一次函数的图像特征

18.3．1一次函数的图象学案（第1课时）

班级 姓名

【学习目标】

1、了解正比例函数及一次函数的图象特征。

2、会找出两个特殊点来快速画出一次函数和正比例函数的图象。

3、掌握y=kx ＋b 和y ＝kx 的图像相互平移规律及常数k 和b 的取值对直线的位置影响。

4、培养学生数形结合的意识和能力。

【知识链接】

1、在平面直角坐标系中，x 轴， y 轴上的点的坐标分别表示为______.

2、提问：什么是一次函数，什么是正比例函数？

3、判断下列函数关系式中那些是一次函数，那些是正比例函数？

（1）y=-x-4 （2） y=2

1x +2 （3）y=2πx (4)y=3x (5) y=3x+2 4、作函数的图象步骤是 、 、 。

【课堂导学】

1、一次函数的图象特征：

（1）完成课本41页做一做内容。

概括：根据以上观察，我们发现一次函数y ＝kx ＋b （k ≠0）的图象是 ．通常也

称为 ．特别地，正比例函数y ＝kx （k ≠0）的图象是 .。

2、两个特殊点：

点确定一条直线，因此，在画函数图象时只需确定（ ）点就行，

观察做一做的图象，结合课本例2思考并讨论：

概括：正比例函数的两个特殊点：

一次函数的两个特殊点：与x 轴的交点坐标是 ，与y 轴的交点坐标

是

练习：（1）一次函数y ＝x+3的图象与x 轴的交点坐标是 ，与y 轴的交点坐标是

（2）一次函数y=-3x+8与x 轴和y 轴的交点分别是 。

（3）函数y=4x 的图象经过点(0,__)与点(1,__),

函数y=-2x 的图象经过点(0,__)

与点(1,__),

（4）一次函数y ＝-x+15的图象是一条 ，若它与x 轴的交点为（a,0），与

y 轴的交点为（0，b ），则a+ b 的值为 。 3、两直线的位置与k 和b 的关系：

《1》利用以上学过的知识在你准备好的平面直角坐标系中快速画出函数y=x , y=x +2,y=x -2的图象。观察图象并回答下列问题：（也可结合做一做的图象）

①三个函数图象都是 ，三条直线的位置关系是 。

归纳：这三个函数的图象形状都是 ，并且倾斜程度 函数y=x 的图象经过 ，函数y=x+2的图象与y 轴交于点 ，即它可以看作由直线y=x 向 平移 个单位长度而得到．函数y=x-2的图象与y 轴交于点 ，即它可以看作由直线y=x 向 平移____个单位长度而得到．

②观察三个函数关系式中的k 值和b 值，发现有什么关系？ 概括：当一次函数的k 值相等，b 值不等时，直线 ，也可看作是k 值

相等的正比例函数图象向上或向下平移得到。即k 1=k 2 ，b 1≠b 2直

线 ，直线y ＝kx ＋b （k 、b 是常数，k ≠0）是由直线y ＝kx 当b ﹥0时，向 平移，与y 轴交 半轴上；

当b ﹤0时，向 平移，与y 轴交 半轴上；

当b=0时，函数图象经过 ，是 比例函数。

练习：（1）将直线y ＝3x 向下平移2个单位，得到的直线 。

（2）将直线y ＝-x-5向上平移5个单位，得到的直线 。

（3）直线y ＝2x －5向下平移5个单位后得到的直线为

（4）过点（0，－2）且与直线y ＝5x 平行的直线是 。

《2》再次利用以上学过的知识在你准备好的平面直角坐标系中快速画出函数

y=2x+1 与y=2

1x+1的函数图象，观察图象并回答下列问题：（也可结合做一做的图象）

①两个函数图象都是 ，两条直线的位置关系是 。交点在 轴上，交点坐标为

②观察两个函数关系式中的k 值和b 值，发现有什么关系？ 概括：当一次函数的k 值不等，b 值相等时，直线 ，即k 1≠k 2 ，b 1=b 2

时，直线相交于 。

练习：直线y ＝2x －1与y ＝x －1的交点坐标为 。

（2）若直线y ＝2x －1与直线y ＝（a-3）x+2平行，则a 的值是 。

（3）若直线y ＝3

2 x+5与直线y ＝2x+5相交于点P ，则P 点的坐标为 。

【达标测试及课堂展示】

1、与直线y ＝2

3x+1平行，且经过点（0，-2）的一次函数的关系式是 2、若直线y ＝1-4

1x 与x 轴和y 轴的交点分别为A 、B ，则点A 的坐标是 ， 点 B 的坐标是 ，△AOB 的面积是 。

3、将直线y ＝2x －4向上平移5个单位后，所得直线的表达式是 。

4、正比例函数的图象与直线y ＝2

3x+4平行，则该正比例函数的解析式为 。

5、已知函数y ＝x ＋b 的图象与两坐标轴所围成的三角形的面积为1，则b= 。

6、已知函数y ＝k x ，当x=-1时，y ＝-2，那么当x= -2时，y ＝ 。

7、知一次函数y ＝（3-k ）x-2 k 2+18

（1）当k 为何值时，图象经过原点？

（2）当k 为何值时，图象经过（0，-2）？

（3）当k 为何值时，图象平行于直线y ＝- x

经典二次函数图像特征与a、b、c、△符号的关系

图像特征与a 、b 、c 、△符号的关系1 1、已知二次函数2y ax bx c =++，如图所示，若0a <，0c >，那么它的图象大致是 （ ） y y y y x x x A B C D 2、已知二次函数 2 y ax bx c =++的图象如图所示，则点(,)ac bc 在 （ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3、已知二次函数 2y ax bx c =++的图象如下， 则下列结论正确的是 （ ） A 0ab < B 0bc < C 0a b c ++> D 0a b c -+< 4、二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，则下列结论： ①a>0；②c>0；?③b 2-4ac>0，其中正确的个数是（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 5、二次函数y=ax 2+bx+c 的图像如图1，则点M （b ，c a ）在 （ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 6、二次函数 2 y ax bx c =++的图象如图所示，则（ ） A 、0a >，240b ac -< B 、0a >，2 40b ac -> C 、0a <，240b ac -< D 、0a <，240b ac ->

7、已知函数y=ax+b 的图象经过第一、二、三象限，那么y=ax 2+bx+1的图象大致为( ) 8、已知函数c bx ax y ++=2 的图象如图所示，则下列结论 正确的是（ ） A ．a ＞0，c ＞0 B ．a ＜0，c ＜0 C ．a ＜0，c ＞0 D ．a ＞0，c ＜0 9、二次函数 2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示， 则下列说法不正确的是（ ） A ．2 40b ac -> B ．0a > C ．0c > D ．02b a - < 10、二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图，则下列各式中成立的个数是 （ ）（1）abc ＜0； （2）a ＋b ＋c ＜0； （3）a ＋c ＞b ；（4）a ＜－2b ． A ．1 B 2 C .3 D. 4 11、已知二次函数的图象如图所示，有下列5 个结论：① ；② ；③ ；④ ； ⑤ ，（ 的实数）其中正确的结论有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 12、如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象的一部分，图象过点A （－3，0），对称轴为x ＝－1．给出四个结论：①b 2＞4ac ；②2a ＋b =0；③a －b ＋c =0；④5a ＜b ．其中正确结论是（ ）． A ②④ B ①④ C ②③ D ①③

二次函数的图像教学设计

《二次函数的图像（1）》教学设计 教学目标： 1、经历描点法画函数图像的过程； 2、学会观察、归纳、概括函数图像的特征； 3、掌握2ax y =型二次函数图像的特征； 4、经历从特殊到一般的认识过程，学会合情推理。 教学重点： 2ax y =型二次函数图像的描绘和图像特征的归纳 教学难点： 选择适当的自变量的值和相应的函数值来画函数图像，该过程较为复杂。 教学设计： 一、回顾知识 前面我们在学习正比例函数、一次函数和反比例函数时时如何进一步研究这些函数的？先（用描点法画出函数的图像，再结合图像研究性质。） 引入：我们仿照前面研究函数的方法来研究二次函数，先从最特殊的形式即 2ax y =入手。因此本节课要讨论二次函数2ax y =（0≠a ）的图像。 板书课题：二次函数2ax y =（0≠a ）图像 二、探索图像 1、 用描点法画出二次函数2x y =和2x y -=图像 ①无论x 取何值，对于2x y =来说，y 的值有什么特征？对于2x y -=来说，又有什么特征？ ②当x 取 1,2 1 ±±等互为相反数时，对应的y 的值有什么特征？ （2） 描点（边描点，边总结点的位置特征，与上表中观察的结果联系起来）. （3） 连线，用平滑曲线按照x 由小到大的顺序连接起来，从而分别得到

2x y =和2x y -=的图像。 2、 练习：在同一直角坐标系中画出二次函数22x y =和22x y -=的图像。 学生画图像，教师巡视并辅导学困生。（利用实物投影仪进行讲评） 3、二次函数2ax y =（0≠a ）的图像 由上面的四个函数图像概括出： （1） 二次函数的2ax y =图像形如物体抛射时所经过的路线，我们把它叫做抛物线， （2） 这条抛物线关于y 轴对称，y 轴就是抛物线的对称轴。 （3） 对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点。注意：顶点不是与y 轴的交点。 （4） 当o a 时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线上的最低点，图像在x 轴的上方(除顶点外)；当o a 时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线上的最高点图像在x 轴的下方(除顶点外)。 （最好是用几何画板演示，让学生加深理解与记忆） 三、 课堂练习 观察二次函数2x y =和2x y -=的图像 (2)在同一坐标系内，抛物线2x y =和抛物线2x y -=的位置有什么关系？如果在同一个坐标系内画二次函数2ax y =和2ax y -=的图像怎样画更简便？ (抛物线2x y =与抛物线2x y -=关于x 轴对称，只要画出2ax y =与2 ax y -=中的一条抛物线，另一条可利用关于x 轴对称来画) 四、例题讲解 例题：已知二次函数2ax y =（0≠a ）的图像经过点（-2，-3）。 （1） 求a 的值，并写出这个二次函数的解析式。 （2） 说出这个二次函数图像的顶点坐标、对称轴、开口方向和图像的位置。 练习：（1）课本第31页课内练习第2题。 (2)已知抛物线y=ax2经过点A （-2，-8）。 （1）求此抛物线的函数解析式；

一次函数图象的应用

一次函数图象的应用 教学目标与要求： 1、能根据函数的图象确定一次函数的表达式，培养学生的数形结合能力。 2、能通过函数图象获取信息，发展形象思维；能利用函数图象解决简单的实际问题，进一步发展数学应用能力。 3、初步体会方程与函数的关系,建立良好的知识体系。 二、学习指导 本讲重点：（1）根据所给信息确定一次函数的表达式。 （2）正确地根据图象获取信息。 本讲难点：（1）用一次函数的知识解决有关实际问题。 （2）从函数图象中正确读取信息。 考点指要 一次函数和正比例函数是我们接触到的最简单的函数，它们的图象和性质在现实生活中有着广泛的应用．利用一次函数和正比例函数的图形解决问题是本节要解决的一个重要问题，这部分内容在中考中占有重要的地位，经常与方程组、不等式等知识联系起来考查． 三．典型例题 例1 求下图中直线的函数表达式： 分析： 观察图象可知：该一次函数图象经过点（2，0）、（0，3），而经过两点的直线可由待定系数法求出。 解：设y=kx+b ， ∵x=2时，y=0；y=3时x=0 ∴2x+b=0且0x+b=3 ∴3,23 =- =b k ∴32 3 +-=x y

例2 作出函数y=0.5x+1的图象，利用图象，求: （1）当2,0,4-=x 时，y 的值。 （2）当3,1,2 1 - =y 时，x 的值。 （3）解方程315.0,115.0,2 1 15.0=+=+-=+x x x （4）结合（2）（3），你能得出什么结论？ （5）若解方程0.5x+1=0 （6）何时y>0，y=0，y<0? 解：列表得 描点、连线得函数图象： （1）由图象可知：当2,0,4-=x 时，相应的y 值分别为-1、1、2. （2）由图象可知：当3,1,2 1 - =y 时，相应的x 值分别为-3、0、4. （3）三个方程的解分别为x=-3、x=0、x=4. （4）当一次函数y=0.5x+1的函数值为3,1,2 1 - 时，相应的自变量的值即为方程315.0,115.0,2 1 15.0=+=+-=+x x x 的解。 （5）当一次函数y=0.5x+1的函数值为0时，相应的自变量的值即为方程0.5x+1=0的解。它的几何意义是：直线y=0.5x+1与x 轴交点的横坐标即为方程0.5x+1=0的解。 （6）由图象可知，当x<-2 时，y<0；当x=-2时，y=0；当x>-2 时，y>0。 说明：要注意一次函数与相应的一元一次方程的关系。事实上，利用一次函数图象可解决许多实际问题。 例3 一根弹簧长15cm ，它能挂的物体质量不能超过18kg ，并 且每挂1kg 就伸长0.5cm 。写出挂上物体后的弹簧长度y （cm ） 与所挂物体的质量x （kg ）之间的函数关系式，并且画出它的图象。

《函数及其图像》知识点归纳

华师大版八年级数学下《函数及其图像》知识点归纳一．变量与函数 1 ．函数的定义：一般的，在某个变化过程中有两个变量x和y，对于x的每一个数值y都有唯一的值与之对应，我们说x叫做自变量，y叫做因变量，y叫做x的函数。 2．自变量的取值范围： （1）能够使函数有意义的自变量的取值全体。 （2）确定函数自变量的取值范围要注意以下两点：一是使自变量所在的代数式有意义；二是使函数在实际问题中有实际意义。 （3）不同函数关系式自变量取值范围的确定： ①函数关系式为整式时自变量的取值范围是全体实数。 ②函数关系式为分式时自变量的取值范围是使分母不为零的全体实数。 ③函数关系式为二次根式时自变量的取值范围是使被开方数大于或等于零的全体实数。 3 ．函数值：当自变量取某一数值时对应的函数值。这里有三种类型的问题： （1）当已知自变量的值求函数值就是求代数式的值。 （2）当已知函数值求自变量的值就是解方程。 （3）当给定函数值的一个取值范围，欲求自变量的取值范围时实质上就是解不等式或不等式组。二．平面直角坐标系： 1．各象限内点的坐标的特征： （1）点p（x,y）在第一象限→x＞0,y＞0. （2）点p（x,y）在第二象限→x＜0,y＞0. （3）点p（x,y）在第三象限→x＜0,y＜0 （4）点p（x,y）在第四象限→x＞0,y＜0. 2 ．坐标轴上的点的坐标的特征： （1）点p（x,y）在x轴上→x为任意实数，y=0 （2）点p（x,y）在y轴上→x=0,y为任意实数 3 ．关于x轴，y轴，原点对称的点的坐标的特征： （1）点p（x,y）关于x轴对称的点的坐标为（x,-y）. （2）点p（x,y）关于y轴对称的点的坐标为（-x,y）. （3）点p（x,y）关于原点对称的点的坐标为（-x,-y） 4 ．两条坐标轴夹角平分在线的点的坐标的特征： （1）点p（x,y）在第一、三象限夹角平分在线→x=y.

一元二次函数的图像和性质

§ 3.4一元二次函数的图象和性质 1． 掌握一元二次函数图象的画法及图象的特征 2． 掌握一元二次函数的性质，能利用性质解决实际问题 3． 会求二次函数在指定区间上的最大（小）值 4． 掌握一元二次函数、一元二次方程的关系。 １.函数)0(2 ≠++=a c bx ax y 叫做一元二次函数。 2. 一元二次函数的图象是一条抛物线。 3．任何一个二次函数)0(2 ≠++=a c bx ax y 都可把它的解析式配方为顶点 式:a b a c a b x a y 44)2(2 2-++=, 性质如下: (1）图象的顶点坐标为)44,2(2a b ac a b --，对称轴是直线a b x 2-=。 （2)最大（小）值 ① 当0>a ,函数图象开口向上,y 有最小值，a b ac y 442 min -=，无最大值。 ② 当0>a ,函数图象开口向下,y 有最大值,a b a c y 442max -=,无最小值。 （３）当0>a ，函数在区间)2,(a b - -∞上是减函数，在),2(+∞-a b 上是增函数。 当0

人教版初三数学下册应用一次函数图像解决实际问题

《应用一次函数图像解决实际问题》说课稿 老河口市第七中学陈薇 尊敬的各位评委，老师： 大家好！ 今天，我说课的内容是人教版数学九年级下册《函数及其图像》专题复习之一-------《应用一次函数图像解决实际问题》，下面我将从教材分析，教法学法，教学过程，设计思路、教学反思五个方面来展开我对本节课的理解。 一、教材分析 1、地位和作用 一次函数是中学数学中一种最简单、最基本的函数，是中考考点之一，而利用一次函数图像解决实际问题，已成为中考的热点。它命题背景广泛，紧贴实际生活，构思新颖，题型多样，突出对学生识别图象,处理信息、获取知识以及解决问题的能力的考察，增强了学生应用数学的意识和能力。 很多学生对基础题有一定的认识和解决方法，但对中档题和综合题缺乏清晰的解题思路，往往导致对灵活程度高，综合能力强的试题得分不够理想。通过本节课的学习，有助于帮助学生解题思维的形成，掌握系统的解题方法。应用一次函数图像解决实际问题所涉及到的数学建模，待定系数法，分类讨论，数形结合，化归等思想方法也是解决表格式、文字类的实际问题常用的方法，对后续其它函数图像的应用学习以及高中函数学习都将积累宝贵的学习经验和经历，同时《义务教育数学课程标准》也要求“能结合图像对简单实际问题中的函数关系进行分析”，因此本节课的重要性不言而喻。 2、教学目标 （1）经历实际问题的解决过程，掌握系统的解题思路和方法。 （2）通过知识的归纳学习过程，理解和掌握分类讨论，数形结合等思想方法。 （3）进一步体会数学知识与实际生活的的密切联系，丰富数学情感，建立自信心。 3、教学重点：会分析和应用一次函数图像解决实际问题 教学难点：数形结合思想方法的应用； 用一次函数与方程、不等式的联系解决实际问题 二、教法学法 本节课采用学案式，分类归纳，引导探究的教学方法，指导学生以独立思考、观察发现、合作交流，类比归纳的学习方法，得出清晰的解题思路和方法。 三、教学过程 首先通过错题分析，引入新课，其次将所学知识分为由“数”到“形”、由“形”到“数”、“数形”结合三种类型进行归纳，形成体系，然后总结反思，感悟方法提升能力，最后布置作业，达到巩固提高的目的。 1、错题分析，引入课题 通过选取具有代表性的错题进行分析，可以发现： ①审题缺乏细心，不能抓住关键字眼去区分图像的前后差异。 ②图像和实际问题的结合能力不够，思维缺乏条理性，逆向性。

一次函数图像的性质

一次函数复习 大有中学程顺发 教学目标 1、理解一次函数的意义，会用待定系数法求一次函数的表达式。 2、会画一次函数图象，理解函数性质。 3、能根据图象求二元一次方程组的近似值，掌握求两函数图象交点坐标的方法。 4、会用一次函数解决简单的实际问题。 教学重点 1、一次函数的图象和性质 2、一次函数的应用 教学难点 一次函数和二元一次方程(组)、一元一次不等式（组）的关系。 教材分析 1、近几年来，一次函数的中考分值呈上升趋势，命题多为填空、选择（2—3分）和解答题（6—8分）且为中考命题热点。 2、本节主要内容有一次函数的图象和性质、利用一次函数的图象解决二元一次方程（组）和一元一次不等式（组）的问题、一次函数的应用、一次函数与几何的综合题等。 3、结合实际的应用问题涉及面广，也是近几年来各省市中考的热点问题，有行程、温度、利润、电话费等问题，特别是与经济相关的问题在近几年中考中比较常见。 教学过程 一、考点整合 1、一次函数定义：一般地，若两个变量x,y间的关系，可以表示成（k、b 常数且k≠0)的形式，则称y是x的一次函数，当b=0时，一次函数也叫正比例函数。 2、一次函数图象的画法：正比例函数的图象是过和两点的，一次函数图象是过和两点的。 3、一次函数性质：y=kx+b(k≠0)当K>0时，y随x增大而，当K<0时，y随x增大而 4、一次函数图象与k、b的符号关系如下：

5、一次函数与一元一次方程的关系： 直线y=kx+b(k≠0)与x 轴的交点 就是一元一次方程kx+b=0的解， 6、一次函数与一元一次不等式的关系： 一次函数y=kx+b 的函数值 的自变量x 的所有值，就是一元一次不等式kx+b>0的解集；一次函数y=kx+b 的函数值 的自变量x 的所有值，就是一元一次不等式kx+b<0的解集。 7、一次函数与二元一次方程（组）的关系： 一次函数表达式y=kx+b 就是一个 ，反过来任何一个二元一次方程都可转化为一次函数表达式。二元一次方程组的解就是两个一次函数图象的交点坐标。 二、典型例题 例1：已知一次函数y=kx-k,若y 随x 增大而减小，则函数图象不经过（ ） A 第四象限 B 第三象限 C 第二象限 D 第一象限 例2：直线l 1:y=k 1x+b 与直线l 2:y=k 2x 在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x 的不等式k 1x+b>k 2x 的解为（ ） A 、x>-1 B 、x<-1 C 、x<-2 D 、无法确定 解析：根据一次函数的性质分析图象，由图可知l 1上，y 随x 的增大而减小，l 2上，y 随x 的增大而增大，当x<-1时，l 1上的值均大于l 2上的值，当x>-1时，l 2上的值均大于l 1上的值，故可得答案。 例3：如图：一次函数图象经过点A ，且与正比例函数y=-x 的图象交于点B ，则该一次函数的表达式为（ ） A 、y=-x+2 B 、y=x+2 C 、y=x-2 D 、y=-x-2 解析：本题主要考察对一次函数图象的认识，由正比例函数的图象和一次函数图象的交点的横坐标可求出一次函数图象上的一点，再根据一次函数与y 轴的交点，已知两点即可求出一次函数的解析式。 例4：某饮料厂开发了A 、B 两种新型饮料，主要原料均为甲和乙，每瓶饮料中甲和乙的含量如下表所示，现用甲原 料和乙原料各2800克进行试生产，计划生产A 、B 两种饮料共100瓶，设生产A 种饮料X 瓶，解答下列问题： （1）有几种符合题意的生产方案？写出解答过程； (2）如果A 种饮料每瓶的成本为2.60元，B 种饮料每瓶的成本为2.80元，这两种饮料的成本总额为Y 元，请写出Y 与X 的之间的关系式，并说明X 取值会使成本总额最低？ 甲 乙 A 20克 40克 B 30克 20克 分析：本题主要考察一次函数与一次不等式的应用，根据提议可得出一个不等式组，再由题意可得出一次函数的表达式，根据一次函数的性质和实际生活的意义可得答案。 解：（1）设生产A 种饮料X 瓶，根据题意得 20X+30（100-X ）≤2800 40X+20（100-X ）≤2800 y x o -1 -2 y=k 1x+b y=k 2x y x o -1 2 A B y=--x 饮料名称 原料名称

中考试题专题四 函数图象上的特征点问题

专题四函数图象上的特征点问题 函数图象上的特征点问题实际上是针对2015年和2016年北京市中考数学试卷中的代数综合题第27题.特征点指的是函数图象本身的特殊点，以及函数图象与坐标轴、与其他函数相交产生的点，或者是函数图象围成的区域内的特征点等. 典例诠释 例1 (2015·北京市中考数学27题)在平面直角坐标系xOy中，过点(0,2)且平行于x 轴的直线，与直线y=x－1交于点A，点A关于直线x=1的对称点为B，抛物线:+bx+c 经过点A，B. (1)求点A，B的坐标； (2)求抛物线的表达式及顶点坐标； (3)若抛物线:(a≠0)与线段AB恰有一个公共点，结合函数的图象，求a的取值范围. 【解】 (1)直线y=x－1中，当y=2时，则x=3, ∴A(3,2).A，B关于直线x=1对称,∴B(－1,2). (2)把A(3,2)、B(－1,2)代入+bx+c中，得解得 ∴抛物线的表达式为－2x－1.当x=1时,抛物线有最低点，此时纵坐标为－2，∴顶点坐标为(1,－2). (3)如图2-4-1，当过A点、B点时为临界， 图2-4-1 将A(3,2)代入，得a=，将B(－1,2)代入,得a=2.∴≤a<2 【名师点评】本题主要考查了对称点、待定系数法求函数表达式，以及特定条件下求函数表达式中待定系数的取值范围.同时还考查了学生动手画示意图的能力，考查了对于数形结合的认识和运用.本题利用数形结合的思想方法解题更加直观、清晰.(1)过点(0,2)且平行于x轴的直线，与直线y=x－1交于点A，由此知道A点的纵坐标是2，将纵坐标2代入表达式y=x－1中，可以求出x的值，从而求出A点坐标为(3,2)；题目中

高中数学 奇函数图象的特征

课件9 奇函数图象的特征 课件编号：ABⅠ-1-3-3. 课件名称：奇函数图象的特征. 课件运行环境：几何画板4.0以上版本. 课件主要功能：配合教科书“1.3.2奇偶性”的教学，通过数据、图象等多维度理解奇函数的图象特征. 课件制作过程： （1）新建画板窗口.单击【Graph】(图表)菜单中的【Define Coordinate System】(建立直角坐标系)，建立直角坐标系.单击【Graph】菜单中的【Hide Grid】（隐藏网格）. （2）选中原点，按Ctrl+K,给原点加注标签A，并用【文本】工具把标签改为O.给单位点加注标签，并改为1. （3）单击【Graph】菜单中的【Plot New Function】(绘制函数图象)，如图1，弹出“New Function”函数式编辑器，依次单击x、＋、x、＾、3即输入函数f（x）＝x＋x3,单击【OK】（确定）后画出函数f（x）的图象. 图1 图2 （4）用画点工具在x轴上画点C，及时单击【Measure】（度量）菜单中的【Abscissa（x）】，得点C的横坐标x C. （5）单击【Measure】菜单中的【Calculate】（计算），打开计算器，如

图2，依次单击x C、＋、x C、＾、3，再单击【OK】，得到计算值x C＋x C3.同样的，得到计算值（－x C），（－x C）＋（－x C）3. （6）依次选中x C， x C＋x C3，再单击【Graph】菜单中的【Plot As （x，y）】(绘制点)得到点D，依次选中（－x C），（－x C）＋（－x C）3，再单击【Graph】菜单中的【Plot As （x，y）】得到点E. （7）用【文本】工具把计算值x C改为x，把点C，D，E的标签改为x，P，Q. （8）用【文本】工具输入文本“P（x，x＋x3）”“Q（－x，－x＋（－x）3）”. （9）选中图象上的点P和文本“P（x，x＋x3）”，按住“Shift”，同时单击【Edit】（编辑）菜单中的【Merge Text To Point】（合并文本到点）则在图象上出现一个标签P（x，x＋x3），再选中图象上的点Q和文本“Q（－x，－x＋（－x）3）”，按住“Shift”，单击【Edit】菜单中的【Merge Text To Point】则在图象上出现一个标签Q（－x，－x＋（－x）3）.再用文本工具点击图象上的点P，Q. （10）选中函数f（x）的图象，单击【Construct】菜单中的【Point on Function Plot】，得点F.选中O点，F点，单击【Construct】菜单中的【Circle By Center+Point】（以圆心和圆周上的点画圆），及时单击【Construct】菜单中的【Point On Circle】（圆上的点），画出G点. （11）选中点O，单击【Transform】（变换）菜单中的【Mark Center】（标记中心），再选中F点，单击【Transform】菜单中的【Rotate】（旋转），按固定角度旋转1800，得到F'点. （12）选中点F，G，F'，单击【Construct】菜单中的【Arc Through 3 Points】（过3点的弧）得到一个半圆，再及时单击【Construct】菜单中的【Point On Arc】得到H点. （13）选中点F，O，H，单击【Measure】菜单中的【Angle】，得度量值m ∠FOH，再选中点F，O，H，单击【Transform】菜单中的【Mark Angle】（标记角度），然后选中点P，单击【Transform】菜单中的【Rotate】得到点P'. （14）选中点P'，点x，单击【Construct】菜单中的【Locus】（轨迹），得到轨迹l1.

二次函数顶点式图像特点

二次函数顶点式图像及其特点教学设计 【教材】人教版九年级 22.1 二次函数的图象及其特点 （第4课时） 【教学对象】九年级学生 【授课教师】珠海市斗门区城南学校 孔志坚 【教材分析】 本节的学习内容是在前面学过二次函数的概念和二次函数y=ax 2、y=ax 2+h 的图像和性质的基础上，运用图像变换的观点把二次函数y=ax 2的图像经过一定的平移变换，而得到二次函数y=a(x-h)2+k (h ≠0，k ≠0)的图像。二次函数是初中阶段所学的最后一类最重要、图像性质最复杂、应用难度最大的函数，是学业达标考试中的重要考查内容之一。教材中主要运用数形结合的方法从学生熟悉的知识入手进行知识探究。这是教学发现与学习的常用方法，同学们应注意学习和运用。另外，在本节内容学习中同学们还要注意 “类比”前几节的内容学习，在对比中加强联系和区别，从而更深刻的体会二次函数的图像和性质。 【教学目标】 ◇ 知识技能 （1）会用描点法画出二次函数 ()2 h x a y -= 、()k h x a y +-=2 的图象， 通过图象了解它们的 图象特征和性质． （2）观察图象，得出上述二次函数的图象特征和性质，通过对比发现它们之间的关系。 ◇过程与方法 （1）在用描点法画出二次函数的图象过程中，体会数形结合的思想； （2）通过观察图象，得出上述二次函数的图象特征和性质，通过对比发现图像之间的关系，发展数学的化归思维； （3）在探究活动中，学会与人合作并能与他人交流思想的过程和探究的结果。 ◇情感态度与价值观 （1）通过画二次函数的图象，感受数学美，激发学习热情； （2）在探究活动中，培养学生的合作交流意识和探索精神。 【教学重点】观察图象，得出上述二次函数的图象特征和性质 【教学难点】观察对比图象发现它们之间的关系 【教学方法】引导探索、讨论交流 【教学手段】PPT 、几何画板 【教学过程设计】 一、教学流程安排

一次函数图像在高中物理中的应用

一次函数图像在高中物理中的应用 摘要】中学物理中的概念、规律其物理量之间的关系大都具有一次函数的特征，而一次函数也是学生比较最熟悉的函数,因此本文将以公式、实验、高考题为线索 探寻一次函数图像在高中物理学习中的作用。 【关键词】一次函数图像图像法高中物理 中学物理中的概念、规律的公式描述，就是以数学知识为基础，通过赋予数 学变量X、Y以不同的物理意义，将各物理量间的关系运用图像法形象直观的反 映出来，简洁明了，符合中学生的认知特点。因此在解题过程中，若能与数学图 形相结合，再转化成相应的物理图象，则可大大降低解题难度。图象法也是历年 高考的热点，因而在教学中要有意识的提升学生的识图、作图能力。 基于图象法在高中物理学习中的广泛应用，教师在教学中要意识的灌输图像 法在高中物理的重要地位，以期引起学生的重视。s-t图像、v-t图像是高中物理 一入门最先接触到的图像，应用也最广泛，下面笔者就以教学实例浅谈一次函数 图像在物理学习中的应用。 一、物理图像中“斜率”的意义 例3就是近年的高考物理题。由爱因斯坦光电效应方程有EK=hυ-W，又任何一种金属的 逸出功W一定，联立EK=eUc，可得eUc=hυ-W，根据表达式可知Uc随频率υ的变化呈线性 关系，图（3）中斜线的斜率等于普朗克常量ｈ/e。 二、巧用图像中的“面积”解变力问题 “面积”即斜线与横、纵坐标包围的图案所对应的面积，理清“面积”的含义，对解题事半功倍。如例1中图（1）所示的v-t图像中斜线下方速度和时间包围的面积即“位移”，用v-t图 像的面积求位移应该是“面积法”学生最熟悉的应用，除此之外，“面积法”还在变力做功中有 更精彩的应用。 高中物理受学生所学数学知识的限制，物理公式在使用中通常有所限定，例如在求功公 式W=FScosα中，只适用恒力做功的情况，如遇求变力做功的题目用公式法求解就会受到局 限性。这种情况下就可以用图像中的“面积”巧破这个局限性，在学习的过程中关键还是要理 解“面积”代表的含义才能举一反三。 例4：一根大小质地均匀的长链条，长为L，质量为m，现用手摁住保持如图（4）所示 的状态，有一部分悬垂于桌子下面，放手后这个链条开始下滑，求重力在链条全部离开桌面 的过程中所做的功？ 常规的思路，一般可以根据重力做功等于重力势能的改变量的等效法求解，而在求解的 过程中将会涉及到零势能面的选取，链条的等效质量求解，重心位置的考量以及重心位置到 零势能面的距离等等的判断，这些关系只要有一点儿疏忽没理清楚就会出错。这时候如果他 们具备举一反三应的素质，用图像法求解变力做功的方法则可以有效解决这个问题。 通过以上例题分析可以看出，一次函数不仅在概念、实验等习题中出现，甚至是高考考 察的重点，因此在物理学习过程中挖掘一次函数图象的物理功能，进一步加强数学方法在物 理学中的应用，常常会使一些抽象的概念变得简单易懂，常常会化解一些求解物理问题中遇 到的难题，提高学生学习物理的兴趣与效率。 【参考文献】 四、何雨昊.函数图像法在中学物理中的应用[J].科技教育，2018（1） 五、赵娟.高中物理方法“图像法”中图像斜率的应用[J].科学大众·科学教育，2011（6） 六、吴敏芳.例谈“面积”概念在高中物理中的应用[J].现代物理知识，2003（5）

一次函数概念图像及性质

一次函数概念、图像及性质 【教学目标】 1. 了解认识一次函数定义、图像，并能根据函数解析式画出图像 2. 理解一次函数的截距概念，会根据直线的表达式指出它在y 轴上的截距 3. 理解、掌握一次函数性质，熟悉图像所经过的象限及y 随x 变化而变化的情况 4. 能运用一次函数的图像及性质解综合型问题 【教学重难点】 1. 根据一次函数的图像确定解析式 2. 掌握一次函数性质，并能灵活运用于解题 3. 能结合一次函数知识点灵活求解综合型问题 【教学内容】 ★ 知识梳理 一、概念 定义：解析式形如)0( ≠+=k b kx y 的函数叫做一次函数 二、图像 一次函数的图象满足：（1）形状是一条直线；（2）始终经过（0 , b ）和（k b - , 0）两点 三、截距 定义：直线)0( ≠+=k b kx y 与y 轴的交点坐标是) , 0 (b ，截距是b 四、性质 1. 一次函数)0( ≠+=k b kx y ，当0>k 时，函数值y 随自变量x 的值增大而增大；当0k ，且0>b 时，直线)0( ≠+=k b kx y 经过第一、二、三象限 （2）当0>k ，且0b 时，直线)0( ≠+=k b kx y 经过第一、二、四象限 （4）当0

一、概念 例1. 下列关于x 的函数中，是一次函数的是（ ） （A ）1)1(32+-=x y （B ）x x y 1+ = （C ）x y 3-= （D ）x y 5-= 例2. 下列各式中，y 与x 成正比例关系的是 ；成一次函数关系的是 （1）x y 43= （2）x y 2 2-= （3）x y 29-= （4）x y 4= （5）52=+xy （6）765=+y x 例3. 下列说法中，不正确的是（ ） （A ）一次函数不一定是正比例函数 （B ）不是一次函数就一定不是正比例函数 （C ）正比例函数是特殊的一次函数 （D ）不是正比例函数不一定不是一次函数 例4. 下列说法不正确的是（ ） （A ）在32--=x y 中，y 是x 的正比例函数 （B ）在x y 21-=中，y 与x 成正比例 （C ）在1=xy 中，y 与x 1成正比例 （D ）在圆的面积公式2r S π=中，S 与2r 成正比例 例5. 已知b kx y +=，当3-=x 时，0=y ；当1=x 时，4=y ，求k 、b 的值

高考数学复习函数图像特征

函数的图像特征 A 组 1．命题甲：已知函数f (x )满足f (1＋x )＝f (1－x )，则f (x )的图象关于直线x ＝1对称．命题乙：函数f (1＋x )与函数f (1－x )的图象关于直线x ＝1对称．则甲、乙命题正确的是__________． 解析：可举实例说明如f (x )＝2x ，依次作出函数f (1＋x )与函数f (1－x )的图象判断．答案：甲 2．(2010年市高三模拟考试)函数y ＝x |x | ·a x (a >1)的图象的基本形状是_____． 解析：先去绝对值将已知函数写成分段函数形式，再作图象即可，函数解析式：y ＝???? ? ax (x >0)－ax (x <0)，由指数函数图象易知①正确． 答案：① 3．已知函数f (x )＝(1 5)x －log 3x ，若x 0是方程f (x ) ＝0的 解，且0log 3x 1， ∴f (x 1)>0.答案：正值 4．(2009年高考卷改编)设a

解析：∵x >b 时，y >0.由数轴穿根法，从右上向左下穿，奇次穿偶次不穿可知，只有③正确．答案：③ 5．(原创题)已知当x ≥0时，函数y ＝x 2与函数y ＝2x 的图象如图所示，则当x ≤0时，不等式2x ·x 2≥1的解集 是__________． 解析：在2x ·x 2≥1中，令x ＝－t ，由x ≤0得t ≥0， ∴2－t ·(－t )2≥1，即t 2≥2t ，由所给图象得2≤t ≤4， ∴2≤－x ≤4，解得－4≤x ≤－2. 答案：－4≤x ≤－2 6．已知函数f (x )＝???．(2,5] ∈，3－， 1,2]－[∈，－32x x x x (1)画出f (x )的图象；(2)写出f (x )的单调递增区间． 解：(1)函数f (x )的图象如图所示． , (2)由图象可知，函数f (x )的单调递增区间为[-1,0]，[2,5]． B 组 1.(2010年市高三质检)函数f (x )＝ln 1－x 1＋x 的图象只可能是__________．

几种特殊的二次函数的图象特征如下

当时开口向上当时开口向下(轴) (轴) (0，) (，0) (，) () 的图象 的解 方程有两个相等实数解 四、规律方法指导 1.求抛物线的顶点、对称轴的方法 (1)公式法：，∴顶点是，对称轴是直线. (2)配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为的形式，得到顶点为(， )，对称轴是直线.

2.直线与抛物线的交点 (1)轴与抛物线得交点为(0，). (2)与轴平行的直线与抛物线有且只有一个交点(，). (3)抛物线与轴的交点 二次函数的图象与轴的两个交点的横坐标、，是对应一元二次方程 的两个实数根.抛物线与轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别 式 判定： ①有两个交点抛物线与轴相交； ②有一个交点(顶点在轴上)抛物线与轴相切； ③没有交点抛物线与轴相离. (4)平行于轴的直线与抛物线的交点 同(3)一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为 ，则横坐标是的两个实数根. (5)一次函数的图象与二次函数的图象的交点，由方程 组的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时与有两个交点；②方程组只有一组解时与只有一个交点；③方程组无解时与没有交点. (6)抛物线与轴两交点之间的距离：若抛物线与轴两交点为， 由于、是方程的两个根，故 抛物线y=ax2+bx+c中a、b、c的作用

决定对称轴的位置，对称轴是直线 b-4ac<0 抛物线与x轴无公共点 确定二次函数的最大值或最小值，首先先看自变量的取值范围.再分别求出二次函数在顶点处的函数值和在端点处的函数值，比较这些函数值，其中最大的是函数的最大值，最小的是函数的最小值. ①若自变量的取值范围是全体实数，函数有最大值或最小值，如图所示. 图(1)中，抛物线开口向上，有最低点，则当时，函数有最小值是； 图(2)中，抛物线开口向下，有最高点，则当时，函数有最大值是. ②若自变量的取值范围不是全体实数，函数有最大值或最小值，如图所示.

八年级数学上册《一次函数图像的应用》教案

第六章一次函数 总课时：7课时执笔人：刘丽娟使用人： 备课时间：第八周上课时间：第十一周 第7课时：6、5一次函数图像的应用（2） 教学目标 知识与技能：进一步训练学生的识图能力，能通过函数图象获取信息，解决简单的实际问题； 过程与方法目标：在函数图象信息获取过程中，进一步培养学生的数形结合意识，发展形象思维；在解决实际问题过程中，进一步发展学生的分析问题、解决问题的能力和数学应用意识． 情感态度与价值观：在现实问题的解决中，使学生初步认识数学与人类生活的密切联系，从而培养学生学习数学的兴趣． 教学重点：一次函数图象的应用 教学难点：从函数图象中正确读取信息 教学准备：教具：教材，课件，电脑学具：教材，练习本，铅笔，直尺 教学过程： 第一环节：情境引入（5分钟，学生观察图形，获取信息，全班交流） 内容：一农民带上若干千克自产的土豆进城出售,为了方便,他带了一些零钱备用,按市场价售出一些后,又降价出售,售出的土豆千克数与他手中持有的钱数(含备用 零钱)的关系,如图所示,结合图象回答下列问题. (1)农民自带的零钱是多少? (2)试求降价前y与x之间的关系 (3)由表达式你能求出降价前每千克的土豆价格是多少? (4)降价后他按每千克0.4元将剩余土豆售完,这时他手中的钱 (含备用零钱)是26元,试问他一共带了多少千克土豆? 第二环节：问题解决（15分钟，学生理解题意，小组探究， 全班交流） 内容1：例1 小聪和小慧去某风景区游览，约好在“飞瀑”见面，上午7：00小聪乘电动汽车从“古刹”出发，沿景区公路去“飞瀑”，车速为36km/h，小慧也于上午7：00从“塔林”出发，骑电动自行车沿景区公路去“飞瀑”，车速为 26km/h． （1）当小聪追上小慧时，他们是否已经过了“草甸”？ （2）当小聪到达“飞瀑”时，小慧离“飞瀑”还有多少km？ 分析：当小聪追上小慧时，说明他们两个人的什么量是相同的？是否已经过了“草甸”该用什么量来表示？你会选择用哪种方式来解决？图象法？还是解析法？ 解：设经过t时，小聪与小慧离“古刹”的路程分别为S1、S2， 由题意得：S1=36t，S2=26t+10 将这两个函数解析式画在同一个直角坐标系上，观察图象，得

赏析幂函数的图象特征及应用

一、幂函数图像的分布规律 幂函数图像的分布规律可用“一全有、二一偶、三一奇、四全无”来说明。 1.“一全有”：指所有幂函数的图像在第一象限都出现， 分布情况如图1所示，其特点如下：①抓住三条特征 线：直线x=1，y=x ，y=1把幂函数的图像分为三个区 域，这三个区域对应着幂函数y=x α在α<0,0<α<1, α>1时的图像；②第一象限内幂函数y=x α图像的区 域分布情况为：在直线x=1的右边，α越大，图像越高，越趋向于直线x=1；在直线x=1的右边，α越小，其图像越低，越趋向于x 轴。 2.“二一偶”：指当幂函数为偶函数时，其图像关于y 轴对称，即幂函数的图像出现在第一、第二象限。 3.“三一奇”：指当幂函数为奇函数时，其图像关于原点对称，即幂函数的图像出现在第一、第三象限。 4.“四必无”：指由定义，知幂函数的图像不可能出现在第四象限。 二、幂函数图像的应用 1.识别图像 例1.图2中 的曲线是幂函数y=x α在第一象限的图像，已知α取±2，±12四个值，则其相应于曲线C 1,C 2,C 3,C 4的α依次为（ ） A.-2，-12，12，2 B.2，12，-12，-2 C.- 12，-2，2，12 D.2，12，-2，-12 解：根据幂函数的图像特点，立即可以断定相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的α值排序是由大到小，故选B 。 2.用于判断方程的个数 例2.方程x 2=2x 的根的个数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.

解：令f（x）=x2，g（x）=2x，在同一坐标平面内作出这两个函数的图象，如图三所示，由图可知，交点有三个，所以方程x2=2x的根的个数为3，故选C。

二次函数专题训练图像特征与a、b、c、△符号的关系

二次函数专题训练1——图像特征与a 、b 、c 、△符号的关系1 1、已知二次函数2y ax bx c =++，如图所示，若0a <，0c >，那么它的图象大致是 （ ） y y y y x x x A B C D 2、已知二次函数 2 y ax bx c =++的图象如图所示，则点(,)ac bc 在 （ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3、已知二次函数 2 y ax bx c =++的图象如下， 则下列结论正确的是 （ ） A 0ab < B 0bc < C 0a b c ++> D 0a b c -+< 4、二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，则下列结论： ①a>0；②c>0；?③b 2-4ac>0，其中正确的个数是（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 5、二次函数y=ax 2+bx+c 的图像如图1，则点M （b ，c a ）在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 6、二次函数 2 y ax bx c =++的图象如图所示，则（ ） A 、0a >，240b ac -< B 、0a >，2 40b ac -> C 、0a <，240b ac -< D 、0a <，2 40b ac -> 7、已知函数y=ax+b 的图象经过第一、二、三象限，那么y=ax 2+bx+1的图象大致为( ) 8、已知函数 c bx ax y ++=2 的图象如图所示，则下列结论 正确的是（ ） A ．a ＞0，c ＞0 B ．a ＜0，c ＜0 C ．a ＜0，c ＞0 D ．a ＞0，c ＜0 9、二次函数 2 (0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示， 则下列说法不正确的是（ ） A ．2 40b ac -> B ．0a > C ．0c > D ．0 2b a - < 10、二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图，则下列各式中成立的个数是（ ）（1）abc ＜0； （2）a ＋b ＋c ＜0； （3） a ＋c ＞ b ；（4）a ＜－2b ． A ．1 B 2 C .3 D. 4 11、已知二次函数 的图象如图所示，有下列 5 个结论：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ，（ 的实数）其中正确的 结论有（ ）