不等式性质及解法资料讲解
知 识 梳 理
1．两个实数比较大小的方法
(1)作差法???a －b ＞0?a ＞b ，
a －
b ＝0?a ＝b ，a －b ＜0?a ＜b ；
(2)作商法?????a
b ＞1?a ＞b （a ∈R ，b ＞0），
a
b ＝1?a ＝b （a ∈R ，b ＞0），a b ＜1?a ＜b （a ∈R ，b ＞0）.
2．不等式的性质 (1)对称性：a ＞b ?b ＜a ； (2)传递性：a ＞b ，b ＞c ?a ＞c ；
(3)可加性：a ＞b ?a ＋c ＞b ＋c ；a ＞b ，c ＞d ?a ＋c ≥b ＋d ； (4)可乘性：a ＞b ，c ＞0?ac ＞bc ；a ＞b ＞0，c ＞d ＞0?ac ＞bd ； (5)可乘方：a ＞b ＞0?a n ＞b n (n ∈N ，n ≥1)； (6)可开方：a ＞b ＞0?n a ＞n
b (n ∈N ，n ≥2)． 3．三个“二次”间的关系 判别式
Δ＝b 2
－4ac Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
二次函数 y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)的图象
一元二次方程 ax 2＋bx ＋c ＝0 (a ＞0)的根 有两相异实根 x 1，x 2(x 1＜x 2) 有两相等实根 x 1＝x 2＝－b
2a
没有实数根
ax 2＋bx ＋c ＞0 (a ＞0)的解集 {x |x ＞x 2
或x ＜x 1}
?
?????x |x ≠－b 2a
R ax 2＋bx ＋c ＜0
{x |x 1＜x ＜x 2}
?
?
考点一条件判断不等式是否成立
1．判断不等式是否成立，主要有利用不等式的性质和特殊值验证两种方法，特别是对于有一定条件限制的选择题，用特殊值验证的方法更简单．
2．比较法是不等式性质证明的理论依据，是不等式证明的主要方法之一，比较法之一作差法的主要步骤为作差——变形——判断正负．
3．“三个二次”的关系是解一元二次不等式的理论基础；一般可把a＜0的情况转化为a＞0时的情形．
【例1】若1
a＜
1
b＜0，给出下列不等式：①
1
a＋b
＜
1
ab；②|a|＋b＞0；③a－
1
a＞
b－1
b；④ln a
2＞ln b2.其中正确的不等式是()
A．①④B．②③C．①③D．②④
解析法一特例法，特例原则，符合条件，尽量简单，一次不够再来一次
因为1
a ＜1
b
＜0，故可取a＝－1，b＝－2.
显然|a|＋b＝1－2＝－1＜0，所以②错误；
因为ln a2＝ln(－1)2＝0，ln b2＝ln(－2)2＝ln 4＞0，所以④错误．综上所述，可排除A，B，D.
法二由1
a
＜1
b
＜0，可知b＜a＜0.①中，因为a＋b＜0，ab＞0，所以1
a＋b
＜0，
1 ab ＞0.故有1
a＋b
＜1
ab
，即①正确；
②中，因为b＜a＜0，所以－b＞－a＞0.故－b＞|a|，即|a|＋b＜0，故②错误；
③中，因为b＜a＜0，又1
a ＜1
b
＜0，则－1
a
＞－1
b
＞0，所以a－1
a
＞b－1
b
，故③
正确；
④中，因为b＜a＜0，根据y＝x2在(－∞，0)上为减函数，可得b2＞a2＞0，而y＝ln x在定义域(0，＋∞)上为增函数，所以ln b2＞ln a2，故④错误．由以
上分析，知①③正确． 答案 C
【训练1】 (1)(2014·三明模拟)若a ＜b ＜0，则下列不等式一定成立的是( ) A.1a －b
＞1b B ．a 2＜ab C.|b ||a |＜|b |＋1|a |＋1
D ．a n ＞b n
解析 (1)(特值法)取a ＝－2，b ＝－1，逐个检验，可知A ，B ，D 项均不正确；C 项，|b ||a |＜|b |＋1|a |＋1?|b |(|a |＋1)＜|a |(|b |＋1)?|a ||b |＋|b |＜|a ||b |＋|a |?|b |＜|a |，
∵a ＜b ＜0，∴|b |＜|a |成立，故选C.
考点二 一元二次不等式、函数、方程关系
不等式解集的端点是方程的根（求方程根、分段、验证） 【例2-1】解不等式x 2＋x －12≥0 解：由x 2＋x －12≥0得(x －3)(x ＋4)≥0， ∴x ≤－4或x ≥3.
答案 (－∞，－4]∪[3，＋∞)
训练2-1-1】．“|x |＜2”是“x 2－x －6＜0”的
( )
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 解析 不等式|x |＜2的解集是(－2，2)，而不等式x 2－x －6＜0的解集是(－2，3)，于是当x ∈(－2，2)时，可得x ∈(－2，3)，反之则不成立，故选A. 答案 A
含有参数的不等式的求解，往往需要比较(相应方程)根的大小，对参数进行分类讨论（是二次吗？有根吗？根的大小确定吗？） 例2-2】解关于x 的不等式kx 2－2x ＋k ＜0(k ∈R )． 解 ①当k ＝0时，不等式的解为x ＞0.
②当k ＞0时，若Δ＝4－4k 2＞0，即0＜k ＜1时，不等式的解为1－1－k
2
k
＜x
＜1＋1－k 2k
；
若Δ≤0，即k ≥1时，不等式无解． ③当k ＜0时，若Δ＝4－4k 2＞0， 即－1＜k ＜0时，
x ＜1＋1－k 2k 或x ＞1－1－k 2k
；
若Δ＜0，即k ＜－1时，不等式的解集为R ； 若Δ＝0，即k ＝－1时，不等式的解为x ≠－1. 综上所述，k ≥1时，不等式的解集为?； 0＜k ＜1时，不等式的解集为 ??????
x |1－1－k 2k ＜x ＜
1＋1－k 2k ； k ＝0时，不等式的解集为{x |x ＞0}； 当－1＜k ＜0时，不等式的解集为 ??????
x |x ＜1＋1－k 2k ，或x ＞
1－1－k 2k ； k ＝－1时，不等式的解集为{x |x ≠－1}； k ＜－1时，不等式的解集为R .
规律方法 含有参数的不等式的求解，往往需要比较(相应方程)根的大小，对参数进行分类讨论：(1)若二次项系数为常数，可先考虑分解因式，再对参数
进行讨论；若不易分解因式，则可对判别式进行分类讨论；(2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项是否为零，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式；(3)其次对相应方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集．
训练2-2-1】 解关于x 的不等式：ax 2－2≥2x －ax (a ∈R )． 解 原不等式可化为ax 2＋(a －2)x －2≥0.
①当a ＝0时，原不等式化为x ＋1≤0，解得x ≤－1. ②当a ＞0时，原不等式化为? ??
??
x －2a (x ＋1)≥0，
解得x ≥2
a 或x ≤－1.
③当a ＜0时，原不等式化为? ??
??
x －2a (x ＋1)≤0.
当2a ＞－1，即a ＜－2时，解得－1≤x ≤2a ； 当2
a ＝－1，即a ＝－2时，解得x ＝－1满足题意； 当2a ＜－1，即－2＜a ＜0时，解得2
a ≤x ≤－1. 综上所述，当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ≤－1}； 当a ＞0
时，不等式的解集为????
??x |x ≥2
a ，或x ≤－1； 当－2＜a ＜0时，不等式的解集为?
???
??
x |2a ≤x ≤－1；
当a ＝－2时，不等式的解集为{－1}； 当a ＜－2时，不等式的解集为?
?????x |－1≤x ≤2a .
根据解集得方程根—再解相关问题
【例2-3】 (1)关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，且x 2－x 1＝15，则a ＝( ) A.52 B.72 C.154 D.152
解析 法一 由条件知，x 1和x 2是方程x 2－2ax －8a 2＝0的两根，则x 1＋x 2
＝2a ，x 1x 2＝－8a 2，所以(x 2－x 1)2＝(x 2＋x 1)2－4x 1x 2＝4a 2＋32a 2＝36a 2＝152.又a ＞0，所以a ＝5
2，故选A.
法二 由x 2－2ax －8a 2<0，得(x ＋2a )(x －4a )<0，因为a ＞0，所以不等式的解集为(－2a ，4a )．
又不等式的解集为(x 1，x 2)， 所以x 1＝－2a ，x 2＝4a . 从而x 2－x 1＝6a ＝15， 解得a ＝5
2. 答案 A
训练2-3-1】若不等式ax 2
＋bx ＋2＞0的解集为?
?????
x |－12＜x ＜13，则不等式2x 2＋bx
＋a ＜0的解集是________．
解析 由题意，知－12和1
3
是一元二次方程ax 2＋bx ＋2＝0的两根且a ＜0，
所以?????－12＋13＝－b a －12×13＝2a .
解得?????a ＝－12，b ＝－2.
则不等式2x 2＋bx ＋a ＜0，即2x 2－2x －12＜0，其解集为{x |－2＜x ＜3}． 答案 {x |－2＜x ＜3}
考点三 不等式恒成立问题动区间、定区间
例3-1】．(2014·江苏卷)已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )＜0成立，则实数m 的取值范围是________．
解析 二次函数f (x )对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )＜0成立，
则?????f （m ）＝m 2＋m 2－1＜0，
f （m ＋1）＝（m ＋1）2＋m （m ＋1）－1＜0，
解得－2
2＜m ＜0.
答案 ? ??
??－2
2，0
（
全体实数二次图像结合判别式，区间（含其他型）分参最值或单调性最值）规律方法 (1)不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解是全体实数(或恒成立)的条件是当a ＝0时，b ＝0，c ＞0；当a ≠0时，?????a ＞0，Δ＜0.
不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解是全体
实数(或恒成立)的条件是当a ＝0时，b ＝0，c ＜0；当a ≠0时，?????a ＜0，
Δ＜0.
【例3-2-1】 设函数f (x )＝mx 2－mx －1.若对于一切实数x ，f (x )＜0恒成立，求m 的取值范围；
解 (1)要使mx 2－mx －1＜0恒成立，若m ＝0，显然－1＜0； 若m ≠0，
则???m ＜0，
Δ＝m 2＋4m ＜0?－4＜m ＜0. 所以－4＜m ≤0.
训练3-2-1-1】若一元二次不等式2kx 2＋kx －3
8＜0对一切实数x 都成立，则k 的取值范围为
( )
A ．(－3，0]
B ．[－3，0)
C ．[－3，0]
D ．(－3，0)
解析
由题意可得???k ＜0，
Δ＝k 2
－8k ×? ??
??－38＜0， 解得－3＜k ＜0，故选D. 答案 D
例题3-2-2】设函数f (x )＝mx 2－mx －1.若对于x ∈[1，3]，f (x )＜－m ＋5恒成立，求m 的取值范围．
含参数的一元二次不等式在某区间内恒成立问题，常有两种处理方法：一是利用二次函数在区间上的最值来处理；二是先分离出参数，再去求函数的最值来处理，一般后者比较简单．复杂不等式先考虑能否利用不等式性质转化简单些
解：要使f (x )＜－m ＋5在x ∈[1，3]上恒成立， 即m ? ????x －122＋3
4m －6＜0在x ∈[1，3]上恒成立．
有以下两种方法：
法一 因为x 2
－x ＋1＝? ??
??x －122＋3
4＞0，
又因为m (x 2－x ＋1)－6＜0，所以m ＜6
x 2－x ＋1
.
因为函数y ＝
6x 2－x ＋1＝6? ??
??x －122＋
3
4在[1，3]上的最小值为67，所以只需m ＜6
7即
可．
所以，m 的取值范围是?
???
??
m |m ＜67.
法二 令g (x )＝m ? ????x －122＋3
4m －6，x ∈[1，3]．
当m ＞0时，g (x )在[1，3]上是增函数， 所以g (x )max ＝g (3)?7m －6＜0， 所以m ＜67，则0＜m ＜6
7； 当m ＝0时，－6＜0恒成立；
当m ＜0时，g (x )在[1，3]上是减函数， 所以g (x )max ＝g (1)?m －6＜0， 所以m ＜6，所以m ＜0.
综上所述，m 的取值范围是{m |m ＜6
7}．
【训练3-2-2-1】 已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋a
x ，若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )＞0
恒成立，试求实数a 的取值范围．
解 因为x ∈[1，＋∞)时，f (x )＝x 2＋2x ＋a x ＞0恒成立，即x 2
＋2x ＋a ＞0恒成
立．即当x ≥1时，a ＞－(x 2＋2x )恒成立．设g (x )＝－(x 2＋2x )，而g (x )＝－(x 2＋2x )＝－(x ＋1)2＋1在[1，＋∞)上单调递减， 所以g (x )max ＝g (1)＝－3，故a ＞－3. 所以，实数a 的取值范围是{a |a ＞－3}．
训练3-2-2-2】已知函数f (x )＝????
?－x 2＋x ，x ≤1，log 13x ，x ＞1，若对任意的x ∈R ，不等式f (x )≤m 2
－3
4m 恒成立，则实数m 的取值范围为________． 解析 f (x )＝－x 2
＋x ＝－? ??
??x －122＋1
4(x ≤1)，
故当x ＝12时，f (x )在(－∞，1)上的最大值为1
4； 函数f (x )＝log 1
3x ，x ∈(1，＋∞)为单调递减函数，
故x ∈(1，＋∞)时，f (x )＜f (1)＝0，综上，f (x )在R 上的最大值为14.由m 2－3
4m ≥14解得m ≤－1
4或m ≥1.
答案 ? ?
???－∞，－14∪[1，＋∞)
变量参数是相对的-------把知区间的作为变量，要求的量作为参数
训练3-2-2-2】．(2015·淄博模拟)若不等式(a －a 2)(x 2＋1)＋x ≤0对一切x ∈(0，2]恒成立，则a 的取值范围是
( )
A.?
????
－∞，
1－32
B.????
??
1＋32，＋∞
C.?
????－∞，
1－32∪??????1＋3
2，＋∞
D.????
??1－32，1＋32 解析 ∵x ∈(0，2]， ∴a 2
－a ≥x x 2＋1＝1
x ＋1
x
要使a 2－a ≥1
x ＋1x 在x ∈(0，2]时恒成立，
则a 2－a ≥? ??
???
1x ＋1x max ， 由基本不等式得x ＋1
x ≥2， 当且仅当x ＝1时，等号成立， 即?????
???
1x ＋1x max ＝1
2， 故a 2－a ≥1
2，
解得a ≤1－32或a ≥1＋3
2. 答案 C
例3-2-3】已知a ∈[－1，1]，不等式x 2＋(a －4)x ＋4－2a >0恒成立，则x 的取值范围为________．
解析 把不等式的左端看成关于a 的一次函数，记f (a )＝(x －2)a ＋(x 2－4x ＋4)，
则由f (a )>0对于任意的a ∈[－1，1]恒成立，易知只需f (－1)＝x 2－5x ＋6>0，且f (1)＝x 2－3x ＋2>0即可，联立方程解得x <1或x >3. 答案 {x |x <1或x >3}
考点四 综合转化
求定义域
典例4】．函数y＝x2＋x－12的定义域是________．解析由x2＋x－12≥0得(x－3)(x＋4)≥0，
∴x≤－4或x≥3.
答案(－∞，－4]∪[3，＋∞)
《2.1-等式性质与不等式性质》公开课优秀教案教学设计(高中必修第一册)
【新教材】等式性质与不等式性质 教学设计（人教A版） 等式性质与不等式性质是高中数学的主要内容之一，在高中数学中占有重要地位，它是刻画现实世界中量与量之间关系的有效数学模型，在现实生活中有着广泛的应，有着重要的实际意义.同时等式性质与不等式性质也为学生以后顺利学习基本不等式起到重要的铺垫. 课程目标 1. 掌握等式性质与不等式性质以及推论，能够运用其解决简单的问题． 2. 进一步掌握作差、作商、综合法等比较法比较实数的大小． 3. 通过教学培养学生合作交流的意识和大胆猜测、乐于探究的良好思维品质。 数学学科素养 1.数学抽象：不等式的基本性质； 2.逻辑推理：不等式的证明； 3.数学运算：比较多项式的大小及重要不等式的应用； 4.数据分析：多项式的取值范围，许将单项式的范围之一求出，然后相加或相乘.（将减法转化为加法，将除法转化为乘法）； 5.数学建模：运用类比的思想有等式的基本性质猜测不等式的基本性质。 重点：掌握不等式性质及其应用．
难点：不等式性质的应用． 教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。 教学工具：多媒体。 一、情景导入 在现实世界和日常生活中，大量存在着相等关系和不等关系，例如多与少、大与小、长与短、轻与重、不超过或不少于等.举例说明生活中的相等关系和不等关系. 要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探. 二、预习课本，引入新课 阅读课本37-42页，思考并完成以下问题 1.不等式的基本性质是 2.比较两个多项式（实数）大小的方法有哪些 3.重要不等式是 4.等式的基本性质 5.类比等式的基本性质猜测不等式的基本性质 要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。 三、新知探究 1、两个实数比较大小的方法 作差法{a?a>0?a>a a?a=0?a=a a?a<0?a 不等式的性质和证明 一、基础知识 1．性质 对称性a＞b?b＜a 传递性a＞b，b＞c T a＞c 加法单调性a＞b T a+c＞b+c 乘法单调性a＞b，c＞0 T ac＞bc；a＞b，c＜0 T ac＜bc开方法则a＞b＞0 T移项法则a+b ＞c T a＞c－b 同向不等式相加a＞b，c＞d T a+c＞b+d 同向不等式相乘a＞b＞0，c ＞d＞0 T ac＞bd 乘方法则a＞b＞0 T a n＞b n倒数法则a＞b，ab＞0 T 2．证明方法：比较法，综合法，分析法，反证法，换元法 证明技巧：逆代，判别式，放缩，拆项，单调性 3．主要公式及解题思路 公式：a2+b2≥2ab（a，b∈R） a3+b3+c3≥3abc（a，b，c∈R+） 思路：① ② ③ ④正数x，y且x+y=1，求证：≥ 二、例题解析 1．（1）a，b∈R+且a＜b，则下列不等式一定成立的是（） A．B． C．D． （2）若0＜x＜1，0＜y＜1且x≠y，则x2+y2，x+y，2xy，中最大的一个是（） A．x2+y2B．x+y C．2xy D． （3）若a，b为非零实数，则在①a2+b2≥2ab ②≤ ③≥ ④≥2中恒成立的个数为（） A．4B．3C．2D．1 （4）下列函数中，y的最小值是4的是（） A．B．C．y= D．y=lgx+4log x10 （5）若a2+b2+c2=1，则下列不等式成立的是（） A. a2+b2+c2＞1 B.ab+bc+ca≥ C.|abc|≤ D a3+b3+c3≥ 2．（1）已知x，y∈R+且2x+y=1，则的最小值为 （2）已知x，y∈R 且x2+y2=1，则3x+4y的最大值为 （3）在等比数列{a n}和等差数列{b n}中，a1=b1＞0，a3=b3＞0，a1≠a3，试比较大小：a5b5 （4）已知a＞0，b＞0，a + b=1，则的最小值为 （5）已知：x+2y=1，则的最小值为 （6）已知：x＞0，y＞0且x+2y=4，则lg x + lg y的最大值为 （7）若x＞0，则，若x＜0，则 （8）建造一个容积为8 m3，深为2m的长方体无盖水池，如果池底和池壁造价分别为120元和80元，那么水池的最低总造价为元。 （9）某工厂生产机器的产量，第二年比第一年增长的百分率为a，第三年比第二年增长的百分率为b，第四年比第三年增长的百分率为c，设年平均增长的百分率为P，且a+b+c 为定值，则P的最大值为 3．求证：a2+b2≥ab+a+b－1 4．已知a＞0，b＞0，c＞0，求证：≥ 5．已知：a，b，c∈R+且a+b+c=1，求证： 2.1等式性质与不等式性质 (一) 1.数轴上的点与实数是一一对应的.数轴上右边的点表示的实数比左边的点表示的实数 大. 2.实数的运算性质与大小顺序之间的关系(教材中方框内的三个等价关系). 3.差值比较法比较两个实数的大小. (二) 1.掌握差值比较法. 2.会用差值比较法比较两个实数的大小. (三) 1.培养学生转化的数学思想和逻辑推理能力. 2.培养学生数形结合的数学思想和灵活应变的解题能力. 3.培养学生分类讨论的数学思想和思考问题严谨周密的习惯. ●教学重点 理解在两个实数a、b之间具有以下性质：a＞b?a－b＞0；a＝b?a－b＝0；a＜b?a －b＜0.这是不等式这一章内容的理论基础，是不等式性质证明、证明不等式和解不等式的主要依据. ●教学难点 比较两个代数式的大小，实际上是比较它们的值的大小，而这又归结为判断它们的差的符号(注意是指差的符号，至于值是多少，在这里无关紧要).差值比较法是比较实数大小的 基本方法，通常的步骤是：作差→变形→判断差值的符号. ●教学方法 ●教具准备 投影片两张. ●教学过程 Ⅰ.课题导入 在客观世界中，不等关系具有普遍性、绝对性，是表述和研究数量取值范围的重要工具.研究不等关系，反映在数学上就是证明不等式与解不等式.实数的差的正负与实数的大小的比较有着密切关系，这种关系是本章内容的基础，也是证明不等式与解不等式的主要依据.因此，本节课我们有必要来研究探讨实数的运算性质与大小顺序之间的关系. Ⅱ. (一)打出投影片§6.1.1 A ［师］数轴的三要素是什么? ［生］原点、正方向、单位长度. ［师］把下列各数在数轴上表示出来，并从小到大排列： 213-,5-,0,-4,2 3 ［生］ ∴213-＜-4＜0＜2 3＜｜－５｜. ［师生共析］在数轴上不同的两点中，右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大. (二)请同学们预习课本，(教师打出投影片§6.1.1 A ，§６.1.1 B)，在解决了投影片 §６.1.1 A 问题基础上解决下列问题： ［师］若a ＞b ，则a －b 0；若a ＝b ，则a －b 0；若a ＜b ，则a －b 0. ［生］若a ＞b ，则a －b ＞0；若a ＝b ，则a －b ＝0；若a ＜b ，则a －b ＜0，反之亦然. ［师］“a ＞b ”与“a －b ＞0”等价吗? ［生］显然，“a ＞b ”与“a －b ＞0”等价. ［师生共析］ 此等价关系提供了比较实数大小的方法：即要比较两个实数的大小，只要考查它们的差就可以了. (三) ［例1］比较(a ＋3)（a －５）与（a ＋2）（a －4）的大小. ［师］比较两个实数a 与b 的大小，可归纳为判断它们的差a －b 的符号(注意是指差的符号，至于差的值究竟是多少，在这里无关紧要).由此，把比较两个实数大小的问题转化为实数运算符号问题. 本题知识点：整式乘法，去括号法则，合并同类项. ［生］由题意可知： （a ＋3）（a －５）－（a ＋2）（a －4） ＝（a 2－2a －1５）－（a 2－2a －８） ＝－７＜0 ∴（a ＋3）（a －５）＜（a ＋2）（a －4） ［例2］已知x ≠0，比较（x 2＋1）2与x 4＋x 2＋1的大小. ［师］同例1方法类似，学生在理解基础上作答. 本题知识点：乘法公式，去括号法则，合并同类项. ［生］由题意可知： （x 2＋1）2－（x 4＋x 2＋1） ＝（x 4＋2x 2＋1）－（x 4＋x 2＋1） ＝x 4＋2x 2＋1－x 4－x 2－1 ＝x 2 不等式的基本性质知识点 1 .不等式的定义：a-b>0 a>b, a-b=O a=b, a-b ⑶ a>b>0 —a n>b n(n € N, n>1)。 ⑷ a>b>0= 川>w (n € N, n>1)。 应注意，上述性质中，条件与结论的逻辑关系有两种：“ ”和“ ”即推出关系和等价关系。一般地，证明不等式就是从条件出发施行一系列的推出变换。解不等式就是施行一系列的等价变换。因此，要正确理解和应用不等式性质。 ②关于不等式的性质的考察，主要有以下三类问题： (1)根据给定的不等式条件，禾U用不等式的性质，判断不等式能否成立。 ⑵利用不等式的性质及实数的性质，函数性质，判断实数值的大小。 ⑶利用不等式的性质，判断不等式变换中条件与结论间的充分或必要关系。 《 等式性质与不等式性质》 1、知识与技能 （1）能用不等式 (组)表示实际问题的不等关系； （2）初步学会作差法比较两实数的大小； （3）掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问题. 2、过程与方法 使学生感受到在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系；以问题方式代替例题，学习如何利用不等式研究及表示不等式，利用不等式的有关基本性质研究不等关系. 3、情感态度与价值观 通过学生在学习过程中的感受、体验、认识状况及理解程度，注重问题情境、实际背景的设置，通过学生对问题的探究思考，广泛参与，改变学生学习方式，提高学习质量. 【教学重点】 能用不等式(组)表示实际问题的不等关系， 会作差法比较两实数的大小 ，通过类比法，掌握不等式的基本性质. 【教学难点】 运用不等式性质解决有关问题. （一）新课导入 用不等式(组)表示不等关系 中国"神舟七号”宇宙飞船飞天取得了最圆满的成功.我们知道,它的飞行速度(v )不小于第一宇宙速度(记作2v ),且小于第二宇宙速度(记 1v ). 12v v v ≤< （二）新课讲授 问题1：你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗 （1）某路段限速40km /h ； （2）某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f 应不少于%，蛋白质的含量p 应不少于%； （3）三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边； （4）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短. 对于（1），设在该路段行驶的汽车的速度为vkm /h ，“限速40km /h ”就是v 的大小不能超过40，于是0＜v ≤40. 对于(2)某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f 应不少于%，蛋白质的含量p 应不少于%. 2.5%2.3% f p ≥??≥? 对于（3），设△ABC 的三条边为a ，b ，c ，则a +b ＞c ，a -b ＜c . 对于（4），如图，设C 是线段AB 外的任意一点，CD 垂直于AB ，垂足 为D ，E 是线段AB 上不同于D 的任意一点，则CD ＜CE . 以上我们根据实际问题所蕴含的不等关系抽象出了不等式图接着， 就可以用不等式研究相应的问题了 问题2:某种杂志原以每本元的价格销售，可以售出8万本.据市场调查，杂志的单价每提高元，销售量就可能减少2000本.如何定价才能使提价后的销售总收入不低于20万元 解：提价后销售的总收入为错误!x 万元，那么不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以表示为不等式 要点重温之不等式的性质与证明 1．在不等式两边非负的条件下能同时平方或开方，具体的：当a>0,b>0时，a>b ?a n >b n ； 当a<0,b<0时，a>b ?a 2b 2?|a|>|b|。在不等式两边同号的条件下能同时取倒数，但不等号的方向要改变，如：由 x 1<2推得的应该是：x>21或x<0，而由x 1>2推得的应该是： 0 教学过程 一、复习预习 1.理解不等号的意义： 大于： > 小于： < 大于等于： ≥ 小于等于： ≤ 不大于：≤ 不小于： ≥ 2.用不等号连接下列式子： －2 > －3， a 2 ≥ 0， x ＋5 > x ＋2， －a －1 > －a －6， 2 1- > 31-. 二、知识讲解 考点1 不等式的概念：一般地，有符号>，<，≤，≥，≠连接的式子叫做不等式。 考点2 列不等式：列不等式同列方程一样，关键是找出不等关系，常用的表示不等式的关键词有“大 不等关系与不等式的基本性质 适用学科 数学 适用年级 初二 适用区域 北师大版 课时时长（分钟） 60 知识点 不等式的定义 不等式的基本性质 教学目标 知识与技能：理解不等式的概念，学会列不等式，理解不等式的基本性质， 并学会灵活运用； 过程与方法：通过对不等关系的理解，进而探索不等式的性质，使学生能 够从逻辑关系上严谨地分析问题，提高分析和解决问题的能力,学会转化的 数学思想方法； 情感态度与价值观：使学生对逻辑思维产生兴趣，在积极参与性质的学习 活动中，不断增强主体意识，综合意识。 教学重点 用不等式表示实际问题中的不等关系，并用不等式研究含有不等关系的问题，掌握不等式的基本性质。 教学难点 用不等式准确表示出不等关系，灵活运用不等式的性质。 于”“小于”“不大于””不小于”“超过”“至多”“非负”等。 考点3 不等式的性质：（1）不等式的两边都加上或者减去同一个整式，不等号的方向不变；用字母表示：若a>b,则有a+c>b+c,a-c>b-c 。 （2）不等式的两边都同时乘或者除以同一个正数，不等号的方向不变；用字母表示：若a>0,b>0,则ac>bc,c b c a >。 （3）不等式的两边都同时乘或者同一个负数，不等号的方向要改变，用字母表示：若a>b,c<0,则ac 第三章 不等式 3.1 不等关系与不等式 第1课时 不等关系与不等式的性质 A 级 基础巩固 一、选择题 1．下列命题正确的是( ) A ．某人月收入x 不高于2 000元可表示为“x ＜2 000” B ．小明的身高x ，小华的身高y ，则小明比小华矮表示为“x ＞y ” C ．某变量x 至少是a 可表示为“x ≥a ” D ．某变量y 不超过a 可表示为“y ≥a ” 解析：对于A ，x 应满足x ≤2 000，故A 错； 对于B ，x ，y 应满足x ＜y ，故B 不正确；C 正确；对于D ，y 与a 的关系可表示为y ≤a ，故D 错误． 答案：C 2．若A ＝a 2＋3ab ，B ＝4ab －b 2，则A 、B 的大小关系是( ) A ．A ≤B B ．A ≥B C ．A ＜B 或A ＞B D ．A ＞B 解析：因为A －B ＝a 2＋3ab －(4ab －b 2)＝(a －b 2)2＋34 b 2≥0，所以A ≥B . 答案：B 3．已知0y >z B ．z >y >x C ．z >x >y D ．y >x >z 解析：由题意得x ＝log a 6，y ＝log a 5，z ＝log a 7，而0x >z . 答案：D 4．若a >b >1，0 高中数学知识要点重温（11）不等式的性质与证明 1．在不等式两边非负的条件下能同时平方或开方，具体的：当a>0,b>0时，a>b ?an>bn ； 当a<0,b<0时，a>b ?a2 不等式的概念和基本性质 重点：不等式的基本性质 难点：不等式基本性质的应用 主要内容： １．不等式的基本性质 （１）a>b bb,b>c a>c （３）a+b （３）若a §3.1不等式与不等关系 【教学目标】 1．知识与技能：掌握不等式的基本性质，会用不等式的性质证明简单的不等式；2．过程与方法：通过解决具体问题，学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的方法； 3．情态与价值：通过讲练结合，培养学生转化的数学思想和逻辑推理能力. 【教学重点】 掌握不等式的性质和利用不等式的性质证明简单的不等式； 【教学难点】 利用不等式的性质证明简单的不等式。 【教法】 依据“3+1”课堂教学模式：自主探究，合作交流，展示评价，总结拓展。充分开展小组活动，实现全员参与。 【教学过程】 1.课题导入 在初中，我们已经学习过不等式的一些基本性质。 请同学们回忆初中不等式的的基本性质。 （1）不等式的两边同时加上或减去同一个数，不等号的方向不改变； >?±>± 即若a b a c b c （2）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不改变； 即若,0 >>?> a b c ac bc （3）不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变。 即若,0 a b c ac bc > ∴a ＋c ＞b ＋c 2）()()0a c b c a b +-+=-> ， ∴a c b c +>+． 实际上，我们还有,a b b c a c >>?>，（证明：∵a ＞b ，b ＞c ， ∴a －b ＞0，b －c ＞0． 根据两个正数的和仍是正数，得 (a －b)＋(b －c)＞0， 即a －c ＞0， ∴a ＞c ． 于是，我们就得到了不等式的基本性质： （1）,a b b c a c >>?>（2）a b a c b c >?+>+（3）,0a b c ac bc >>?>（4）,0a b c ac bc >>?+>+； （2）0,0a b c d ac bd >>>>?>； （3）0,,1n n a b n N n a b >>∈>?>>。证明： 1）∵a ＞b ， ∴a ＋c ＞b ＋c ． ①∵c ＞d ， ∴b ＋c ＞b ＋d ． ②由①、②得 a ＋c ＞ b ＋d ．2）bd a c b d bc b d c bc ac c b a >?? ??>?>>>?>>0,0, 课 题：2.1-不等式的基本性质(2课时) 教学目标： 1. 掌握作差比较大小的方法，并能证明一些不等式。 2. 掌握不等式的性质，掌握它们的证明方法及其功能，能简单运用。 3. 提高逻辑推理和分类讨论的能力；培养条理思维的习惯和认真严谨的学习态度。 教学重点：作差比较大小的方法；不等式的性质。 教学难点：不等式的性质的运用 教学过程： 第1课时： 问题情境：现有A 、B 、C 、D 四个长方体容器，A 、B 容器的底面积为a 2，高分别为a 、b ， C 、 D 容器的底面积为b 2，高分别为a 、b ，其中a ≠b 。甲先从四个容器中取两个容器盛水，乙用剩下的两个容器盛水。问如果你是甲，是否一定能保证两个容器所盛水比乙的多？ 分析：依题意可知：A 、B 、C 、D 四个容器的容积分别为a 3、a 2b 、ab 2、b 3，甲有6种取 法。问题可以转化为比较容器两两和的大小。 研究比较大小的依据： 我们知道，实数与数轴上的点是一一对应的。在数轴上不同的两点中，右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大。 在右图中，点A 表示实数a ，点B 表示实数b ， 点A 在点B 右边，那么a ＞b 。 而a －b 表示a 减去b 所得的差，由于a ＞b ，则差是一个正数，即a －b ＞0。 命题：“若a ＞b ，则a －b ＞0”成立；逆命题“若a －b ＞0，则a ＞b ”也正确。 类似地：若a ＜b ，则a －b ＜0；若a ＝b ，则a －b ＝0。逆命题也都正确。 结论：(1)“a ＞b ”?“a －b ＞0” (2)“a ＝b ”?“a －b ＝0” (3)“a ＜b ”?“a －b ＜0”——以上三条即为比较大小的依据：“作差比较法”。 正负数运算性质：(1) 正数加正数是正数；(2) 正数乘正数是正数；(3) 正数乘负数是负数； (4) 负数乘负数是正数。 研究不等式的性质： 性质1：若a ＞b ，b ＞c ，则a ＞c (不等式的传递性) 证明：∵a ＞b ∴a －b ＞0 ∵b ＞c ∴b －c ＞0 ∴(a －b)＋(b －c)＝a －c ＞0 (正负数运算性质) 则a ＞c 反思：证明要求步步有据。 x 课 题：2.1不等式的性质--比较实数大小的方法 教学目的：1.了解不等式的实际应用及不等式的重要地位和作用； 2.掌握实数的运算性质与大小顺序之间的关系，学会比较两个代数式的大小． 教学重点：比较两实数大小． 教学难点：差值比较法：作差→变形→判断差值的符号 授课类型：新授课 教学过程： 一、引入： 人与人的年龄大小、高矮胖瘦，物与物的形状结构，事与事成因与结果的不同等等都表现出不等的关系，这表明现实世界中的量，不等是普遍的、绝对的，而相等则是局部的、相对的研究不等关系，反映在数学上就是证明不等式与解不等式实数的差的正负与实数的大小的比较有着密切关系，这种关系是本章内容的基础，也是证明不等式与解不等式的主要依据此，本节课我们有必要来研究探讨实数的运算性质与大小顺序之间的关系 生活中为什么糖水中加的糖越多越甜呢? 转化为数学问题：a 克糖水中含有b 克糖(a>b>0)，若再加m(m>0)克糖，则糖水更甜了，为什么? 分析：起初的糖水浓度为a b ，加入m 克糖 后的糖水浓度为m a m b ++，只要证m a m b ++>a b 即可?引人课题 二、讲解新课： 1．不等式的定义：用不等号连接两个解析式所得的式子，叫做不等式． 2．判断两个实数大小的充要条件 对于任意两个实数a 、b ，在a ＞b ，a= b ，a ＜b 三种关系中有且仅有一种成立．判断两个实数大小的充要条件是： 0>-?>b a b a 0=-?=b a b a 0<-?x 从而22)1(+x >124++x x 引伸：在例2中，如果没有x ≠0这个条件，那么两式的大小关系如何? 若没有 0≠x 这一条件,则20x ≥,从而 22)1(+x 大于或等于 124++x x 2.1等式性质与不等式性质第1课时不等关系与不等式 学习 目标核心素养 1.会用不等式(组)表示实际问题中的不等关系．(难点) 2．会用比较法比较两实数的大小．(重点)1. 借助实际问题表示不等式，提升数学建模素养． 2. 通过大小比较，培养逻辑推理素养. 1．不等关系 不等关系常用不等式来表示． 2．实数a，b的比较大小 文字语言数学语言等价条件 a－b是正数a－b＞0a＞b a－b等于零a－b＝0a＝b a－b是负数a－b＜0a＜b 一般地，?a，b∈R，有a2＋b2≥2ab， 当且仅当a＝b时，等号成立． 1．大桥头竖立的“限重40吨”的警示牌，是指示司机要安全通过该桥，应使车货总重量T不超过40吨，用不等式表示为() A ．T <40 B ．T >40 C ．T ≤40 D ．T ≥40 C [限重就是不超过，可以直接建立不等式T ≤40.] 2．某高速公路要求行驶的车辆的速度v 的最大值为120 km/h ，同一车道上的车间距d 不得小于10 m ，用不等式表示为( ) A ．v ≤120 km/h 且d ≥10 m B ．v ≤120 km/h 或d ≥10 m C ．v ≤120 km/h D ．d ≥10 m A [v 的最大值为120 km /h ，即v ≤120 km /h ，车间距d 不得小于10 m ，即d ≥10 m ，故选A.] 3．雷电的温度大约是28 000 ℃，比太阳表面温度的4.5倍还要高．设太阳表面温度为t ℃，那么t 应满足的关系式是________． 4．5t <28 000 [由题意得，太阳表面温度的4.5倍小于雷电的温度，即4.5t <28 000.] 4．设M ＝a 2，N ＝－a －1，则M 、N 的大小关系为________． M ＞N [M －N ＝a 2 ＋a ＋1＝? ? ? ??a ＋122＋34＞0， ∴M ＞N .] 用不等式(组)表示不等关系 【例1】 京沪线上，复兴号列车跑出了350 km /h 的速度，这个速度的2倍再加上100 km /h ，不超过民航飞机的最低时速，可这个速度已经超过了普通客车的3倍，请你用不等式表示三种交通工具的速度关系． [解] 设复兴号列车速度为v 1， 民航飞机速度为v 2， 普通高中课程标准实验教科书—数学 [人教版] 高三新数学第一轮复习教案（讲座31）—不等式性质及证明 一．课标要求： 1．不等关系 通过具体情境，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式（组）的实际背景； 2．基本不等式：（a ,b ≥0） ①探索并了解基本不等式的证明过程； ②会用基本不等式解决简单的最大（小）问题。 二．命题走向 不等式历来是高考的重点内容。对于本将来讲，考察有关不等式性质的基础知识、基本方法，而且还考察逻辑推理能力、分析问题、解决问题的能力。本将内容在复习时，要在思想方法上下功夫。 预测2007年的高考命题趋势： 1．从题型上来看，选择题、填空题都有可能考察，把不等式的性质与函数、三角结合起来综合考察不等式的性质、函数单调性等，多以选择题的形式出现，解答题以含参数的不等式的证明、求解为主； 2．利用基本不等式解决像函数)0(,)(>+=a x a x x f 的单调性或解决有关最值问题是考察的重点和热点，应加强训练。 三．要点精讲 1．不等式的性质 比较两实数大小的方法——求差比较法 0a b a b >?->； 0a b a b =?-=； 0a b a b ，则b a <；若b a <，则a b >．即a b >?b a <。 说明：把不等式的左边和右边交换，所得不等式与原不等式异向，称为不等式的对称性。 定理2：若a b >，且b c >，则a c >。 说明：此定理证明的主要依据是实数运算的符号法则及两正数之和仍是正数；定理2称不等式的传递性。 定理3：若a b >，则a c b c +>+。 说明：（1）不等式的两边都加上同一个实数，所得不等式与原不等式同向； （2）定理3的证明相当于比较a c +与b c +的大小，采用的是求差比较法； （3）定理3的逆命题也成立； （4）不等式中任何一项改变符号后，可以把它从一边移到另一边。 定理3推论：若,,a b c d a c b d >>+>+且则。 说明：（1）推论的证明连续两次运用定理3然后由定理2证出；（2）这一推论可以推广到任意有限个同向不等式两边分别相加，即：两个或者更多个同向不等式两边分别相加，所得不等式与原不等式同向；（3）同向不等式：两个不等号方向相同的不等式；异向不等式：两个不等号方向相反的不等式。 定理4．如果b a >且0>c ，那么bc ac >；如果b a >且0 不等关系 一、用不等式表示不等关系 例1、某车工计划在15天里加工零件408个，最初3天，每天加工24个，问：以后每天加工多少个零件才能在规定的时间内超额完成任务？（只列关系式） 例2、由于帐篷规格的需要，要把一根长度为4000mm的钢管截成长度分别为500mm和600mm的钢管，按照生产的要求，长度为600mm的钢管数量不能超过长度为500mm的钢管的数量的3倍，写出满足上述所有不等关系的不等式. 二、比较实数（式子）的大小 例1、已知a，b 例2、已知a>0，且a≠1，P=log a（a3+1）,Q=log a（a2+1）,比较P与Q的大小； 例3、设a>0，b>0，试比较a a b b与a b b a的大小 三、不等式性质的应用 例1、对于实数a，b，c有下列说法：（1）若a>b，则ac 四、利用不等式的性质求代数式的取值范围 例1、已知<-1a+b<3，且2 扬州高等职业技术学校教案（首页） 板书设计 教学过程： 一、引入课题 二、讲授新课 1. 等式或不等式的等价表示 设a b ，是两个任意实数，则 00 a b a b a b a b a b a b >?->>+>---，求证 【针对训练】《课本》P.29 练习1 2 2.不等式的基本性质 (1)对称性：a b b a >?< (2)传递性：,a b b c a c >>?> (3)加法单调性：a b a c b c >?+>+ 推论：,a b c d a c b d >>?+>+ (4)乘法单调性： ① 0a b ac bc c >??>?>? ② 0a b ac bc c >??>?> 推论2：33a b a b >?> 推论3：11,0a b ab a b >>? < 例1 证明推论3 证：∵0ab > ∴10ab > 由性质4得a b ab ab > ∴11a b < 例2 若,a b R ∈且a b >，则有 A.a c b c +>+ B.ac bc > C.()22 0a b c -≥ D.2 0c a b ≤- 例3 若0c b a >>>，求证：a b c b c a >-- 【针对训练】《课本》P.31 练习1 2 三、课堂练习 《学习指导用书》P.19 A3 4 B 1 2 四、本课小结 比较两个代数式的大小，实际上是比较他们的大小，这可归结为判断他们的差的符号。不等式的性质和证明
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