兰州一中高二数学期末考试题及答案
集团标准化办公室:[VV986T-J682P28-JP266L8-68PNN]
一、选择题:(本大题共12小题,每小题3分,共36分,在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请将正确选项填在试卷的答题卡中.)
1.若抛物线y 2
=2px 的焦点与椭圆22162
x y +=的右焦点重合,则p 的值为( ) A .-2
B .2
C .-4
D .4
2.(理)已知向量a =(3,5,-1),b =(2,2,3),c =(4,-1,-3),则向量2a -3b +4c 的坐标为( )
A .(16,0,-23)
B .(28,0,-23)
C .(16,-4,-1)
D .(0,
0,9)
(文)曲线y =4x -x 2上两点A (4,0),B (2,4),若曲线上一点P 处的切线恰好平行于弦AB ,则点P 的坐标为( )
A .(1,3)
B .(3,3)
C .(6,-12)
D .(2,4)
3.过点(0,1)作直线,使它与抛物线y 2
=4x 仅有一个公共点,这样的直线有( )
A .1条
B .2条
C .3条
D .4条
4.已知双曲线22
2112
x y a -
=的离心率2,则该双曲线的实轴长为( ) A .2 B .4
C .23
D .43
5.在极坐标系下,已知圆C 的方程为?=2cos θ,则下列各点中,在圆C 上的是( )
A .(1,-3π)
B .(1,6
π
) C .(2,34π)
D .2,54
π
)
6.将曲线y =sin3x 变为y =2sin x 的伸缩变换是( )
A .312
x x y y '=???'=??
B .312
x x
y y '=???'=??
C .32x x y y '
=??'=?
D .32x x
y y
'=??'=?
7.在方程sin cos 2x y θ
θ
=??=?(?为参数)表示的曲线上的一个点的坐标是( )
A .(2,-7)
B .(1,0)
C .(12,12
)
D .(13,23
)
8.极坐标方程?=2sin ?和参数方程231x t
y t =+??=--?(t 为参数)所表示的图形分别为
( )
A .圆,圆
B .圆,直线
C .直线,直线
D .直线,圆
9.(理)若向量a =(1,?,2),b =(2,-1,2),a 、b 夹角的余弦值为8
9
,
则?=( )
A .2
B .-2
C .-2或2
55
D .2或-2
55
(文)曲线y =e x +x 在点(0,1)处的切线方程为( ) A .y =2x +1 B .y =2x -1 C .y =x +1 D .y =-x +1
10.(理)已知点P 1的球坐标是P 1(4,2π,53π),P 2的柱坐标是P 2(2,6
π
,1),
则|P 1P 2|=( )
A .21
B .29
C .30
D .42
(文)已知点P 在曲线f (x )=x 4
-x 上,曲线在点P 处的切线垂直于直线x +3y =0,则点P 的坐标为( )
A .(0,0)
B .(1,1)
C .(0,1)
D .(1,0)
11.过双曲线的右焦点F 作实轴所在直线的垂线,交双曲线于A ,B 两点,设双曲线的左顶点M ,若点M 在以AB 为直径的圆的内部,则此双曲线的离心率e 的取值范围为( )
A .(32,+∞)
B .(1,32
) C .(2,+∞)
D .(1,2)
12.从抛物线y 2
=4x 上一点P 引抛物线准线的垂线,垂足为M ,且|PM |=5,设抛物线的焦点为F ,则△MPF 的面积为( )
A .5
B .10
C .20
D 15
二、填空题:(本大题共4小题,每小题4分,共16分.请将答案填在试卷的答题卡中.)
13.(理)已知空间四边形ABCD中,G是CD的中点,则
1
()
2
AG AB AC
-+=
.
(文)抛物线y=x2+bx+c在点(1,2)处的切线与其平行直线bx+y+c=0间的距离是.
14.在极坐标系中,设P是直线l:?(cosθ+sinθ)=4上任一点,Q是圆C:?2=4?cosθ-3上任一点,则|PQ|的最小值是________.
15.(理)与A(-1,2,3),B(0,0,5)两点距离相等的点P(x,y,z)的坐标满足的条件为__________.
(文)函数f(x)=ax3-x在R上为减函数,则实数a的取值范围是__________.
16.如图,已知双曲线以长方形ABCD的顶点A、B为左、右焦点,且双曲线过C、D两顶点.若AB=4,BC=3,则此双曲线的标准方程为_____________________.
三、解答题:(本大题共4小题,共48分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)
17.(本题满分12分)
双曲线与椭圆
22
1
2736
x y
+=有相同焦点,且经过点(15,4),求其方程.
18.(本题满分12分)
在直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为:415
315x t y t ?=+????=--??
(t 为参数),若
以O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,则曲线C 的极坐标方程
为?=2cos(θ+4
π
),求直线l 被曲线C 所截的弦长.
19.(本题满分12分)
已知抛物线的顶点在原点,对称轴是x 轴,抛物线上的点M (-3,m )到焦点的距离为5,求抛物线的方程和m 的值.
20.(本题满分12分)
(文)已知函数f (x )=x 2
(x -a ).
(1)若f (x )在(2,3)上单调,求实数a 的取值范围; (2)若f (x )在(2,3)上不单调,求实数a 的取值范围.
(理)(本题满分12分)
如图,四棱锥P —ABCD 的底面是矩形,PA ⊥面ABCD ,
PA =219,AB =8,BC =6,点E 是PC 的中点,F 在AD 上且AF :FD =1:2.建立适当坐标系.
(1)求EF 的长; (2)证明:EF ⊥PC .
参考答案
一、选择题:本大题共12小题,每小题3分,共36分.
( )内为文科答案
二、填空题:(本大题共4小题,每小题4分,共16分.)
13.(理)
1
2
BD (文)
3
2
2
14.21
-
15.(理)2x-4y+4z=11 (文)a≤0 16.x2-
2
3
y
=1
三、解答题:(本大题共4小题,共48分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)
17.(本题满分12分)
解:椭圆
22
1
3627
y x
+=的焦点为(0,?3),c=3,………………………3分设双曲线方程为
22
22
1
9
y x
a a
-=
-
,…………………………………6分
∵过点(15,4),则
22
1615
1
9
a a
-=
-
,……………………………9分得a2=4或36,而a2<9,∴a2=4,………………………………11分
双曲线方程为
22
1
45
y x
-=.………………………………………12分18.(本题满分12分)
解:将方程
4
1
5
3
1
5
x t
y t
?
=+
??
?
?=--
??
(t为参数)化为普通方程得,3x+4y+1=0,………3分
将方程?2θ+
4
π
)化为普通方程得,x2+y2-x+y=0,……………6分它表示圆心为(
1
2
,-
1
2
),半径为
2
2
的圆,…………………………9分则圆心到直线的距离d=
1
10
,…………………………………………10分弦长为22
117
21005
r d
-=-=.…………………………………12分
20.(文)(本题满分12分)
解:由f (x )=x 3
-ax 2
得f ′(x )=3x 2
-2ax =3x (x -
23
a
).…………3分 (1)若f (x )在(2,3)上单调,则23a ≤0,或0<23
a
≤2,解得:a ≤3.…………6分
∴实数a 的取值范围是(-∞,3].…………8分 (2)若f (x )在(4,6)上不单调,则有4<
23
a