新课程标准数学选修2—1第一章课后习题解答
第一章 常用逻辑用语
1.1命题及其关系
练习(P4)
1、略.
2、(1)真; (2)假; (3)真; (4)真.
3、(1)若一个三角形是等腰三角形,则这个三角形两边上的中线相等. 这是真命题.
(2)若一个函数是偶函数,则这个函数的图象关于y 轴对称. 这是真命题.
(3)若两个平面垂直于同一个平面,则这两个平面平行. 这是假命题.
练习(P6)
1、逆命题:若一个整数能被5整除,则这个整数的末位数字是0. 这是假命题. 否命题:若一个整数的末位数字不是0,则这个整数不能被5整除. 这是假命题. 逆否命题:若一个整数不能被5整除,则这个整数的末位数字不是0. 这是真命题.
2、逆命题:若一个三角形有两个角相等,则这个三角形有两条边相等. 这是真命题. 否命题:若一个三角形有两条边不相等,这个三角形有两个角也不相等. 这是真命题. 逆否命题:若一个三角形有两个角不相等,则这个三角形有两条边也不相等.这是真命题.
3、逆命题:图象关于原点对称的函数是奇函数. 这是真命题.
否命题:不是奇函数的函数的图象不关于原点对称. 这是真命题.
逆否命题:图象不关于原点对称的函数不是奇函数. 这是真命题.
练习(P8)
证明:若1a b -=,则22243a b a b -+--
()()2()23
22310
a b a b a b b a b b a b =+-+---=++--=--=
所以,原命题的逆否命题是真命题,从而原命题也是真命题.
习题1.1 A 组(P8)
1、(1)是; (2)是; (3)不是; (4)不是.
2、(1)逆命题:若两个整数a 与b 的和a b +是偶数,则,a b 都是偶数. 这是假命题. 否命题:若两个整数,a b 不都是偶数,则a b +不是偶数. 这是假命题.
逆否命题:若两个整数a 与b 的和a b +不是偶数,则,a b 不都是偶数. 这是真命题.
(2)逆命题:若方程20x x m +-=有实数根,则0m >. 这是假命题.
否命题:若0m ≤,则方程20x x m +-=没有实数根. 这是假命题.
逆否命题:若方程20x x m +-=没有实数根,则0m ≤. 这是真命题.
3、(1)命题可以改写成:若一个点在线段的垂直平分线上,则这个点到线段的两个端点的
距离相等.
逆命题:若一个点到线段的两个端点的距离相等,则这个点在线段的垂直平分线上.
这是真命题.
否命题:若一个点到不在线段的垂直平分线上,则这个点到线段的两个端点的距离不
相等. 这是真命题.
逆否命题:若一个点到线段的两个端点的距离不相等,则这个点不在线段的垂直平分
线上. 这是真命题.
(2)命题可以改写成:若一个四边形是矩形,则四边形的对角线相等.
逆命题:若四边形的对角线相等,则这个四边形是矩形. 这是假命题.
否命题:若一个四边形不是矩形,则四边形的对角线不相等. 这是假命题.
逆否命题:若四边形的对角线不相等,则这个四边形不是矩形. 这是真命题.
4、证明:如果一个三角形的两边所对的角相等,根据等腰三角形的判定定理,这个三角形是等腰三角形,且这两条边是等腰三角形,也就是说这两条边相等. 这就证明了原命题的逆否命题,表明原命题的逆否命题为真命题. 所以,原命题也是真命题.
习题1.1 B 组(P8)
证明:要证的命题可以改写成“若p ,则q ”的形式:若圆的两条弦不是直径,则它们不能互相平分.
此命题的逆否命题是:若圆的两条相交弦互相平分,则这两条相交弦是圆的两条直径. 可以先证明此逆否命题:设,AB CD 是O 的两条互相平分的相交弦,交点是E ,若E 和圆心O 重合,则,AB CD 是经过圆心O 的弦,,AB CD 是两条直径. 若E 和圆心O 不重合,连结
,,AO BO CO 和DO ,则OE 是等腰AOB ?,COD ?的底边上中线,所以,OE AB ⊥,OE CD ⊥.
AB 和CD 都经过点E ,且与OE 垂直,这是不可能的. 所以,E 和O 必然重合. 即AB 和CD 是圆的两条直径.
原命题的逆否命题得证,由互为逆否命题的相同真假性,知原命题是真命题.
1.2充分条件与必要条件
练习(P10)
1、(1)?; (2)?; (3)?; (4)?.
2、(1). 3(1).
4、(1)真; (2)真; (3)假; (4)真.
练习(P12)
1、(1)原命题和它的逆命题都是真命题,p 是q 的充要条件;
(2)原命题和它的逆命题都是真命题,p 是q 的充要条件;
(3)原命题是假命题,逆命题是真命题,p 是q 的必要条件.
2、(1)p 是q 的必要条件; (2)p 是q 的充分条件;
(3)p 是q 的充要条件; (4)p 是q 的充要条件.
习题1.2 A 组(P12)
1、略.
2、(1)假; (2)真; (3)真.
3、(1)充分条件,或充分不必要条件; (2)充要条件;
(3)既不是充分条件,也不是必要条件; (4)充分条件,或充分不必要条件.
4、充要条件是222a b r +=.
习题1.2 B 组(P13)
1、(1)充分条件; (2)必要条件; (3)充要条件.
2、证明:(1)充分性:如果222a b c ab ac bc ++=++,那么2220a b c ab ac bc ++---=. 所以222()()()0a b a c b c -+-+-=
所以,0a b -=,0a c -=,0b c -=.
即 a b c ==,所以,ABC ?是等边三角形.
(2)必要性:如果ABC ?是等边三角形,那么a b c ==
所以222()()()0a b a c b c -+-+-=
所以2220a b c ab ac bc ++---=
所以222a b c ab ac bc ++=++
1.3简单的逻辑联结词
练习(P18)
1、(1)真; (2)假.
2、(1)真; (2)假.
3、(1)225+≠,真命题; (2)3不是方程290x -=的根,假命题;
(3)1≠-,真命题.
习题1.3 A 组(P18)
1、(1)4{2,3}∈或2{2,3}∈,真命题; (2)4{2,3}∈且2{2,3}∈,假命题;
(3)2是偶数或3不是素数,真命题; (4)2是偶数且3不是素数,假命题.
2、(1)真命题; (2)真命题; (3)假命题.
3、(1不是有理数,真命题; (2)5是15的约数,真命题;
(3)23≥,假命题; (4)8715+=,真命题;
(5)空集不是任何集合的真子集,真命题.
习题1.3 B 组(P18)
(1)真命题. 因为p 为真命题,q 为真命题,所以p q ∨为真命题;
(2)真命题. 因为p 为真命题,q 为真命题,所以p q ∧为真命题;
(3)假命题. 因为p 为假命题,q 为假命题,所以p q ∨为假命题;
(4)假命题. 因为p 为假命题,q 为假命题,所以p q ∧为假命题.
1.4全称量词与存在量词
练习(P23)
1、(1)真命题; (2)假命题; (3)假命题.
2、(1)真命题; (2)真命题; (3)真命题.
练习(P26)
1、(1)00,n Z n Q ?∈?; (2)存在一个素数,它不是奇数;
(3)存在一个指数函数,它不是单调函数.
2、(1)所有三角形都不是直角三角形; (2)每个梯形都不是等腰梯形;
(3)所有实数的绝对值都是正数.
习题1.4 A 组(P26)
1、(1)真命题; (2)真命题; (3)真命题; (4)假命题.
2、(1)真命题; (2)真命题; (3)真命题.
3、(1)32000,x N x x ?∈≤; (2)存在一个可以被5整除的整数,末位数字不是0;
(3)2,10x R x x ?∈-+>; (4)所有四边形的对角线不互相垂直.
习题1.4 B 组(P27)
(1)假命题. 存在一条直线,它在y 轴上没有截距;
(2)假命题. 存在一个二次函数,它的图象与x 轴不相交;
(3)假命题. 每个三角形的角和不小于180?;
(4)真命题. 每个四边形都有外接圆.
第一章 复习参考题A 组(P30)
1、原命题可以写为:若一个三角形是等边三角形,则此三角形的三个角相等.
逆命题:若一个三角形的三个角相等,则此三角形是等边三角形. 是真命题;
否命题:若一个三角形不是等边三角形,则此三角形的三个角不全相等. 是真命题; 逆否命题:若一个三角形的三个角不全相等,则此三角形不是等边三角形. 是真命题.
2、略.
3、(1)假; (2)假; (3)假; (4)假.
4、(1)真; (2)真; (3)假; (4)真; (5)真.
5、(1)2,0n N n ?∈>; (2){P P P ?∈在圆222x y r +=上},(OP r O =为圆心);
(3)(,){(,),x y x y x y ?∈是整数},243x y +=;
(4)0{x x x ?∈是无理数},30{x q q ∈是有理数}.
6、(1)32≠,真命题; (2)54≤,假命题; (3)00,0x R x ?∈≤,真命题;
(4)存在一个正方形,它不是平行四边形,假命题.
第一章 复习参考题B 组(P31)
1、(1)p q ∧; (2)()()p q ?∧?,或()p q ?∨.
2、(1)Rt ABC ??,90C ∠=?,,,A B C ∠∠∠的对边分别是,,a b c ,则222c a b =+;
(2)ABC ??,,,A B C ∠∠∠的对边分别是,,a b c ,则
sin sin sin a b c A B C
==.
新课程标准数学选修2—1第二章课后习题解答
第二章 圆锥曲线与方程
2.1曲线与方程
练习(P37)
1、是. 容易求出等腰三角形ABC 的边BC 上的中线AO 所在直线的方程是0x =.
2、3218,2525
a b ==. 3、解:设点,A M 的坐标分别为(,0)t ,(,)x y .
(1)当2t ≠时,直线CA 斜率 20222CA k t t -=
=-- 所以,122
CB CA t k k -=-= 由直线的点斜式方程,得直线CB 的方程为 22(2)2
t y x --=
-. 令0x =,得4y t =-,即点B 的坐标为(0,4)t -. 由于点M 是线段AB 的中点,由中点坐标公式得4,22
t t x y -==. 由2t x =得2t x =,代入42
t y -=, 得422
x y -=,即20x y +-=……① (2)当2t =时,可得点,A B 的坐标分别为(2,0),(0,2)
此时点M 的坐标为(1,1),它仍然适合方程①
由(1)(2)可知,方程①是点M 的轨迹方程,它表示一条直线.
习题2.1 A 组(P37)
1、解:点(1,2)A -、(3,10)C 在方程2210x xy y -++=表示的曲线上;
点(2,3)B -不在此曲线上
2、解:当0c ≠时,轨迹方程为12
c x +=;当0c =时,轨迹为整个坐标平面. 3、以两定点所在直线为x 轴,线段AB 垂直平分线为y 轴,建立直角坐标系,得点M 的轨迹方程为224x y +=.
4、解法一:设圆22650x y x +-+=的圆心为C ,则点C 的坐标是(3,0). 由题意,得CM AB ⊥,则有1CM AB k k =-.
所以,13y y x x
?=--(3,0)x x ≠≠ 化简得2230x y x +-=(3,0)x x ≠≠
当3x =时,0y =,点(3,0)适合题意;当0x =时,0y =,点(0,0)不合题意.
解方程组 22223065
0x y x x y x ?+-=??+-+=??, 得5,33x y ==± 所以,点M 的轨迹方程是2230x y x +-=,533
x ≤≤. 解法二:注意到OCM ?是直角三角形,
利用勾股定理,得2222(3)9x y x y ++-+=,
即2230x y x +-=. 其他同解法一.
习题2.1 B 组(P37)
1、解:由题意,设经过点P 的直线l 的方程为
1x y a b +=. 因为直线l 经过点(3,4)P ,所以
341a b += 因此,430ab a b --=
由已知点M 的坐标为(,)a b ,所以点M 的轨迹方程为430xy x y --=.
2、解:如图,设动圆圆心M 的坐标为(,)x y . 由于动圆截直线30x y -=和30x y +=所得弦分别为 AB ,CD ,所以,8AB =,4CD =. 过点M 分别 作直线30x y -=和30x y +=的垂线,垂足分别为E
, F ,则4AE =,2CF =.
ME =,MF =连接MA ,MC ,因为MA MC =,
则有,2222
AE ME CF MF +=+ 所以,22
(3)(3)1641010
x y x y -++=+,化简得,10xy =. 因此,动圆圆心的轨迹方程是10xy =.