七年级数学暑假班讲义(教师版) 第7讲.一元一次方程 - 基础班

第7讲一元一次方程

1等式与方程

一．等式

1. 等式的概念：含有等号的式子叫做等式．

在等式中，等号左、右两边的式子，分别叫做这个等式的左边、右边．

等式可以是数字算式，可以是公式、方程，也可以是用式子表示的运算律、运算法则． 2. 等式的性质：

（1） 等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等．

如果a b =，那么a c b c ±=±

（2） 等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等．

如果a b =，那么ac bc =；

如果(0)a b c =≠，那么a b c c

=. 注意：①在对等式变形过程中，等式两边必须同时进行．

②同时加或同时减，同时乘以或同时除以，不能漏掉某一边．

③等式变形过程中，两边同加或同减，同乘或同除以的数或整式必须相同．

④在等式变形中，以下两个性质也经常用到：

3. 等式的对称性，即：如果a b =，那么b a =．

4. 等式的传递性，即：如果a b =，b c =，那么a c =（又称为等量代换）．

5. 移项：把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项．

二．方程

方程的概念：含有未知数的等式叫做方程．

它有两层含义：① 方程必须是等式；② 等式中必须含有未知数．

【例题精选】

例1（2019秋?鹿邑县期末）下列选项中，不能由已知等式a ＝b 推出的是（ ）

A ．a +3x ＝b +3x

B ．a ﹣2＝b ﹣2

C ．ac ＝bc

D ．

【分析】根据等式的基本性质可判断选项是否正确．

【解答】解：A 、根据等式性质1，等式两边都加上3x ，即可得到a +3x ＝b +3x ，故这个选项不符合题意；

B 、根据等式性质1，等式两边都减去2，即可得到a ﹣2＝b ﹣2，故这个选项不符合题意；

C、根据等式性质2，等式两边都乘以c，即可得到ac＝bc，故这个选项不符合题意；

D、根据等式性质2，等式两边都除以m时，应加条件m≠0，故这个选项符合题意；

故选：D．

【点评】主要考查了等式的基本性质．解题的关键是掌握等式的基本性质．

等式性质1：等式的两边都加上或者减去同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式；

等式性质2：等式的两边都乘以或者除以同一个数（除数不为零），所得结果仍是等式．例2（2019秋?甘井子区期末）下列变形一定正确的是（）

A．若x＝y，则x﹣6＝y+6B．若x＝y，则3x﹣2＝3y﹣2

C．若2x＝2y+1，则x＝y+1D．若x2＝y2，则x＝y

【分析】根据等式是性质进行计算．

【解答】解：A、若x＝y，则x+6＝y+6，原变形错误，故本选项不符合题意；

B、若x＝y，则3x﹣2＝3y﹣2，原变形正确，故本选项符合题意；

C、若2x＝2y+1，则x＝y+，原变形错误，故本选项不符合题意；

D、若x2＝y2，则x＝y或x＝﹣y，原变形错误，故本选项不符合题意；

故选：B．

【点评】本题考查了等式的性质．解题的关键是掌握等式的性质：性质1、等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；

性质2、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．

【随堂练习】

1．（2019秋?石家庄期末）下列等式变形，符合等式性质的是（）

A．若2x﹣3＝7x，则2x＝7x﹣3

B．若3x﹣2＝x+1，则3x+x＝1+2

C．若﹣2x＝7，则x＝7+2

D．若﹣x＝1，则x＝﹣3

【解答】解：A、若2x﹣3＝7x，则2x＝7x+3，所以A选项错误；

B、若3x﹣2＝x+1，则3x﹣x＝1+2，所以B选项错误；

C、若﹣2x＝7，则x＝﹣，所以C选项错误；

D、若﹣x＝1，则x＝﹣3，所以D选项正确．

故选：D．

2．（2019秋?鄂城区期末）下列运用等式的性质变形不一定成立的是（）A．若a＝b，则a+6＝b+6B．若﹣3x＝﹣3y，则x＝y

C．若n+3＝m+3，则n＝m D．若a＝b，则＝

【解答】解：（A）若a＝b，则a+6＝b+6，故A正确；

（B）若﹣3x＝﹣3y，则x＝y，故B正确；

（C）若n+3＝m+3，则n＝m，故C正确；

（D）若c＝0时，则等式不成立，故D错误；

故选：D．

3．（2019秋?济南期末）下列说法中错误的是（）

A．若a＝b，则3﹣2a＝3﹣2b B．若a＝b，则ac＝bc

C．若ac＝bc，则a＝b D．若＝，则a＝b

【解答】解：A、在等式a＝b的两边同时乘以﹣2，然后再加上3，等式仍成立，即3﹣2a＝3﹣2b，故本选项不符合题意．

B、在等式a＝b的两边同时乘以c，等式仍成立，即ac＝bc，故本选项不符合题意．

C、当c＝0时，等式a＝b不一定成立，故本选项符合题意．

D、在等式＝的两边同时乘以c，等式仍成立，即a＝b，故本选项不符合题意．

故选：C．

2方程的解

一．方程的解：使方程中等号左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解．

1.只含有一个未知数的方程的解，也叫方程的根．

2.求解的过程就是解方程．

二．关于方程中的未知数和已知数：

1.已知数：一般是具体的数值，如50

x+=中（x的系数是1，是已知数．但可以不说．）5和0是已知数，如果方程中的已知数需要用字母表示的话，习惯上用a、b、

c、m、n等表示．

2. 未知数：是指要求的数，未知数通常用x 、y 、z 等字母表示．如：关于x 、y 的方

程2ax by c -=中，a 、2b -、c 是已知数，x 、y 是未知数．

【例题精选】

例1（2019秋?北碚区校级期末）方程8﹣3x ＝ax ﹣4的解是x ＝3，则a 的值是（ ）

A ．1

B ．﹣1

C ．﹣3

D ．3

【分析】把x ＝3代入方程计算即可求出a 的值．

【解答】解：把x ＝3代入方程得：8﹣9＝3a ﹣4，

移项合并得：3a ＝3，

解得：a ＝1．

故选：A ．

【点评】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．

例2 （2020春?仁寿县期中）已知x ＝1是方程

﹣＝k 的解，则k 的值

是（ ）

A ．4

B ．﹣

C ．

D ．﹣4 【分析】把x ＝1代入方程，即可得出一个关于k 的一元一次方程，求解即可．

【解答】解：把x ＝1代入方程得：﹣k ﹣

＝k ，

去分母得：﹣4k ﹣3＝8k ，

解得：k ＝﹣．

故选：B ．

【点评】本题考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，属于基础知识的考查，比较简单．

【随堂练习】

1．（2019秋?埇桥区期末）已知关于y 的方程﹣2y +a +7＝0的解是y ＝2，则a 的值是（ ）

A ．3

B ．11

C ．﹣3

D ．﹣11 【解答】解：把y ＝2代入方程得：﹣4+a +7＝0，

解得：a ＝﹣3．

则a 的值为﹣3．

故选：C ．