空间向量测试题

空间向量练习

1．在空间直角坐标系中，点()123P ，，关于平面xoz 对称的点的坐标是 A. ()123-，， B. ()123--，， C. ()123--，， D. ()123--，，

2．若直线l 的一个方向向量()2,2,2a =-v ，平面α的一个法向量为()1,1,1b =-v ，则 （ ）

A. l ⊥α

B. l l ?α D. A、C 都有可能 3．以下四组向量中，互相平行的有（ ）组．

（1）()1,2,1a =v ， ()1,2,3b =-v ．（2）()8,4,6a =-v

， ()4,2,3b =-v ． （3）()0,1,1a =-v ， ()0,3,3b =-v ．（4）()3,2,0a =-v ， ()4,3,3b =-v ．

A. 一

B. 二

C. 三

D. 四

4．若ABCD 为平行四边形，且()4,1,3A ， ()2,5,1B -， ()3,7,5C --，则顶点D 的坐标为（ ）．

A. ()1,13,3--

B. ()2,3,1

C. ()3,1,5-

D. 7,4,12??

- ???

5．如上图，向量1e u v ， 2e u u v ， a v 的起点与终点均在正方形网格的格点上，则向量a v

用基底1e u v ， 2e u u v 表

示为( )

A. 1e u v ＋2e u u v

B. 21e u v －2e u u v

C. －21e u v ＋2e u u v

D. 21e u v ＋2e u u v

6．已知A (4，6)， 33,2B ??- ???，有下列向量：①()14,9a =v ；②97,2b ??= ???v ；③14,33c ??

=-- ???v ；

④()7,9c =-v

其中，与直线AB 平行的向量( )

A. ①②

B. ①③

C. ①②③

D. ①②③④

7．已知三棱锥，点分别为的中点，且，用，，表

示，则等于( ) A.

B.

)

C. D.

8．已知向量()()2,1,3,4,2,a b x =-=-r r

，使a ⊥r b r 成立的x 与使//a r b r 成立的x 分别为（ ）

A.

10,63- B. -10,63- 6 C. -6, 10,63- D. 6,- 10

,63

- 9．若a r =(2，3)， b r =()4,1y -+，且a r ∥b r

，则y =（ ）

A. 6

B. 5

C. 7

D. 8

10．已知向量()()2,1,2,2,2,1a b =-=r r

，以a b r r 、为邻边的平行四边形的面积（ ）

A. 65

B.

65

C. 4

D. 8 11．如图所示，空间四边形OABC 中， ,,OA a OB b OC c ===u u u r u u u r u u u r

，点M 在OA 上，且

2OM MA =u u u u r u u u r ， N 为BC 中点，则MN u u u u r

等于（ ）

A.

121232a b c -+ B. 211322a b c -++ C. 112223a b c +- D. 221332

a b c +- 12．在空间直角坐标系O xyz -中，点()1,2,2-关于点()1,0,1-的对称点是 （ ） A. ()3,2,4-- B. ()3,2,4-- C. ()3,2,4-- D. ()3,2,4-

13．已知向量()()1,1,0,1,0,2a b ==-r r

,且ka b +r r 与a r 互相垂直，则k =（ ）

A.

13 B. 12 C. 13- D. 12

- 14．设一球的球心为空间直角坐标系的原点，球面上有两个点，其坐标分别为

，

，则( ) A. 18 B. 12 C. D.

15．已知，点在轴上，，则点的坐标是（ ） A. B. C. 或 D.

16．与向量a r

＝（0，2，－4）共线的向量是（ ） A ．（2，0，－4） B ．（3，6，－12） C ．（1，1，－2） D ．10,,12

?

?- ??

?

17．若向量()1,2,0a =r ，()2,0,1b =-r

，则

A ．cos ,120a b ?

=r r B ．a b ⊥r r C ．a b r r ∥ D ．a b =r r

18．若向量、的坐标满足，，则·等于A ． B ． C ． D ． 19．已知点()2,3,6A -与点()3,5,4B ，则AB 的中点坐标为__________．

20．在如图所示的长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，已知A 1(a,0，c )，C (0，b,0)，则点B 1的坐标为________．

21．如图所示的长方体中，

，

，

，则

的中点的坐标

为__________，___________．

22．点()2,1,3P -在坐标平面xOz 内的投影点坐标为______________； 23．已知向量

，，且

与互相垂直，则的值是_______．

24．已知(3,1,0),(,0,1),, 60,k k =-==o

的夹角为则a b a b .

25．若19(0,2,)8A ，5(1,1,)8B -，5

(2,1,)8

C -是平面内的三点，设平面的法向量(,,)a x y z =r ，则

::x y z = ．

26．已知向量)2,1,2(-=a ,),2,4(m b -=,且b a ⊥，则m 的值为

27．在空间坐标系中，已知三点A （1，0，0），B （0，1，0），C （0，0，1），则平面ABC 的单位法向量是 ．

28．若向量)2,3,6(),4,2,4(-=-=b a ρρ，则

()()

=+?-b a b a ρρ

ρρ22_______________. 29．如图，在一个60°的二面角的棱上有两个点A ，B ，AC ，BD 分别是在这个二面角的两个半平面

内垂直于AB 的线段，且AB=4，AC=6，BD=8，则CD 的长为_________。

30．如图建立空间直角坐标系，已知正方体的棱长为.

（1）求正方体各顶点的坐标； （2）求

的长度.

31．（2015秋?河西区期末）已知． （1）若，求实数k 的值 （2）若，求实数k 的值．

32．P 是平面ABCD 外的点，四边形ABCD 是平行四边形，),0,24(),412(，，，+--= )121(--=，，,求证PA 垂直平面ABCD .

33．长方体1111ABCD A B C D -中，12,1,1AB BC AA ===

（1）求直线11AD B D 与所成角；

（2）求直线111AD B BDD 与平面所成角的正弦.

34．（本大题12分）如图，在棱长为ɑ的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 分别是CB 、CD 、CC 1的中点．

（1）求直线1A C 与平面ABCD 所成角的正弦的值； （2）求证：平面A B 1D 1∥平面EFG ； （3）求证：平面AA 1C⊥面EFG ．

F

E

C1 D1

B1

D

B

35．如图四棱锥ABCD S =中，AD SD ⊥，CD SD ⊥，E 是SC 的中点，O 是底面正方形ABCD 的中心，6==SD AB 。 （Ⅰ）求证：//EO 面SAD ；

（Ⅱ）求直线EO 与平面ABCD 所成的角。

36．在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB=2，BC=B 1B=1，M 、N 分别是AD 、DC 的中点. （1）求证：MN

37．（本小题满分13分）已知1111ABCD A B C D -是边长为1的正方体，求：

（Ⅰ）直线1AC 与平面11AA B B 所成角的正切值； （Ⅱ）二面角11B AC B --的大小．

38．在边长是2的正方体ABCD -1111A B C D 中， ,E F 分别为1,AB A C 的中点. 应用空间向量方法求解下列问题.

（1）求EF 的长；

（2）证明： //EF 平面11AA D D ； （3）证明: EF ⊥平面1A CD .

A

B

C

D

O

E

S

参考答案

1．A

【解析】在空间直角坐标系中，两点关于平面xoz 对称，竖坐标互为相反数，点的坐标是点

()123P ，，关于平面xoz 对称的点的坐标是()1,2,3-，选A.

2．A

【解析】直线l 的一个方向向量()2,2,2a =-v

，平面α的一个法向量为()1,1,1b =-v

且2a b =v v ，即//a b v

v .

所以l ⊥α. 故选A. 3．B

【解析】若a

→与b

→平行，则存在实数λ使得a

b

λ→→＝

经过验证，只有()22a

b

→=→， ()33b

a

→=-→,两组满足条件。

故答案选B 4．A

【解析】设()000,,D x y z ，

∵()24,51,13AB =----u u u v

()2,6,2=---．

()0003,7,5DC x y z =-----u u u v

，

在平行四边形ABCD 中，

AB DC P u u u v u u u v ，

∴

000

375262x y z -----==

---①， 又∵()()32,75,51BC =------u u u v

()5,12,6=--，

()0004,1,3AD x y z =---u u u v

，

BC AD P u u u v u u u v ，

∴

000413

5126

x y z ---==

--②， 联立①②，

解出： 01x =-， 013y =， 03z =-．

故选A ． 5．C

【解析】以向量1e v 的起点为原点，向量1e v

所在直线为x 轴建立平面直角坐标系。设正方形的边长为1，则()()()121,0,1,1,3,1e e a ==-=-v v v

。

设12a xe ye =+v v v

，则()()()()3,11,01,1,x y x y y -=+-=-， ∴3{

1x y y -=-=，解得2{ 1

x y =-=，所以122a e e =-+v v v

。选C 。

点睛：由平面向量基本定理可知，在确定了平面的基底后，平面内的任一向量都可以用这组

基底唯一表示，但并没有给出分解的方法。常用的方法有两种：（1）根据向量的线性运算，将已知向量向着基底转化；（2）先确定向量和基底的坐标，根据待定系数法建立方程组，通过代数方法求解。 6．C

【解析】由题意可得97,2AB ??

=-- ??

?u u u v 。

由向量共线的条件可以判断向量,,a b c v v v 与向量AB u u u v 平行，即向量,,a b c v v v

与直线AB 平行。选

C 。 7．

D 【解析】 ，故选D.

8．A

【解析】向量()()2,1,3,4,2,a b x =-=-r r

,

若a ⊥r b r ,则823?

1030a b x x =--+=-+=n r r ，解得10

3

x =. 若//a b r r ，则42213

x -==-，解得6x =-.

故选A. 9．C

【解析】由a r ∥b r ， a r

=(2，3)， b r =()4,1y -+，得()2144y -+=?,解得7y =.

故选C. 10．A

【解析】由题意， ()2

222224

cos ,9

212221a b a b a b ???==

=+-+?++r r r r r r ，则65

sin ,a b ??=

r r ，

所

以

平

行

四

边

形

的

面

积

为

165

2sin ,33652S a b a b =????=??=r r r r ，故选A.

11．B

【解析】由题意，以,,OA OB OC u u u r u u u r u u u r

为基底建立空间向量，则

()

12212112332322

MN ON OM OB BC OA OA OB OC OB a b c

=-=+-=-++-=-++u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r r r r ，故选B.

12．A

【解析】设所求点为(),,x y z ，则12,20,22x y z +=-+=-=， 解得3,y 2,z 4x =-=-=，故选A. 13．B

【解析】根据题意， ()()()1,1,01,0,21,,2ka b k k k +=+-=-r

r ，因为()

ka b a +⊥r r r ，所

以()

·

0ka b a +=r r r ，则()111020k k ?-+?+?=，即1

2

k =，故选B 14．C 【解析】 ∵两

点

的

坐

标

分

别

是

，

∴，故选C.

15．C 【解析】 依题意设，根据

，解得

，所以选.

16．D 【解析】

试题分析：()10,2,440,,12

??-=- ??

?Q ，所以向量()0,2,4-与10,,12??

- ???

共线 考点：向量共线 17．D 【解析】

试题分析：因为向量()1,2,0a =r ，()2,0,1b =-r ，所以1(2)20012a b ?=?-+?+?=-r r

，

排除B ；

222222

1205,|(2)015a b =++==-++=r r a b =r r ，应选D ．

1(2)20012

cos ,5||||

a b a b ?-+?+?==-r r u u r r ，A 错，如果a /则存在实数λ使a b λ=r r ，显然

不成立，所以答案为D ． 考点：向量的有关运算． 18．B 【解析】 试

题

分

析

：

因

为

，，

所

以

(1,2,0),(3,1,2),

a b =-=-r r

所以

1(3)(2)120 5.a b ?=?-+-?+?=-r r

考点：本小题注意考查向量的坐标运算.

点评：向量的坐标运算是高考经常考查的内容，难度一般较低，灵活运用公式计算即可. 19．1,4,52??

???

【解析】AB 中点为233546,,2

22-+++??

???． 20．(a ，b ，c )

【解析】∵在如图所示的长方体1111ABCD A B C D - 中，已知1000A a c C b （，

，），（，，）， ∴可以得知1AD a DC b DD c ===，， ， 又∵长方体1111ABCD A B C D - ， ∴可以得知1B 的坐标为a b c （，，） 故答案为a b c （，，）． 21．

【解析】由图可知：.

为

的中点，由中点坐标公式可得

. 由两点间距离公式有：

故答案为：.

.

22．()2,0,3

【解析】设所求的点为Q （x ，y ，z ），

P 、Q 两点的横坐标和竖坐标相等，而纵坐标为0， 即x=2，y=0，z=3，得Q 坐标为（2,0,3） 23．

【解析】由已知，据向量坐标的线性运算可得

，

，

两向量互相垂直，则数量积为．则有

，解得

．故本题填

．

242 【解析】

试题分析：有已知可得2

2,1a b k ==+r r 2221cos 6032

a b k k k ∴=+=∴=o r r g

考点：向量的数量积运算 25．2：3：（-4） 【解析】

试题分析：由得

因为为平面的法向量，则有，即()

()(

)

()71,3,,,0472,1,,,0

4x y z x y z ?--?=???---?=?

由向量的数量积的运算法则有73047204

x y z x y z ?--=???---=?解得31,42y z x z =-=- 所以()()()

()234::::2:3:4444z z z x y z =--=- 故正确答案为()2:3:4- 考点：空间向量的法向量．

26．5 【解析】

试题分析：由题可知：),2,4(),2,1,2(m b a -=-=ρρ

，且b a ρρ⊥，有

022)1()4(2=+?-+-?m ，即m=5．

考点：空间向量垂直的充要条件 27．333±??

. 【解析】

试题分析：三点A （1，0，0），B （0，1，0），C （0，0，1），

所以AB u u u v

=（-1，1，0）, AC u u u v =（-1，0，1）, 令平面ABC 的法向量为n v =（x ，y ，z ），

可得00

n AB n AC ??=???=??v u u u v v u u u v ，即y x z x =??

=?，∴x=y=z

∵平面ABC 的法向量为n v =（x ，y ，z ）为单位法向量，222

1x y z ∴++=，

解得x=y=z=3

±

, 故平面ABC 的单位法向量是333,,??± ? ???

. 考点：平面的法向量．

28．4 【解析】

试题分析：因为)2,3,6(),4,2,4(-=-=b a ρρ，所以()()

22a b a b -?+r r r r

=()()2(4,2,4)(6,3,2)(4,2,4)2(6,3,2)(2,7,10)(16,4,0)---?-+-=-?-=4. 考点：本题主要考查空间向量的坐标运算。

点评：简单题，利用空间向量的坐标运算公式，计算要细心。 29．217

【解析】∵在一个60°的二面角的棱上，

有两个点A 、B ，AC 、BD 分别是在这个二面角的两个半平面内垂直于AB 的线段， 且AB=4cm ，AC=6cm ，BD=8cm ，

()

22222222CD CA AB BD CA AB BD CA AB CA BD AB BD ∴=++=+++?+?+?u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v

0361664268cos12068=+++???=

217CD ∴=

故答案为217

30．（1）详见解析；（2）. 【解析】 试题分析：（1）根据空间坐标系的定义，易得各点的坐标；（2）要求空间中两点的距离，可直接利用空间两点的距离公式

求解出来.

试题解析：（1）正方体各顶点的坐标如下：

.

（2）解法一：.

解法二：∵，

在中，

，

∴

.

31．（1）；（2）．

【解析】 试题分析：（1）根据空间向量的坐标运算以及向量的共线定理，列出方程求出k 的值； （2）根据两向量垂直，数量积为0，列出方程求出k 的值． 解：（1）∵， ∴； 又， ∴， 解得；

（2）∵且， ∴，

即7（k ﹣2）﹣4（5k+3）﹣16（5﹣k ）=0， 解得．

考点：空间向量的数量积运算． 32． 【解析】

证明：?=-?-+?-+-?=?0)1()4(2)1()1(2垂直于, 即AP 垂直于AB .

?=?-+?+?-=?00)1(224)1(垂直于,

即AP 垂直于AD .

PA ∴垂直平面ABCD .

33．（1）直线11AD B D 与所成角为90°；（2 。 【解析】

试题分析：以D 为原点建系 1分

（1）11cos ,0AD B D =u u u u r u u u u r

3分

直线11AD B D 与所成角为90° 5分

（2）11(2,1,0)B BDD n =-r

平面的法向量为 7分

1sin |cos ,|5

n AD θ==r u u u u r 9分

所求角的正弦值为

5

10分 考点：立体几何中的角的计算，空间向量的应用。

点评：典型题，立体几何题，是高考必考内容，往往涉及垂直关系、平行关系、角、距离、体积的计算。在计算问题中，有“几何法”和“向量法”。利用几何法，要遵循“一作、二证、三计算”的步骤，利用空间向量，省去繁琐的证明，也是解决立体几何问题的一个基本思路。注意运用转化与化归思想，将空间问题转化成平面问题。

34．（1

）111

sin 3A A ACA AC ==

； （2）见解析；（3）见解析。 【解析】

试题分析：(1)因为⊥A A 1 平面ABCD,所以CA A 1∠为C A 1与平面ABCD 所成角, 然后解三角形求出此角即可.

（2）证明面面平行根据判定定理只须证明平面平面A B 1D 1内两条相交直线1AB 和11B D 分别平行于平面EFG 即可.在证明线面平行时又转化为证明线线平行.

(3)易证：BD ⊥平面AA 1C ，再证明EF （1）∵C A 1?平面ABCD=C ，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1

⊥A A 1 平面ABCD

∴AC 为C A 1在平面ABCD 的射影

∴CA A 1∠为C A 1与平面ABCD 所成角……….2分 正方体的棱长为a ∴AC=a 2，C A 1=a 3

11

1

sin 3A A ACA AC ==

………..4分 （2）在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1 连接BD ，1DD ∥B B 1，1DD =B B 1

1DD 1BB 为平行四边形

∴11B D ∥DB ∵E ，F 分别为BC ，CD 的中点 ∴EF ∥BD ∴EF ∥11B D …………3分 ∵EF ?平面GEF ，11B D ?平面GEF

∴11B D ∥平面GEF …………7分 同理1AB ∥平面GEF ∵11B D ?1AB =1B

∴平面A B 1D 1∥平面EFG ……………9分 （3）在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1∴⊥1AA 平面ABCD ∵EF ?平面ABCD

∴⊥1AA EF …………10分

∵ABCD 为正方形 ∴AC ⊥BD ∵EF ∥BD

∴AC ⊥ EF ………..11分

A AC AA =?1

∴EF ⊥平面AA 1C ∵EF ?平面EFG

∴平面AA 1C ⊥面EFG …………….12分.

考点：斜线与平面所成的角，线面垂直，面面垂直，面面平行的判定. 点评：斜线与平面所成的角就是斜线与它在这个平面内的射影所成的角，因而关键是找到它在这个平面内的射影.面面垂直（平行）证明要转化为证明线面垂直（平行）再转化为线线垂直（平行）. 35．（Ⅰ）证明：

SAD EO SAD AS AS EO 面面////??

??

?； 3分

（Ⅱ）解：

ABCD SD D CD AD CD SD AD

SD 面⊥???

?

??=?⊥⊥ 所以SAD ∠是SA 与面ABCD 所成角。 3分 在SAD ?中SD AD =，所以4

π

=

∠SAD ，

又AS EO //，所以EO 与平面ABCD 所成的角为

4

π

。 【解析】略2．（1）连结AC ，ΘM 、N 分别为AD 、DC 中点 ∴MN ∴∠Θ

5

2∴∠

2525

25??-+10

10

2

=

2（Ⅱ）过B 1作B 1E ⊥BC 1于E ，过E 作EF ⊥AC 1于F ，连接B 1F ；

∵AB ⊥平面B 1C 1CB ，?AB ⊥B 1E ?B 1E ?平面ABC 1?B 1E ?AC 1 ∴∠B 1FE 是二面角B ﹣AC 1﹣B 1的平面角 在RT△BB 1C 1中，B 1E=C 1E=

12

BC 1

=2，

在RT△ABC 1中，sin ∠BC 1

A=

1AB AC =

∴EF=C 1E?sin ∠BC 1

∴tan ∠B 1FE=

1B E

EF

=∴∠B 1FE=60°，即二面角B ﹣AC 1﹣B 1的大小为60°．

考点：线面角以及二面角的平面角及其求法.

38．（1（2）根据题意，关键是能根据向量法来得到1AD EF P 即可。 （3）对于题目中，则可以根据线面垂直的判定定理来的得到。

【解析】试题分析：(1)如图建立空间直角坐标系，分别求得11A A B C D E F 、、、、、、的坐标，计算EF 的长度； (2)由(1)，， 1AD EF ∴P ，由线面平行的判定定理可证；(3)，，

EF CD ∴⊥， 1EF A D ⊥，由线面平行的判定定理可证.

试题解析：(1)如图建立空间直角坐标系

()()()()()112,0,2,2,0,0,2,2,0,0,2,0,0,0,2A A B C D ===== ()()2,1,0,1,1,1E F ==

（2）

而11ADD A EF ?面

//EF ∴平面11AA D D

（3）

又1CD A D=D ?

EF ∴⊥平面1A CD .

考点：空间向量法. 视频