八年级数学下册《勾股定理》知识点总结
勾股定理:如果直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2。
勾股定理逆定理:如果三角形三边长a,b,c满足a2+
b2=c2。,那么这个三角形是直角三角形。
经过证明被确认正确的命题叫做定理。
我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题,那么另一个叫做它的逆命题。
直角三角形的性质
直角三角形的两个锐角互余。可表示如下:∠c=90°∠A+∠B=90°
在直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半。
∠A=30°
可表示如下:Bc=AB
∠c=90°
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
∠AcB=90°
可表示如下:cD=AB=BD=AD
D为AB的中点
摄影定理
在直角三角形中,斜边上的高线是两直角边在斜边上的摄影的比例中项,每条直角边是它们在斜边上的摄影和斜边的比例中项
∠AcB=90°
cD⊥AB
常用关系式
由三角形面积公式可得:ABcD=AcBc
直角三角形的判定
有一个角是直角的三角形是直角三角形。
如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形。
勾股定理的逆定理:如果三角形的三边长a,b,c有关系,那么这个三角形是直角三角形。
命题、定理、证明
命题的概念
判断一件事情的语句,叫做命题。
理解:命题的定义包括两层含义:
命题必须是个完整的句子;
这个句子必须对某件事情做出判断。
命题的分类
真命题
命题
假命题
所谓正确的命题就是:如果题设成立,那么结论一定成立的命题。
所谓错误的命题就是:如果题设成立,不能证明结论总是成立的命题。
公理
人们在长期实践中总结出来的得到人们公认的真命题,叫做公理。
定理
用推理的方法判断为正确的命题叫做定理。
证明
判断一个命题的正确性的推理过程叫做证明。
证明的一般步骤
根据题意,画出图形。
根据题设、结论、结合图形,写出已知、求证。
经过分析,找出由已知推出求证的途径,写出证明过程。
三角形中的中位线
连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
三角形共有三条中位线,并且它们又重新构成一个新的三角形。
要会区别三角形中线与中位线。
三角形中位线定理:三角形的中位线平行于第三边,并
且等于它的一半。
三角形中位线定理的作用:
位置关系:可以证明两条直线平行。
数量关系:可以证明线段的倍分关系。
常用结论:任一个三角形都有三条中位线,由此有:
结论1:三条中位线组成一个三角形,其周长为原三角形周长的一半。
结论2:三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形。
结论3:三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形。
结论4:三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分。
结论5:三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等。
0数学口诀.
平方差公式:平方差公式有两项,符号相反切记牢,首加尾乘首减尾,莫与完全公式相混淆。
完全平方公式:完全平方有三项,首尾符号是同乡,首平方、尾平方,首尾二倍放中央;首±尾括号带平方,尾项符号随中央。
四边形
.四边形的内角和与外角和定理:
四边形的内角和等于360°;
四边形的外角和等于360°.
.多边形的内角和与外角和定理: n边形的内角和等于180°;
任意多边形的外角和等于360°.
.平行四边形的性质:
因为ABcD
平行四边形的判定:
矩形的性质:
因为ABcD
矩形的判定:
ABcD是矩形.
.菱形的性质:
因为ABcD是菱形
.菱形的判定:
ABcD是菱形.
.正方形的性质:
因为ABcD是正方形
0.正方形的判定: ABcD是正方形.
∵ABcD是矩形
又∵AD=AB
∴四边形ABcD是正方形
1.等腰梯形的性质:
因为ABcD是
.等腰梯形的判定:
ABcD 是等腰梯形
∵ABcD是梯形且AD∥Bc
∵Ac=BD∴ABcD四边形是等腰梯形
.三角形中位线定理:
三角形的中位线平行第三边,并且等于它的一半.
.梯形中位线定理:
梯形的中位线平行于两底,并且等于两底和的一半.
一基本概念:四边形,四边形的内角,四边形的外角,多边形,平行线间的距离,平行四边形,矩形,菱形,正方形,
中心对称,中心对称图形,梯形,等腰梯形,直角梯形,三角形中位线,梯形中位线.
二定理:中心对称的有关定理
※1.关于中心对称的两个图形是全等形.
※2.关于中心对称的两个图形,对称点连线都经过对称中心,并且被对称中心平分.
.如果两个图形的对应点连线都经过某一点,并且3※
被这一点平分,那么这两个图形关于这一点对称.
三公式:
.S菱形=ab=ch.
.S平行四边形=ah.a为平行四边形的边,h为a上的高).S梯形=h=Lh.
四常识:
※1.若n是多边形的边数,则对角线条数公式是:.
.规则图形折叠一般“出一对全等,一对相似”.
.如图:平行四边形、矩形、菱形、正方形的从属关系.
.常见图形中,仅是轴对称图形的有:角、等腰三角形、等边三角形、正奇边形、等腰梯形……;仅是中心对称图形的有:平行四边形……;是双对称图形的有:线段、矩形、菱形、正方形、正偶边形、圆…….注意:线段有两条对称轴.
第18章 勾股定理复习 一.知识归纳 1.勾股定理 内容:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方; 表示方法:如果直角三角形的两直角边分别为a ,b ,斜边为c ,那么222a b c += 勾股定理的由来:勾股定理也叫商高定理,在西方称为毕达哥拉斯定理.我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾,较长的直角边称为股,斜边称为弦.早在三千多年前,周朝数学家商高就提出了“勾三,股四,弦五”形式的勾股定理,后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为:两直角边的平方和等于斜边的平方 2.勾股定理的证明 勾股定理的证明方法很多,常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ①图形进过割补拼接后,只要没有重叠,没有空隙,面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法,列出等式,推导出勾股定理 常见方法如下: 方法一:4EFGH S S S ?+=正方形正方形ABCD ,221 4()2 ab b a c ?+-=,化简可证. c b a H G F E D C B A 方法二: b a c b a c c a b c a b 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积. 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221 422S ab c ab c =?+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c += 方法三:1()()2S a b a b =+?+梯形,211 2S 222 ADE ABE S S ab c ??=+=?+梯形,化简得证
a b c c b a E D C B A 3.勾股定理的适用范围 勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系,它只适用于直角三角形,对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征,因而在应用勾股定理时,必须明了所考察的对象是直角三角形 4.勾股定理的应用 ①已知直角三角形的任意两边长,求第三边 在ABC ?中,90C ∠=? ,则c ,b = ,a ②知道直角三角形一边,可得另外两边之间的数量关系 ③可运用勾股定理解决一些实际问题 5 、利用勾股定理作长为 的线段 作长为 、 、 的线段。 思路点拨:由勾股定理得,直角边为1的等腰直角三角形,斜边长就等于,直角边为 和1的直 角三角形斜边长就是,类似地可作 。 作法:如图所示 (1)作直角边为1(单位长)的等腰直角△ACB ,使AB 为斜边; (2)以AB 为一条直角边,作另一直角边为1的直角。斜边为 ; (3)顺次这样做下去,最后做到直角三角形,这样斜边 、 、 、 的长度就是 、 、 、 。 举一反三 【变式】在数轴上表示的点。 解析:可以把 看作是直角三角形的斜边, , 为了有利于画图让其他两边的长为整数, 而10又是9和1这两个完全平方数的和,得另外两边分别是3和1。
勾股定理专项训练 专训1.巧用勾股定理求最短路径的长 名师点金: 求最短距离的问题,第一种是通过计算比较解最短问题;第二种是平面图形,将分散的条件通过几何变换(平移或轴对称)进行集中,然后借助勾股定理解决;第三种是立体图形,将立体图形展开为平面图形,在平面图形中将路程转化为两点间的距离,然后借助直角三角形利用勾股定理求出最短路程(距离).用计算法求平面中最短问题 1.如图,学校有一块长方形花圃,有极少数人从A走到B,为了避免拐角C走“捷径”,在花圃内走出了一条“路”,他们仅仅少走了________步路(假设2步为1 m),却踩伤了花草. (第1题) 2.小明听说“武黄城际列车”已经开通,便设计了如下问题:如图,以往从黄石A坐客车到武昌客运站B,现在可以在黄石A坐“武黄城际列车”到武汉青山站C,再从青山站C坐市内公共汽车到武昌客运站B.设AB=80 km,BC=20 km,∠ABC=120°.请你帮助小明解决以下问题: (1)求A,C之间的距离.(参考数据21≈4.6) (2)若客车的平均速度是60 km/h,市内的公共汽车的平均速度为40km/h,“武黄城际列车”的平均速度为180 km/h,为了在最短时间内到达武昌客运站,小明应选择哪种乘车方案?请说明理由.(不计候车时间) (第2题) 用平移法求平面中最短问题 3.如图是一个三级台阶,它的每一级的长、宽和高分别是50 cm,30c m,10 cm,A和B是这个台阶的两个相对的端点,A点上有一只壁虎,它想到B点去吃可口的食物,请你想一想,这只壁虎从A点出发,沿着台阶面爬到B点,至少需爬( ) A.13 cm B.40 cmC.130 cm D.169 cm
勾股定理知识点归纳和题型归类 一.知识归纳 1.勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方; 表示方法:如果直角三角形的两直角边分别为a ,b ,斜边为c ,那么222a b c += 2.勾股定理的证明 勾股定理的证明方法很多,常见的是拼图的方法,用拼图的方法验证勾股定理的思路是: ①图形进过割补拼接后,只要没有重叠,没有空隙,面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法,列出等式,推导出勾股定理 常见方法如下: 方法一:4EFGH S S S ?+=正方形正方形ABCD ,2214()2 ab b a c ?+-=,化简可证. 方法二: 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积. 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422 S ab c ab c =?+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++,所以222a b c += 方法三:1()()2S a b a b =+?+梯形,2112S 222 ADE ABE S S ab c ??=+=?+梯形,化简得证 3.勾股定理的适用范围 勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系,它只适用于直角三角形,对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征,因而在应用勾股定理时,必须明了所考察的对象是直角三角形 4.勾股定理的应用 ①已知直角三角形的任意两边长,求第三边 在ABC ?中,90C ∠=? ,则c ,b = ,a ②知道直角三角形一边,可得另外两边之间的数量关系 ③可运用勾股定理解决一些实际问题 5.勾股定理的逆定理 如果三角形三边长a ,b ,c 满足222a b c +=,那么这个三角形是直角三角形,其中c 为斜边 ①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法,它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状,在运用这一定理时,可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较,若它们相等时,以a ,b ,c 为三边的三角形是直角三角形;若222a b c +<,时,以a ,b ,c 为三边的三角形是钝角三角形;若222a b c +>,时,以a ,b ,c 为三边的三角形是锐角三角形; c b a H G F E D C B A b a c b a c c a b c a b a b c c b a E D C B A
第十七章勾股定理知识点总结 一.基础知识点: 1:勾股定理 直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。(即:a2+b2=c2) 要点诠释: 勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系,是直角三角形的重要性质之一,其主要应用: (1)已知直角三角形的两边求第三边(在ABC ?中,90 ∠=?,则c, C b,a=) (2)已知直角三角形的一边与另两边的关系,求直角三角形的另两边 (3)利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 2:勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长:a、b、c,则有关系a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形。 要点诠释: 勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法,它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状,在运用这一定理时应注意:(1)首先确定最大边,不妨设最长边长为:c; (2)验证c2与a2+b2是否具有相等关系,若c2=a2+b2,则△ABC是以∠C为直角的直角三角形 (若c2>a2+b2,则△ABC是以∠C为钝角的钝角三角形;若c2 区别:勾股定理是直角三角形的性质定理,而其逆定理是判定定理; 联系:勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反,都与直角三角形有关。 4:互逆命题的概念 如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设,这样的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题,那么另一个叫做它的逆命题。 规律方法指导 1.勾股定理的证明实际采用的是图形面积与代数恒等式的关系相互转化证明的。 2.勾股定理反映的是直角三角形的三边的数量关系,可以用于解决求解直角三角形边边关系的题目。 3.勾股定理在应用时一定要注意弄清谁是斜边谁直角边,这是这个知识在应用过程中易犯的主要错误。 4. 勾股定理的逆定理:如果三角形的三条边长a ,b ,c 有下列关系:a 2+b 2=c 2,?那么这个三角形是直角三角形;该逆定理给出判定一个三角形是否是直角三角形的判定方法. 5.?应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的过程主要是进行代数运算,通过学习加深对“数形结合”的理解. 我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题,那么另一个叫做它的逆命题。(例:勾股定理与勾股定理逆定理) 5:勾股定理的证明 勾股定理的证明方法很多,常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ①图形进过割补拼接后,只要没有重叠,没有空隙,面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法,列出等式,推导出勾股定理 常见方法如下: 方法一:4EFGH S S S ?+=正方形正方形ABCD ,221 4()2 ab b a c ?+-=,化简可证. c b a H G F E D C B A 勾股定理知识点归纳和题型归类 一.知识归纳 1.勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方; 表示方法:如果直角三角形的两直角边分别为a ,b ,斜边为c ,那么222a b c += 2.勾股定理的证明 勾股定理的证明方法很多,常见的是拼图的方法,用拼图的方法验证勾股定理的思路是: ①图形进过割补拼接后,只要没有重叠,没有空隙,面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法,列出等式,推导出勾股定理 常见方法如下: 方法一: 4EFGH S S S ?+=正方形正方形ABCD ,2214()2 ab b a c ?+-=, 化简可证. 方法二: 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积. 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422 S ab c ab c =?+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++,所以 222a b c += 方法三: 1 ()()2S a b a b =+?+梯形, 211 2S 222 ADE ABE S S ab c ??=+=?+梯形,化简 得证 3.勾股定理的适用范围 勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系,它只适用于直角三角形,对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征,因而在应用勾股定理时,必须明了所考察的对象是直角三角形 4.勾股定理的应用 ①已知直角三角形的任意两边长,求第三边 在ABC ?中,90C ∠=?, 则c b ,a ②知道直角三角形一边,可得另外两边之间的数量关系 ③可运用勾股定理解决一些实际问题 5.勾股定理的逆定理 如果三角形三边长a ,b , c 满足222a b c +=,那么这个三角形是直角三角形,其中c 为斜边 ①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是 否是直角三角形的一种重要方法,它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状,在运用这一定理时,可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较,若它们相等时,以a , b , c 为三边的三角形是直角三角形;若 222a b c +<,时,以a ,b ,c 为三边的三角形 是钝角三角形;若222a b c +>,时,以a ,b ,c 为三边的三角形是锐角三角形; c b a H G F E D C B A b a c b a c c a b c a b a b c c b a E D C B A最新人教版八年级下学期数学勾股定理》知识点归纳
勾股定理全章知识点归纳总结