高考数学模拟复习试卷试题模拟卷233 23
高考模拟复习试卷试题模拟卷
【高频考点解读】
1．认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构．
2.能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测画法画出它们的直观图．
3.会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式．
4.了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式．
【热点题型】
题型一空间几何体的三视图和直观图
例1、(1)一几何体的直观图如图，下列给出的四个俯视图中正确的是()
(2)正三角形AOB的边长为a，建立如图所示的直角坐标系xOy，则它的直观图的面积是________．
答案(1)B(2)
6 16a2
解析(1)该几何体是组合体，上面的几何体是一个五面体，下面是一个长方体，且五面体的一个面即为长方体的一个面，五面体最上面的棱的两端点在底面的射影距左右两边距离相等，因此选B.
(2)画出坐标系x′O′y′，作出△OAB 的直观图O′A′B′(如图)．D′为O′A′的中点．
易知D′B′＝1
2DB(D 为OA 的中点)，
∴S △O′A′B′＝12×22S △OAB ＝24×34a2＝6
16a2. 【提分秘籍】
(1)三视图中，正视图和侧视图一样高，正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽，即“长对正，宽相等，高平齐”；(2)解决有关“斜二测画法”问题时，一般在已知图形中建立直角坐标系，尽量运用图形中原有的垂直直线或图形的对称轴为坐标轴，图形的对称中心为原点，注意两个图形中关键线段长度的关系．
【举一反三】
(1)如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是( )
A ．三棱锥
B ．三棱柱
C ．四棱锥
D ．四棱柱
(2)如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6cm ，O′C′＝2cm ，则原图形是( )
A ．正方形
B ．矩形
C ．菱形
D ．一般的平行四边形
答案 (1)B (2)C
解析 (1)如图，几何体为三棱柱．
题型二 空间几何体的表面积与体积
例2、(1)如图，网格纸上正方形小格的边长为1(表示1cm)，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm ，高为6cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为( )
A.1727
B.59
C.1027
D.13
(2)一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积为( )
A.233
B.47
6C ．6D ．7
(3)有三个球，第一个球内切于正方体，第二个球与这个正方体各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，则这三个球的表面积之比为________．
答案 (1)C (2)A (3)1∶2∶3
解析 (1)由三视图可知几何体是如图所示的两个圆柱的组合体．其中左面圆柱的高为4cm ，底面半径为2cm ，右面圆柱的高为2cm ，底面半径为3cm ，则组合体的体积V1＝π×22×4＋π×32×2＝16π＋18π＝34π(cm3)，原毛坯体积V2＝π×32×6＝54π(cm3)，则所求比值为54π－34π54π＝10
27.
(2)该几何体是正方体去掉两个角所形成的多面体， 其体积为V ＝2×2×2－2×13×12×1×1×1＝23
3. (3)设正方体的棱长为a ，
①正方体的内切球球心是正方体的中心，切点是六个面的中心，经过四个切点及球心作截面如图①所示，有2r1＝a ，∴r1＝a
2，S1＝4πr 21＝πa2.
【提分秘籍】
(1)解决组合体问题关键是分清该几何体是由哪些简单的几何体组成的以及这些简单的几何体的组合情况；(2)由三视图求几何体的面积、体积，关键是由三视图还原几何体，同时还需掌握求体积的常用技巧如：割补法和等价转化法．
【举一反三】
(1)一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()
A．48 B．32＋817
C．48＋817 D．80
(2)把边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折起，使得平面ABD⊥平面CBD，形成三棱锥C－ABD 的正视图与俯视图如图所示，则侧视图的面积为()
A.12 B .22 C.14 D.24 答案 (1)C (2)C
解析 (1)由三视图知该几何体的直观图如图所示，该几何体的下底面是边长为4的正方形；上底面是长为4、宽为2的矩形；两个梯形侧面垂直于底面，上底长为2，下底长为4，高为4；另两个侧面是矩形，宽为4，长为42＋12＝17.所以S 表＝42＋2×4＋1
2×(2＋4)×4×2＋4×17×2＝48＋817.
(2)因为C 在平面ABD 上的射影为BD 的中点O ，在边长为1的正方形ABCD 中，AO ＝CO ＝12AC ＝2
2，所以侧视图的面积等于S △AOC ＝12CO·AO ＝12×22×22＝1
4，故选C.
题型三 空间几何体的结构特征 例3、 给出下列命题：
①棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形； ②若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直；
③在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱； ④存在每个面都是直角三角形的四面体； ⑤棱台的侧棱延长后交于一点． 其中正确命题的序号是________． 答案 ②③④⑤
解析 ①不正确，根据棱柱的定义，棱柱的各个侧面都是平行四边形，但不一定全等；②正确，若
三棱锥的三条侧棱两两垂直，则三个侧面构成的三个平面的二面角都是直二面角；③正确，因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱，又垂直于底面；④正确，如图，正方体AC1中的三棱锥C1－ABC，四个面都是直角三角形；⑤正确，由棱台的概念可知．
【提分秘籍】
(1)解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，可以根据条件构建几何模型，在几何模型中进行判断；(2)解决本类题目的技巧：三棱柱、四棱柱、三棱锥、四棱锥是常用的几何模型，有些问题可以利用它们举特例解决或者学会利用反例对概念类的命题进行辨析．【举一反三】
给出下列命题：
①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；
②有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥；
③直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；
④棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等．
其中正确命题的个数是()
A．0 B．1 C．2 D．3
答案A
图1 图2 【高考风向标】
1.【高考浙江，文2】某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积是（） A ．83cm B ．123cm C ．
3233cm D ．403
3cm
【答案】C
【解析】由三视图可知，该几何体是一个棱长为2的正方体与一个底面边长为2，高为2的正四棱锥的组合体，故其体积为323
1
3222233
V cm =+??=
.故选C. 2.【高考重庆，文5】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
123π+ (B)
136π (C) 73π (D) 52
π
【答案】B
【解析】由三视图可知该几何体是由一个底面半径为1，高为2的圆柱，再加上一个半圆锥：其底面半径为1，高也为1，构成的一个组合体，故其体积为6
1311612122π
ππ=
???+
??，故选B. 3.【高考陕西，文5】一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ） A ．3πB ．4πC ．24π+D ．34π+
【答案】D
4、【高考新课标1，文11】圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r ）组成一个几何体，该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为1620π+，则r =( )
（A ）1 （B ）2 （C ）4 （D ）8 【答案】B
【解析】由正视图和俯视图知，该几何体是半球与半个圆柱的组合体，圆柱的半径与球的半径都为r ，圆柱的高为2r ，其表面积为
221
42222
r r r r r r πππ?+?++?=2254r r π+=16 + 20π，解得r=2，故
选B.
5.【高考福建，文9】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于（）
1
1
1
2
A．822
+ B．1122
+ C．1422
+ D．15
【答案】B
6.【高考山东，文9】已知等腰直角三角形的直角边的长为，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )
（A）
22
3
π
（B）
42
3
π
（）22π（）42π【答案】B
【解析】由题意知，该等腰直角三角形的斜边长为22，斜边上的高为2，所得旋转体为同底等高的全等圆锥，所以，其体积为2
142
(2)22
3
π
π??=，故选B.
7【高考安徽，文9】一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（ ）
（A ）13+ （B ）122+ （C ）23+ （D ）22 【答案】C
【解析】由该几何体的三视图可知，该几何体的直观图，如下图所示：
其中侧面PAC ⊥底面ABC ，且PAC ?≌ABC ?，由三视图中所给数据可知：
2====BC AB PC PA ,取AC 中点,O 连接BO PO ,，则POB Rt ?中，
1==BO PO ?2=PB ∴32222
1
2432+=??+??
=S ，故选C. 8.【高考天津，文10】一个几何体的三视图如图所示（单位:m ）,则该几何体的体积为3m .
【答案】
8π3
【解析】该几何体是由两个高为1的圆锥与一个高为2的圆柱组合而成,所以该几何体的体积为
318π2π1π2(m )33
???+?= .
9.【高考四川，文14】在三棱住ABC －A1B1C1中，∠BAC ＝90°，其正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是直角边长为1的等腰直角三角形，设点M ，N ，P 分别是AB ，BC ，B1C1的中点，则三棱锥P －A1MN 的体积是______.
【答案】
1
24
10．（·安徽卷）一个多面体的三视图如图1-2所示，则该多面体的体积是( )
图1-2
A.233
B.47
6 C ．6 D ．7
【答案】A 【解析】如图所示，由三视图可知该几何体是棱长为2的正方体截去两个小三棱锥后余下的部分，其体积V ＝8－2×13×12×1×1×1＝23
3.
11．（·湖南卷）一块石材表示的几何体的三视图如图1-2所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于( )
图1-2
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 【答案】B
【解析】由三视图可知，石材为一个三棱柱(相对应的长方体的一半)，故可知能得到的最大球为
三棱柱的内切球．由题意可知正视图三角形的内切圆的半径即为球的半径，可得R ＝6＋8－10
2
＝2. 12．（·陕西卷）将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是( )
A ．4π
B ．3π
C ．2π
D ．π 【答案】C
【解析】由题意可知，旋转体是一个底面半径为1，高为1的圆柱，故其侧面积为2π×1×1＝2π. 13．（·全国卷）正四棱锥的顶点都在同一球面上．若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为( )
A.81π
4 B ．16π C ．9π D.27π
4 【答案】A
14．（·陕西卷）四面体ABCD 及其三视图如图1-4所示，平行于棱AD ，BC 的平面分别交四面体的棱AB ，BD ，DC ，CA 于点E ，F ，G ，H.
图1-4
(1)求四面体ABCD 的体积；
(2)证明：四边形EFGH 是矩形．
【解析】解：(1)由该四面体的三视图可知， BD ⊥DC ，BD ⊥AD ，AD ⊥DC ，BD ＝DC ＝2，AD ＝1， ∴AD ⊥平面BDC ，
∴四面体ABCD 的体积V ＝13×12×2×2×1＝2
3.
(2)证明：∵BC ∥平面EFGH ，平面EFGH∩平面BDC ＝FG ，平面EFGH∩ 平面ABC ＝EH ，
∴BC ∥FG ，BC ∥EH ，∴FG ∥EH. 同理EF ∥AD ，HG ∥AD ，∴EF ∥HG ， ∴四边形EFGH 是平行四边形．
又∵AD ⊥平面BDC ，∴AD ⊥BC ，∴EF ⊥FG ， ∴四边形EFGH 是矩形． 【高考押题】
1．下列结论中正确的是( )
A ．各个面都是三角形的几何体是三棱锥
B ．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥
C ．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能是六棱锥
D ．圆锥的顶点与底面圆周上的任一点的连线都是母线 答案 D
解析 当一个几何体由具有相同的底面且顶点在底面两侧的两个三棱锥构成时，尽管各面都是三角形，但它不是三棱锥，故A 错误；若三角形不是直角三角形或是直角三角形但旋转轴不是直角边所在直线，所得几何体就不是圆锥，B 错误；若六棱锥的所有棱都相等，则底面多边形是正六边形，由几何图形知，若以正六边形为底面，则棱长必然要大于底面边长，故C 错误．
2．五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个五棱柱对角线的条数共有( )
A ．20
B ．15
C ．12
D ．10
答案 D
解析 如图，在五棱柱ABCDE －A1B1C1D1E1中，从顶点A 出发的对角线有两条：AC1，AD1，同理从
B ，
C ，
D ，
E 点出发的对角线均有两条，共2×5＝10(条)．
3．已知底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱(底面是正方形的直棱柱)的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为( )
A.32π3B ．4πC ．2πD.4π3 答案 D
解析 正四棱柱的外接球的球心为上下底面的中心连线的中点， 所以球的半径r ＝
2
22＋
2
22＝1，
球的体积V ＝4π3r3＝4π
3.故选D.
4．某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积是( )
A ．72cm3
B ．90cm3
C ．108cm3
D ．138cm3 答案 B
解析 该几何体为一个组合体，左侧为三棱柱，右侧为长方体，如图所示． V ＝V 三棱柱＋V 长方体＝1
2×4×3×3＋4×3×6＝18＋72＝90(cm3)．
5．沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为()
答案B
解析由已知中几何体的直观图，我们可得侧视图首先应该是一个正方形，故D不正确；中间的棱在侧视图中表现为一条对角线，故C不正确；而对角线的方向应该从左上到右下，故A不正确．6．若一个圆柱的正视图与其侧面展开图相似，则这个圆柱的侧面积与表面积的比值为________．
答案
2π2π＋1
7．一个几何体的三视图如图所示，其中侧视图与俯视图均为半径是2的圆，则这个几何体的体积是________．
答案 8π
解析 由三视图知该几何体是半径为2的球被截去四分之一后剩下的几何体，则该几何体的体积V ＝4
3×π×23×3
4＝8π.
8．如图所示的三个几何体，一个是长方体，一个是直三棱柱，一个是过圆柱上、下底面圆心切下圆柱的四分之一部分，若这三个几何体的正视图和俯视图是相同的正方形，求它们的表面积之比．
9．已知一个上、下底面为正三角形且两底面中心连线垂直于底面的三棱台的两底面边长分别为20cm 和30cm ，且其侧面积等于两底面面积之和，求棱台的高．
解 如图所示，三棱台ABC —A1B1C1中，O 、O1分别为两底面中心，D 、D1分别为BC 和B1C1的中点，则DD1为棱台的斜高．
由题意知A1B1＝20，AB ＝30， 则OD ＝53，O1D1＝103
3，
由S 侧＝S 上＋S 下，得
12×(20＋30)×3DD1＝34×(202＋302)， 解得DD1＝13
33， 在直角梯形O1ODD1中， O1O ＝DD21－
OD －O1D12＝43，
所以棱台的高为43cm.
高考模拟复习试卷试题模拟卷
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【考情解读】
1.以立体几何的有关定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直、面面垂直的有关性质与判定定理，并能够证明相关性质定理；
2.能运用线面垂直、面面垂直的判定及性质定理证明一些空间图形的垂直关系的简单命题． 【重点知识梳理】 1．直线与平面垂直 (1)直线和平面垂直的定义
如果一条直线l 与平面α内的任意直线都垂直，就说直线l 与平面α互相垂直． (2)判定定理与性质定理
文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直
??
??
?l ⊥αl ?β?l ⊥α 性
质定理 如果两条直线垂直于同一个
平面，那么这两条直线平行
??
???
a ⊥α
b ⊥α?a ∥b 2.平面与平面垂直 (1)平面与平面垂直的定义
两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． (2)判定定理与性质定理
文字语言
图形语言
符号语言 判定 定理
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直
??
???l ⊥αl ?β?α⊥β 性质 定理
如果两个平面互相垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面
?
???
?α⊥β
α∩β＝a l ⊥a l ?β
?l ⊥α (1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条斜线和这个平面所成的角．
(2)线面角θ的范围：θ∈?
??
?0，π2.