高中数学必修四第三章三角恒等变换知识点总结及练习

高中数学必修四第三章三角恒等变换知识点总

结及练习

-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

第三章 三角恒等变换

24、两角和与差的正弦、余弦和正切公式：

⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+；⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-； ⑶()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-；⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+； ⑸()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ

--=+ ? ()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+ ⑹()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=

- ? ()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+- 25、二倍角的正弦、余弦和正切公式：

sin22sin cos ααα=222)cos (sin cos sin 2cos sin 2sin 1ααααααα±=±+=±? ⑵2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=- ?2

sin 2cos 1,2cos 2cos 122α

ααα=-=+ ?2cos 21cos 2αα+=，21cos 2sin 2

αα-=． ⑶22tan tan 21tan ααα

=-． 26、

27、合一变形?把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数，一个角，一次方”的 B x A y ++=)sin(??形式。()sin cos ααα?A +B =+，其中tan ?B =A

． 28、三角变换是运算化简的过程中运用较多的变换，提高三角变换能力，要学会创设条件，灵活运用三角公式，掌握运算，化简的方法和技能．常用的数学思想方法技巧如下：

（1）角的变换：在三角化简，求值，证明中，表达式中往往出现较多的相异角，可根据角

与角之间的和差，倍半，互补，互余的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获解，对角的变形如：

ααααααα半角公式cos 1cos 12tan 2

cos 12sin ;2cos 12cos :

+-±=-±=+±=2

tan 12tan 1 cos ;2tan 12tan 2 sin :

2

22αααααα万能公式+-=+=

①α2是α的二倍；α4是α2的二倍；α是

2α的二倍；2α是4

α的二倍； ②2304560304515o

o o o o o =-=-=；问：=12sin π ；=12cos π ； ③ββαα-+=)(；④)4(24απ

π

απ

--=+； ⑤)4()4()()(2απ

απ

βαβαα--+=-++=；等等

（2）函数名称变换：三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数。如在三角函数中正余

弦是基础，通常化切为弦，变异名为同名。

（3）常数代换：在三角函数运算，求值，证明中，有时需要将常数转化为三角函数值，例

如常数“1”的代换变形有：

o o 45tan 90sin cot tan cos sin 122===+=αααα

（4）幂的变换：降幂是三角变换时常用方法，对次数较高的三角函数式，一般采用降幂处

理的方法。常用降幂公式有： ； 。降幂并非绝对，有时需要升幂，如对无理式αcos 1+常用升幂化为有理式，常用升幂公式有： ； ；

（5）公式变形：三角公式是变换的依据，应熟练掌握三角公式的顺用，逆用及变形应用。 如：_______________tan 1tan 1=-+αα； ______________tan 1tan 1=+-α

α； ____________tan tan =+βα；___________tan tan 1=-βα；

____________tan tan =-βα；___________tan tan 1=+βα；

=αtan 2 ；=-α2tan 1 ；

=++o o o o 40tan 20tan 340tan 20tan ；

=+ααcos sin = ；

=+ααcos sin b a = ；

（其中=?tan ；）

=+αcos 1 ；=-αcos 1 ；

（6）三角函数式的化简运算通常从：“角、名、形、幂”四方面入手；

基本规则是：见切化弦，异角化同角，复角化单角，异名化同名，高次化低次，无

理化有理，特殊值与特殊角的三角函数互化。 如：=+)10tan 31(50sin o o ；

=-ααcot tan 。