奇函数,f (x +2)=-f (x ),当0≤x ≤1时,f (x )=x ,则f (7.5)等于( ) A.0.5 B.-0.5 C.1.5 D.-1.5 2.(★★★★)已知定义域为(-1,1)的奇函数y =f (x )又是减函数,且f (a -3)+f (9-a 2)<0,则a 的取值范围是( ) A.(22,3) B.(3,10) C.(22,4) D.(-2,3) 二、填空题 3.(★★★★)若f (x )为奇函数,且在(0,+∞)内是增函数,又f (-3)=0,则xf (x )<0的解集为_________. 4.(★★★★)如果函数f (x )在R 上为奇函数,在(-1,0)上是增函数,且f (x +2)=-f (x ), 试比较f ( 31),f (32 ),f (1)的大小关系_________. 三、解答题 5.(★★★★★)已知f (x )是偶函数而且在(0,+∞)上是减函数,判断f (x )在(-∞,0)上的增减性并加以证明. 6.(★★★★)已知f (x )=x x a 2 11 2+-? (a ∈R)是R 上的奇函数, (1)求a 的值; (2)求f (x )的反函数f -1 (x ); (3)对任意给定的k ∈R + ,解不等式f -1 (x )>lg k x +1. 7.(★★★★)定义在(-∞,4]上的减函数f (x )满足f (m -sin x )≤f (m 21+- 4 7+cos 2 x )对任意x ∈R 都成立,求实数m 的取值范围. 8.(★★★★★)已知函数y =f (x )=c bx ax ++1 2 (a ,b ,c ∈R,a >0,b >0)是奇函数,当x >0时, f (x )有最小值2,其中b ∈N 且f (1)<2 5 . (1)试求函数f (x )的解析式; (2)问函数f (x )图象上是否存在关于点(1,0)对称的两点,若存在,求出点的坐标;若不存在,说明理由. 参考答案 难点磁场 解:∵f (2)=0,∴原不等式可化为f [log 2(x 2 +5x +4)]≥f (2). 又∵f (x )为偶函数,且f (x )在(0,+∞)上为增函数, ∴f (x )在(-∞,0)上为减函数且f (-2)=f (2)=0 ∴不等式可化为log 2(x 2 +5x +4)≥2 ① 或log 2(x 2 +5x +4)≤-2 ② 由①得x 2 +5x +4≥4 ∴x ≤-5或x ≥0 ③ 由②得0<x 2 +5x +4≤ 4 1得210 5--≤x <-4或-1<x ≤2105+- ④ 由③④得原不等式的解集为 {x |x ≤-5或 2105--≤x ≤-4或-1<x ≤2 10 5+-或x ≥0} 歼灭难点训练 一、1.解析:f (7.5)=f (5.5+2)=-f (5.5)=-f (3.5+2)=f (3.5)=f (1.5+2)=-f (1.5)=-f (-0.5+2)= f (-0.5)=-f (0.5)=-0.5. 答案:B 2.解析:∵f (x )是定义在(-1,1)上的奇函数又是减函数,且f (a -3)+f (9-a 2 )<0. ∴f (a -3)<f (a 2 -9). ∴??? ??->-<-<-<-<-9 31911312 2a a a a ∴a ∈(22,3). 答案:A 二、3.解析:由题意可知:xf (x )<0? ??<>???>0)(0 0)(0x f x x f x 或 ???<>???->???<>???->3 030 )3()(0 )3()(0x x x x f x f x f x f x 或或 ∴x ∈(-3,0)∪(0,3) 答案:(-3,0)∪(0,3) 4.解析:∵f (x )为R 上的奇函数 ∴f (31)=-f (-31),f (32)=-f (-3 2 ),f (1)=-f (-1),又f (x )在(-1,0)上是增函数且-3 1> - 3 2 >-1. ∴f (- 31)>f (-32)>f (-1),∴f (31)<f (32 )<f (1). 答案:f (31)<f (3 2 )<f (1) 三、5.解:函数f (x )在(-∞,0)上是增函数,设x 1<x 2<0,因为f (x )是偶函数,所以 f (-x 1)=f (x 1),f (-x 2)=f (x 2),由假设可知-x 1>-x 2>0,又已知f (x )在(0,+∞)上是减函数,于是有f (-x 1)<f (-x 2),即f (x 1)<f (x 2),由此可知,函数f (x )在(-∞,0)上是增函数. 6.解:(1)a =1. (2)f (x )=1212+-x x (x ∈R)?f --1 (x )=log 2x x -+11 (-1<x <1). (3)由log 2 x x -+11>log 2 k x +1?log 2(1-x )<log 2k ,∴当0<k <2时,不等式解集为{x |1-k <x <1};当k ≥2时,不等式解集为{x |-1<x <1}. 7.解:?????++-≥++-≤-???? ?? ??? +-+≥-≤+-+≤-1sin sin 4721sin 4 cos 4721sin 4cos 47214 sin 2 2 2 x x m m x m x m x m x m x m 即,对x ∈R 恒成立, ?? ???=≥≤∴21233m m m 或 ∴m ∈[ 23,3]∪{2 1 }. 8.解:(1)∵f (x )是奇函数,∴f (-x )=-f (x ),即c bx c bx c bx ax c bx ax -=+?+-+-=++1 122 ∴c =0,∵a >0,b >0,x >0,∴f (x )=bx x b a bx ax 1 12+ =+≥22 b a ,当且仅当x =a 1时等号成立,于是22 b a =2,∴a =b 2,由f (1)<25得b a 1+<25即b b 12+<25,∴2b 2 -5b +2<0,解得 21 <b <2,又b ∈N,∴b =1,∴a =1,∴f (x )=x + x 1. (2)设存在一点(x 0,y 0)在y =f (x )的图象上,并且关于(1,0)的对称点(2-x 0,-y 0)也在 y =f (x )图象上,则??? ?? ??-=-+-=+0 02 0002021 )2(1 y x x y x x 消去y 0得x 02 -2x 0-1=0,x 0=1±2. ∴y =f (x )图象上存在两点(1+2,22),(1-2,-22)关于(1,0)对称. 函数的单调性及奇偶性 一、单选题(共10道,每道10分) 1.已知函数是上的增函数,若,则下列不一定正确的是( ) A. B. C. D. 答案:D 解题思路: 试题难度:三颗星知识点:函数单调性的定义 2.已知定义在上的函数满足:对任意不同的x1,x2,都有.若 ,则实数a的取值范围是( ) A. B. C. D. 答案:C 解题思路: 试题难度:三颗星知识点:函数单调性的定义 3.已知定义在上的函数满足:对任意不同的x1,x2,都有 .若,则实数a的取值范围是( ) A. B. C. D. 答案:B 解题思路: 试题难度:三颗星知识点:函数单调性的定义 4.函数的单调递减区间是( ) A. B. C. D.无减区间 答案:A 解题思路: 试题难度:三颗星知识点:含绝对值函数的单调性 5.函数的单调递减区间是( ) A., B., C., D., 答案:A 解题思路: 试题难度:三颗星知识点:函数的单调性及单调区间 6.函数的单调递增区间是( ) A. B. C. D. 答案:B 解题思路: 试题难度:三颗星知识点:含绝对值函数的单调性 7.若是奇函数,则实数a的值为( ) A.1 B.-1 C.0 D.±1 答案:A 解题思路: 试题难度:三颗星知识点:函数奇偶性的性质 8.若是定义在上的偶函数,则a的值为( ) A.±1 B.1 C.-1 D.-3 答案:C 解题思路: 试题难度:三颗星知识点:函数奇偶性的性质 9.设是定义在[-2,2]上的奇函数,若在[-2,0]上单调递减,则使成立的实数a的取值范围是( ) A.[-1,2] B. C.(0,1) D. 第三讲 函数的单调性、奇偶性 一、知识点归纳 函数的单调性 (1)定义:设函数y =f (x )的定义域为I , 如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1,x 2,当x 1 1 函数单调性(一) (一)选择题 1.函数x x f 3 )(= 在下列区间上不是..减函数的是( ) A .(0,+∞) B .(-∞,0) C .(-∞,0)∪(0,+∞) D .(1,+∞) 2.下列函数中,在区间(1,+∞)上为增函数的是( ) A .y =-3x +1 B .x y 2 = C .y =x 2-4x +5 D .y =|x -1|+2 3.设函数y =(2a -1)x 在R 上是减函数,则有 A .2 1≥ a B .2 1≤ a C .2 1> a D .2 1< a 4.若函数f (x )在区间[1,3)上是增函数,在区间[3,5]上也是增函数,则函数f (x )在区间[1,5]上( ) A .必是增函数 B .不一定是增函数 C .必是减函数 D .是增函数或减函数 (二)填空题 5.函数f (x )=2x 2-mx +3在[-2,+∞)上为增函数,在(-∞,-2)上为减函数,则m =______. 6.若函数x a x f = )(在(1,+∞)上为增函数,则实数a 的取值范围是______. 7.函数f (x )=1-|2-x |的单调递减区间是______,单调递增区间是______. 8.函数f (x )在(0,+∞)上为减函数,那么f (a 2-a +1)与)4 3(f 的大小关系是______。 *9.若函数f (x )=|x -a |+2在x ∈[0,+∞)上为增函数,则实数a 的取值范围是______. (三)解答题 10.函数f (x ),x ∈(a ,b )∪(b ,c )的图象如图所示,有三个同学对此函数的单调性作出如下的判断: 甲说f (x )在定义域上是增函数; 乙说f (x )在定义域上不是增函数,但有增区间, 丙说f (x )的增区间有两个,分别为(a ,b )和(b ,c ) 请你判断他们的说法是否正确,并说明理由。 11.已知函数.21 )(-= x x f (1)求f (x )的定义域; (2)证明函数f (x )在(0,+∞)上为减函数. 12.已知函数| |1)(x x f = . (1)用分段函数的形式写出f (x )的解析式; 一、函数的奇偶性 奇偶性定义:设函数()()y f x x D =∈,任取x D ∈,有()()f x f x =-,则称函数()y f x =为偶函数; ()()f x f x =--,则称函数()y x =为奇函数. 性质:(1)函数的奇偶性是函数的整体性质,是对函数的整个定义域而言; (2)由()()()()()f x f x f x f x =-=--知,若,x D ∈则x D -∈,因此,函数()f x 的定义域D 关于原点对称是函数()f x 为偶(奇)函数的必要条件(非充分) (3)若0D ∈,则()00f =是()f x 为奇函数的必要条件(非充分) (4)常数函数()()f x c x R =∈一定()0f x =是偶函数;若0c =则()f x 既是偶函数又是奇函数;函数()f x 既是偶函数又是奇函数?()0f x =(x D ∈,其中D 是关于原点对称的任何一个非空数集) (5)奇偶函数的图像特征:函数()f x 是奇函数?函数()f x 图像关于原点对称; 函数()f x 是偶函数?函数()f x 图像关于y 轴对称. (6)奇偶函数的运算性质:设()()1f x x D ∈为奇函数,()()2g x x D ∈为偶函数,12,D D D =则在D 上有: (7)多项式函数()230123n n f x a a x a x a x a x =++++为奇函数?偶次项系数全为0; 多项式函数()230123n n f x a a x a x a x a x =++++为偶函数?奇次项系数全为0. 二、函数的单调性 单调性定义(唯一证明方法):对于区间D 上的函数()f x ,在D 上任取两个1212,,,x x x x < 若()()120,f x f x -<称()f x 在区间D 上是增函数,区间D 成为函数()f x 的单调增区间; 若()()120,f x f x ->称()f x 在区间D 上是减函数,区间D 成为函数()f x 的单调减区间. 性质:(1)函数单调性是函数的局部性质,研究函数的单调性可以在定义域的某个区间(定义域的子集)上进行(而不需要在整个定义域上);函数的定义域可以有若干个增减性不同的单调区间;若函数()f x 在整个定义域上单调,则称()f x 为单调函数. (2)函数单调性二个等价形式: ① ()() ()121200f x f x x x ->-在D 上单调递增(递减); ② ()()()()121200x x f x f x -->????()f x 在D 上单调递增(递减). (3)若()f x 在R 上单调递增,则()()f a f b a b >?>;若()f x 在R 上单调递减,则________. (4)设12,,x x D ∈则()()()()1212(0)x x f x f x f x -->????在D 上是增(减)函数. (5)单调性与奇偶性:若奇函数()f x 在区间[],a b 上单调递增(减),则()f x 在区间[],b a --上单调递增(减);若偶函数()f x 在区间[],a b 上单调递增(减),则()f x 在区间[],b a --上单调递减(增); (6)复合函数单调性:两个单调函数()f x 与()g x 复合,不论复合结果是()f g x ????还是()g f x ????,有如下性质:若()f x 与()g x 单调性相同,同增或同减,则复合结果为增;若()f x 与()g x 单调性相反,一个增一个减,则复合结果为减;以上性质可记为一句口诀:“同增异减”. 单调区间的书写要求:若函数在区间的端点有定义,常常写成闭区间,当然写成开区间也是可以的.但是若函数在区间的端点处没有定义,则必须写成开区间.另外,若函数()f x 在其定义内的两个区间A 、 B 上都是单调增(减)函数,一般不能认简单地认为()f x 在区间A B 上是增(减)函数.例如1 ()f x x = 在区间(,0)-∞上是减函数,在区间(0,)+∞上也是减函数,但不能说它在定义域(,0)(0,)-∞+∞上是减函数.事实上,若取1211x x =-<=,有(1)11(1)f f -=-<<. 单调性与最大(小)值 要点一、函数的单调性 1.增函数、减函数的概念 一般地,设函数f(x)的定义域为A ,区间D A ?: 如果对于D 内的任意两个自变量的值x 1、x 2,当x 1 函数奇偶性与单调性的综合应用 专题 【寄语:亲爱的孩子,将来的你一定会感谢现在拼命努力的自己!】 教学目标:1.掌握函数的单调性与奇偶性的概念以及基本性质;. 2.能综合运用函数的单调性与奇偶性来分析函数的图像或性质; 3.能够根据函数的一些特点来判断其单调性或奇偶性. 教学重难点:函数单调性的证明;根据单调性或奇偶性分析函数的性质. 【复习旧识】 1.函数单调性的概念是什么?如何证明一个函数的单调性? 2.函数奇偶性的概念是什么?如何证明一个函数的奇偶性? 3.奇函数在关于原点对称的区间上,其单调性有何特点?偶函数呢? 【新课讲解】 一、常考题型 1.根据奇偶性与单调性,比较两个或多个函数值的大小; 2.当题目中出现“ 2 121) ()(x x x f x f -->0(或<0)”或“)(x xf >0(或<0)”时,往 往还是考察单调性; 3.证明或判断某一函数的单调性; 4.证明或判断某一函数的奇偶性; 5.根据奇偶性与单调性,解某一函数不等式(有时是“)(x f >0(或<0)”时x 的取值范围); 6.确定函数解析式或定义域中某一未知数(参数)的取值范围. 二、常用解题方法 1.画简图(草图),利用数形结合; 2.运用奇偶性进行自变量正负之间的转化; 3.证明或判断函数的单调性时,有时需要分类讨论. 三、误区 1.函数的奇偶性是函数的整体性质,与区间无关; 2.判断函数奇偶性,应首先判断其定义域是否关于原点对称; 3.奇函数若在“0=x ”处有定义,必有“0)0(=f ”; 4.函数单调性可以是整体性质也可以是局部性质,因题而异; 5.运用单调性解不等式时,应注意自变量取值范围受函数自身定义域的限制. 四、函数单调性证明的步骤: (1) 根据题意在区间上设 ; (2) 比较大小 ; (3) 下结论 . 函数奇偶性证明的步骤: (1)考察函数的定义域 ; (2)计算 的解析式,并考察其与 的解析式的关系; (3)下结论 . 【典型例题】 增,若a =)3 1 (log 2 f ,b =)2 1 (log 3 f ,c =)2(-f ,则a ,b ,c 的大小关系是( ) A .c b a >> B .a c b >> C .b a c >> D .a b c >> 【考点】函数单调性;函数奇偶性,对数函数的性质.函数的单调性及奇偶性(含答案)
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