《数学归纳法及其应用举例》
《数学归纳法及其应用举例》教案
重庆第八中学校 邓礼咸
【教学目标】
知识与技能：
1. 了解由归纳法得出的结论具有不可靠性, 理解数学归纳法的原理与本质;
2. 掌握数学归纳法证题的两个步骤及其简单应用；
3. 培养学生观察、探究、分析、论证的能力, 体会类比的数学思想． 过程与方法:
1.创设情境，激发学生学习兴趣，让学生体验知识的发生与发展过程;
2.通过对数学归纳法的学习、应用，逐步体验观察、归纳、猜想、论证的过程，培养学生严谨的逻辑推理意识，并初步掌握论证方法;
3.通过发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的过程，培养学生创新能力. 情感与价值观:
1. 通过对数学归纳法原理的探究，培养学生严谨的科学态度和勇于探索的精神；
2.通过对数学归纳法原理和本质的讨论，培养学生团结协作的精神；
3.通过置疑与探究，培养学生独立的人格与敢于创新的精神；
【教学重点】
数学归纳法产生过程的分析，初步理解数学归纳法的原理并能简单应用.
【教学难点】
数学归纳法中两个条件的归纳，提炼和理解,及数学归纳法证明命题的两个步骤.
【教学方法】师生互动讨论、共同探究的方法
【教学手段】多媒体辅助课堂教学
【教学过程】
一、创设情境，引入课题
情境一、“摸球实验”
这盒子中装的不是糖，而是乒乓球，下面抽几个同学从盒中分别摸出一个球，并判断乒乓球的颜色，由此猜想这盒子中所有乒乓球的颜色。
问：这个猜想对吗？ 答：不对
问：怎样判断这个猜想是对的？ 答：把它全部倒出来看或一个一个摸出来看。 问：为什么可以一个一个摸出来看？答：因为是有限的。
问：如果是无限的呢？ 答：不能采用一个一个摸出来看。 再看一个数学问题：
情境二：已知n a ＝22)55(+-n n （*n N ∈），
(1) 分别求1a ；2a ；3a ．（由学生齐答1a ；2a ；3a 的值，老师播放幻灯片）
(2) 由此猜想出n a 的值？这个猜想正确吗？
检验：451,251a a ==≠ 所以这个猜想是错的。
（4a 的值是对的，就接着检验后面的,不要一检验就是错的）
由上面两个例子看出：由几个特殊的事例得出一般的结论有时是对的，有时是错的。 由此引出归纳法的定义： 归纳法：由一些特殊事例推出一般结论的推理方法. 分为完全归纳法和不完全归纳法。
完全归纳法: 把研究对象一一都考查到了而推出结论的归纳法称为完全归纳法； 不完全归纳法: 根据事物的部分(而不是全部)特例得出一般结论的推理方法.
下面看一个比较熟悉的数学问题：等差数列的通项公式：
1(1)n a a n d =+-（由学生齐答，老师在黑板上书写）
回顾等差数列{}n a 通项公式推导过程：
213214311 23 (1)n a a d a a d a d
a a d a d a a n d =+=+=+=+=+=+-猜想 （学生齐答，老师放幻灯）
问：这个猜想对吗？
学生答：不一定对
但我们已把它当成一个公式在用，说明这个猜想是对的，怎样证明？
法一：一个一个的检验，由于n 是无限的，这个方法不可行，除非我们把有限的生
命投入到无限的验算中去。
问：有没有更好的方法呢？从而引出课题：数学归纳法。（放幻灯片）
二、师生互动，探究知识
先看一个大家比较熟悉的游戏：演示多米诺骨牌游戏视频.
我们把刚才的视频简化一下，得到这样的一个实验（老师弹出事先准备好的简化的多米诺骨牌游戏的动画,并再次演示一遍）
提问：满足什么条件能使所有的骨牌全部倒下？
（把学生按前后四个同学分组，每组选一个代表发言，讨论时间大约3分钟左右） 学生代表发言（老师在黑板上书写）：
条件1：第一块要倒下;
条件2：当前面一块倒下时，后面一块必须倒下
问：其它组还有其它意见吗？（给学生提出的条件老师进行归纳整理）
问：是否满足这两个条件就可以保证所有的骨牌倒下？
给出推理（播放幻灯片）：
第1块倒下 第2块倒下 第3块倒下
第n 块倒下 所有的骨牌全部倒下。 对多米诺骨牌游戏的原理进行推广：
因为骨牌是1块，2块，……,无数块,而我们要这么的等差数列的通项公式也是要证明1,2,,n n ==成立,所以可将多米诺骨牌游戏的原理类比到与正整数有关的数学命由条件1 由条件2 由条件2 由条件2 由条件2
进一步总结数学归纳法的两个步骤：
(1)1n =时命题成立；
(2)假设*(1,)n k k k N =≥∈成立，则1n k =+时接结论也成立。
我们把用这种模式来证明与正整数有关的数学命题叫作数学归纳法。
下面解释一下用数学归纳法来证题是可行的，有效的：
1.推理过程：
1n =成立 2n =成立 3n =成立 …… 对所有的正整数n 都成立。 2.假设n k =成立的依据
根据第1步，1n =成立，取1k =，这时假设1n k ==成立就不是假设而是一个已经成立的事实了，再根据第2步，由1n k ==成立就可推出1112n k =+=+=成立，再取2k =，这时假设2n k ==成立就不是假设而是一个已经成立的事实了；如此取下去，每一个假设n k =成立都是有依据的。
所以用数学归纳法来证明数学问题是有效的和可靠的，大家可以放心大胆使用。
三、通过实例，运用知识
例：用数学归纳法证明等差数列通项公式d n a a n )1(1-+=
(师生共同完成,老师在黑板上书写并强调步骤及注意点)
证明：(1) 当n ＝1时,左=1a ，右=11(11)a d a +-=，所以左=右，即n=1时结论成立；
(2) 假设当*(1,)n k k k N =≥∈时结论成立, 即d k a a k )1(1-+=,
则1n k =+时，d a a k k +=+1=d k a ]1)1[(1-++,
即n ＝k ＋1时等式也成立．
综合(1),(2), 对一切的*n N ∈，d n a a n )1(1-+=成立．
数学归纳法原理的强调(学生表述,教师补正)：
（1）（递推奠基）：验证1n =时命题成立；
（2）（递推根据）：假设*(1,)n k k k N =≥∈时结论正确；去证明当1n k =+时结论也正
确.（一定要用到假设）
数学归纳法的本质：无穷的归纳→有限的演绎（递推关系）
四、反馈练习, 巩固知识
用数学归纳法证明：多边形的内角和为(2)180n a n =-??．
根据第1步 根据第2步 根据第2步 根据第2步 根据第2步
（学生独立完成，通过投影仪指出学生在书写过程中的不足，最后老师播放幻灯片写出规范的解答）
通过这个练习，我们发现数学归纳法的第一步不一定是从1n =开始的，所以对数学归纳法的两步略作改动：
(1)1n =时命题成立；
(2)假设*(1,)n k k k N =≥∈成立，则1n k =+时结论也成立。
改为：
(1)验证*000(1,)n n n n N =≥∈时命题成立；
(2)假设*0(,)n k k n k N =≥∈成立，则1n k =+时结论也成立。
五、总结归纳，加深理解
（先由学生总结，最后老师再总结，最后播放幻灯片）
1、两个方法：归纳法和数学归纳法；
2、归纳法是一种由特殊到一般的推理方法，它可以分为完全归纳法和不完全归纳法两种。
归纳法的本质：特殊到一般 归纳法的作用：发现规律
归纳法的缺陷：具有不可靠性
3、数学归纳法
基本思想：递推的思想
适用范围：与正整数有关的数学命题
两个步骤：
(1)验证*000(1,)n n n n N =≥∈时命题成立；（递推的基础）
(2)假设*0(,)n k k n k N =≥∈成立，则1n k =+时接结论也成立。（递推的依据） 两个条件缺一不可，相互依存．
附数学归纳法打油诗一首：
两个步骤一结论，
递推基础不可少，
归纳假设要用到，
结论写明莫忘掉。
数学归纳法的应用是非常广泛的，用数学归纳法证题的关键是如何由n k =成立去证明1n k =+成立，有那些方法和技巧，且听下回分解。
六、布置作业, 课外延伸 ()1 22
13n n n +++++=1.用数学归纳法证明: ()()22221211236
n n n n ++++++=
2.用数学归纳法证明:
《数学归纳法及其应用举例》教学设计说明
重庆第八中学校邓礼咸
一．数学归纳法的本质、地位、作用分析
《数学归纳法及其应用举例》是人教社全日制普通高级中学教科书数学第三册(选修II)第二章第一节的内容，本节共三课时，这是第一课时, 主要内容是数学归纳法理解与简单应用。
数学归纳法体现了递推的思想，数学归纳法的本质就是利用递推思想去证题的一种方法。
1．数学归纳法在教材中的地位与作用
数学归纳法是证明与正整数有关命题的一种重要的证明方法，通过对数学归纳法的学习，可对中学数学中的许多重要结论，如等差、等比数列的通项公式及前n项和公式、二项式定理以及中小学很多思维上开拓创新的题目可以进行很好地证明，使很多数学结论更加严密，也为后继学习打下了良好的基础。
2．数学归纳法对思维发展的地位与作用
人类对问题的研究，结论的发现认同，思维流程通常是观察→归纳→猜想→证明。猜想的结论对不对，证明是尤为关键的。运用数学归纳法解题时，有助于学生对等式的恒等变形，不等式的放缩，数、式、形的构造与转化等知识加强训练与掌握。对数学归纳法原理的理解，蕴含着递归与递推，归纳与推理，特殊到一般，有限到无限等数学思想和方法，对思维的发展起到了完善与推动的作用。二．教学目标分析
知识与技能：
1. 了解由归纳法得出的结论具有不可靠性, 理解数学归纳法的原理与本质;
2. 掌握数学归纳法证题的两个步骤及其简单应用；
3. 培养学生观察、探究、分析、论证的能力, 体会类比的数学思想．
过程与方法:
1.创设情境，激发学生学习兴趣，让学生体验知识的发生与发展过程;
2.通过对数学归纳法的学习、应用，逐步体验观察、归纳、猜想、论证的过程，培养学生严谨
的逻辑推理意识，并初步掌握论证方法;
3.通过发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的过程，培养学生创新能力.
情感、态度与价值观:
1. 通过对数学归纳法原理的探究，培养学生严谨的科学态度和勇于探索的精神；
2.通过对数学归纳法原理和本质的讨论，培养学生团结协作的精神；
3.通过置疑与探究，培养学生独立的人格与敢于创新的精神；
三．教学问题诊断
运用数学归纳法证明与正整数有关的命题虽说只有两步，但是原理很抽象．新教材理念告诉我们，不能把教学过程当作方法的灌输，技能的简单操练.对方法作简单的灌输，学生必然疑虑重重．为什
成立有依据吗？学生学完数学归纳法后对这两点不能完全理解，只能依么必须是两步呢？假设n k
葫芦画瓢，在需要用数学归纳法时却想不起来，等等．为此，我在教学设计中，设法进行强化数学归纳法产生过程的教学，由学生对多米诺骨牌游戏的原理进行讨论并自己提炼概括，然后由多米诺骨牌游戏的原理类比到数学归纳法的两步，并对数学归纳法的两步进行理论上的证明，加深了学生对数学归纳法的两步的理解，使学生对数学归纳法的理解更有深度和广度，这不仅培养了学生的自主学习，探究学习，合作学习的能力，而且也是引导学生发展创新能力的良机．由此不难确定本课教学重点为数学归纳法产生过程的分析,初步理解数学归纳法的原理;教学难点是数学归纳法中递推思想的理解,及用数学归纳法证明命题的两个步骤的理解. 运用数学归纳法证明与正整数有关的数学命题，两个步骤缺缺一不可．此外，数学归纳法的应用将重点放在下一课时完成。
四．教法特点及预期效果
1．教学特点
本节课在教法上贯彻如下几个原则：
一是建构主义原则。皮亚杰的认知结构学说：“所有的认知结构，结构再构建，构成复杂的结构，不断发展。”数学知识不能从一个人迁移到另一个人，一个人的数学知识必须基于个人对经验的归纳、交流，通过反思来主动建构，这就是建构主义的数学学习观。如在多米诺骨牌游戏原理的提炼上都由学生自己讨论、归纳、总结而得出，在由多米诺骨牌游戏原理类比到数学归纳法的两步上也由学生自己提炼而成。
二是寓教于乐原则。实践证明，学生在积极愉快的情形下，学习效率会大幅提高；在宽松的情形下，能够最大限度地激发其聪明才智和创造性。结合本节课特点，将知识性与趣味性相结合，以吸引学生喜欢数学，自觉地学习数学，以调动学生的“心理场”。比如，让学生摸球的游戏，引进了归纳法的概念，通过多米诺骨牌玩法的演示，诠释了递推思想。在语言上也尽量幽默风趣，时而还插入一点外语。
三是遵循循序渐进的原则：学生对思维跳跃大的问题理解比较困难，不易接受，例如数学归纳法的第一步，为什么要取00(1)n n n =≥的理解上就有难度，我就采用通过对多边形的内角和的练习来提炼出1n =应改为00(1)n n n =≥这一结论。
2. 预期效果
通过学生自己讨论得出结果，通过类比得出数学归纳法的两步，通过对数学归纳法两步的理论解释，能够实现三维目标，能够运用数学归纳法证明简单的与正整数有关的数学命题。