中考数学提高题专题复习中考数学压轴题练习题含答案
一、中考数学压轴题
1．AB 是O 直径，,C D 分别是上下半圆上一点，且弧BC =弧BD ，连接,AC BC ，
连接CD 交AB 于E ，
（1）如图(1)求证：90AEC ∠=?；
（2）如图(2)F 是弧AD 一点，点,M N 分别是弧AC 和弧FD 的中点，连接FD ，连接
MN 分别交AC ，FD 于,P Q 两点，求证：MPC NQD ∠=∠
（3）如图(3)在(2)问条件下，MN 交AB 于G ，交BF 于L ，过点G 作GH MN ⊥交AF 于H ，连接BH ，若,6,BG HF AG ABH ==?的面积等于8，求线段MN 的长度
2．如图，在平面直角坐标系中，Rt ABC ?的斜边AB 在y 轴上，边AC 与x 轴交于点
D ，A
E 平分BAC ∠交边BC 于点E ，经过点A D E 、、的圆的圆心
F 恰好在y 轴上，
⊙F 与y 里面相交于另一点G ． （1）求证：BC 是⊙F 的切线 ；
（2）若点A D 、的坐标分别为(0,1),(2,0)A D -，求⊙F 的半径及线段AC 的长； （3）试探究线段AG AD CD 、、三者之间满足的等量关系，并证明你的结论．
3．一种实验用轨道弹珠，在轨道上行驶5分钟后离开轨道，第一颗弹珠弹出后其速度1
y （米/分钟）与时间x （分钟）前2分钟满足二次函数2
1y ax =，后3分钟满足反比例函数
关系，如图，轨道旁边的测速仪测得弹珠1分钟末的速度为2米/分钟． （1）求第一颗弹珠的速度1y （米/分钟）与时间x （分钟）之间的函数关系式； （2）第一颗弹珠弹出1分钟后，弹出第二颗弹珠，第二颗弹珠的运行情况与第一颗相同，直接写出第二颗弹珠的速度2y （米/分钟）与弹出第一颗弹珠后的时间x （分钟）之间的
函数关系式；
（3）当两颗弹珠同时在轨道上时，第____分钟末两颗弹珠的速度相差最大，最大相差______；
（4）判断当两颗弹珠同时在轨道上时，是否存在某时刻速度相同？请说明理由，并指出可以通过解哪个方程求出这一时刻．
4．如图，在等边ABC ?中，延长AB 至点D ，延长AC 交BD 的中垂线于点E ，连接
BE ，DE ．
（1）如图1，若310DE =，23BC =，求CE 的长；
（2）如图2，连接CD 交BE 于点M ，在CE 上取一点F ，连接DF 交BE 于点N ，且
DF CD =，求证：12
AB EF =；
（3）在（2）的条件下，若45AED ∠=?直接写出线段BD ，EF ，ED 的等量关系
5．如图，90EOF ∠=?，矩形ABCD 的边BA 、BC 分别在OF 、OE 上，4AB =，
3BC =，矩形ABCD 沿射线OD 方向，以每秒1个单位长度的速度运动．同时点P 从点A 出发沿折线AD DC -以每秒1个单位长度的速度向终点C 运动，当点P 到达点C 时，矩形ABCD 也停止运动，设点P 的运动时间为()t s ，PDO △的面积为S ．
（1）分别写出点B 到OF 、OE 的距离（用含t 的代数式表示）； （2）当点P 不与矩形ABCD 的顶点重合时，求S 与t 之间的函数关系式；
（3）设点P 到BD 的距离为h ，当1
5
h OD =
时，求t 的值； （4）若在点P 出发的同时，点Q 从点B 以每秒4
3
个单位长度的速度向终点A 运动，当点
Q 停止运动时，点P 与矩形ABCD 也停止运动，设点A 关于PQ 的对称点为E ，当
PQE 的一边与CDB △的一边平行时，直接写出线段OD 的长．
6．（1）阅读理解：
如图①，在ABC 中，若8AB =，5AC =，求BC 边上的中线AD 的取值范围． 可以用如下方法：将ACD 绕着点D 逆时针旋转180?得到EBD △，在ABE △中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD 的取值范围是______； （2）问题解决：
如图②，在ABC 中，D 是BC 边上的中点，DE DF ⊥于点D ，DE 交AB 于点E ，
DF 交AC 于点F ，连接EF ，求证：BE CF EF +>； （3）问题拓展：
如图③，在四边形ABCD 中，180B D ∠+∠=?，CB CD =，100BCD ∠=?，以C 为顶点作一个50?的角，角的两边分别交AB 、AD 于E 、F 两点，连接EF ，探索线段
BE ，DF ，EF 之间的数量关系，并说明理由．
7．如图①，四边形ABCD 中，//,90AB CD ADC ∠=?．
（1）动点M 从A 出发，以每秒1个单位的速度沿路线A B C D →→→运动到点D 停止，设运动时间为a ，AMD ?的面积为,S S 关于a 的函数图象如图②所示，求AD CD 、的长．
（2）如图③动点P 从点A 出发，以每秒2个单位的速度沿路线A D C →→运动到点C 停止，同时，动点Q 从点C 出发，以每秒5个单位的速度沿路线C D A →→运动到点A 停止，设运动时间为t ，当Q 点运动到AD 边上时，连接CP CQ PQ 、、，当CPQ ?的面积为8时，求t 的值．
8．∠MON=90°，点A，B分别在OM、ON上运动（不与点O重合）．
（1）如图①，AE、BE分别是∠BAO和∠ABO的平分线，随着点A、点B的运动，
∠AEB=°
（2）如图②，若BC是∠ABN的平分线，BC的反向延长线与∠OAB的平分线交于点D
①若∠BAO=60°，则∠D=°．
②随着点A，B的运动，∠D的大小会变吗？如果不会，求∠D的度数；如果会，请说明理由．
（3）如图③，延长MO至Q，延长BA至G，已知∠BAO，∠OAG的平分线与∠BOQ的平分线及其延长线相交于点E、F，在△AEF中，如果有一个角是另一个角的3倍，求∠ABO 的度数．
9．如图，平面上存在点P、点M与线段AB．若线段AB上存在一点Q，使得点M在以PQ 为直径的圆上，则称点M为点P与线段AB的共圆点．
已知点P（0，1），点A（﹣2，﹣1），点B（2，﹣1）．
（1）在点O（0，0），C（﹣2，1），D（3，0）中，可以成为点P与线段AB的共圆点的是；
（2）点K 为x 轴上一点，若点K 为点P 与线段AB 的共圆点，请求出点K 横坐标x K 的取值范围；
（3）已知点M （m ，﹣1），若直线y ＝1
2
x +3上存在点P 与线段AM 的共圆点，请直接写出m 的取值范围．
10．如图，抛物线2
y x bx c =-++与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，且点
B 与点
C 的坐标分别为()3,0B ，()0,3C ，点M 是抛物线的顶点．
（1）求二次函数的关系式．
（2）点P 为线段MB 上一个动点，过点P 作PD x ⊥轴于点D ．若OD m =，PCD 的面积为S ．
①求S 与m 的函数关系式，写出自变量m 的取值范围． ②当S 取得最值时，求点P 的坐标．
（3）在MB 上是否存在点P ，使PCD 为直角三角形？如果存在，请直接写出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．
11．小明研究了这样一道几何题：如图1，在ABC 中，把AB 绕点A 顺时针旋转
()0180a a ?<
180a β+=?时，请问AB C ''△边B C ''上的中线AD 与BC 的数量关系是什么？以下是
他的研究过程：
特例验证：（1）①如图2，当ABC 为等边三角形时，猜想AD 与BC 的数量关系为
AD =_______BC ；②如图3，当90BAC ∠=?，8BC =时，则AD 长为________． 猜想论证：（2）在图1中，当ABC 为任意三角形时，猜想AD 与BC 的数量关系，并
给予证明．
拓展应用：（3）如图4，在四边形ABCD ，90C ∠=?，120A B ∠+∠=?，
123BC =，6CD =，63DA =，在四边形内部是否存在点P ，使PDC △与PAB △之
间满足小明探究的问题中的边角关系？若存在，请画出点P 的位置（保留作图痕迹，不需要说明）并直接写出PDC △的边DC 上的中线PQ 的长度；若不存在，说明理由． 12．已知：如图，AB 为
O 的直径，弦CD AB ⊥垂足为E ，点H 为弧AC 上一点．连接
DH 交AB 于点F ，连接HA 、BD ，点G 为DH 上一点，连接AG ，HAG BDC ∠=∠． （1）如图1，求证：AG HD ⊥；
（2）如图2，连接HC ，若HC HF =，求证：HC HA =；
（3）如图3，连接HO 交AG 于点K ，若点F 为DG 的中点，HC 2HG =，求
KG
AK
的值．
13．（1）如图1，A 是⊙O 上一动点，P 是⊙O 外一点，在图中作出PA 最小时的点A ． （2）如图2，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，以点C 为圆心的⊙C 的半径是3.6，Q 是⊙C 上一动点，在线段AB 上确定点P 的位置，使PQ 的长最小，并求出其最小值． （3）如图3，矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝9，以D 为圆心，3为半径作⊙D ，E 为⊙D 上一动点，连接AE ，以AE 为直角边作Rt △AEF ，∠EAF ＝90°，tan ∠AEF ＝
1
3
，试探究四边形ADCF 的面积是否有最大或最小值，如果有，请求出最大或最小值，否则，请说明理由．
14．如图①，在△ABC 中，∠ACB =90°，∠B =30°，AC =1，D 为AB 的中点，EF 为△ACD 的中位线，四边形EFGH 为△ACD 的内接矩形（矩形的四个顶点均在△ACD 的边上）． （1）计算矩形EFGH 的面积；
（2）将矩形EFGH 沿AB 向右平移，F 落在BC 上时停止移动．在平移过程中，当矩形与
△CBD 重叠部分的面积为
3
16
时，求矩形平移的距离； （3）如图③，将（2）中矩形平移停止时所得的矩形记为矩形1111E F G H ，将矩形
1111E F G H 绕1G 点按顺时针方向旋转，当1H 落在CD 上时停止转动，旋转后的矩形记为矩
形2212E F G H ，设旋转角为α，求cos α的值．
15．如图，在平面直角坐标系中，Rt ABC △的斜边在AB 在x 轴上，点C 在y 轴上
90ACB ∠=?，OC 、OB 的长分别是一元二次方程2680x x -+=的两个根，且OC OB <．
（1）求点A 的坐标；
（2）D 是线段AB 上的一个动点（点D 不与点A ，B 重合），过点D 的直线l 与y 轴平行，直线l 交边AC 或边BC 于点P ，设点D 的横坐标为t ，线段DP 的长为d ，求d 关于
t 的函数解析式；
（3）在（2）的条件下，当1
2
d =
时，请你直接写出点P 的坐标．
16．如图，抛物线2
5y ax bx =+-交x 轴于点A 、B （A 在B 的左侧），交y 轴于点
C ，且OB OC =，()2,0A -．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P 为第四象限抛物线上一点，过点P 作y 轴的平行线交BC 于点D ，设P 点横坐标为t ，线段PD 的长度为d ，求d 与t 的函数关系式．（不要求写出t 的取值范围） （3）在（2）的条件下，F 为BP 延长线上一点，且45PFC ∠=?，连接OF 、CP 、
PB ，FOB ?的面积为
3600
169
，求PBC ?的面积． 17．如图所示，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A=90°，AB=12，BC=21，AD=16．动点P 从点B 出发，沿射线BC 的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q 同时从点A 出发，在线段AD 上以每秒1个单位长的速度向点D 运动，当其中一个动点到达端点时另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为t （秒）． （1）设△DPQ 的面积为S ，求S 与t 之间的关系式； （2）当t 为何值时，四边形PCDQ 是平行四边形？ （3）分别求出当t 为何值时，①PD=PQ ；②DQ=PQ ．
18．如图1，以AB 为直径作⊙O ，点C 是直径AB 上方半圆上的一点，连结AC ，BC ，过点C 作∠ACB 的平分线交⊙O 于点D ，过点D 作AB 的平行线交CB 的延长线于点E ．
（1）如图1，连结AD ，求证：∠ADC ＝∠DEC ． （2）若⊙O 的半径为5，求CA ?CE 的最大值． （3）如图2，连结AE ，设tan ∠ABC ＝x ，tan ∠AEC ＝y ， ①求y 关于x 的函数解析式； ②若
CB BE ＝4
5
，求y 的值． 19．如图，在等腰Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC=8，点D 在△ABC 外，连接AD 、BD ，且∠ADB=90°，AB 、CD 相交于点E ，AB 、CD 的中点分别是点F 、G ，连接FG ．
（1）求AB的长；
（2）求证：AD+BD=2CD；
（3）若BD=6，求FG的值．
20．发现来源于探究．小亮进行数学探究活动，作边长为a的正方形ABCD和边长为b的正方形AEFG（a>b），开始时，点E在AB上，如图1．将正方形AEFG绕点A逆时针方向旋转．
（1）如图2，小亮将正方形AEFG绕点A逆时针方向旋转，连接BE、DG，当点G恰好落在线段BE上时，小亮发现DG⊥BE，请你帮他说明理由．当a=3，b=2时，请你帮他求此时DG的长．
（2）如图3，小亮旋转正方形AEFG，点E在DA的延长线上，连接BF、DF．当FG平分
∠BFD时，请你帮他求a：b及∠FBG的度数．
（3）如图4，BE的延长线与直线DG相交于点P，a=2b．当正方形AEFG绕点A从图1开始，逆时针方向旋转一周时，请你帮小亮求点P运动的路线长（用含b的代数式表示）．21．问题一：如图①，已知AC＝160km，甲，乙两人分别从相距30km的A，B两地同时出发到C地．若甲的速度为80km/h，乙的速度为60km/h，设乙行驶时间为x（h），两车之间距离为y（km）．
（1）当甲追上乙时，x＝．
（2）请用x的代数式表示y．
问题二：如图②，若将上述线段AC弯曲后视作钟表外围的一部分，线段AB正好对应钟表上的弧AB（1小时的间隔），易知∠AOB＝30°．
（3）分针OD指向圆周上的点的速度为每分钟转动km，时针OE指向圆周上的点的速度为每分钟转动°；
（4）若从2：00起计时，求几分钟后分针与时针第一次重合？
22．（问题探究）课堂上老师提出了这样的问题：“如图①，在ABC 中，
108BAC ∠=?，点D 是BC 边上的一点，7224BAD BD CD AD ∠=?==，，，求AC 的
长”．某同学做了如下的思考：如图②，过点C 作CE AB ∥，交AD 的延长线于点E ，进而求解，请回答下列问题： （1）ACE ∠=___________度； （2）求AC 的长．
（拓展应用）如图③，在四边形ABCD 中，12075BAD ADC ∠=?∠=?，，对角线
AC BD 、相交于点E ，且AC AB ⊥，22EB ED AE ==，，则BC 的长为_____________．
23．（1）（发现）如图1，在ABC 中，//DE BC 分别交AB 于D ，交AC 于E ．已知
CD BE ⊥，3CD =，5BE =，求BC DE +的值．
思考发现，过点E 作//EF DC ，交BC 延长线于点F ，构造BEF ，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）．
请回答：BC DE +的值为______．
（2）（应用）如图3，在四边形ABCD 中，//AB CD ，AD 与BC 不平行且
AD BC =，对角线AC BD ⊥，垂足为O ．若3CD =，5AB =，DAB CBA ∠=∠，
求AC 的长．
（3）（拓展）如图4，已知平行四边形ABCD 和矩形ABEF ，AC 与DF 交于点G ，
FD FB =，且30BFD ∠=?，60EBF ∠=?，判断AC 与DF 的数量关系并证明．
24．在ABC ?中，若存在一个内角角度，是另外一个内角角度的n 倍（n 为大于1的正整数），则称ABC ?为n 倍角三角形．例如，在ABC ?中，80A ∠=?，75B ∠=?，
25C ∠=?，可知3∠=∠B C ，所以ABC ?为3倍角三角形．
（1）在ABC ?中，55A ∠=?，25B ∠=?，则ABC ?为________倍角三角形；
（2）若DEF ?是3倍角三角形，且其中一个内角的度数是另外一个内角的余角的度数的1
3
，求DEF ?的最小内角． （3）若MNP ?是2倍角三角形，且90M N P ∠<∠<∠
25．已知：菱形 ABCD ，点 E 在线段 BC 上，连接 DE ，点 F 在线段 AB 上，连接 CF 、DF ， CF 与 DE 交于点 G ，将菱形 ABCD 沿 DF 翻折，点 A 恰好落在点 G 上． （1）求证：CD=CF ；
（2）设∠CED = x ，∠DCF = y ，求 y 与 x 的函数关系式；（不要求写出自变量的取值范围） （3）在（2）的条件下，当 x =45°时，以 CD 为底边作等腰△CDK ，顶角顶点 K 在菱形 ABCD 的内部，连接 GK ，若 GK ∥CD ，CD =4 时，求线段 KG 的长．
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一、中考数学压轴题 1．C
解析：（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）2410
5
MN =． 【解析】 【分析】
（1）由垂径定理即可证明；
（2）利用等弧所对的圆周角相等和三角形外角性质即可得到结论；
（3）由∠MPC=∠NQD 可得：∠BGL=∠BLG ，BL=BG ，作BR ⊥MN ，GT ⊥AF ，HK ⊥AB ，证明：GH 平分∠AGT ，利用相似三角形性质和角平分线性质求得△AGT 三边关系，再求出HK 与GH ，OS ⊥MN ，再利用相似三角形性质求出OS ，利用勾股定理求MN 即可． 【详解】
解：()1证明：∵BC BD =，AB 为直径， ∴AB ⊥CD ∴∠AEC=90°；
()2连接,OM ON ，
∵点M 是弧AC 的中点，点N 是弧DF 的中点， ∴AM CM =，FN DN =， ∴,OM AC ON FD ⊥⊥， ∵OM=ON ， ∴M N ∠=∠，
∵90M MPC N NQB ∠+∠=∠+∠=?，
MPC NQD ∴∠=∠；
()3如图3，过G 作GT ⊥AF 于T ，过H 作HK ⊥AB 于K ，过B 作BR ⊥MN 于R ，过O 作
OS ⊥MN 于S ，连接OM ，设BG=m ，
∵△ABH 的面积等于8，AG=6 ∴HK=
16
6
m +， ∵BC BD =，
∴∠BAC=∠BFD ，由（2）得∠MPC=∠NQD ∴∠AGM=∠FLN ∴∠BGL=∠BLG ∴BL=BG ， ∵BR ⊥MN ∴∠ABR=∠FBR ∵GH ⊥MN ∴GH ∥BR ∴∠AGH=∠ABR ∵AB 是直径，GT ⊥AF ∴∠AFB=∠ATG=90° ∴GT ∥BF ， 又∵GH ∥BR ∴∠TGH=∠FBR ∴∠AGH=∠TGH ， 又∵HK ⊥AG ，HT ⊥GT ， ∴HT=HK=
16
6
m +， ∵FH=BG=m ， ∴FT=16(8)(2)
66
m m m m m +--
=++， ∵GT ∥BF ， ∴
AT AG FT BG
=， ∴6(8)(2)(6)m m AT m m +-=
+，616
m AH m
-=，48(6)(38)m KG TG m m ==+-，
∵222AT TG AG +=，
代入解得：m=4； ∴AB=10，OM=5，GK=24
5，HK=85
，OG=1
∴GH=
5
， ∵OS ⊥MN
∴∠OSG=∠GKH=90°，GH ∥OS ∴∠HGK=∠GOS ∴△HGK ∽△GOS ， ∴
OS GK
OG GH
=，
∴OS =
∴MG =
∴5
MN =； 【点睛】
本题考查了圆的性质，圆周角定理，垂径定理，相似三角形判定和性质，勾股定理等，综合性较强，尤其是第（3）问难度很大，计算量大，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确作出辅助线，运用数形结合的思想进行解题．
2．E
解析：（1）详见解析；（2）52r =，52
AC =；（3）2AG AD CD =+，理由详见解析． 【解析】 【分析】
（1）连接EF ，根据角平分线的定义、等腰三角形的性质得到∠FEA=∠EAC ，得到FE ∥AC ，根据平行线的性质得到∠FEB=∠C=90°，证明结论；
（2）连接FD ，设⊙F 的半径为r ，根据勾股定理列出方程，解方程即可求出半径的长，证
FEB ?∽AOD ?，求出BF 的长，再证BFE ?∽BAC ?，即可求出AC 的长；
（3）过点F 作FR AC ⊥于点R ，得到四边形RCEF 是矩形，得到EF=RC=RD+CD ，根据垂
径定理解答即可． 【详解】
（1）如图，连接EF ，
∵AE 平分BAC ∠，
FAE CAE ∴∠=∠， FA FE =，
FAE FEA ∴∠=∠， FAE EAC ∴∠=∠， //FE AC ∴，
90FEB C ∴∠=∠=?， 又E 为⊙F 上一点， BC ∴是⊙F 的切线； （2）如图，连接FD ，
设⊙F 的半径为r ，
∵点A D 、的坐标分别为(0,1),(2,0)A D -，
1,2,1OA OD OF r ∴===-，
5AD ∴=
在Rt FOD ?中，由勾股定理得，222FD OF OD =+，
222(1)2r r ∴=-+，
解得52
r =
， 即⊙F 的半径为
52
， 90ODA OAD EBF OAD ∠+∠=∠+∠=?， ODA EBF ∴∠=∠，
90AOD FEB ∠=∠=?， ∴FEB ?∽AOD ?，
EF BF
OA DA ∴
=
，即2.515
=， 55BF ∴=
， 555
BA +∴=
， //EF AC ，
∴BFE ?∽BAC ?，
EF BF AC BA
∴=，即555
22555AC =+，
55
AC +∴=
（3）2AG AD CD =+．理由如下：
如图，过点F 作FR AC ⊥于点R ，则∠FRC=90°，
∵∠FEC=∠C=90°， ∴四边形RCEF 为矩形，
EF RC RD CD ∴==+， FR AD ⊥， AR RD ∴=，
1
2
EF RD CD AD CD ∴=+=
+， 22AG EF AD CD ∴==+． 【点睛】
本题考查的是切线的判定、垂径定理的应用、矩形的判定和性质，掌握切线的判定定理是解题的关键．
3．（1）212(02)
16(25)x x y x x ?≤≤?=?≤≤??；（2）2
20(01)2(1)(13)16(36)
1
x y x x x x ?
?≤≤?=-<≤???<≤-?；（3）第2分钟末两颗
弹珠速度相差最大，最大相差6米/分钟；（4）存在，理由详见解析 【解析】 【分析】
（1）将（1，2）代入2
1y ax =，得2a =，从而得到212y x =，再代入2x =求出
18y =，即可得到反比例函数解析式，即可得解；
（2）当01x ≤≤时，第二颗弹珠未弹出，故第二颗弹珠的解析式为20y =；再分别根据（1）中的结论，即可求出当13x <≤和36x <≤时第二颗弹珠的解析式；
（3）由图可知看出，前2分钟，弹珠的速度逐渐增大，则第2分钟末两颗弹珠速度相差最大，分别求出第2分钟末时两颗弹珠的速度，再相减即可的解；
（4）第2分钟末到第3分钟末，第一颗弹珠的速度由8米/分钟逐步下降到5
1
3
米/分钟，第二颗弹珠的速度由2米/分逐步上升到8米/分，故在此期间必定存在一时刻，两颗弹珠的速度相同．可以根据速度相等时列方程求得时刻． 【详解】
（1）当02x ≤≤时，将（1，2）代入2
1y ax =，得2a =，
212y x ∴=，
∵当2x =时，18y =， ∴当25x ≤≤时，116y x
=
， 1y ∴与x 的函数关系式为212(02)16(25)x x y x x
?≤≤?
=?≤≤??；
（2）当01x ≤≤时，第二颗弹珠未弹出， ∴第二颗弹珠的解析式为20y =；
当13x <≤时，第二颗弹珠的解析式为2
22(1)y x =-；
当36x <≤时，第二颗弹珠的解析式为216
1
y x =
-； ∴2y 与x 的函数关系式为2
20(01)2(1)(13)16(36)1
x y x x x x ?
?≤≤?=-<≤???<≤-?；
（3）由图可知看出，前2分钟，弹珠的速度逐渐增大， ∴第2分钟末两颗弹珠速度相差最大，
∵第一颗弹珠的速度为2
218222y x =?==米/分钟， 第二颗弹珠的速度为212
2(1)212y x =?==-米/分钟，
∴两颗弹珠的速度最大相差8-2=6米/分钟； （4）存在，理由如下：
第2分钟末到第3分钟末，第一颗弹珠的速度由8米/分钟逐步下降到51
3
米/分钟， 第二颗弹珠的速度由2米/分逐步上升到8米/分， 故在此期间必定存在一时刻，两颗弹珠的速度相同． 这个时刻可以通过解方程216
2(1)x x
=-求得． 【点睛】
本题考查了反比例函数和二次函数的应用．解题的关键是从图中得到关键性的信息，明确自变量的取值范围和图象所经过的点的坐标．
4．B
解析：（1）9CE =-2）详见解析；（3）1
32
BD DE EF =- 【解析】 【分析】
（1）过点B 作BH AC ⊥于点H ，分别求出BH ，BE ，根据勾股定理问题得解； （2）如图在FE 上取一点G ，使FG AC =，连接DG ，先证明
()ACD GFD SAS ??≌，再证明()ECB DGE AAS ??≌，问题得证；
（3）过点D 作AE 的垂线，构造出一个30，60?，90?的三角形和一个等腰直角三角形,
借助（2）的结论，设222EF AB AC x ===，ED =，通过解两个直角三角形，代
换x 和y 的关系，得出结论． 【详解】
解：（1）如图，过点B 作BH AC ⊥于点H ，
在等边ABC ?中∵BC =
∴AH HC ==3BH ==,
∵点E 在BD 的垂直平分线上，
∴BE DE ==，
在Rt BHE ?中9EH =
=
∴9CE EH HC =-=
（2）如图在FE 上取一点G ，使FG AC =，连接DG ∵DF CD = ∴FCD CFD ∠=∠ ∴ACD EFD ∠=∠ 在ACD ?和GFD ?中，
DF CD ACD EFD FG AC =??
∠=∠??=?
∴()ACD GFD SAS ??≌ ∴AD DG = ∴60A DGA ∠=∠=? ∴60A DGA ADG ∠=∠=∠=? 设EBD EDB α∠=∠= ∴120CBE α∠=?- 在ADE ?中
∴18060120AED αα∠=?-?-=?- ∴120AED CBE α∠=∠=?- 在ECB ?和DGE ?中
120AED CBE ECB ECD EB DE ∠=∠??
∠=∠=???=?
∴()ECB DGE AAS ??≌ ∴BC GE =
∴AB AC BC GE FG ====
1
2
AB EF =
（3）如图，设222EF AB AC x ===，DP=y ， 过点DP ⊥AE ，垂足为P ， ∵∠AED=45°, ∠A=60°, ∴2sin sin 45DP y ED y AED =
==∠?，23sin sin 60DP y y
AD A ===
∠?， ∴2
=
2
y DE , ∴BD=AD-AB =
2323
2161
222
y x DE EF DE EF -=-=-， 故答案为：61
2
BD DE EF =
-． 【点睛】
本题涉及知识点较多，设计新颖，综合性强，难度较大，根据题意添加适当辅助线，构造直角三角形或构造全等是解题关键．
5．B
解析：（1）35t ，
4
5t ；（2）当0＜t ＜3时，224655
S t t =--+；当3＜t ＜7时，23391052
S t t =+-；（3）7
5；（4）132，7713，477
【解析】 【分析】