高中数学必修一集合习题大全含答案
《集合》
练习一
一、选择题:(每小题5分共60分) 1． 下列命题正确的有（ ）
（1）很小的实数可以构成集合；
（2）集合{}
1|2-=x y y 与集合(){}
1|,2-=x y y x 是同一个集合； （3）361
1,,,,0.5242
-
这些数组成的集合有5个元素； （4）集合(){}R y x xy y x ∈≤,,0|,是指第二和第四象限内的点集。
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
2． 若全集{}{}0,1,2,32U U C A ==且，则集合A 的真子集共有（ ）
A ．3个
B ．5个
C ．7个
D ．8个
3． 若集合}1,1{-=A ，}1|{==mx x B ，且A B A =?，则m 的值为（ ）
A ．1
B ．1-
C ．1或1-
D ．1或1-或0
4． 若集合{}
{
}
22
(,)0,(,)0,,M x y x y N x y x y x R y R =+==+=∈∈，则有（ ）
A ．M
N M =B ．M N N =C ．M N M =D ．M N =?
5． 方程组???=-=+9
12
2y x y x 的解集是（）A ．()5,4B ．()4,5-C ．(){}4,5-D ．(){}4,5-。 6． 下列式子中，正确的是（ ）
A ．R R ∈+
B ．{}Z x x x Z ∈≤?-,0|
C ．空集是任何集合的真子集
D ．{
}φφ∈ 7． 下列表述中错误的是（ ）
A ．若A
B A B A =? 则,B ．若B A B B A ?=，则
C ．)
(B A A
)(B A D ．()()()B C A C B A C U U U =
8． 若集合{|1}X x x =>-，下列关系式中成立的为（ ） A ．0X ?B ．{}0X ∈C ．X φ∈D ．{}0X ?
9． 已知集合{
}
2
|10,A x x A
R φ=++==若，则实数m 的取值范围是（ ）
A ．4 B ．4>m C ．40<≤m D ．40≤≤m 10． 下列说法中，正确的是（ ） A.一个集合必有两个子集； B.则,A B 中至少有一个为φ C.集合必有一个真子集； D.若S 为全集，且,A B S =则,A B S == 11． 若U 为全集，下面三个命题中真命题的个数是（ ） （1）若()()U B C A C B A U U == 则,φ （2）若()()φ==B C A C U B A U U 则, （3）若φφ===B A B A ，则 A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 12． 设集合},412|{Z k k x x M ∈+==，},214|{Z k k x x N ∈+==，则（） A ．N M = B ．M N C ．N M D ．M N φ= 二、填空题(每小题4分,共16分) 13． 某班有学生55人，其中体育爱好者43人，音乐爱好者34人，还有4人既不爱好 体育也不爱好音乐，则该班既爱好体育又爱好音乐的人数为人_______。 14． 若{}{} 2 1,4,,1,A x B x ==且A B B =，则x =______。 15．已知集合}023|{2=+-=x ax x A 至多有一个元素，则a 的取值范围________；若至 少有一个元素，则a 的取值范围_________。 16． 设 全 集 {}( , ), U x y x y R =∈,集合 2(,)1 2y M x y x ?+ ? ==?? -? ?，{}(,)4N x y y x =≠-,那么()()U U C M C N 等于________________。 三、解答题: 17． (12 分 ) 设 U R =，集合 {}2 |3 20 A x x x =++=，{}2|(1)0 B x x m x m =+++=；若φ=B A C U )(，求m 的值。 18． (12分)全集{}32 1,3,32S x x x =++，{} 1,21A x =-，如果{},0=A C S 则这样 的实数x 是否存在？若存在，求出x ；若不存在，请说明理由。 练习二 一、选择题（每小题5分，计5×12=60分） 1．下列集合中，结果为空集的为（ ） （A ）{} 04|2=-∈x R x （B ）{} 39|<>x x x 或 （C ）{} 0|),(22=+y x y x （D ）{}39|<>x x x 且 2．设集合{}21|≤≤-=x x A ，{}40|≤≤=x x B ，则=B A （ ） （A ）{}20|≤≤x x （B ）{}21|≤≤x x （C ）{}40|≤≤x x （D ）{}41|≤≤x x 3．下列表示①{}Φ=0②{}0∈Φ③Φ {}0 ④Φ∈0中,正确的个数为 （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 4．满足{} b a ,M {}e d c b a ,,,,的集合M 的个数为（） （A ）6 （B ） 7 （C ） 8 （D ）9 5．设{}21|<<=x x A ，{}a x x B <=|，若A B ，则实数a 的取值范围是（） （A ）{}2|≥a a （B ）{}2|>a a （C ）{}1|≥a a （D ）{}1|≤a a 6．已知全集合{}92|<<-∈=+x N x S ，{}5,4,3=M ，{ }6,3,1=P ，那么{}8,7,2是（ ） （A ）P M （B ）P M （C ）()()P C M C S S （D ）()()P C M C S S 7．已知集合? ?? ??? ∈∈-=+Z a N a a M 且,56| ，则M 等于（） （A ）{}3,2 （B ）{ }4,3,2,1 （C ）{}6,3,2,1 （D ）{}4,3,2,1- 8． 如图所示，M ，P ，S 是V 的三个子集，则阴影部分 ） （A ）()S P M （B ）()S P M （C ）()()P C S M S （D ）()()S C P M V 9．设全集{ }5,4,3,2,1=U ，若{}2=Q P ，(C ()(){}5,1=Q C P C U U ，则下列结论正确的是（ ） （A ）P ?3 且Q ?3（B ）P ∈3 且Q ?3（C ）P ?3 且Q ∈3（D ）P ∈3且Q ∈3 10设M ={x |x ∈Z}，N ={x |x = 2n ，n ∈Z }，P ={x |x =n ＋2 1 }，则下列关系正确的是……（ ） (A )N ?M (B ) N ?P (C )N =M ∪P (D ) N =M ∩P 二、填空题（每小题4分，计4×4=16分） 11．已知集合{}R x x y y P ∈+==,1|2，{} R x x x y y Q ∈+==,2|2， 则集合=Q P 12．设全集{}9,7,5,3,1=U ，{}9,|5|,1-=a A ，{}7,5=A C U ， 则a 的值为 13．不等式|x-1|>-3的解集是 。 14．若集合},012|{2R x x ax x M ∈=++=只有一个元素，则实数a 的值为 三解答题 21、已知全集U={x |x 2 -3x+2≥0}，A={x||x-2|>1}，B=? ?? ???≤--021x x x ， 求C U A ，C U B ，A ∩B A ∩（C U B ），（C U A ）∩B 。 19．（本小题满分12分）设全集? ?? ???-- =3,5,31U ，集合{} 053|2=-+=px x x A 与集合{} 0103|2=++=q x x x B ，且? ?????-=31B A ，求A C U ，B C U 20．（本小题满分12分）已知集合()(){}053|≤-+=x x x A ， {}322|-<<-=m x m x B ，且A B ?，求实数m 的取值范围。 21．（本小题满分12分）已知集合(){} 0112|22=-+++=a x a x x A ， {} 04|2=+=x x x B ，A B A = ，求实数a 的取值范围 练习三 满分100分，考试时间60分钟 一、 选择题（每小题只有一个正确的答案，每小题5分共50分） 1、已知集合 {1,3,5,7,9} {0,3,6,9,12}A B == 则N A C B ?= （ ） A 、{1,5,7} B 、{3,5,7} C 、{1,3,9} D 、{1,2,3} 2、集合{}0,1,2的非空真子集的个数是 （ ） A 、6 B 、7 C 、8 D 、 9 3、 满足集合{}12?≠， ，3M {}1,2,3,4,5,6?的集合Ｍ的个数为 （ ） A 、5 B 、6 C 、7 D 、 8 4、集合A= {}0,2,a , B= {} 2 1,a 若{}0,1,2,4,16A B =则ａ＝（ ） A 、０ B 、１ C 、２ D 、 4 5、若集合21 {213},{3x A x x B x x +=-<=<0}- ，则A B ?=（ ） A 、1{123}2 x x x -<<-<<或 B 、{23}x x << C 、1{}2x x -<<2 D 、1{1}2 x x -<<- 6、b a <时，不等式 1x a x b ->-的解是 （ ） A 、{}x x b < B 、{}x x b > C 、R D 、 空集 7、已知全集Ｕ＝A B 中有ｍ个元素，()()U U C A C B 中有ｎ个元素。若A B 非空，则 A B 的元素个数为（ ） A 、mn B 、m+n C 、n-m D 、m-n 8、设A 、B 是全集U 的两个子集，且A B ?，则下列式子正确的是 （ ） Ａ、U U C A C B ? Ｂ、() ()U U C A C B U = Ｃ、Φ=)(B C A U Ｄ、()U C A B =Φ 9、集合Ａ＝{x |2 B ≠?则a 的取值范围为（ ） Ａ、ａ＜２ B 、ａ＞２ Ｃ、ａ≥２ Ｄ、ａ≤２ 10、已知集合},,3 1 2{},,61{Z n n x x N Z m m x x M ∈-==∈+ == },6 1 2{Z p p x x P ∈+= =则集合M 、N 、P 满足关系（ ） Ａ、M N P ?=≠ B 、M N P ?=≠ Ｃ、M N P ??≠≠ Ｄ、N P M ??≠≠ 二、 填空题（每小题４分共20分） 11、已知全集Ｕ＝Ｚ，Ａ＝{}1,0,1,2-，Ｂ＝{} 2 |x x x =则()U A C B ＝______ ___ 12、设全集Ｕ＝{}1,2,3,4且Ａ＝{} 2 |50x U x x m ∈-+=若U C A ＝{}2,3 则实数ｍ＝___________ 13、已知Ａ＝{}0,2,4,6，S C A ＝{}1,3,1,3--，S C B ＝{}1,0,2- 则Ｂ＝__________ 14、若不等式03)1(4)54(22>+---+x m x m m 对一切实数x 恒成立，则实数m 的取值范 围是 三、 解答题（每小题10分共30 分） 15、设2 {54}{2A x x x x a =-<=-<}，B ，若B 是A 的真子集， a 求实数的取值范围. 16、设全集U R =，集合2 22{120}{280} A x x ax B x x bx b =+-==++-=，，若{2}U A C B ?=，,a b 求的值.a=4,b=2 17、已知Ａ＝{}|20x ax +>，Ｂ＝{}|22x x -<< ①若Ａ?Ｂ，求ａ的取值集合-1<=a<=1 ②若{}|2A B x x =>-求ａ的取值集合 《函数及其表示》 练习一 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代 号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）. 1．下列四种说法正确的一个是 （ ） A ．)(x f 表示的是含有x 的代数式 B ．函数的值域也就是其定义中的数集B C ．函数是一种特殊的映射 D ．映射是一种特殊的函数 2．已知f 满足f (ab )=f (a )+ f (b)，且f (2)=p ，q f =)3(那么)72(f 等于 （ ） A ．q p + B ．q p 23+ C ．q p 32+ D ．23q p + 3．下列各组函数中，表示同一函数的是 （ ） A ．x x y y = =,1 B ．1,112-=+?-= x y x x y C ．33,x y x y == D ． 2)(|,|x y x y == 4．已知函数2 3212 ---= x x x y 的定义域为 （ ） A ．]1,(-∞ B ．]2,(-∞ C ．]1,21 ()21 ,(- ?--∞ D ． ]1,2 1()21,(- ?--∞ 5．设?? ???<=>+=)0(,0)0(,) 0(,1)(x x x x x f π，则=-)]}1([{f f f （ ） A ．1+π B ．0 C ．π D ．1- 6．下列图中，画在同一坐标系中，函数bx ax y +=2 与)0,0(≠≠+=b a b ax y 函数的图 象只可能是 （ ） 7．设函数x x x f =+-)11(，则)(x f 的表达式为 （ ） A ．x x -+11 B ． 11-+x x C ．x x +-11 D ． 1 2+x x 8．已知二次函数)0()(2 >++=a a x x x f ，若0)( 9．已知在x 克%a 的盐水中，加入y 克%b 的盐水，浓度变为%c ，将y 表示成x 的函数关系式 （ ） A ．x b c a c y --= B ．x c b a c y --= C ．x a c b c y --= D ．x a c c b y --= 10．已知)(x f 的定义域为)2,1[-，则|)(|x f 的定义域为 （ ） A ．)2,1[- B ．]1,1[- C ．)2,2(- D ．)2,2[- 二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题6分，共24分）. 11．已知x x x f 2)12(2-=+，则)3(f = . 12．若记号“*”表示的是2 *b a b a += ，则用两边含有“*”和“+”的运算对于任意三个实数“a ，b ，c ”成立一个恒等式 . 13．集合A 中含有2个元素，集合A 到集合A 可构成 个不同的映射. 14．从盛满20升纯酒精的容器里倒出1升，然后用水加满，再倒出1升混合溶液，再用水加满. 这样继续下去，建立所倒次数x 和酒精残留量y 之间的函数关系式 . 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共76分). 15．（12分）①．求函数| 1||1|1 3 -++-= x x x y 的定义域； ②求函数x x y 21-+=的值域； ③求函数1 3 2222+-+-=x x x x y 的值域. 16．（12分）在同一坐标系中绘制函数x x y 22+=，||22x x y +=得图象. 17．（12分）已知函数x x f x x f x =+-+-)()1 1 ()1(，其中1≠x ，求函数解析式. 18．（12分）设)(x f 是抛物线，并且当点),(y x 在抛物线图象上时，点)1,(2+y x 在函数 )]([)(x f f x g =的图象上，求)(x g 的解析式. 19．（14分）动点P 从边长为1的正方形ABCD 的顶点出发顺次经过B 、C 、D 再回到A ；设x 表示P 点的行程，y 表示PA 的长，求y 关于x 的函数解析式. 20．（14分） 已知函数)(x f ，)(x g 同时满足：)()()()()(y f x f y g x g y x g +=-；1)1(-=-f ， 0)0(=f ，1)1(=f ，求)2(),1(),0(g g g 的值. 练习二 一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，满分30分） 1. 判断下列各组中的两个函数是同一函数的为（ ） ⑴3 ) 5)(3(1+-+= x x x y ，52-=x y ； ⑵111-+=x x y ，)1)(1(2-+=x x y ； ⑶x x f =)(，2)(x x g =； ⑷()f x = ()F x = ⑸21)52()(-=x x f ，52)(2-=x x f . A. ⑴、⑵ B. ⑵、⑶ C. ⑷ D. ⑶、⑸ 2. 函数()y f x =的图象与直线1x =的公共点数目是（ ） A. 1 B. 0 C. 0或1 D. 1或2 3. 已知集合{}{} 42 1,2,3,,4,7,,3A k B a a a ==+，且*,,a N x A y B ∈∈∈ 使B 中元素31y x =+和A 中的元素x 对应，则,a k 的值分别为（ ） A. 2,3 B. 3,4 C. 3,5 D. 2,5 4. 已知22(1)()(12)2(2)x x f x x x x x +≤-?? =-< ，若()3f x =，则x 的值是（ ） A. 1 B. 1或32 C. 1，3 2 或 5. 为了得到函数(2)y f x =-的图象，可以把函数(12)y f x =-的图象适当平移，这个平移是 （ ） A. 沿x 轴向右平移1个单位 B. 沿x 轴向右平移1 2个单位 C. 沿x 轴向左平移1个单位 D. 沿x 轴向左平移1 2 个单位 6. 设? ??<+≥-=)10()],6([) 10(,2)(x x f f x x x f 则)5(f 的值为（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 1. 设函数.)().0(1),0(12 1 )(a a f x x x x x f >?????? ?<≥-=若则实数a 的取值范围是 . 2. 若二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴交于(2,0),(4,0)A B -，且函数的最大值为9，则这个二次函数的表达式是 . 3. 函数0 y =_____________________. 4. 函数1)(2-+=x x x f 的最小值是_________________. 三、解答题（本大题共2小题，每小题15分，满分30分） 1. 12,x x 是关于x 的一元二次方程22(1)10x m x m --++=的两个实根，又 2212y x x =+， 求()y f m =的解析式及此函数的定义域. 2. 已知函数2()23(0)f x ax ax b a =-+->在[1,3]有最大值5和最小值2，求a 、b 的值. 练习三 一、选择题 1．设集合A ＝｛x ｜0≤x ≤6｝，B ＝｛y ｜0≤y ≤2｝，从A 到B 的对应法则f 不是映射的是（ ） A ．f ：x →y ＝ 21x B ．f ：x →y ＝ 31x C ．f ：x →y ＝4 1 x D ．f ：x →y ＝6 1 x 2．函数y ＝ax 2 ＋a 与y ＝ x a （a ≠0）在同一坐标系中的图象可能是（ ） 3．设M ＝｛x ｜－2≤x ≤2｝，N ＝｛y ｜0≤y ≤2｝，函数f （x ）的定义域为M ，值域为N ，则f （x ）的图象可以是（ ） 二、填空题 4．设函数f （x ）＝???≤， ＜， ＋)2(2)2(22x x x x 则f （－4）＝____，又知f （0x ）＝8，则0x ＝ ____． 5．如图，有一块边长为a 的正方形铁皮，将其四个角各截去一个边长为x 的小正方形，然后折成一个无盖的盒子，写出体积V 以x 为自变量的函数式是_____，这个函数的定义域为_______． 6．给定映射f ：（x ，y ）→（x ，x ＋y ），在映射f 下象（2，3）的原象是（a ，b ），则函数f （x ）＝ax 2 ＋bx 的顶点坐标是________． 三、解答题 7．据报道，我国目前已成为世界上受荒漠化危害最严重的国家之一．图1表示我国土地沙化总面积在上个世纪五六十年代、七八十年代、九十年代的变化情况，由图中的相关信息，把上述有关年代中，我国年平均土地沙化面积在图2中表示出来． 图1 图2 8．画出下列函数的图象． （1）y ＝x 2－2，x ∈Z 且｜x ｜≤2； （2）y ＝－2x 2＋3x ，x ∈（0，2］； （3）y ＝x ｜2－x ｜； （4）?? ? ??≥≤． －，＜－－，＜－＝2322323x x x x y 一、CBCDA BCABC 二、11．－1； 12．c b a c b a *+=+)()*(； 13．4； 14．*,)20 19(20N x y x ∈?= ； 三、15． 解：①．因为|1||1|-++x x 的函数值一定大于0，且1-x 无论取什么数三次 方根一定有意义，故其值域为R ； ②．令t x =-21，0≥t ，)1(212t x -=，原式等于1)1(21)1(2122+--=+-t t t ，故1≤y 。 ③．把原式化为以x 为未知数的方程03)2()2(2=-+---y x y x y ， 当2≠y 时，0)3)(2(4)2(2≥----=?y y y ，得3 102≤ 当2=y 时，方程无解；所以函数的值域为]3 10, 2(. 16．题示：对于第一个函数可以依据初中学习的知识借助顶点坐标，开口方向，与坐标轴交 点坐标可得；第二个函数的图象，一种方法是将其化归成分段函数处理，另一种方法是该函数图象关于y 轴对称，先画好y 轴右边的图象. 17．题示：分别取t x =和1 1 -+= x x x ，可得 ?????? ? -+=-+--=--+-11)11()(1 2)()11()1(x x x x f t f t x x f x x f t ，联立求解可得结果. 18．解：令c bx ax x f ++=2)()0(≠a ，也即c bx ax y ++=2.同时 1)(22+++c bx ax =)]([)(12x f f x g y ==+=c c bx ax b c bx ax a ++++++)()(2 22. 通过比较对应系数相等，可得1,0,1===c b a ，也即12 +=x y ， 22)(24++=x x x g 。 19．解：显然当P 在AB 上时，PA=x ；当P 在BC 上时，PA=2)1(1-+x ；当P 在CD 上时， PA=2)3(1x -+；当P 在DA 上时，PA=x -4，再写成分段函数的形式. 19．解：令y x =得：)0()()(2 2g y g x f =+. 再令0=x ，即得1,0)0(=g . 若 0)0(=g ，令1==y x 时，得0)1(=f 不合题意，故1)0(=g ； )1()1()1()1()11()0(f f g g g g +=-=，即 1)1(12+=g ，所以0)1(=g ；那么 )1()0()1()0()10()1(=+=-=-f f g g g g ， 1)1()1()1()1()]1(1[)2(-=-+-=--=f f g g g g . 一、选择题 1. C （1）定义域不同；（2）定义域不同；（3）对应法则不同； （4）定义域相同，且对应法则相同；（5）定义域不同； 2. C 有可能是没有交点的，如果有交点，那么对于1x =仅有一个函数值； 3. D 按照对应法则31y x =+，{}{} 42 4,7,10,314,7,,3B k a a a =+=+ 而*4,10a N a ∈≠，∴24310,2,3116,5a a a k a k +==+=== 4. D 该分段函数的三段各自的值域为(][)[),1,0,4,4,-∞+∞，而[)30,4∈ ∴2()3,12,f x x x x ===-<<而∴ x = 5. D 平移前的“1 122()2 x x -=--”，平移后的“2x -”， 用“x ”代替了“12 x - ”，即1122x x -+→，左移 6. B [][](5)(11)(9)(15)(13)11f f f f f f f =====. 二、填空题 1. (),1-∞- 当1 0,()1,22 a f a a a a ≥= -><-时，这是矛盾的；当1 0,(),1a f a a a a <= ><-时； 2. (2)(4)y x x =-+- 设(2)(4)y a x x =+-，对称轴1x =，当1x =时， m a x 99,1 y a a =-==- 3. (),0-∞ 10 ,00x x x x -≠???? 4. 54- 2 2155()1()244 f x x x x =+-=+-≥-. 三、解答题 1. 解：24(1)4(1)0,30m m m m ?=--+≥≥≤得或， 222121212()2y x x x x x x =+=+- 224(1)2(1)4102 m m m m =--+=-+ ∴2()4102,(03)f m m m m m =-+≤≥或. 2. 解：对称轴1x =，[]1,3是()f x 的递增区间， max ()(3)5,335f x f a b ==-+=即 min ()(1)2,32,f x f a b ==--+=即 ∴3231 ,. 1 44a b a b a b -=?==?--=-?得 《函数的基本性质》 练习一 一、选择题： 1．下面说法正确的选项（ ） A ．函数的单调区间可以是函数的定义域； B ．函数的多个单调增区间的并集也是其单调增区间； C ．具有奇偶性的函数的定义域定关于原点对称； D ．关于原点对称的图象一定是奇函数的图象。 2．在区间)0,(-∞上为增函数的是（ ） A ．1=y B ．21+-= x x y C ．122---=x x y D ．21x y += 3．函数c bx x y ++=2))1,((-∞∈x 是单调函数时，则b 的取值范围（ ） A ．2-≥b B ．2-≤b C ．2->b D ．2- 4．如果偶函数在],[b a 具有最大值，那么该函数在],[a b --有（ ） A ．最大值 B ．最小值 C ．没有最大值 D ． 没有最小值 5．函数px x x y +=||，R x ∈是（ ） A ．偶函数 B ．奇函数 C ．不具有奇偶函数 D ．与p 有关 6．函数)(x f 在),(b a 和),(d c 都是增函数，若),(),,(21d c x b a x ∈∈，且 21x x <，那么（ ） A ．)()(21x f x f < B ．)()(21x f x f > C ．)()(21x f x f = D ．无法确定 7．函数)(x f 在区间]3,2[-是增函数，则)5(+=x f y 的递增区间是（ ） A ．]8,3[ B ．]2,7[-- C ．]5,0[ D ．]3,2[- 8．函数b x k y ++=)12(在实数集上是增函数，则（ ） A ．21- >k B ．2 1- 9．定义在R 上的偶函数)(x f ，满足)()1(x f x f -=+，且在区间]0,1[-上为递增，则（ ） A ．)2()2()3(f f f << B ．)2()3()2(f f f << C ．)2()2()3(f f f << D ．)3()2()2(f f f << 10．已知)(x f 在实数集上是减函数，若0≤+b a ，则下列正确的是（ ） A ．)]()([)()(b f a f b f a f +-≤+ B ．)()()()(b f a f b f a f -+-≤+ C ．)]()([)()(b f a f b f a f +-≥+ D ．)()()()(b f a f b f a f -+-≥+ 二、填空题： 11．如果函数)(x f 在R 上为奇函数，且0,1)(>+= x x x f ，那么当0 =)(x f 。 12．函数||2x x y +-=，单调递减区间为 ，最大值和最小值的情况为 。 13．定义在R 上的函数)(x s （已知）可用)(),(x g x f 的=和来表示，且)(x f 为奇函数，)(x g 为偶函数，则=)(x f 。 14．构造一个满足下面三个条件的函数实例， ①函数在)1,(--∞上递减；②函数具有奇偶性；③函数有最小值为； 。 三、解答题： 15．（12分）已知]3,1[,)2()(2 -∈-=x x x f ，求函数)1(+x f 得单调递减区间。 16．（12分）判断下列函数的奇偶性 ①x x y 1 3+ =； ②x x y 2112-+-=； ③x x y +=4 ； ④?? ? ??<--=>+=)0(2)0(0)0(222x x x x x y 。 17．（12分）已知8)(32005 --+=x b ax x x f ，10)2(=-f ，求)2(f 。 18．（12分））函数)(),(x g x f 在区间],[b a 上都有意义，且在此区间上 ① )(x f 为增函数，0)(>x f ； ② )(x g 为减函数，0)( 判断)()(x g x f 在],[b a 的单调性，并给出证明。 19．（14分）在经济学中，函数)(x f 的边际函数为)(x Mf ，定义为 )()1()(x f x f x Mf -+=，某公司每月最多生产100台报警系统装置。生产x 台的收入函 数为2203000)(x x x R -=（单位元），其成本函数为4000500)(+=x x C （单位元），利润的等于收入与成本之差。 ①求出利润函数)(x p 及其边际利润函数)(x Mp ； ②求出的利润函数)(x p 及其边际利润函数)(x Mp 是否具有相同的最大值； ③你认为本题中边际利润函数)(x Mp 最大值的实际意义。 20．（14分）已知函数1)(2+=x x f ，且)]([)(x f f x g =，)()()(x f x g x G λ-=，试问，是否存在实数λ，使得)(x G 在]1,(--∞上为减函数，并且在)0,1(-上为增函数。 练习二 一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，满分30分） 1. 已知函数)127()2()1()(22+-+-+-=m m x m x m x f 为偶函数，则m 的值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 若偶函数)(x f 在(]1,-∞-上是增函数，则下列关系式中成立的是（ ） A. )2()1()2 3(f f f <-<- B. )2()2 3()1(f f f <-<- C. )23()1()2(-<- D. )1()2 3 ()2(-<- 3. 如果奇函数)(x f 在区间[3,7] 上是增函数且最大值为5，那么)(x f 在区间[]3,7--上 是（ ） A. 增函数且最小值是5- B. 增函数且最大值是5- C. 减函数且最大值是5- D. 减函数且最小值是5- 4. 设)(x f 是定义在R 上的一个函数，则函数)()()(x f x f x F --=在R 上一定是（ ） A. 奇函数 B. 偶函数 C. 既是奇函数又是偶函数 D. 非奇非偶函数 5. 下列函数中,在区间()0,1上是增函数的是（ ） A. x y = B. x y -=3 C. x y 1 = D. 42+-=x y 6. 函数)11()(+--=x x x x f 是（ ） A. 是奇函数又是减函数 B. 是奇函数但不是减函数 C. 是减函数但不是奇函数 D. 不是奇函数也不是减函数 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 1. 设奇函数)(x f 的定义域为[]5,5-，若当[0,5]x ∈时， )(x f 的图象如右图,则不等式 ()0f x <的解是 2. 函数2y x =的值域是 3. 若函数2()(2)(1)3f x k x k x =-+-+是偶函数，则)(x f 的递减区间是 . 4. 下列四个命题 （1）()f x ; （2）函数是其定义域到值域的映射; （3）函数2()y x x N =∈的图象是一直线；（4）函数22,0 ,0 x x y x x ?≥?=?- 其中正确的命题个数是____________. 三、解答题（本大题共2小题，每小题15分，满分30分） 1. 已知函数()f x 的定义域为()1,1-，且同时满足下列条件：（1）()f x 是奇函数； （2）()f x 在定义域上单调递减；（3）2(1)(1)0,f a f a -+-<求a 的取值范围. 2. 已知函数[]2 ()22,5,5f x x ax x =++∈-. ① 当1a =-时，求函数的最大值和最小值； ② 求实数a 的取值范围，使()y f x =在区间[]5,5-上是单调函数. 参考答案 练习一 一、CBAAB DBAA D 二、11．1---=x y ； 12．]0,21[-和),21[+∞-，41； 13．2 )()(x s x s --； 14．R x x y ∈=,2 ； 三、15． 解： 函数12)1(]2)1[()1(2 2 2 +-=-=-+=+x x x x x f ，]2,2[-∈x ， 故函数的单调递减区间为]1,2[-。 16． 解①定义域),0()0,(+∞?-∞关于原点对称，且)()(x f x f -=-，奇函数。 ②定义域为}2 1 {不关于原点对称。该函数不具有奇偶性. ③定义域为R ，关于原点对称，且x x x x x f +≠-=-4 4)(， )()(44x x x x x f +-≠-=-，故其不具有奇偶性。 ④定义域为R ，关于原点对称， 当0>x 时，)()2(2)()(22x f x x x f -=+-=---=-； 当0 17．解： 已知)(x f 中x b ax x -+32005 为奇函数，即x b ax x x g -+=32005 )(中，)()(x g x g -=-，也即)2()2(g g -=-，108)2(8)2()2(=--=--=-g g f ，得18)2(-=g ，268)2()2(-=-=g f 。 18．解：减函数令b x x a ≤<≤21 ，则有0)()(21<-x f x f ，即可得 )()(021x f x f <<；同理有0)()(21>-x g x g ，即可得0)()(12< 从而有)()()()(2211x g x f x g x f - )()()()()()()()(22212111x g x f x g x f x g x f x g x f -+-= )()]()([)]()()[(221211x g x f x f x g x g x f -+-=* 显然0))()()((211>-x g x g x f ，0)())()((221>-x g x f x f 从而*式0*>， 故函数)()(x g x f 为减函数. 19．解：N x x x x x C x R x p ∈∈-+-=-=],100,1[,4000250020)()()(2. ) (x Mp ) ()1(x p x p -+=),4000250020(]4000)1(2500)1(20[22-+---+++-=x x x x x 402480-= N x x ∈∈],100,1[； 74125)2 125(20)(2 +- -=x x p ，N x x ∈∈],100,1[， 故当62=x 或63时，74120)(max =x p （元）。 因为x x Mp 402480)(-=为减函数，当1=x 时有最大值2440。故不具有相等的最大值。边际利润函数区最大值时，说明生产第二台机器与生产第一台的利润差最大。 20．解：221)1()1()]([)(2 4 2 2 2 ++=++=+==x x x x f x f f x g . )()()(x f x g x G λ-=λλ--++=22422x x x )2()2(24λλ-+-+=x x )()(21x G x G -)]2()2([2141λλ-+-+=x x )]2()2([2242λλ-+-+-x x )]2()[)((2 22 12121λ-++-+=x x x x x x 由题设当121-< 0))((2121>-+x x x x ，λλλ-=-++>-++4211)2(2221x x ， 则4,04≤≥-λλ 当0121<<<-x x 时， 0))((2121>-+x x x x ，λλλ-=-++<-++4211)2(2221x x ， 则4,04≥≥-λλ 故4=λ 参考答案 练习二 一、选择题 1. B 奇次项系数为0,20,2m m -== 2. D 3 (2)(2),212 f f =--<- <- 3. A 奇函数关于原点对称，左右两边有相同的单调性 4. A ()()()()F x f x f x F x -=--=- 5. A 3y x =-在R 上递减，1 y x = 在(0,)+∞上递减， 24y x =-+在(0,)+∞上递减， 6. A ()(11)(11)()f x x x x x x x f x -=----+=+--=- 为奇函数，而2 2 2,12,01 (),2,102,1x x x x f x x x x x -≥??-≤ 为减函数. 二、填空题 1. (](2,0) 2,5- 奇函数关于原点对称，补足左边的图象 2. [2,)-+∞ 1,x y ≥-是x 的增函数，当1x =-时，min 2y =- 3. [)0,+∞ 210,1,()3k k f x x -===-+ 4. 1 （1）21x x ≥≤且，不存在；（2）函数是特殊的映射；（3）该图象是由 离散的点组成的；（4）两个不同的抛物线的两部分组成的，不是抛物线. 三、解答题 1. 解：22(1)(1)(1)f a f a f a -<--=-，则2 211111111a a a a -<--? ,∴01a << 2．解：（1）max m ()37,()1in f x f x ==（2）5a ≥或5a ≤-. 高中高一数学必修1各章知识点总结 第一章集合与函数概念 一、集合有关概念 1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素 2、集合的中元素的三个特性： 1.元素的确定性； 2.元素的互异性； 3.元素的无序性 说明：(1)对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。 (2)任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。 (3)集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。 (4集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。 3、集合的表示：{ … } 如{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋} 1. 用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} 2．集合的表示方法：列举法与描述法。 注意啊：常用数集及其记法： 非负整数集（即自然数集）记作：N 正整数集N*或N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 关于“属于”的概念 集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就说a属于集合A 记作a∈A ，相反，a不属于集合A 记作a?A 列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。 描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。 ①语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} ②数学式子描述法：例：不等式x-3>2的解集是{x?R| x-3>2}或{x| x-3>2} 4、集合的分类： 1．有限集含有有限个元素的集合 2．无限集含有无限个元素的集合 3．空集不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝ 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集 高一必修集合练习题及答案 1．设集合A＝{x|2≤x＜4}，B＝{x|3x－7≥8－2x}，则A∪B等于( ) A．{x|x≥3}B．{x|x≥2} C．{x|2≤x＜3}? D．{x|x≥4} 2．已知集合A＝{1,3,5,7,9}，B＝{0,3,6,9,12}，则A∩B＝( ) A．{3,5}? B．{3,6} C．{3,7}? D．{3,9} 3.已知集合A＝{x|x>0}，B＝{x|－1≤x≤2}，则A∪B＝( ) A．{x|x≥－1}? B．{x|x≤2 } C．{x|0 11．已知集合A＝{1,3,5}，B＝{1,2，－1}，若A∪B＝{1,2,3,5}，求x及A∩B. 12．已知A＝{x|2a≤x≤a＋3}，B＝{x|x<－1或x>5}，若A∩B＝?，求a的取值范围． 13．(10分)某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组．已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26,15,13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有多少人？ 高中数学集合测试题 1．以下元素的全体不能够构成集合的是【】 A. 中国古代四大发明 B. 地球上的小河流 C. 方程210x 的实数解 D. 周长为10cm 的三角形 2．方程组23 211x y x y 的解集是【】 A . 51， B. 15， C. 51， D. 15， 3．给出下列关系：①12R ；②2Q ；③* 3N ；④0Z . 其中正确的个数是【 】A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4．下列与集合A={1，2}相等的是【】 （A ）{1，2，3} （B ）}31{x x （C ）}023{2x x x （D ）N 5．已知集合}02{x x M ，}1{x x N ，则【】 （A ）M=N （B ）N M （C ）N M （D ）M 与N 无包含关系 6．.集合1,,,x y y x N x y y x M ，则（ ）A ．N M B ．N M C ．N M D ．N M 7．下列各式中，M 与N 表示同一集合的是【 】 A.2,1M ，1,2N B. 2,1M ，1 ,2N C.N M ,0 D.实数集 N R M ,8．设集合|12M x x ，|0N x x k ，若M N ，则k 的取值范围是 A ．2k B ．1k C ．1k D ．2k 【】 9．若2{,0,1}{,,0}a a b ，则20072007a b 的值为【】 A. 0 B. 1 C. 1 D. 2 10．已知集合P={x|x 2 =1}，集合Q={x|ax = 1}，若Q P ，那么a 的值是【】 A. 1 B. －1 C. 1或－1 D. 0，1或－1 11．集合1,12,3,3,1,22a a a B a a A ，若3B A ，则a 的值是【】 A ．0 B. 1 C. 2 D. 1 12．设0,x x M R U ，11x x N ，则N M C U 是【】 A ．10x x B ．10x x C ．01x x D ．1x x 集合练习题 一、选择题（每小题5分，计5×12=60分） 1．下列集合中，结果是空集的为（） （A）（B） （C）（D） 2．设集合，，则（） （A）（B） （C）（D） 3．下列表示①②③④中,正确的个数为( ) （A）1 （B）2 （C）3 （D）4 4．满足的集合的个数为（） （A）6 （B） 7 （C） 8 （D）9 5．若集合、、，满足，，则与之间的关系为（） （A）（B）（C）（D） 6．下列集合中，表示方程组的解集的是（） （A）（B）（C）（D） 7．设，，若，则实数的取值范围是（） （A）（B）（C）（D） 8．已知全集合，，，那么 是（） （A）（B）（C）（D） 9．已知集合，则等于（） （A）（B） （C）（D） 10．已知集合，，那么（） （A）（B）（C）（D） 11．如图所示，，，是的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（） （A）（B） （C）（D） 12．设全集，若，， ，则下列结论正确的是（） （A）且（B）且 （C）且（D）且 二、填空题（每小题4分，计4×4=16分） 13．已知集合，，则集合 14．用描述法表示平面内不在第一与第三象限的点的集合为 15．设全集，，，则的值为 16．若集合只有一个元素，则实数的值为三、解答题（共计74分） 17．（本小题满分12分）若，求实数的值。 18．（本小题满分12分）设全集合，， ，求，，， 19．（本小题满分12分）设全集，集合与集合，且，求， 20．（本小题满分12分）已知集合 ， ，且 ，求实数 的取值范围。 21．（本小题满分12分）已知集合 ， ， ，求实数的取值范围 22．（本小题满分14分）已知集合 ， ，若 ，求实数的取值范围。 已知集合}31{≤≤-=x x A ，},{2A x y x y B ∈==，},2{A x a x y y C ∈+==，若满足B C ?， 求实数a 的取值范围． 已知集合}71{<<=x x A ，集合}521{+<<+=a x a x B ，若满足 }73{<<=x x B A ，求 实数a 的值． 数学汇总 第一章 集合与函数概念 教学目的：（1）理解两个集合的并集与交集的的含义，会求两个简单集合的并集与交集； （2）理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集； （3）能用Venn 图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用。 教学重点：集合的交集与并集、补集的概念； 教学难点：集合的交集与并集、补集“是什么”，“为什么”，“怎样做”； 【知识点】 1. 并集 一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，称为集合A 与B 的并集（Union ） 记作：A ∪B 读作：“A 并B ” 即： A ∪B={x|x ∈A ，或x ∈B} Venn 图表示： 说明：两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合A 与B 的所有元素组成的集合（重复元素只看成一个元素）。 说明：连续的（用不等式表示的）实数集合可以用数轴上的一段封闭曲线来表示。 问题：在上图中我们除了研究集合A 与B 的并集外，它们的公共部分（即问号部分）还应是我们所关心的，我们称其为集合A 与B 的交集。 2. 交集 一般地，由属于集合A 且属于集合B 的元素所组成的集合，叫做集合A 与B 的交集（intersection ）。 记作：A ∩B 读作：“A 交B ” 即： A ∩B={x|∈A ，且x ∈B} 交集的Venn 图表示 说明：两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合A 与B 的公共元素组成的集合。 拓展：求下列各图中集合A 与B 的并集与交集 A B A(B) A B B A A ∪B B A ? 说明：当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，不能说两个集合没有交集 3. 补集 全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集（Universe ），通常记作U 。 补集：对于全集U 的一个子集A ，由全集U 中所有不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集（complementary set ）,简称为集合A 的补集， 记作：C U A 即：C U A={x|x ∈U 且x ∈A} 补集的Venn 图表示 A U C U A 说明：补集的概念必须要有全集的限制 4. 求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且” 与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn 图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法。 5. 集合基本运算的一些结论： A ∩ B ?A ，A ∩B ?B ，A ∩A=A ，A ∩?=?,A ∩B=B ∩A A ?A ∪B ，B ?A ∪B ，A ∪A=A ，A ∪?=A,A ∪B=B ∪A （ C U A ）∪A=U ，（C U A ）∩A=? 若A ∩B=A ，则A ?B ，反之也成立 若A ∪B=B ，则A ?B ，反之也成立 若x ∈（A ∩B ），则x ∈A 且x ∈B 若x ∈（A ∪B ），则x ∈A ，或x ∈B ¤例题精讲： 【例1】设集合,{|15},{|39},,()U U R A x x B x x A B A B ==-≤≤=<< 求e. 解：在数轴上表示出集合A 、B ，如右图所示： {|35}A B x x =<≤ ， (){|1,9U C A B x x x =<-≥ 或， 【例2】设{|||6}A x Z x =∈≤，{}{}1,2,3,3,4,5,6B C ==，求： （1）()A B C ； （2）()A A B C e. 解：{}6,5,4,3,2,1,0,1,2,3,4,5,6A =------ . （1）又{}3B C = ，∴()A B C = {}3； （2）又{}1,2,3,4,5,6B C = ， A B B A -1 3 5 9 x （数学1必修）第一章（上） 集合 [基础训练A 组] 一、选择题 1．下列各项中，不可以组成集合的是（ ） A ．所有的正数 B ．等于2的数 C ．接近于0的数 D ．不等于0的偶数 2．下列四个集合中，是空集的是（ ） A ．}33|{=+x x B ．},,|),{(22R y x x y y x ∈-= C ．}0|{2≤x x D ． },01|{2R x x x x ∈=+- 3．下列表示图形中的阴影部分的是（ ） A ．()()A C B C B ．()()A B A C C ．()()A B B C D ．()A B C 4．下面有四个命题： （1）集合N 中最小的数是1； （2）若a -不属于N ，则a 属于N ； （3）若,,N b N a ∈∈则b a +的最小值为2；（4）x x 212=+的解可表示为{ }1,1； 其中正确命题的个数为（ ）A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 5．若集合{},,M a b c =中的元素是△ABC 的三边长， 则△ABC 一定不是（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形 6．若全集{}{}0,1,2,32U U C A ==且，则集合A 的真子集共有（ ） A ．3个 B ．5个 C ．7个 D ．8个 二、填空题 1．用符号“∈”或“?”填空 （1）0______N , 5______N , 16______N （2）1 ______,_______,______2 R Q Q e C Q π- （e 是个无理数） （3{} |,,x x a a Q b Q =∈∈ 2. 若集合{}|6,A x x x N =≤∈，{|}B x x =是非质数，C A B =，则 C 的 非空子集的个数为 。 3．若集合{}|37A x x =≤<，{}|210B x x =<<，则A B =_____________． A B C 高中数学必修 1 知识点总结 集合 （1）元素与集合的关系：属于（ ）和不属于（ ） （2）集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性 集合与元素 （3）集合的分类：按集合中元素的个数多少分为：有限集、无限集、空集 （4）集合的表示方法：列举法、描述法（自然语言描述、特征性质描述）、图示法、区间法 子集：若 x A x ，则 A ，即 是 的子集。 B B A B 、若集合 中有 个元素，则集合 的子集有 2 n 个，真子集有 (2 n -1) 个。 1 A n A 、任何一个集合是它本身的子集，即 A A 注 2 关系 、对于集合 A,B,C, 如果 A ，且 B C, 那么 A C. 3 B 、空集是任何集合的（真）子集。 4 真子集：若 且 （即至少存在 x 0 但 ），则 是 的真子集。 集合 ABAB B x 0 A A B 集合相等： A 且 A B A B B 集合与集合 定义： A B x / x 且 x B 交集 A 性质： ， ， ， ， AAAA ABBAABA,ABBAB A 定义： A B x / x 或 x B 并集 A 性质： ， ， ， ， ， 运算 AAAA AABBAABAABBAB A Card( A B) Card( A) Card( B) - Card( A B) 定义： C U A x/ x U 且x A A 补集 性质： A) A ， A U ， C U (C U A) ， ， (C U (C U A) A C U (A B) (C U A) (C U B) C U (A B) (C U A) (C U B) 函数 新课标数学必修1集合练习题 一、选择题（每小题5分，计5×12=60分） 1．下列集合中，结果是空集的为（） （A）（B） （C）（D） 2．设集合，，则（） （A）（B） （C）（D） 3．下列表示①②③④中,正确的个数为( ) （A）1 （B）2 （C）3 （D）4 4．满足的集合的个数为（） （A）6 （B） 7 （C） 8 （D）9 5．若集合、、，满足，，则与之间的关系为（） （A）（B）（C）（D） 6．下列集合中，表示方程组的解集的是（） （A）（B）（C）（D） 7．设，，若，则实数的取值范围是（） （A）（B）（C）（D） 8．已知全集合，，，那么 是（） （A）（B）（C）（D） 9．已知集合，则等于（） （A）（B） （C）（D） 10．已知集合，，那么（） （A）（B）（C）（D） 11．如图所示，，，是的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（） （A）（B） （C）（D） 12．设全集，若，， ，则下列结论正确的是（） （A）且（B）且 （C）且（D）且 二、填空题（每小题4分，计4×4=16分） 13．已知集合，，则集合 14．用描述法表示平面内不在第一与第三象限的点的集合为 15．设全集，，，则的值为 16．若集合只有一个元素，则实数的值为 三、解答题（共计74分） 17．（本小题满分12分）若，求实数的值。 18．（本小题满分12分）设全集合，， ，求，，， 19．（本小题满分12分）设全集，集合与集合，且 ，求 ， 20．（本小题满分12分）已知集合 ， ，且 ，求实数 的取值范围。 21．（本小题满分12分）已知集合 ， ， ，求实数的取值范围 22．（本小题满分14分）已知集合 ， ，若 ，求实数的取值范围。 23.已知集合}31{≤≤-=x x A ，},{2A x y x y B ∈==，},2{A x a x y y C ∈+==，若满足 B C ?，求实数a 的取值范围． 高中数学必修1知识点 集合 123412n x A x B A B A B A n A ∈??? ????? ∈?∈?（）元素与集合的关系：属于（）和不属于（）（）集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性集合与元素（）集合的分类：按集合中元素的个数多少分为：有限集、无限集、空集（）集合的表示方法：列举法、描述法（自然语言描述、特征性质描述）、图示法、区间法子集：若 ，则，即是的子集。、若集合中有个元素，则集合的子集有个， 注关系集合集合与集合{}00(2-1)23,,,,.4/n A A A B C A B B C A C A B A B x B x A A B A B A B A B A B x x A x B A A A A A B B A A B ??????????? ???????????≠∈?????=???=∈∈?=??=??=???真子集有个。、任何一个集合是它本身的子集，即 、对于集合如果，且那么、空集是任何集合的（真）子集。 真子集：若且（即至少存在但），则是的真子集。集合相等：且 定义：且交集性质：，，，运算{}{},/()()()-()/()()()()()()U U U U U U U U A A B B A B A B A A B x x A x B A A A A A A B B A A B A A B B A B A B B Card A B Card A Card B Card A B C A x x U x A A C A A C A A U C C A A C A B C A C B ????????=????=∈∈???=??=?=????????=???=+?=∈?=?=??==?=?，定义：或并集性质：，，，，， 定义：且补集性质：，，，， ()()()U U U C A B C A C B ????? ?? ?? ?? ?? ?????????? ???????? ??????????????????????? ?????????????????????=??????? 第一章集合与函数概念 【1.1.1】集合的含义与表示 （1）集合的概念 把某些特定的对象集在一起就叫做集合. （2）常用数集及其记法 N 表示自然数集，N *或N +表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集. （3）集合与元素间的关系 高一数学必修1知识网络 123412n x A x B A B A B A n A ∈??? ????? ∈?∈?（）元素与集合的关系：属于（）和不属于（）（）集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性集合与元素（）集合的分类：按集合中元素的个数多少分为：有限集、无限集、空集（）集合的表示方法：列举法、描述法（自然语言描述、特征性质描述）、图示法、区间法子集：若 ，则，即是的子集。、若集合中有个元素，则集合的子集有个， 注关系集合集合与集合{}00(2-1)23,,,,.4/n A A A B C A B B C A C A B A B x B x A A B A B A B A B A B x x A x B A A A A A B B A A B ??????????? ???????????≠∈?????=???=∈∈?=??=??=???真子集有个。、任何一个集合是它本身的子集，即 、对于集合如果，且那么、空集是任何集合的（真）子集。 真子集：若且（即至少存在但），则是的真子集。集合相等：且 定义：且交集性质：，，，运算{}{},/()()()-()/()()()()()()U U U U U U U U A A B B A B A B A A B x x A x B A A A A A A B B A A B A A B B A B A B B Card A B Card A Card B Card A B C A x x U x A A C A A C A A U C C A A C A B C A C B ????????=????=∈∈???=??=?=????????=???=+?=∈?=?=??==?=?，定义：或并集性质：，，，，， 定义：且补集性质：，，，， ()()()U U U C A B C A C B ????? ?? ?? ???? ?????????? ???????? ?????????????????????? ??????????????????????=??????? 高中数学《集合》测试题 学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________ 一、选择题 1．设集合{}{}2|5,|4210,S x x T x x x =<=+?<则S T = Ａ.{}|75x x ?< 第一章集合与函数概念 §1．1集合 （一）集合的有关概念 ⒈定义：一般地，我们把研究对象统称为元素，一些元素组成的总体叫集合，也简称集。 2.表示方法：集合通常用大括号{ }或大写的拉丁字母A,B,C…表示， 而元素用小写的拉丁字母a,b,c…表示。 3.集合相等：构成两个集合的元素完全一样。 4.元素与集合的关系：(元素与集合的关系有“属于∈”及“不属于?两种) ⑴若a是集合A中的元素，则称a属于集合A，记作a∈A； ⑵若a不是集合A的元素，则称a不属于集合A，记作a?A。 5.常用的数集及记法： 非负整数集（或自然数集），记作N； 正整数集，记作N*或N+；N内排除0的集. 整数集，记作Z；有理数集，记作Q；实数集，记作R； 6.关于集合的元素的特征 ⑴确定性：给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了。 如：“地球上的四大洋”（太平洋,大西洋，印度洋，北冰洋）。“中国古代四大发明” （造纸，印刷，火药，指南针）可以构成集合，其元素具有确定性；而“比较大 的数”，“平面点P周围的点”一般不构成集合，因为组成它的元素是不确定的. ⑵互异性：一个集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重复出现的。. 如:方程(x-2)(x-1)2=0的解集表示为{1,-2},而不是{1,1,-2} ⑶无序性：即集合中的元素无顺序,可以任意排列、调换。 练1：判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由： ⑴大于3小于11的偶数；⑵我国的小河流； ⑶非负奇数；⑷方程x2+1=0的解； ⑸某校2011级新生；⑹血压很高的人； ⑺著名的数学家；⑻平面直角坐标系内所有第三象限的点 7.元素与集合的关系：(元素与集合的关系有“属于∈”及“不属于?”两种) ⑴若a是集合A中的元素，则称a属于集合A，记作a∈A； ⑵若a不是集合A的元素，则称a不属于集合A，记作a?A。 例如，我们A表示“1~20以内的所有质数”组成的集合，则有3∈A，4?A，等等。 练：A={2，4，8，16}，则4∈A，8∈A，32?A. 课题：§集合 教材分析：集合概念及其基本理论，称为集合论，是近、现代数学的一个重要的基础，一方面，许多重要的数学分支，都建立在集合理论的基础上。另一方面，集合论及其所反映的数学思想，在越来越广泛的领域种得到应用。 课型：新授课 教学目标：（1）通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的理解集合“属于”关系； （2）能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用； 教学重点：集合的基本概念与表示方法； 教学难点：运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法，正确表示一些简单的集合； 教学过程： 一、引入课题 军训前学校通知：8月15日8点，高一年段在体育馆集合进行军训动员；试问这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生 在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定（是高一而不是高二、高三）对象的总体，而不是个别的对象，为此，我们将学习一个新的概念——集合（宣布课题），即是一些研究对象的总体。 阅读课本P2-P3内容 二、新课教学 （一）集合的有关概念 1.集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东西，并且能判断一 个给定的东西是否属于这个总体。 2.一般地，研究对象统称为元素（element），一些元素组成的总体叫集合（set），也简称集。 3.思考1：课本P3的思考题，并再列举一些集合例子和不能构成集合的例子，对学生的例子予以讨论、点评， 进而讲解下面的问题。 4.关于集合的元素的特征 （1）确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。 （2）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素。 （3）集合相等：构成两个集合的元素完全一样 5.元素与集合的关系； （1）如果a是集合A的元素，就说a属于（belong to）A，记作a∈A （2）如果a不是集合A的元素，就说a不属于（not belong to）A，记作a?A（或a A）（举例） 6.常用数集及其记法 ∈ 非负整数集（或自然数集），记作N 正整数集，记作N*或N+； 整数集，记作Z 有理数集，记作Q 实数集，记作R （二）集合的表示方法 我们可以用自然语言来描述一个集合，但这将给我们带来很多不便，除此之外还常用列举法和描述法来表 示集合。 （1）列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内。 如：{1，2，3，4，5}，{x2，3x+2，5y3-x，x2+y2}，…； 例1．（课本例1） 第一章集合与函数概念 课时一：集合有关概念 1.集合的含义：集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东 西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个整体。 2.一般的研究对象统称为元素，一些元素组成的总体叫集合，简称为集。 3.集合的中元素的三个特性： （1）元素的确定性：集合确定，则一元素是否属于这个集合是确定的：属于或不属于。 例：世界上最高的山、中国古代四大美女、教室里面所有的人…… （2）元素的互异性：一个给定集合中的元素是唯一的，不可重复的。 例：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y} （3）元素的无序性:集合中元素的位置是可以改变的，并且改变位置不影响集合 例：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合 3.集合的表示：{…} 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋} （1）用大写字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} （2）集合的表示方法：列举法与描述法。 1）列举法：将集合中的元素一一列举出来 {a,b,c……} 2）描述法：将集合中元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合。 {x R| x-3>2} ,{x| x-3>2} ①语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} ②Venn图:画出一条封闭的曲线，曲线里面表示集合。 4、集合的分类： （1）有限集：含有有限个元素的集合 （2）无限集：含有无限个元素的集合 （3）空集：不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝ 5、元素与集合的关系： （1）元素在集合里，则元素属于集合，即：a A （2）元素不在集合里，则元素不属于集合，即：a A 注意：常用数集及其记法： 非负整数集（即自然数集）记作：N 正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 高中数学必修一 第一章集合与函数概念 课时一：集合有关概念 1.集合的含义：集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东 西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个整体。 2.一般的研究对象统称为元素，一些元素组成的总体叫集合，简称为集。 3.集合的中元素的三个特性： （1）元素的确定性：集合确定，则一元素是否属于这个集合是确定的：属于或不属于。例：世界上最高的山、中国古代四大美女、…… （2）元素的互异性：一个给定集合中的元素是唯一的，不可重复的。 例：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y} （3）元素的无序性:集合中元素的位置是可以改变的，并且改变位置不影响集合 例：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合 3.集合的表示：{…} 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋} （1）用大写字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} （2）集合的表示方法：列举法与描述法。 1）列举法：将集合中的元素一一列举出来 {a,b,c……} 2）描述法：将集合中元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合。 {x∈R| x-3>2} ,{x| x-3>2} ①语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} ②Venn图:画出一条封闭的曲线，曲线里面表示集合。 4、集合的分类： （1）有限集：含有有限个元素的集合 （2）无限集：含有无限个元素的集合 （3）空集：不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝ 5、元素与集合的关系： （1）元素在集合里，则元素属于集合，即：a∈A （2）元素不在集合里，则元素不属于集合，即：a A 注意：常用数集及其记法：(&&&&&) 非负整数集（即自然数集）记作：N 正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 课时二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集 （1）定义：如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们说这两个集合有包含关系， A?（或B?Ａ） 称集合A是集合B的子集。记作：B A?有两种可能（1）A是B的一部分，； 注意：B （2）A与B是同一集合。 反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A?/B或B?/A 2．“相等”关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5) 实例：设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等” 即：①任何一个集合是它本身的子集。A?A 1．1．1集合的含义 使用说明： “自主学习”10分钟，发现问题，小组讨论，展示个人成果，教师对重点概念点评。 “合作探究”10分钟，小组讨论，互督互评，展示个人成果，教师对重点讲评。 “巩固练习”10分钟，组长负责，组点评。 “个人总结”5分钟，根据组讨论情况，指出对规律，方法理解不到位的问题。 能力展示5分钟，教师作出总结性点评。 通过本节学习应达到如下目标: (1)初步理解集合的含义，知道常用数集及其记法.,初步了解“∈”关系的意义.。. (2)通过实例,初步体会元素与集合的”属于”关系,从观察分析集合的元素入手,正确地理解集合. (3)观察关于集合的几组实例,并通过自己动手举出各种集合的例子,初步感受集合语言在描述客观现 实和数学对象中的意义. (4)学会借助实例分析、探究数学问题(如集合中元素的确定性、互异性). (5)在学习运用集合语言的过程中,增强认识事物的能力,初步培养实事、扎实严谨的科学态度. 学习重点： 集合概念的形成。 学习难点： 理解集合的元素的确定性和互异性. 学习过程 （一）自主学习 阅读课本，完成下列问题： 1、例（3）到例（8）和例（1）（2）是否具有相同的特点，它们能否构成集合，如果能，他们的元 素是什么？结合现实生活，请你举出一些有关集合的例子。 2、一般地，我们把研究对象称为 .，把一些元素组成的总体叫做。 3、集合的元素必须是不能确定的对象不能构成集合。 4、集合的元素一定是的，相同的几个对象归于同一个集合时只能算作一个元素。 5、集合通常用大写的拉丁字母表示，如。元素通常用小写的拉丁字母表示，如。 6、如果 a是集合A 的元素,就说 a属于A ,记作 ,读作””。 如果 a不是集合 A的元素,就说 a不属于A ,记作，读作””。 7、非负整数集（或自然数集），正整数集，整数集，有理数集， 有理数集，实数集。 （二）合作探讨 1、下列元素全体是否构成集合，并说明理由 （1）世界上最高的山（2）世界上的高山。(3) 2的近似值 (4)爱好唱歌的人 （5）本届奥运会我国取得优秀成绩的运动员。（6）本届奥运会我国参加的所有运动项目。 高一数学必修1各章知识点总结 一、集合 1、集合的中元素的三个特性： 2、集合的表示方法：列举法与描述法、图示法 非负整数集（即自然数集）记作：N 正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数R 二、集合间的基本关系 1.?包含?关系—子集 注意：B A?有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A 与B是同一集合。 反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A?/B或B?/A 2．?相等?关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5) 实例：设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} ?元素相同则两集合相等? 即：①任何一个集合是它本身的子集。A?A ②真子集:如果A?B,且A≠ B那就说集合A是集合B的真 子集，记作A B(或B A) ③如果 A?B, B?C ,那么 A?C ④如果A?B 同时 B?A 那么A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ 规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。 有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集 例题： 1.下列四组对象，能构成集合的是 （ ） A 某班所有高个子的学生 B 著名的艺术家 C 一切很大的书 D 倒数等于它自身的实数 2.集合{a ，b ，c }的真子集共有 个 3.若集合M={y|y=x 2-2x+1,x ∈R},N={x|x ≥0}，则M 与N 的关系是 . 4.设集合A=}{12x x <<，B=}{x x a <，若A ?B ，则a 的取值范围是 5.50名学生做的物理、化学两种实验，已知物理实验做得正确得有40人，化学实验做得正确得有31人， 两种实验都做错得有4人，则这两种实验都做对的有 人。 6. 用描述法表示图中阴影部分的点（含边界上的点）组成的集合M= . 7.已知集合A={x| x 2+2x-8=0}, B={x| x 2-5x+6=0}, C={x| x 2-mx+m 2-19=0}, 若B ∩C ≠Φ，A ∩C=Φ，求m 的值 集合 一、选择题 1．下列选项中元素的全体可以组成集合的是（） A.学校篮球水平较高的学生 B.校园中长的高大的树木 C.2007年所有的欧盟国家 D.中国经济发达的城市 2．方程组的解构成的集合是（）A．B．C．（1，1） D． 3．已知集合A={a，b，c},下列可以作为集合A的子集的是（） A. a B. {a，c} C. {a，e} D.{a，b，c，d} 4．下列图形中，表示的是（） D C B A 5．下列表述正确的是 （） A. B. C. D. 6、设集合A＝{x|x参加自由泳的运动员}，B＝{x|x参加蛙泳的运动员}，对于“既参 加自由泳又参加蛙泳的运动员”用集合运算表示为 ( ) A.A∩B B.A B C.A∪B D.A B 7.集合A={x} ,B={} ,C={} 又则有（） A.（a+b） A B. (a+b) B C.(a+b) C D. (a+b) A、B、C任一个8.集合A={1，2，x}，集合B={2，4，5}，若={1，2，3，4，5}，则x=（） A. 1 B. 3 C. 4 D. 5 9.满足条件{1,2,3}M{1,2,3,4,5,6}的集合M的个数是（） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 10.全集U = {1 ，2 ，3 ，4 ，5 ，6 ，7 ，8 }， A= {3 ，4 ，5 }， B= {1 ，3 ， 6 }，那么集合{ 2 ， 7 ，8}是（） A. B. C. D. 11.设集合， ( ) A．B．C． D． 12. 如果集合A={x|ax2＋2x＋1=0}中只有一个元素，则a的值是（） A．0 B．0 或 1 C． 1 D．不能确定 二、填空题 13．用描述法表示被3除余1的集合． 14．用适当的符号填空： （1）；（2）{1，2，3} N； （3）{1} ；（4）0 ． 15.含有三个实数的集合既可表示成，又可表示成，则 . 一集合（§1.1.1 集合） 教学时间 :第一课时 课题:§1.1.1 集合 教学目标: 1、理解集合的概念和性质. 2、了解元素与集合的表示方法. 3、熟记有关数集. 4、培养学生认识事物的能力. 教学重点:集合概念、性质 教学难点:集合概念的理解 教学方法:尝试指导 教具准备:投影片（3张） 教学过程: （I）引入新课 同学们好！首先，我祝贺大家能升入苍梧第一高级中学进行高中学习。下面我想初步了解一下同学们的情况。请来自××中学的同学站起来。依次询问他们的名字，并板书。同样询问来自另一学校学生情况。××同学你为什么不站起来？来自××中学的三位虽然性别不同，年龄有差异，但他们有一个共同的性质——来自××中学。所以，在数学上可以把他们看作为有3个元素的集合（板书课题：集合，并将其姓名用{ }括起来），同样，××中学的二位同学也可看作有2个元素的集合。显然，刚才抽到的××同学如果作为一个元素就不属于上面这两个集合了。同学们！这节课我们将系统地研究集合的一些概念。讲四个问题：（1）集合和元素；（2）集合的分类；（3）集合的表示方法；（4）为什么要学习集合的表示方法？ （II）复习回顾 师生共同回顾初中代数中涉及“集合”提法. （Ⅲ）讲授新课 通过以上实例，教师指出： 1、定义： 集合：一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合（集）. 师：进一步指出： 元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素. 由此上述例中集合的元素是什么？ 生：例（1）的元素为1、3、5、7， 例（2）的元素为到两定点距离等于两定点间距离的点， 例（3）的元素为满足不等式3x-2> x+3的实数x， 例（4）的元素为所有直角三角形， 例（5）为高一·六班全体男同学. 师：请同学们另外举出三个例子，并指出其元素. 生：略.（教师给予评议）。 师：一般用大括号表示集合，{ …}如{我校的篮球队员}，{太平洋、大西洋、印度洋、北冰洋}。则上几例可表示为…… 为方便，常用大写的拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员} ，B={1，2，3，4，5} 2 生：在师指导下一一回答上述问题. 师：由以上四个问题可知， 集合元素具有三个特征： （1）确定性；（2）互异性；（3）无序性. 3、元素与集合的关系：隶属关系 ∈师：元素与集合的关系有“属于∈”及“不属于?（?也可表示为）两种。 特别说明： 《高中数学教材》是根据最新课程标准，参考独家内部资料，结合自己颇具特色的教学实践和卓有成效的综合辅导经验精心编辑而成；本套资料分必修系列和选修系列及部分选修4系列。欢迎使用本资料! 本套资料所诉求的数学理念是：（1）解题活动是高中数学教与学的核心环节，（2）精选的优秀试题兼有巩固所学知识和检测知识点缺漏的两项重大功能。 本套资料按照必修系列和选修系列及部分选修4系列的章节编写，每章或节分三个等级：[基础训练A组]， [综合训练B组]， [提高训练C组] 目录：数学1（必修） 数学1（必修）第一章：（上）集合 [训练A、B、C] 数学1（必修）第一章：（中）函数及其表 [训练A、B、C] 数学1（必修）第一章：（下）函数的基本性质[训练A、B、C] 数学1（必修）第二章：基本初等函数（I） [基础训练A组] 数学1（必修）第二章：基本初等函数（I） [综合训练B组]数学1（必修）第二章：基本初等函数（I） [提高训练C组]数学1（必修）第三章：函数的应用 [基础训练A组]数学1（必修）第三章：函数的应用 [综合训练B组]数学1（必修）第三章：函数的应用 [提高训练C组] （数学1必修）第一章（上） 集合 [基础训练A 组] 一、选择题 1．下列各项中，不可以组成集合的是（ ） A ．所有的正数 B ．等于2的数 C ．接近于0的数 D ．不等于0的偶数 2．下列四个集合中，是空集的是（ ） A ．}33|{=+x x B ．},,|),{(2 2 R y x x y y x ∈-= C ．}0|{2 ≤x x D ． },01|{2 R x x x x ∈=+- 3．下列表示图形中的阴影部分的是（ ） A ．()()A C B C U I U B ．()()A B A C U I U C ．()()A B B C U I U D ．()A B C U I 4．下面有四个命题： （1）集合N 中最小的数是1； （2）若a -不属于N ，则a 属于N ； （3）若,,N b N a ∈∈则b a +的最小值为2； （4）x x 212 =+的解可表示为{ }1,1； 其中正确命题的个数为（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 5．若集合{},,M a b c =中的元素是△ABC 的三边长， 则△ABC 一定不是（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形 6．若全集{}{}0,1,2,32U U C A ==且，则集合A 的真子集共有（ ） A ．3个 B ．5个 C ．7个 D ．8个 二、填空题 1．用符号“∈”或“?”填空 （1）0______N , 5______N , 16______N （2）1 ______,_______,______2 R Q Q e C Q π- （e 是个无理数） （3{} |,,x x a a Q b Q =+∈∈ A B C高一数学必修1知识点总结
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