《初高中数学衔接教材》序言
童永奇
高一新生,你们好,祝贺大家考入临潼区马额中学!
进入我校,同学们必须努力学好《初高中数学衔接教材》,理由如下:一方面,由于我校是普通农村高中学校,生源质量相对较差;另一方面,由于高中数学是初中数学的延伸与拓展,初中我们学到的知识、方法在高中会经常使用。
既然学习《初高中数学衔接教材》如此重要,那么我们应该如何学习呢?提几点建议:
一、“信心”是源泉。人缺乏信心,就丧失了驱动力,终将一事无成。
二、“恒心”是保障。人缺乏恒心,将“三天打鱼,两天晒网”。
三、“巧心”是支柱。人无巧心,就缺乏灵气和创造力。
最后,衷心祝愿同学们在《初高中数学衔接教材》的学习中获得成功,请将那么成功的经验及时告诉我们,以便让更多的朋友分享你们成功的喜悦!
临潼区马额中学高一数学校本教材
童永奇
结合我校学生的实际情况——基础知识较差,能力较差,没有掌握较好的学习方法,特设计适合我
校高一学生使用的校本教材。主要包括以下两个内容:一是《怎样学好数学》,二是《初高中数学衔接》。
怎样学好数学?
A.要学好数学,就应该了解数学本身具有的三大特点。(一)抽象性:数学的抽象性是无条件的,它
的概念一经产生和定义之后,就稳定下来并且被看作是已知的,它们与现实的比较不是数学本身,而是
它的应用问题。(二)严谨性:由于数学的严谨性,人们往往认为数学是一种“冷而严肃的美”。罗素说:“数
学,如果正确地看它,不但拥有真理,而且也是具有至高的美,正像雕刻的美,是一种冷而严肃的美,
这种美不是投合我们天性的微弱的方 面,这种美没有绘画或音乐的那些华丽的装饰,它可以纯净到崇
高的地步,能够达到严格的只有最伟大的艺术才能显示的那种完美的境地。”(三)应用的广泛性:在任
何一个领域,只要能从数学的角度提出问题,数学就能给出与所提问题的精确度相符合的答案,数学的
这种威力恰恰是来源于它的抽象性。
B.要学好数学,就应该重视数学思想方法的学习。数学思想方法的学习是一个潜移默化的过程,是在
多次领悟、反复应用的基础上形成的,所以一道题做完后,就应该进行反思,回味解题中所使用的思想
方法。这正是一个理想的领悟机会,也是我们自己反思、归纳、总结,提炼升华的基础。解析几何的创
建者笛卡儿说得好:“走过两遍的路就是方法”。解题时走了一遍,解题后又走了一遍,这就是两遍。这
么一来,这道题在你手里就不再是一道题,而是一种方法。
C.要学好数学,就应该学会解题时如何进行思维。从心理学角度说,解题过程是解题者面临新问题,
而自己没有现存对策时所引起寻求解决问题办法的一种心理活动,主要是思维过程对思维活动这一系列
过程的反映,在信息上就是收集、存储、加工和应用;在知识体系上就是联系、转换和应用过程;在解
题策略上就是方法的选择和调整过程。
D .要学好数学,就应该培养自己迎难而上、顽强拼搏的精神。比如:数学大师——欧拉,多岁双
60目失明,一场大火又吞没了他的研究成果,他毫不气馁,发誓说:“如果命运是块玩石,我就化作大铁锤,将它砸得粉碎!”此后年,他在黑暗中摸索奋斗,又发表了多篇论文和多部专著。
17400E.要学好数学,就应该学会辩证思维。所谓辩证思维,就是用运动的和寻求联系的观点、方法来思考,
用辩证法来揭示事物的本质,这种思维方法能使学习和研究问题更加深入,更加触及数学本质;它既是
思维发展最活跃,最富有创造性的高级阶段,也是辩证法在中学数学中的生动体现。因此,在解题时,
应善于运用辩证思维方法分析问题,从而制定解题策略,把握解题规律。
F.要学好数学,就应该有意识地提高自己的自学能力。有了自学能力,就能广泛猎取知识,见多识广,
利于开发智力,提高逻辑思维能力、空间想象能力、推理论证能力、独创思维能力以及运用能力等。
要学好数学,就应该加强训练。要真真正正地做到:勤于动手,勤于动脑,积极思考,勇于探索,
.G 大胆实践。
要学好数学,还应该注重多看一些有关的参考资料。目的:加深对教材知识的理解,开阔自己的
.H 知识视野,进一步提高自己分析问题、解决问题的能力,进一步领会灵活运用各种技巧、定理、公式在
解题中的重要作用。对于一些好的解(证)法也应单独摘录出来;对于一些归纳、总结性的结论及一些
常用技巧等也应摘录出来(此外,对于自己做题中所出现的一些典型错误,不但要摘录出来,而且要彻
底搞清错误的根源及如何准确求解)。这样做,对于学习数学来说,也是一种提高!
最后,愿与各位同学共勉:相信自我,战胜自我,超越自我!!
要踏,就请踏一路青春的风采;要走,就请走一程无怨无悔的人生!
初高中数学衔接
前言
现有初高中数学知识存在以下“脱节”:
1.立方和与差的公式初中已删去不讲,而高中的运算还在用。
2.因式分解初中一般只限于二次项且系数为“1”的分解,对系数不为“1”的涉及不多,而且对三
次或高次多项式因式分解几乎不作要 求,但高中教材许多化简求值都要用到,如解方程、不等式等。
3.二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求,而分子、分母有理化是高中函数、不等式常用的
解题技巧。
4.初中教材对二次函数要求较低,学生处于了解水平,但二次函数却是高中贯穿始终的重要内容。
配方、作简图、求值域、解二次不等式、判断单调区间、求最大、最小值,研究闭区间上函数最值等等
是高中数学必须掌握的基本题型与常用方法。
5.二次函数、二次不等式与二次方程的联系,根与系数的关系(韦达定理)在初中不作要求,此类
题目仅限于简单常规运算和难度不大的应用题型,而在高中二次函数、二次不等式与二次方程相互转化
被视为重要内容,高中教材却未安排专门的讲授。
6.图像的对称、平移变换,初中只作简单介绍,而在高中讲授函数后,对其图像的上、下;左、右
平移,两个函数关于原点,轴、直线的对称问题必须掌握。
7.含有参数的函数、方程、不等式,初中不作要求,只作定量研究,而高中这部分内容视为重难点。
方程、不等式、函数的综合考查常成为高考综合题。
8.几何部分很多概念(如重心、垂心等)和定理(如平行线分线段比例定理,射影定理,相交弦定
理等)初中生大都没有学习,而高中都要涉及。
另外,像配方法、换元法、待定系数法初中教学大大弱化,不利于高中知识的讲授。
第一讲 数与式(一)
1.1 数与式的运算
1.1.1.绝对值
绝对值的代数意义:正数的绝对值是它的本身,负数的绝对值是它的相反数,零的绝对值仍是
零.即
,0,||0,0,
,0.a a a a a a >??==??-
绝对值的几何意义:一个数的绝对值,是数轴上表示它的点到原点的距离. 两个数的差的绝对值的几何意义:表示在数轴上,数和数之间的距离.
b a -a b 例1 解不等式:>4.
13x x -+-
练 习
1.填空题:
(1)若,则x =_________;若,则x =_________.
5=x 4-=x (2)如果,且,则b =________;若,则c =________.
5=+b a 1-=a 21=-c 2.选择题:下列叙述正确的是 ( )
(A )若,则 (B )若,则
a b =a b =a b >a b >(C )若,则 (D )若,则a b =±3.化简:|x -5|-|2x -13|(x >5). 1.1. 2. 乘法公式 我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式: (1)平方差公式 ; 22()()a b a b a b +-=-(2)完全平方公式 . 222()2a b a ab b ±=±+我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式: (1)立方和公式 ; 2233()()a b a ab b a b +-+=+(2)立方差公式 ; 2233()()a b a ab b a b -++=-(3)三数和平方公式 ; 2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++(4)两数和立方公式 ; 33223()33a b a a b ab b +=+++(5)两数差立方公式 . 33223()33a b a a b ab b -=-+-对上面列出的五个公式,有兴趣的同学可以自己去证明. 例1 计算:. 22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +--+++例2 已知,,求的值. 4a b c ++=4ab bc ac ++=222a b c ++练 习 1.填空题: (1)( ); 221 1 1 1 ()9423a b b a -=+(2) ; (4m +22)164(m m =++) (3) . 2222(2)4(a b c a b c +-=+++)2.选择题: (1)若是一个完全平方式,则等于 ( )21 2x mx k ++k (A ) (B ) (C ) (D )2 m 214m 213m 2 116 m (2)不论,为何实数,的值 ( )a b 22248a b a b +--+ (A )总是正数 (B )总是负数 (C )可以是零 (D )可以是正数也可以是负数 1.1.3.二次根式 的代数式叫做二次根式.根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为 0)a ≥ 无理式. 例如 等是无理式,,32a b 21x +22x y +等是有理式. 1.分母(子)有理化 把分母(子)中的根号化去,叫做分母(子)有理化.为了进行分母(子)有理化,需要引入有理 化因式的概念.两个含有二次根式的代数式相乘,如果它们的积不含有二次根式,我们就说这两个代数 ,与+ 等等. 一般地,,与互为有理化因式. -b +b -分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式,化去分母中的根号的过程;而分子有理 化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式,化去分子中的根号的过程 在二次根式的化简与运算过程中,二次根式的乘法可参照多项式乘法进行,运算中要运用公式 ;而对于二次根式的除法,通常先写成分式的形式,然后通过分母有理化进 0,0)a b =≥≥行运算;二次根式的加减法与多项式的加减法类似,应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式. 2 a ==,0, ,0. a a a a ≥?? - (1 (2; (3.0)a ≥0)x < 例2. (3÷-例3 试比较下列各组数的大小: (1; (2 例4 化简:. 20042005+?- 例 5 化简:(1; (2. 1)x << 例 6 已知的值 . x y ==22353x xy y -+练 习 1.填空题: (1=__ ___; (2,则的取值范围是_ _ ___; (x =-x (3)__ ___; = (4)若______ __.x ==2.选择题: 成立的条件是 ( ) =(A ) (B ) (C ) (D )2x ≠0x >2x >02 x << 3.若,求的值. b =+a b +4.比较大小:2- -(填“>”,或“<”). 354 第二讲 数与式(二) 1.1.4.分式 1.分式的意义形如的式子,若B 中含有字母,且,则称为分式.当M ≠0时,分式具有下列性质:A B 0B ≠A B A B ; .A A M B B M ?=?A A M B B M ÷=÷ 上述性质被称为分式的基本性质. 2.繁分式 像,这样,分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式.a b c d +2m n p m n p +++例1 若,求常数的值.54(2)2 x A B x x x x +=+++,A B 例2 (1)试证: (其中n 是正整数);111(1)1n n n n =-++ (2)计算:;1111223910 +++??? (3)证明:对任意大于1的正整数n , 有.11112334(1)2n n +++?+ 例3 设,且e >1,2c 2-5ac +2a 2=0,求e 的值.c e a = 练 习 1.填空题: 对任意的正整数n , (). 1(2)n n =+11 2n n -+2.选择题: 若,则= ( ) 22 3x y x y -=+x y (A )1 (B ) (C ) (D )54456 5 3.正数满足,求的值. ,x y 222x y xy -=x y x y -+4.计算. 11 1 1 ...12233499100++++????习题1.1 A 组1.解不等式: (1) ; (2) ; 13x ->327x x ++-< (3) . 116x x -++>2.已知,求的值. 1x y +=333x y xy ++3.填空题: (1)=________; 1819(2(2- (2,则的取值范围是________; 2=a (3________. +=B 组 1.填空题: (1),,则____ ____; 12a =13b =2223352a ab a a b b -=+-(2)若,则__ __; 2220x xy y +-=22 223x xy y x y ++=+ 2.已知:的值. 11,23x y == C 组 1.选择题: (1 ( )= (A ) (B ) (C ) (D )a b 0a b <<0 b a << (2)计算 ( ) (A (B (C ) (D ) 2.解方程.2 2112()3()10x x x x +-+-=3.计算:.1111132435911 ++++???? 4.试证:对任意的正整数n ,有<.111123234(1)(2)n n n +++????++ 141.2 分解因式 因式分解的主要方法有:十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法,另外还应了解求根法 及待定系数法. 1.十字相乘法 例1 分解因式: (1)x 2-3x +2; (2)x 2+4x -12; (3); (4).22 ()x a b xy aby -++1xy x y -+-2.提取公因式法与分组分解法 例2 分解因式: (1); (2).32933x x x +++22 2456x xy y x y +--+-3.关于x 的二次三项式ax 2+bx +c (a ≠0)的因式分解. 若关于x 的方程的两个实数根是、,则二次三项式20(0)ax bx c a ++=≠1x 2x 2(0) ax bx c a ++≠就可分解为. 12()()a x x x x --例3 把下列关于x 的二次多项式分解因式: (1); (2).221x x +-22 44x xy y +- 练 习 1.选择题: 多项式的一个因式为 ( ) 22 215x xy y --(A ) (B ) (C ) (D )25x y -3x y -3x y +5x y -2.分解因式: (1)x 2+6x +8; (2)8a 3-b 3; (3)x 2-2x -1; (4).4(1)(2)x y y y x -++-习题1.2 1.分解因式: (1) ; (2); 31a +424139x x -+(3); (4). 22222b c ab ac bc ++++2235294x xy y x y +-++-2.在实数范围内因式分解: (1) ; (2); 253x x -+2 3x --(3); (4). 2234x xy y +-222(2)7(2)12x x x x ---+3.三边,,满足,试判定的形状. ABC ?a b c 222a b c ab bc ca ++=++ABC ?4.分解因式:x 2+x -(a 2-a ). 第三讲 函数与方程(一) 3.1根的判别式 我们知道,对于一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0),用配方法可以将其变形为 . ①222 4()24b b ac x a a -+=由此可知,一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的根的情况可以由b 2-4ac 来判定,我们把b 2-4ac 叫做一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的根的判别式,通常用符号“Δ”来表示. 综上所述,对于一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0),有 (1)当Δ>0时,方程有两个不相等的实数根:x 1,2(2)当Δ=0时,方程有两个相等的实数根:x 1=x 2=-;2b a (3)当Δ<0时,方程没有实数根. 例1 判定下列关于x 的方程的根的情况(其中a 为常数),如果方程有实数根,写出方程的实数根. (1)x 2-3x +3=0; (2)x 2-ax -1=0; (3) x 2-ax +(a -1)=0; (4)x 2-2x +a =0. 说明:在第3,4小题中,方程的根的判别式的符号随着a 的取值的变化而变化,于是,在解题过程 中,需要对a 的取值情况进行讨论,这一方法叫做分类讨论.分类讨论这一思想方法是高中数学中一个 非常重要的方法,在今后的解题中会经常地运用这一方法来解决问题. 3.2根与系数的关系(韦达定理) 若一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)有两个实数根 ,,1x =2x = 则有 ;1222b b x x a a -+===- .221222(4)444b b ac ac c x x a a a --====所以,一元二次方程的根与系数之间存在下列关系: 如果ax 2+bx +c =0(a ≠0)的两根分别是x 1,x 2,那么x 1+x 2=,x 1·x 2=.这一关系也被b a -c a 称为韦达定理. 特别地,对于二次项系数为1的一元二次方程x 2+px +q =0,若x 1,x 2是其两根,由韦达定理可知 x 1+x 2=-p ,x 1·x 2=q , 即 p =-(x 1+x 2),q =x 1·x 2, 所以,方程x 2+px +q =0可化为 x 2-(x 1+x 2)x +x 1·x 2=0,由于x 1,x 2是一元二次方程x 2+px +q =0 的两根,所以,x 1,x 2也是一元二次方程x 2-(x 1+x 2)x +x 1·x 2=0.因此有 以两个数x 1,x 2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是x 2-(x 1+x 2)x +x 1·x 2=0. 例2 已知方程的一个根是2,求它的另一个根及k 的值. 2 560x kx +-=分析:由于已知了方程的一个根,可以直接将这一根代入,求出k 的值,再由方程解出另一个 根.但由于我们学习了韦达定理,又可以利用韦达定理来解题,即由于已知了方程的一个根及方程的二 次项系数和常数项,于是可以利用两根之积求出方程的另一个根,再由两根之和求出k 的值.例3 已知关于x 的方程x 2+2(m -2)x +m 2+4=0有两个实数根,并且这两个实数根的平方和比两 个根的积大21,求m 的值. 分析:本题可以利用韦达定理,由实数根的平方和比两个根的积大21得到关于m 的方程,从而解得m 的值.但在解题中需要特别注意的是,由于所给的方程有两个实数根,因此,其根的判别式应大于零. 说明:(1)在本题的解题过程中,也可以先研究满足方程有两个实数根所对应的m 的范围,然后再 由“两个实数根的平方和比两个根的积大21”求出m 的值,取满足条件的m 的值即可. (1)在今后的解题过程中,如果仅仅由韦达定理解题时,还要考虑到根的判别式Δ是否大于或大 于零.因为,韦达定理成立的前提是一元二次方程有实数根. 例4 已知两个数的和为4,积为-12,求这两个数. 分析:我们可以设出这两个数分别为x ,y ,利用二元方程求解出这两个数.也可以利用韦达定理转 化出一元二次方程来求解. 例5 若x 1和x 2分别是一元二次方程2x 2+5x -3=0的两根. (1)求| x 1-x 2|的值;(2)求的值;(3)x 13+x 23.2212 11x x + 说明:一元二次方程的两根之差的绝对值是一个重要的量,今后我们经常会遇到求这一个量的问题, 为了解题简便,我们可以探讨出其一般规律: 设x 1和x 分别是一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0),则 , ,1 x =2x =∴| x 1-x 2| . =于是有下面的结论: 若x 1和x 2分别是一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0),则| x 1-x 2|Δ=b 2-4ac ) .今后,在求一元二次方程的两根之差的绝对值时,可以直接利用上面的结论. 例6 若关于x 的一元二次方程x 2-x +a -4=0的一根大于零、另一根小于零,求实数a 的取值范围. 练 习 1.选择题: (1)方程的 根的情况是 2230x k -+=( ) (A )有一个实数根 (B )有两个不相等的实数根 (C )有两个相等的实数根 (D )没有实数根 (2)若关于x 的方程mx 2+ (2m +1)x +m =0有两个不相等的实数根,则实数m 的取值范围是 ( ) (A )m < (B )m >- (C )m <,且m ≠0 (D )m >-,且m ≠0 141414142.填空题: (1)若方程x 2-3x -1=0的两根分别是x 1和x 2,则= .12 11x x +(2)方程mx 2+x -2m =0(m ≠0)的根的情况是 . (3)以-3和1为根的一元二次方程是 . 3,当k 取何值时,方程kx 2+ax +b =0有两个不相等的实数根? |1|0b -=4.已知方程x 2-3x -1=0的两根为x 1和x 2,求(x 1-3)( x 2-3)的值.习题 A 组 1.选择题: (1)已知关于x 的方程x 2+kx -2=0的一个根是1,则它的另一个根是( ) (A )-3 (B )3 (C )-2 (D )2 (2)下列四个说法: ①方程x 2+2x -7=0的两根之和为-2,两根之积为-7; ②方程x 2-2x +7=0的两根之和为-2,两根之积为7; ③方程3 x 2-7=0的两根之和为0,两根之积为;73 - ④方程3 x 2+2x =0的两根之和为-2,两根之积为0. 其中正确说法的个数是 ( ) (A )1个 (B )2个 (C )3个 (D )4个 (3)关于x 的一元二次方程ax 2-5x +a 2+a =0的一个根是0,则a 的值是 ( ) (A )0 (B )1 (C )-1 (D )0,或-1 2.填空题: (1)方程kx 2+4x -1=0的两根之和为-2,则k = . (2)方程2x 2-x -4=0的两根为α,β,则α2+β2= . (3)已知关于x 的方程x 2-ax -3a =0的一个根是-2,则它的另一个根是 . (4)方程2x 2+2x -1=0的两根为x 1和x 2,则| x 1-x 2|= . 3.试判定当m 取何值时,关于x 的一元二次方程m 2x 2-(2m +1) x +1=0有两个不相等的实数根?有两个 相等的实数根?没有实数根? 4.求一个一元二次方程,使它的两根分别是方程x 2-7x -1=0各根的相反数. B 组 1.选择题: 若关于x 的方程x 2+(k 2-1) x +k +1=0的两根互为相反数,则k 的值为( ) (A )1,或-1 (B )1 (C )-1 (D )0 2.填空题: (1)若m ,n 是方程x 2+2005x -1=0的两个实数根,则m 2n +mn 2-mn 的值等于 . (2)如果a ,b 是方程x 2+x -1=0的两个实数根,那么代数式a 3+a 2b +ab 2+b 3的值 是 . 3.已知关于x 的方程x 2-kx -2=0. (1)求证:方程有两个不相等的实数根; (2)设方程的两根为x 1和x 2,如果2(x 1+x 2)>x 1x 2,求实数k 的取值范围. 4.一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的两根为x 1和x 2.求: (1)| x 1-x 2|和;(2)x 13+x 23.122 x x 5.关于x 的方程x 2+4x +m =0的两根为x 1,x 2满足| x 1-x 2|=2,求实数m 的值. C 组 若关于x 的方程x 2+x +a =0的一个大于1、零一根小于1,求实数a 的取值范围. 第四讲 函数与方程(二) 4.1 二次函数y =ax 2+bx +c 的图像和性质 二次函数的性质可以分别通过图直观地表示出来.在今后解决二次函数问题时,可以借助于函数图 像、利用数形结合的思想方法来解决问题. 例1 求二次函数y =-3x 2-6x +1图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值(或最小值),并 指出当x 取何值时,y 随x 的增大而增大(或减小)? 例2 把二次函数y =x 2+bx +c 的图像向上平移2个单位,再向左平移4个单位,得到函数y =x 2的 图像,求b ,c 的值. 例3 已知函数y =x 2,(-2≤x ≤a ),其中a ≥-2,求该函数的最大值与最小值,并求出函数取最 大值和最小值时所对应的自变量x 的值. 分析:本例中函数自变量的范围是一个变化的范围,需要对a 的取值进行讨论. 练 习 1.选择题: (1)下列函数图象中,顶点不在坐标轴上的是 ( ) (A )y =2x 2 (B )y =2x 2-4x +2 (C )y =2x 2-1 (D )y =2x 2-4x (2)函数y =2(x -1)2+2是将函数y =2x 2 ( ) (A )向左平移1个单位、再向上平移2个单位得到的 (B )向右平移2个单位、再向上平移1个单位得到的 (C )向下平移2个单位、再向右平移1个单位得到的 (D )向上平移2个单位、再向右平移1个单位得到的 图1 图2 2.填空题: (1)二次函数y=2x2-mx+n图象的顶点坐标为(1,-2),则m=,n=. (2)已知二次函数y=x2+(m-2)x-2m,当m=时,函数图象的顶点在y轴上;当m=时,函数图象的顶点在x轴上;当m=时,函数图象经过原点. (3)函数y=-3(x+2)2+5的图象的开口向,对称轴为,顶点坐标为;当x=时,函数取最值y=;当x时,y随着x 的增大而减小. 3.求下列抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大(小)值及y随x的变化情况. (1)y=x2-2x-3;(2)y=1+6 x-x2. 4.已知函数y=-x2-2x+3,当自变量x在下列取值范围内时,分别求函数的最大值或最小值,并求当函数取最大(小)值时所对应的自变量x的值: (1)x≤-2;(2)x≤2;(3)-2≤x≤1;(4)0≤x≤3. 4.2 二次函数的三种表示方式 1.一般式:y=ax2+bx+c(a≠0); 2.顶点式:y=a(x+h)2+k (a≠0),其中顶点坐标是(-h,k). 3.交点式:y=a(x-x1) (x-x2) (a≠0),其中x1,x2是二次函数图象与x轴交点的横坐标.今后,在求二次函数的表达式时,我们可以根据题目所提供的条件,选用一般式、顶点式、交点式这三种表达形式中的某一形式来解题. 例1 已知某二次函数的最大值为2,图像的顶点在直线y=x+1上,并且图象经过点(3,-1),求二次函数的解析式. 分析:在解本例时,要充分利用题目中所给出的条件——最大值、顶点位置,从而可以将二次函数设成顶点式,再由函数图象过定点来求解出系数a. 例2 已知二次函数的图象过点(-3,0),(1,0),且顶点到x轴的距离等于2,求此二次函数的表达式. 例3 已知二次函数的图象过点(-1,-22),(0,-8),(2,8),求此二次函数的表达式. 练 习 1.选择题: (1)函数y =-x 2+x -1图象与x 轴的交点个数是 ( ) (A )0个 (B )1个 (C )2个 (D )无法确定 (2)函数y =-(x +1)2+2的顶点坐标是 ( )12 (A )(1,2) (B )(1,-2) (C )(-1,2) (D )(-1,-2) 2.填空题: (1)已知二次函数的图象经过与x 轴交于点(-1,0)和(2,0),则该二次函数的解析式可设为y =a (a ≠0) . (2)二次函数y =-x 2+2x +1的函数图象与x 轴两交点之间的距离为 . 33.根据下列条件,求二次函数的解析式. (1)图象经过点(1,-2),(0,-3),(-1,-6); (2)当x =3时,函数有最小值5,且经过点(1,11); (3)函数图象与x 轴交于两点(1-,0)和(1+,0),并与y 轴交于(0,-2). 224.3 二次函数的简单应用 一、函数图象的平移变换与对称变换 1.平移变换 问题1 在把二次函数的图象进行平移时,有什么特点?依据这一特点,可以怎样来研究二次函数的 图象平移? 我们不难发现:在对二次函数的图象进行平移时,具有这样的特点——只改变函数图象的位置、不 改变其形状,因此,在研究二次函数的图象平移问题时,只需利用二次函数图象的顶点式研究其顶点的 位置即可. 例1 求把二次函数y =x 2-4x +3的图象经过下列平移变换后得到的图象所对应的函数解析式: (1)向右平移2个单位,向下平移1个单位; (2)向上平移3个单位,向左平移2个单位. 2.对称变换 在把二次函数的图象关于与坐标轴平行的直线进行对称变换时,具有这样的特点——只改变函数图 象的位置或开口方向、不改变其形状,因此,在研究二次函数图象的对称变换问题时,关键是要抓住二 次函数的顶点位置和开口方向来解决问题. 例2 求把二次函数y =2x 2-4x +1的图象关于下列直线对称后所得到图象对应的函数解析式: (1)直线x =-1; (2)直线y =1. 二、分段函数 一般地,如果自变量在不同取值范围内时,函数由不同的解析式给出,这种函数,叫作分段函数. 例3 在国内投递外埠平信,每封信不超过20g 付邮资80分,超过20g 不超过40g 付邮资160分, 超过40g 不超过60g 付邮资240分,依此类推,每封x g(0<x ≤100)的信应付多少邮资(单位:分)?写 出函数表达式,作出函数图象. 分析:由于当自变量x 在各个不同的范围内时,应付邮资的数量是不同的.所以,可以用分段函数 给出其对应的函数解析式.在解题时,需要注意的是,当x 在各个小范围内(如20<x ≤40)变化时,它 所对应的函数值(邮资)并不变化(都是160分). 例4 如图所示,在边长为2的正方形ABCD 的边上有一个动点P ,从点A 出发沿折线ABCD 移动一周 后,回到A 点.设点A 移动的路程为x ,ΔPAC 的面积为y . (1)求函数y 的解析式;(2)画出函数y 的图像; (3)求函数y 的取值范围. 练 习 1.选择题: (1)把函数y =-(x -1)2+4的图象向左平移2个单位,向下平移3个单位,所得图象对应的解析式 为 ( ) (A )y = (x +1)2+1 (B )y =-(x +1)2+1 (C )y =-(x -3)2+4 (D )y =-(x -3)2+1 (2)把函数y =-2(x +3)2+3的图象关于直线x =-1对称后,所得图象对应的函数解析式为 ( ) (A )y =-2 (x +1)2+3 (B )y =-2 (x -1)2+3 (C )y =2 (x +1)2-3 (D )y =-2 (x -1)2-3 (3)把函数y =2(x -3)2+3的图象关于直线y =2对称后,所得图象对应的函数解析式为 ( ) (A )y =-2 (x +1)2+3 (B )y =-2 (x -3)2+3 (C )y =-2 (x -3)2+1 (D )y =-2 (x -3)2-3 2.填空题: (1)已知函数 则当x =4时,y = ;当x =-4时,y = . 2,2,24,2 x x y x x ->?=?-+≤?(2)把二次函数y =-2x 2+4x +1的函数图象向 平移 单位后,得到的图象所对应的解析式为y = 3A C D P 图2.2-10 -2x 2+7;再向 平移 个单位后,得到的图象所对应的解析式为y =-2x 2+1;再将其关于 对称后得到的图象所对应的函数解析式为y =2x 2+5. 3.已知点P 是边长为1的正方形ABCD 的顶点A 出发,顺次经过B ,C ,D 移动一周后回到点A ,设x 表示 点P 的行程,y 表示线段PA 的长,试求y 关于x 的函数. 第五讲 三角形与圆 (一) 5.1 三角形的“四心” 三角形是最重要的基本平面图形,很多较复杂的图形问题可以化归为三角形的问题. 如图1,在三角形ABC 中,有三条边AB 、BC 、CA ,三个角∠A,∠B,∠C ,三个顶点A,B,C ,在三角形中,角平分线、中线、高(如图2)是三角形中的三种重要线段. 三角形的三条中线相交于一点,这个交点称为三角形的重心.三角形的重心在三角形的内部,恰好是每条中线的三等分点. 例1 求证:三角形的三条中线交于一点,且被该交点分成的两段长度之比为2:1. 已知D 、E 、F 分别为△ABC 三边BC 、CA 、AB 的中点, 求证:AD 、BE 、CF 交于一点,且都被该点分成2:1. 证明: 三角形的三条角平分线相交于一点,是三角形的内心. 三角形的内心在三 角形的内部,它到三角形的三边的距离相等.(如图3) 例2 已知的三边长分别为,I 为的内心,且I 在△ABC 的边ABC V ,,BC a AC b AB c ===ABC V 上的射影分别为,求证:.BC AC AB 、、D E F 、、2 b c a AE AF +-== 证明:. 例3 若三角形的内心与重心为同一点,求证:这个三角形为正三角形. 已知 O 为三角形ABC 的重心和内心. 求证 三角形ABC 为等边三角形. 图1图 2 图3 证明: 三角形的三条高所在直线相交于一点,该点称为三角形的垂心.锐角三角形的垂心一定在三角形的内部,直角三角形的垂心为他的直角顶点,钝角三角形的垂心在三角形的外部(如图4).三角形的三条高交于一点. 练 习 1.求证:若三角形的垂心和重心重合,求证:该三角形为正三角形. 2.(1) 若三角形ABC 的面积为S ,且三边长分别为,则三角形的内切圆的半径是-a b c 、、___________; (2)若直角三角形的三边长分别为(其中为斜边长),则三角形的内切圆的半径是-a b c 、、c ___________. 并请说明理由. 5.2 几种特殊的三角形 等腰三角形底边上三线(角平分线、中线、高线)合一.因而在等腰三角形ABC 中,三角形的内心I 、重心G 、垂心H 必然在一条直线上. 例4 在△ABC 中,求 3, 2.AB AC BC ===(1)△ABC 的面积及边上的高; ABC S AC BE (2)△ABC 的内切圆的半径; r (3)△ABC 的外接圆的半径. R 解: 图 4