(完整word)指数函数知识点总结,推荐文档

指数函数

（一）指数与指数幂的运算

1．根式的概念：一般地，如果a x n

=，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N *

． 负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作00=n 。 当n 是奇数时，a a n n =，当n 是偶数时，???<≥-==)

0()

0(||a a a a a a n n

2．分数指数幂

正数的分数指数幂的意义，规定：

)

1,,,0(*>∈>=n N n m a a a

n m n

m )1,,,0(1

1*>∈>=

=

-

n N n m a a a

a

n

m

n

m n

m

0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 3．实数指数幂的运算性质

（1）r

a ·s

r r

a

a += ),,0(R s r a ∈>；

（2）rs

s r a a =)( ),,0(R s r a ∈>； （3）

s

r r a a ab =)( ),,0(R s r a ∈>．

（二）指数函数及其性质

1、指数函数的概念：一般地，函数)1,0(≠>=a a a y x

且叫做指数函

数，其中x 是自变量，函数的定义域为R ．

注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1． 2

注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出：

（1）在[a ，b]上，)1a 0a (a )x (f x

≠>=且值域是)]b (f ),a (f [或)]a (f ),b (f [

（2）若0x ≠，则1)x (f ≠；)x (f 取遍所有正数当且仅当R x ∈；

（3）对于指数函数)1a 0a (a )x (f x ≠>=且，总有a )1(f =；

指数函数·例题解析

【例1】求下列函数的定义域与值域：

(1)y 3

(2)y (3)y 12x

＝＝＝-+---21

3321x x

解 (1)定义域为x ∈R 且x ≠2．值域y ＞0且y ≠1． (2)由2x+2－1≥0，得定义域{x|x ≥－2}，值域为y ≥0． (3)由3－3x-1≥0，得定义域是{x|x ≤2}，∵0≤3－3x －1＜3，

∴值域是≤＜．0y 3

练习：（1）4

12-=x y ； （2）||

2()3

x y =； （3）12

41

++=+x x y ；

【例2】指数函数y ＝a x ，y ＝b x ，y ＝c x ，y ＝d x 的图像如图2．6－2所示，则a 、b 、c 、d 、1之间的大小关系是 [ ]

A ．a ＜b ＜1＜c ＜d

B ．a ＜b ＜1＜d ＜c

C ． b ＜a ＜1＜d ＜c

D ．c ＜d ＜1＜a ＜b

解 选(c)，在x 轴上任取一点(x ，0)， 则得b ＜a ＜1＜d ＜c ． 练习：指数函数① ②

满足不等式

,则它们的图象是

( ).

【例3】比较大小：

(1)2(2)0.6

、、、、的大小关系是：．

2481632

358945

12--()

(3)4.54.1________3.7

3.6

解(1)y 221()x ∵，，，，，函数＝，＞，该函数在－∞，＋∞上是增函数，又＜＜＜＜，∴＜＜＜＜．22224282162133825491

2

28416212

313

525

838

949

3859=====

解 (2)0.6110.6∵＞，＞，

∴＞．

----

45

12

451

232

32

()() 解 (3)借助数4.53.6打桥，利用指数函数的单调性，4.54.1＞4.53.6，作函数y 1＝4.5x ，y 2＝3.7x 的图像如图2．6－3，取x ＝3.6，得4.53.6＞3.73.6 ∴ 4.54.1＞3.73.6．

说明 如何比较两个幂的大小：若不同底先化为同底的幂，再利用指数函数的单调性进行比较，如例2中的(1)．若是两个不同底且指数也不同的幂比较大小时，有两个技巧，其一借助1作桥梁，如例2中的(2)．其二构造一个新的幂作桥梁，这个新的幂具有与4.54.1同底与3.73.6同指数的特点，即为4.53.6(或3.74.1)，如例2中的(3)． 练习： （1）1.7

2.5

与 1.73

( 2 )0.1

0.8

-与0.2

0.8

-

( 3 ) 1.7

0.3

与 0.9

3.1

（４）

5

.31

.2和

7

.20

.2

【例4】解

比较大小与＞且≠，＞．

当＜＜，∵＞，

＞，

a

a a a

a

n n n n n n n

n n n

n n -+-+-=-111

1

111

1(a 0a 1n 1)0a 1n 10()

()

∴＜，∴＜当＞时，∵＞，＞，∴＞，＞a a a n n a

a a n n n n n n n n n n n n 1111

1111

1

1()

()

()--+--+-1a 1n 101

【例5】作出下列函数的图像：

(1)y (2)y 22x ＝＝－，()1

2

1

x +

(3)y ＝2|x-1| (4)y ＝|1－3x |

解 (1)y (264)(0)(11)y 1＝的图像如图．－，过点，及－，．

是把函数＝的图像向左平移个单位得到的．

()()121

212

1x x

+ 解 (2)y ＝2x －2的图像(如图2．6－5)是把函数y ＝2x 的图像向下平移2个单位得到的．

解 (3)利用翻折变换，先作y ＝2|x|的图像，再把y ＝2|x|的图像向右平移1个单位，就得y ＝2|x-1|的图像(如图2．6－6)．

解 (4)作函数y ＝3x 的图像关于x 轴的对称图像得y ＝－3x 的图像，再把y

＝－3x 的图像向上平移1个单位，保留其在x 轴及x 轴上方部分不变，把x 轴下方的图像以x 轴为对称轴翻折到x 轴上方而得到．(如图2．6－7)

【例8】已知＝＞f(x)(a 1)a a x x -+1

1

(1)判断f(x)的奇偶性； (2)求f(x)的值域；(3)

证明f(x)在区间(－∞，＋∞)上是增函数．

解 (1)定义域是R ．

f(x)f(x)－＝＝－，a a a a x x x x ---+=--+111

1

∴函数f(x)为奇函数．

(2)y y 1a 1y 1x 函数＝，∵≠，∴有＝＞－＜＜，a a y y y y x x -+---=+-?11

111

10

即f(x)的值域为(－1，1)．

(3)设任意取两个值x 1、x 2∈(－∞，＋∞)且x 1＜x 2．f(x 1)－f(x 2)

＝＝，∵＞，＜，＜，＋＋＞，∴＜，故在上为增函数．

a a a a a a a a a a a a x l x l x x x l x x l x

x x x x -+-+--++112121*********()

()()a 1x x (1)(1)0f(x )f(x )f(x)R 1212

单元测试题

一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分）

1、化简1111132168421212121212-----???

???????+++++ ???????????????????，结果是（ ）

A 、1

1

321122--?

?- ?

??

B 、1

13212--??- ??? C 、1

3212-- D 、1321122-??- ???

2

、44

等于（ ）

A 、16a

B 、8a

C 、4a

D 、2

a

3、若1,0a b ><,且b b

a a -+=则

b b a a --的值等于（ ）

A 、6

B 、2±

C 、2-

D 、2

4、函数(

)

2

()1x

f x a =-在R 上是减函数，则a 的取值范围是（ ）

A 、1>a

B 、2

C 、a <、1a <<5、下列函数式中，满足1

(1)()2

f x f x +=的是( ) A 、

1(1)2x + B 、1

4

x + C 、2x D 、2x - 6、下列2

()(1)x x

f x a a -=+

g 是（ ）

A 、奇函数

B 、偶函数

C 、非奇非偶函数

D 、既奇且偶函数

7、已知,0a b ab >≠，下列不等式（1）2

2

a b >；(2)22a b

>；(3)b

a 11<；(4)11

3

3a b >；

(5)1133a b

????

< ? ?????

中恒成立的有（ ）

A 、1个

B 、2个

C 、3个

D 、4个

8、函数21

21

x x y -=+是（ ）

A 、奇函数

B 、偶函数

C 、既奇又偶函数

D 、非奇非偶函数 9、函数1

21

x y =

-的值域是（ ） A 、(),1-∞ B 、()(),00,-∞+∞U C 、()1,-+∞ D 、()(,1)0,-∞-+∞U 10、已知01,1a b <<<-,则函数x

y a b =+的图像必定不经过（ ） A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限 11、2()1()(0)21x

F x f x x ??

=+

?≠ ?-??

是偶函数，且()f x 不恒等于零，则()f x ( ) A 、是奇函数 B 、可能是奇函数，也可能是偶函数 C 、是偶函数 D 、不是奇函数，也不是偶函数

12、一批设备价值a 万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低%b ，则n 年后这批设备的价值为（ ）

A 、(1%)na b -

B 、(1%)a nb -

C 、[1(%)]n

a b - D 、(1%)n

a b - 二、填空题：（本题共4小题，每小题4分，共16分，请把答案填写在答题纸上）

13、若103,104x

y

==，则10

x y

-= 。

14、函数2281

1(31)3x x y x --+??=- ?

??

≤≤的值域是 。

15、函数2

233x y -=的单调递减区间是 。 16、若21

(5

)2x f x -=-，则(125)f = 。

三、解答题：（本题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17、设01a <<，解关于x 的不等式22

232

223

x x x

x a a -++->。

18、已知[]3,2x ∈-，求11

()142x x

f x =-+的最小值与最大值。

19、设a R ∈，22

()()21

x x a a f x x R ?+-=

∈+，试确定a 的值，使()f x 为奇函数。

20、已知函数225

13x x y ++??= ???

，求其单调区间及值域。

21、若函数4323x

x

y =-+g 的值域为[]1,7，试确定x 的取值范围。

22、已知函数1

()(1)1x x

a f x a a -=>+ (1)判断函数的奇偶性； (2)求该函数的值域；(3)证明()f x 是R 上的增函数。

指数与指数函数同步练习参考答案

一、

二、13、

4

14、991,33?????? ???????

，令22

2812(2)9U x x x =--+=-++，∵ 31,99x U -∴-≤≤≤≤,

又∵13U y ??= ???为减函数，∴9

9133y ??

???

≤≤。

15、()0,+∞，令2

3,23U

y U x ==-， ∵3U

y =为增函数，∴2

233x y -=的单调递减区间

为()0,+∞。

16、 0，3221

(125)(5)(5

)220f f f ?-===-=

三、17、∵01a <<,∴ x

y a =在(),-∞+∞上为减函数，∵ 22232

223

x x x x a

a

-++->, ∴

222322231x x x x x -+<+-?>

18、2

21113()142122124224x x x x x x x f x -----?

?=-+=-+=-+=-+ ??

?,

∵[]3,2x ∈-, ∴1

284

x -≤≤. 则当12

2x

-=

,即1x =时,()f x 有最小值4

3；当28x

-=,即3x =-时，()f x 有最大值57。 19、要使()f x 为奇函数，∵ x R ∈,∴需()()0f x f x +-=,

∴1222(),()212121x x x x f x a f x a a +-=--=-=-+++,由1

2202121x x

x a a +-+-=++,得2(21)

2021

x x a +-=+,1a ∴=。

20、令13U

y ??= ???

,2

25U x x =++，则y 是关于U 的减函数，而U 是(),1-∞-上的减函数，

()1,-+∞上的增函数，∴225

13x x y ++??

=

???

在(),1-∞-上是增函数，而在()1,-+∞上是减函

数，又∵2

2

25(1)44U x x x =++=++≥, ∴225

13x x y ++??

= ?

??

的值域为410,3??

?? ? ? ?????

。

21、243232

323x x x

x y =-?+=-?+，依题意有

22(2)3237(2)3231x x x x ?-?+??-?+??≤≥即1242221

x

x x

?-????或≤≤≥≤，∴ 224021,x x

<或≤≤≤ 由函数2x

y =的单调性可得(,0][1,2]x ∈-∞U 。

22、（1）∵定义域为x R ∈,且11()(),()11x x

x

x

a a f x f x f x a a -----===-∴++是奇函数； （2）1222()1,11,02,111

x x

x x x a f x a a a a +-==-+>∴<<+++∵即()f x 的值域为()1,1-；

（3）设12,x x R ∈,且12x x <，

1212

1212

121122()()011(1)(1)

x x x x x x x x a a a a f x f x a a a a ----=-=<++++(∵分母大于零，且12x x a a <) ∴()f x 是R 上的增函数。